on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

Transkriptio

1 H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika (jaksonaika) T Painovoima jaetaan kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan komponenttiin ja. (Ks. Physica 5, s , Fotoni 5, s ). on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). kuva 2. - paino(voima) - tangenttikomponentti - normaalikomponentti - langan jännitysvoima - kaaren pituus x, = heilurin pituus - + kuva 3. Heilurin liikeyhtälö on dynamiikan peruslain (NII) mukaan eli

2 Painovoiman tangentti- ja normaalikomponenteille pätee (ks. kuva 3): (t) (n) Heilurin liikeyhtälö komponenttimuodossa on siten (t) (1) (n) (2) Jos heilahduskulma on pieni, niin silloin pätee:. (ks. kuva 2). Otetaan huomioon negatiivinen suunta kuvassa 1, jolloin saadaan tangenttikomponentiksi, missä kerroin on vakio. Radan suuntainen tangenttikomponentti on siis likimain suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta ja sille vastakkaissuuntainen, kun poikkeama tasapainoasemasta on pieni (pienillä heilahduskulmilla ). on siis muotoa F = -kx (k= jousivakio (N/m), x = poikkeama tasapainoasemasta (m)) eli se on likimain harmoninen voima. Heiluri on siis harmoninen värähtelijä, jonka jousivakio. Värähtelijän massa on m (kg), heilurin pituus l (m)ja putoamiskiihtyvyys g = 9,81 m/s 2. Matemaattisen heilurin liike on harmonista värähdysliikettä pienillä heilahduskulman arvoilla. Heilahdusaika saadaan harmonisen värähtelijän värähdysliikkeen jaksonajan suureyhtälöstä. (vrt. fysiikan YO:t K89-4, K92-8, S99-6, S07+13, K10-10).

3 Matemaattisen heilurin heilahdusaika (3) missä l = heilurin pituus (m) ja g = putoamiskiihtyvyys = 9,81 m/s 2. Lauseke pätee vain pienille heilahduskulmille ja noin yli metrin pituisille matemaattisille heilureille (l > 1m). (MAOL s ( )) Heilurin tangenttikiihtyvyys on liikeyhtälön (1) perusteella. Tangenttikiihtyvyys on suurin ääriasemissa A ja B (ks. kuva 2) ja nolla tasapainoasemassa O. Tangenttikiihtyvyydelle at pätee, missä on kulmakiihtyvyys (rad/s 2 ) ja l = heilurin pituus (m). Tangenttikiihtyvyyden yksikkö on. Heilurin kulmakiihtyvyys. Heiluri liikkuu pitkin ympyrän kaarta, jonka säde on l. Heilurin normaalikiihtyvyys on, missä v on heilurin ratanopeus (m/s) ja l = heilurin pituus (m). (Ks. Physica 5, s , Fotoni 5, s ). Normaalikiihtyvyyden lausekkeesta normaalikomponentista (2) saadaan ja heilurin liikeyhtälön Matemaattisella heilurilla: ääriasemassa A ja B: - normaalikiihtyvyys, koska nopeus v = 0 - tangenttikiihtyvyys on suurimmillaan, koska on suurimmillaan tasapainoasemassa O: - normaalikiihtyvyys on suurimmillaan, koska nopeus v on suurimmillaan - tangenttikiihtyvyys = 0, koska on nolla.

4 Matemaattisen heilurin mekaaninen energia säilyy eli E kok = E p + E k = vakio. Valitaan tasapainoasema O potentiaalienergian nollatasoksi, jolloin energiaperiaatteen mukaan saadaan (ks. kuva 4): kuva 4. missä 1 on heilurin hetkellinen korkeus ja 1 on ääriaseman ja tasapainoaseman välinen korkeusero. Koska matemaattisen heilurin heilahdusaika riippuu vain heilurin pituudesta ja paikallisesta putoamiskiihtyvyydestä, voidaan heiluria käyttää ajanmittaukseen. Toisaalta heilurin pituus l ja heilahdusaika ovat helppoja määrittää tarkasti, voidaan heiluria käyttää putoamiskiihtyvyyden mittauksiin. Maaperän malmi- ja öljyesiintymät aiheuttavat tiheyden muuttumisen ympäröivään alueeseen verrattuna. Tiheyden muutokset vaikuttavat putoamiskiihtyvyyden g arvoon. Maaperän malmi- ja öljyesiintymiä voidaan näin kartoittaa matemaattisella heilurilla. Matemaattisen heilurin liike on vain likimain harmonista värähtelyliikettä. Edellä johdettu heilahdusajan lauseke pätee vain pienille heilahduskulmille. Kulma-amplitudin kasvaessa voidaan heilahdusaika laskea käyttäen seuraavaa sarjakehitelmää:

5 2) Kartioheiluri = heiluri, jossa langan varaan ripustettu kappale liikkuu vaakatasossa ympyräradalla (ks. kuva 5). Kuva 5. Kappaleeseen vaikuttavat voimat: - painovoima (alaspäin) -langan jännitysvoima (langan suuntainen) Oletus: liikevastusvoimat mitättömät Kappaleen liikeyhtälö on dynamiikan peruslain (NII) mukaan eli. Langan jännitysvoima T jaetaan kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan komponenttiin (ks. kuva 5): toinen on ratatasossa ja suuntautuu kohti rataympyrän keskipistettä (T n ) ja toinen on painovoiman G suuntainen ja siis ratatasoa vastaan kohtisuorassa (T z ). Komponenttien suuruudet ovat: Koska kappaleeseen ei vaikuta radan tangentin suuntaisia voimia, kappale on tasaisessa ympyräliikkeessä. Langan jännitysvoiman ratatason suuntainen komponentti antaa normaalikiihtyvyyden a n = v 2 /r. Valitaan positiiviset suunnat ylöspäin ja rataympyrän keskipistettä kohti. Liikeyhtälö on komponenttimuodossa

6 Langan pituuden, radan säteen ja poikkeutuskulman välillä on riippuvuus (ks. kuva 5):. Liikeyhtälön pystysuora komponentti on tasapainoehto, josta voidaan laskea langan jännitysvoima: = (*) Rataliikettä kuvaavasta komponentista voidaan ratkaista kappaleen ratanopeus: =. Kun tähän suureyhtälöön sijoitetaan langan jännitysvoiman T lauseke (*), niin ratanopeudeksi saadaan yhtälö: = = =. Jaetaan yhtälöt (n) ja (z) puolittain, jolloin saadaan. Koska ja, niin saadaan edelleen =. Lauseke saa nyt muodon =, josta seuraa, ja. ja Kartioheilurin kiertoliikkeen jaksonaika (4) l = heilurin langan pituus, ϕ = poikkeutuskulma (ks. kuva 5). (ks. Fotoni 5, s , vrt. fysiikan YOt: S05-6, K95-8, K13-6).

7 3) Jäykkä heiluri eli fysikaalinen heiluri = jäykkä kappale, joka heilahtelee kiinteän akselinsa Z ympäri - kiinteä akseli ei kulje painopisteen O kautta Kuva 6. Kappaleeseen vaikuttavat voimat: - painovoima - akselin (tai ripustuslangan) tukivoima Jos akseli on vaakasuora ja kappale poikkeutetaan tasapainoasemasta, painovoima pyrkii palauttamaan sen tasapainoasemaan. Kappale alkaa heilahdella edestakaisin. Jos liikevastusvoimat ovat merkityksettömiä, heiluri on ideaalinen. Tällöin sen mekaaninen energia säilyy. Fysikaalisen heilurin heilahdusaika (5) missä m = heilurin massa (kg), r A = heilurin massakeskipisteen O etäisyys pyörähdysakselista Z (m), J A = hitausmomentti pyörähdysakselin Z suhteen (kgm 2 ), g = putoamiskiihtyvyys = 9,81 m/s 2. Steinerin säännön mukaan kappaleen hitausmomentti etäisyydellä r A olevan akselin Z suhteen on, missä J o = kappaleen hitausmomentti massakeskipisteen (painopisteen) O suhteen. Hitausmomentti J on pyörimishitauden mitta. Sen yksikkö on. (MAOL s ( ))

8 4) Kiertoheiluri eli torsioheiluri = heiluri, jossa massakappale on ripustettu yläpäästään kiinnitettyyn kuituun, ja jonka värähtely perustuu kuidun kiertymiseen. Massakappaleen jaksollinen värähtely tapahtuu kohtisuoraan painovoimaa vastaan; myötäpäivään, vastapäivään, myötäpäivään, jne. Kuva 7. lanka Kierrettäessä heiluria pienen kulman θ verran kappaleeseen kohdistuu palauttava vääntömomentti (5) missä θ = kiertymiskulma (rad) D = palautuskerroin eli direktiomomentti (Nm/rad), D on palautuskerroin eli direktiomomentti (Nm/rad) on kuidulle (jouselle) ominainen suure, joka riippuu käytetystä materiaalista ja sen geometrisista mitoista. Torsioheilurin momentti eli palauttava vääntömomentti noudattaa Hooken lakia: Suureyhtälö muistuttaa harmonisen voiman lauseketta F = -kx. Harmoninen voima on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta ja suuntautuu tasapainoasemaa kohti. Torsioheilurin liike onkin harmonista pyörähdysliikettä. Torsioheilurin heilahdusajalle T voidaan johtaa lauseke yhtälöstä (5): (6) missä J = hitausmomentti pyörähdysakselin suhteen (kgm 2 ),

9 D = direktiomomentti eli palautuskerroin (Nm/rad). Torsiovakiolle D pätee yhtälö: 2 missä A = langan poikkipinta-ala, l = langan pituus, G = liukukerroin, joka on materiaalille ominainen vakio. (MAOL s ( )) Eräs heilurityyppi on Foucault'n heiluri. Se on hyvin pitkävartinen heiluri, joka on ripustettu siten, että se voi vapaasti kiertyä suhteessa kiinnityskappaleeseen. Kun heiluri saatetaan heiluriliikkeeseen, se jatkaa heilumista samassa tasossa. Koska maapallo pyörii, heilumistaso kiertyy suhteessa maan pintaan. Heilurilla voidaan osoittaa maapallon pyörimisliike akselinsa ympäri. ks. Jaksonajan ja heilahdusaikojen T johtaminen: Lähteet: -Young and Freedman, University Physics, Pearson International edition, 12 th edition, Addison-Wesley, 2008, p Alonso-Finn: Physics, Addison-Wesley, 1995, p Inkinen-Manninen-Tuohi: Insinöörifysiikka, Otava, 2. painos 2006, s Eskola-Ketolainen-Stenman: Fotoni 5, Otava, 1. painos 2006, s