ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

Transkriptio

1 Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016

2 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

3 Ajankohtaista

4 Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat tämän kurssin Suurimmat odotukseni ovat luentoja kohtaan: toivon tiivistä ja tehokasta pakettia, siten että luennoille on aina hyödyllistä tulla Toivon, ettei kurssi etene liian nopeasti Ei mitään käsitystä minkä tasoista kamaa tulossa, sitä jännityksellä odottelen Odotan innokkasti uutta tietoa En muista mitään fysiikasta Toivon että kurssi ei etene liian nopeaan tahtiin Iha jeez Hyvällä, koen mekaniikan aihe-alueena kiinnostavana Toivottavasti en putoa heti kelkasta Uteliaana käytännöistä, melko itsevarmana itse asiasta Pää aika tyhjänä intin jälkeen Pidetäö hauskaa ja rakennetaa raketteja Kuulemma vaikea kuumotus Jännittyneillä Positiivisilla Mielenkiinnolla Josko fysiikan ymmärrystä saisi sidottua matematiikkaan odotan enimmäkseen lukion kertausta eli pitäisi olla helppoa Pelottaa, että kurssi on hirveän vaikea verrattuna lukioon Toivon haasteita mutta en ylivoimaisia sellaisia HY:n vuorovaikutukset ja kappaleet (5op) ja vuorovaikutukset ja aine (5op) kertausta

5 Konseptitesti 1 Kysymys Henkilö on aluksi pisteessä P. Hetken kuluttua hän siirtyy akselia pitkin pisteeseen Q ja viipyy siellä hetken. Tämän jälkeen hän juoksee nopeasti pisteeseen R, odottaa hetken ja kävelee hitaasti takaisin pisteeseen P. Mikä alla olevista sijainti vs. aika -kuvaajista kuvaa henkilön liikettä? 0 Q R P

6 Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

7 Käsitteet Mekaniikka (mechanics) Voiman, voiman, aineen ja liikkeen väliset yhteydet Kinematiikka (kinematics) Liikkeen kuvaus Dynamiikka (dynamics) Liikkeen ja sen syiden väliset suhteet Suureet Siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys Seuraavaksi Käsitellään suoraviivaisen liikkeen kinematiikkaa ilman vektorisuureita Määritellään suureet siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys

8 Hiukkasen suoraviivainen liike P 1 x 1 P 2 x 2 x Hiukkanen liikkuu pitkin suoraa t = t 1 : hiukkanen pisteessä P 1 (koordinaatti x 1 ); t = t 2 : pisteessä P 2, (koordinaatti x 2 ) Hiukkasen paikan muutos l. siirtymä (displacement) x = x 2 x 1 aikavälillä t = t 2 t 1 Siirtymää vastaa keskimääräinen nopeus (average velocity) aikavälillä t v ave = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t x 2 x x v ave x 1 P 1 t 1 t P 2 x(t) t 2 t

9 Hetkellinen nopeus v ave riippuu alkupisteestä P 1 ja aikavälin t pituudesta Nopeus pisteessä P 1? Pienennetään t kohti nollaa v = lim t2 t 1 x 2 x 1 t 2 t 1 x = lim t 0 t = Erotusosamäärän raja-arvo eli derivaatta x(t + t) x(t) = lim t 0 t

10 Hetkellinen nopeus Hetkellinen nopeus (instantaneous velocity) v = dx dt tx-koordinaatistossa hetkellinen nopeus on liikekäyrän tangentin kulmakerroin x 1 x P 1 x(t) v1 = dx dt t=t1 Hetkellinen vauhti (speed) on hetkellisen nopeuden itseisarvo t 1 t

11 Keskimääräinen kiihtyvyys Hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä jos sen nopeus muuttuu ajan funktiona Pisteessä P 1 ajan hetkellä t = t 1 hiukkasella nopeus v 1 ja pisteessä P 2 (t = t 2 ) nopeus v 2 Hiukkasen keskimääräinen kiihtyvyys (average acceleration) aikavälillä t = t 2 t 1 a ave = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 v 2 v v a ave v 1 P 1 t 1 t P 2 v(t) t 2 t

12 Hetkellinen kiihtyvyys Hetkellinen kiihtyvyys (instantaneous acceleration) saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden raja-arvosta analogisesti nopeuden kanssa v v(t) v a = lim t 0 t = dv dt tv-koordinaatistossa hetkellinen kiihtyvyys liikekäyrän tangentin kulmakerroin v 1 P 1 dv a = dt t 1 t

13 Kiihtyvyys paikan funktiona Nopeus siirtymän aikaderivaatta, joten x a = dv dt = d dt ( dx ) = d 2 x dt dt 2 tx-koordinaatistossa liikekäyrän kaarevuus kertoo kiihtyvyyden suuruuden ja suunnan t Kulmakerroin nopeuden

14 Liike tasaisella kiihtyvyydellä Kertausta lukiosta Tasaisen kiihtyvyyden (uniform acceleration) liike yksinkertainen, mutta usein esiintyvä tapaus Ajan hetkellä t = 0 kiihtyvyys vakio a = a 0 0 ja nopeus v 0 Nopeus saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden avulla (tällä kertaa sama kuin derivaatta, miksi?) a 0 = v v 0 t t 0 = v(t) = v 0 + a ave t. Vastaavasti paikalle (vakionopeus v 0, alkupaikka x 0 ja t 0 = 0) v 0 = x x 0 t t 0 = x(t) = x 0 + v 0 t.

15 Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona a a 0 Vakiokiihtyvyydestä seuraa v ave = v(t) + v(0) 2 = v 0 + a 0 t + v 0 2 v v ave = v a 0t. at v 0 t t t t

16 Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona Vakiokiihtyvyydestä seuraa v ave = Yhdistetään tulokset v(t) + v(0) 2 x = x 0 + v av t = x 0 + = v 0 + a 0 t + v 0 2 = v a 0t. ( v ) 2 a 0t t = x 0 + v 0 t a 0t 2

17 Liike tasaisella kiihtyvyys: vapaa pudotus Vapaasti putoava kappale Maan pinnan läheisyydessä putoamiskiihtyvyys vakio g Putoamiskiihtyvyyden lukuarvo riippuu hieman sijainnista maapallolla Suomessa g = 9.81 m s 2 Jos ilmanvastus voidaan jättää huomiotta, vapaasti putoavaan kappaleeseen pätevät tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt Kuva (c) Barcroft Media

18 Tärkeät termit/käsitteet Mekaniikka Kinematiikka vs. dynamiikka Hetkellinen vs. keskimääräinen suure Tasainen vs. muuttuva liike Derivaatta vs. erotusosamäärä

19 Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

20 Jumppaa Tehtävänanto Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î ĵ + 5ˆk ja G = aî 6ĵ + 2ˆk. Laske 1. E F 2. F E (E:n projektion F :lle pituus) 3. Millä a:n arvolla F ja G ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?

21 Jumppaa Tehtävänanto Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î ĵ + 5ˆk ja G = aî 6ĵ + 2ˆk. Laske 1. E F 2. F E (E:n projektion F :lle pituus) 3. Millä a:n arvolla F ja G ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Ratkaisu 1. E F = ( 1) = E = = 5, E F = E FE = F E = E F E = F G = 4a = 0 = a = 4

22 Lisää jumppaa Tehtävänanto Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î tĵ + 5ˆk ja G = 4tî + 2t ˆk. Laske a) Ê ˆF ja b) d dt ( G F).

23 Lisää jumppaa Tehtävänanto Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î tĵ + 5ˆk ja G = 4tî + 2t ˆk. Laske a) Ê ˆF ja b) d dt ( G F). Ratkaisu 1. (15 + 4t)î + 16ĵ 12ˆk 2. 26

24 Luennon sisältö Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

25 Pientä askartelua Pohdi vierustoverin kanssa Tehtävänanto Mikä on nopeuden ja paikan välinen ajasta riippumaton yhteys jos kiihtyvyys on vakio? Lähtökohta: eliminoi aika t nopeuden lausekkeesta v = v 0 + a 0 t ja sijoita se paikan lausekkeeseen. Laske parin kanssa välivaiheet.

26 Ratkaisu v v 0 x = x 0 + v [ v a 0 2 a v0 ] 2 0 a 0 = x x 0 = 2vv 0 2v v 2 2vv 0 + v 2 0 2a 0 = 2a 0 (x x 0 ) = v 2 v 2 0

27 Vektorit ovat parasta mitä teekkarille voi tapahtua Pohdi vierustoverin kanssa y r k (t) Koira r j (t) v k Jänis v j x Tehtävänanto Eräs automaation ohjausprobleema on kohteen seuraaminen. Tässä tilanteessa koira pyrkii saavuttamaan pakoon pinkovan jäniksen. Tehtäväsi on johtaa lauseke koiran nopeusvektorille v k, siten että Koiran nopeusvektori osoittaa jokaisella ajanhetkellä kohti jäniksen senhetkistä sijaintia Koiran nopeusvektorin suuruus on vakio v k

28 Ratkaisu

29 Mikä se derivaatta olikaan? Tehtävänanto Vektorit A ja B muodostavat kolmion. Määritä 1. Kolmion pinta-ala 2. Kolmion pinta-alan muutosnopeus, kun B muuttuu nopeudella d B/dt.

30 Ratkaisu

31 Viimeinen ja helppo Tehtävänanto Pallo heitetään 50 m korkean talon katolta suoraan ylöspäin nopeudella 15 m s 1. Ilmanvastusta ei huomioida. Mikä on pallon a) saavuttama maksimikorkeus ja b) nopeus maassa?

32 Ratkaisu