Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike"

Transkriptio

1 Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin keskinopeus ja -kiihtyvyys aikavälillä 0 1 s, b) ajanhetki, jolloin partikkelin nopeus on nolla, c) partikkelin kulkema matka aikavälillä 0 1 s. Vastaus: a) 3 m/s; 4 m/s ; b) 3 s; c) 3 m.. Partikkelin asema (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 9t + 15t + 5. Nopeus v = 15 m/s, kun t = 0 s. Laske aika, kun nopeus on uudelleen 15 m/s. Mikä on asema kyseisellä ajanhetkellä ja kuinka pitkän matkan partikkeli on kulkenut? Vastaus: 6 s; 13 m; 46 m. 3. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 = t 6t 15t + 40 Laske a) aika t 1 > 0 s, jolloin nopeus on nolla, b) asema hetkellä t 1 ja matka, jonka partikkeli on kulkenut aikavälillä 0 t 1, c) kiihtyvyys, kun t = t 1, d) matka, jonka partikkeli kulkee ajassa 4 6 s. Vastaus: a) 5 s; b) 60 m; 100 m; c) 18 m/s d) 18 m. 4. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 9t + 15t Laske partikkelin asema ja kiihtyvyys hetkellä, jolloin nopeus on nolla. Vastaus: 5 m; 1 m/s ; ja 7 m; 1 m/s.

2 Kinematiikka -- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 = t 9t + 15t. Laske a) partikkelin suurin nopeus ja kiihtyvyys aikavälillä 0 10 s, b) kuinka pitkän matkan partikkeli kulkee samalla aikavälillä. Vastaus: a) 135 m/s; 4 m/s ; b) 314 m. 6. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on x ( = at + bt + 8. Vakion 8 yksikkö on m. a) Laske vakiot a ja b, kun tiedetään, että x = 0 m ja v = 100 m/s, kun t = s. Mitkä ovat a:n ja b:n yksiköt? b) Laske keskinopeus aikavälillä 1,5,5 s. c) Ovatko nopeus ja asema nollia jollakin hetkellä aikavälillä 1,5,5 s? Jos ovat, niin milloin? Vastaus: a) a = 5 m/s ; b = 108 m/s; b) 100 m/s; c) x = 0 m, kun t = s. 7. Pieni pallo liikkuu suoraviivaisesti vastustavassa väliaineessa. Sen kiihtyvyys on ajan funktiona (järjestelmä m, s) a = 6t. Alkunopeus on 7 m/s. Kuinka pitkän matkan pallo kulkee, ennen kuin pysähtyy? Vastaus: 54 m. 8. Partikkelin kiihtyvyys on muotoa (järjestelmä m, s) a = kt, missä k on vakio. Kun t = 0 s, partikkelin nopeus v = 9 m/s. Kun tiedetään että v = 0 m/s ja x = 1 m hetkellä t = 3 s, määritä partikkelin kiihtyvyys, nopeus ja asema ajan funktioina. 1 Vastaus: a( = t ; ( ) = t 3 v t 9 ; x ( = t 9t Auto lähtee liikkeelle levosta ja saavuttaa ajassa t 1 = 10 s nopeuden v 1 = 54 km/h. Oletetaan, että kiihtyvyys muuttuu lineaarisesti alkuarvosta a o nollaan. Johda lausekkeet a(, v( ja ja piirrä kuvaajat. Laske kiihtyvyyden alkuarvo a o sekä matka, jonka auto kulkee 10 sekunnissa Vastaus: a( = 3(1 ; v( = 3( t t ); = 3( t t ) ; a o = 3 m/s ; 100 m

3 Kinematiikka -3- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Minkä loppunopeuden edellisen tehtävän auto saavuttaa, jos sen kiihtyvyys muuttuu alkuarvosta a o = 3 m/s nollaan kosinimuotoisesti kuvan mukaan? Kuinka pitkän matkan auto kulkee ajassa t 1 = 10 s? Johda lausekkeet v( ja ja piirrä niiden kuvaajat. 60 π 100 π Vastaus: 68,8 km/h; 1m; v( = sin( ; = 1 cos( t ) 0. π π Pallo heitetään kohtisuoraan ylöspäin 0 m korkean tornin huipulta. Alkunopeus on 1 m/s. Pallon kiihtyvyys on vakio 9,81 m/s alaspäin. Laske a) pallon nopeus v ja asema x ajan funktioina, b) pallon saavuttama suurin korkeus ja vastaava aika t, c) aika, jolloin pallo putoaa maahan ja vastaava nopeus. Vastaus: b) 7,3 m; 1, s; c) 3,6 s; 3, m/s. 1. Tulevaisuuden tyhjiökäyttöinen suurnopeusjuna kulkee putkessa asemien A ja B välillä. Asemien välimatka on 10 km. Jos kiihtyvyys ja hidastuvuus saavat olla korkeintaan 0,6g ja nopeus korkeintaan 400 km/h, määritä lyhin aika, jolla juna kulkee asemien välin. Vastaus: 108,9 s. 13. Paikallaan olevasta poliisin tutka-autosta havaitaan ohittavan auton ajavan ylinopeutta 110 km/h. Poliisiauto aloittaa takaa-ajon 30 s kuluttua ja kiihdyttää 0 sekunnissa nopeuteen 160 km/h. Kun oletetaan, että molemmat autot säilyttävät nopeutensa, niin kuinka kaukana havaintopisteestä takaa-ajo päättyy? Vastaus: 3,91 km. 14. Autoilija ajaa vauhdilla 13,9 m/s, kun hän huomaa 50 metrin päässä edessään olevien liikennevalojen muuttuvan punaisiksi. Hän tietää kokemuksesta, että 5 sekunnin kuluttua ne muuttuvat jälleen vihreiksi. Mitä autoilijan tulisi tehdä, jotta hän ohittaisi liikennevalot nopeudella 13,9 m/s juuri, kun ne muuttuvat vihreiksi? Auton hidastuvuuden ja kiihtyvyyden tulee olla mahdollisimman pieniä. Määritä tämä hidastuvuuden ja kiihtyvyyden arvo sekä auton pienin vauhti. Vastaus: 0,64 m/s ; 6,1 m/s

4 Kinematiikka -4- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Metrojuna lähtee asemalta A, sen kiihtyvyys on 6 s ajan 1 m/s. Tämän jälkeen kiihtyvyys pysyy arvossa 1,5 m/s, kunnes juna on saavuttanut nopeuden 1 m/s. Juna säilyttää vakionopeuden, kunnes se lähestyy asemaa B, jolloin se jarruttaa tasaisesti pysähtyen 6 s aikana. Matka asemalta A asemalle B kestää 40 s. Piirrä kuvaajat a( ja v( ja laske asemien välinen etäisyys. Vastaus: 378 m. 16. Traktori ajaa tiellä vakionopeudella v 1 = 18 km/h. Takaa tulevan auton (v = 108 km/h) täytyy jarruttaa vastaantulijoiden vuoksi. Kuinka suuri hidastuvuus vähintään tarvitaan, jotta auto ei törmäisi traktoriin, kun jarrutuksen alkaessa välimatka on 100 m? Missä ajassa ja kuinka pitkällä matkalla auto saa traktorin kiinni? Piirrä kuvaajat ja v(. Vastaus: 3,1 m/s ; 8 s; 140 m. Käyräviivainen liike 17. Partikkelin liikkeen määrittelevät yhtälöt (järjestelmä m, s) = t t y( = ( t 1) Laske a) nopeus ja kiihtyvyys, b) pienin vauhti v ja aika, jolloin se saavutetaan. Vastaus: b) 1,79 m/s; 1,8 s. 4( t 1) 18. Tasoliikkeessä olevan partikkelin aseman koordinaatit ajan funktiona ovat (järjestelmä m, s) = 1 t y( = t a) Määritä kiihtyvyyden komponentit a x ja a y. b) Johda partikkelin radan yhtälö muodossa y = y(x) ja piirrä sen kuvaaja. Vastaus: b) y = ( 1 x). 19. Partikkeli liikkuu tasossa siten, että sen asema ajan funktiona on (järjestelmä m, s) = 8t y( = t Aika t 0 s. a) Laske, milloin vauhti v = 55 m/s. b) Johda partikkelin radan yhtälö muodossa y = y(x) ja piirrä sen kuvaaja. 3/ 1 Vastaus: a) 3,0 s; b) y = x

5 Kinematiikka -5- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Partikkelin radan määrittelevät yhtälöt (järjestelmä mm, s) 1 = 10sin( π y( = 40t Laske partikkelin nopeus ja kiihtyvyys, kun a) t = 1 s, b) t = s. Vastaus: a) v = 80 j mm/s; a = ( 96i + 80 j) mm/s ; b) v = ( 188i j) mm/s; a = 80 j mm/s. 1. Värähdysliikkeessä olevan partikkelin asema riippuu ajasta yhtälöiden = 4sin( π y( = cos(π mukaisesti (järjestelmä cm, s). a) Laske nopeus ja kiihtyvyys, kun t = 1 s. b) Osoita, että partikkelin rata on osa paraabelia ja piirrä ratakäyrä. Vastaus: a) v = 4πi cm/s; a = 4π j cm/s.. Partikkelin rata on (järjestelmä m, s) = 3t y( = 18t t 3 Mitkä ovat sen vauhdin ääriarvot ja milloin ne esiintyvät? Osoita, että tällöin kiihtyvyysvektori on kohtisuorassa rataa vastaan. Vastaus: v max = 18 m/s, t = 0 s; v min = 13,4 m/s, t = s. 3. Mikä pitää vähintään olla moottoripyörän vauhdin pisteessä A, jotta pyörä ylittäisi aukon? Vastaus: 8,63 m/s.

6 Kinematiikka -6- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Moottorikelkan vauhti pisteessä A on 10 m/s. Laske a) kuinka kauan kelkka on ilmassa, b) mikä on etäisyys R, c) vauhti, kun kelkka osuu maahan. Vastaus: a),48 s; b) 19,0 m; c) 19,5 m/s. 5. Painepesurilla suihkutetaan vettä pitkän viemäriputken pesemiseksi. Jos vesisuihkun alkunopeus on 11,5 m/s, määritä a) etäisyys d pisteeseen B putken yläosassa, johon saakka pesu voidaan tehdä pisteestä A, b) vastaava kulma α. Vastaus: a) 4,98 m; b) 3,8. 6. Partikkeli liikkuu siten, että sen kiihtyvyyden komponentit ovat (järjestelmä m, s) a a x y = 6t Määritä partikkelin asema hetkellä t = 10 s, kun tiedetään, että partikkeli on hetkellä t = 0 s lähdössä origosta suuntaan 50 o positiivisesta x-akselista nopeudella 10 m/s. Vastaus: x = 1064 m; y = 6,6 m. = 1 7. xy-tasossa liikkuvan partikkelin nopeus (järjestelmä m, s) v = 8π sin(π i + 5π cos(π j. Laske partikkelin kiihtyvyys ja johda sen radan yhtälö. Hetkellä t = 0 s, partikkelin asema r = 8i m. Vastaus: x 1 y a = 16π cos(πt ) i 10π sin(πt ) j ; + = 1. 4,5

7 Kinematiikka -7- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Tappi A, joka on kiinnitetty tankoon AB, kulkee ympyränmuotoisessa hahlossa CD. Hetkellä t = 0 s tappi lähtee levosta siten, että sen vauhti kasvaa tasaisesti 0 mm/s. Määritä kokonaiskiihtyvyyden arvo hetkellä a) t = 0, b) t = s. Vastaus: a) 0 mm/s ; b) 6,8 mm/s. 9. Eräällä hetkellä erään mekanismin pisteen A vauhti on 5 m/s ja tangentiaalinen kiihtyvyys m/s. Jos kiihtyvyyden suuruus on 3 m/s, mikä on radan kaarevuussäde kyseisellä hetkellä? Vastaus: 11, m. 30. Kuvassa on esitetty nokka-akselin tehonsiirtojärjestelmä. Kun moottoria kiihdytetään, hihnan nopeus v muuttuu tasaisesti arvosta 3 m/s arvoon 6 m/s kahden sekunnin aikana. Laske pisteiden P 1 ja P kiihtyvyydet kyseisen aikajakson puolivälissä. Vastaus: 338 m/s ; 1,5 m/s.

8 Kinematiikka -8- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Partikkeli P kulkee pitkin ympyrärataa, jonka säde on 5 m, vakiovauhdilla 10 m/s. Kun partikkeli on kuvan asemassa, mitkä ovat sen nopeus- ja kiihtyvyysvektorit xykoordinaatistossa? Vastaus: v = ( 8,66i + 5 j) m / s ; a = ( 10i + 17,3 j) m/ s. 3. Ympyrärataa (R = 4 m) kulkevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 s( = t 4t + 8t. Laske kiihtyvyyden suuruus hetkellä, jolloin a t = 4 m/s. Vastaus: 4 m/s. 33. Juna kulkee vauhdilla 90 km/h radan osaa, joka on 1 km -säteisen ympyrän kaaren muotoinen. Junaa aletaan jarruttaa, jolloin sen vauhti pienenee tasaisesti 6 sekunnissa arvoon 60 km/h. Laske junan kiihtyvyyden suuruus jarrutusvaiheen alussa. Vastaus: 1,5 m/s. 34. Partikkeli liikkuu vakiovauhdilla 1 m/s pitkin paraabelia, jonka huippu on origossa ja joka aukeaa ylöspäin kulkien pisteen x = 1m, y = 1 m kautta. Määritä partikkelin kiihtyvyys paraabelin huipussa. Vastaus: a = j m/s. 35. Partikkeli liikkuu käyräviivaisella radalla siten, että kaarenpituus 3 s ( = ct. Vakio c = 1 m/s 3. Ajanhetkellä t = s kiihtyvyyden suuruus a = 15 m/s. Mikä on samalla hetkellä radan kaarevuussäde? Vastaus: 16 m. 36. Partikkeli kulkee vastapäivään pitkin ympyrää (säde 4 m) siten, että pisteestä A mitattu kaarenpituus (järjestelmä m, s)

9 Kinematiikka -9- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 s ( = t Laske ajanhetkellä t = 1 s a) kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit a t ja a n, b) kiihtyvyyden x- ja y-komponentit a x ja a y. Vastaus: a) 6 m/s ;,5 m/s ; b) 6,6 m/s ; 1,35 m/s. 37. Tasoliikkeessä olevan partikkelin asema ajan funktiona on (järjestelmä m, s) = 4t y( = t 3 Laske ajanhetkellä t = s a) vauhti v, b) kiihtyvyyden normaali- ja tangentiaalikomponentit a n ja a t. Vastaus: a) 8,8 m/s; b) 6,66 m/s ; 4,4 m/s. 38. Ympyrärataa kulkevan partikkelin kulma-asema on (järjestelmä m, s) φ ( = 0,3t (1 t ). Laske partikkelin kulma-asema, kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys, kun a) t = 0 s, b) t = 3 s. Vastaus: a) 0; 3,6 1/s; 0 1/s ; b),7 ; 4,5 1/s; 5,4 1/s. 39. Ympyrän kehää (r = m) pitkin myötäpäivään liikkuvan partikkelin vauhti lisääntyy tasaisesti sekunnissa arvosta 3 m/s arvoon 5 m/s. Paljonko lisääntyy a) partikkelin kiihtyvyyden suuruus, b) kulmanopeus? c) Mikä on kulmakiihtyvyys? d) Kuinka pitkän matkan ja millaisen kulman partikkeli kulkee? Vastaus: a) 7,94 m/s ; b) 1 1/s; c) 0,5 1/s ; d) 8 m; 9 o.

10 Kinematiikka -10- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 JÄYKKÄ KAPPALE Translaatio 40. Translaatiossa olevan jäykän kappaleen pisteiden A, B ja C kiihtyvyyksien komponenteista tunnetaan seuraavat: a Ax = m/s, a By = 5 m/s, a Cz = 0 m/s. Kiihtyvyydet ovat vakioita. Hetkellä t = 0 s mitataan seuraavat nopeuskomponentit: v Ax = 30 m/s, v By = 45 m/s ja lisäksi tiedetään, että v Cz on positiivinen ja kappaleen vauhti on 105 m/s. Laske kappaleen nopeus, kun t = s. Vastaus: ( 34i + 55 j + 90k ) m/s. Rotaatio 41. Kun sähkömoottorin virta kytketään, moottori saavuttaa vakiopyörimisnopeuden 3300 rpm 6 sekunnissa ja kun virta katkaistaan, moottori pysähtyy 80 sekunnin kuluttua. Jos oletetaan tasainen kiihtyvyys, määritä kuinka monta kierrosta moottori pyörii a) käynnistettäessä ennen vakionopeuden saavuttamista, b) virran katkaisemisen jälkeen. Vastaus: a) 165; b) 00 kierrosta. 4. Pieniä koneenosia kuljetetaan liukuhihnalla, joka kulkee liukumatta kuvan rummun yli. Rummun säde on 150 mm (korvaa kuvan tuumamitan). Kuvan hetkellä pisteen A nopeus on 380 mm/s vasemmalle ja kiihtyvyys 5 mm/s oikealle. Määritä a) rummun kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys, b) koneenosan kokonaiskiihtyvyys pisteessä B. Vastaus: a),53 1/s vastapäivään; 1,5 1/s myötäpäivään; b) 989 mm/s. 43. Edellisen tehtävän rummun kulmanopeus kuvan hetkellä on 4,0 1/s myötäpäivään. Määritä rummun kulmakiihtyvyys, jolla pisteessä B olevan koneenosan kokonaiskiihtyvyys on 3,05 m/s. Vastaus: ±1,5 1/s.

11 Kinematiikka -11- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Keskipisteestään laakeroitu kiekko lähtee levosta tasaisesti kiihtyvään pyörimisliikkeeseen. 15 sekunnin kuluttua kiekon pyörimisnopeus on 80 rpm. Laske nopeus ja kiihtyvyys xykoordinaatistossa kohdissa A ja B 1 sekunnin kuluttua liikkeen alkamisesta. Vastaus: v A = 0, 0 j m/s; a A = ( 0,38i 0,0 j) m/s ; v B = ( 0,i + 0,39 j) m/s; = ( 0,99i 0,05 j) m/s. a B 45. Kuormaa K on nostettava 10 m kuvan esittämällä systeemillä. Hammaspyörä A lähtee levosta tasaisesti kiihtyvään rotaatioon saavuttaen 5 sekunnissa kulmanopeuden 5 1/s, minkä jälkeen se pyörii tällä nopeudella. Laske a) A:n tekemien kierrosten lukumäärä noston aikana, b) nostoaika. Vastaus: a) 31,8; b) 18,4 s. 46. Kuvan ympyrälevyn kulmakiihtyvyys α (. t e t / T ) = α o Levyn säde on 0, m ja se lähtee liikkeelle levosta, kun t = 0 s. Vakiot o = 10 1/s ja T = 1 s. Laske pisteen B kiihtyvyyden suuruus, kun a) t = 0 s, b) t = 1 s, c) t =. Vastaus: a) m/s ; b) 8,03 m/s ; 0 m/s.

12 Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Pieni kappale (partikkeli) on vaakasuoralla ympyrälevyllä, joka pyörii pystysuoran akselin ympäri. Kitka riittää pitämään kappaleen paikallaan levyn suhteen. Levy lähtee liikkeelle levosta ja pyörii vakiokulmakiihtyvyydellä = 0,5 1/s. r = 0, m. Laske kappaleen B kiihtyvyyden suuruus, kun a) t = 0 s, b) t = 1 s. Vastaus: a) 0,1 m/s ; b) 0,11 m/s. 48. Sauva AB pyörii vastapäivään pisteen D ympäri. Kuvan esittämällä hetkellä pisteen A kiihtyvyys a A = 8,6 m/s ja kulma = 67 o. a) Laske sauvan kulmanopeus ja pisteiden A ja B nopeudet. (B on sauvan oikea pää.) b) Laske sauvan kulmakiihtyvyys ja pisteen B kiihtyvyys. c) Onko sauva kiihtyvässä vai hidastuvassa liikkeessä? Vastaus: a) 11,5 1/s; v A = 0,69 m/s; v B = 1,01 m/s; b) 56 1/s ; a Bx = -11,6 m/s ; a By = -4,93 m/s. 49. Kiekot A ja B pyörittävät sekoitusrumpua C siten, että kosketuspisteissä ei tapahdu luistamista. Rummun kulmanopeus nostetaan tasaisesti arvosta 5 /6 1/s arvoon 9 /6 1/s ajassa t. Kun tiedetään, että rumpu tekee kiihdytysvaiheen aikana 1 pyörähdystä, niin laske kiekkojen A ja B kulmakiihtyvyys sekä aika t. Vastaus: 0,51 1/s ; 0,6 s.

13 Kinematiikka -13- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 Yleinen tasoliike 50. Auto kulkee oikealle vakiovauhdilla 0 m/s. Pyörän halkaisija on 56 cm. Laske pyörän kehällä olevien pisteiden B, C, D ja E nopeudet. Vastaus: v B = 40i m/s; v D = ( 37,3i + 10 j) m/s; = ( 0i 0 j) m/s. v E 51. Kuvan esittämällä hetkellä tangon AB pisteen A nopeus on 5 m/s alaspäin. L = m, = 50 o. Laske a) tangon kulmanopeus, b) pisteen B nopeus, c) tangon keskipisteen nopeus. Vastaus: a) 3,89 1/s; b) 5,96i m/s; c) (,98i,5 j) m/s. 5. Luisti B liikkuu ylöspäin nopeudella 1,8 m/s. Laske a) sauvan AB kulmanopeus, b) sauvan pään A nopeuden suuruus. Vastaus: a) 1,57 1/s vastapäivään; b) 1,70 m/s.

14 Kinematiikka -14- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Hammaspyörän keskipisteen A nopeus ja kiihtyvyys tunnetaan. Alempi kisko pysyy paikallaan, ylempi on liikkeessä. Laske a) hammaspyörän kulmanopeus sekä ylemmän kiskon ja pisteen D nopeus, b) kulmakiihtyvyys sekä pisteiden B, C ja D kiihtyvyydet. Vastaus: a) 8 1/s; v B = i m/s; v D = ( 1,i + 1, j) m/s; b) 0 1/s ; a B = ( 5i 6,4 j) m/s ; a C = 9, 6 j m/s ; a D = ( 1,6i + 3 j) m/s. 54. Langasta D vedetään alustan suuntaisesti siten, että v D = m/s ja a D = 3 m/s, molemmat oikealle. Rulla ei luista alustan suhteen. Laske sen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen nopeus ja kiihtyvyys. r = 1 cm, R = 3 cm. Vastaus: 100 1/s myötäpäivään; 150 1/s myötäpäivään; 3 m/s; 4,5 m/s. 55. Sauvan AB pisteet A ja B liikkuvat pitkin kuvan mukaisia tasoja. Tarkasteluhetkellä sauva on vaakasuorassa, pisteen A nopeus on m/s ja kiihtyvyys 3 m/s, molemmat alaspäin pitkin tasoa. Laske a) sauvan kulmanopeus, b) sauvan kulmakiihtyvyys. Vastaus: a) 0,83 1/s vastapäivään; b) 0,344 1/s vastapäivään.

15 Kinematiikka -15- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Sauvan AB pisteiden A ja B nopeudet ja kiihtyvyydet ovat eräällä hetkellä kuvan mukaiset. (Vaihdetaan yksikkö ft suoraan metreiksi: ft m, jne.) Laske a) sauvan kulmanopeus, b) sauvan kulmakiihtyvyys, c) keskipisteen C kiihtyvyys. Vastaus: a) 4 1/s myötäpäivään; b) 10,7 1/s myötäpäivään; c) ( 9i 4, j) m/s. 57. Sauvan AB päät liikkuvat pitkin kuvan mukaisia ohjauspintoja. Kuvan esittämällä hetkellä kulma = 30 o, kulmanopeus on 1,17 1/s myötäpäivään ja pisteen A kiihtyvyys 5 m/s oikealle. Laske sauvan kulmakiihtyvyys. Vastaus: 1,10 1/s.

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike Jos pudotat lyijykuulan aanpinnan läheisyydessä, sen vauhti kasvaa joka sekunti noin 9,8 etrillä sekunnissa kunnes törää aahan. Tai jos suoritat autolla lukkojarrutuksen kuivalla asvaltilla jostain kohtuullisesta

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin?

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin? Luokka 3 Tehtävä 1 Pieni punnus on kiinnitetty venymättömän langan ja kevyen jousen välityksellä tukevaan kannattimeen. Alkutilanteessa punnusta kannatellaan käsin, ja lanka riippuu löysänä kuvan mukaisesti.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään

Lisätiedot

33. Valimohiekkojen kuljetuslaitteet

33. Valimohiekkojen kuljetuslaitteet 33. Valimohiekkojen kuljetuslaitteet Raimo Keskinen Pekka Niemi - Tampereen ammattiopisto 33.1 Hihnakuljettimet Hihnakuljettimet ovat yleisimpiä valimohiekkojen siirtoon käytettävissä kuljetintyypeistä.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni.

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni. AVOIN SARJA Kirjoita tekstaten koepaperiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoitteesi, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 1 minuuttia. Sekä tehtävä- että koepaperit palautetaan kilpailun

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken Liikemäärä Henkilöauto törmää tukkirekkaan, miksi henkilöautossa olijat loukkaantuvat vakavasti, mutta rekan kuljettaja selviää yleensä aina vammoitta? Mihin suuntaan ja millä nopeudella rekka ja henkilöauto

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

2.11 Väliaineen vastus

2.11 Väliaineen vastus Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulivoimalatyypeistä: Miksi vaaka-akselinen, miksi kolme lapaa? Aerodynamiikkaa: Tuulivoimalan roottorin lapasuunnittelun

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot