Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike"

Transkriptio

1 Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin keskinopeus ja -kiihtyvyys aikavälillä 0 1 s, b) ajanhetki, jolloin partikkelin nopeus on nolla, c) partikkelin kulkema matka aikavälillä 0 1 s. Vastaus: a) 3 m/s; 4 m/s ; b) 3 s; c) 3 m.. Partikkelin asema (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 9t + 15t + 5. Nopeus v = 15 m/s, kun t = 0 s. Laske aika, kun nopeus on uudelleen 15 m/s. Mikä on asema kyseisellä ajanhetkellä ja kuinka pitkän matkan partikkeli on kulkenut? Vastaus: 6 s; 13 m; 46 m. 3. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 = t 6t 15t + 40 Laske a) aika t 1 > 0 s, jolloin nopeus on nolla, b) asema hetkellä t 1 ja matka, jonka partikkeli on kulkenut aikavälillä 0 t 1, c) kiihtyvyys, kun t = t 1, d) matka, jonka partikkeli kulkee ajassa 4 6 s. Vastaus: a) 5 s; b) 60 m; 100 m; c) 18 m/s d) 18 m. 4. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 9t + 15t Laske partikkelin asema ja kiihtyvyys hetkellä, jolloin nopeus on nolla. Vastaus: 5 m; 1 m/s ; ja 7 m; 1 m/s.

2 Kinematiikka -- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 = t 9t + 15t. Laske a) partikkelin suurin nopeus ja kiihtyvyys aikavälillä 0 10 s, b) kuinka pitkän matkan partikkeli kulkee samalla aikavälillä. Vastaus: a) 135 m/s; 4 m/s ; b) 314 m. 6. Suoraviivaisesti liikkuvan partikkelin asema on x ( = at + bt + 8. Vakion 8 yksikkö on m. a) Laske vakiot a ja b, kun tiedetään, että x = 0 m ja v = 100 m/s, kun t = s. Mitkä ovat a:n ja b:n yksiköt? b) Laske keskinopeus aikavälillä 1,5,5 s. c) Ovatko nopeus ja asema nollia jollakin hetkellä aikavälillä 1,5,5 s? Jos ovat, niin milloin? Vastaus: a) a = 5 m/s ; b = 108 m/s; b) 100 m/s; c) x = 0 m, kun t = s. 7. Pieni pallo liikkuu suoraviivaisesti vastustavassa väliaineessa. Sen kiihtyvyys on ajan funktiona (järjestelmä m, s) a = 6t. Alkunopeus on 7 m/s. Kuinka pitkän matkan pallo kulkee, ennen kuin pysähtyy? Vastaus: 54 m. 8. Partikkelin kiihtyvyys on muotoa (järjestelmä m, s) a = kt, missä k on vakio. Kun t = 0 s, partikkelin nopeus v = 9 m/s. Kun tiedetään että v = 0 m/s ja x = 1 m hetkellä t = 3 s, määritä partikkelin kiihtyvyys, nopeus ja asema ajan funktioina. 1 Vastaus: a( = t ; ( ) = t 3 v t 9 ; x ( = t 9t Auto lähtee liikkeelle levosta ja saavuttaa ajassa t 1 = 10 s nopeuden v 1 = 54 km/h. Oletetaan, että kiihtyvyys muuttuu lineaarisesti alkuarvosta a o nollaan. Johda lausekkeet a(, v( ja ja piirrä kuvaajat. Laske kiihtyvyyden alkuarvo a o sekä matka, jonka auto kulkee 10 sekunnissa Vastaus: a( = 3(1 ; v( = 3( t t ); = 3( t t ) ; a o = 3 m/s ; 100 m

3 Kinematiikka -3- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Minkä loppunopeuden edellisen tehtävän auto saavuttaa, jos sen kiihtyvyys muuttuu alkuarvosta a o = 3 m/s nollaan kosinimuotoisesti kuvan mukaan? Kuinka pitkän matkan auto kulkee ajassa t 1 = 10 s? Johda lausekkeet v( ja ja piirrä niiden kuvaajat. 60 π 100 π Vastaus: 68,8 km/h; 1m; v( = sin( ; = 1 cos( t ) 0. π π Pallo heitetään kohtisuoraan ylöspäin 0 m korkean tornin huipulta. Alkunopeus on 1 m/s. Pallon kiihtyvyys on vakio 9,81 m/s alaspäin. Laske a) pallon nopeus v ja asema x ajan funktioina, b) pallon saavuttama suurin korkeus ja vastaava aika t, c) aika, jolloin pallo putoaa maahan ja vastaava nopeus. Vastaus: b) 7,3 m; 1, s; c) 3,6 s; 3, m/s. 1. Tulevaisuuden tyhjiökäyttöinen suurnopeusjuna kulkee putkessa asemien A ja B välillä. Asemien välimatka on 10 km. Jos kiihtyvyys ja hidastuvuus saavat olla korkeintaan 0,6g ja nopeus korkeintaan 400 km/h, määritä lyhin aika, jolla juna kulkee asemien välin. Vastaus: 108,9 s. 13. Paikallaan olevasta poliisin tutka-autosta havaitaan ohittavan auton ajavan ylinopeutta 110 km/h. Poliisiauto aloittaa takaa-ajon 30 s kuluttua ja kiihdyttää 0 sekunnissa nopeuteen 160 km/h. Kun oletetaan, että molemmat autot säilyttävät nopeutensa, niin kuinka kaukana havaintopisteestä takaa-ajo päättyy? Vastaus: 3,91 km. 14. Autoilija ajaa vauhdilla 13,9 m/s, kun hän huomaa 50 metrin päässä edessään olevien liikennevalojen muuttuvan punaisiksi. Hän tietää kokemuksesta, että 5 sekunnin kuluttua ne muuttuvat jälleen vihreiksi. Mitä autoilijan tulisi tehdä, jotta hän ohittaisi liikennevalot nopeudella 13,9 m/s juuri, kun ne muuttuvat vihreiksi? Auton hidastuvuuden ja kiihtyvyyden tulee olla mahdollisimman pieniä. Määritä tämä hidastuvuuden ja kiihtyvyyden arvo sekä auton pienin vauhti. Vastaus: 0,64 m/s ; 6,1 m/s

4 Kinematiikka -4- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Metrojuna lähtee asemalta A, sen kiihtyvyys on 6 s ajan 1 m/s. Tämän jälkeen kiihtyvyys pysyy arvossa 1,5 m/s, kunnes juna on saavuttanut nopeuden 1 m/s. Juna säilyttää vakionopeuden, kunnes se lähestyy asemaa B, jolloin se jarruttaa tasaisesti pysähtyen 6 s aikana. Matka asemalta A asemalle B kestää 40 s. Piirrä kuvaajat a( ja v( ja laske asemien välinen etäisyys. Vastaus: 378 m. 16. Traktori ajaa tiellä vakionopeudella v 1 = 18 km/h. Takaa tulevan auton (v = 108 km/h) täytyy jarruttaa vastaantulijoiden vuoksi. Kuinka suuri hidastuvuus vähintään tarvitaan, jotta auto ei törmäisi traktoriin, kun jarrutuksen alkaessa välimatka on 100 m? Missä ajassa ja kuinka pitkällä matkalla auto saa traktorin kiinni? Piirrä kuvaajat ja v(. Vastaus: 3,1 m/s ; 8 s; 140 m. Käyräviivainen liike 17. Partikkelin liikkeen määrittelevät yhtälöt (järjestelmä m, s) = t t y( = ( t 1) Laske a) nopeus ja kiihtyvyys, b) pienin vauhti v ja aika, jolloin se saavutetaan. Vastaus: b) 1,79 m/s; 1,8 s. 4( t 1) 18. Tasoliikkeessä olevan partikkelin aseman koordinaatit ajan funktiona ovat (järjestelmä m, s) = 1 t y( = t a) Määritä kiihtyvyyden komponentit a x ja a y. b) Johda partikkelin radan yhtälö muodossa y = y(x) ja piirrä sen kuvaaja. Vastaus: b) y = ( 1 x). 19. Partikkeli liikkuu tasossa siten, että sen asema ajan funktiona on (järjestelmä m, s) = 8t y( = t Aika t 0 s. a) Laske, milloin vauhti v = 55 m/s. b) Johda partikkelin radan yhtälö muodossa y = y(x) ja piirrä sen kuvaaja. 3/ 1 Vastaus: a) 3,0 s; b) y = x

5 Kinematiikka -5- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Partikkelin radan määrittelevät yhtälöt (järjestelmä mm, s) 1 = 10sin( π y( = 40t Laske partikkelin nopeus ja kiihtyvyys, kun a) t = 1 s, b) t = s. Vastaus: a) v = 80 j mm/s; a = ( 96i + 80 j) mm/s ; b) v = ( 188i j) mm/s; a = 80 j mm/s. 1. Värähdysliikkeessä olevan partikkelin asema riippuu ajasta yhtälöiden = 4sin( π y( = cos(π mukaisesti (järjestelmä cm, s). a) Laske nopeus ja kiihtyvyys, kun t = 1 s. b) Osoita, että partikkelin rata on osa paraabelia ja piirrä ratakäyrä. Vastaus: a) v = 4πi cm/s; a = 4π j cm/s.. Partikkelin rata on (järjestelmä m, s) = 3t y( = 18t t 3 Mitkä ovat sen vauhdin ääriarvot ja milloin ne esiintyvät? Osoita, että tällöin kiihtyvyysvektori on kohtisuorassa rataa vastaan. Vastaus: v max = 18 m/s, t = 0 s; v min = 13,4 m/s, t = s. 3. Mikä pitää vähintään olla moottoripyörän vauhdin pisteessä A, jotta pyörä ylittäisi aukon? Vastaus: 8,63 m/s.

6 Kinematiikka -6- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Moottorikelkan vauhti pisteessä A on 10 m/s. Laske a) kuinka kauan kelkka on ilmassa, b) mikä on etäisyys R, c) vauhti, kun kelkka osuu maahan. Vastaus: a),48 s; b) 19,0 m; c) 19,5 m/s. 5. Painepesurilla suihkutetaan vettä pitkän viemäriputken pesemiseksi. Jos vesisuihkun alkunopeus on 11,5 m/s, määritä a) etäisyys d pisteeseen B putken yläosassa, johon saakka pesu voidaan tehdä pisteestä A, b) vastaava kulma α. Vastaus: a) 4,98 m; b) 3,8. 6. Partikkeli liikkuu siten, että sen kiihtyvyyden komponentit ovat (järjestelmä m, s) a a x y = 6t Määritä partikkelin asema hetkellä t = 10 s, kun tiedetään, että partikkeli on hetkellä t = 0 s lähdössä origosta suuntaan 50 o positiivisesta x-akselista nopeudella 10 m/s. Vastaus: x = 1064 m; y = 6,6 m. = 1 7. xy-tasossa liikkuvan partikkelin nopeus (järjestelmä m, s) v = 8π sin(π i + 5π cos(π j. Laske partikkelin kiihtyvyys ja johda sen radan yhtälö. Hetkellä t = 0 s, partikkelin asema r = 8i m. Vastaus: x 1 y a = 16π cos(πt ) i 10π sin(πt ) j ; + = 1. 4,5

7 Kinematiikka -7- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Tappi A, joka on kiinnitetty tankoon AB, kulkee ympyränmuotoisessa hahlossa CD. Hetkellä t = 0 s tappi lähtee levosta siten, että sen vauhti kasvaa tasaisesti 0 mm/s. Määritä kokonaiskiihtyvyyden arvo hetkellä a) t = 0, b) t = s. Vastaus: a) 0 mm/s ; b) 6,8 mm/s. 9. Eräällä hetkellä erään mekanismin pisteen A vauhti on 5 m/s ja tangentiaalinen kiihtyvyys m/s. Jos kiihtyvyyden suuruus on 3 m/s, mikä on radan kaarevuussäde kyseisellä hetkellä? Vastaus: 11, m. 30. Kuvassa on esitetty nokka-akselin tehonsiirtojärjestelmä. Kun moottoria kiihdytetään, hihnan nopeus v muuttuu tasaisesti arvosta 3 m/s arvoon 6 m/s kahden sekunnin aikana. Laske pisteiden P 1 ja P kiihtyvyydet kyseisen aikajakson puolivälissä. Vastaus: 338 m/s ; 1,5 m/s.

8 Kinematiikka -8- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Partikkeli P kulkee pitkin ympyrärataa, jonka säde on 5 m, vakiovauhdilla 10 m/s. Kun partikkeli on kuvan asemassa, mitkä ovat sen nopeus- ja kiihtyvyysvektorit xykoordinaatistossa? Vastaus: v = ( 8,66i + 5 j) m / s ; a = ( 10i + 17,3 j) m/ s. 3. Ympyrärataa (R = 4 m) kulkevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 s( = t 4t + 8t. Laske kiihtyvyyden suuruus hetkellä, jolloin a t = 4 m/s. Vastaus: 4 m/s. 33. Juna kulkee vauhdilla 90 km/h radan osaa, joka on 1 km -säteisen ympyrän kaaren muotoinen. Junaa aletaan jarruttaa, jolloin sen vauhti pienenee tasaisesti 6 sekunnissa arvoon 60 km/h. Laske junan kiihtyvyyden suuruus jarrutusvaiheen alussa. Vastaus: 1,5 m/s. 34. Partikkeli liikkuu vakiovauhdilla 1 m/s pitkin paraabelia, jonka huippu on origossa ja joka aukeaa ylöspäin kulkien pisteen x = 1m, y = 1 m kautta. Määritä partikkelin kiihtyvyys paraabelin huipussa. Vastaus: a = j m/s. 35. Partikkeli liikkuu käyräviivaisella radalla siten, että kaarenpituus 3 s ( = ct. Vakio c = 1 m/s 3. Ajanhetkellä t = s kiihtyvyyden suuruus a = 15 m/s. Mikä on samalla hetkellä radan kaarevuussäde? Vastaus: 16 m. 36. Partikkeli kulkee vastapäivään pitkin ympyrää (säde 4 m) siten, että pisteestä A mitattu kaarenpituus (järjestelmä m, s)

9 Kinematiikka -9- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 s ( = t Laske ajanhetkellä t = 1 s a) kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit a t ja a n, b) kiihtyvyyden x- ja y-komponentit a x ja a y. Vastaus: a) 6 m/s ;,5 m/s ; b) 6,6 m/s ; 1,35 m/s. 37. Tasoliikkeessä olevan partikkelin asema ajan funktiona on (järjestelmä m, s) = 4t y( = t 3 Laske ajanhetkellä t = s a) vauhti v, b) kiihtyvyyden normaali- ja tangentiaalikomponentit a n ja a t. Vastaus: a) 8,8 m/s; b) 6,66 m/s ; 4,4 m/s. 38. Ympyrärataa kulkevan partikkelin kulma-asema on (järjestelmä m, s) φ ( = 0,3t (1 t ). Laske partikkelin kulma-asema, kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys, kun a) t = 0 s, b) t = 3 s. Vastaus: a) 0; 3,6 1/s; 0 1/s ; b),7 ; 4,5 1/s; 5,4 1/s. 39. Ympyrän kehää (r = m) pitkin myötäpäivään liikkuvan partikkelin vauhti lisääntyy tasaisesti sekunnissa arvosta 3 m/s arvoon 5 m/s. Paljonko lisääntyy a) partikkelin kiihtyvyyden suuruus, b) kulmanopeus? c) Mikä on kulmakiihtyvyys? d) Kuinka pitkän matkan ja millaisen kulman partikkeli kulkee? Vastaus: a) 7,94 m/s ; b) 1 1/s; c) 0,5 1/s ; d) 8 m; 9 o.

10 Kinematiikka -10- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 JÄYKKÄ KAPPALE Translaatio 40. Translaatiossa olevan jäykän kappaleen pisteiden A, B ja C kiihtyvyyksien komponenteista tunnetaan seuraavat: a Ax = m/s, a By = 5 m/s, a Cz = 0 m/s. Kiihtyvyydet ovat vakioita. Hetkellä t = 0 s mitataan seuraavat nopeuskomponentit: v Ax = 30 m/s, v By = 45 m/s ja lisäksi tiedetään, että v Cz on positiivinen ja kappaleen vauhti on 105 m/s. Laske kappaleen nopeus, kun t = s. Vastaus: ( 34i + 55 j + 90k ) m/s. Rotaatio 41. Kun sähkömoottorin virta kytketään, moottori saavuttaa vakiopyörimisnopeuden 3300 rpm 6 sekunnissa ja kun virta katkaistaan, moottori pysähtyy 80 sekunnin kuluttua. Jos oletetaan tasainen kiihtyvyys, määritä kuinka monta kierrosta moottori pyörii a) käynnistettäessä ennen vakionopeuden saavuttamista, b) virran katkaisemisen jälkeen. Vastaus: a) 165; b) 00 kierrosta. 4. Pieniä koneenosia kuljetetaan liukuhihnalla, joka kulkee liukumatta kuvan rummun yli. Rummun säde on 150 mm (korvaa kuvan tuumamitan). Kuvan hetkellä pisteen A nopeus on 380 mm/s vasemmalle ja kiihtyvyys 5 mm/s oikealle. Määritä a) rummun kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys, b) koneenosan kokonaiskiihtyvyys pisteessä B. Vastaus: a),53 1/s vastapäivään; 1,5 1/s myötäpäivään; b) 989 mm/s. 43. Edellisen tehtävän rummun kulmanopeus kuvan hetkellä on 4,0 1/s myötäpäivään. Määritä rummun kulmakiihtyvyys, jolla pisteessä B olevan koneenosan kokonaiskiihtyvyys on 3,05 m/s. Vastaus: ±1,5 1/s.

11 Kinematiikka -11- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Keskipisteestään laakeroitu kiekko lähtee levosta tasaisesti kiihtyvään pyörimisliikkeeseen. 15 sekunnin kuluttua kiekon pyörimisnopeus on 80 rpm. Laske nopeus ja kiihtyvyys xykoordinaatistossa kohdissa A ja B 1 sekunnin kuluttua liikkeen alkamisesta. Vastaus: v A = 0, 0 j m/s; a A = ( 0,38i 0,0 j) m/s ; v B = ( 0,i + 0,39 j) m/s; = ( 0,99i 0,05 j) m/s. a B 45. Kuormaa K on nostettava 10 m kuvan esittämällä systeemillä. Hammaspyörä A lähtee levosta tasaisesti kiihtyvään rotaatioon saavuttaen 5 sekunnissa kulmanopeuden 5 1/s, minkä jälkeen se pyörii tällä nopeudella. Laske a) A:n tekemien kierrosten lukumäärä noston aikana, b) nostoaika. Vastaus: a) 31,8; b) 18,4 s. 46. Kuvan ympyrälevyn kulmakiihtyvyys α (. t e t / T ) = α o Levyn säde on 0, m ja se lähtee liikkeelle levosta, kun t = 0 s. Vakiot o = 10 1/s ja T = 1 s. Laske pisteen B kiihtyvyyden suuruus, kun a) t = 0 s, b) t = 1 s, c) t =. Vastaus: a) m/s ; b) 8,03 m/s ; 0 m/s.

12 Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Pieni kappale (partikkeli) on vaakasuoralla ympyrälevyllä, joka pyörii pystysuoran akselin ympäri. Kitka riittää pitämään kappaleen paikallaan levyn suhteen. Levy lähtee liikkeelle levosta ja pyörii vakiokulmakiihtyvyydellä = 0,5 1/s. r = 0, m. Laske kappaleen B kiihtyvyyden suuruus, kun a) t = 0 s, b) t = 1 s. Vastaus: a) 0,1 m/s ; b) 0,11 m/s. 48. Sauva AB pyörii vastapäivään pisteen D ympäri. Kuvan esittämällä hetkellä pisteen A kiihtyvyys a A = 8,6 m/s ja kulma = 67 o. a) Laske sauvan kulmanopeus ja pisteiden A ja B nopeudet. (B on sauvan oikea pää.) b) Laske sauvan kulmakiihtyvyys ja pisteen B kiihtyvyys. c) Onko sauva kiihtyvässä vai hidastuvassa liikkeessä? Vastaus: a) 11,5 1/s; v A = 0,69 m/s; v B = 1,01 m/s; b) 56 1/s ; a Bx = -11,6 m/s ; a By = -4,93 m/s. 49. Kiekot A ja B pyörittävät sekoitusrumpua C siten, että kosketuspisteissä ei tapahdu luistamista. Rummun kulmanopeus nostetaan tasaisesti arvosta 5 /6 1/s arvoon 9 /6 1/s ajassa t. Kun tiedetään, että rumpu tekee kiihdytysvaiheen aikana 1 pyörähdystä, niin laske kiekkojen A ja B kulmakiihtyvyys sekä aika t. Vastaus: 0,51 1/s ; 0,6 s.

13 Kinematiikka -13- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 Yleinen tasoliike 50. Auto kulkee oikealle vakiovauhdilla 0 m/s. Pyörän halkaisija on 56 cm. Laske pyörän kehällä olevien pisteiden B, C, D ja E nopeudet. Vastaus: v B = 40i m/s; v D = ( 37,3i + 10 j) m/s; = ( 0i 0 j) m/s. v E 51. Kuvan esittämällä hetkellä tangon AB pisteen A nopeus on 5 m/s alaspäin. L = m, = 50 o. Laske a) tangon kulmanopeus, b) pisteen B nopeus, c) tangon keskipisteen nopeus. Vastaus: a) 3,89 1/s; b) 5,96i m/s; c) (,98i,5 j) m/s. 5. Luisti B liikkuu ylöspäin nopeudella 1,8 m/s. Laske a) sauvan AB kulmanopeus, b) sauvan pään A nopeuden suuruus. Vastaus: a) 1,57 1/s vastapäivään; b) 1,70 m/s.

14 Kinematiikka -14- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Hammaspyörän keskipisteen A nopeus ja kiihtyvyys tunnetaan. Alempi kisko pysyy paikallaan, ylempi on liikkeessä. Laske a) hammaspyörän kulmanopeus sekä ylemmän kiskon ja pisteen D nopeus, b) kulmakiihtyvyys sekä pisteiden B, C ja D kiihtyvyydet. Vastaus: a) 8 1/s; v B = i m/s; v D = ( 1,i + 1, j) m/s; b) 0 1/s ; a B = ( 5i 6,4 j) m/s ; a C = 9, 6 j m/s ; a D = ( 1,6i + 3 j) m/s. 54. Langasta D vedetään alustan suuntaisesti siten, että v D = m/s ja a D = 3 m/s, molemmat oikealle. Rulla ei luista alustan suhteen. Laske sen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen nopeus ja kiihtyvyys. r = 1 cm, R = 3 cm. Vastaus: 100 1/s myötäpäivään; 150 1/s myötäpäivään; 3 m/s; 4,5 m/s. 55. Sauvan AB pisteet A ja B liikkuvat pitkin kuvan mukaisia tasoja. Tarkasteluhetkellä sauva on vaakasuorassa, pisteen A nopeus on m/s ja kiihtyvyys 3 m/s, molemmat alaspäin pitkin tasoa. Laske a) sauvan kulmanopeus, b) sauvan kulmakiihtyvyys. Vastaus: a) 0,83 1/s vastapäivään; b) 0,344 1/s vastapäivään.

15 Kinematiikka -15- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät Sauvan AB pisteiden A ja B nopeudet ja kiihtyvyydet ovat eräällä hetkellä kuvan mukaiset. (Vaihdetaan yksikkö ft suoraan metreiksi: ft m, jne.) Laske a) sauvan kulmanopeus, b) sauvan kulmakiihtyvyys, c) keskipisteen C kiihtyvyys. Vastaus: a) 4 1/s myötäpäivään; b) 10,7 1/s myötäpäivään; c) ( 9i 4, j) m/s. 57. Sauvan AB päät liikkuvat pitkin kuvan mukaisia ohjauspintoja. Kuvan esittämällä hetkellä kulma = 30 o, kulmanopeus on 1,17 1/s myötäpäivään ja pisteen A kiihtyvyys 5 m/s oikealle. Laske sauvan kulmakiihtyvyys. Vastaus: 1,10 1/s.

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen)

Fysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen) 1. Ylöspäin liikkuvan hissin, jonka massa on 480 kg, nopeus riippuu ajasta oheisen kuvion mukaisesti. Laske kannatinvaijeria jännittävä voima liikkeen eri vaiheissa. (YO, S 84) 0-4s: 4,9 kn, 4..10s: 4,7

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike

1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike Jos pudotat lyijykuulan aanpinnan läheisyydessä, sen vauhti kasvaa joka sekunti noin 9,8 etrillä sekunnissa kunnes törää aahan. Tai jos suoritat autolla lukkojarrutuksen kuivalla asvaltilla jostain kohtuullisesta

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin?

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin? Luokka 3 Tehtävä 1 Pieni punnus on kiinnitetty venymättömän langan ja kevyen jousen välityksellä tukevaan kannattimeen. Alkutilanteessa punnusta kannatellaan käsin, ja lanka riippuu löysänä kuvan mukaisesti.

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot