- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen

Transkriptio

1 3 Dynamiikka 3.1 Voima (force) - Jos työnnät jotain kevyttä kappaletta, se alkaa liikkua - jos työnnät sitä kovemmin, se liikkuu nopeammin Kyseinen suure on voima - suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen - Antiikin filosofit: kaikki kappaleet pysyvät levossa, jos niihin ei vaikuta mikään voima - Itse asiassa kitka pysäyttää kaikenlaisten kappaleiden liikkeet - Planeettaliikkeessä ei ole kitkaa. Siksi tiedemiehet vasta luvulla pääsivät jyvälle dynamiikasta. 3.2 Newtonin 1. laki Tämän keksi jo Galileo Galilei ( ), mutta se tunnetaan Newtonin ( ) formuloimana lakina. Sille on esitetty hiukan erilaisia muotoja. Newtonin 1. laki tai Galilein periaate: Kappale pysyy levossa tai jatkaa tasaista suoraviivaista liikettään, ellei mikään voima vaikuta siihen Tällaisia kokeita voi tehdä pienikitkaisilla systeemeillä: - luistelija jäällä - ilmatyynyrata Jos kelkalle annetaan ilmatyynyradalla tietty nopeus, se pysyy hyvin lähellä vakiota - mutta kelkkaan vaikuttaa voima, painovoima 3.3 Dynamiikan perusperiaate ja Newtonin 2. laki Newtonin 2. laki: 1

2 - jos kappaleeseen vaikuttava voima on 0, kappaleen nopeus ei muutu - jos voima vaikuttaa kappaleeseen, sen nopeus kasvaa - jos suurempi voima vaikuttaa kappaleeseen, kappaleen nopeus kasvaa nopeammin Kappaleeseen vaikuttava vakiovoima aiheuttaa kappaleelle vakiokiihtyvyyden Voiman aiheuttama kiihtyvyys on suoraan verrannollinen voiman suuruuteen eli a F Massa (mass) Kappaleen ominaisuutta, joka liittyy käsitteeseen aineen määrä tai paljous, sanotaan massaksi Vakiovoiman aiheuttama kiihtyvyys kappaleelle on kääntäen verrannollinen sen massaan eli a 1 m Saamme Newtonin toisen lain a F m Jos sama voima vaikuttaa kahteen kappaleeseen, joilla on eri massat, ne kokevat erisuuruisen kiihtyvyyden m 1 m 2 = a 2 a 1 Massa on siten mitta siitä, miten kappale reagoi siihen aiheutettuun voimaan - massan eräs ominaisuus on hitaus Kappaleiden massoja voidaankin mitata mittaamalla vakiovoiman aiheuttamaa kiihtyvyyttä kappaleelle Liikemäärä (momentum) - tarkastellaan edelleen yksiulotteista tilannetta Kappaleen liikemäärä on kappaleen massan ja nopeuden tulo 2

3 p = mv jos liikemäärän lauseke derivoidaan ajan suhteen, saadaan dp dt = d(mv) dt = m dv dt = ma edellyttäen, että massa on vakio - Newtonin toinen laki voidaan siis esittää muodossa dp dt F Tämä pätee myös, jos massa muuttuu! Entä, jos hiukkaseen vaikuttaa kaksi voimaa (joko saman- tai vastakkaissuuntaisia) Tällöin a F 1+F 2 m = F ulk m Nyt voimien suunta, suuruus ja yksikkö täytyy ottaa huomioon. Jos voimien summa on hiukkanen tasapainossa ΣF = F ulk = 0, 3.4 SI-yksikköjärjestelmä Jotta edellisestä yhtälöstä saataisiin mitattavien suureiden välisiä relaatioita, kirjoitamme sen muotoon a = k F m, missä k on vakio. SI-systeemi 3

4 Kansainvälisesti on sovittu yksikköjärjestelmä, jossa on määritelty 7 yksikköä. Niistä kolmea tarvitaan mekaniikassa ja ne ovat: Sekunti on kertaa Caesium-133 -atomin perustilan kahden hyperhienotason väliseen siirtymään liittyvän säteilyn jaksonaika (1967) Metri on 1/ matkasta, jonka valo kulkee tyhjiössä (1983) Kilogramma on kansainvälisen kilogramman prototyypin massa (1889) Atomitasolla 12 C:n massaksi on määritelty 12 u, missä u = 1, (10) kg Jos mekaniikan perussuureet määritetään näin, määritellään voiman lausekkeessa k = 1, jolloin voiman yksiköksi saadaan [F ] = [m][a] = kg m s 2 = newton = N Vakiovoiman aiheuttama liike Eräs vakiovoima, joka on koko ajan ympärillämme, on Maan vetovoima, gravitaatiovoima Näin putoavat kappaleet saavat vakiokiihtyvyyden,vapaan kappaleen putoamiskiihtyvyyden g, jonka arvo on noin 9,81 m/s 2. Tämä riittää g :n likiarvoksi. Tarkoissa laskuissa g :n vaihtelut (mm. leveysasteriippuvuus) tulee ottaa huomioon Paino (weight) Gravitaation aiheuttamaa voimaa sanotaan kappaleen painoksi ja se on W = mg 3.5 Värähtelyliike (oscillatory motion) Värähdysliike on tapaus tilanteesta, jossa voima vaihtelee ajan mukaan 4

5 - kappale, joka värähtelee jousen päässä - kappale, joka heilahtelee heilurilangassa - kappale, joka heilahtelee kourussa Ilmanvastus (tai yleensä väliaineen vastus) on voima, jonka suuruus riippuu kappaleen nopeudesta Värähdysliikettä tapahtuu, jos hiukkanen poikkeutetaan tasapainoasemastaan ja siihen vaikuttava voima pyrkii palauttamaan sen takaisin tasapainoasemaan Värähtelyliikkeessä yksi tärkeä ominaisuus on jaksonaika (period) T. Se on aika, joka kestää yhden täyden värähdyksen Taajuus (frequency) f puolestaan on jaksonajan käänteisluku f = 1 T Toinen tärkeä ominaisuus on amplitudi, joka on maksimipoikkeama tasapainoasemasta värähdyksen aikana. Jousta venytettäessä palauttava voima on suoraan verrannollinen poikkeamaan (tunnetaan Hooken lakina). Tällöin F = kx, missä k on jousen jousivakio. 3.6 Harmoninen värähdysliike (simple harmonic motion, SHM) Esimerkiksi jousen tapauksessa kappaleeseen vaikuttava voima on aina tasapainoasemaa kohti Voima kasvaa lineaarisesti siirtymän suhteen F = kx Tällöin kiihtyvyys on a = d2 x dt 2 = ω2 x josta saamme harmonisen värähtelijän liikeyhtälön d 2 x + ω 2 x = 0, dt 2 missä ω on värähtelyn kulmanopeus (jousen tapauksessa ω 2 = k/m, missä m jousen päässä olevan kappaleen massa) 5

6 Jos haluamme löytää hiukkasen paikan, nopeuden ja kiihtyvyyden ajan funktiona, meidän täytyy ratkaista edellinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Sille löytyy ratkaisu esim. x = sin(t). Tällöin dx/dt = cos(t) ja d 2 x/dt 2 = sin(t) = x ja ω 2 = 1 Myös funktiot x = cos(t) sekä x = e ±it sekä x = sin(ωt), x = cos(ωt) sekä x = e ±iωt käyttäytyvät vastaavasti. Jos ratkaisu kerrotaan vakiolla, sekin on ratkaisu Yleinen ratkaisu harmoniselle värähtelijälle on missä A, ω ja ϕ ovat vakioita Derivoidaan lauseke t:n suhteen dx dt x = Asin(ωt + ϕ) = ωacos(ωt + ϕ) d 2 x dt 2 = ω2 Asin(ωt + ϕ) = ω 2 x Koska nopeus v on paikan derivaatta ajan suhteen ja kiihtyvyys paikan toinen derivaatta ajan suhteen saadaan x(t) = Asin(ωt + ϕ) v(t) = ωacos(ωt + ϕ) a(t) = ω 2 Asin(ωt + ϕ) Huom! Vaihekulman ϕ yksikön on oltava radiaania ja kulmanopeuden ω yksikön radiaania/s. Korotamme nopeuden toiseen potenssiin ja muokkaame tulosta v 2 = ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ) = ω 2 A 2 [1 sin 2 (ωt + ϕ)] = ω 2 A 2 ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ) = ω 2 A 2 ω 2 x 2 = ω 2 (A 2 x 2 ) 6

7 Saamme lausekkeen v(x) = ±ω A 2 x 2 Amplitudi A Siirtymän suurin arvo on A, sillä sini-funktio saa arvoja [1, 1]. A on värähtelyn amplitudi ja siirtymä saa arvoja [A, A] Nopeuden maksimiarvo on ωa ja nopeus saa arvoja [ωa, ωa] Kiihtyvyyden maksimiarvo on ω 2 A ja kiihtyvyys arvoja [ω 2 A, ω 2 A] Kulma ϕ on vaihevakio (phase constant) tai vaihekulma (phase angle). Hetkellä t = 0 siirtymä x on x(t) = Asin(ϕ) Jos värähtely lähtee paikasta x = 0, niin tällöin ϕ = 0. Usein valitaankin ϕ = 0, jolloin x(t) = Asin(ωt) Jaksonaika T Värähtelijän värähdellessä liike toistuu jaksonajan T välein, jolloin Asin[ω(t + T ) + ϕ] = Asin(ωt + ϕ) ja ωt = 2π T = 2π ω Lausekkeet toisin Jos siirtymässä vaihekulma on nolla, on x(t) = Asin(ωt) Nyt voidaan nopeuden lauseketta muuttaa hiukan ja saadaan v(t) = ωacos(ωt) = ωasin(ωt + π/2), joten v(t)-käyrä on π/2:n verran edellä x(t)-käyrää Kiihtyvyyden lauseke on a(t) = ω 2 Asin(ωt) = ω 2 Asin(ωt + π), eli a(t)-käyrä on π:n verran edellä (tai jäljessä) x(t)-käyrää 7

8 Harmoninen värähdysliike jousen tapauksessa Edellä mainittiin harmonisen värähtelijän liikeyhtälön yhteydessä, että vakio ω 2 liittyy jousen tapauksessa jousivakioon k siten että ω 2 = k/m. Miten tämä johdetaan? Koska jousen tapauksessa tasapainoa kohti palauttava voima on suoraan verrannollinen sekä jousivakioon k sekä etäisyyteen tasapainoasemasta r, saadaan F = kr. Miinus-merkki johtuu siitä, että voima on aina vastakkaissuuntainen poikkeamaan r nähden. Yksiulotteisessa tapauksessa tämä on F = kx. Tästä saadaan liikeyhtälö Newtonin toisen lain mukaan F = ma = m d2 x dt 2 = kx missä m on massattomaan jouseen ripustetun kappaleen massa josta edelleen d 2 x dt 2 + k m x = 0 x:n kerroin on ω 2 joten näin saadaan jousen kulmataajuudeksi k ω = m Näin jousen poikkeamaksi saadaan x = Asin(ωt + ϕ) tai ja värähdyksen jaksonajaksi x = Asin k m t + ϕ T = 2π ω = 2π m k 3.7 Mekaaninen työ ja energia sekä teho Liikkukoon m massainen hiukkanen pitkin x-akselia. Hiukkaseen vaikuttaa voima F = F (x), joka on paikan funktio. Siirtäköön voima F hiukkasta pisteestä x pisteeseen x + x. Tällöin voima F tekee työn W eli W = F ( x) 8

9 Kokonaistyö voiman siirtäessä hiukkasen pisteestä A pisteeseen B on siten W AB = B A F (x)dx Koska Newtonin II lain mukaan F (x) = ma = m dv dt W AB = B A F (x)dx = B A ma dx saamme työn muotoon Jos massa m on vakio saamme edelleen B W AB = m A B dv dt dx = m missä v A ja v B ovat nopeudet pisteissä x A ja x B. A dv dx dt dt dt =... = 1 2 m(v2 B va) 2 Siten voiman F tekemä työ sen siirtäessä hiukkasen pisteestä A pisteeseen B on W AB = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A Kineettinen energia, potentiaalienergia ja mekaanisen energian säilyminen Työksi W AB saatiin siis integraali W AB = B A F (x)dx = f(x B ) f(x A ) jolloin f(x B ) f(x A ) = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A Määritellään funktio U(x), jolle U(x) = f(x) Tällöin W AB = B A F (x)dx = U(x B ) + U(x A ) Näistä saadaan U(x B ) + U(x A ) = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A ja edelleen 1 2 mv2 A + U(x A ) = 1 2 mv2 B + U(x B ) 9

10 Koska pisteet A ja B ovat mielivaltaisia, säilyy lauseke 1 2 mv2 + U(x) vakiona koko liikkeen ajan. Lausekkeen ensimmäinen termi määritellään liike-energiaksi (kinetic energy) K ja se liittyy kappaleen massaan ja nopeuteen. Lausekkeen toinen termi määritellään potentiaalienergiaksi (potential energy) U(x) ja se liittyy kappaleen massaan ja paikkaan. Näin K = 1 2 mv2 ja E = K + U = vakio Tässä E on mekaaninen kokonaisenergia ja lauseke kuvaa mekaanisen kokonaisenergian säilymistä. Mekaaninen kokonaisenergia säilyminen on voimassa vain konservatiivisessa voimakentässä. Palaamme asiaan myöhemmin. Työn yksiköksi tulee SI järjestelmän mukaan [W] = [F][x] = Nm = J. Sama yksikkö on myös liike-energialla, potentiaalienergialla ja kokonaisenergialla. Potentiaalienergiafunktion määrittely Työn avulla potentiaalienergiafunktio U(x) määritellään erotuksena kahdessa paikassa. Näin potentiaalienergiafunktion nollakohta voidaan määritellä halutusti. Usein se määritellään kuitenkin sopivasti, esim U(x o ) = 0 kun F (x o ) = 0. Se voidaan kuitenkin määritellä toisinkin. Näin ollen Siten x x U(x) = x o F (x)dx = U(x) + U(x 0 ) x F (x)dx + U(x 0 ) = F (x)dx x o x o Hiukkasen potentiaalienergia pisteessä P on työ, joka tehdään siirtämällä hiukkanen nollapotentiaalienergiasta pisteeseen P. Kaksi esimerkkiä: 1) Potentiaalienergiafunktio vakiovoiman tapauksessa U(x) = F c (x x o ) 10

11 2) Jousen potentiaalienergiafunktio U(x) = 1 2 kx2 Potentiaalienergiafunktion laskeminen voimasta Jos potentiaalienergiafunktio tunnetaan, voidaan sen avulla laskea voima missä pisteessä tahansa. U F = lim x 0 x = du dx Katsotaan kuinka tämä toimii kahden edellisen esimerkin tapauksessa. Jos voima on konservatiivinen, voidaan potentiaalienergian U(x):n kuvaaja piirtää x :n funktiona. Tässä kuvassa kokonaisenergia E on vakio ja E:n ja U:n välinen osa on siten kineettistä energiaa K. - Potentiaalienergiafunktion ja kokonaisenergian leikkauspisteet ovat hiukkasen käännepisteitä - käännepisteiden ulkopuolella olevat alueet ovat kiellettyjä klassisessa mekaniikassa Tarkastellaan vielä muutamaa esimerkkiä: - hiukkanen 1-ulotteisessa laatikossa - vakiovoiman alaisuudessa liikkuva hiukkanen Teho Jos voiman tekemä mekaaninen työ W tehdään ajassa t, voidaan laskea teho P W P = lim t 0 t = dw dt Tehon yksikkö on [P] = [W]/[t] = Nm/s = J/s = W 3.8 Energia harmonisessa värähtelyliikkeessä Jousen tapauksessa harmonisen värähtelyliikkeen potentiaalienergia on U(x) = 1 2 kx2 missä k on jousivakio. Koska k = mω 2, on potentiaalienergia yleisesti U(x) = mω 2 x 2 11

12 Näin kokonaisenergia eli mekaaninen energia E on E = K + U = 1 2 mv kx2 Aikaisemmin saatiin nopeudelle lauseke v = ±ω A 2 x 2. Siten kokonaisenergiaksi E tulee E = 1 2 ka2 missä A on värähtelyn amplitudi. Tasapainossa potentiaalienergia on minimissä (tai nolla) joten kineettinen energia on maksimissaan. Amplitudin A päässä kineettinen energia on 0 ja potentiaalienergia maksimissaan. Potentiaalienergiakäyrän avulla on helppo piirtää voima F poikkeaman x:n funktiona. Yleisen potentiaalienergiakäyrän kuvaaminen Minkä tahansa potentiaalienergiakäyrän minimikohdan ympäristössä voidaan approksimoida seuraavaa: Olkoon potentiaalienergian minimi etäisyydellä a. Tällöin Taylorin sarjakehitelmäksi saadaan U(x) = U(a) + (x a) 1! du + dx x=a (x a)2 2! d 2 U dx 2 + x=a (x a)3 3! d 3 U dx x=a Koska olemme potentiaalienergiakäyrän minimissä, on ensimmäinen derivaatta = 0, joten kehitelmästä saadaan U(x) = U(a) + (x a)2 2! d 2 U dx 2 + x=a (x a)3 3! d 3 U dx x=a Jos vielä olemme lähellä minimiä, voimme jättää korkeamman asteen termit pienuutensa vuosi huomiotta ja saamme U(x) U(a) + (x a)2 2! d 2 U dx 2 x=a Joten voimme kirjoittaa 12

13 U(x) U(a) + k(x a) 2 missä k = 1 2 d 2 U dx 2 = vakio x=a Näin ollen hiukkasen värähtely tasapainoaseman välittömässä läheisyydessä on harmonista värähtelyä. Värähtelyliikkeen esitys vaiheavaruudessa Kokonais mekaaninen energia E harmoniselle värähtelijälle on siis E = 1 2 mv kx2 Otetaan nopeuden v sijasta käyttöön liikemäärä p = mv ja saadaan E = p2 2m kx2 Tämä voidaan muuttaa vielä muotoon x 2 2E k + p2 2mE = 1 Saimme ellipsin yhtälön, jossa ison akselin puolikas 2E a = k ja pienen akselin puolikas b = 2mE Toisaalta a = A ja b = mωa Nyt voimme piirtää värähdysliikkeen (x, p) koordinaatistoon. Saamme ellipsin. Tätä esitystä sanotaan vaiheavaruudeksi tai faasiavaruudeksi. Harmoninen värähdysliike muodostaa koordinaatistossa suljetun käyrän, jossa piste kiertää origoa myötäpäivään. 13

14 3.9 Vaimeneva harmoninen värähtely (Damped harmonic motion) Ideaalisessa värähtelijässä värähtelyn energia säilyy, reaalitilanteissa ei. Vaimeneminen johtuu lähinnä väliaineen vastuksesta, kitkasta. Tarvitsemme siis jonkin lisävoiman systeemiimme. - Vaimentava voima voi olla vakio kuten kitka: F = α - Se voi lineaarinen aerodynaaminen vaimentava voima: F = bv, missä b on vakio tai - Se voi olla neliöllinen aerodynaaminen vaimentava voima: F = βv 2, missä β on vakio Tarkastellaan keskimmäistä tapausta ja olkoon F d = bv missä F d on värähdystä vaimentava voima ja b on positiivinen vakio, vaimennusvakio Jousen tapauksessa vaimenevan värähtelijän liikeyhtälöksi saadaan F = kx bv = ma tai auki kirjoitettuna m d2 x dt 2 + bdx dt + kx = 0 Tämä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Yritämme ratkaista sitä yritteellä, joka johtaa harmonisen värähtelijän ratkaisuun, jos b 0 ja jonka amplitudi pienenee ajan mukana, vaikka b 0 x = e αt Asin(ωt + ϕ) missä ovat vakioita α, A, ω ja ϕ Derivoimalla saamme dx dt = d 2 x dt 2 = 14

15 Sijoittamalla saadaan... Käy itse vaihe vaiheelta läpi! Viimein saamme x:lle lausekkeen x = Ae b 2m t sin(ωt + ϕ) missä ω = k m b2 4m 2 Värähtelyissä erotetaan kolme erityyppistä värähtelyä: a) Alivaimeneva värähtelijä (underdamped oscillator) Ehto tällaiselle värähtelijälle on b 2 4m 2 < k m b) Kriittisesti vaimeneva värähtelijä (critically damped oscillator) Ehto on b 2 4m 2 = k m c) Ylivaimeneva värähtelijä (overdamped oscillator) Ehto tälle on b 2 4m 2 > k m Vaimeneva värähdysliike vaiheavaruudessa Vaimenevassa värähdysliikkeessa sekä siirtymä että liikemäärä pienenevät jatkuvasti. Vaiheavaruudessa käyrä lähtee jostain pisteestä (x, p) ja se spiraalin lailla lähenee ellipsin origoa. Origossa värähtelijä on levossa. 15

16 3.10 Värähtelyt, jossa pakkovoima on mukana Harmonisen värähtelijän voima on muotoa -kx, vaimentava voima muotoa -bx. Jos systeemiin lisätään pakkovoima, joka värähtelee sinimuotoisesti, saadaan liikeyhtälö F = kx bv + F0 cosω f t = ma eli ma + bv + kx = F 0 cosω f t merkitään kuten edellä α = b/2m ja ω 2 0 = k/m jolloin d 2 x dt 2 + 2αdx dt + ω2 0x = F 0 m cosω ft Värähtelijä saattaisi värähdellä pakkovoiman tahdissa, joten tehdään yrite x = Asin(ω f t ϕ) = A[sinω f t cosϕ cosω f t sinϕ] Derivoidaan tätä ja saadaan ẋ ja ẍ, jotka sijoitetaan liikeyhtälöön Käy itse läpi sijoitukset! sinω f t:n ja cosω f t:n kertoimiksi saadaan lausekkeet, jotka laitetaan nolliksi ja saadaan (ω 2 f ω 2 0)cosϕ + 2αω f sinϕ = 0 A[(ω 2 f ω 2 0)sinϕ + 2αω f cosϕ] = F 0 m Edellisestä saadaan ja jälkimmäisestä A = tanϕ = sinϕ cosϕ = ω2 f ω 2 0 2αω f F 0 /m cosϕ[(ω 2 f ω2 0)tanϕ + 2αω f ] 16

17 tämä sievenee vielä muotoon (harjoitustehtävä) A = F 0 /m (ω 2 f ω 2 0) 2 + 4α 2 ω 2 f Havaitaan, että värähtely ei ole vaimeneva, vaikka vaimennus kuluttaakin energiaa. Pakkovoima syöttää energiaa tarpeen mukaan. Jos amplitudi A piirretään ω f :n funktiona, saadaan käyrä, jonka maksimi on taajuudella ω r. Tällöin amplitudilausekkeen nimittäjällä on minimi ja tällöin tapahtuu resonanssi. ω 2 r = ω 2 0 2α 2 Jos vaimennusvakio b = 0, on α = amplitudi on ääretön. b = 0 ja tällöin ω 2m r = ω 0. Tällöin resonanssin ********************************************************************** Laajennus värähdysliikkeisiin Kahden harmonisen värähdysliikkeen summa, sama taajuus, sama suunta (Alonso-Finn: University physics) Oletetaan, että värähtelijöillä on sama taajuus. Tallöin voimme kirjoittaa kaksi lauseketta poikkeamalle tasapainoasemasta: x 1 = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) x 2 = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) missä ω on kummankin värähtelijän kulmataajuus sekä ϕ 1 ja ϕ 2 värähtelyjen vaihekulmat Näiden summa on x = x 1 + x 2 = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Tällaisen värähdysliikkeen ratkaisu on myös harmonista tyyppiä eli x = Asin(ωt + ϕ) jossa A = A A A 1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) (miksi?) 17

18 A on vakio ja A pyörii vakiokulmanopeudella ω a) Jos ϕ 1 = ϕ 2 A = A 1 + A 2 b) Jos ϕ 1 = ϕ 2 + π ja A 1 > A 2 ϕ 1 ϕ 2 = π ja A = A 1 A 2 c) Jos ϕ 1 ϕ 2 + nπ Mieti tulos. Ratkaisu superpositioperiaatteella Kahden harmonisen värähdysliikkeen summa, eri taajuudet, sama suunta Olkoon värähtelijöillä nyt eri taajuus ja olkoon ϕ 1 = ϕ 2 = 0. Tällöin x 1 = A 1 sin(ω 1 t) x 2 = A 2 sin(ω 2 t) missä ω 1 on ensimmäisen värähtelijän kulmataajuus ja ω 2 toisen värähtelijän kulmataajuus Näiden summa on x = A 1 sin(ω 1 t) + A 2 sin(ω 2 t) ja A = A A A 1 A 2 cos(ω 1 ω 2 )t Nyt A ei ole vakio Liike ei ole enää harmonista Tuloksena saadaan amplitudit A = A 1 + A 2 A = A 1 A 2 kun (ω 1 ω 2 )t = 2nπ kun (ω 1 ω 2 )t = 2nπ + π ja amplitudi vaihtelee näiden kahden arvon välillä Kun kulmataajuudet ovat lähellä toisiaan, havaitaan ilmiö nimeltä huojunta, jossa amplitudi värähtelee taajuudella ν ν = ω 1 ω 2 2π 18

19 Miten systeemi värähtelee, jos A 1 = A 2? A vaihtelee 0 2A Kytketty heilahtelu Olkoon meillä kahden seinän välissä systeemi: jousi (jousivakio k 1 ), hiukkanen (massa m 1 ), jousi (jousivakio k 0 ), hiukkanen (massa m 2 ), jousi (jousivakio k 2 ) Jos hiukkasen 1 siirtymä on x 1 ja hiukkasen 2 siirtymä on x 2 saadaan liikeyhtälöt kummallekin hiukkaselle m 1 a 1 = k 1 x 1 + k 0 (x 2 x 1 ) m 2 a 2 = k 2 x 2 k 0 (x 2 x 1 ) Koska a = d 2 x/dt 2, saadaan m 1 d 2 x 1 dt 2 = k 1 x 1 + k 0 (x 2 x 1 ) m 2 d 2 x 2 dt 2 = k 2 x 2 k 0 (x 2 x 1 ) Oletetaan hiukkasten massat yhtä suuriksi m 1 = m 2 = m ja reunimmaisten jousien jousivakiot yhtä suuriksi k 1 = k 2. Tällöin { mẍ1 + kx 1 k 0 x 2 = 0 mẍ 2 + kx 2 k 0 x 1 = 0 missä k = k 1 + k 0 = k 2 + k 0 Tehdään yrite yhtälöparin ratkaisemiseksi { x1 = A 1 sinωt + B 1 cosωt x 2 = A 2 sinωt + B 2 cosωt derivoidaan kahdesti ajan suhteen ja saadaan { ẍ1 = A 1 ω 2 sinωt B 1 ω 2 cosωt = ω 2 x 1 ẍ 2 = A 2 ω 2 sinωt B 2 ω 2 cosωt = ω 2 x 2 Sijoitetaan nämä liikeyhtälölausekkeisiin ja saadaan 19

20 { mω 2 x 1 + kx 1 k 0 x 2 = 0 mω 2 x 2 + kx 2 k 0 x 1 = 0 ja sievennetään hiukan (k mω 2 )x 1 k 0 x 2 = 0 k 0 x 1 + (k mω 2 )x 2 = 0 Triviaaliratkaisuksi saadaan x 1 = x 2 = 0. Muut ratkaisut saadaan lausekkeesta (k mω 2 ) k 0 k 0 (k mω 2 ) = 0 Determinantin arvolla 0 saadaan ratkaisu josta kaksi kulmataajuutta ω 2 = k ± k 0 m ω 1 = k k0 m = k1 m ω 2 = k+k0 = k1 +2k 0 m m Ratkaisut ovat tämän värähtelyn normaalimuotoja (engl. normal modes) Tarkastellaan kumpaakin hiukan. a) Jos ω = ω 1, saadaan ensimmäinen normaalimuoto, missä ω 2 1 = k 1 m k mω 2 1 = k m k 1 m = k 1 + k 0 k 1 = k 0 ja sijoittamalla lauseke aikaisempaan liikeyhtälöön { k0 x 1 k 0 x 2 = 0 k 0 x 1 + k 0 x 2 = 0 20

21 josta saadaan x 1 = x 2. Ratkaisu on siten muotoa { x1 = A 1 sinω 1 t + B 1 cosω 1 t = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) x 2 = x 1 = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) b) Jos ω = ω 2, saadaan toinen normaalimuoto, jossa ω 2 2 = k 1 + 2k 0 m k mω 2 2 = k m k 1 + 2k 0 m = k 0 ja sijoittamalla lauseke jälleen aikaisempaan liikeyhtälöön, saadaan { k0 x 1 k 0 x 2 = 0 k 0 x 1 k 0 x 2 = 0 eli saadaan x 2 = x 1. Entä miten tällainen värähtelijä liikkuu? Ratkaisu on siten muotoa { x1 = A 2 sinω 2 t + B 2 cosω 2 t = Bcos(ω 2 t + ϕ 2 ) x 2 = x 1 = Bcos(ω 2 t + ϕ 2 ) c) Yleinen ratkaisu on normaalimuotojen lineaarikombinaatio { x1 = Asin(ω 1 t + ϕ 1 ) + Bcos(ω 2 t + ϕ 2 ) x 2 = Asin(ω 1 t + ϕ 1 ) Bcos(ω 2 t + ϕ 2 ) eli saadaan kahden taajuuden, ω 1 ja ω 2 summa, joka havaitaan huojuntana Erikoistapauksessa, jossa A = B ja ϕ 1 = ϕ 2 saadaan x 1 = A(cosω 1 t + cosω 2 t) = [2Acos 1 2 (ω 1 ω 2 )t] cos 1 2 (ω 1 + ω 2 )t) x 2 = A(cosω 1 t cosω 2 t) = [2Asin 1 2 (ω 1 ω 2 )t] sin 1 2 (ω 1 + ω 2 )t) 21

22 Lausekkeissa hakasuluissa oleva termi on amplituditermi, joka siis värähtelee kulmataajuudella (ω 1 ω 2 )/2 Siten kun 1:n amplitudi on maksimissaan, on 2:n amplitudi nollassa ja päinvastoin. Energia siirtyy kappaleelta 1 kappaleelle 2 ja takaisin. Muuten värähtelijä värähtelee kahden värähtelyn keskiarvon taajuudella. 22