AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

Transkriptio

1 AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan Maailman koeajossa saatiin henkilöautolle oheisen kuvion mukainen nopeuden kuvaaja. a) Kuvaile, miten auton kiihtyvyys muuttuu nopeuden kasvaessa. b) Pohdi syitä, joiden vuoksi kiihtyvyys ei pysy vakiona. c) Määritä auton keskikiihtyvyys aikavälillä 3,0 s 13 s. d) Määritä auton lähtökiihtyvyys. e) Määritä auton kiihtyvyys hetkellä 7,0 s. f) Määritä auton kulkema matka kiihdytyksen aikana 0 s 15 s.

2 Auton voimakuvio ja kiihtyvyyslaskutehtävä Tehtävä 5 (~YO-K91-1). Autoa aletaan kiihdyttää levosta liukkaalla tiellä, jolloin 58 % painosta tulee vetäville pyörille. Renkaiden ja tien välinen lepokitkakerroin on 0,18. a) Piirrä kiihdyttävän auton voimakuvio. b) Laske auton maksimikiihtyvyys. c) Minkä vuoksi käytännössä on erittäin vaikea saavuttaa em. maksimikiihtyvyyttä? d) Miksi kiihtyvyys pienenee auton nopeuden kasvaessa, vaikka moottorin teho ei aseta rajoitusta? Vastaukset: 4. a) -- b) --- c) 1,9 m/s 2 d) 7,8 m/s 2 e) 2,3 m/s 2 f) 320 m. 5. a) -- b) 1,0 m/s 2 c) -- d)

3 Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan Maailman koeajossa saatiin henkilöautolle oheisen kuvion mukainen nopeuden kuvaaja. a) Kuvaile, miten auton kiihtyvyys muuttuu nopeuden kasvaessa. b) Pohdi syitä, joiden vuoksi kiihtyvyys ei pysy vakiona. c) Määritä auton keskikiihtyvyys aikavälillä 3,0 s 13 s. d) Määritä auton lähtökiihtyvyys. e) Määritä auton kiihtyvyys hetkellä 7,0 s. f) Määritä auton kulkema matka kiihdytyksen aikana 0 s 15 s.

4 Tehtävä 4. RATKAISU: a) Auton hetkellinen kiihtyvyys = on nopeuden kuvaajan tangentin fysikaalinen kulmakerroin. Se saadaan määritettyä nopeuden kuvaajasta piirtämällä kuvaajalle tarkastelukohtaan tangentti ja laskemalla tangentin fysikaalinen kulmakerroin (graafinen derivointi). Mitä jyrkempi kuvaaja on, sitä suurempi on kiihtyvyys. Kuvaajaa tarkastelemalla todetaan - aluksi kiihtyvyys on suurimmillaan ja lähes vakio (tasaisesti kiihtyvä liike), kun nopeus on alle 20 km/h - nopeuden kasvaessa (v > 20 km/h) kiihtyvyys pienenee - vaihtamiskohdissa kiihtyvyys on liikevastusten vuoksi hetkellisesti negatiivinen b) Kiihtyvyys pienenee pääasiassa kahdesta syystä: - maksimiteholla aikaansaatu voima pienenee nopeuden kasvaessa kaavan F = P/v mukaisesti. - ilmanvastus kasvaa nopeuden lisääntyessä Vakiokiihtyvyyden alueella (v 20 km/h) kiihdyttävänä voimana on tien renkaisiin kohdistama kitkavoima. Tällöin ei kaikkea tehoa pystytä hyödyntämään kiihdytyksessä. Tarkempi tarkastelu: - Autoa kiihdyttää vetävien pyörien ja tien välinen kitkavoima. Tämän voiman teho saadaan moottorin kehittämästä tehosta. Vierimisvastus ei juuri riipu auton nopeudesta, mutta ilmanvastus kasvaa suurilla nopeuksilla verrannollisena nopeuden neliöön (Fi ~ v 2 ), mikä vaikuttaa kiihtyvyyden pienenemiseen suurilla nopeuksilla. Energian säilymislain mukaan autoa kiihdyttävän kitkavoiman teho voi olla korkeintaan yhtä suuri kuin moottorin teho. Tehon, voiman ja nopeuden välillä on riippuvuus P = Fv, josta voima F = P/v. Toisaalta F = ma, joten saadaan yhtälö ma = P/v, josta auton kiihtyvyys =. Havaitaan, että tavallisilla henkilöautoilla kiihdyttävä voima ja maksimiteholla saavutettu kiihtyvyys pienenevät nopeuden kasvaessa. Poikkeuksena on lähtö, kun moottorin teho ensin nousee verrannollisena kierroslukuun, kunnes seuraava vaihde kytketään. Auton nopeus pienenee vaihteiden vaihtamisen aikana vastusvoimien johdosta, mikä havaitaan kuvaajassa pieninä pykälinä. - nopeuden kasvaessa ilmanvastus kasvaa niin, että se lopulta on yhtä suuri kuin autoon vaikuttava vetävien pyörien ja tien välinen kitkavoima. Tällöin kokonaisvoima on nolla ja auto on saavuttanut maksiminopeutensa.

5 - Jos kiihdyttävä voima ylittää suurimman mahdollisen kitkavoiman, vetävät pyörät alkavat luistaa ja kitkavoima pienenee. Kilpa-autoilla nopeuden kasvaessa saadaan ilmanohjaimilla aikaan ns. down force voima, joka painaa autoa lujemmin tien pintaa vasten. Tällöin suurin autoa kiihdyttävä kitkavoima kasvaa ja kiihtyvyys voi olla suurempi tietyllä nopeusalueella nopeuden lisääntyessä (Fotoni 4: Liikkeen lait, s. 18). c) Luetaan kuvaajalta ajanhetkiä 3,0 s ja 13 s vastaavat nopeuden arvot 45 km/h ja 115 km/h. Keskikiihtyvyys a k aikavälillä 3,0 s 13 s on = =, =,, =,, :, Huom. Keskinopeus on kuvaajalle ko. pisteisiin piirretyn sekantin fysikaalinen kulmakerroin.

6 d) Piirretään nopeuden kuvaajalle lähtökohtaan (t = 0 s) tangentti, jonka fysikaalinen kulmakerroin ilmaisee lähtökiihtyvyyden. Hetkellinen kiihtyvyys eli kiihtyvyys alussa hetkellä 0 s on kuvaajalle alkukohtaan 0 s piirretyn tangentin fysikaalinen kulmakerroin (tangenttitulkinta). Määritetään tangentin fysikaalinen kulmakerroin (graafinen derivointi). Otetaan tangentilta 2 pistettä, esim. pisteet (0 s; 0 km/h) ja (5,0 s; 140 km/h) ja lasketaan suoran fysikaalinen kulmakerroin, joka on kiihtyvyys. Kiihtyvyys alussa hetkellä 0 s on = = =,,,, :,.

7 e) Piirretään kuvaajalle tangentti kohtaan t = 7,0 s. Hetkellinen kiihtyvyys eli kiihtyvyys hetkellä 7,0 s on kuvaajalle kohtaan t = 7,0 s piirretyn tangentin fysikaalinen kulmakerroin (tangenttitulkinta). Määritetään tangentin fysikaalinen kulmakerroin (graafinen derivointi). Otetaan tangentilta 2 pistettä, esim. pisteet (0 s, 25 km/h) ja (14 s, 140 km/h) ja lasketaan suoran fysikaalinen kulmakerroin, joka on hetkellinen kiihtyvyys. Kiihtyvyys hetkellä 7,0 s on, = = =,,,, : ä,,.

8 f) Auton kulkema matka aikavälillä 0 s 15 s saadaan kuvaajan ja aika-akselin välisen alan fysikaalisena pinta-alana (graafinen integrointi). Koska pinta-ala ei ole kolmio eikä suorakulmio, niin fysikaalisen pinta-alan määrityksessä on käytettävä ns. ruutumenetelmää. RUUTUMENETELMÄ - määritetään yhtä ruutua vastaava matka: - lasketaan kokonaisten ruutujen ( ) lukumäärä: 106 kpl - osaruudut ( ) arvioidaan puolikkaiksi, osaruutujen lukumäärä: 19 kpl Auton kulkema matka aikavälillä 0 s 15 s on s = 106 2,78 m + 2,78 V: Auton kulkema matka s = 321 m 320 m.

9 Auton voimakuvio ja kiihtyvyyslaskutehtävä: Tehtävä 5 (~YO-K91-1). Autoa aletaan kiihdyttää levosta liukkaalla tiellä, jolloin 58 % painosta tulee vetäville pyörille. Renkaiden ja tien välinen lepokitkakerroin on 0,18. a) Piirrä kiihdyttävän auton voimakuvio. b) Laske auton maksimikiihtyvyys. c) Minkä vuoksi käytännössä on erittäin vaikea saavuttaa em. maksimikiihtyvyyttä? d) Miksi kiihtyvyys pienenee auton nopeuden kasvaessa, vaikka moottorin teho ei aseta rajoitusta? RATKAISU a) Kiihdyttävän auton voimakuvio - Huom! ei ole mitään moottorin kiihdyttävää voimaa! Kiihdyttävän auton tarkempi voimakuvio - piirrä voimat huolellisesti oikeissa mittasuhteissa! Autoon vaikuttavat voimat: = on auton paino(voima) ja tien pinnan renkaisiin kohdistamat tukivoimat on ilmanvastus on vierintävastus b) Lähtöhetkellä autoon vaikuttavat voimat ilmenevät kuviosta. Jätetään vierintävastus F ja ilmanvastus F huomioon ottamatta, koska tilannetta tarkastellaan alussa. Maksimikiihtyvyys saavutetaan, kun kiihdyttävä kitkavoima on täysin kehittynyt lepokitka (lepokitkan suurin arvo) eli lähtökitka. Kiihdyttävän auton liikeyhtälö on dynamiikan peruslain (NII) mukaan =. Vaakasuunnassa saadaan auton liikeyhtälöksi: Fµ = ma ja kitka(voima) Fµ = Fµ max = µon1, jossa etuvetoiselle autolle tien tukivoima N1 = 0,58G = 0,58mg. Kiihtyvyys = = =, =,=,,,, V: Auton maksimikiihtyvyys a 1,0 m/s 2. c) Edellä laskettu optimaalinen kiihdytys on hyvin vaikea toteuttaa normaaliautolla, koska pyörät alkavat helposti liukua, jolloin lepokitka muuttuu liikekitkaksi, joka on pienempi kuin täysin kehittynyt lepokitka. Todellisuudessa kiihtyvyys on laskettua pienempi myös vierimisvastuksen vuoksi. d) Nopeuden kasvaessa kiihtyvyys pienenee, koska autoon vaikuttaa ilmanvastus, joka kasvaa nopeuden kasvaessa. Ilmanvastus Fi on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön (Fi ~ v 2 ) suurilla nopeuksilla. Pienillä nopeuksilla Fi ~ v.