Lineaaristen järjestelmien teoriaa

Transkriptio

1 Lineaarisen järjeselmien eoriaa Saavueavuus, ohjaavuus Tarkkailavuus, havaiavuus Klassisen mekaniikan sabiilisuus vs. syseemiekninen sabiilisuusuus Tilaesimoini Kalman-suodin

2 Mielenkiinoisia kysymyksiä Onko syseemi rakeneelaan sellainen, eä siä voidaan hallia? => saavueavuus/ohjaavuus Tarviseeko syseemi eriyisä hallinaa? => sabiilisuus Mien siä halliaan? => sääöeoria/-ekniikka Mien halliaan parhaalla mahdollisella avalla? => opimisääö Miä syseemin sielunelämäsä voidaan sanoa? => arkkailavuus/havaiavuus Mien sielunelämää havaiaan? =>ilahavaiseminen Kalman-suodin

3 Ohjaavuuden ja saavueavuuden määrielmä Syseemin halliavuuden karakerisoini Syseemi ohjaava On olemassa ohjaus, jolla syseemi saadaan mielivalaisesa alkuilasa origoon äärellisessä ajassa Syseemi saavueava On olemassa ohjaus, jolla syseemi saadaan mielivalaisesa alkuilasa mihin ahansa ilaan äärellisessä ajassa Ohjaavuus ei akaa saavueavuua, mua saavueava järjeselmä on aina myös ohjaava

4 Saavueavuuden esaaminen Epälineaarisille syseemeille vaikeaa Lineaarise syseemi: Aikainvariani lineaarinen syseemi x& = Ax + Bu y = Cx + Du on saavueava, jos ja vain jos n x nm-mariisin Q c = [B AB A 2 B... A n-1 B] rangi on n n=dim x, m=dim u Rangi = lineaarisesi riippumaomien rivien/sarakkeiden lukumäärä Q c on ns. ohjaavuusmariisi Päee myös diskreeiaikaisille syseemeille

5 Saavueavuuden ulkina Tarkasellaan diskreeiaikaisa syseemiä x + 1 = Ax + Bu y = Cx + Oleeaan, eä alkuila x 0 anneu Du Tila ajanhekellä n n syseemin keraluku on un 1 n = + 1 n n k 1 n xn A x0 A Buk = A x0+ Qc M k= 0 u0 Jos ohjaavuusmariisin rangi on n, niin jokainen R n n :n vekori x voidaan esiää muodossa eli sopvivalla ohjausen valinnalla syseemi saadaan alkuilasaan x 0 haluuun ilaan xn Rakaisu ei ole yksikäsieinen, jos ohjauksia on enemmän kuin yksi x = A x 0 + Q c un 1 M u0

6 Tarkkailavuuden ja havaiavuuden määrielmä Voidaanko syseemin ila rekonsruoida ulosulosa? Järjeselmä arkkailava On mahdollisa määriää alkuila x 0 havainojen y, u, [ 0, 1 ] peruseella Syseemi on havaiava, jos sen ei-arkkailava ila ova sabiileja Tarkkailava syseemi on myös havaiava, mua ei oisinpäin!

7 Tarkkailavuuden esaaminen Epälineaarisille syseemeille ei yleisiä keinoja Lineaarise syseemi: Aikainvariani lineaarinen syseemi x& = Ax + Bu y = Cx + Du on arkkailava, jos ja vain jos n x pn-mariisin Q o = [C T A T C T A T 2 C T... A T n-1 C T ] rangi on n n=dim x, m=dim u, T on ransponoini Q o on ns. arkkailavuusmariisi Päee myös diskreeiaikaisille syseemeille

8 Tarkkailavuuden ulkina Tarkasellaan diskreeiaikaisa syseemiä x + 1 = Ax + Bu Oleeaan, eä u=0 ja eä ulosulo y0,y1,...,yn-1 n syseemin keraluku anneu Saadaan ulosulojen joukko y0=cx0, y1=cx1=cax0,, yn-1=cxn-1=ca n-1 x0 Mariisimuodossa y C M CA = Cx + n 1 x 0 Du y0 = M yn 1 Jos arkkailavuusmariisin rangi on n, niin yo. yhälö määrää x 0 :n anneuilla C, A ja y, eli alkuila x 0 voidaan määriää!

9 Sabiilisuudesa edelleen Klassisen mekaniikan sabiilisuuskäsiys; asapainosa häiriyn syseemin käyäyyminen syseemimariisin ominaisarvo / siirofunkion nava vasemmassa puoliasossa / yksikköympyrän sisäpuolella => asympooisesi sabiili syseemi ominaisarvoja / siirofunkion napoja imaginaariakselilla ei useampikeraisia / yksikköympyrällä ei useampikeraisia => sabiili syseemi Syseemiekninen sabiilisuus: rajoieu sisäänmeno saava aikaan rajoieuja ulosuloja piene muuokse sisäänmenoissa saava aikaan pieniä muuoksia ulosuloissa = sisäänmeno-ulosulo sabiilisuus = BIBO-sabiilisuus Bounded Inpu, Bounded Oupu

10 Yheys sabiilisuuksien välillä Syseemi asympooisesi sabiili => Syseemi sisäänmeno-ulosulo sabiili Syseemi sisäänmeno-ulosulo sabiili sekä saavueava ja arkkailava => Syseemi asympooisesi sabiili

11 Tilaesimoini ja ilaarkkailu Ongelma: määriä syseemin sisäinen ila ulosulon ja/ai syseemin mallin avulla Tilan miaaminen kallisa, mahdoona => konsruoidaan ilaarkkailija => esimaai ilalle käyö esim. ilaakaisinkykennässä Ongelmana prosessi- ja miauskohina => Kalman-suodin keino yhdisää opimaalisesi malli ja miaus

12 Tilaesimoinnin vaihoehdo 1. Daan peruseella 2. Mallin peruseella 3. Daan ja mallin peruseella Esimerkki: 0 1 x& = 5 2 x + y = [1 0] x 0 u 1 Mekaaninen järjeselmä, x 1 =paikka, x 2 =nopeus, ulosulona paikka. Mien voidaan laskea nopeus? 1. Derivoi paikkadaa kohina! 2. Syöä x 0 ja u järjeselmän malliin, kaso mien x 2 kehiyy unemaoma häiriö virheläheenä 3. Ennusa ila mallilla, korjaa ennusea paikkadaalla

13 Tilaesimaaori Tarkasellaan lineaarisa kohinaona syseemiä Syseemi x& = Ax + Bu y = Cx + Du v& = Fv + Gy + Hu z = Mv + Ny + Pu on yo. järjeselmän ilaesimaaori ai arkkailija, jos mielivalaisella alkuilalla x 0 on olemassa alkuila v 0 s.e. jos v 0 =v 0 niin z=x kaikilla > 0 ja kaikilla u avallisesi pyriään muodosamaan niin, eä ise v on ilan esimaai

14 Syseemi Täyden keraluvun arkkailija xˆ& on ed. järjeselmän äyden keraluvun arkkailija, jos ehdosa x ˆ seuraa kaikilla > 0 ja 0 = x x ˆ = x 0 kaikilla u Jos dimensio on pienempi, puhuaan redusoidun keraluvun arkkailijoisa Yo. arkkailija on em. syseemin arkkailija joss F=A-LC, G=L, H=B-LD L mielivalainen mariisi = Fxˆ + Gy + Hu, xˆ n R

15 Tällöin arkkailija on xˆ & = Axˆ + Bu +..arkkailija L y Cxˆ Viimeisä sulkulausekea kusuaan innovaaioksi miauksen ja mallin ulosulon erous Tarkkailijan suunnieluongelma: Valise L eli valise mien innovaaio huomioidaan Tilahavaisijan syseemimariisi on A-LC Du valisemalla L sopivasi saadaan ilahavaisijalle mielivalainen dynamiikka edellyäen eä syseemi on arkkailava

16 Esimerkki Tark. mekaanisa järjeselmää ja ilaarkkailijaa Valiaan L=[l 1 l 2 ] vaikka sien eä syseemimariisin A- LC ominaisarvo ova vaikka -5:ssä... => [l 1 l 2 ] =[8 4] 0] [ x y u x x = + = & ˆ ˆ ˆ Du Cx y L Bu Ax x + + = & ˆ ˆ y u x x + + = &

17 Kalman-suodin 1/2 Edellä on oleeu, eä syseemi ja miaukse ova kohinaomia Mien ila olisi esimoiava, kun syseemi on sokasinen? Tarkasellaan lineaarisa diskreeiaikaisa syseemiä missä x + 1 = y Ax + = Cx + e Bu + v Covv=R 1, Cove=R 2, v ja e valkoisa, keskenään riippumaona kohinaa v prosessikohina, e miauskohina Ny myös ila ymmärreään saunnaismuuujaksi

18 Kalman-suodin 2/2 Merkiään x^ -1 a-priori-esimaai ja x^ a-poseriori-esimaai ilalle hekellä Ongelma: Konsruoi miausen us,ys, s τavulla esimaai x^ s.e. esimoinivirheen kovarianssi E[x-x^ x-x^ T ] minimoiuu Käyännössä 1 A-priori-esimaai ilayhälösä 2 A-priori-esimaain päiviäminen a-poseriori-esimaaiksi a-priori-esimaain ja havaiun ulosulon miauksen avulla

19 Tilaesimaain ennusaminen ja päiviäminen Tilan a-priori-esimaai ennusus: x^ -1=Ax^-1-1+Bu-1 Todellisen ja esimoidun miauksen ero: y-cx^ -1 Tilan a-poseriori-esimaai päiviys: x^ =x^ -1+Ky-Cx^ -1 Esimoiu ulosulo y^=cx^ Ns. Kalman-vahvisus K määriää, kuinka paljon painoeaan miausa ja kuinka paljon esimaaia riippuu miauksen ja esimaain luoeavuudesa Kalman-vahvisus laskeaan ilan esimoinivirheen kovarianssin P avulla P:n laskennassa myös ennusus- ja päiviysvaihee

20 Kalman-suoimen kaava Tilan ennakoini x^ -1=Ax^-1-1+Bu-1 arviaan alkuarvo x0 0=x 0 Tilan esimoinivirheen kovarianssimariisin ennakoini P -1=AP-1-1A T +R 1 arviaan alkuarvo P0 0=P 0 Kalman-vahvisus K= P -1C T [CP -1C T +R 2 ] -1 Tilaesimaain päiviys x^ =x^ -1+Ky-Cx^ -1 Tilan esimoinivirheen kovarianssimariisin päiviys P =P -1-KCP -1 Näin oimimalla virheen kovarianssimariisi minimoiuu!!!!

21 Tulkina, käyänö Rekursiivinen algorimi viimeisin miaus riiää kovarianssimariisi säilyää laskennan kannala ärkeän informaaion Kalman-suodin yhdisää miausdaan ja mallin anaman informaaion niiden luoeavuuden suheessa luoeavuuden miareia kohinoiden kovarianssi skaalauna prosessi- ja ulosulodynamiikoilla suuri R 2 => pieni vahvisus Käyännössä arviaan prosessi- ja miauskohinan kovariansseille esimaai järkeily miaukse