järjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
|
|
- Emilia Heikkinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
2 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi signaalisi u 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
3 Disreettiaiaiset järjestelmät Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden suora rataiseminen. Impulssivasteen hödntäminen Tilamuuttujaesitsen muodostaminen 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
4 Ysinertainen esimeri Sisäänmeno u =, Aluehto - = Ulostulo =? 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
5 Lineaariset, vaioertoimiset differenssihtälöt b b b n n u n:nen ertaluvun vaioertoiminen, lineaarinen differenssihtälö. Jos sisäänmeno u =, htälö on homogeeninen, muutoin epähomogeeninen. Epähomogeenisen htälön rataisu on ahden osarataisun summa (h) ( h) ( p) rite = r arateristinen htälö (KY) 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
6 Karateristinen htälö (KY) r n b r... b n n. Ysinertainen reaalijuuri r i i C r i 2. m-ertainen reaalijuuri r i i C 2 ri C2 ri C3 ri... C m m r i 3. Komplesinen juuripari a±jb i C a jb C2 a jb 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
7 REVIEW QUESTION 3 Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälö 2 Miäli 5 = /6, ono vaio A) B) 2 C) 3 D) 4 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
8 Esimeri Veroa uvaa. ertaluvun differenssihtälöpari u 7u u 4 Mitä raja-arvoa sisäänmenon ja ulostulon suhde lähenee, un disreetti muuttuja rajatta asvaa, ts. lim u? 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
9 Epähomogeenisen htälön sitisrataisu Perustuu viime ädessä ritsen ja erehdsen menetelmään. Usein sitisrataisu samaa muotoa, uin epähomogeeninen termi. Epähomogeeninen osa Yrite, vaio ()= D, vaio, vaio () = D cos ( ), sin ( ) () = D cos ( ) + D 2 sin ( ) :n m:n asteen polnomi P() () = D m + D m- + + D m 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
10 Ennaotehtävä Oheisessa piirissä lähdejännite E = E muuttuu seunnin välein htälön 2 E + E = a+ muaisesti. Mitä rajaarvoa vastusen R 4 autta uleva virta lähenee, un disreetti muuttuja rajatta asvaa? R =.4, R 2 =, R 3 = 2, R 4 = 6. Aluarvo E = 2 V. DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
11 Esimeri Oheisessa piirissä lähdevirta J muuttuu seunnin välein htälön J.8 J.8J. 2 muaisesti. Määritä uormavastusen R L virta ajanhetellä 3 s, un R s = ja R L = 2. Lähdevirran aluarvot ovat J = 2 A ja J = A. DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
12 Esimeri Fissioreatiossa neutroni indusoituu 235 U:iin, jolloin snt 236 U, miä hajoaa bariumisi ja rptonisi. Joa :ssa reatiossa menetetään neutronia. Hallitsematon tilanne snt, miäli :nnen reation jäleen neutronien määrä on suurempi uin Ono tilanne hallittu? 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
13 Case - Fuusio 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
14 5 MW:n fuusioreatori ITER 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
15 Superconductivit No resistivit! = T < T c No magnetic B = in sc. induction! material Meissner effect 5 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
16 Kaupalliset suprajohteet LTS B NbTi Nb 3 Sn HTS T Bi-222 Bi-2223 YBCO J MTS Kriittiset suureet MgB 2 6 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen T c ~ K T c ~ 8 K T c ~ 85 K T c ~ K T c ~ 9 K T c ~ 4 K
17 NbTi-johtimen poiileiaus 7 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
18 Suprajohtavuuden energiasovellutuset Superconductivit & Energ Applications Enabling Technolog Replacing Technolog Pre - commercial stage SMES Fusion LTS technolog & HTS technolog Current limiter Flwheel Power transmission Transformer Mainl HTS technolog Electric machiner SMES LTS technolog 8 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
19 Suprajohtavuuden magneettisovelluset 9 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
20 Magnetic Resonance Imaging (MRI).5 T Superconducting magnets W at 4 K Non-magnetic regenerators >7 4 K crocoolers since 995 Cumulative number of MRI superconducting magnets sold Tumor 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
21 Disreetti siöimpulssi,, Kun järjestelmän sisäänmeno on { saadaan ssteemin ulostulosi ns. impulssivaste {h }. Mitä tahansa sisäänmenoa vastaten, ulostulo on määritettävissä seisen sisäänmenon ja impulssivasteen onvoluutiosummana. 2 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
22 Konvoluutiosumma Veron ulostulo Kun Jolloin siis j j j h u j h j u j j,, j j j h u jne h u h u h u h u h u h u Siis DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
23 Konvoluutiosumma - tauluomenetelmä Veron sisäänmeno on luujono {u } = {,, 3, 2} ja impulssivaste luujono {h } = {, 2, 2, 3, }. Määritä veron ulostulo. h / u h / u DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
24 Konvoluutio - tauluomenetelmä h /u ,3, 7,3,4,4,9, 2 24 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
25 Ennaotehtävä 2 Erästä emiallista tuotantoprosessia tarastellaan disreetein aiavälein. Prosessin ehittäjä ilmoittaa, että ssteemi on lineaarinen ja aiainvariantti. Mittauspötäirjasta ilmenee, että prosessin sisäänmeno {, -3, 2} on aiheuttanut ulostulon {, -, -4, 4}. Prosessin analsoija söttää järjestelmään uuden sisäänmenon {a+, b+, }, jossa a ja b ovat opiselijanumerosi toisesi viimeinen ja viimeinen numero. Palauta ennaotehtävän rataisuna edellä mainitusta sisäänmenosta seuraavan ulostuloluujonon {,, 2, 3 } alioiden summa. 25 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
26 REVIEW QUESTION 4 Lineaarista, aiainvarianttia disreettiaiaista veroa uvaa oheinen lohoaavio. Ono ssteemi esplisiittinen vai implisiittinen? Määritä veron impulssivaste ja sitä ättäen ulostulo, un sisäänmenona on luujono {, 2, 3, 2, 2}. 26 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
27 Impulssivasteen etsiminen Lähtöhtälö b... Yhtälön rataisu on h jos sisäänmeno u =. h b h... Kosa =, un >, impulssivaste h saadaan homogeenisen differenssihtälön rataisusta. b n b n h n n u Siis 2 h C C2... Cn i missä määrät arateristisen htälön juuresta. Kausaaliselle järjestelmälle h =, un <. Aluehdot h h jne. b b h h b b n n h h n n n b 27 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
28 Esimeri Määritä oheisen järjestelmän impulssivaste seä ssteemin ulostulo, miäli sisäänmeno on u 2, 28 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
29 Tilamuuttujaesits Veron ns. tilamuuttujien avulla ssteemin on uvattavissa ensimmäisen ertaluvun differenssihtälöillä. Veron stabiilisuussmset ja mahdolliset taaisintennät on hahmotettavissa tilamuuttujaesitsen avulla. 29 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
30 Tilamuuttujaesits (Cont.) x ( ) A x ( ) Bu ( ) ( ) C x ( ) Du ( ) 3 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
31 Esimeri Muodosta tilamuuttujaesits disreettiaiaiselle järjestelmälle, jota uvaa differenssihtälö 3u DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
32 Tilamuuttujaesitsen rataisu x ( ( ) ) A x ( ) B ( ) C x ( ) D u ( ) x ( ) A x () A m Bu ( m) m ( ) C A x () C A m Bu ( m) Du ( ) m 32 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
33 Stabiilisuus Tilamatriisin A ominaisarvot araterisoivat ssteemin stabiilisuutta. Ssteemi on ilman ohjausta stabiili, joss i Harjoitus: Verifioi llä esitett stabiilisuusehto. 33 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
34 Esimeri Muodosta oheista lohoaaviota uvaavan disreettiaiaisen järjestelmän tilamuuttujaesits. Ono ssteemi ilman ohjausta stabiili? Mitä raja-arvoa ssteemin ulostulo () lähest, un ja sisäänmeno u() = 3,. 34 DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
LisätiedotLuento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedotjärjestelmät Luku 1 Johdanto; termit ja käsitteet 1 DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Luu Johdanto; termit ja äsitteet DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen DEE-00 Lineaariset järjestelmät I+II periodi Luennot, Risto Mionen, SH 3 Harjoituset, Tiina
LisätiedotLuento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 Luento 1 - Recap Opintojakson rakenne ja tavoitteet Sähkötekniikan historiaa Sähköiset perussuureet Passiiviset piirikomponentit 2 Luento 2 - sisältö Passiiviset piirikomponentit
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
LisätiedotLuento 2. SMG-2100 Sähkötekniikka Risto Mikkonen
SMG-2100 Sähkötekniikka Luento 2 1 Sähköenergia ja -teho Hetkellinen teho p( t) u( t) i( t) Teho = työ aikayksikköä kohti; [p] = J/s =VC/s = VA = W (watti) Energian kulutus aikavälillä [0 T] W T 0 p( t)
LisätiedotPassiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite
Lisätiedot± r = 1e 2 2 ±
SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotLuento 2. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Vastus on komponentti, jossa sähköenergiaa muuttuu lämpöenergiaksi (esim. sähkökiuas, silitysrauta,
LisätiedotKun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli
Lisätiedotjärjestelmät Luento 8
DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
LisätiedotJärjestelmän kuvaus aikatasossa
Digitaalinen Signaalinäsittel T25 Luento 2-24.3.26 Jaro.Vuori@evte.fi Man cannot inherit the past; he has to recreate it Arthur Koestler, The act of creation, 964 Järjestelmän uvaus aiatasossa Differenssihtälö
LisätiedotJohdanto, suprajohtavat materiaalit. DEE Suprajohtavuus
DEE-54011 Suprajohtavuus Johdanto, suprajohtavat materiaalit 1 DEE-54011 Suprajohtavuus Risto Mikkonen The Role of Superconductivity for Power Sector 2 DEE-54011 Suprajohtavuus Risto Mikkonen Motivation
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Lisätiedotsähköverkossa Yksikön toiminta, suprajohtavat materiaalit Suprajohtavuus sähköverkossa Risto Mikkonen
DEE-54010 Suprajohtavuus sähköverkossa Yksikön toiminta, suprajohtavat materiaalit 1 Suprajohtavuus sähköverkossa Risto Mikkonen The Role of Superconductivity for Power Sector 2 Suprajohtavuus sähköverkossa
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
Lisätiedotsähköverkossa Suprajohtavan käämin suunnitteluperiaatteita eri käämigeometriat (Cont,) 1 Suprajohtavuus sähköverkossa Risto Mikkonen
DEE-54010 Suprajohtavuus sähköverkossa Suprajohtavan käämin suunnitteluperiaatteita eri käämigeometriat (Cont,) 1 Suprajohtavuus sähköverkossa Risto Mikkonen Solenoidimagneetti, B 0 H z (0,0) a N I ( ln
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotYleisimmät käämigeometriat. 1 DEE Suprajohtavuus Risto Mikkonen
DEE-54011 Suprajohtavuus Yleisimmät käämigeometriat 1 DEE-54011 Suprajohtavuus Risto Mikkonen Luvata SC28 K, 28158 NbTi filaments Dimension, bare mm 1.290 Tolerance m ± 4 Filament Diameter, m 4.75 Cu crosssection
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotLuento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 6 1 DEE-11000 Piirianalyysi Ensimmäinen välikoe keskiviikkona 19.11. klo 13-16 salissa S1. Aihepiiri: Tasasähköpiirin analyysi (monisteen luvut 1-6) 2 Solmupistemenetelmä
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotSilmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä 1 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) 2 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotAktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotDEE Suprajohtavuus
DEE-54011 Suprajohtavuus Stabiilisuus 1 DEE-54011 Suprajohtavuus Risto Mikkonen Perspetive Doesti fuse burns around 10 A/ Superondutor an arry losslessly 1000 A/ at 4. K. What would happen if superonduting
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotH(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):
ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan:
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
LisätiedotMATLAB Ohjelmointi Osa 1. Timo Mäkelä
MATLAB Ohjelmointi Osa Timo Mäelä SISÄLTÖ:. YLEISTÄ.... M-TIEDOSTOT.... SYÖTTÖ JA TULOSTUS.... FUNKTIOT...4. FUNKTION RAKENNE...4. ALIFUNKTIOT JA YKSITYISET FUNKTIOT...7.3 FUNKTION MUUTTUJAT...7 3. OHJAUSLAUSEET...9
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotLuento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalyysi I Luento 4 / Kerrostamismenetelmä Lineaarisuus = Additiivisuus u u y y u + Homogeenisuus u y y Jos verkossa on useita energialähteitä, voidaan jokaisen lähteen vaikutus laskea erikseen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS SÄÄÖJÄRJESELMIEN SUUNNIELU Enso Ionen professori säätö- ja ssteemiteniia http://cc.oulu.fi/~io Oulun liopisto Äläät oneet ja järjestelmät helmiuu 209 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Oppimistavoitteet
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMolekulaarisuus = reagoivien molekyylien lkm Stoikiometria = tasapainotetun reaktioyhtälön lkm (ainetase)
1. Yleistä a) Tasapainoreation yleinen muoto: a + bb f r cc + dd K c C D B èq a b, jossa d f r [X] = yhdisteen X onsentraatio a,b,c,d = yhdisteen stöiömetria (ainetaseesta) f = reationopeus eteenpäin r
LisätiedotNb 3 Sn (niobitina): - LTS-materiaali - suprajohtavat Nb 3 Sn-säikeet upotettuina pronssimatriisiin - keskellä diffuusiosuoja ja stabiloiva kupari
SMG-4250 Suprajohtavuus sähköverkossa Laskuharjoitukset: Suprajohdemagneetin suunnittelu Harjoitus 1(5): Johdinmateriaalit Ehdotukset harjoitustehtävien ratkaisuiksi 1. NbTi (niobititaani): - LTS-materiaali
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotJohdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotAALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotLauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta
LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS
LisätiedotDEE Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Lisätiedot