5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE"

Transkriptio

1 Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa ja heräee aajuuesa. Harmoise heräee apausessa paovärähelyä eusava liieyhälö ysiyisraaisu löyeii helposi oeilemalla. Tämä raaisuapa oisuu myös muille ysieraisille heräefuioille, mua ei yleisesi. Koeilumeeelmä lisäsi o ehiey myös muia aalyyisiä meeelmiä yleisesä yaamisesa heräeesä aiheuuva vasee määriämisesi. Näisä äreimmä ova Duhameli iegraali, ourier-sarja ja -muuos seä Laplace-muuos. ouriersarjaa voiaa sovelaa vai jasollisee heräeesee, mua muia yleisesi. Tässä arasellaa vai ourier-sarja ja Duhameli iegraali äyöä. Moissa apausissa aalyyise raaisu löyämie ei ole mahollisa. Heräefuio voi olla ii muias, eä aalyyie raaisu ei oisu ai heräefuiosa o ieossa vai miausulosia ieyiä aja heiä, jolloi araa aalyyisa lauseea ei uea. Tällöi liieyhälö raaisu o esiävä liimääräisesi joai umeerisa algorimia äyäe. Näiä o olemassa rusaasi, esimereiä maiiaoo eseisifferessimeeelmä, Ruge-Kua meeelmä, Newmari meeelmä ja Wilsoi θ-meeelmä. Tässä ei arasella umeerisia raaisumeeelmiä. 5. Yleie jasollie uormius Luvussa 4 ähii, eä harmoisa heräeä vasaava siirymävase voiaa löyää helposi oeilemalla. Harmoise heräee eoriaa voiaa yleisää yleise jasollise heräee äsielyy. Dyaamisee syseemii vaiuava heräee ova usei jasollisia ai iiä voiaa approsimoia jasollisilla fuioilla. ( Kuva 5. Jasollie heräe. Kuvassa 5. o yypillie jasollie heräefuio jaso piuue ollessa. Jasollisuuesa seuraa, eä o voimassa ( ( (5. Maemaiiassa osoieaa, eä mielivalaie jasollie fuio voiaa jaaa harmoisii ompoeeihisa irjoiamalla se ourier-sarjasi seuraavasi Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

2 Värähelymeaiia 5. ( a a cos( b si(ω Ω (5. jossa Ω π / o uormiuse perusaajuus. Vaio a ja b ova eraluua oleva harmoise ompoei ampliui. a ja b voiaa lasea aavoisa a b ( a (si(ω (cos(ω > (5.3 joissa o mielivalaie aja hei. Iegroii aavoissa (5.3 suorieaa jaso maala, mua iegroiiväli voiaa muue valia mielivalaisesi. a o araselava fuio esiarvo. ourier-sarjassa voi eoriassa olla ääreö määrä ermejä, äyäössä uiei fuioa ( voiaa yleesä approsimoia riiävä arasi melo pieellä määrällä ermejä sarja alusa. Ku jasollie uormiusheräe ( vaiuaa uva 4. muaisee vaimeeuu värähelijää, ulee liieyhälösi uormiuse ourier-sarjaa äyäe a cos(ω b si(ω m& x c x& x a (5.4 Kosa yhälö (5.4 o lieaarie, voiaa se raaisu jaaa osii seuraavasi & x c x& x a x ( a / (5.5 m p m&& x c x& x a cos(ω,,3, L (5.6 x p ( ( r a / (ζr cos(ω φ φ ζ r arca r m&& x c x& x b si(ω,,3, L (5.7 x p3 ( ( r b / (ζr si(ω φ φ ζ r arca r jolloi aava (5.6 ja (5.7 o irjoieu raaisu (4.36 peruseella ja r Ω / ω. Lasemalla osaraaisu (5.5 - (5.7 yhee seuraa siirymävaseelle lausee Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

3 Värähelymeaiia 5.3 x p a ( ( r a / (ζr ( cos(ω φ r b / (ζr si(ω φ (5.8 Tarasellaa esimeriä uormiusfuio ourier-sarjasa uva 5. muaisa apausa. ourier-eroime (5.3 voiaa lasea iegroimalla jaso yli aiavälillä ( / /. Kuormiusfuio lausee o araseluvälillä, / < ( (5.9, / Kuva 5. Kuormiusfuio. Kaavoisa (5.3 saaaa ouriereroimille seuraava arvo a / ( / (5. / a cos( cos( > Ω Ω / (5. b / / 4 si(ω si(ω si(ω /, parillie 4 4 cos( [cos( ] 4 / Ω π Ω Ω, pario π (5. ourier-sarja parillise osiiermie eroime a ja a ova ollia, osa uormiusfuio o pario. Kuva 5. uormiusfuio ourier-sarja o siis 4 ( si(ω (5.3 π,3,... Kuvassa 5.3 o uormiusfuio (5.9 ja se eljä ourier-sarjasa (5.3 saaavaa approsimaaioa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

4 Värähelymeaiia 5.4 ermi ermiä 3 ermiä 5 ermiä Kuva 5.3 Kuormiuse ourier-sarja. ( ( b Kuva 5.4 Kuormiusfuio, se ourier-approsimaaio ja speri. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

5 Värähelymeaiia 5.5 Jasollisa fuioa voiaa myös havaiollisaa esiämällä se speri, joa aroiaa fuio ourier-eroimie esiämisä aajuue fuioa. Kuvassa 5.4 o esiey uormiusfuio (5.9 ( N ja s, se ourier-approsimaaio (5.3 (5 ollasa poieavaa ermiä ja ourier-speri eroimille b (8 ollasa poieavaa ermiä, o eraluu perusaajuuee Ω ähe. Ku uormiusfuio ourier-sarja (5.3 ueaa, voiaa irjoiaa siirymävasee ourier-sarja aava (5.8 peruseella seuraavasi x p 4 ( π,3, L si(ω φ ( r (ζ r φ ζ r arca r (5.4 Kuvassa 5.5 o esiey siirymävasee (5.4 uvaaja olme uormiusjaso ajala, u luuarvoia o N, N/ m, /,833m, m 8,4 g, ω 37,796ra/s, ζ,, s, Ω 6,83 r Ω / ω,66 ja ω 6 Ω... x p (.. 3 Kuva 5.5 Siirymävase. Kuvassa 5.6 o vielä siirymävasee x p ( ja vaiheulma φ ourier-speri aajuusaisalla L 6 Ω. O selvää, eä ieyä suhea Ω / ω vasae osa heräee ourier-ompoeie ulmaaajuusisa o omiaisulmaaajuue alapuolella ja osa se yläpuolella. Jos joi uormiuse ourier-ompoeie ulmaaajuusisa Ω o lähellä omiaisulmaaajuua ω 6 Ω, o vasaava vasee ourier-ompoei suuri. Siirymävasee ulmaaajuusii 5 Ω ja 7 Ω liiyvä ourier ompoei ova vahvisuee äsä syysä uvassa 5.6. Vaiheulma sperissä äyvä pylvää myös ollaampliuilla esiiyville, parillisii -arvoihi liiyville ourier-ompoeeille, joilla ei siis y ole meriysä. Nähää uiei, eä ulmaaajuua ω 6 Ω vasaava vaiheulma o oi 9, ue piääi. Omiaisulmaaajuua maalampii heräee ulmaaajuusii liiyvä vaiheulma ova pieempiä ui 9 ja oreampii ulmaaajuusii liiyvä vaiheulma suurempia ui 9, miä o yhäpiävää aiaisemmi uvassa 4. esiey äyräsö assa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

6 Värähelymeaiia x φ Kuva 5.6 Siirymävasee ja vaiheulma ourier-speri. 5.3 Trasieiuormiusia Trasieiuormiusella aroieaa uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemii lyhyaiaise liieila. Trasieiuormiuselle o yypillisä opea asvu suurimpaa arvoosa ja usei lyhyaiaie vaiuus. Kuormiusa voiaa malliaa moella eri avalla, joisa ässä arasellaa eljää perusapausa, imiäi aseluormiusa, suoraulmaisa pulssiuormiusa, ramppiuormiusa ja impulssiuormiusa. Kuormiuse oleeaa vaiuava uva 4. muaisee jousi-massa-vaimei syseemii, jossa eriyisapausessa voi olla vaimeusvaio c Aseluormius ( Aseluormius aroiaa uva 5. muaisa ilaea, jossa syseemii alaa vaiuaa heellä äillisesi voima, joa ämä jälee pysyy vaioa. Syseemi liieyhälö o m& x c x& x (5.5 Kuva 5.7 Aseluormius. Oleeaa, eä syseemi o ee uormiuse Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

7 Värähelymeaiia 5.7 vaiuusa levossa, s. x ( ja x &(. Yhälö (5.5 raaisu o muooa x x h x p, missä x h o aava (3.4 muaie vaimeuse ollessa aliriiie. Ysiyisraaisu x p o selväsi muooa xp / (5.6 Täsä seuraa liieyhälö yleisesi raaisusi x( e ζ ω ( A siω A cosω 3 4 (5.7, saaaa asel- Ku vaio A 3 ja A 4 määrieää aluehoisa x ( ja x &( uormiusa vasaavasi siirymävaseesi x( e ζω ζω siω ω cos ω (5.8 Dyaamisa uormiusa uiaessa aaaa määriellä vahvisuserroi, joa eroo, miä o yaamise siirymävasee suhe vasaavaa saaisee siirymävaseesee. Tässä apausessa vahvisuserroi o M ( x(/( / x(/ (5.9 x s jossa xs / o saaise voima aiheuama siirymä. Kaava (5.8 peruseella o M( e ζω ζω siω ω cosω (5. Kuvassa 5.8 (a o esiey yypillie vahvisuseroime uvaaja aja fuioa. Koha M ( vasaa saaisa siirymää. Kosa uormius vaiuaa äillisesi, o siirymässä ylilyöi saaise siirymä ohi, miä jälee syseemi palaa saaisee M(.5.5 ( a ζ, ( b ζ M( Kuva 5.8 Vahvisuserroi. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

8 Värähelymeaiia 5.8 siirymää vaimeevaa värähelyä suoriae. Vaimeuse suuruus määrää ylilyöi määrä ja opeue, jolla värähely vaimeee ohi saaisa siirymäarvoa. Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja yhälösä (5. seuraa vahvisuserroi M( cosω (5. Tämä o esiey uvassa 5.8 (b, josa ähää, eä M max. Äillisesi vaiuava voima aiheuama siirymä masimiarvo vaimeamaomassa lieaarisessa syseemissä o siis asieraie saaisee siirymää verraua. Sama päee myös syseemi raeeosii syyvii jäiysii. Dyaamise uormiuse alaise raeeie suuielussa voiaa äi olle äyää varmuuserroia oamaa huomioo uormiuse yhäie vaiuus. Toellisuuessa vaimeus pieeää ää vaiuusa, ue uvasa 5.8 (a ähää, mua eroime äyö o varmalla puolella Suoraulmiopulssiuormius ( Suoraulmiopulssiuormius aroiaa uva 5.9 muaisa uormiusa, jossa voima alaa äillisesi vaiuaa heellä ja pysyy se jälee vaioa, ues heellä voima vaiuus äillisesi laaa. Liieyhälö o ässä uormiusapausessa m & x c x& x (5. > Syseemi o ee uormiuse vaiuamisa levossa, s. x ( ja x & (. Liieyhälö raaisu o aiavälillä aava Kuva 5.9 Suoraulmiopulssiuormius. (5.8 muaie. Ku >, raaisu o aava (3.4 omiaisvärähelyä, jolloi vaio A 3 ja A 4 määräyyvä raaisusa (5.8 heellä saaavisa aluehoisa. Raaisu o periaaeessa helposi muooseavissa vaimeeulle syseemillei aiavälille >, mua yyyää ässä vaimeemaoma apause c araseluu. Liieyhälö raaisu o ässä apausessa aavoje (5. ja (3.7 peruseella ( cosω x( A siω( A cosω( > (5.3 Vaio A ja A o määrieävä aluehoisa heellä. Kaavasa (5.3 saa- Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

9 Värähelymeaiia 5.9 aa erivoimalla aja suhee opeue lauseeesi aiavälillä x& ( ωsiω (5.4 Alueho heellä ova äi olle x( & (5.5 ( cosω x( ωsiω josa seuraa vaioille A ja A lauseee siω A ( cos (5.6 A ω Sijoiamalla vaio A ja A raaisuu (5.3 ja sieveämällä ulosa rigoomeria avulla saaaa raaisua (5.3 vasaava vahvisuserroi muooo x( cosω M ( (5.7 / cosω( cosω > Kuvassa 5.4 o vahvisuseroime (5.7 uvaaja uormiuspulssi esoaja arvoilla τ / 7 ja 6τ / 5, missä τ o omiaisvärähysaia. Tapausessa τ / 7 masimiampliui esiiyy vasa.5 uormiuse poisumise.5 jälee alueella >. Tapausessa 6τ / 5 masi- 6τ / 5.5 miampliui esiiyy uormiuse vaiuusaiaa M( välillä ma( mb(.5.5 τ / Kuva5Vahvisuserroi / τ 3. Syseemi masimisiirymä voi siis esiiyä myös uormiuse poisumise jälee, jos uormiuspulssi esoaia o riiävä piei. Kaava (5.7 avulla voiaa helposi osoiaa, eä rajaapaus o τ /, jolloi masimi esiiyy juuri uormiuse poisuessa Ramppiuormius Ramppiuormius o uva 5. muaie uormiusilae, jossa uormius asvaa Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

10 Värähelymeaiia 5. ( lieaarisesi arvoo aja uluessa, miä jälee se pysyy vaioa. Liieyhälö o ässä uormiusapausessa Kuva 5. Ramppiuormius. / m & x c x& x (5.8 > Ku syseemi o ee uormiuse vaiuusa levossa, ova alueho x ( ja x &(. Liieyhälö (5.8 raaisu o aiavälillä x( c e ζω ( A siω A cosω (5.9 missä vaio A ja A saaaa aluehoisa. Vasaavasi välillä > raaisu o ( ζω( e [ B siω ( B cosω ( ] x (5.3 Vaio B ja B saaaa aluehoisa x ( x ja x &( x&, missä x ja x& laseaa aava (5.9 avulla. Raaisusa ulee vaimeeussa apausessa melo piä, joe yyyää ässä vai vaimeemaoma apause araseluu. Ku c, saava aava (5.9 ja (5.3 muoo A siω A cosω x( B siω( B cosω( > (5.3 Aluehoisa x ( ja x &( seuraa vaioille A ja A arvo A A (5.3 ω josa seuraa raaisusi aiavälillä x( si ω ω (5.33 Kaavasa (5.33 saaaa erivoimalla aja suhee opeuelle lausee x& ( cos ω (5.34 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

11 Värähelymeaiia 5. Vaio B ja B raaisussa (5.3 määrieää ehoisa x( ω x( & cosω (5.35 siω joisa saaaa ulosesi B (5.36 cosω B siω ω ω Ku vaio B ja B sijoieaa aavaa (5.3 ja ulosa sieveeää rigoomeria aavoje avulla, saaaa raaisusi aiavälillä > x ( ω > ω [ siω( si ] (5.37 Kaavoisa (5.33 ja (5.37 ramppiuormiuse vahvisuseroimelle M ( ulee aava M( ω / ω x( siω [ siω( siω ] > (5.38 Vahvisuserroi (5.38 o esiey uvassa 5. uormiuse ousuaja arvoilla,τ ja,5 τ, jossa τ o omiaisvärähysaia. Kuvaajisa voiaa pääellä, eä M max o siä suurempi, miä pieempi o ousuaia. Ääriapausessa o M max, jolloi yseessä o aseluormius. Jos.5 >> τ, o ylilyöi saaisesa siirymäsä / piei. M(, τ.5 Jos ousuaia o suuruusluoaa 3 τ, / Kuva 5. Vahvisuserroi., 5τ voiaa uormiusa piää saaisea ja yaamise vaiuuse jäää huomioooamaa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

12 Värähelymeaiia Impulssiuormius Impulssiuormius o uva 5.3 uormiusilae, jossa syseemii vaiuaa heellä voima, joa impulssi o I. Impulssi määrielmä muaa o siis ( I ε ε I lim ( (5.39 ε Kuva 5.3 Impulssiuormius. Ku oleeaa, eä impulssiuormiuse vaiuushei, saaaa syseemi liieyhälösi ( m & x c x& x (5.4 > Syseemi o ee impulssiuormiusa levossa eli x ( ja x &(. Liie o vapaaa värähelyä aiavälillä > aluehoje x ( ja &( muaisesi. Kosa opeus x& ( o aia äärellie, o siirymä x ( jauva. Täsä seuraa, eä x x ( x(. Liieyhälösä saaaa iegroimalla aiavälillä, ] [ ε m m[ x( ( x & c ε x( & ( x x ( ] c[ x( ε x( ] mx& c x x ( ε x ε ( (5.4 Oamalla huomioo alueho x ( ja x &( ja siirymä x ( jauvuus saaaa aamalla ε ulosesi m x( & I. Alueho ova siis heellä x ( x( & I/ m (5.4 Liieyhälö (5.4 raaisusi aiavälillä > ulee aavoje (3.4 ja (5.4 peruseella aliriiise vaimeuse ζ < apausessa x( I ζω e siω (5.43 mω Raaisua (5.43 saoaa impulssivaseesi. Jos eriyisesi I, o yseessä yösimpulssivase h( h( ζω e siω (5.44 mω Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

13 Värähelymeaiia 5.3 h( Kuvassa 5.4 o yypillie yösimpulssivasee uvaaja. Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja ω ω, jolloi impulssivase ja ysiöimpulssivase ova x( I siω (5.45 mω h( siω (5.46 mω Kuva 5.4 Impulssiuormius. 5.4 Duhameli iegraali Käyämällä hyväsi eellä esieyä impulssiuormiusa vasaavaa siirymävasea (5.43 voiaa ehiää yleisempie uormiusfuioie äsielyy sopiva aalyyie raaisumeeelmä. Tää meeelmää saoaa Duhameli iegraalisi. Se avulla o mahollisa löyää siirymävasee aalyyie raaisu moessa apausessa. Kovi muiaie uormiusfuioie äsielyy ei Duhameli iegraali uieaa sovellu, sillä maemaaise lauseee uleva ällöi liia haalisi ja aioasaa umeerie raaisu o mahollie. Duhameli iegraali perusuu yheelasuperiaaeesee, joe meeelmää voiaa sovelaa vai lieaarisille syseemeille. Tarasellaa uvassa 4. esieyä jousi-massa-vaimei syseemiä, joa o alusi levossa, ues siihe vaiuaa uva 5.5 muaie uormiusheräe. Kuormius voiaa ulia sarjasi perääisiä impulssiuormiusia, joisa uvassa o esiey mielivalaisa heeä s vasaava im- ( pulssi s I (s s Kuva 5.5 Duhameli iegraali. I (s s (5.47 Täsä aiheuuu syseemii siirymävase x (, joa saaaa aavasa (5.43 oamalla huomioo, eä impulssi vaiuaa heellä s. Tulos o x( (ss e mω ζω ( s siω ( s (5.48 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

14 Värähelymeaiia 5.4 Koo siirymävase x ( aja heellä saaaa lasemalla yhee ee heeä ulleie impulssie vaiuuse. Tämä merisee siä, eä aavassa (5.48 iegroiaa muuuja s suhee välillä, jolloi siis o iegroiaessa vaio. Näi saaaa siirymävasee lasemisesi Duhameli iegraali x( mω (se ζω( s siω ( ss (5.49 Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja ω ω ja aava (5.49 ysieraisuu muooo x( mω (ssiω( ss (5.5 Kaavoja (5.49 ja (5.5 voiaa sovelaa siirymävasee laseaa, jos syseemi o heellä levossa. Jos alueho x ( ja x& ( ova ollasa poieava, o raaisuu (5.49 lisäävä aava (3.4 muaie ermi ja raaisuu (5.5 aava (3.7 muaie ermi. ( Kuva 5.6 Kolmiopulssi. Sovelleaa Duhameli iegraalia uva 5.6 muaisa olmiopulssiuormiusa vasaava siirymävasee laseaa, u vaimeusa ei ole ja syseemi alueho ova ollia. Kuormiusfuio lausee o / ( (5.5 > Kaavasa (5.5 seuraa vaseesi aiavälillä x( mω siω ssiω( ss ωscosωss cosω ωssiω( ss ωssiωss (5.5 jolloi o sovelleu omiaisulmaaajuue määrielmää ja sii väheyslasuaavaa. Vasee x ( lauseeessa oleva iegraali voiaa lasea osiaisiegroiilla ai asoa auluosa. Rajoje sijoiamise jälee saaaa ulose ω scosωss siω cosω ja ω ω ω ssiωss cosω siω ω (5.53 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

15 Värähelymeaiia 5.5 Ku saau ulose sijoieaa vasee x ( lauseeesee ja ulosa sieveeää, saaaa loppuulos x( si ω ω (5.54 Tulos (5.54 o sama ui ramppiuormiuse araselu yheyessä saau aava (5.33, ue piääi. Aiavälille > saaaa vasaavasi x ( ssiω( s s (5.55 mω sillä (, u >. Iegraali o rajaa luuu oamaa sama ui eellä alueessa. O selvää, eä vasee x ( lauseeesi ulee x( siω( siω cosω cosω( cosω siω (5.56 ω ω ω Tämä saaaa rigoomeria avulla muooo x ( cosω( siω( siω > (5.57 ω ω Esimerisä äyy Duhameli iegraali heious. Melo ysieraisisai uormiusmalleisa seuraava haala lasu. Perusapause löyyvä ylläi valmiia irjallisuuesa. Jos uormiusfuiosa ueaa vai miausulosia ieyiä aja heiä, o Duhameli iegraali mahollisa lasea vai umeerisesi. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus 6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY

8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

Yhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä

Yhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä Dynaiia 1 Liie luuun 8. g 8.1 Kuvan jousi-assa syseeissä on = 10 g ja = 2,5 N/. Siiryä iaaan saaisesa asapainoaseasa lähien. luheellä = 0 s assa on saaisessa asapainoaseassaan ja sillä on nopeus 0,5 /

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän

Lisätiedot

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 13: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, herätteenä roottorin epätasapaino tai alustan liike

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 13: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, herätteenä roottorin epätasapaino tai alustan liike / VÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhde vapausasee vaieeao paoväähely, heäeeä oooi epäasapaio ai alusa liie ROOORIN EPÄASAPAINO Haoisesi vaiheleva paovoia voi esiiyä pyöivie oeeosie yheydessä. aasellaa esieiä

Lisätiedot

järjestelmät Luento 4

järjestelmät Luento 4 DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu

11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu . Jauva-aiainen opiohinnoielu Sijoiusoheien hinojen ehiymisä voiaan arasella myös jauva-aiaisina prosesseina Iô-prosessi erisuuruise perioiohaise hinnanmuuose mahollisia voiaan oisinaan raaisa analyyisesi.

Lisätiedot

Tuottavuustutkimukset 2010 -menetelmäseloste

Tuottavuustutkimukset 2010 -menetelmäseloste Meneelmäselose 1(11) Tuoavuusuimuse 2010 -meneelmäselose ANSANTALOUDEN TILINPIDON TUOTTAVUUSMITTARIT 2 Toimialoen oonaisuooseen perusuva oonaisuoavuuden muuos 2 Toimialoen oonaisuooseen perusuva yön uoavuuden

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: 77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen

Lisätiedot

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p

Lisätiedot

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON AMPN YLIOPISO Kauppaieeien laios OSINKOJN JA PÄÄOMAVOIOJN VOUKSN VAIKUUKS OSAKKN AVOON Laskenaoimi Seminaariukielma Helmikuu 2004 Ohjaaja: Ismo Vuorinen apani Höök 3 SISÄLLYS JOHDANO... 4. ukielman ausaa...4.2

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

Arvio Suomen ei-päästökauppasektorin pitkän ajan tavoitteesta ja päästöistä vuoteen 2030 TUTKIMUSRAPORTTI VTT-R-01286-13

Arvio Suomen ei-päästökauppasektorin pitkän ajan tavoitteesta ja päästöistä vuoteen 2030 TUTKIMUSRAPORTTI VTT-R-01286-13 Arvio Suomen ei-pääsöauppaseorin piän ajan avoieesa ja pääsöisä vuoeen 2030 Kirjoiaja: Luoamusellisuus: Tomi J. Lindroos, Tommi Eholm, Ila Savolainen julinen 2 (29) Alusana Tämä rapori on osa ympärisöminiseriön

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k 1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

KOHINA KULMAMODULAATIOISSA

KOHINA KULMAMODULAATIOISSA OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen / VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte 4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan! AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010 DIPLOMITYÖ: BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 29) Beonipäivä 21 DIPLOMITYÖ prosessina Aie: yön eeäjän aloieesa Selviykse beonin, eräksen ja puun osala oli jo ey/käynnissä

Lisätiedot

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Johdaus odeäöisyyslaseaa Momeiemäfuio ja aaeisie fuio TKK (c)

Lisätiedot

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT KANOAALOMODULOIDUN KAISANPÄÄSÖSINAALIN BANDPASS JA KANAAAJUISEN BASEBAND SINAALIN AMPLIUDISPEKRI 536A ieoliienneeniia II Osa 5 Kari Käräinen Sysy 05 EHOIHEYSSPEKRI & KAISANLEVEYS Edellä arasellu modulaaio

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie

Lisätiedot

8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY

8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY Dynaiikka 8. 8 YHDEN VAPAUSASTEEN VÄRÄHTELY 8. Yleisä Koneen- ja rakenneosa voiaan ioiaa avanoaisilla saiikan ja lujuusopin eneelillä kuoriusen ollessa ajasa riippuaoia eli saaisia. Käyännössä esiinyy

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

RF-Tekniikan Perusteet II

RF-Tekniikan Perusteet II RF-Teniian Peusee II Kevä 003 740800 RF-Teniian Peusee II Luenno o 8 0 SM Haa e 8 0 SM Haa alaa.. Kija: Poa Micowave ngineeing, nd diion, Wiley Tuevaa ijallisuua: Räisänen, Leho Radioeniia Collin, Foundaions

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 LUKU 7 KOHINAN VAIKUUS ANALOGISEN MODULAAIOIDEN SUORIUSKYKYYN 51357A ieoliikeeekiikka I Osa 4 Kari Kärkkäie Kevä 15 LUKU 7 KOHINA ANALOGISISSA MODULAAIOISSA Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p) LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN LUKU 6 KOHINN VIKUUS NLOGISEN MOULIOIEN SUORIUSKYKYYN ieoliikeeekiikka I 5359 Kari Kärkkäie Osa 6 Luku 6 Kohia vaikuus aalogisii odulaaioihi Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie Kaaaajuie järjeselä

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017 KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN 1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? 51357 Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015 SPEKTRIN

Lisätiedot

(x) (tasaisesti suppeneva sarja)

(x) (tasaisesti suppeneva sarja) 6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot

2. Systeemi- ja signaalimallit

2. Systeemi- ja signaalimallit 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin

tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua

Lisätiedot