5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE

Transkriptio

1 Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa ja heräee aajuuesa. Harmoise heräee apausessa paovärähelyä eusava liieyhälö ysiyisraaisu löyeii helposi oeilemalla. Tämä raaisuapa oisuu myös muille ysieraisille heräefuioille, mua ei yleisesi. Koeilumeeelmä lisäsi o ehiey myös muia aalyyisiä meeelmiä yleisesä yaamisesa heräeesä aiheuuva vasee määriämisesi. Näisä äreimmä ova Duhameli iegraali, ourier-sarja ja -muuos seä Laplace-muuos. ouriersarjaa voiaa sovelaa vai jasollisee heräeesee, mua muia yleisesi. Tässä arasellaa vai ourier-sarja ja Duhameli iegraali äyöä. Moissa apausissa aalyyise raaisu löyämie ei ole mahollisa. Heräefuio voi olla ii muias, eä aalyyie raaisu ei oisu ai heräefuiosa o ieossa vai miausulosia ieyiä aja heiä, jolloi araa aalyyisa lauseea ei uea. Tällöi liieyhälö raaisu o esiävä liimääräisesi joai umeerisa algorimia äyäe. Näiä o olemassa rusaasi, esimereiä maiiaoo eseisifferessimeeelmä, Ruge-Kua meeelmä, Newmari meeelmä ja Wilsoi θ-meeelmä. Tässä ei arasella umeerisia raaisumeeelmiä. 5. Yleie jasollie uormius Luvussa 4 ähii, eä harmoisa heräeä vasaava siirymävase voiaa löyää helposi oeilemalla. Harmoise heräee eoriaa voiaa yleisää yleise jasollise heräee äsielyy. Dyaamisee syseemii vaiuava heräee ova usei jasollisia ai iiä voiaa approsimoia jasollisilla fuioilla. ( Kuva 5. Jasollie heräe. Kuvassa 5. o yypillie jasollie heräefuio jaso piuue ollessa. Jasollisuuesa seuraa, eä o voimassa ( ( (5. Maemaiiassa osoieaa, eä mielivalaie jasollie fuio voiaa jaaa harmoisii ompoeeihisa irjoiamalla se ourier-sarjasi seuraavasi Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

2 Värähelymeaiia 5. ( a a cos( b si(ω Ω (5. jossa Ω π / o uormiuse perusaajuus. Vaio a ja b ova eraluua oleva harmoise ompoei ampliui. a ja b voiaa lasea aavoisa a b ( a (si(ω (cos(ω > (5.3 joissa o mielivalaie aja hei. Iegroii aavoissa (5.3 suorieaa jaso maala, mua iegroiiväli voiaa muue valia mielivalaisesi. a o araselava fuio esiarvo. ourier-sarjassa voi eoriassa olla ääreö määrä ermejä, äyäössä uiei fuioa ( voiaa yleesä approsimoia riiävä arasi melo pieellä määrällä ermejä sarja alusa. Ku jasollie uormiusheräe ( vaiuaa uva 4. muaisee vaimeeuu värähelijää, ulee liieyhälösi uormiuse ourier-sarjaa äyäe a cos(ω b si(ω m& x c x& x a (5.4 Kosa yhälö (5.4 o lieaarie, voiaa se raaisu jaaa osii seuraavasi & x c x& x a x ( a / (5.5 m p m&& x c x& x a cos(ω,,3, L (5.6 x p ( ( r a / (ζr cos(ω φ φ ζ r arca r m&& x c x& x b si(ω,,3, L (5.7 x p3 ( ( r b / (ζr si(ω φ φ ζ r arca r jolloi aava (5.6 ja (5.7 o irjoieu raaisu (4.36 peruseella ja r Ω / ω. Lasemalla osaraaisu (5.5 - (5.7 yhee seuraa siirymävaseelle lausee Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

3 Värähelymeaiia 5.3 x p a ( ( r a / (ζr ( cos(ω φ r b / (ζr si(ω φ (5.8 Tarasellaa esimeriä uormiusfuio ourier-sarjasa uva 5. muaisa apausa. ourier-eroime (5.3 voiaa lasea iegroimalla jaso yli aiavälillä ( / /. Kuormiusfuio lausee o araseluvälillä, / < ( (5.9, / Kuva 5. Kuormiusfuio. Kaavoisa (5.3 saaaa ouriereroimille seuraava arvo a / ( / (5. / a cos( cos( > Ω Ω / (5. b / / 4 si(ω si(ω si(ω /, parillie 4 4 cos( [cos( ] 4 / Ω π Ω Ω, pario π (5. ourier-sarja parillise osiiermie eroime a ja a ova ollia, osa uormiusfuio o pario. Kuva 5. uormiusfuio ourier-sarja o siis 4 ( si(ω (5.3 π,3,... Kuvassa 5.3 o uormiusfuio (5.9 ja se eljä ourier-sarjasa (5.3 saaavaa approsimaaioa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

4 Värähelymeaiia 5.4 ermi ermiä 3 ermiä 5 ermiä Kuva 5.3 Kuormiuse ourier-sarja. ( ( b Kuva 5.4 Kuormiusfuio, se ourier-approsimaaio ja speri. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

5 Värähelymeaiia 5.5 Jasollisa fuioa voiaa myös havaiollisaa esiämällä se speri, joa aroiaa fuio ourier-eroimie esiämisä aajuue fuioa. Kuvassa 5.4 o esiey uormiusfuio (5.9 ( N ja s, se ourier-approsimaaio (5.3 (5 ollasa poieavaa ermiä ja ourier-speri eroimille b (8 ollasa poieavaa ermiä, o eraluu perusaajuuee Ω ähe. Ku uormiusfuio ourier-sarja (5.3 ueaa, voiaa irjoiaa siirymävasee ourier-sarja aava (5.8 peruseella seuraavasi x p 4 ( π,3, L si(ω φ ( r (ζ r φ ζ r arca r (5.4 Kuvassa 5.5 o esiey siirymävasee (5.4 uvaaja olme uormiusjaso ajala, u luuarvoia o N, N/ m, /,833m, m 8,4 g, ω 37,796ra/s, ζ,, s, Ω 6,83 r Ω / ω,66 ja ω 6 Ω... x p (.. 3 Kuva 5.5 Siirymävase. Kuvassa 5.6 o vielä siirymävasee x p ( ja vaiheulma φ ourier-speri aajuusaisalla L 6 Ω. O selvää, eä ieyä suhea Ω / ω vasae osa heräee ourier-ompoeie ulmaaajuusisa o omiaisulmaaajuue alapuolella ja osa se yläpuolella. Jos joi uormiuse ourier-ompoeie ulmaaajuusisa Ω o lähellä omiaisulmaaajuua ω 6 Ω, o vasaava vasee ourier-ompoei suuri. Siirymävasee ulmaaajuusii 5 Ω ja 7 Ω liiyvä ourier ompoei ova vahvisuee äsä syysä uvassa 5.6. Vaiheulma sperissä äyvä pylvää myös ollaampliuilla esiiyville, parillisii -arvoihi liiyville ourier-ompoeeille, joilla ei siis y ole meriysä. Nähää uiei, eä ulmaaajuua ω 6 Ω vasaava vaiheulma o oi 9, ue piääi. Omiaisulmaaajuua maalampii heräee ulmaaajuusii liiyvä vaiheulma ova pieempiä ui 9 ja oreampii ulmaaajuusii liiyvä vaiheulma suurempia ui 9, miä o yhäpiävää aiaisemmi uvassa 4. esiey äyräsö assa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

6 Värähelymeaiia x φ Kuva 5.6 Siirymävasee ja vaiheulma ourier-speri. 5.3 Trasieiuormiusia Trasieiuormiusella aroieaa uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemii lyhyaiaise liieila. Trasieiuormiuselle o yypillisä opea asvu suurimpaa arvoosa ja usei lyhyaiaie vaiuus. Kuormiusa voiaa malliaa moella eri avalla, joisa ässä arasellaa eljää perusapausa, imiäi aseluormiusa, suoraulmaisa pulssiuormiusa, ramppiuormiusa ja impulssiuormiusa. Kuormiuse oleeaa vaiuava uva 4. muaisee jousi-massa-vaimei syseemii, jossa eriyisapausessa voi olla vaimeusvaio c Aseluormius ( Aseluormius aroiaa uva 5. muaisa ilaea, jossa syseemii alaa vaiuaa heellä äillisesi voima, joa ämä jälee pysyy vaioa. Syseemi liieyhälö o m& x c x& x (5.5 Kuva 5.7 Aseluormius. Oleeaa, eä syseemi o ee uormiuse Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

7 Värähelymeaiia 5.7 vaiuusa levossa, s. x ( ja x &(. Yhälö (5.5 raaisu o muooa x x h x p, missä x h o aava (3.4 muaie vaimeuse ollessa aliriiie. Ysiyisraaisu x p o selväsi muooa xp / (5.6 Täsä seuraa liieyhälö yleisesi raaisusi x( e ζ ω ( A siω A cosω 3 4 (5.7, saaaa asel- Ku vaio A 3 ja A 4 määrieää aluehoisa x ( ja x &( uormiusa vasaavasi siirymävaseesi x( e ζω ζω siω ω cos ω (5.8 Dyaamisa uormiusa uiaessa aaaa määriellä vahvisuserroi, joa eroo, miä o yaamise siirymävasee suhe vasaavaa saaisee siirymävaseesee. Tässä apausessa vahvisuserroi o M ( x(/( / x(/ (5.9 x s jossa xs / o saaise voima aiheuama siirymä. Kaava (5.8 peruseella o M( e ζω ζω siω ω cosω (5. Kuvassa 5.8 (a o esiey yypillie vahvisuseroime uvaaja aja fuioa. Koha M ( vasaa saaisa siirymää. Kosa uormius vaiuaa äillisesi, o siirymässä ylilyöi saaise siirymä ohi, miä jälee syseemi palaa saaisee M(.5.5 ( a ζ, ( b ζ M( Kuva 5.8 Vahvisuserroi. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

8 Värähelymeaiia 5.8 siirymää vaimeevaa värähelyä suoriae. Vaimeuse suuruus määrää ylilyöi määrä ja opeue, jolla värähely vaimeee ohi saaisa siirymäarvoa. Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja yhälösä (5. seuraa vahvisuserroi M( cosω (5. Tämä o esiey uvassa 5.8 (b, josa ähää, eä M max. Äillisesi vaiuava voima aiheuama siirymä masimiarvo vaimeamaomassa lieaarisessa syseemissä o siis asieraie saaisee siirymää verraua. Sama päee myös syseemi raeeosii syyvii jäiysii. Dyaamise uormiuse alaise raeeie suuielussa voiaa äi olle äyää varmuuserroia oamaa huomioo uormiuse yhäie vaiuus. Toellisuuessa vaimeus pieeää ää vaiuusa, ue uvasa 5.8 (a ähää, mua eroime äyö o varmalla puolella Suoraulmiopulssiuormius ( Suoraulmiopulssiuormius aroiaa uva 5.9 muaisa uormiusa, jossa voima alaa äillisesi vaiuaa heellä ja pysyy se jälee vaioa, ues heellä voima vaiuus äillisesi laaa. Liieyhälö o ässä uormiusapausessa m & x c x& x (5. > Syseemi o ee uormiuse vaiuamisa levossa, s. x ( ja x & (. Liieyhälö raaisu o aiavälillä aava Kuva 5.9 Suoraulmiopulssiuormius. (5.8 muaie. Ku >, raaisu o aava (3.4 omiaisvärähelyä, jolloi vaio A 3 ja A 4 määräyyvä raaisusa (5.8 heellä saaavisa aluehoisa. Raaisu o periaaeessa helposi muooseavissa vaimeeulle syseemillei aiavälille >, mua yyyää ässä vaimeemaoma apause c araseluu. Liieyhälö raaisu o ässä apausessa aavoje (5. ja (3.7 peruseella ( cosω x( A siω( A cosω( > (5.3 Vaio A ja A o määrieävä aluehoisa heellä. Kaavasa (5.3 saa- Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

9 Värähelymeaiia 5.9 aa erivoimalla aja suhee opeue lauseeesi aiavälillä x& ( ωsiω (5.4 Alueho heellä ova äi olle x( & (5.5 ( cosω x( ωsiω josa seuraa vaioille A ja A lauseee siω A ( cos (5.6 A ω Sijoiamalla vaio A ja A raaisuu (5.3 ja sieveämällä ulosa rigoomeria avulla saaaa raaisua (5.3 vasaava vahvisuserroi muooo x( cosω M ( (5.7 / cosω( cosω > Kuvassa 5.4 o vahvisuseroime (5.7 uvaaja uormiuspulssi esoaja arvoilla τ / 7 ja 6τ / 5, missä τ o omiaisvärähysaia. Tapausessa τ / 7 masimiampliui esiiyy vasa.5 uormiuse poisumise.5 jälee alueella >. Tapausessa 6τ / 5 masi- 6τ / 5.5 miampliui esiiyy uormiuse vaiuusaiaa M( välillä ma( mb(.5.5 τ / Kuva5Vahvisuserroi / τ 3. Syseemi masimisiirymä voi siis esiiyä myös uormiuse poisumise jälee, jos uormiuspulssi esoaia o riiävä piei. Kaava (5.7 avulla voiaa helposi osoiaa, eä rajaapaus o τ /, jolloi masimi esiiyy juuri uormiuse poisuessa Ramppiuormius Ramppiuormius o uva 5. muaie uormiusilae, jossa uormius asvaa Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

10 Värähelymeaiia 5. ( lieaarisesi arvoo aja uluessa, miä jälee se pysyy vaioa. Liieyhälö o ässä uormiusapausessa Kuva 5. Ramppiuormius. / m & x c x& x (5.8 > Ku syseemi o ee uormiuse vaiuusa levossa, ova alueho x ( ja x &(. Liieyhälö (5.8 raaisu o aiavälillä x( c e ζω ( A siω A cosω (5.9 missä vaio A ja A saaaa aluehoisa. Vasaavasi välillä > raaisu o ( ζω( e [ B siω ( B cosω ( ] x (5.3 Vaio B ja B saaaa aluehoisa x ( x ja x &( x&, missä x ja x& laseaa aava (5.9 avulla. Raaisusa ulee vaimeeussa apausessa melo piä, joe yyyää ässä vai vaimeemaoma apause araseluu. Ku c, saava aava (5.9 ja (5.3 muoo A siω A cosω x( B siω( B cosω( > (5.3 Aluehoisa x ( ja x &( seuraa vaioille A ja A arvo A A (5.3 ω josa seuraa raaisusi aiavälillä x( si ω ω (5.33 Kaavasa (5.33 saaaa erivoimalla aja suhee opeuelle lausee x& ( cos ω (5.34 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

11 Värähelymeaiia 5. Vaio B ja B raaisussa (5.3 määrieää ehoisa x( ω x( & cosω (5.35 siω joisa saaaa ulosesi B (5.36 cosω B siω ω ω Ku vaio B ja B sijoieaa aavaa (5.3 ja ulosa sieveeää rigoomeria aavoje avulla, saaaa raaisusi aiavälillä > x ( ω > ω [ siω( si ] (5.37 Kaavoisa (5.33 ja (5.37 ramppiuormiuse vahvisuseroimelle M ( ulee aava M( ω / ω x( siω [ siω( siω ] > (5.38 Vahvisuserroi (5.38 o esiey uvassa 5. uormiuse ousuaja arvoilla,τ ja,5 τ, jossa τ o omiaisvärähysaia. Kuvaajisa voiaa pääellä, eä M max o siä suurempi, miä pieempi o ousuaia. Ääriapausessa o M max, jolloi yseessä o aseluormius. Jos.5 >> τ, o ylilyöi saaisesa siirymäsä / piei. M(, τ.5 Jos ousuaia o suuruusluoaa 3 τ, / Kuva 5. Vahvisuserroi., 5τ voiaa uormiusa piää saaisea ja yaamise vaiuuse jäää huomioooamaa. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

12 Värähelymeaiia Impulssiuormius Impulssiuormius o uva 5.3 uormiusilae, jossa syseemii vaiuaa heellä voima, joa impulssi o I. Impulssi määrielmä muaa o siis ( I ε ε I lim ( (5.39 ε Kuva 5.3 Impulssiuormius. Ku oleeaa, eä impulssiuormiuse vaiuushei, saaaa syseemi liieyhälösi ( m & x c x& x (5.4 > Syseemi o ee impulssiuormiusa levossa eli x ( ja x &(. Liie o vapaaa värähelyä aiavälillä > aluehoje x ( ja &( muaisesi. Kosa opeus x& ( o aia äärellie, o siirymä x ( jauva. Täsä seuraa, eä x x ( x(. Liieyhälösä saaaa iegroimalla aiavälillä, ] [ ε m m[ x( ( x & c ε x( & ( x x ( ] c[ x( ε x( ] mx& c x x ( ε x ε ( (5.4 Oamalla huomioo alueho x ( ja x &( ja siirymä x ( jauvuus saaaa aamalla ε ulosesi m x( & I. Alueho ova siis heellä x ( x( & I/ m (5.4 Liieyhälö (5.4 raaisusi aiavälillä > ulee aavoje (3.4 ja (5.4 peruseella aliriiise vaimeuse ζ < apausessa x( I ζω e siω (5.43 mω Raaisua (5.43 saoaa impulssivaseesi. Jos eriyisesi I, o yseessä yösimpulssivase h( h( ζω e siω (5.44 mω Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

13 Värähelymeaiia 5.3 h( Kuvassa 5.4 o yypillie yösimpulssivasee uvaaja. Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja ω ω, jolloi impulssivase ja ysiöimpulssivase ova x( I siω (5.45 mω h( siω (5.46 mω Kuva 5.4 Impulssiuormius. 5.4 Duhameli iegraali Käyämällä hyväsi eellä esieyä impulssiuormiusa vasaavaa siirymävasea (5.43 voiaa ehiää yleisempie uormiusfuioie äsielyy sopiva aalyyie raaisumeeelmä. Tää meeelmää saoaa Duhameli iegraalisi. Se avulla o mahollisa löyää siirymävasee aalyyie raaisu moessa apausessa. Kovi muiaie uormiusfuioie äsielyy ei Duhameli iegraali uieaa sovellu, sillä maemaaise lauseee uleva ällöi liia haalisi ja aioasaa umeerie raaisu o mahollie. Duhameli iegraali perusuu yheelasuperiaaeesee, joe meeelmää voiaa sovelaa vai lieaarisille syseemeille. Tarasellaa uvassa 4. esieyä jousi-massa-vaimei syseemiä, joa o alusi levossa, ues siihe vaiuaa uva 5.5 muaie uormiusheräe. Kuormius voiaa ulia sarjasi perääisiä impulssiuormiusia, joisa uvassa o esiey mielivalaisa heeä s vasaava im- ( pulssi s I (s s Kuva 5.5 Duhameli iegraali. I (s s (5.47 Täsä aiheuuu syseemii siirymävase x (, joa saaaa aavasa (5.43 oamalla huomioo, eä impulssi vaiuaa heellä s. Tulos o x( (ss e mω ζω ( s siω ( s (5.48 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

14 Värähelymeaiia 5.4 Koo siirymävase x ( aja heellä saaaa lasemalla yhee ee heeä ulleie impulssie vaiuuse. Tämä merisee siä, eä aavassa (5.48 iegroiaa muuuja s suhee välillä, jolloi siis o iegroiaessa vaio. Näi saaaa siirymävasee lasemisesi Duhameli iegraali x( mω (se ζω( s siω ( ss (5.49 Jos vaimeusa ei ole, o ζ ja ω ω ja aava (5.49 ysieraisuu muooo x( mω (ssiω( ss (5.5 Kaavoja (5.49 ja (5.5 voiaa sovelaa siirymävasee laseaa, jos syseemi o heellä levossa. Jos alueho x ( ja x& ( ova ollasa poieava, o raaisuu (5.49 lisäävä aava (3.4 muaie ermi ja raaisuu (5.5 aava (3.7 muaie ermi. ( Kuva 5.6 Kolmiopulssi. Sovelleaa Duhameli iegraalia uva 5.6 muaisa olmiopulssiuormiusa vasaava siirymävasee laseaa, u vaimeusa ei ole ja syseemi alueho ova ollia. Kuormiusfuio lausee o / ( (5.5 > Kaavasa (5.5 seuraa vaseesi aiavälillä x( mω siω ssiω( ss ωscosωss cosω ωssiω( ss ωssiωss (5.5 jolloi o sovelleu omiaisulmaaajuue määrielmää ja sii väheyslasuaavaa. Vasee x ( lauseeessa oleva iegraali voiaa lasea osiaisiegroiilla ai asoa auluosa. Rajoje sijoiamise jälee saaaa ulose ω scosωss siω cosω ja ω ω ω ssiωss cosω siω ω (5.53 Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi

15 Värähelymeaiia 5.5 Ku saau ulose sijoieaa vasee x ( lauseeesee ja ulosa sieveeää, saaaa loppuulos x( si ω ω (5.54 Tulos (5.54 o sama ui ramppiuormiuse araselu yheyessä saau aava (5.33, ue piääi. Aiavälille > saaaa vasaavasi x ( ssiω( s s (5.55 mω sillä (, u >. Iegraali o rajaa luuu oamaa sama ui eellä alueessa. O selvää, eä vasee x ( lauseeesi ulee x( siω( siω cosω cosω( cosω siω (5.56 ω ω ω Tämä saaaa rigoomeria avulla muooo x ( cosω( siω( siω > (5.57 ω ω Esimerisä äyy Duhameli iegraali heious. Melo ysieraisisai uormiusmalleisa seuraava haala lasu. Perusapause löyyvä ylläi valmiia irjallisuuesa. Jos uormiusfuiosa ueaa vai miausulosia ieyiä aja heiä, o Duhameli iegraali mahollisa lasea vai umeerisesi. Yhe vapausasee rasiei paovärähely Mai Läheemäi