RAKENTEELLISEN JOUSTON KUVAUS REAALIAIKASIMULOINNISSA

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Koneteknkan osasto Konstruktoteknkan latos Mekatronkan ja vrtuaalsuunnttelu laboratoro RAKENTEELLISEN JOUSTON KUVAUS REAALIAIKASIMULOINNISSA Dlomtyön ahe on hyväksytty koneteknkan osaston osastoneuvostossa 29..26. Työn tarkastajna ovat tomneet rofessor Ak Mkkola ja dosentt Asko Rouvnen. Laeenrannassa 2.2.27 Tuomas Rantalanen Peurankatu 5385 Laeenranta Puh. +358 5 574298

TIIVISTELMÄ Tekjä: Tuomas Rantalanen Nm: Rakenteellsen jouston kuvaus reaalakasmulonnssa Osasto: Koneteknkan osasto Pakka: Laeenranta Vuos: 27 Dlomtyö, Laeenrannan teknllnen ylosto 52 svua, 3 kuvaa, 2 taulukkoa, 2 ltettä Tarkastajna rofessor Ak Mkkola ja dosentt Asko Rouvnen Hakusanat: rakenteellnen jousto, monkaaledynamkka, kelluvan koordnaatston menetelmä, osarakenneteknkka, reaalakasmulont Työn tavotteena ol tuottaa rakenteellsen jouston huomova monkaaledynmkan smulontohjelma Matlab-ymärstöön. Rakenteellnen jousto huomotn kelluvan koordnaatston menetelmällä ja joustavuutta kuvaavat muodot ratkastn elementtmenetelmällä. Tehdyn ohjelman avulla vodaan koostaa joustavsta kaalesta koostuva avaruusmekansmeja ja tutka nden dynaamsta käyttäytymstä. Smulonttulosta verrattn kauallsen ohjelmston tuottamaan tulokseen. Työssä havattn, että kelluvan koordnaatston menetelmä on käyttökelonen reaalakaseen smulontn. Työssä toteutetun ohjelman tulokset vastasvat kauallsen smulontohjelman tuloksa.

ABSTRACT Author: Tuomas Rantalanen Ttle: Descrton of the structural flexblty n real tme smulaton Deartment: Mechancal Engneerng Place: Laeenranta Year: 27 Master s thess. Laeenranta Unversty of Technology 52 sheets, 3 fgures, 2 tables, 2 aendces Suervsors rofessor Ak Mkkola and adjunct rofessor Asko Rouvnen Keywords: structural flexblty, multbody dynamcs, floatng frame of reference formulaton, substructurng method, real tme smulaton The objectve of ths work s to roduce a smulaton usng a general urose mathematcal software for multbody systems wth structural flexblty. The structural flexblty s ntroduced usng the floatng frame of reference method. Fnte element method s used to calculate the deformaton modes used n the floatng frame of reference formulaton. The smulaton tool created n ths work s able to descrbe 3-dmensonal mechansms that nclude one or more flexble bodes. Moreover, the smulaton tool s able to erform dynamc smulatons to these mechansms. Results obtaned usng the smulaton tool are comared wth results roduced by a commercal multbody smulaton software. As a result, t can be concluded that the floatng frame of reference formulaton can be used n real tme smulatons. Results obtaned usng the created smulaton tool are ractcally dentcal wth results of a commercal code.

ALKUASANAT Haluan kttää työn tarkastaja rofessor Ak Mkkolaa ja dosentt Asko Rouvsta saamastan avusta ja tuesta sekä hedän osottamastaan knnostuksesta työtän kohtaan. Haluan myös kttää dl.ns Marko Matkasta hänen avustaan, melenknnosta työtän kohtaan ja knnostavsta keskustelutuokosta. Osansa ktoksesta ansatsee myös dl.ns Pas Korkealaakso työn louvaheen avusta ja vrheenkorjauksesta. Ilman häntä etssn työssä tekemästän ohjelmasta vrhettä veläkn. Hyven oskelutoveren merktyksen tedostaen haluan velä kttää nmeltä manten oskeluseurasta ja yhtesstä tenttehn valmstautumssta. Tekn.yo Antt Nä ja tekn.yo Antt Halonen, lman hetä ols monen kurssn terävn ant jäänyt ymmärtämättä. Louks haluan velä lausua ktokset myös kotn vsaalle ja ymmärtävälle Hanna-vamolle ja rakkalle lasllemme Idasofalle ja Ano-Ilonalle.

KÄYTETYT MERKINNÄT Latnalaset aakkoset a A B C C d d E f F g G h I I I 9 K L M m n c n F n n n n q n T O Suuntavektor Kertomatrs Jäykän kaaleen rotaaton ja translaaton kytkentämatrs Rajote Rajotevektor Dfferentaalnen Pstetä yhdstävä vektor Noeusmuunnosmatrs Nvelkoordnaatston. aksel Solmuvaausastesn vakuttava vomavektor Nvelkoordnaatston 2. aksel Noeusmuunnosmatrs Nvelkoordnaatston 3. aksel Kaale Ykskkömatrs Massanvarantt Jäykkyysmatrs Lyhennysmerkntä artkkeln noeudesta Massamatrs Massa Järjestelmän rajoteyhtälöden lukumäärä Kaaleen stevomen lukumäärä Kaaleen solmujen lukumäärä Kaaleen muotojen lukumäärä Järjestelmän ylestettyjen koordnaatten lukumäärä Kaaleen stemomentten lukumäärä Lokaaln koordnaatston orgo Modaalkoordnaatt Modaalkoordnaattvektor

P q q Q r R S t T T u u v v 3 v V W x X y y Y z Z Partkkel P Ylestetty koordnaatt Ylestettyjen koordnaatten vektor (ss. modaalkoordnaatt) Ylestettyhn koordnaattehn vakuttava vomavektor Partkkeln globaal asemavektor Lokaaln koordnaatston orgon globaal asemavektor Muotofunktomatrs Aka Kneettnen energa Solmuvaausastesn vakuttava momentt Vektorn u komonentt Partkkeln srtymävektor Rodrguezn vektorn komonentt Rodrguezn ykskkövektor Tlavuus Työ Karteessen koordnaatston. komonentt Globaaln koordnaatston. aksel Karteessen koordnaatston 2. komonentt Ylestetyt koordnaatt ja nden noeudet ssältävä vektor Globaaln koordnaatston 2. aksel Karteessen koordnaatston 3. komonentt Globaaln koordnaatston 3. aksel Krekkalaset aakkoset Vrtuaalnen (Esmerkks W on vrtuaalnen työ) Fyysnen srtymävektor Yhden muodon vakutus yhteen solmuun Omnasmuoto Omnasmuotomatrs Lagrangen kerron

2 2 Vektor Lagrangen kertomsta Theys Melvaltanen kulma Eulern arametrt Eulern arametrvektor Kaaleen globaal kulmanoeus Omnasarvo Alandekst Alkutla c Rajotteeseen lttyvä d Dagonaalnen matrs e Ulkosn vomn lttyvä f Elastsn koordnaattehn lttyvä, joustavuudesta aheutuva F Vomaan lttyvä Indeks summassa j Indeks summassa k Indeks summassa Omnasarvohn lttyvä n Solmuun n lttyvä n P P q q q n q r R s Kaaleen muotojen lukumäärä Modaalkoordnaattehn lttyvä Partkkeln P lttyvä d Ylestettyhn koordnaattehn lttyvä Osttasdervaatta ylestetyn koordnaatn suhteen Osttasdervaatta ylestettyjen koordnaatten suhteen Referensskoordnaatston lkkeeseen lttyvä Translaatokoordnaattehn lttyvä Elastsn vomn lttyvä Rotaatokoordnaattehn lttyvä

t T v Akadervaatta Momenttn lttyvä Noeuteen lttyvä Yländekst * Ortogonaalnen B Ulkosn vaausastesn lttyvä C Korjausmuotoon lttyvä d Kohtsuora d2 Kohtsuora Kaaleeseen lttyvä I Ssäsn vaausastesn lttyvä j Kaaleeseen j lttyvä N Reunaehtomuotoon lttyvä Yhdensuuntanen 2 Yhdensuuntanen s Psteden yhtenevyys T Matrsn ta vektorn transoos V Reunaehto- ja korjausmuotoon lttyvä Muut u& u& & u u ~ Mˆ Ensmmänen akadervaatta srtymävektorsta Tonen akadervaatta srtymävektorsta Lokaal srtymävektor Vnosymmetrnen muoto srtymävektorsta Normeerattu massamatrs

SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 2. Reaalakanen smulont... 4.2 Työn tavotteet... 5.3 Työn rajaus... 6 2 JOUSTAVUUDEN KUVAUSMENETELMIÄ... 7 3 KELLUVAN KOORDINAATISTON MENETELMÄ... 3. Partkkeln aseman kuvaus joustavassa kaaleessa... 3.2 Kaaleen noeus ja khtyvyys... 6 3.3 Muotomatrsn muodostamnen... 9 3.6 Joustavan kaaleen nerta... 23 3.6. Inertavomen tekemä työ... 24 3.6.2 Massamatrs ja massanvarantt... 26 3.7 Ylestetyt vomat... 29 3.8 Nvelrajotteden huomomnen... 33 3.9 Lkeyhtälöden muodostamnen... 38 4 OHJELMAN ESITTELY... 4 5 NUMEERINEN ESIMERKKI... 44 5. Helur... 44 5.. Helurn lähtötedot... 45 5..2 Smulonnn tulokset... 47 6 JOHTOPÄÄTÖKSET... 49 LÄHTEET... 5 LIITTEET

2 JOHDANTO Monesta kaaleesta koostuvaa järjestelmää vodaan kutsua monkaalejärjestelmäks. Monkaalejärjestelmän kaaleet ovat vuorovakutuksessa tosnsa nvelten vältyksellä. Lsäks monkaalejärjestelmässä vovat vakuttaa ulkoset vomat. Myös törmäysten huomomnen on mahdollsta. Tällasta järjestelmää vodaan analysoda monkaaledynamkalla, joka on ylenen laskentamenetelmä, ekä tee oletuksa kaaleden kertymen suuruukssta. Suurten kertymen vuoks ovat järjestelmän dynamkkaa kuvaavat lkeyhtälöt eälneaarsa ja ne ratkastaan numeersest. Kuvassa on esmerkk monkaalejärjestelmästä, johon kuuluu ulkonen voma, kolme kaaletta ja kaaleden välset kertonvelet. Y Ulkonen voma X Kuva. Esmerkk monkaalejärjestelmästä. Reaalakasessa monkaaledynamkassa kaaleet on yleensä oletettu deaalsen jäykks. Matemaattsessa melessä rakenteet ovat kutenkn ana joustava. Jäykken kaaleden oletus yksnkertastaa ja noeuttaa smulonta tulosten tarkkuuden kustannuksella. Rakenteellsen jouston huomomnen mahdollstaa rakenteeseen kohdstuven venymen ja jänntysten analysonnn. Tämä e ole mahdollsta jäykllä kaalella, sllä nhn e synny muodonmuutoksa, ekä venymen ta jänntysten laskenta ole sten mahdollsta. Jouston huomomnen vo olla myös edellytys tarkan ohjaus- ja säätöjärjestelmän suunnttelulle. Olettamalla

3 kaaleet jäykks tehdään stä enemmän vrhettä, mtä suuremmat ovat todellsen rakenteen muodonmuutokset ja mtä lähemänä tomtaan rakenteen omnastaajuuksa. Mtään nyrkksääntöä shen, mllon rakenteellnen joustavuus tulee ottaa huomoon, e ole, vaan harknta on tehtävä taauskohtasest. Smulont helottaa suunnttelua ja tuotekehtystä antamalla tarkasteltavasta kohteesta sellasa tetoja, jotka evät välttämättä elkken rustusten erusteella tuls lm. Erlasten akaruven lmöden tarkasteluun smulont on tehokas työkalu. Tämä velä korostuu, mkäl smulont vodaan suorttaa reaalajassa ja osana muuta konejärjestelmää. Reaalakasmulonta vodaan hyödyntää usella tavolla koneden suunnttelussa ja tuotekehtysrosessssa. Kytkentä reaalmaalman ja smulonnn välllä vodaan tehdä anturtetojen ta vsuaalsten havantojen erusteella. Kun käyttäjä ohjaa smulontmalla, uhutaan man-n-the-loo smulonnsta. Tuotekehtyksen kannalta on suur etu saada käyttäjän tuottama vaste reaalakasen smulontmalln ennen varsnasen rototyyn rakentamsta. Käyttäjän avulla saadaan työkerrosta ja sen koneelle aheutuvsta rastukssta mlte todellsa käyttöolosuhteta vastaavaa tetoa. Reaalakasen smulontmalln ollessa osana kokonasta konejärjestelmää, saadaan suunnttelua varten tetoa smulontmalln ja muun järjestelmän vuorovakutuksesta ja dynamkasta. Tällön on mahdollsta selvttää vahtoehtosten ratkasujen vakutusta koko järjestelmään lman, että fyysstä järjestelmää tarvtsee muuttaa. (Mkkola 25) Rakenteellsta joustoa vodaan kuvata usella er menetelmllä, mutta reaalakasuusvaatmus asettaa tukat rajat menetelmän laskentatehon käytöstä. Eräs mahdollsuus kuvata rakenteellsta joustoa on käyttää kelluvan koordnaatston menetelmää. Kelluvan koordnaatston menetelmän erusajatuksena on erottaa referensskoordnaatston lke ja kaaleen muodonmuutos tosstaan. Muodonmuutos kuvataan yleensä rakenteen moodella. Moodt vovat olla oletettuja deformaatomuotoja, mutta usemmten moodena käytetään rakenteen värähtelyjen omnasmuotoja. Yleensä tarvttavat omnasmuodot vodaan ratkasta rakenteesta tehdystä elementtmallsta. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 7) Menetelmä on las-

4 kennallsest tehokas ja mahdollstaa rakenteellsen jouston huomomsen reaalajassa. Menetelmässä oletetaan yleensä srtymä-venymäsuhteen olevan lneaarnen, mkä enllä muodonmuutokslla tääkn varsn tarkast akkansa. Reaalakasuuden kannalta menetelmän ernomasena omnasuutena on mahdollsuus vakuttaa järjestelmän taajuusssältöön sova muotoja valtsemalla. Loutuloksena vodaan smuloda reaalakasest järjestelmä, jossa on suura srtymä ja samanakasest enä lneaarsa muodonmuutoksa.. Reaalakanen smulont Smulont on reaalakanen, kun smulontmall reago ulkosn satunnasn herättesn määrätyssä ajassa ennakotavalla tavalla. Reaalakasen järjestelmän täytyy kakssa kuormtusolosuhtessa täyttää seuraavat ehdot: akaehto: smulonnn tulee suorttaa tetyt tomenteet asetetussa ajassa rnnakkasuusehto: usean taahtuman sattuessa samanakasest, tulee kakken akarajotteden toteutua ennustettavuusehto: järjestelmän tulee reagoda kakkn mahdollsn herättesn ennustettavast Herätteen ja malln vasteen välnen aka vakuttaa smulonttuloksn ja tästä johtuen malla on ystyttävä laskemaan asetetun akarajan ssällä. (Real-Tme Encycloeda) Reaalakasuus vodaan jakaa kahteen äätyyn, ehmeään ja kovaan. Pehmeässä reaalakasuudessa smulonnn akarajat saavutetaan usemmten, mutta akarajan ylttämnen e johda koko smulonnn eäonnstumseen. Kovassa reaalajassa reaalakaset rosesst suortetaan varmuudella tetyssä ajassa ja kakk muut vähemmän krttset rosesst saavat odottaa. Esmerkks koneden ohjausjärjestelmen on tomttava varmast kakssa tlantessa. Smulontmalln suortus vo eäonnstua ta tarkkuus kärsä, mkäl laskentaa e voda suorttaa jokasella aka-askeleella. Nyrkksääntönä vodaan tää stä, että tulokset hekkenevät, jos

5 reaalakasuus e täysn toteudu, mutta tulokset evät tsestäänselväst arane, vakka reaalakasuusvaatmuksa krstetään. Välttämätön edellytys kovalle reaalakasuudelle on rttävän en ja ennustettavssa oleva vaste satunnaslle herättelle. Mekatronsen koneen smulontmalln vaatmukset reaalakasuuden toteutuksesta ruvat tse mallsta, varsnkn käytetystä numeerssta menetelmstä ja sovelluksesta. Reaalakasuusvaatmus on ss harkttava taauskohtasest ja usen joudutaan tekemään komromss reaalakasuuden kovuuden ja laskentatarkkuuden välllä. Mkäl käytössä on vakomäärä laskentatehoa tarkottaa tukka reaalakasuusvaatmus stä, että smulontmalla on yksnkertastettava..2 Työn tavotteet Dlomtyö tehdään osana MARTSI rojektn osarojekta Joustaven kaaleden mallnnus. Osarojektn tärkemänä tavotteena on lttää joustavuuden kuvaus LTY:n reaalakasmulontymärstöön. Reaalakasmulontymärstö koostuu kahdesta erllsestä ohjelmasta, numeersesta ratkasjasta ja vsualsonnsta, ja nden välsestä tetolkenteestä. Numeernen ratkasja laskee malln dynaamsen käyttäytymsen ja vsualsont tuottaa käyttäjän näkyvlle kuvaa smulonnsta. Kuvassa 2 on esmerkk vsualsonnsta. Kuva on vsualsodusta reaalakasesta satamanostursta.

6 Kuva 2. Vsualsotu satamanostur. Kuvan 2 satamanostursmulaattorssa e ole huomotu rakenteellsta joustoa. Tämän työn keskesmänä tavotteena on krjottaa rakenteellsen jouston huomova monkaaledynamkan smulontohjelma. Tähän työhön asetetaan lsäks seuraavat reunaehdot: rakenteellnen jousto tulee kuvata käyttäen kelluvan koordnaatston menetelmää ja ohjelma tulee krjottaa Matlab-ymärstöön. Valms Matlab-ohjelma vodaan srtää C-kelelle ja sten saada akaan reaalakaseen smulontn soveltuva kood..3 Työn rajaus Tämän työn krjallsessa osassa tarkastellaan rakenteellsen jouston kuvaamsta kelluvan koordnaatston menetelmällä. Tutkmusosassa estellään kelluvan koordnaatston menetelmää esmerkn avulla. Työssä rajotutaan joustavuuden kuvauksen teoreettseen esttelyyn ja soveltamseen Matlab ymärstössä. Joustavuuden kuvauksen lsäämnen reaalakaseen C-kelseen kehtysymärstöön rajataan työn ulkouolelle.

7 2 JOUSTAVUUDEN KUVAUSMENETELMIÄ Rakenteellsella joustavuudella tarkotetaan kuormtuksen aheuttamaa kaaleen muodonmuutosta. Rakenteellsen jouston kuvaukseen on kehtelty useta erlasa menetelmä. Kakssa kuvaustavossa rakenne dskretsodaan numeersen laskennan mahdollstamseks. Joustavuutta vodaan kuvata esmerkks seuraavlla menetelmllä: Perntenen elementtmenetelmä (Bayo, Garca de Jalon 993 s. 389-392) Keskttyneden massojen eraate (Shabana 998 s. 6) Kelluvan koordnaatston menetelmä (Shabana 996) Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmä (Shabana 997a). Alun ern staattsn rakenneanalyysehn kehtetty elementtmenetelmä soveltuu myös kästtelemään kaaleden eälneaarsta dynamkkaa. Dynamkasta tulevat suuret kertymät ja srtymät vodaan huomoda käyttämällä eälneaarsta knematkan kuvausta. Elementtmenetelmä ohjautuu lneaarseen knematkan kuvaukseen, tällön suuret kertymät ja srtymät vodaan kuvata nkrementaalsest. Inkrementaalnen dynaamnen analyys vaat aljon laskenta-akaa ja vo aheuttaa vrhettä järjestelmän energataseessa. (Shabana, Mkkola 23) Eälneaarsella elementtmenetelmällä vodaan kuvata geometrsest eälneaarnen jousto ja suuret kertymät. (Baoy, Garca de Jalon 993 s. 389-392) Keskttyneden massojen eraatetta käytettäessä rakenne lkotaan stemassoks ja ntä yhdstävks jousks. Jokaselle massasteelle muodostetaan jäykän kaaleen lkeyhtälöt. Avaruustaauksessa kahden massasteen vällle tarvtaan kuus jousta, josta kolmella kuvataan massojen välstä translaatojäykkyyttä ja kolmella rotaatojäykkyyttä. Kuvassa 3 on estetty keskttyneden massojen eraate.

8 Nvel Alkutla Momentt Kuva 3. Keskttyneden massojen eraate. (Mkkola 997 s. 4) Kelluvan koordnaatston menetelmässä kaaleen tlaa kuvataan referensslkkeen ja muodolla kuvatun joustavuuden summana. Referensslke kuvataan kaaleen suhteen kelluvan referensskoordnaatston lkkeen avulla. Muotona vodaan käyttää oletettuja deformaatomuotoja, mutta yleensä muotona käytetään kaaleen omnasmuotoja, jotka ovat tosstaan rumattoma. Rumattomen muotojen käytön eräs etu on snä, että osa nertan kuvauksesta ysyy ajan suhteen vakona. (Shabana 998 s. 9) Referensslkkeen ja muodonmuutoksen välnen vuorovakutus huomodaan kaaleen nertan kuvauksessa. Joustavuuden kuvauksessa käytettävät muodot vodaan ratkasta elementtmenetelmän avulla. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 7) Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä joustavan kaaleen artkkeln asema kuvataan muotofunktoden ja solmukoordnaatten avulla suoraan globaalssa koordnaatstossa. Muotofunktot muodostetaan globaalen vaausasteden erusteella ja nllä vodaan kuvata jäykän kaaleen lke. (Shabana 997b s. 98-99) Absoluuttsten solmukoordnaatten menetelmässä laskenta vodaan

9 suorttaa e-nkrementaalsest ja nän energatase toteutuu laskentatarkkuuden rajossa. Lsäetuna menetelmässä on vako massamatrs. (Shabana, Mkkola 23 s. 488) Menetelmänä se kutenkn on laskennallsest raskaam kun esmerkks kelluvan koordnaatston menetelmä. Mantusta menetelmstä kelluvan koordnaatston menetelmä soveltuu reaalakaseen laskentaan arhaten laskennallsen tehokkuutensa taka. Kelluvan koordnaatston tehokkuus erustuu muotojen sueronontteknkan käyttöön, josta seuraa kaks merkttävää etua. Muotojen sueronontteknkassa vodaan vähentää ratkastaven muuttujen määrää, käyttämällä van joustavuuden kuvauksen kannalta merkttävä muotoja. On tärkeä huomata, että laskennan tarkkuuden kannalta vähten merktyksellsä muotoja ovat usen korkesn taajuuksn lttyvät muodot. Nden ostamnen vähentää järjestelmän korkeataajusten lmöden mallnnustarvetta ja mahdollstaa nän demmän aka-askeleen käytön.

3 KELLUVAN KOORDINAATISTON MENETELMÄ Tässä työssä estellään rakenteellsen joustavuuden kuvaus kelluvan koordnaatston menetelmällä ja lkeyhtälöden muodostamnen järjestelmälle, jossa on joustava kaaleta. Kuvaus tehdään käyttäen Lagrangen menetelmää sten, että globaal koordnaatsto on karteesnen. Lagrangen menettelytavassa järjestelmä kuvataan ylestetyllä koordnaatella ja snä vomat jaetaan ulkosn vomn ja rajotevomn. Menetelmä kuuluu energamenetelmn ja snä järjestelmää kästellään kokonasuutena skalaararvoslla funktolla, kuten lke-energa- ja otentaalenergafunktolla. Lagrangen menetelmän johtamsen erustana on D Alembertn eraate, jonka mukaan kaaleen nertavoma vodaan kästellä kuten ulkosa voma. Lagrangen mekankassa systeemä e tarvtse lkkoa osn rajotevomen ratkasemseks kuten Newtonn menetelmässä. (Salm 997 s. 249) Jäykän kaaleen kuvaamseen rttää karteessessa koordnaatstossa kuus vaausastetta. Kaaleen jousto vodaan esttää yksttästen solmujen asematetojen avulla. Yksttästen solmujen asematetojen kästtely on kutenkn laskennallsest raskasta. Kelluvan koordnaatston menetelmässä oletetaan joustavuus usen lneaarseks ja se kuvataan rakenteen oletetulla deformaatomuodolla. Mkäl srtymä-venymäsuhdetta e oleteta lneaarseks, e muotojen sueronontteknkan käyttö ole mahdollsta. Muotojen sueronontteknkan avulla vodaan rakenteen joustavuuden kuvaukseen käytettäven vaausasteden määrää vähentää mahdollsest joa sadosta tuhanssta vaausastesta muutamaan kymmeneen. Kelluvan koordnaatston menetelmän erustana on erottaa kaaleen deformaato referensskoordnaatston lkkeestä. Referensskoordnaatston lke e tarkota samaa kun jäykän kaaleen lke, vakka lkkeet vovat olla lähellä tosaan. Referensslkkeen kuvaukseen käytettävä koordnaatsto vo lkkua kaaleen lokaaln koordnaatston suhteen, ruen kaaleeseen mallnnuksen akana ltetystä reunaehdosta. Referensskoordnaatella kuvataan kaaleen asema ja orentaato valtussa koordnaatstossa. Kaaleen dynamkan oletetaan syntyvän

referensslkkeestä, johon sueronotuu kaaleen deformaato. Deformaato kuvataan muodolla kaaleen referensskoordnaatston suhteen. Kaaleen dynaamnen käyttäytymnen saadaan suoravvasest summaamalla referensskoordnaatston lkkeeseen muotojen kuvaama deformaato. Referensskoordnaatston lkkeen ja deformaaton välnen vuorovakutus huomodaan massamatrsn ja nelöllsen noeusvektorn avulla. (Shabana 998 s. 9-94) 3. Partkkeln aseman kuvaus joustavassa kaaleessa Kaaleden vodaan ajatella koostuvan artkkelesta. Kun kaaleen artkkelen asema e muutu tostensa, ekä kaaleen lokaaln koordnaatston suhteen sanotaan kaaletta jäykäks. (Shabana 998 s. 28) Kuvassa 4 on estetty artkkeln P aseman kuvaus deformotuneessa kaaleessa. Kaaleen referensskoordnaatston asema kuvataan globaallla asemavektorlla R. z y x u P P O u P, u P, f R r P Y Z X Kuva 4. Partkkeln P kuvaus globaalssa koordnaatstossa.

2 Kaaleen artkkeln P aseman kuvaus globaalssa koordnaatstossa muuttuu kaaleen lkkuessa. Partkkeln asema globaalssa koordnaatstossa vodaan määrttää, kun tedetään referensskoordnaatston asema ja orentaato, sekä artkkeln asema referensskoordnaatston suhteen, joka joustavassa kaaleessa on funkto ajasta. (Shabana 998 s. 93 94) Joustavan kaaleen artkkeln P akka vodaan globaalssa koordnaatstossa kuvata vektorlla r P, joka huomo artkkeln P lkkeen suhteessa referensskoordnaatstoon. Joustavan kaaleen aseman kuvaus vodaan esttää seuraavast: ( u ) r = + (3.) P R + A u P = R + A P, u P, f mssä R on lokaaln koordnaatston asemavektor A on kertomatrs u P on artkkeln P asemavektor lokaalssa koordnaatstossa u on artkkeln asemavektor alkutlassa P, P, f u on artkkeln P aseman deformaatovektor lokaalssa koordnaatstossa. Vektort r ja R on kuvattu globaalssa koordnaatstossa ja sks on tärkeää ystyä kuvaamaan myös lokaalssa koordnaatstossa tunnetun steen P komonentt globaaln koordnaatston suhteen. Transformaatomatrslla A vodaan kaaleen lokaalssa koordnaatstossa kuvattu vektor muuntaa globaaln koordnaatstoon ja änvaston. (Shabana 99. s. - 2) Kaaleen lokaaln koordnaatston kerto vo taahtua kolmen er globaaln koordnaattakseln ymär. Eräs kolmen arametrn rotaatokuvaus on Eulern kulmen käyttö. Kuvauksessa kerretään lokaala koordnaatstoa kolme kertaa sten, että tonen ja kolmas kerto taahtuvat jo kerretyn koordnaatston akseln ymär. Kuvaus on fyskaalsessa melessä selkeä, mutta ongelmana Eulern kul-

3 men käytössä on sngulaarsuus. Tämä on ongelmana ana, kun kulmaestyksessä käytetään van kolmea muuttujaa. Eulern kulmen rotaatokuvauksessa kerrot evät ole ana rumattoma. Eulern kulma käytettäessä on mahdollsta valta kertokulmat sten, että kaks kertoa taahtuu saman akseln ymär ja tällön kertoja e voda erottaa tosstaan. Ongelma e ostu kertojärjestystä muuttamalla. Ottamalla käyttöön neljä arametra ja yks rajoteyhtälö saadaan kolmen rumattoman arametrn rotaatokuvaus. Eräs vahtoehtonen ja ylesest monkaaledynamkan smulontohjelmstossa käytössä oleva rotaatomatrsn estystaa on Eulern arametrestys. Eulern arametrestys saadaan, kun yhteys θ θ snθ = 2sn cos (3.2) 2 2 sjotetaan Rodrguezn yhtälöön (estetty lähteessä Shabana 998 s. 3-3): = + 2 ~ θ θ + 2 ~ θ A I vsn I cos v sn 2 2 2 (3.3) mssä v ~ on vnosymmetrnen muoto ykskkövektorsta v. Rodrguezn yhtälön johtamsta varten knntetään kaaleeseen melvaltanen ykskkövektor v, jonka ymär kaaletta kerretään kulman verran. Verrattaessa kaaleen asemavektora ennen ja jälkeen kerron, saadaan kerron kuvaukseks A yhtälöstä (3.3). (Shabana 998 s. 3) Sjottamalla yhtälöön (3.3) seuraavat merknnät: θ θ θ θ θ = sn, θ = v cos, θ 2 = v2 cos, θ 3 = v3 cos (3.4) 2 2 2 2 Saadaan kertomatrsks A seuraavanlanen estys:

4 2( θ2 ) 2( θ3) A = 2( θθ 2 + θθ 3) 2( θθ 3 θθ 2 ) 2( θ θ 2 2 2( θ ) θ θ ) 2( θ ) 2( θ θ + θ θ ) 2 3 3 3 2 2( θ θ + θ θ ) 3 2( θ θ 2 3 2 2( θ ) θ θ ) 2 2( θ ) 2 2 (3.5) Kaaleen rotaato kuvataan ss vektorlla = [ θ θ θ ] T 2 θ3 (3.6) mssä komonentt,, 2 ja 3 ovat Eulern arametreja. Eulern arametreja käyttämällä saadaan rotaatoestys, joka e muutu sngulaarseks mllään kulmayhdstelmällä. Eulern arametren neljä arametra sdotaan kolmeks rumattomaks arametrks seuraavalla rajoteyhtälöllä (Shabana 998, s. 3-34): T = θ θ 2 2 2 2 + θ + θ 2 + 3 = (3.7) Eulern arametren ongelmana on vakeast havannollstettava arametren fyskaalnen merktys. Kaaleen srtymätlan tarkka kuvaus vaat äärettömän määrän vaausasteta. Kaaleen srtymätlaa vodaan aroksmoda elementtmenetelmällä sten, että srtymätla ratkastaan dskretsodun kaaleen solmussa ja muden steden srtymätla nterolodaan muotofunktolla (Agrawal, Shabana 984). Monkaaledynamkassa on harvon tarvetta laskea joustavan kaaleen vastetta ykstyskohtasest. Käyttämällä muotojen sueronontteknkkaa vodaan ratkastaven muuttujen lukumäärää alentaa merkttäväst. Menetelmässä srrytään solmukoordnaatesta modaalkoordnaattehn, jollon vodaan systeemn srtymätla laskea huomattavast alkueräsä vaausasteta enemmällä määrällä vaausasteta. Ratkasemalla elementtmenetelmässä rakenteen värähtelyjen omnasarvotehtävä saadaan tuloksena muotomatrs, joka ssältää ylesessä taauk-

5 sessa solmujen kakk vaausasteet kuvattuna muodolla. Monkaaledynamkassa muotomatrs tulee jakaa erkseen translaato- ja rotaatokomonenttehn. Muotomatrs vodaan hajottaa kahteen osaan seuraavast (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 2 22): R = θ (3.8) mssä ( ϕ,...ϕ ) R t on kaaleen solmujen translaatota kuvaava muotomatrs θ t, n ( ϕ ) r,...ϕ r, n on kaaleen solmujen rotaatota kuvaa muotomatrs. Kaaleen yksttäsen solmun n deformaatovektora u vodaan kuvata modaalkoordnaatella seuraavast: n f, u f, n = R, n f, n =,2, Kn n (3.9) mssä R,n on kaaleen muotomatrsn solmuun n lttyvä osa f on kaaleen elaststen koordnaatten vektor n n on kaaleen solmujen kokonasmäärä. Muotomatrsn osa R,n on kooltaan ( 3 n ) ja ssältää elkät translaatohn lttyvät muodot. (Shabana 998 s. 25) Sjottamalla yhteys (3.9) artkkeln P asemavektorn yhtälöön (3.) saadaan joustavan kaaleen artkkeln P asemaavektorks seuraavanlanen estys: ( u + u ) = R + A ( u ) P = R + A P, P, f P, R f (3.) r +

6 Käyttämällä ortogonaalsta muotomatrsa saadaan jouston kuvauksessa käytettävät jäykkyys- ja massamatrst dagonaalmuotoon. Käytettävät muodot vodaan valta kuormtustaauksen mukaan, koska muodolla e ole tosnsa mtään kytkentää. (Ottarsson 998 s. 6) 3.2 Kaaleen noeus ja khtyvyys Kaaleen noeus saadaan dervomalla aseman kuvaus (yhtälö 3.) ajan suhteen: r & & & + & P = R + A u P A u P (3.) Kertomatrsn akadervaatta A & vodaan esttää muodossa: A& = ~ A (3.2) mssä ~ on vnosymmetrnen kuvaus lokaalesta kulmanoeukssta. Lokaaln koordnaatston kulmanoeusvektorn ja Eulern arametren ensmmäsen akadervaatan & vällle vodaan esttää seuraava eälneaarnen yhteys: = G & (3.3) mssä G on lokaal noeusmuunnosmatrs ja se määrtellään seuraavast: G θ = 2 θ 2 θ3 θ 3 2 θ θ θ θ 3 θ θ 2 θ θ (3.4) Rotaatokuvaus on mahdollsta tehdä myös muuten kun Eulern arametreja käyttäen, kunhan matrs G toteuttaa vaadtun kuvauksen.

7 Partkkeln P lokaaln asemavektorn akadervaatta vodaan esttää seuraavast: u & u& u& u& P, + P, f = P, R& (3.5) P = + mssä u& P, =, alkuasemavektor on ajan suhteen vako u& on deformaatosta aheutuva artkkeln P noeus ja P, f & R on muotomatrsn translaatokomonentten osuuden ja modaalkoordnaatten noeuden tulo. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 22) Ylestettyjen koordnaatten avulla artkkeln noeus vodaan esttää seuraavast: ~ r & = R& A u G & + A u& P P P, f = R & A ~ ~ ( u ) G & + + A & R R (3.6) Ottamalla käyttöön jäykän kaaleen translaaton ja rotaaton välselle kytkennälle seuraava lyhennysmerkntä: B P ~ ~ ( u ) G = ~ A u G = A (3.7) + R ja erottelemalla yhtälöstä (3.6) ylestettyjen koordnaatten noeudet omaks vektorks saadaan kaaleen artkkeln P akkavektorn akadervaatta estettyä seuraavast: R& r & P = + & ~ ~ [ I A ( u ) G A ] & + = R& + B & A & R R R (3.8) mssä I on ( 3 3) ykskkömatrs. Käyttämällä seuraavaa lyhennysmerkntää:

8 [ I B A ] L = (3.9) R saadaan artkkeln noeus estetty seuraavast: R& r P [ I B A R ] & & = = L q& (3.2) & Dervomalla yhtälö (3.2) ajan suhteen saadaan artkkeln P khtyvyys seuraavast: = L& q& (3.2) & r P L q&& + mssä L & q& on nelöllnen noeusvektor, joka ssältää kuvauksen nelöllsen noeuden aheuttamsta vomsta. Lyhennysmerknnän L dervaatta ajan suhteen vodaan esttää seuraavast: [ B& & ] L & = A R (3.22) mssä B& AuG & ~ ~ & ~ & = AuG AuG Purkamalla auk yhtälön (3.2) lyhennysmerknnät saadaan artkkeln P khtyvyydelle seuraava estys: & r P = R&& + ~ ~ A up + ~ & A up + 2 ~ A u& P + A u& P (3.23) mssä ~ on vnosymmetrnen estys kaaleen kulmanoeudesta globaalssa koordnaatstossa R & on lokaaln koordnaatston khtyvyys ~ ~ on khtyvyyden normaalkomonentt A up

9 &~ A up A up on khtyvyyden tangenttkomonentt 2 ~ & on khtyvyyden korolskomonentt A & on kaaleen deformaatosta syntyvä artkkeln P khtyvyys. up (Shabana 998 s. 2) (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 22-23) 3.3 Muotomatrsn muodostamnen Muotomatrs vodaan muodostaa elementtmenetelmän avulla. Muotomatrsn muodostamseks tarkastellaan rakenteen omnasarvotehtävän ratkasua. Elementtmenetelmässä vamentamattoman järjestelmän lkeyhtälö vodaan esttää muodossa: M u&& + Ku = Q f f e (3.24) mssä M on massamatrs u f on solmusrtymen vektor K on jäykkyysmatrs Q e on ulkosten vomen vektor. Käytettäessä vaaan värähtelyn omnasmuotoja kuvaamaan kaaleen deformaatota muodostuu ongelmaks usen se, että muodot evät välttämättä kuvaa oken nvelten ta ulkosten vomen ltyntäaluetta. Ongelmaan on ratkasuks kehtetty osarakenneteknkka, jossa osa kaaleen vaausastesta valtaan lttymävaausasteks ja nssä suuretkn akallset deformaatot saadaan kuvattua oken. (Crag, Bamton 968) Kuvassa 5 on estetty eräs taa jakaa vaausasteet ssäsn ja ulkosn vaausastesn.

2 Lttymävaausaste Ssänen vaausaste Kuva 5. Vaausasteden jako ulkosn ja ssäsn vaausastesn. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 7) Olkoon rakenteen jäykkyysmatrs K ja massamatrs M. Matrst vodaan jaotella lttymävaausastesn (B) ja ssäsn vaausastesn (I). Alkueräsessä rakenteessa vovat lttymävaausasteet sjata melvaltasssa akossa. Matrseja tulee järjestellä uudelleen vahtamalla rven ja sarakkeden järjestystä sten, että järjestelyjen jälkeen vodaan rakenteen jäykkyysmatrs esttää seuraavast: K K = K BB IB K K BI II (3.25) ja vastaavast massamatrs M vodaan jakaa ssäsn ja ulkosn vaausastesn seuraavast: M M = M BB IB M M BI II (3.26) Edellä estetyn jaottelun mukasest vodaan joustavan jäsenen lkeyhtälö esttää muodossa: M M BB IB M M BI II u&& u&& B f I f K + K BB IB K K BI II u u B f I f F = F B f I f (3.27)

2 Käyttämällä yhtälön (3.27) mukasta jaottelua, vodaan ssäsn vaausastesn I u f lttyvät omnasmuodot ratkasta yhtälöstä: II II N ( K M ) = ω 2 (3.28) λ λ mssä 2 ω λ on omnasarvo N λ omnasarvoon lttyvä omnasmuoto el normaalmuoto. Yhtälöstä (3.28) saadaan ratkastua tuetun rakenteen omnasmuotomatrs N N N ( ).... Osarakenteen staattset korjausmuodot määrtellään asettamalla n P kuhunkn rajotteeseen ykskkösrtymä, tämällä muut rajotteet vomassa ja ssäset vaausasteet vaana. Staattset korjausmuodot ratkastaan staattsesta tasaanoyhtälöstä: B F K = I F K BB IB K K BI II u u B I (3.29) Staattset korjausmuodot löydetään kun ssäsn vaausastesn vakuttava voma F I asetetaan nollaks: I II IB B C B [ K ] K u u u = = (3.3) mssä I u on osarakenteen ssästen vaausasteden fyysnen srtymävektor B u on osarakenteen lttymävaausasteden fyysnen srtymävektor C on muotomatrs, joka ssältää staattset korjausmuodot. Rakenteen loullnen omnasmuotomatrs saadaan yhdstämällä värähtelyjen omnasarvotehtävästä ratkastu normaalmuotomatrs ja staattset korjausmuodot ssältävä matrs seuraavast:

22 B u I I u C N C N = V (3.3) mssä I ja ovat ykskkömatrs ja nollamatrs C on ssästen vaausasteden fyysset srtymät staattsssa korjausmuodossa N on ssästen vaausasteden fyysset srtymät tuetussa muodossa C on staattsten korjausmuotojen modaalkoordnaatt N on tuettujen muotojen modaalkoordnaatt V on reunaehtomuodot ja staattset korjausmuodot ssältävä omnasmuotomatrs. Tulokseks saadaan muotomatrs, joka kuvaa rakenteen reunaehtoja ja staattsa korjausmuotoja. Muotovektorn avulla vodaan nän kuvata ylestä reunaehtotaausta monkaaledynamkassa. Hankaluutena staattsten korjausmuotojen käytössä on se, että korjausmuotojen kanssa ratkastut muotomatrst evät ole ortogonaalsa. Staattset korjausmuodot evät ssällä eälneaarsessa smulonnssa tarvttavaa tetoa nden taajuukssta. Korjausmuotoja e myöskään vo ostaa, sllä se vastaa rajotteden asettamsta. (Ottarsson 998 s. 6) Ongelmaa vodaan kertää ortonormalsomalla muotomatrs, jonka tuloksena massa- ja jäykkyysmatrs saadaan dagonaalsks. Tämä vodaan toteuttaa ratkasemalla omnasarvot ja -muodot yhtälössä (3.28) estellylle matrselle ( K ˆ 2 Mˆ * ) = ω (3.32) λ mssä jäykkyys ja massamatrst on normeerattu seuraavast: V,T ˆ= K V (3.33) K V,T ˆ= M V (3.34) M

23 * * * Yhtälöstä (3.32) saadaan loullseks muotomatrsks [ ϕ Kϕ ] n, joka ortogonalso muotohn lttyvät massa- ja jäykkyysmatrsn seuraavast: Kˆ d = *T K ˆ * 2 ω = O ω 2 n P (3.35) * T ˆ * M ˆd = M = I (3.36) mssä I on ( n n ) ykskkömatrs sten, että n on muotojen määrä. Menetelmässä katoaa omnasmuotojen fyysnen merktys ja yhtälöstä (3.35) ja (3.36) on vakea erottaa tosstaan tuetut muodot ja staattsn korjausmuotohn lttyvät muodot. Estetty menetelmä on ylenen, ekä tee oletuksa monkaaledynamkassa käytettävstä nvelstä. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 9) Lttymäsolmuks valtaan usen kaaleen nvelten lttymäsolmut, solmut john on keskttynyt voma ja sellaset solmut jodenka ykstyskohtasesta vasteesta ollaan knnostuneta. 3.6 Joustavan kaaleen nerta Monkaaledynamkassa kaaleen nerta kuvataan kaaleen lokaalssa koordnaatstossa ja tästä syystä massamatrssta tulee osttan kaaleen orentaatosta ruva. Nän massamatrs tulee ratkasta jokasella aka-askeleella. Koska nerta kuvataan lokaalssa koordnaatstossa, tulee kaaleen yörmsestä johtuvat nelöllsestä noeudesta ruvat vomakomonentt huomoda. Suoravvanen menettelytaa on kerätä suoraan khtyvyyskomonenttehn lttyvät nertaomnasuudet omaan matrsnsa ja nelöllsestä noeudesta ruvat komonentt omaan vektornsa.

24 3.6. Inertavomen tekemä työ Joustavan kaaleen nertavomen tekemä työ vodaan esttää muodossa: W = V,T & ρ r r dv (3.37) mssä & r& on artkkeln khtyvyys r on artkkeln asema. Inertavomen tekemä vrtuaalnen työ vodaan lausua seuraavast (Shabana 998 s. 229): δw = V ρ δr,t & r dv (3.38) mssä δ r on aseman vrtuaalnen muutos. Aseman vrtuaalsen muutoksen transoos vodaan esttää seuraavast: δr,t = [ δr δ δ ] I B T,T [ ] T A R (3.39) Purkamalla auk lyhennysmerknnät artkkeln khtyvyyden yhtälöstä (3.2) ja ommalla nelöllseen noeuteen lttyvät termt yhtälöstä (3.23) saadaan khtyvyys seuraavaan muotoon: R&& r [ I B A R ] && ~ ~ ~ && = + A u + 2A R& (3.4) &&

25 Sjottamalla vrtuaalsen aseman muutoksen (3.39) ja khtyvyyden (3.4) kuvaukset yhtälöön (3.38) saadaan nertavomen tekemäks vrtuaalseks työks seuraavanlanen estys: δw = V ρ [ δr δ δ ] L,T R&& L && ~ ~ + A && u ~ + 2A R & dv (3.4) Määrtellään osa nertavomen tekemästä vrtuaalsen työn lausekkeesta massamatrsks: M = V,T ρ L L dv (3.42) Purkamalla auk lyhennysmerknnät saadaan massamatrs estettyä seuraavast: M = V T I,T ρ B [ I B A R ] dv (3.43) T [ ] A R Kertolaskun suorttamalla saadaan kaaleen massamatrsks: M = V I B A R,T,T ρ B B B A R dv (3.44),T symmetrnen R R Määrtellään osa nertavomen tekemästä vrtuaalsen työn lausekkeesta nelöllseks noeusvektorks: Q v ~ ~ ~ [ A u 2A & ] T ρ L + R dv (3.45) = V

26 Purkamalla auk lyhennysmerkntä L saadaan nelöllseks noeusvektorks seuraava estys: Q v = V T ~ ~ ~ I [ A u + 2A R& ],T ~ ~ ~ B [ A u + 2A R& ] T ~ ~ ~ [ A ] [ A u + 2A & ] ρ dv (3.46) R R Edellä estetty taa muodostaa kaaleen massamatrs M ja nelöllnen noeusvektor Q v ovat suoravvasa, mutta numeersen ratkasun kannalta e ole melekästä laskea ajan suhteen vakona sälyvä termejä jokasella aka-askeleella erkseen. Sekä massamatrs että nelöllnen noeusvektor ssältävät ajan suhteen vakona sälyvä komonentteja. Massamatrsn yhteydessä nästä komonentesta käytetään usen nmtystä massanvarantt. Massanvarantt tulee ratkasta eskästtelyssä ennen varsnasten lkeyhtälöden ntegromsta. 3.6.2 Massamatrs ja massanvarantt Joustavan kaaleen kneettnen energa vodaan lausua muodossa: T 2 = V ρ r &, T r& dv (3.47) Sjottamalla kaaleen melvaltasen steen noeus (yhtälö 3.2) yhtälöön (3.47) saadaan kneettnen energa loulta estettyä muodossa: T = q & T M q& (3.48) 2 mssä q& on kaaleen ylestettyjen koordnaatten noeudet ssältävä vektor M on kaaleen massamatrs, joka vodaan esttää komonentettan seuraavast:

27 M M = M M R, R θ, R, R M M M R, θ θ, θ, θ M M M R, θ,, (3.49) mssä M Mˆ = I, = d. Massamatrs koostuu yhdeksästä komonentsta. Komonentten alandekst vttaavat translaatokoordnaattehn (R), rotaatokoordnaattehn ( ) ja modaalkoordnaattehn (). Osamatrst muodostuvat ajasta ruvsta ja ajasta rumattomsta termestä. Ajasta rumattoma termejä kutsutaan nvaranteks. Kaaletta kuvaava yländeks on selvyyden vuoks jätetty os massamatrsn oson komonentesta. Alandekst j ja k tarkottavat summaa muotojen yl. Massamatrsn komonentt vodaan krjottaa muodossa: M M = ρ IdV I I ( 3 3) (3.5) V R, R = R ~ ~ 2 3 ( + ) GdV = A( I + I )G, θ = ρa u V t ( 3 4 ) (3.5) 3 M R, = ρ = AI V tdv ( 3 n ) (3.52) ~ ~ T ~ ~ ( u + t) ( u ) 8 8,T 9 [ I + I ] I T Mθ, θ = ρg V + t GdV ( 4 4 ) (3.53) T 7 = G [ I ]G j j j, j ~ ~ T T 4 5 ( u + ) dv = G [ I I ] T θ, = ρ G V t t j j ( n M + T 6, = I V t tdv j k 4 ) (3.54) M ρ = ( n n )(3.55) T, R M R, M = ( n 3) (3.56) T θ, R M R, θ M = ( 4 3) (3.57) T, θ Mθ, M = ( n 4 ) (3.58) Komonentt I I 9 ovat nvarantteja. Ajasta rumattomna ntä e tarvtse laskea jokasella aka-askeleella erkseen, rttää että ne lasketaan kerran. Invaran-

28 tt vodaan laskea tlavuusntegraalena ta dskreetssä taauksessa summna seuraavast: Joustavan kaaleen kokonasmassa: mssä I = V ρdv n n = m n n on solmujen lukumäärä. (3.59) Ensmmänen staattnen momentt: 2 n n I = ρ u dv m u (3.6) V = Panosteen aseman deformaatosta johtuva korjaus: mssä nn 3 j = V jdv = I ρ m j = K n (3.6), j n on muotojen lukumäärä Deformaaton ja rotaaton kytkentä: 4 ~ I = ρ u dv m ~ u (3.62) V n n = t Deformaaton ja rotaaton kytkennän tosen asteen korjaus: 5 I = ~ ρ dv m ~ j = Kn (3.63) j V j n n = t, j t Joustavan kaaleen modaalmassa: 6 n n I = ρ dv m (3.64) V T =,T t t Joustavan kaaleen htausmomentt: 7 ~ T~ ~ T~ I = ρ u u dv m u u (3.65) V n n =

29 Htausmomentn ensmmäsen asteen korjaus 8 ~ T ~ I = ρ u ~ dv m u ~ j =, K, n (3.66) j V j n n =, j Htausmomentn tosen asteen korjaus 9 I = ρ ~ ~ dv m ~ ~ j, k =, K, n (3.67) jk V j k n n =, j, j Analyysn laskentaa vodaan noeuttaa asettamalla nvarantteja nollks, mutta tällön tulosten tarkkuus hekkenee. Invarantten nollaus kannattaa alottaa nvarantesta I 5 ja I 9 (tosen asteen nertakorjaukset), koska ne ovat raskaat laskea, mutta vakuttavat vähten laskentatarkkuuteen. (Soanen 999 s. 26) 3.7 Ylestetyt vomat Ylestetyllä vomlla tarkotetaan voma, jotka lttyvät systeemn ylestettyhn koordnaattehn. Ylestettyjen vomen avulla vodaan kaaleen steessä vakuttavat ulkoset vomat ja momentt kohdstaa kaaleen ylestettyhn koordnaattehn. Joustavan järjestelmän ylestetty vomavektor saadaan muodostettua soveltamalla vrtuaalsen työn eraatetta systeemn tasaanotlaan: δ W = δw s + δw e (3.68) mssä δw on kaaleeseen kohdstuven vomen tekemä vrtuaalnen työ δ W s on elaststen vomen tekemä vrtuaalnen työ δ W e joustavaan kaaleeseen kohdstuvn ulkosten vomen tekemä vrtuaalnen työ. Elementtmenetelmän avulla elaststen vomen tekemä vrtuaalnen työ vodaan krjottaa dskreetssä muodossa:

3 s, δw = δq T K q (3.69) mssä K on kaaleen jäykkyysmatrs q on kaaleen ylestettyjen koordnaatten vektor. Joustavan kaaleen jäykkyys lttyy anoastaan ylestettyhn modaalkoordnaattehn, ekä modaalkoordnaatella ole jäykkyysmatrsssa kytkentää muhn ylestettyhn koordnaattehn. Nän ollen vodaan yhtälö (3.69) krjottaa muodossa: δ W s =,T,T,T [ δr δ δ ] Kˆ d R (3.7) mssä Kˆ d on elementtmenetelmästä saatu ortogonaalnen jäykkyysmatrs. Yhtälö (3.7) vodaan krjottaa seuraavassa muodossa: δw = δq,t Kˆ (3.7) s d Joustavaan jäseneen kohdstuven ulkosten vomen tekemä vrtuaalnen työ vodaan krjottaa muodossa: r δ We = Feδr = Fe δq = Q eδq (3.72) q mssä Q e on ulkossta vomsta muodostettu ylestetty vomavektor. Vastaavalla tavalla vodaan krjottaa vrtuaalseen työhön vomavektor: δ W lttyvä ylestetty

3 W q Q δ δ = (3.73) Sjottamalla yhtälöt (3.7), (3.72) ja (3.73) alkueräseen työn tasaanoyhtälöön (3.68) saadaan järjestelmän ylestettyjen vomen tasaanoyhtälöks: e Q K q Q + = (3.74) Partkkeln P vrtuaalnen srtymä vodaan esttää seuraavast: [ ] = P P R A G u A I r δ δ δ δ ~ (3.75) Sjottamalla artkkeln P vrtuaalsen srtymän r δ yhtälö (3.75) ulkosten vomen tekemän vrtuaalsen työn yhtälöön (3.72) saadaan ulkosten vomen tekemäks vrtuaalseks työks: P P P e W A F G u A F R F δ δ δ δ + = ~ (3.76) Yhtälö (3.76) vodaan esttää muodossa: P R e W F F R F δ δ δ δ θ + = (3.77) mssä R F F = (3.78a) P G u A F F ~ = θ (b) A F F = (c) θ F kuvaa vomakomonentn srrosta lokaaln koordnaatstoon aheutuvaa momenttvakutusta. Kaaleeseen vakuttaven globaalen momentten T kuvaus ylestetyssä koordnaatessa vodaan esttää seuraavast:

32 F θ = G,T T (3.79) Vastaavast lokaalssa koordnaatstossa kuvattujen momentten kuvaus ylestetyssä koordnaatessa vodaan lausua seuraavast: F θ = G,T A T (3.8) Jos kaaleeseen vakuttaa useta ulkosa voma ja momentteja vodaan yhtälö (3.76) esttää muodossa: e δw T T T ( Q ) δr + ( Q ) δ + ( Q ) δ = (3.8) e R P e θ e mssä ( ) T e R ( ) T e θ Q on srtymäkoordnaattehn lttyvä ylestetty vomavektor Q on kertymäkoordnaattehn lttyvä ylestetty vomavektor ( ) T e Q on joustavuutta kuvaavn koordnaattehn lttyvä ylestetty vomavektor. Ylestetty vomavektor, lman elaststen vomen osuutta, koostuu seuraavsta komonentesta: T ( ) = n Q F e R = F,T nt nt nf ( Q ) T,T,T,T T + AT F A u ~ G e θ = T ( ) = n Q F e = = = = F,T A (3.82a) (b) (c)

33 Kaaleen yrkmys alautua deformotumattomaan tlaan huomodaan elastslla vomlla. Kun elastset vomat huomodaan, saadaan yhtälön (3.82c) modaalkoordnaattehn lttyväks ylestetyks vomaks: n T F ( Q ),T F A Kˆ e = = d (3.83) (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 28-29) 3.8 Nvelrajotteden huomomnen Monkaaledynamkassa joustava kaale lttyy muhn järjestelmän kaalesn nvelrajotteden avulla. Nvel vodaan lttää joustavan kaaleen melvaltaseen steeseen. Lkerajotteden kuvaamsta vakeuttaa se, että monkaaledynamkassa ja elementtmenetelmässä rajotteden määrtelmät ovat erlaset. Elementtmenetelmässä rajotteet kuvataan suhteessa lkkumattomaan globaaln koordnaatstoon, kun taas monkaaledynamkassa lkerajotteet kuvaavat kaaleden lttymstä tosnsa. (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 5) Nvelrajotteet vodaan huomoda sjottamalla rajoteyhtälöt suoraan lkeyhtälöhn, jollon saadaan systeemn vaausasteden mukanen määrä lkeyhtälötä. Ongelmaks muodostuu usen saatujen yhtälöden vomakas eälneaarsuus ja stä johtuvat mahdollset ongelmat numeersessa ratkasussa. Tässä työssä käytetään Lagrangen kertomen menetelmää. Tällön lkeyhtälöhn täytyy lsätä rajotteta kuvaava vektor. Monkaalejärjestelmään kuuluva nvelä el rajoteyhtälötä vodaan kuvata seuraavast (Shabana 998 s. 225): (, t) = C q (3.84)

34 Lkeyhtälöden numeersta ratkasua varten on tareen dervoda rajoteyhtälö kahdest ajan suhteen. Kun rajoteyhtälö (3.85) dervodaan ketjusääntöä soveltaen saadaan: C q q& C = (3.85) + t mssä C t on rajotteen akadervaatta. Jos rajotteet evät ole ajasta ruva, on vektor C t nolla. Rajotteden tonen dervaatta vodaan vastaavast ratkasta dervomalla yhtälö (3.86) käyttäen ketjusääntöä: ( C q) q& C q& + C q& + C q& + C q & (3.86) q + t, q q, t q t, t = mssä C q on rajoteyhtälöden Jacobn matrs, el rajoteyhtälöden osttasdervaatta ylestettyjen koordnaatten suhteen. Dynaamsessa analyysssä tarvttava rajotteden Jacobn matrs C q koostuu rajoteyhtälöden osttasdervaatosta ylestettyjen koordnaatten suhteen. Jacobn matrsssa ( n n ) on rvejä yhtä monta kun järjestelmässä on rajoteyhtälötä c q ja sarakketa yhtä monta kun järjestelmässä on ylestettyjä koordnaatteja. Dynaamsessa analyysssä on järjestelmässä ana enemmän ylestettyjä koordnaatteja kun rajotteta. Yhtälössä (3.87) alandekst tarkottavat osttasdervaattoja annettujen muuttujen suhteen annetussa järjestyksessä. Rajoteyhtälöden Jacobn matrs on määrtelty seuraavast: C q C q C = q M C q 2 n C q C q M C q 2 2 2 n 2 L L L C q C q M C q n 2 n n n (3.87)

35 Ratkastaan khtyvyydet yhtälöstä (3.86): C q q& = (3.88) Q c Q = C q& q& 2C q& C on rajotevoma. (3.89) mssä c ( q ) q, t t, t q Monkaaledynamkassa on kolme erusrajotetta, jota yhdstelemällä vodaan rakentaa kakk mekansmen kästtelyssä tarvttavat nvelet. Perusrajotteet ovat: Kahden vektorn symmetrnen kohtsuoruus Kahden vektorn eäsymmetrnen kohtsuoruus Psteden yhtenevyys Kaalesn lttyvät nvelet evät ylesessä taauksessa sjatse kaaleen tunnetussa stessä evätkä edes kaaleen tunnetun koordnaatston suuntasest. Tästä syystä määrtellään kaaleeseen nvelkoordnaatsto, jonka suhteen nvel estetään. Kuvassa 6 on estetty tunnettujen kaaleden ja j tunnettuhn stesn asetetut globaalt vektort a ja a j.

36 a f h g h j f j g j Z a j Y X Kuva 6. Kaalesn ja j knntetyt vektort a ja a j. Vektoreden a ja a j välnen kohtsuoruusrajote C d vodaan esttää nden välsen stetulon avulla: d C j,t j (, a ) = a a = a (3.9) Kuvaamalla vektort a ja a j kaaleden lokaalessa koordnaatstossa estettyjen vektoreden, sekä kertomatrsn avulla, saadaan kohtsuoruusrajotteeks: d C,T,T j j (, a ) = a A a A = a (3.9) Koska rajote ruu kummankn kaaleen kertomatrssta, rajottaa se kahden kaaleen välsen orentaaton. Kohtsuoruusrajote vodaan kuvata myös käyttämällä kaaleeseen knntettyä vektora a ja kaaleden kahta vaaast valttua

37 stettä yhdstävää vektora d,j. Oletetaan, että d,j e ole nolla, tällön saadaan rajoteyhtälöks: d C 2, j,t, j (, d ) = a d = a (3.92) Esttämällä d,j ylestettyjen koordnaatten avulla: d, j = R j + A j u j P R A u P (3.93) saadaan toseks kohtsuoruusrajotetyyks d C 2, j,t,t j j j (, d ) = a A ( R + A u R ) A u = a (3.94) P P Rajotteden C d ja C d2 suurn ero on se, että C d2 on eäsymmetrnen. Sovellettaessa rajotetta kaaleen j suhteen. taahtuu se vahtamalla ndekst ja j keskenään. Rajote e ole vomassa, jos d,j =. Rajotetta C d käytetään kardaannvelten ja translaatonvelten kuvaamsessa. Rajotetta C d2 käytetään monmutkasemen yhdstettyjen nvelten kuvaamsessa. Kohtsuoruusrajotteet lsäävät järjestelmään yhden rajoteyhtälön vaadttua kohtsuoruutta kohden. (Rouvnen 23 s. 3 4) Kahden steen yhtenevyys määrtellään asettamalla P ja P j yhtenevks el asettamalla d,j =. Rajoteyhtälö vodaan krjotta seuraavast: s j j j j ( P ) = R + A u R A u C P, = (3.95) P P Psteden yhtenevyyttä tarvtaan allonvelen, kardaannvelen ja sarananvelen kuvaamsessa. Rajote lsää järjestelmään kolme rajoteyhtälöä vaadttua steen yhtenevyyttä koht. (Rouvnen 23 s. 4) Kahden nvelkoordnaatston valtut akselt ovat yhdensuuntasa, kun tosen koordnaatston valttu aksel on kohtsuorassa ensmmäsen koordnaatston kahteen muuhun akseln. Vaadtaan, että nvelkoordnaatstojen akselt h ja h j ovat yhdensuuntaset. Yhdensuuntasuus on vomassa van ja anoastaan sllon, kun h j

38 on kohtsuorassa vektorehn f ja g nähden. Kahden vektorn yhdensuuntasuus vodaan lmasta yhdstämällä kaks vektoreden kohtsuoruusrajotetta: ( ) ( ) ( ) = j d j d j C C h g h f h h C,,, (3.96) Vastaavast vodaan määrttää kaaleeseen knntetyn nvelkoordnaatston ja kaaleta yhdstävän vektorn yhdensuuntasuus C d2 rajotteen avulla. ( ) ( ) ( ) = j d j d j C C, 2, 2,,,, d g d f d h C (3.97) Kahden vektorn yhdensuuntasuutta hyödynnetään mm. luku- ja sylnternvelssä. Yhdensuuntasuusrajotteet lsäävät järjestelmään kaks rajoteyhtälöä yhdensuuntasuutta kohden. (Rouvnen 23 s. 5 6) 3.9 Lkeyhtälöden muodostamnen Lagrangen yhtälö vodaan esttää seuraavast: T T T = + Q C q q q T T dt d & (3.98) mssä on vektor Lagrangen kertomsta Q on ylestettyhn koordnaattehn vakuttava vomavektor T on kneettnen energa. Järjestelmän lkeyhtälöt saadaan sjottamalla kneettsen energan lauseke (3.48) sekä ylestetyn vomavektorn lauseke (3.74) Lagrangen yhtälöön (3.98): T T = + + + e q T Q K C q Mq q M & & && (3.99)

39 Käyttämällä seuraavaa merkntää: T = q Mq Q T v & & (3.) saadaan lkeyhtälö muotoon: v e q Q Q C K q M + = + + T & & (3.) Jakamalla ylestetyt koordnaatt referensskoordnaatston lkettä ja deformaatota kuvaavn koordnaattehn saadaan yhtälö (3.) muotoon: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + v r v e r e r r r r r r Q Q Q Q C C q K q M M M M T T,,,, && && (3.2) mssä r q on ylestettyjen koordnaatten vektor lman modaalkoordnaatteja on modaalkoordnaattvektor. Huomomalla rajotteet c Q saadaan lkeyhtälö muotoltua numeerseen ratkasuun sovaks: ( ) ( ) ( ) ( ) + + = c v e r v r e r r r r r sym Q K Q Q Q Q q C M C M M && && T, T,, (3.3) Lkeyhtälö vodaan velä muokata sten, että ratkastavaks jäävät tuntemattomat khtyvyydet ja Lagrangen kertomet:

4 ( ) ( ) ( ) ( ) + + = c v e r v r e r r r r r sym Q K Q Q Q Q C M C M M q T, T,, && && (3.4) (Mkkola, Kerkkänen 24 s. 3 3)

4 4 OHJELMAN ESITTELY Matlab-ymärstöön tehty smulontohjelma käynnstetään kutsumalla ääohjelmaa. Pääohjelma hakee malln, kutsuu eskästtelyn ja ratkasjan. Louks ääohjelma välttää ratkasjalta saadut tulokset jälkkästtelyyn. Kuvassa 7 on estetty ääohjelman rakenne. Kuva 7. Pääohjelman rakenne. Pääohjelma kutsuu tedostoa, joka ssältää malln. Nyt estellyssä versossa käyttäjä tekee malln tedostoon krjottaen malln alkutedot matrsehn. Menettely on hankala ja tuottaa aljon vrhetä. Tulevana kehtyskohteena on malln muodostamsen automatsont. Eskästtelyssä lasketaan smulonnn akana tarvttaven matrsen alkuarvot ja nden muuttujen arvot, jotka ovat smulonnn ajan vakota. Kuvassa 8 on estelty eskästtelyn rakenne.

42 Kuva 8. Eskästtelyn rakenne. Eskästtely jakautuu mustnvaraukseen, nvarantten laskentaan ja matrsen alkuarvojen laskentaan. Eskästtelyssä koostetaan myös ylestettyjen koordnaatten ja nden noeuksen vektor alkuarvoks numeerselle ntegraattorlle. Ratkasjassa koostetaan lkeyhtälössä tarvttavat järjestelmän matrst ja vektort, kuten massamatrs, nelöllnen noeusvektor ja ulkosten vomen vektor. Kuvassa 9 on estetty ratkasjan rakenne. Kuva 9. Ratkasjan rakenne.

43 Lkeyhtälöden numeersena ratkasjana e tostaseks ole muta vahtoehtoja kun neljännen kertaluvun Runge-Kutta. Lkeyhtälö tulee työssä estetyllä tavalla muodostettuna olemaan tosen kertaluvun dfferentaalyhtälö, joka alautetaan kahdeks ensmmäsen kertaluvun dfferentaalyhtälöks ennen ratkasua. Tämä taahtuu asettamalla ylestettyjen koordnaatten ja nden noeuksen vektor samaan vektorn seuraavast: q y = q & (4.) Nyt vodaan ylestettyjen koordnaatten noeudet ja khtyvyydet esttää seuraavast: q& y& = q && (4.2) Ajan hetkellä t = t(a) vektor y& (a) vodaan ntegroda numeersest sten, että saadaan y ( a +), mssä t( a + ) = t( a) + t : y& ( a) y( a + ) (4.3) Integront vaat vektorelle q ja q& alkuarvot. (Nkravesh 988 s. 254) Estelty ohjelma alauttaa jälkkästtelyyn ylestetyt koordnaatt ja nden noeudet kaklta aka-askellta. Nden tetojen erusteella vodaan laskea tarvttavat suureet jälkkästtelyyn. Ohjelman estellyssä versossa e jälkkästtelyssä tehdä muuta kun vsualsodaan smulont ja omtaan halutun steen koordnaatt kaklta aka-askellta malln verfonta varten.