MEKANISMIEN DYNAMIIKAN SIMULOINNISSA SOVELLETTAVIA NUMEERISIA- JA MALLINNUSMENETELMIÄ

Transkriptio

1 utkmusraportt 44 Research Report 44 MEKANISMIEN DYNAMIIKAN SIMULOINNISSA SOVELLEAVIA NUMEERISIA- JA MALLINNUSMENEELMIÄ utka, k Asko Rouvnen ISBN ISSN Lappeenrannan teknllnen ylopsto Koneteknkan osasto Mekatronkan a vrtuaalsuunnttelun laboratoro PL 5385 Lappeenranta Fnland Lappeenranta, 6 Elokuuta 3

2 IIVISELMÄ k Asko Rouvnen Mekansmen dynamkan smulonnssa sovellettava numeersa- a mallnnusmenetelmä Lappeenranta 3 6 s. utkmusraportt 44 ISBN ISSN Koneet vodaan usen akaa osaärestelmn, ota ovat ohaus- a säätöärestelmät, vomaa tuottavat tomlatteet a voman välttävät mekansmt. Er osaärestelmä on smulotu tetokoneavustesest o usean vuoskymmenen aan. Osaärestelmen yhdstämnen on kutenkn uudemp lmö. Usen esmerkks mekansmen mallnnuksessa tomlatteen tuottama voma on kuvattu vakona, ta aan funktona muuttuvana vomana. Vastaavast tomlatteden analysonnssa mekansmn tomlatteeseen välttämä kuormtus on kuvattu vakovomana, ta aan funktona työkertoa kuvaavana kuormtuksena. Kun osaärestelmät on erotettu tosstaan, on nden välsten vuorovakutuksen tarkastelu erttän epätarkkaa. Samon osaärestelmän vakutuksen huomomnen koko ärestelmän käyttäytymssä on hankalaa. Mekansmen dynamkan mallnnukseen on kehtetty ertysest tetokonelle soveltuva numeersa mallnnusmenetelmä. Usemmat menetelmstä perustuvat Lagrangen menetelmään, oka mahdollstaa vapaast valttavn koordnaattmuuttun perustuvan mallnnuksen. Numeersta ratkasun mahdollstamseks menetelmän avulla muodostettua dfferentaal-algebraalyhtälöryhmää oudutaan muokkaamaan esm. dervomalla raoteyhtälötä kahteen kertaan. Menetelmän alkuperäsessä numeersssa ratkasussa kakk mekansma kuvaavat ylestetyt koordnaatt ntegrodaan okasella aka-askeleella. ästä perusmenetelmästä ohdetussa menetelmssä rppumattomat ylestetyt koordnaatt oko ntegrodaan a rppuvat koordnaatt ratkastaan raoteyhtälöden perusteella ta yhtälöryhmän kokoa penennetään esm. käyttämällä nopeus- a khtyvyysanalyysessä er kertymäkoordnaattea kun asema-analyysssä. Usemmat ntegrontmenetelmät on alun pern tarkotettu dfferentaalyhtälöden (ODE) ratkasuun ollon yhtälöryhmään ltetyt nvelä kuvaavat algebraalset raoteyhtälöt saattavat aheuttaa ongelma. Nvelraotteden vrheden koraus, stablont, on erttän tärkeää mekansmen dynamkan smulonnn onnstumsen a tulosten okeellsuuden kannalta. Mallnnusmenetelmen ohtamsessa käytetyn vrtuaalsen työn peraatteen oletuksena nmttän on, ettevät raotevomat tee työtä, el raotteden vastasta srtymää e tapahdu. Varsnkaan monmutkasten ärestelmen pdemmssä analyysessä nvelraotteet evät toteudu tarkast. ällön ärestelmän energatasapano e toteudu a ärestelmään muodostuu vrtuaalsta energaa, oka rkkoo vrtuaalsen työn peraatetta, ästä syystä tulokset evät enää pdä pakkaansa. ässä raportssa tarkastellaan ertyyppsä mallnnus- a ratkasumenetelmä, a vertallaan nden tomvuutta yksnkertasten mekansmen numeersessa ratkasussa. Menetelmen tomvuutta tarkastellaan ratkasun tehokkuuden, nvelraotteden toteutumsen a energatasapanon sälymsen kannalta. Asasanat: Mekansmen dynamkka, mallnnus, stablontmenetelmät, ntegront

3 3 ABSRAC Dr. ech. Asko Rouvnen Numercal and modellng methods used n mechansm dynamcs smulaton Lappeenranta 3 6 p. Research report 44 ISBN ISSN Machnes can be dvded nto subsystems, such as controlsystems, actuators that produce force and mechansm that transmt the force. he computer aded smulaton of separate subsystems has been performed for decades. he combnaton of these subsystems s anyhow a more recent phenomena. Usually n mechansm smulaton the force produced by actuator s descrbed as constant or as a functon of tme. Respectvely n smulaton of actuators, the force transmtted by mechansm s descrbed as constant or as a functon of tme that descrbes the force durng the work cycle. If subsystems are separated from each other the nteracton between them can t be descrbed accurately. Also the estmaton of the affect of certan subsystem to the complete machne s dffcult. here are several methods for computer aded modellng of mechansm dynamcs. Most of these methods are based on Lagrange method that enables modellng usng generalsed coordnates. he numercal soluton of the euatons descrbng the mechansm reures for example calculaton of second dervates of constrant euatons. In the orgnal soluton method, all coordnate values are ntegrated at every tme step. here are also several methods based on the orgnal method that utlse coordnate parttonng or velocty transformatons n order to reduce the sze of matrces to ntegrate. Numercal ntegraton methods are best sutable for soluton of ordnary dfferental euatons (ODE). It s possble that algebrac euatons descrbng constrants cause dffcultes. he stablsaton or volaton correcton of constrant euatons s an mportant part of mechansm dynamcs smulaton. he prncple of vrtual work, utlsed n the dervaton of modellng methods, assumes that constrant forces do no work so there should be no dsplacement aganst constrants. Especally wth complcated systems constrant euatons can t be solved exactly. hs causes unbalance n the energy of the system and there can form vrtual energy, whch causes naccuracy to results. hs report studes dfferent types of modellng and soluton methods. he usablty of methods s studed wth the soluton of smple mechansm examples. he usablty s rated based on numercal effcency, volaton of constrants and fulflment of energy balance. Keywords: Mechansm dynamcs, modellng, stablsaton methods, numerc ntegraton

4 4 SISÄLLYSLUEELO JOHDANO 7 KINEMAAINEN ANALYYSI 9. KAPPALEEN ASEMA JA ORIENAAIO AVARUUSAPAUKSESSA. KAHDEN VEKORIN KOHISUORUUS.3 KAHDEN PISEEN YHENEVYYS 4.4 KAHDEN VEKORIN YHDENSUUNAISUUS 5.5 KINEMAAISEN ANALYYSIN SUORIAMINEN 7.6 PERUSRAJOIEIDEN OSIAISDERIVAAA 9.7 PERUSRAJOIEIDEN OISE AIKADERIVAAA.8 NIVELEN MUODOSAMINEN PERUSRAJOIEISA.8. PALLONIVEL.8. KARDAANINIVEL SARANANIVEL SYLINERINIVEL RANSLAAIONIVEL 5 3 MEKANISMIEN DYNAMIIKAN MALLINNUSMENEELMIÄ 6 3. LAGRANGEN MENEELMÄ KAPPALEEN NOPEUS JA KIIHYVYYS YLEISEY INERIAVOIMA MASSAMARIISI NELIÖLLINEN NOPEUSVEKORI YLEISEY VOIMA LIIKEYHÄLÖIDEN MUODOSAMINEN 9 3. SIJOIUSMENEELY NEWON-EULER -LIIKEYHÄLÖ 3 4 NUMEERISIA INEGROINIMENEELMIÄ YKSIASKELMENEELMÄ MONIASKELMENEELMÄ INEGROINNIN VIRHELÄHEIÄ 38 5 RAJOIEIDEN SABILOINIMENEELMIÄ BAUMGAREN SABILOINI 4 5. RANGAISUSFUNKIOMENEELMÄ LAAJENNEU LAGRANGEN MENEELMÄ GEOMERINEN ELIMINOINIMENEELMÄ SUORA VIRHEIDEN KORJAUSMENEELMÄ 44 6 ESIMERKKEJÄ NIVELSUUNNIKAS KAMPIMEKANISMI 47 7 MENEELMIEN VERAILUA LASKENAEHOKKUUS 5 7. RAJOIEYHÄLÖIDEN VIRHEE ENERGIAASAPAINON SÄILYMINEN 54 8 JOHOPÄÄÖKSE 59 9 LÄHDELUEELO 6

5 5 KÄYEY MERKINNÄ a a a a v A b C C d C d C p C p C s C C R C π C t C t C tt d E f f f F g g G G G h h I θθ k 4 m m RR m Rθ m θθ M M g n n b n c d δ Q d menetelmää kuvaava vako kappaleeseen knntetty vektor kappaleeseen knntetty vektor khtyvyyden normaalkomponentt, sekä nopeuden nelöstä rppuvat tangentaalkomponentt kertomatrs menetelmää kuvaava vako raotevektor kahden vektorn kohtsuoruusraote kahden vektorn kohtsuoruusraote kahden vektorn yhdensuuntasuusraote kahden vektorn yhdensuuntasuusraote kahden psteen yhtenevyysraote raoteyhtälöden Jacobn matrs raoteyhtälön osttasdervaatta translaatomuuttuen suhteen raoteyhtälön osttasdervaatta rotaatomuuttuen suhteen raoteyhtälöden Jacobn matrsn akadervaatta raoteyhtälöden akadervaatta raoteyhtälöden tonen akadervaatta kappaleden a kahta pstettä yhdstävä vektor ärestelmän kokonasenerga funkto kappaleeseen knntetty ykskkövektor kappaleeseen knntetty ykskkövektor vomavektor kappaleeseen knntetty ykskkövektor kappaleeseen knntetty ykskkövektor kuvtteellnen Rayleghn voma kuvaus Eulern parametren nopeukssta globaalehn kulmanopeuksn kuvaus Eulern parametren nopeukssta lokaalehn kulmanopeuksn kappaleeseen knntetty ykskkövektor kappaleeseen knntetty ykskkövektor äykän kappaleen nertatensor Runge-Kutta menetelmän kerron kappaleen massa massamatrsn translaatokoordnaattehn lttyvä osa massamatrsn translaato- a rotaatokoordnaattehn lttyvä osa massamatrsn rotaatokoordnaattehn lttyvä osa massamatrs globaal momentt aka-askel äykken kappaleden lukumäärä raoteyhtälöden lukumäärä ylestetyt koordnaatt rppumattomat ylestetyt koordnaatt rppuvat ylestetyt koordnaatt vrtuaalnen srtymä Newtonn dfferenssvektor raotteden ensmmäset a toset osttasdervaatat ssältävä term

6 6 Q e ylestetty vomavektor Q v nelöllnen nopeusvektor r p partkkeln P asema knteässä koordnaatstossa δr psteen aseman vrtuaalnen muutos R kappaleen lokaaln koordnaatston asema t aka * kuvtteellnen kneettnen energa u artkkeln P pakkavektor lokaalssa koordnaatstossa u partkkeln P pakkavektor knteässä koordnaatstossa V * kuvtteellnen potentaalenerga V kappaleen tlavuus δw vrtuaalnen työ X,Y,Z knteän koordnaatston koordnaatt X, Y, Z kappaleen lokaaln koordnaatston koordnaatt y muuttua α kulmakhtyvyys α rangastuskerron α Baumgarten stablonnn kerronmatrs β Baumgarten stablonnn kerronmatrs ε vrhetoleranss λ Lagrangen kerron ρ kappaleen theys θ...3 Eulern parametrc µ vamennus ψ ärestelmän kokonasenergan muutos ϖ lokaal kulmanopeus Yländekst ~ & & kuvaus kappaleen lokaalssa koordnaatstossa vnosymmetrnen matrs akadervaatta tonen akadervaatta Alandekst R θ kappaleeseen lttyvä kappaleeseen lttyvä translaatokoordnaattehn lttyvä Eulern parametrehn lttyvä

7 7 JOHDANO Mekatronsen koneen mallnnus a smulont vodaan akaa osa-aluesn, ota ovat: ertyyppsten osaärestelmen mallnnus ärestelmen yhdstämnen kokonasärestelmää kuvaavaks vrtuaalprototyypks vrtuaalprototyypn numeernen ratkasu Kone vodaan akaa osaärestelmn esmerkks kuvan mukasest. Kuvassa on myös estetty ympärstön a käyttään lttymnen koneeseen. YÖ- PROSESSI Voma MEKANISMI Asema OIMI- LAIEE Asema Voma Ohaus OHJAUS- JÄRJESELMÄ KÄYÄJÄ Ohearvo Kuva. Mekatronsen koneen ako osaärestelmn. Er osaärestelmä on smulotu tetokoneavustesest o usean vuoskymmenen aan. Osaärestelmen yhdstämnen on kutenkn uudemp lmö. Usen esmerkks mekansmen mallnnuksessa tomlatteen tuottama voma on kuvattu vakona, ta aan funktona muuttuvana vomana. Vastaavast tomlatteden analysonnssa mekansmn tomlatteeseen välttämä kuormtus on kuvattu vakovomana, ta aan funktona työkertoa kuvaavana kuormtuksena. Kun osaärestelmät on erotettu tosstaan, on nden välsten vuorovakutuksen tarkastelu erttän epätarkkaa. Samon osaärestelmän vakutuksen huomomnen koko ärestelmän

8 8 käyttäytymssä on hankalaa. Järestelmen erottamsen taustalla on ollut mallnnusmenetelmen tutkoden erkostumnen: e ole ollut rttävää tetoutta ta knnostusta tarkastella muta osaärestelmä. onen syy on ollut yrtysten tuotekehtyksen akautumnen mekankka-, tomlate- ohaus- a säätöteknkan osastohn, ossa oman alansa spesalst paneutuu van tetyn osaärestelmän tarkasteluun. Eräs syy on myös er osaärestelmen analysontehn kehtettyen ohelmstoen sulettu rakenne, oka estää ohelmstoen yhdstetyn käytön ta hankalottaa käyttään lsäämen omnasuuksen kehttämstä. ällanen luonnollnen ako on tomnut vme akohn saakka, kunnes tuotekehtysprosessn kohdstuvat kustannus- a aankäyttövaatmukset ovat krstyneet a koko ärestelmän tomnnan varmstamnen tuotekehtyksen akasemmassa vaheessa on tullut ylesemmäks vaatmukseks. omlatteden a ohausärestelmen mallntamsta pdetään yksnkertasena mekansmen knematkan a dynamkan mallnnukseen verrattuna. Usen er osaärestelmät ssältävä yhdstetty smulontmall koostetaankn mekansmen dynamkan mallnnukseen tarkotetussa ohelmstossa, ollon mekansmn lkeyhtälöt muodostetaan automaattsest. Käyttää lsää malln tomlatteta a ohausärestelmää kuvaavat yhtälöt [],[]. Suurmpana syynä menettelyyn vodaan ptää tomlatteden a ohausärestelmen akoa erllsn komponenttehn, oden mallntamnen on selkeää a mahdollstaa komponenttmalln uudelleenkäytettävyyden. Suurmmat ongelmat komponenttmallen muodostamsessa lttyvät yleensä erllsten komponentten oustavan lttämsmahdollsuuden kehttämseen [3],[4]. Mekansmen dynamkan mallnnukseen on kehtetty ertysest tetokonelle soveltuva numeersa mallnnusmenetelmä. Usemmat menetelmstä perustuvat Lagrangen menetelmään, oka mahdollstaa vapaast valttavn koordnaattmuuttun perustuvan mallnnuksen. etokonesovelluksa on kattavast estetty lähtessä [5],[6],[7] a [8]. Nykysn vrtuaalprototyyppeä ratkastaan nk. off-lne -smulontna, ollon sekunnn analyys vaat esm. 5 s. tetokoneakaa. Käyttään vasteen huomomnen on tällön kutenkn vakeaa a perustuu parhammllaankn tlastollseen tetoon. Jos tarkasteltava ärestelmä vodaan ratkasta rttävän nopeast a shen vodaan lsäks lttää käyttäältyntä, on mahdollsta huomoda käyttään vakutus ärestelmään o suunnttelun vrtuaalprototyyppvaheessa. ällasta smulonta kutsutaan reaalakasmulonnks.

9 9 Reaalakasmulonnssa tarkastava ärestelmä ratkastaan sten, että ärestelmän vaste lmenee mahdollsmman tarkast todellsella aanhetkellä a sekunnn analyysn kuluu s. tetokoneakaa. ämän vaatmuksen saavuttamnen asettaa raotuksa smulontmalln koolle a sen ratkasussa käytettävlle algortmelle. Käyttämällä ertyyppsä Lagrangen menetelmästä ohdettua mallnnusmenetelmä, on mahdollsta esm. vähentää numeersest ntegrotaven koordnaatten määrää muuttamalla käytettyä koordnaattestystä [5],[6],[7],[8],[9],[]. Eräs mahdollsuus on esmerkks käyttää koordnaattestystä, oka mahdollstaa esm. massatermen kuvauksen sälymsen vakona smulonnn akana []. Jos okn osa ratkastavasta mallsta sälyy vakona analyysn aan, vodaan se ratkasta kerran analyysn alussa a nän vähentää tarvttavaa laskentaa. Usemmat kaupallset mekansmen dynamkan smulontohelmstot evät sovellu reaalakaseen smulontn. Ohelmstoen käyttämät ntegront- a mallnnusmenetelmät on suunnteltu off-lne smulonnn tarpeta slmällä ptäen, ollon ne ovat yleensä lan raskata a ssältävät palon teratvsa vrheenkorausmenetelmä. Kaupallssta ohelmstosta ADAMS sekä DADS ovat selväst off-lne smulontn tarkotettua. Ne ssältävät ratkasan, oka kästtelee eskästtelän muodostamaa lähtötedostoa. SIMPACK puolestaan taroaa mahdollsuuden muodostaa smulontmallsta FORRAN -kelnen lähdekood, ohon vodaan ssällyttää ratkasa a onka kääntämnen reaalakaseks ohelmaks on mahdollsta. KINEMAAINEN ANALYYSI Mekansmen tarkasteluun lttyvät analyyst vodaan aotella perustyyppehn, ota ovat: Knemaattnen analyys o Kääntenen knemaattnen analyys Kneettnen analyys o Staattnen analyys o Dynaamnen analyys o Lnearsotu dynaamnen analyys o Kääntenen dynaamnen analyys Knemaattset analyyst kästtelevät kappaleden lkketä geometrselta pohalta, välttämättä kappalesn vakuttavsta vomsta. Kneettset analyyst puolestaan tarkastelevat kappalesn

10 vakuttaven vomen a nden lketloen vuorovakutusta. Knemaattsssa analyysessä tarkastellaan kappaleden lkeratoa, lkenopeuksa a khtyvyyksä aan funktona, kun tunnetaan ärestelmän kappaleden geometra sekä kappalesn kohdstuvat raoteyhtälöt. Molempen analyystyyppen suorttamseks on tarpeen hallta nssä tarvttaven peruskomponentten a nhn lttyven omnasuuksen kästtely, kuva. Kappale - Massakeskpste - Massa - Htausomnasuudet Voma - Vakutuspste - Suunta - Suuruus Koordnaatsto - Asema, orentaato (ylestetyt koordnaatt) Raote - Vakutuspste (lokaal koordnaatsto/koordnaatstot) - Raoteyhtälöt Kuva. Mekansmen mallnnuksen peruskomponentt. Mekansmen mallnnuksessa kästellään tettyä peruskomponenttea, ota ovat kappaleet, nden välset nvelet a kappalesn vakuttavat vomat, otka lttyvät van kneettsn analyysehn. Mekansmen varret kuvataan äykknä ta oustavna kappalena, olle määrtellään massakeskpste, sekä massa- a htausomnasuudet. Joustavlle kappalelle täytyy lsäks määrttää useta oustavuuteen vakuttava omnasuuksa a nden kästtely onkn huomattavast monmutkasempaa kun äykken kappaleden. Mekansmen nvelet kuvataan nvelraottena, olla on asema, vakutussuunta, sekä kullekn nvelelle tyypllset raoteyhtälöt. Kappalesn vakuttavat vomat kuvataan vakutuspsteen, -suunnan a suuruuden avulla. Peruskomponentten kuvaamseen tarvtaan koordnaatstoa, otka kuvataan ns. ylestettyen koordnaatten avulla. Mekansmt koostuvat usesta erllsstä kappalesta, otka lttyvät tosnsa nvelten vältyksellä. Matemaattsessa melessä nvelet asettavat raoteyhtälötä analysotavaan

11 ärestelmään. Fyyssest on olemassa useta ertyyppsä nvelä mutta matemaattsessa analyysssä vodaan esttää muutama perusraotteta, ota yhdstämällä vodaan kuvata monmutkasakn nvelä. Vapaast avaruudessa lkkuvalla kappaleella on kuus vapausastetta, kolme srtymn a kolme kertymn lttyvää. Nvelet penentävät ärestelmän vapausasteden määrää rppuen nveltyyppn lttyven raoteyhtälöden määrästä. Perusraotteet koostuvat kappaleden nvelpsteden asemasta ta kappalesn ltettyen vektoreden kohtsuoruus- a yhdensuuntasuusehdosta. Yleensä vektoren avulla määrtellään nvelen kerto- ta translaatoakseln a nhn nähden kohtsuora akseleta. Usemmten käytetyt vektort ovat ykskkövektoreta. Jos ennalta määrtellään, että nvelen aksel on ana tetynsuuntasen ykskkövektorn ta koordnaattakseln suuntanen, vodaan nvelten määrttelyssä käytettävä yhtälötä yksnkertastaa huomattavast. Nän on tehty esm. ADAMS-ohelmstossa, ossa nvelen aksel on ana nveleen lttyvän koordnaatston Z- akseln suuntanen.. Kappaleen asema a orentaato avaruustapauksessa Knematkan määrttämseks on ensn määrteltävä tapa, olla kappaleden asema a orentaato globaalssa el knteässä koordnaatstossa määrtellään. Jäykän kappaleen, onka partkkelt evät vo lkkua tosnsa nähden, asema a orentaato vodaan määrtellä kappaleeseen knntetyn lokaaln koordnaatston avulla. Lokaal koordnaatsto srtyy a kertyy kappaleen mukana a okasen kappaleeseen kuuluvan partkkeln P asema r p vodaan määrtellä lokaaln koordnaatston a sen pakkavektorn avulla, kuva 3. Partkkeln asema vodaan esttää yhtälömuodossa r p = R + Au () ossa R on kappaleen lokaaln koordnaatston asema knteässä globaalssa koordnaatstossa, A on kertomatrs a u lokaalssa koordnaatstossa kuvattu partkkeln pakkavektor. Kertomatrsn avulla muunnetaan pakkavektorn kuvaus lokaalsta koordnaatstosta knteään koordnaatstoon: u = Au ()

12 Y X Y R Z u P r P Z X Kuva 3. Partkkeln P asema knteässä XYZ-koordnaatstossa. Kertomatrsn määrttely rppuu käytetystä kertymäkoordnaatten kuvauksesta. Kertymäkoordnaattea vo olla oko kolme ta nelä kappaletta. Kolmea kertymäkoordnaatta käytettäessä on ongelmana kertomatrsn mahdollnen sngulaarsuus, tämä lmenee esm. Eulern kulma käytettäessä. Avaruustapausten analysonnssa käytetäänkn yleensä nk. Eulern parametrestystä, oka koostuu nelästä kertymää kuvaavasta muuttuasta, yhtälö 3, a ntä yhdstävästä normalsontraotteesta, yhtälö 4. [ θ θ θ ] θ = (3) θ3 θ θ = (4) Raoteyhtälö on välttämätön ärestelmän vapausasteden okean määrän sälyttämseks. Jos raoteyhtälöä e ole, kappaleden äykkyysehto e toteudu a kappaleet venyvät er koordnaattakseleden suunnssa. Yhtälössä 5 on estetty kertomatrs Eulern parametren avulla. [( θ ) + ( θ3 ) ] ( θθ θθ3 ) ( θθ3 + θθ ) ( θθ + θθ3 ) [ ( θ) + ( θ3 ) ] ( θθ3 θθ ) ( θ θ θ θ ) ( θ θ + θ θ ) ( θ ) + ( θ ) [ ] A = (5) 3 3 Kertomatrsn ohtamnen a sen muta estystapoa, samon kun Eulern parametren tarkemp määrttely on estetty esm. lähtessä [5],[6],[7] a [8].. Kahden vektorn kohtsuoruus Kappalesn lttyvät nvelet satsevat harvon kappaleen tunnetussa pstessä, kuten massakeskpsteessä ta ylesemmn kappaleen lokaalssa koordnaatstossa ta edes kappaleen

13 3 lokaaln koordnaatston akseleden suuntasest. ästä syystä nvelten määrttelyä varten on kappaleeseen usen määrteltävä uus nvelkoordnaatsto, onka suhteen nvel estetään. Y X Y Y R Z a Z a X R Z X Kuva 4. Kappalesn a knntetyt vektort a a a. Kuvassa 4 on estetty kahden kahdessa äykässä kappaleessa, a, satsevat globaalt vektort a a a, oden välnen kohtsuoruusraote C d vodaan esttää nden välsen pstetulon avulla d C ( a, a ) a a = (6) = Kuvaamalla vektort a a a kappaleden lokaalessa koordnaatstossa estettyen vektoreden, sekä kertomatrsen avulla, yhtälö, saadaan kohtsuoruusraotteeks d C = ( a, a ) a A a A = (7) Koska raote on rppuvanen kummankn kappaleen kertomatrssta, raottaa se kahden kappaleen välsen orentaaton. Kohtsuoruusraotetta vodaan käyttää pats kahden er kappaleeseen knntetyn vektorn välsen kohtsuoruuden, myös kappaleeseen knntetyn vektorn a a kappaleden kahta vapaast valttua pstettä yhdstävän vektorn d kohtsuoruuden määrttämseen, kuva 5. Olettaen, että d, raoteyhtälöks saadaan d C ( a, d ) a d = (8) = Esttämällä d ylestettyen koordnaatten avulla d = R + A u R A u (9) P P

14 4 X Y Y R Z a P u P d Y Z P P u X R Z X saadaan toseks kohtsuoruusraotetyypks d C Kuva 5. Kappaleta a yhdstävä vektor d. P P ( a, d ) = a A ( R + A u R ) a u = () Verrattuna ensmmäseen kohtsuoruusraotteeseen on erona epäsymmetrsyys. Jos raotetta halutaan soveltaa kappaleen suhteen, tapahtuu se vahtamalla keskenään ndekst a. On myös huomattava, että raote e ole vomassa, os psteet P a P ovat yhtenevät el vektor d =. Raotetta C d vodaan hyödyntää esm. kardaannvelten a translaatonvelten määrttämsessä. Raotetta C d puolestaan käytetään monmutkasempen yhdstettyen nvelten kuvaamseen. Molempa raotteta sovelletaan yhdensuuntasuusraotteden määrttämsessä. Kohtsuoruusraotteet lsäävät ärestelmään yhden raoteyhtälön vaadttua kohtsuoruutta kohden..3 Kahden psteen yhtenevyys Kahden er kappalessa olevan psteen yhtenevyyttä vaadtaan esm. pallonvelen tapauksessa, ossa kappaleden välset kertymät ovat sallttua mutta srtymät ovat estettyä. ällön kuvan 65 merkntöen mukasest psteet P a P ovat yhtenevät a vektor d =, el s P P C ( P, P ) = R + A u R A u = () ätä molempen kappaleden suhteen symmetrstä raotetta tarvtaan o mantun pallonvelen lsäks mm. kardaannvelen a sarananvelen kuvaamsessa. Raote lsää ärestelmään kolme raoteyhtälöä vaadttua psteden yhtenevyyttä koht.

15 5 X Y Y Y R Z P u P u Z X R Z X Kuva 6. Kappaleta a yhdstävä vektor d..4 Kahden vektorn yhdensuuntasuus Kahden vektorn yhdensuuntasuutta hyödynnetään mm. luku- a sylnternvelssä. Yhdensuuntasuusraotteet vodaan muodostaa käyttämällä aemmn määrteltyä kohtsuoruusraotteta. Kahden nvelkoordnaatston valtut akselt ovat yhdensuuntasa, kun tosen koordnaatston valttu aksel on kohtsuorassa ensmmäsen koordnaatston kahteen muuhun akseln. P X P h Z P Y X Y Y Z X Y P g P f h Y P Z P Z X P Z X Kuva 7. Kappalesn a knntetyt nvelkoordnaatstot.

16 6 Vaadtaan kuvan 7 merkntöen mukasest, että nvelkoordnaatstoen akselt Z a Z P ovat P yhdensuuntaset. Koska ykskkövektort h a h on määrtelty kyseessä oleven koordnaattakseleden suuntasest täytyy myös nden olla yhdensuuntasa. Vektor h on yhdensuuntanen vektorn h kanssa van a anoastaan sllon, kun se on kohtsuorassa ykskkövektorehn f a g nähden. ämä raote vodaan lmasta yhdstämällä kaks vektoreden kohtsuoruusraotetta. d (, ) p C f h C ( h, h ) = = d () C ( g, h ) Vastaavast vodaan määrttää kappaleeseen knntetyn nvelkoordnaatston a kappaleta yhdstävän vektorn yhdensuuntasuus C d raotteden avulla. d (, ) p C f d C ( h, d ) = = d (3) C ( g, d ) Yhdensuuntasuusraotteet lsäävät ärestelmään kaks raoteyhtälöä yhdensuuntasuusvaatmusta kohden. Kuvassa 8 on estetty koordnaattakseln Z P a kappaleta yhdstävän vektorn d yhdensuuntasuus. Yhtälöden estyksessä nvelen aksel on nvelkoordnaatston Z-akseln suuntasest. Aksel vodaan sottaa mudenkn koordnaattakseleden suuntasest, kunhan yhtälössä käytettävät vektort valtaan vastaavast. Y Y P Y Y Z X g P f h Z P d Z P X X P Z X Kuva 8. Kappaleeseen knntetty nvelkoordnaatsto a kappaleta yhdstävä vektor.

17 7.5 Knemaattsen analyysn suorttamnen Knemaattsessa analyysssä tarkastellaan kappaleden lkketä huomomatta nhn kohdstuva voma. Knemaattnen analyys vodaan suorttaa ärestelmälle, onka vapausasteden lukumäärä on nolla. Mekansmn okaseen vapausasteeseen, kohdstuu ss oko nvel- ta lkeraote. ällön teto mekansmn äsenä yhdstävstä nvelstä, sekä kappalesn kohdstuvsta khtyvyys-, nopeus- ta asemaraottesta rttää knemaattsen analyysn suorttamseks. Kappaleen aseman kuvaamseen käytetään ylestettyä koordnaattea, otka kuvaavat täydellsest kappaleeseen kuuluvan partkkeln aseman. Ylestetyt koordnaatt,, vovat koostua esm. kappaleen srtymä kuvaavsta XYZ-koordnaatesta täydennettynä kappaleen kertymä kuvaavlla koordnaatella [ R θ ] = (4) Ylestetyt koordnaatt ovat koordnaattmuuttua, oden fyysnen vastaavuus saattaa nden määrttelystä rppuen olla vakeast hahmotettavssa. Ylestettyen koordnaatten erkosuutena on, että nden avulla vodaan ylesest esttää raoteyhtälöt, raoteyhtälöden dervaattoen laskenta, sekä er koordnaattehn lttyven vomakomponentten kästtely. Ylestettyen koordnaatten käyttö taroaa mallntaalle mahdollsuuden valta kyseseen tapaukseen parhaten sopvan koordnaattmäärttelyn a nän mnmoda ratkastavan yhtälöryhmän koon. Mekansmn kuuluva kappaleta yhdstävät nvelet el raoteyhtälöt estetään matemaattsest muodossa (, t) = C (5) sovelletaan raoteyhtälöhn Newton-Raphson menetelmää C n+ = n C ( n ) C( n ) C = ossa C on raoteyhtälöden Jacobn matrs a n on aka-askel. Ratkastaan kahden akaaskeleen arvoen erotuksen suhteen n t = (6) + n = C ( n ) C(, ) n (7) ossa on vektor, oka ssältää Newtonn dfferensst. Koska knemaattselle ärestelmälle Jacobn matrsn oletetaan olevan e-sngulaarnen, vodaan yhtälöstä 7 ratkasta ärestelmän ylestetyt koordnaatt aka-askeleella n+

18 + 8 n+ = n n (8) Koordnaatten pävtystä atketaan, kunnes koordnaatten muutos ta raoteyhtälöden vrheden norm on asetetun vrhetoleranssn ε ta ε ssällä < ε t < ε (9) ta C(, ) Kun raoteyhtälö 5 dervodaan aan suhteen soveltamalla dervonnn ketusääntöä saadaan C & C = () + t ossa C t on raoteyhtälöden akadervaatta. Jos raotteet evät ole aasta rppuva, esm. estetyt perusraotteet, on vektor C t nolla. Järestelmän nopeusvektor vodaan ratkasta yhtälöstä. Järestelmän khtyvyys vodaan vastaavast ratkasta dervomalla yhtälö aan suhteen käyttämällä dervonnn ketusääntöä: ( C & ) & C & + C & + C & + C = () + t t tt Yhtälössä alandekst tarkottavat osttasdervaattoa annettuen muuttuen suhteen. Ratkastaan khtyvyydet yhtälöstä C & = () Q d ossa Q d = ( C & ) & C & C (3) t tt Knemaattsen analyysn suurena ongelmana on rttävän tarkan alkutlan määrttämnen. Jos kappaleden ylestettyen koordnaatten arvoa alkutlassa e tunneta rttävän tarkast, on mahdollsta, että algortm palauttaa väärän ratkasun. onen ongelma on se, että ärestelmän Jacobn matrs vo muuttua sngulaarseks, ollon numeernen ratkasu e enää ole mahdollnen. ämä tlanne lmenee myös sllon kun mekansma käyttävät raotteet koettavat pakottaa sen asemaan, oka e ole knemaattsest mahdollnen, ta mekansmen lukkutuessa. Kuvassa 9 on estetty algortm knemaattsen analyysn suorttamseks.

19 9 Asetetaan alkuarvot, aka-askel, loppuaka Raoteyhtälöden Jacobn matrsn a raotematrsn laskenta. Newtonn dfferenssen laskenta Koordnaatten pävtys E <ε Kyllä Raoteyhtälöden Jacobn matrsn a raotematrsn akadervaatan laskenta. Nopeuksen laskenta Raotteden akadervaattoen laskenta E Khtyvyyksen laskenta t>t loppu Kyllä Loppu Kuva 9. Algortm knemaattsen analyysn suorttamseks..6 Perusraotteden osttasdervaatat Knemaattsessa analyysssa tarvttava raotteden Jacobn matrs C koostuu raoteyhtälöden osttasdervaatosta ylestettyen koordnaatten suhteen. Jacobn matrs muodostetaan kohdstamalla raottesn vrtuaalnen srtymä

20 = C δ (4) ossa = n n n n n n C C C C C C C C C c c c L M M M L L C (5) ossa n on ärestelmän ylestettyen koordnaatten lukumäärä a n c raoteyhtälöden lukumäärä. Knemaattsest analysotavan ärestelmän Jacobn matrs on nelömatrs, koska okaseen ärestelmän vapausasteeseen kohdstuu raote. etokoneavustesta analyysä varten ertyyppsten raotteden osttasdervaatat ylestettyen koordnaatten suhteen kannattaa ratkasta valmks analyyttsessä muodossa. ällön Jacobn matrsn laskenta tapahtuu sottamalla ylestettyen koordnaatten a nveltä kuvaaven parametren arvot yhtälöhn sekä sottamalla tulokset raotteden a ylestettyen koordnaatten määräämn kohtn matrsa. aulukossa on estetty er perusraotteden osttasdervaatat. aulukko. Perusraotteden osttasdervaatat [5]. Raote C R C R C π C π C d (a,a ) a A A a ~ a A A a ~ C d (a,d ) - A a A a ) ~ ~ ( P a A d u a P u A A a ~ C s (P,P ) -I I P u A ~ P u A ~ ermessä ~ -operaattor tarkottaa vnosymmetrstä matrsa, oka määrtellään yhtälön 6 mukasest = ~ 3 3 a a a a a a a (6) aulukossa kertymen suhteen estetyt osttasdervaatat C π a C π evät ole raotteden osttasdervaattoa ylestettyen koordnaatten kertymen suhteen. Ylestettyen koordnaatten kertymämuuttuathan vodaan valta melko vapaast. Kyseessä ovat

21 osttasdervaatat kappaleen lokaaln koordnaatston kertymen suhteen, osta tosn vodaan ratkasta osttasdervaatat esmerkks Eulern parametren suhteen: ossa C θ = C πg (7) G on yhtälön 8 mukanen kuvaus Eulern parametren nopeukssta lokaalehn kulmanopeuksn [8] θ θ θ3 θ G = = E θ θ3 θ θ (8) θ3 θ θ θ Vastaavast vodaan raotteet kuvata käyttämällä mutakn ylestettyä kulmamuuttua, kunhan matrs G toteuttaa vaadtun kuvauksen..7 Perusraotteden toset akadervaatat Jacobn matrsn a raotteden akadervaattoen lsäks knemaattsessa analyysssä on tarpeen ratkasta raotteden toset akadervaatat C tt, yhtälö. Nätä dervaattoen arvoa käytetään myös dynaamsessa analyysssä, ossa ne sotetaan vomavektorn. Raotteden Jacobn matrsn a ntegrotuen Lagrangen kertomen tulosta vodaan ratkasta nvelssä vakuttavat raotevomat, kappale 3.. Kuten Jacobn matrsnkn osalta on tetokoneavustesen analyysn kannalta välttämätöntä ratkasta er raotetyyppen toset akadervaatat valmks, ollon ohelmassa huolehdtaan ylestettyen koordnaatten a parametrtetoen sottamsesta, sekä raotteden tosen dervaattavektorn Q d koostamsesta. asotapauksssa käytössä on van yks globaal kulmamuuttua, ollon kästtely on varsn yksselttestä. Avaruustapauksssa käytetään kulmanopeusmuuttuna ylestettyen koordnaatten nopeuksen saan lokaalea kulmanopeuksa ω = Gθ& (9) ollon käytettäven matrsen dmensot saattavat penentyä, rppuen käytetystä ylestetystä kulmamuuttusta. Raotteden tosen dervaattavektorn Q d termt saadaan dfferentomalla taulukon termt. Koska usemmat termt ssältävät kertomatrsn A hyödynnetään sen akadervaatan ratkasemseks yhteyttä A& ~ = Aω (3) Kohtsuoruusraotteen C d osttasdervaatan dfferentaalks saadaan [5] d ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q = a A A ω ω + ω ω A A a + ω a A A a ω (3) d [ ] Vastaavast C d raotteen osttasdervaatan dfferentaal [5]

22 Q d d u ~ P ~ = ω aa ( r& r& ) + u ω A ~ ~ ~ ~ ω ω A A a d A ω ω a P ~ A ω a u P ~ ~ ω ω a (3) Yhtenevyysraotteen C s osttasdervaatan dfferentaal [5] s ~ ~ P ~ ~ P Q = A ω ω u A ω ω u (33) d.8 Nvelten muodostamnen perusraottesta Perusraottesta anoastaan yhtenevyysraote C s yksnään kuvaa fyysstä nveltä. Yhtenevyysraotteella vodaan nmttän kuvata pallonvel, ossa kakk kertymät ovat vapata mutta kappalella on yks yhtenen pste. Monmutkasempa nvelä muodostetaan yhdstämällä er perusraotteta, ollon saadaan er määrän vapausasteta raottava nvelä, olla on fyysnen vastne. Seuraavassa estetään muutamen ylesmmn käytettyen nvelen muodostamnen raotteta yhdstämällä..8. Pallonvel Kahden kappaleen välnen pallonvel määrtellään kuvan mukasest yhtenevän psteen P avulla. Y X Z P u P P u Z Y X Kuva. Pallonvel. Pallonvelen määrttää ss yhtälössä määrtelty kahden psteen yhtenevyysraote: s C P, P ) = (34) (

23 3.8. Kardaannvel Kardaannvel, ota kutsutaan myös unversaalnveleks ta Hooken nveleks, koostuu kahta kappaletta yhdstävästä rstkosta, onka keskpste on knteä molempen kappaleden suhteen, kuva. Z Y X Z Y X P Z h P h P Z Kuva. Kardaannvel. Rstkon keskpste pdetään pakollaan yhtenevyysraotteen avulla. Rstkon varsen kohtsuoruus tosnsa nähden varmstetaan vektoreden h a h välsellä kohtsuoruusraotteella C d. Kardaannvelen raotteet vodaan kuvata yhtälöryhmällä s C ( P, P ) = C d ( h, h ) = (35) Kardaannvel raottaa ärestelmästä nelä vapausastetta, kappaleden välsen srtymän sekä rstkon varsen välsen kertymän..8.3 Sarananvel Sarananvel, kuva, sall kahden kappaleen välsen kertymän yhtesen akseln ympär mutta estää srtymän aksela ptkn. Nvelpste P pdetään pakollaan yhtenevyysraotteen avulla a akselen yhdensuuntasuudesta huolehdtaan yhdensuuntasuusraotteen C p avulla. Sarananvelen raotteta kuvaa sten yhtälöryhmä s C ( P, P ) = C p ( h, h ) = (36) Sarananvel raottaa ärestelmästä vs vapausastetta.

24 4 Y Z X P Z P h h P Z Z Y X Kuva. Sarananvel..8.4 Sylnternvel Sylnternvel on tomnnaltaan hyvn lähellä sarananveltä, se sall sarananvelestä poketen myös nvelen akseln suuntasen srtymän kappaleden välllä, kuva 3. Mallnnuksen kannalta sylnternvel eroaa sarananvelestä snä, ette kappalella on yhtestä pstettä. P h Z d P Z Y P Z X Z P h Y X Kuva 3. Sylnternvel. Kappaleden välnen yhdensuuntasuus toteutuu, kun vektort h a h ovat yhdensuuntaset. Yhdensuuntasuus määrätään C p raotteen avulla. ämä raote postaa kaks kappaleden välstä kertymää. Kappaleet vovat kutenkn lkkua tasossa tosnsa nähden, kunhan sälyttävät yhdensuuntasuuden. ämän lkkeen raottamseks vektor d on määrtelty sten, että sllä on yhtesä pstetä vektoren h a h kanssa. Kun vektort h a d ovat myös yhdensuuntaset, kappaleet vovat lkkua tosnsa nähden anoastaan nvelen akseln suuntasest. Sylnternvel määrtellään ss kahden yhdensuuntasuusraotteen, C p a C p, avulla:

25 5 C C p p ( h, h ) = ( h, d ) = (37) Sylnternvel raottaa ärestelmästä nelä vapausastetta..8.5 ranslaatonvel ranslaatonvel tom kuten sylnternvel mutta lsäks se raottaa kappaleden välsen kertymän nvelen akseln ympär. P Y P d h P Z f P X Z Y h P Z P X Z X f Y P P X X Kuva 4. ranslaatonvel. ranslaatonvelen kuvaamseen käytetään samaa yhtälöryhmää, kun sylnternvelenkn kohdalla, täydennettynä kappaleden välsen rotaaton estävällä raotteella. Kertymä estetään määrttämällä kappalesn ykskkövektort f a f, otka ovat kohtsuorassa tosnsa nähden, kuva 4. Kohtsuoruusehtona käytetään C d raotetta. ranslaatonvel raottaa ärestelmästä vs vapausastetta. C C C p p d ( h, h ( h, d ( f, f ) = ) = ) = Monmutkasempen, yhdstettyen nvelten muodostamsta on kästelty lähtessä [5],[6] a [7]. Yhdstetyt nvelet koostuvat yleensä kahdesta er perusnvelestä, ota yhdstävä äykkä kappale vodaan olettaa ratkasun kannalta merktyksettömäks. Kappale korvataan käyttämällä sen tlalla usemmten nvelten välseen etäsyyteen lttyvää raotetta. ällasa yhdstettyä nvelä ovat esmerkks pallo-pallo, sarana-pallo, sarana-sylnter ta saranatranslaato -nvelet (38)

26 6 3 MEKANISMIEN DYNAMIIKAN MALLINNUSMENEELMIÄ Mekansmen ertyyppset mallnnusmenetelmät ovat usemmten ohdannasa Lagrangen menetelmästä. Numeersta ratkasun mahdollstamseks menetelmän avulla muodostettua dfferentaal-algebraalyhtälöryhmää oudutaan muokkaamaan esm. dervomalla raoteyhtälötä kahteen kertaan. Menetelmän alkuperäsessä numeersssa ratkasussa kakk mekansma kuvaavat ylestetyt koordnaatt ntegrodaan okasella aka-askeleella. ästä perusmenetelmästä ohdetussa menetelmssä rppumattomat ylestetyt koordnaatt oko ntegrodaan a rppuvat koordnaatt ratkastaan raoteyhtälöden perusteella ta yhtälöryhmän kokoa penennetään esm. käyttämällä nopeus- a khtyvyysanalyysessä er kertymäkoordnaattea kun asema-analyysssä. Er menetelmä yhdstävänä prteenä vodaan manta ylestettyen koordnaatten käyttö. 3. Lagrangen menetelmä Lagrangen menetelmän ohtamsen peruslähtökohtana on vrtuaalsen työn peraate, onka mukaan äykän kappaleen nertavomen tekemä vrtuaalnen työ on V δ W = ρ & r δr dv (39) ossa ρ a V ovat äykän kappaleen theys a tlavuus. 3.. Kappaleen nopeus a khtyvyys Jäykän kappaleen satunnasen psteen nopeus ylestettyen koordnaatten avulla lmastuna saadaan dervomalla yhtälö aan suhteen r & = R& + A& u + A u& (4) Kertomatrsn akadervaatta [7] vodaan lausua muodossa: ossa A & = ω~ A (4) ω = G θ& (4) a G on yhtälön 43 mukanen kuvaus Eulern parametren nopeukssta globaalehn kulmanopeuksn [8] θ θ θ3 θ G = = E θ θ3 θ θ (43) θ3 θ θ θ

27 7 ämäkn kuvaus on mahdollsta tehdä käyttäen mutakn kertymäkoordnaattea kun Eulern parametrea, kunhan matrs G toteuttaa vaadtun kuvauksen. Jäykän kappaleen tapauksessa u& =, ollon yhtälö 4 saadaan muotoon: ( ω u ) = R& + ω u = R + ωu r & = R& + A& u = R& + A & ~ (44) Kappaleen satunnasen psteen khtyvyys saadaan dervomalla yhtälö 4 aan suhteen a huomomalla kappaleen rakenteellnen äykkyys, u& = & r = R&& + A& u (45) Dfferentodaan yhtälö 4 aan suhteen A & = ω~ & A + ω~ A& (46) a huomomalla yhtälö 4 A & = ω ~ & A + ω~ ω~ A = α A + A (47) Psteen khtyvyydeks saadaan ω~ ω~ & r = R & u ~ α + u (48) Dfferentodaan yhtälö 4 aan suhteen α = G & θ + G& θ& (49) a sotetaan tulos khtyvyyden yhtälöön 48 & r = R&& u~ G & θ + a (5) v ossa a v ssältää khtyvyyden normaalkomponentt, sekä nopeuden nelöstä rppuvat tangentaalkomponentt a v ω~ = u u~ G& θ& (5) 3.. Ylestetyt nertavomat Lkeyhtälöden muodostamseks on tarpeellsta tarkastella kappaleeseen kohdstuva nertavoma. Sottamalla nertavomen vrtuaalsen työn lausekkeeseen 39 kappaleen satunnasen psteen aseman vrtuaalnen muutos [7] Saadaan δr δw = δr δθ ~ [ I A u G ] (5) [ ] I R = R& [ ] [ ] θ&& ~ ~ δ ρ ~ I AuG + av I AuG V dv (53) AuG δ θ oka vodaan esttää muodossa δw [ M Qv ] δ = & (54)

28 ossa M on kappaleen massamatrs ~ I A u G 8 M = ρ V ~ dv ~ (55) symmetrnen G u ug Nelöllnen nopeusvektor Qv ssältää nopeuksen nelöstä rppuvat nertavomat Q v = V ρ G I ~ u A a vdv ( Q = ( Q v e ) ) R θ (56) 3..3 Massamatrs Jäykän kappaleen massamatrs M vodaan esttää muodossa mrr mr θ M = (57) mθr m θθ ossa m = mi (58) m m RR = m = A ~ ρ u dv G Rθ θr (59) V G I G θθ = θθ (6) m on kappaleen massa a I θθ on äykän kappaleen nertatensor ~ ~ I θθ = ρ u u dv (6) V 3..4 Nelöllnen nopeusvektor Nelöllnen nopeusvektor saadaan helpommn ratkastavaan muotoon sottamalla yhtälöön 56 yhtälön 5 khtyvyyskomponentt määrteltynä lokaalssa koordnaatstossa ~ ~ ( Qv ) = A ρ [ ω u ug & θ & ] dv R V ~ ~ ~ ~ ( Qv ) = G ρ [ u ω u u ug & θ & ] θ V otka vodaan edelleen hyödyntämällä nertatensorn määrtelmää esttää muodossa [7] ( Q ) v Aω ρu R V ( Q ) = G ω ( I ω ) v θ [ I G & θ& θθ + θθ ] dv (6) ~ dv A ~ + ρudv G & θ & V (63) = 3..5 Ylestetyt vomat Ylestetyllä vomlla tarkotetaan ylestettyhn koordnaattehn kohdstuva voma. Ylestettyen vomen peraatteen avulla vodaan kappaleen psteessä vakuttavat ulkoset

29 9 vomat a momentt kohdstaa kappaleen ylestettyhn koordnaattehn. Menetelmän ohtamseks tarkastellaan kappaleeseen vakuttavan voman tekemää vrtuaalsta työtä, oka on vomavektorn a voman vakutuspsteen vrtuaalsen srtymän pstetulo δ W = F δr (64) e P Sovelletaan psteen P aseman vrtuaalseen srtymään yhtälöä 5, ollon vrtuaalseks työks saadaan δw e = F δr F u G δθ (65) P Yhtälö 65 vodaan esttää muodossa ossa e R P θ P δ W = F δr + F δθ (66) F F R θ = F = G u~ P F (67) F θ kuvaa vomakomponentn srrosta lokaaln koordnaatstoon aheutuvaa momenttvakutusta. Kappaleeseen vakuttaven globaalen momentten M g kuvaus ylestetyssä koordnaatessa on F θ = G M (68) g vastaavast lokaalssa koordnaatstossa kuvattuen momentten kuvaus ylestetyssä koordnaatessa F θ = G A M (69) l Jos kappaleeseen vakuttaa useta ulkosa voma a momenttea vodaan yhtälö 66 esttää muodossa ossa δ W = ( Q ) δr + ( Q ) δθ (7) e e R P e θ ( Q e ) R a ( Q e ) θ ovat ylestettyhn srtymä- a kertymäkoordnaattehn lttyvä ylestettyä voma ( Q ( Q e e ) ) R θ = n f = = G F n m = M g + n m = A M l + n f k= ( u F ) k k (7) 3..6 Lkeyhtälöden muodostamnen Nvelettömän dynaamsen ärestelmän lkeyhtälöt vodaan muodostaa soveltamalla D Alembertn peraatetta. D Alembertn peraatteesta vodaan ohtaa dynamkan vrtuaalsen

30 3 työn peraate, onka mukaan äykän kappaleen nertavomen tekemän vrtuaalsen työn a kappaleeseen vakuttaven ulkosten vomen tekemän vrtuaalsen työn on oltava yhtäsuura δ W = δ (7) W e Kun yhtälöön 7 sotetaan vrtuaalsen työn lausekkeet saadaan raotteettoman kappaleen lkeyhtälöks [ M& Qv ] δ = Qeδ & (73) Koska raotteettomassa tapauksessa ylestetyt koordnaatt ovat rppumattoma, vodaan yhtälö esttää muodossa M & = Q Q =,, K, n (74) e v a edelleen matrsmuodossa aoteltuna srtymä- a kertymäkoordnaattehn ( Qe ) ( Q ) b ( Qv ) R ( ) Qv θ m m R&& RR Rθ R = + (75) m m && θr θθ θ e θ ossa n b on äykken kappaleden lukumäärä. Lkeraotteet vodaan huomoda Lagrangen kertomen avulla M & + C λ = Q + Q =,, K, n (76) e v b Mekansmn lkeyhtälön numeersest ratkastava muoto saadaan, kun huomodaan raoteyhtälöden toset akadervaatat, yhtälö && M C Qe + Qv = (77) λ C Q d Yhtälöstä vodaan ratkasta ylestettyen koordnaatten khtyvyydet sekä Lagrangen kertomet, oden avulla vodaan ratkasta ylestetyt raotevomat C λ. Saadun numeersen ratkasun täytyy toteuttaa yhtälö. Menetelmällä muodostetut lkeyhtälöryhmät ssältävät kakk ylestetyt koordnaatt a lkeraotteet a ovat sten suura. 3. Sotusmenettely Sotusmenettely pokkeaa alkuperäsestä Lagrangen menetelmän numeersesta ratkasusta raoteyhtälöden kästtelyn osalta. Menetelmän tarkotuksena on penentää numeersesta ratkasusta aheutuvaa raoteyhtälöhn kohdstuvaa vrhettä. Menetelmässä ntegrodaan anoastaan rppumattoma koordnaattea a rppuvat koordnaatt ratkastaan raoteyhtälöden perusteella [9]. ällön yhtälön 5 toteutumnen varmstetaan kaklla akaaskellla. Sotusmenettelyssä ärestelmän ylestetyt koordnaatt aetaan ennen analyysä rppuvn d a rppumattomn koordnaattehn.

31 [ ] d 3 = (78) Rppumattoma koordnaattea on ärestelmän vapausasteden lukumäärän (n b - n c ) a rppuva koordnaattea raoteyhtälöden lukumäärän n c verran. Sottamalla koordnaatten aottelu Jacobn matrsn yhtälöön 4 saadaan C δ C δ = (79) + d d ossa C d on valttu sten, että se on n c x n c e-sngulaarnen matrs. Rppuven koordnaatten vrtuaalnen srtymä vodaan ratkasta δ d = C C δ (8) d ta δ = C δ (8) d d ossa C d = C C (8) d Ylestettyen koordnaatten vrtuaalnen srtymä vodaan esttää rppumattomen koordnaatten muutoksena δ δ I = δ δ = (83) d Cd Raoteyhtälöt vodaan sottaa raotteettomaan lkeyhtälöön I [ M & Q Q ] = & v e (84) Cd Yhtälön ntegront on hankalaa, koska ylestettyen koordnaatten khtyvyysvektor ssältää kakken koordnaatten khtyvyydet. Ongelma ratkastaan soveltamalla koordnaatten aottelua yhtälöön 3 & && + C (85) d = Cd d ossa C [( C & ) & + C t& tt ] d = C + C d (86) Ylestettyen koordnaatten khtyvyydet vodaan lausua koordnaatten aottelun avulla && && I & = = = && + (87) && d Cd&& + Cd Cd Cd merktsemällä I B = a D = C saadaan lkeyhtälö lausuttua muodossa d C d a edelleen v B M& B Q B Q = (88) e

32 v e 3 B MB& B MD B Q B Q = (89) Menetelmän ongelmna ovat monmutkaset, erttän epälneaarset rppuven koordnaatten sekä raotteden kuvaukset. Lsäks koordnaatten valnnasta rppuen on olemassa numeersen sngularteetn mahdollsuus. Sngularteetn tapauksessa koordnaatten aottelua täytyy vahtaa, muunnosmatrst muodostaa uudestaan a ratkasua atkaa valtulla koordnaatella. Koordnaatten automaattseen aotteluun soveltuva algortmea on estetty lähtessä [6] a [9]. 3.3 Newton-Euler -lkeyhtälöt Newton-Euler -menetelmä [5],[6],[7],[8],[] pokkeaa Lagrangen menetelmästä kappaleen lokaaln koordnaatston sottamseen lttyven oletusten sekä kertymen kästtelyn osalta. Lagrangen menetelmässä kertymen asema, -nopeus- a khtyvyysanalyysessä kästellään ylestettyä koordnaattea. Newton-Euler -menetelmässä kappaleden kertymen asema, - nopeus- a khtyvyysanalyysessä käytetään globaalea kulmanopeuksa. Menetelmässä oletetaan, että äykän kappaleen lokaal koordnaatsto on sotettu sen massakeskpsteeseen, ollon menetelmä e enää sovellu esm. oustaven kappaleden kästtelyyn. Lokaaln koordnaatston sottamnen äykän kappaleen massakeskpsteeseen huomodaan yhtälössä 59 a 63 ollon ( Q ) mr θ, m θr =, v = (9) = R lkeyhtälö 75 yksnkertastuu muotoon ( Qe ) R ( ) ( ) + Q e θ Qv θ mrr R&& = (9) m && θθ θ Lsäks käytettäessä kertymen kuvauksessa globaalea kulmanopeuksa vodaan osottaa [8], että ossa α I θθ α θ ( θθ = F ω I ω ) (9) = ω&, ollon yhtälö 9 vodaan esttää muodossa ( Q ) mrr R&& e R = (93) I θθ α F ω ( I ω ) θ θθ Raotteet huomodaan kappaleeseen vakuttavna ulkosna vomna, oten vomavektoren muodostamnen on monmutkasempaa. Numeersen ratkasun varmstamseks kertymen numeernen analyys tehdään yleensä Eulern parametren avulla, tällön ntegrotaven koordnaattmuuttuen määrä kasvaa n b x :sta n b x :a, verrattuna globaalen kulmen käyttöön. Alkuperäsessä Lagrangen menetelmässä koordnaattmuuttuen lukumäärä on n b x

33 33 4. Eulern parametrehn lttyvät normalsontraotteet kästellään erllsnä raottena. Newton-Euler menetelmää on mahdollsta soveltaa myös Lagrangen kertomen avulla, ollon raotteet lsätään lkeyhtälöön yhtälön 76 mukasest. ällön raoteyhtälöden Jacobn matrsn a tosten akadervaattoen termt evät ole taulukon a yhtälöden 3,3 a 33 mukasa vaan nden Lagrangen menetelmään verrattuna yksnkertasemp muoto on estetty esm. lähteessä [6]. 4 NUMEERISIA INEGROINIMENEELMIÄ Numeersta ntegronta tarvtaan mekansmen dynamkkaa kuvaaven dfferentaalalgebraalyhtälöden (DAE) ratkasuun aan funktona. Usemmat ntegrontmenetelmät on alun pern tarkotettu dfferentaalyhtälöden (ODE) ratkasuun ollon yhtälöryhmään ltetyt nvelä kuvaavat algebraalset raoteyhtälöt saattavat aheuttaa ongelma. Ratkasua varten mekansma kuvaava yhtälöryhmä onkn muokattava dfferentaalyhtälöks käyttämällä raoteyhtälöden dfferentonta. Mekaansen systeemn suoraa dynamkkaa kuvaava yhtälöryhmä vodaan numeersest ratkasta kolmella er peraatteella: o Integrodaan suoraan lkeyhtälöä a tovotaan numeersen ntegronnn olevan nn tarkka, ette rkota raotteta. o Yhtälön ylestetyt koordnaatt aetaan rppuvn a rppumattomn koordnaattehn, el käytetään sotusmenettelyä. Integront kohdstetaan anoastaan systeemn rppumattomn koordnaattehn, onka älkeen rppuvat koordnaatt ratkastaan raoteyhtälöden avulla. Integrontvrhe rppumattomssa koordnaatessa heastuu nän suoraan rppuvn koordnaattehn. o Kakk yhtälön ylestetyt koordnaatt ntegrodaan, onka älkeen tarkennetaan rppuven koordnaatten tulosta raoteyhtälöden avulla. arkemmn mekansmea kuvaaven yhtälöryhmen numeersta ratkasua on tarkasteltu lähtessä [5], [6],[7],[] a []

34 34 4. Yksaskelmenetelmät Yksaskelmenetelmssä e tarvta tetoa yhtälöryhmän arvosta edellsllä aka-askelella. etokonesovellusten osalta tämä tarkottaa algortmn varaavan vähemmän musta kun monaskelmenetelmn perustuvat algortmt. Ylesest menetelmät on tarkotettu ensmmäsen kertaluvun yhtälöryhmen ratkasuun mutta myös tosen kertaluvun yhtälöryhmen ratkasuun soveltuva menetelmä on kehtetty, esmerkknä Runge-Kutta-Nyström menetelmä. Mekansmen tapauksessa tämä tarkottaa stä, että ärestelmää e tarvtse akaa erkseen ntegrotavn nopeuksn a asemn vaan asemat saadaan ratkastua suoraan, kun tunnetaan khtyvyyksen arvot. arkastellaan ylesest ensmmäsen kertaluvun dfferentaalyhtälöryhmää y' = f ( t, y) (94) Oletetaan että f on tarkasteluvälllä atkuvast dfferentotuva aan t a y:n suhteen, tällön yhtälöryhmän arvoa aka-askeleella n+ vodaan approksmoda aylorn sarakehtelmän avulla t y n+ = y n + ty' ( tn ) + y'' ( tn ) +... (95)! ossa t on aka-askel a y f( t, y ) (96) ' = n+ n+ y'' f ' = f + f f (97) = t y Menetelmä on tarkka mutta sen käyttö vaat ntegrotavasta funktosta korkeampa dervaattoa, oden ratkasu vo olla hankalaa. Stä onkn kehtetty edelleen menetelmä, ossa korkeamman asteen dervaatat ätetään huomomatta. Eulern menetelmä approksmo aylorn sarakehtelmää käyttämällä sen kahta ensmmästä termä, yhtälöryhmän arvoa akaaskeleella, sekä yhtälöryhmän ensmmäsen dervaatan arvoa aka-askeleella y + = y + tf( t, y ) (98) n n n n Menetelmä on erttän yksnkertanen mutta sen ongelmna ovat sen hekko tarkkuus sekä sen vaatma pen aka-askel. Jos aka-askelta oudutaan penentämään palon, kasvavat pyörstysvrheet suurks a tekevät menetelmästä käyttökelvottoman. Lsäks ntegronnn vrhe lsääntyy ärestelmän taauuden kasvaessa, ekä menetelmä sovellu vomakkaast epälneaarslle ärestelmlle Runge-Kutta -menetelmssä pyrtään mahdollsmman lähelle aylorn sarakehtelmää käyttäen anoastaan yhtälöryhmän a sen ensmmästen dervaattoen arvoa. ällön vältytään

35 35 työläältä korkeamman asteluvun dervaattoen laskennalta. Yhtälöryhmän dervaatan arvo tosn oudutaan ratkasemaan usessa pstessä. Menetelmää on sovellettu palon a algortmna se on varsn yksnkertanen. Saadut tulokset ovat tarkempa kun Eulern menetelmällä saadut mutta vaadttu laskentateho on ylesmmn käytetyllä nelännen kertaluvun menetelmällä non nelnkertanen verrattuna Eulern menetelmään. osen kertaluvun Runge-Kutta menetelmässä, oka tunnetaan myös parannettuna Eulern menetelmänä, Heunn menetelmänä ta muunnettuna trapetsodmenetelmänä, yhtälöryhmän y arvoa aka-askeleella n+ approksmodaan t y n + = y n + ( k + k ) (99) k = f( t, y ) () k n n ( n n k = f t + t, y + t ) () Nelännen kertaluvun Runge-Kutta menetelmässä ntegrotavan yhtälöryhmän arvoa approksmodaan seuraavast y n + = y n + ( k + k + k 3 + k 4 ) () 6 k = t f(, y ) (3) t n n t k = t f( tn +, y n + k) (4) t k 3 = t f( tn +, y n + k ) (5) k t f t n + t, y + ) (6) 4 = ( n k 3 Runge-Kutta a Eulern menetelmät ovat eksplsttsä menetelmä, koska nssä yhtälöryhmän okea puol e ole rppuvanen y n+ :stä. 4. Monaskelmenetelmät Monaskelmenetelmssä ntegrontalgortm vaat tetoa yhtälöryhmän arvosta akasemmlla aka-askelella. osn kun yksaskelmenetelmät nämä evät ole tsekäynnstyvä, vaan vaatvat astelukunsa verran ollakn tosella algortmlla laskettua tuloksa akasemmlta aka-askelelta. Monaskelmenetelmät ovat usen mplsttsä, koska yhtälöryhmän okean puolen arvo rppuu y n+ :stä. Implsttset menetelmät ovat tarkempa a stablmpa kun eksplsttset mutta ratkasu vaat teraatota a stä kautta laskennallnen tehokkuus on hekomp. Ylesest monaskelmenetelmät vodaan esttää yhtälön 7 mukasest.

36 p+ = a 36 k n+ + t b f( tn+, y n+ ) = = y (7) ossa a a b ovat menetelmää kuvaava vakota. Jos b = on menetelmä eksplsttnen. Mtä enemmän termeä yhtälössä 7 huomodaan, stä tarkemp on ntegronnn tulos. Samalla vaadttu mustn määrä kasvaa a se saattaa aheuttaa ongelma. aulukko. Adams-Bashforth menetelmän kertoma []. k a a b b b b 3 b 4 b Eksplsttsä, p=, Adams-Bashforth menetelmä kuvaava kertoma on estetty taulukossa. Ylesmmn käytetty menetelmä on nelännen kertaluvun menetelmä t y n+ = y n + (55fn 59fn + 37fn 9fn 3) (8) 4 Implsttsä Adams-Moulton menetelmä kuvaava kertoma, kun p=, on estetty taulukossa 3. Nästä teronta vaatvsta menetelmstä ylesmmn käytetty on nelännen kertaluvun menetelmä t y n+ = y n + (9f n+ + 9f n 5f n + f n ) (9) 4 aulukko 3. Adams-Moulton menetelmän kertoma []. k a a b b b b 3 b Implsttsssä menetelmssä vaadttua teronnn alkuarvoa ratkastaan yleensä käyttämällä yhtälön 8 kuvaamaa eksplsttstä menetelmää. ähän käytäntöön perustuva ennustekoraus menetelmä kuvaava algortm on estetty kuvassa 5. Laskennallsest menetelmä on tehokkan, kun ennusteen asteluku on yhden alemp kun korauksen []. Implsttsten menetelmen käyttö kannattaa, vakka ne ovatkn laskennallsest raskaampa kun eksplsttset. Implsttsen menetelmen katkasuvrhe on huomattavast penemp kun vastaavan aseteluvun eksplsttsllä menetelmllä.

37 37 Dynamkan analysonnssa eräät mekansmt ovat ns. äykkä ärestelmä, oden omnastaauudet ovat laaalla alueella. ällasa ärestelmä oudutaan analysomaan sllon kun kappaleden äykkyysomnasuuksssa on suura eroa. Jäykkä ärestelmä varten on kehtetty oma ntegrontmenetelmä, osta tunnetumpa on Gear-stff menetelmä. Gearstff menetelmää on useaa er kertalukua mutta kakk ne ovat monaskelsa a perustuvat yhtälöön 7. aulukko 4. Gear-stff menetelmän kertoma []. p b a a a a 3 a aulukossa 4 on estetty Gear-stff menetelmän kertoma. Jäykken ärestelmen analysonnssa oudutaan usen tarkastelemaan ptkä vasteakoa matalataausten komponentten vasteen selvttämseks, kun taas korkeataausten komponentten vasteen ratkasu a ratkasun vrhetoleranssn toteutumnen vaat lyhyen aka-askeleen.