Virtuaaliprototyypin käyttö roottorin dynamiikan analysoinnissa

Transkriptio

1 Lappeenrannan teknllnen korkeakoulu Koneteknkan osasto Konstruktoteknkan latos Vrtuaalprototyypn käyttö roottorn dynamkan analysonnssa Dplomtyön ahe on hyväksytty koneteknkan osaston osastoneuvostossa Työn tarkastajana on tomnut professor Ak Mkkola Lappeenrannassa Juss Sopanen Kallopellonkatu 10 A Lappeenranta

2 TIIVISTELMÄ Tekjä: Juss Sopanen Nm: Vrtuaalprototyypn käyttö roottorn dynamkan analysonnssa Osasto: Koneteknkan osasto Pakka: Lappeenranta Vuos: 1999 Dplomtyö. Lappeenrannan teknllnen korkeakoulu. 64 svua, 37 kuvaa, 8 taulukkoa, 3 ltettä Tarkastaja: Professor Ak Mkkola Hakusanat: roottor, dynamkan smulont, modaalnen joustavuus Työn tavotteena ol selvttää kaupallsen dynamkansmulontohjelmston soveltuvuus roottordynamkan analysontn. Työssä kesktyttn ertysest roottorn dynamkkaan vakuttaven epädeaalsuuksen mallntamseen. Smulonttulosten tarkkuutta selvtettn mttaukslla. Lsäks vertaltn yleskäyttösen dynamkan smulontohjelmston ja roottordynamkan erkosohjelmston teoraa. Tutkttava roottor ol paperkoneen putktela. Telan joustavuus kuvattn elementtmenetelmällä ratkastujen mooden avulla. Elementtmallssa huomotn telan vapan senämänpaksuusvahtelu, joka vakuttaa telan massa- ja jäykkyysjakaumaan. Dynamkkaohjelmstossa mallnnettn telan tuennasta tulevat herätteet. Dynamkkaohjelmstona käytettn ADAMS:a ja FEM-ohjelmana ANSYS:stä. Tulokssta havattn käytetyn menetelmän soveltuvan roottordynamkan analysontn ja roottorn epädeaalsuuksen mallntamseen. Smulontmalllla saatn eslle murtolukukrttset pyörmsnopeudet ja telan krttnen pyörmsnopeus vastas hyvn mttaustuloksa.

3 ABSTRACT Author: Juss Sopanen Ttle: Dynamc Analyss of the Rotor Usng Vrtual Prototype Department: Mechancal Engneerng Place: Lappeenranta Year: 1999 Master s thess. Lappeenranta Unversty of Technology 64 sheets, 37 fgures, 8 tables, 3 appendces Supervsor: Professor Ak Mkkola Keywords: rotor, dynamcs smulaton, modal flexblty The objectve of the work was to fnd out the sutablty of commercal dynamcs smulaton software for the analyss of the rotor dynamcs. The used software was ADAMS. The work concentrated especally on the modelng of the non-dealtes whch affect the dynamcs of the rotor. To ensure the valdty of the smulaton results, the theoretcal results were compared wth those obtaned by measurng the real structure. Furthermore, the theory of the general purpose dynamcs smulaton software and the specal software of rotor dynamcs were compared. The examned rotor was the tube roll of a paper machne. The flexblty of the roll was modeled usng modal flexblty. Thckness varaton of the jacket of the roll, whch affects the mass and stffness dstrbuton, was modeled n the fnte element model n ANSYS. The mpulses whch come from the support of the roller were modeled n dynamcs smulaton software. The results ndcate that the used method was sutable for an analyss of the rotor dynamcs and for the modelng of the non-dealtes of the rotor. Wth the smulaton model the sub-harmonc rotatonal frequences were retreved and the crtcal speed of the roller corresponded well to the measured results.

4 ALKUSANAT Dplomtyö on tehty Lappeenrannan teknllsen korkeakoulun koneteknkan osastolla ja se lttyy osaprojektna Värähtelyn ja äänen hallnta teknologaohjelmaan. Työn tarkastajana on tomnut professor Ak Mkkola, jota haluan kttää työn akana saamstan neuvosta ja knnostuksesta työtän kohtaan. Lsäks haluan kttää TKK:n koneensuunnttelun laboratoron Jar Juhankoa hyvästä yhtestyöstä, neuvosta ja verfontmttausten suorttamsesta. Tulevaa vamoan Maa haluan kttää tuesta ja ymmärryksestä joskus heman pokkeuksellsa työakojan kohtaan. Lopuks haluan kttää omasan ja ystävän, jotka ovat auttaneet mnua työn valmstumsessa.

5 KÄYTETYT MERKINNÄT A A θ a k, b k, c k = transformaatomatrs = transformaatomatrsn dervaatta Eulern kulmen suhteen = Fourern sarjan kertomet a m, b m, c m = ajasta rppuva koordnaatteja b = ellpsn muotosen jänntyksen jakaantumskuvon puolaksel C = vektor rajoteyhtälöstä C q c kr c max D D 1, D 2 d d E e f 1, f 3, f 5 f k, g k, h k F F f g F D G g H I I 1,,I 9 I I p K k = Jacoban matrs = krttnen vamennus = vamennusvakon maksmarvo = vamennusmatrs = sylntereden halkasjat = panuma, jossa saavutetaan täys vamennus = vamennuskerron = materaaln kmmomodul = eksponentt voma-panuma rppuvuudelle = roottorn omnastaajuuksa = kantafunktota = vapausastesn vakuttava vomavektor = purstusvoma = gravtaatosta johtuva voma = Rayleghn hävöfunkto = yhteys Eulern kulmen ja lokaaln koordnaatston kulmanopeudelle globaaln suhteen = gravtaatokhtyvyysvektor = asentokulmasta rppuva funkto ympyrämäsyysproflsta = ykskkömatrs = nertanvarantt = solmun nertavektor = roottorn polaarnen htausmomentt = jäykkyysmatrs = jousvako

6 k L L 1 M m m N n c n p Q e Q E Q v q R r T T z T y U u u = harmonsen komponentn järjestysluku = Lagrangen funkto = kosketuskohdan ptuus = massamatrs = massa = massamatrsn osamatrs = ortogonaal operaattor = rajoteyhtälöden lukumäärä = ylestettyjen koordnaatten lukumäärä = modaalkoordnaatt = e-konservatvsten ylestettyjen vomen vektor = ylestettyjen vomen vektor, joka ssältää sekä konservatvset vomat että e-konservatvset vomat = nelöllnen nopeusvektor = ylestettyjen koordnaatten vektor = pakkavektor globaaln koordnaatston orgosta lokaaln koordnaatston orgoon = partkkeln globaalnen asemavektor = kneettnen energa = gyroskooppnen momentt z-akseln ympär = gyroskooppnen momentt y-akseln ympär = venymäenerga = partkkeln asemavektor lokaalssa koordnaatstossa = partkkeln asema globaalssa koordnaatstossa u o = partkkeln deformotumaton asema lokaalssa koordnaatstossa u f = partkkeln deformaatovektor V V g X k x x r, y r, z r = potentaalenerga = gravtaatopotentaalenerga = dskreetn Fourer muunnoksen k:s alko = vektor, joka ssältää kulmavälen α mtatun laakern verntärenkaan ympyrämäsyysprofln = lokaaln koordnaatston sjant globaaln nähden

7 x 1 x y = kosketusetäsyys = kappaleden välnen etäsyys = sylnteren panuma α α δ Φ Φ ' = roottorn asentokulma = partkkeln kulmakhtyvyysvektor = fyyssten vapausasteden srtymävektort = muotomatrs = solmupsteen rotaatodeformaatota kuvaavat muodot φ aks = akseln tapuman kulma xy-tasossa φ k φ = vahe-ero = muotovektor η = modaalnen vamennussuhde θ aks = akseln tapuman kulma xz-tasossa ψ, θ, φ = Eulern kulmat θ λ λ ν Ω ω = vektor Eulern kulmsta = Lagrangen kerron = vektor Lagrangen kertomsta = materaaln Possonn vako = roottorn pyörmstaajuus = roottorn kulmanopeus ω ω 2 ω λ ρ = partkkeln kulmanopeus lokaalssa koordnaatstossa = partkkeln kulmanopeus globaalssa koordnaatstossa = omnasarvo = kappaleen theys Yländekst: N = normaalmuotohn lttyvä C = staattsn muotohn lttyvä I = ssäsn vapausastesn lttyvä B = reunaehtovapausastesn lttyvä

8 r& & r& u u ~ pˆ = dervotu kerran ajan suhteen = dervotu kahdest ajan suhteen = vektor lokaalssa koordnaatstossa = vnosymmetrnen matrs vektorsta u = yhdstettyhn muotohn lttyvä T = matrsn/vektorn transpoos Alandekst: f = elastsn koordnaattehn lttyvä p = modaalkoordnaattehn lttyvä q = osttasdervaatta ylestettyjen koordnaatten suhteen t = osttasdervaatta ajan suhteen θ = rotaatokoordnaattehn lttyvä R = translaatokoordnaattehn lttyvä r = jäykän kappaleen koordnaattehn lttyvä Kakk matrst ja vektort on lhavotu.

9 SISÄLLYS: 1 JOHDANTO Työn tavotteet Tehtävän rajaus ROOTTORIDYNAMIIKAN ILMIÖT Tavutus- ja vääntövärähtely Gyroskooppset lmöt Roottorn laakeront DYNAMIIKAN MALLINNUKSEN MATEMAATTINEN TEORIA Joustavan kappaleen knematkka Värähtelymuotojen ratkasu elementtmenetelmällä Systeemn lkeyhtälöden muodostus Ylestetyt koordnaatt Knemaattset rajotteet Ylestetyt vomat Lagrangen yhtälö Roottordynamkan mallnnus Vertalu teoroden välllä TUTKITTAVA RAKENNE JA SEN MALLI Koeroottor Smulontmall Telan FE-mall Tasapanotuspukn jousvakoden määrtys ADAMS -mall Tuennan muuttamnen Aktvvamennuksen säätöjärjestelmä TULOKSET JA NIIDEN TARKASTELU Smulont- ja mttaustulosten vertalu Telan tapuman muutoksen vertalu... 46

10 5.1.2 Telan käyttäytymnen alkrttsellä pyörmsnopeudella Laskennan tetokoneajat JOHTOPÄÄTÖKSET LÄHDELUETTELO... 62

11 1 1 JOHDANTO Pyörven koneden suunnttelussa on roottordynamkan hallnnalla tärkeä teknolognen ja taloudellnen merktys. Vaatmukset suortuskyvyn parantamseks mm. pyörmsnopeutta kasvattamalla ja roottoreta keventämällä ovat jatkuvast kasvaneet. Samaan akaan suunnttelun läpmenoakoja pyrtään lyhentämään sekä roottoreden turvallsuutta ja luotettavuutta pyrtään parantamaan. Näden tavotteden saavuttamseks on roottoreden värähtelyrskejä pyrttävä ennustamaan vaste- ja värähtelylaskennan ja smulonnn avulla lman fyyssten prototyyppen käyttöä, joka on hdasta ja kallsta. Roottorn dynamkkaa vodaan tutka yleskäyttösllä dynamkkaohjelmstolla ta ongelmaa varten kehtetyllä erkosohjelmstolla. Erkosohjelmstojen käyttämät ratkasumenetelmät soveltuvat roottordynamkan tutkmseen hyvn ja ne ssältävät roottordynamkan ertysprteet. Erkosohjelmstoja e ole saatavlla kovnkaan paljon, joten ne joudutaan usen ohjelmomaan tse. Yleskäyttöset dynamkkaohjelmstot ovat suunnteltuja vrtuaalprototyyppen tuottamseen. Vrtuaalprototyypssä mallnnetaan mekaannen systeem, smulodaan ja vsualsodaan sen kolmulottesta dynamkkaa reaalmaalman olosuhteta vastaavassa ympärstössä. Er alojen asantuntjat vovat rakentaa ja testata vrtuaalprototyyppejä ja smuloda komplekssa mekaansa systeemejä ennen fyyssen prototyypn rakentamsta. Nän vodaan vähentää tuotekehtysakaa ja kustannuksa, parantaen samalla tuotteen laatua. /1/ 1.1 Työn tavotteet Dplomtyö tehdään osana PyörVÄRE projektn osaprojekta Roottorn värähtelyn hallnta. Osaprojektn tavotteet ovat /2/: - Roottor- ja laakerdynamkkaan lttyven lmöden ymmärtämnen

12 2 - Roottordynamkan mallnnusmenetelmen kehttämnen - Ylkrttsen tomntatlan hallnta mm. aktvsella värähtelyn hallnnalla ja muunneltavalla dynamkalla. Työssä selvtetään kaupallsen yleskäyttösen dynamkkaohjelmston soveltuvuutta roottordynamkan analysontn ja kokonasvaltasen smulonnn käyttöä pyörven koneden värähtelyn hallnnassa. Käytettävä ohjelmsto on ADAMS, jonka valmstaja on Mechancal Dynamcs Inc. Teoraosassa tutktaan ADAMS:n joustavuuden kuvaamseen käyttämää menetelmää ja sen soveltuvuutta roottordynamkan ertysprteden smulontn. Työssä vertallaan yleskäyttösen dynamkkaohjelmston ja roottordynamkan erkossovelluksen teoraa. 1.2 Tehtävän rajaus Roottorn dynaamnen käyttäytymnen rppuu monesta tekjästä ja on sten laaja tutkmusalue. Työssä rajotutaan yksnkertasen pästään tuetun paperkoneen putktelan tutkmseen. Työssä tutktaan ertysest telan dynamkkaan vakuttaven epädeaalsuuksen mallntamsta, kuten massa- ja jäykkyysjakaumaa sekä laakeronnsta tuleva herättetä. Roottorn dynamkkaa tutktaan alkrttsllä pyörmsnopeukslla. Malltettava järjestelmä on Teknllsen korkeakoulun koneensuunnttelun laboratoron teladynamkan koejärjestelmä. Smulontmall ssältää joustavan telan ja sen tuentaan käytettävän tasapanotuspukn sekä laakeronnn. Aktvsen säätöjärjestelmän lttämnen ja tuennan muuttamnen käydään peraatetasolla läp. Smulonttuloksen tarkkuutta tutktaan käytännön mttauksn. Mttaukset suorttaa Teknllsen korkeakoulun koneensuunnttelun laboratoro. Smulonnn alkuarvoja selvtetään mttaukslla.

13 3 2 ROOTTORIDYNAMIIKAN ILMIÖT Roottorella on käynnn akana suur määrä rotaatoenergaa ja pen määrä värähtelyenergaa. Roottordynamkan hallnnassa pyrtään ptämään värähtelyenerga mahdollsmman penenä. Suuren tehon ja pyörmsnopeuden saavuttamseks roottoresta on tehtävä joustava, jollon värähtelyn hallnta on tullut yhä tärkeämmäks. Värähtely rppuu roottorn geometrasta, tuennasta ja herätevomsta. Myös perustan ja roottorn vuorovakutus saattaa olla merkttävä. /3/,/4/ 2.1 Tavutus- ja vääntövärähtely Tavutusvärähtely vo johtua monsta systä, mutta jäännösepätasapanolla on suurn käytännön merktys tavutusvärähtelyyn. Roottorella on ana jonkn verran epätasapanoa johtuen valmstusepätarkkuukssta ja resonanss tapahtuu ana, kun pyörmstaajuus on sama kun tavutusvärähtelyn taajuus. Nätä nopeuksa kutsutaan krttsks nopeuksks ja ntä tulee välttää. Jopa krttsen nopeuden yltys khdytettäessä roottora sen käyttökerrosnopeudelle saattaa vaata erkostomenptetä. Vakka tavutusvärähtelyjen omnastaajuuksen laskenta yksnkertaselle jäykllä laakerella tuetulle aksellle on suhteellsen helppoa, ongelma vakeutuu käytännössä mm. seuraavsta systä /3/,/4/: - gyroskooppssta efektestä - roottorn pokklekkauksen tavutusjäykkyyksen vahtelusta - laakeronnn jäykkyys- ja vamennusomnasuuksen vahtelusta - kahden roottorn välsestä vuorovakutuksesta. Roottorn värähtely rppuu muden tekjöden ohella sen jäykkyydestä. Roottorn pokklekkauksen epäsymmetra aheuttaa tavutusjäykkyyden vahtelun. Roottorn pyöressä tavutusjäykkyys saa kaks kertaa mnm- ja maksmarvon kerroksella. Tämä aheuttaa yhdessä panovoman kanssa ns. 2Ω -värähtelyn, mssä Ω on roottorn pyörmstaajuus. Panovoman herättämä 2Ω -värähtely

14 4 esntyy van symmetrsllä värähtelymuodolla, el taajuukslla f 1 / 2, f 3 / 2, f 5 / 2, jne., jossa f 1, f 3, f 5, jne. ovat kyseessä oleven omnastaajuusparen keskmääräsä arvoja. Tärken 2Ω -värähtely on puolkrttnen pyörmsnopeus, jonka taajuus on lkman f 1 / 2. /3/ Pyörvät koneet, kuten höyryturbnt, kompressort ja generaattort, vovat altstua suurlle dynaamslle jänntykslle, jos nden pyörmsnopeus on lähellä vääntövärähtelyn omnastaajuutta. Etenkn käyttävän ja käytettävän roottorn välsten joustaven kytkmen omnastaajuudet vovat olla käyttökerrosnopeudella. Herättetä vo tulla esmerkks generaattorn sähkösen momentn vahtelusta ta sähkömoottorn kuormtuksen vahtelusta. Polttomoottoressa ulos tuleva vääntömomentt ssältää useta harmonsa komponentteja, jotka vovat herättää murtolukukrttsä vääntövärähtelytaajuuksa /4/. 2.2 Gyroskooppset lmöt Usessa pyörvssä konessa, kuten esmerkks turbnessa, kompressoressa ja pumpussa, on roottorehn kytketty kekkoja. Roottorssa oleva kekko aheuttaa gyroskooppsen momentn, joka muuttaa tavutusmomentta kekon kohdalla. Gyroskooppnen momentt syntyy, kun pyörmsakseln orentaato muuttuu, ja sen suuruus vodaan laskea yhtälöstä /4/,/6/: T T mssä I p ω = ω & θ (2.1) z I p y I p aks = ω & φ (2.2) aks on roottorn polaarnen htausmomentt on roottorn kulmanopeus θ aks on akseln tapuman kulma xz-tasossa φ aks on akseln tapuman kulma xy-tasossa. Kuvssa 2.1 ja 2.2 on estetty pyörvän kekon lke xz- ja xy-tasossa sekä gyroskooppsen momentn suunnat.

15 5 Kuva 2.1. Pyörvän kekon lke xz-tasossa. /4/ Kuva 2.2. Pyörvän kekon lke xy-tasossa. /4/ Gyroskooppsen momentn vakutus on suurmmllaan, kun kekko sjatsee tavutusvärähtelymuodon solmukohdassa, koska gyroskooppnen momentt rppuu orentaatokulman muutosnopeudesta. Vastaavast gyroskooppnen momentt on penmmllään värähtelymuodon kupukohdssa. Tämän vuoks gyroskooppsella momentlla on suur merktys roottorn dynaamseen käyttäytymseen, kun kekko on asennettu ulokeakseln päähän ta se e ole keskellä symmetrstä aksela. Gyroskooppsella momentlla on roottorn akseln tapumaa vastustava vakutus (kuva 2.3). Esmerkks auton moottorn kampakseln päähän kytkettyyn vauhtpyörään kohdstuu gyroskooppnen momentt, kun auto ajaa kaarteessa suurella nopeudella. Gyroskooppsen

16 6 momentn vakutus muuttaa roottorn tavutusvärähtelyn krttsä nopeuksa. /4/,/5/,/6/ Kuva 2.3. Ulokeakseln päähän asennetun kekon gyroskooppsten vomen suunnat. Roottorn omnastaajuus kasvaa gyroskooppsten vomen taka, koska ne vakuttavat akseln tapumaa vastaan. /5/ 2.3 Roottorn laakeront Usemmat roottort on laakerotu lukulaakerella ta verntälaakerella. Suuren pyörmsnopeuksen ja huoltovapaan tomnnan saavuttamseks käytetään myös kaasu- ja magneettlaakereta. Laakeronnn vakutus roottorn värähtelyyn rppuu roottorn ja laakern jäykkyyksen suhteesta. Suhteellsen elastslla roottorella laakereden vakutus on vähänen, kun taas jäykän roottorn dynamkka määräytyy pääosn laakereden perusteella. /3/ Lukulaaker vodaan ajatella jous-vamennn -elementks, jossa jous- ja vamennnvomavektort evät yleensä ole saman suuntasa kun srtymä- ja nopeusvektort. Jäykkyys- ja vamennusomnasuudet ovat epälneaarset, ja nden määrtyksessä tärketä parametrejä ovat voteluaneen omnasuudet ja välyksen geometra. Penllä massaepätasapanolla (massan eksentrsyys on penemp kun vdesosa laakern välyksestä) vodaan akseln keskpsteen rata lukulaakern ssällä laskea lneaarsen teoran mukasest, jollon se on ellpsn muotonen ja säteen suuntasen värähtelyn taajuus on pyörmstaajuus Ω.

17 7 Suuremmlla epätasapanolla radat evät ole ellpsn muotosa ja ne ssältävät myös taajuuksa 2Ω, 3Ω, jne. Tällön lneaarnen teora e enää päde. Kuvassa 2.4 on estetty akseln keskpsteen rata laskettuna lneaarsen ja epälneaarsen teoran mukaan. Harmonssta komponentesta aheutuvat murtolukukrttset pyörmstaajuudet. /3/ Kuva 2.4. Lneaarnen ja epälneaarnen akseln keskön rata. Jäykkä roottor lyhyllä sylntermäsllä laakerella. Eksentrsyys on 0.8 laakernvälys. /3/ Verntälaakert koostuvat verntäelmstä, jotka lkkuvat laakern verntärenkata ptkn. Laakert vovat olla kuormtettuja sätes- ta aksaalsuunnassa ta molemmssa. Verntäelementt vovat olla palloja, rulla ta neuloja (kuva 2.5). Verntäelementt pakotetaan ptmen avulla, mkä ptää nden väln vakona. Laakera kuormtettaessa tapahtuu elastsa muodonmuutoksa verntäelmen kosketuspstessä ulkorenkaaseen ja ssärenkaaseen. Tämä tarkottaa stä, että kuormtettaessa ulkorengas lkkuu kuorman suuntasest suhteessa ssärenkaaseen. Lkkeen matemaattnen mall täytyy tuntea, jotta verntälaakern vakutus roottorn dynaamseen käyttäytymseen votasn määrttää. Verntälaakereden voma-panuma - rppuvuus on erttän monmutkanen. Tärketä parametrejä ovat laakern geometra, materaalt ja jossan tapauksssa voteluaneen omnasuudet. /3/,/7/

18 8 Kuva 2.5. a) Säteskuulalaaker. b) Rullalaaker. c) Panelaaker. d) Verntäelementtejä. /3/ Verntälaakern jäykkyyden määrtys on mahdollsta tehdä Hertzn kontaktteoran perusteella, jossa on tehty seuraavat olettamukset: - materaal on lneaarelastnen - kontaktpnnan lekkausjänntystä e huomoda - deformaatot ovat penä suhteessa elementten dmensohn. Laakern jäykkyys vodaan määrttää johtamalla ensn yksttäslle verntärenkalle ja -elementelle voma-panuma -rppuvuudet ja laskemalla sen jälkeen verntäelementestä johtuva resultanttvoma panuman funktona el laakern jäykkyys (kuva 2.6). Tässä vaheessa vodaan huomoda myös laakern välys, joka penentää laakern jäykkyyttä. /3/ Kuva 2.6. Verntälaakern jäykkyys voman funktona (lman välystä). Verntäelementtejä 10 kpl, halkasja ja ptuus 10 mm. /3/ Verntälaakert aheuttavat roottorsysteemn harmonsa herättetä taajuukslla 2Ω, 3Ω, 4Ω, jne. Herätteet johtuvat verntärenkaden valmstusepätarkkuukssta. Herätteden mallntamsta varten vodaan mtattu ympyrämäsyysprofl muuntaa

19 9 FFT:llä Fourern cosnsarjaks, jollon ympyrämäsyysprofl vodaan laskea analyyttsest roottorn asentokulmasta. Muunnos tapahtuu seuraavast: Olkoon x N ptunen vektor, jonka alkot ovat kulmavälen α mtattuja verntärenkaan säteen arvoja. Dskreett Fourer muunnos (DTF) vektorlle x tehdään alkottan seuraavast /8/: X k N = x n= 1 n e n 1 j2π ( k 1) N, 1 k N (2.3) mssä e on Nepern luku, j on magnäärykskkö ja x n sekä X k ovat vektoreden alkota. Vektorn x alkot vodaan esttää myös sn- ja cosntermen summana yhtälön (2.4) mukasest x n N / 2 = a0 + a k= 1 k n α n α cos k + bk sn k, N N 1 n N (2.4) Dskreetn Fourer muunnoksen ja yhtälön (2.4) Fourern kertomen a k ja b k välllä on seuraava yhteys /8/: X X k+ 1 X k+ 1 0 =, ak = 2 real, bk = 2 mag (2.5) N N N a 1 Käyttämällä merkntöjä a0 c 0 =, c = k ak + b ja b k k φ k = arctan (2.6) ak vodaan vektorn x alkot esttää cosnsarjana seuraavast /9/: x n N / 2 n α = c0 + ck cos k + φk k = 1 N (2.7) Kertomen c k ja vahe-eron φ k avulla vodaan muodostaa analyyttnen roottorn asentokulmasta rppuva funkto verntärenkaan säteestä: N / 2 ( ) = c + c k ( k α + φ ) H α 0 cos k (2.8) k= 1 mssä α on asentokulma. Ympyrämäsyysprofl vodaan suodattaa postamalla pen ampltudset harmonset komponentt. Smulontmalln herätteet vodaan mallntaa joko pakkolkkeenä ta huomomalla ne laakern voma-panuma - rppuvuudessa.

20 10 3 DYNAMIIKAN MALLINNUKSEN MATEMAATTINEN TEORIA Joustavan kappaleen dynaamnen käyttäytymnen muodostuu jäykän kappaleen lkkeestä sekä shen kytketystä joustolkkeestä. Ongelma vodaan ratkasta elementtmenetelmän avulla ta MBS (Mult Body Systems) -ohjelmstolla, kuten esmerkks ADAMS:lla. Elementtmenetelmästä johdettujen lkeyhtälöden ratkasu vodaan tehdä mooden superponontteknkalla. Menetelmässä srrytään fyyssstä koordnaatesta modaalkoordnaattehn, jollon systeemn elaststen koordnaatten määrää vodaan vähentää. Moodt ovat lneaarsest rppumattoma ja ortogonaalsa jäykkyys- ja massamatrsn suhteen, jollon lkeyhtälöt vodaan ratkasta yksttän. Systeemn korketa värähtelytaajuuksa ssältävät moodt vodaan postaa käytöstä, jollon ntegronnn aka-askelta vodaan suurentaa. Usen vodaan käyttää van muutamaa matalataajusta mooda lman, että tehdään merkttävää vrhettä. /12/ Mooden superponontteknkat vodaan jakaa kolmeen luokkaan: reaalnen menetelmä, kompleksnen menetelmä ja osarakennemenetelmä. Reaalsessa menetelmässä ratkastaan vamentamattoman systeemn omnasarvot. Komplekssessa menetelmässä moodt ratkastaan lkeyhtälöstä, jossa on mukana vamennus-, gyroskooppset- ja corolstermt. Ratkasu johtaa komplekssn omnasarvohn, jotka ovat pyörmstaajuudesta rppuvasa /11/. Reaalnen menetelmä on matemaattsest paljon yksnkertasemp kun kompleksnen. Wang ja Krkhope /13/ ovat tutkneet reaalsten ja komplekssten mooden käyttöä roottoren analysonnssa. Tulokset osottavat, että reaalnen menetelmä antaa tarkkoja tuloksa, kun modaalnen vamennussuhde on penemp kun 70 %, jonka jälkeen komplekssen menetelmän käyttö on perusteltua.

21 11 Monmutkasten ja paljon komponentteja ssältäven rakenteden analysont elementtmenetelmällä on vakeaa, koska systeemn vapausasteden lukumäärä tulee suureks ja dynaamnen analyys tulee sten mahdottomaks. Joustavan kappaleen dynamkan kuvaamnen elementtmenetelmän avulla vaat, että kappaleen suura lkketä kuvaavat yhtälöt otetaan huomoon. Tarkan joustavuuden kuvaamseks on jokasella solmulla oltava kuus vapausastetta, mkä johtaa suureen määrään epälneaarsa lkeyhtälötä. Näden vomakkaast epälneaarsten lkeyhtälöden ratkasu on vakeaa käyttäen tavallsa numeersa ntegrontalgortmeja. Lsäks rakenteen jäykkyysmatrs täytyy laskea jokasella aka-askeleella, koska se muuttuu kappaleen lkkeen myötä. Okean aka-askelen valnta muodostuu tärkeäks numeersen laskennan onnstumsen kannalta /10/. Tämän taka on kehtetty menetelmä, jotka sallvat rakenteen jakamsen komponenttehn ta osarakentesn (Component Mode Synthess), jollon systeemn vapausasteden määrää vodaan vähentää. Osarakenteta analysomalla vodaan kehttää matemaattnen mall koko systeemstä /14/. Tässä yhteydessä kästellään ADAMS -ohjelman käyttämää Grag-Bampton menetelmään /15/ pohjautuvaa osarakenneteknkkaa. 3.1 Joustavan kappaleen knematkka Matemaattsest joustava kappale ajatellaan koostuvan partkkelesta. Kappaleeseen kuuluvat partkkelt kuvataan kappaleen mukana lkkuvassa lokaalssa koordnaatstossa, jonka suhteen partkkelella ajatellaan olevan penä lneaarsa srtymä. Samaan akaan lokaallla koordnaatstolla on suura epälneaarsa translaatota ja rotaatota globaaln lkkumattoman koordnaatston suhteen. Kuvassa 3.1 on estetty partkkeln asemaa kuvaavat vektort. /16/

22 12 Kuva 3.1. Partkkeln kuvaus globaalssa koordnaatstossa. Joustavan kappaleen partkkeln globaalnen asema vodaan kuvata vektorlla r : o f r = R + A u = R + A ( u + u ) (3.1) mssä R A u on pakkavektor globaaln koordnaatston orgosta lokaaln koordnaatston orgoon on kertomatrs, joka kuvaa lokaaln koordnaatston kertymää globaaln koordnaatston suhteen partkkeln asema lokaalssa koordnaatstossa u o on partkkeln asema lman deformaatota lokaalssa koordnaatstossa u f on partkkeln deformaatovektor lokaalssa koordnaatstossa Kappaleen nopeus saadaan dervomalla yhtälö (3.1) ajan suhteen r & & & + & = R + A u A u (3.2) Yhtälön (3.2) keskmmänen term, joka ssältää transformaatomatrsn akadervaatanm, vodaan esttää muodossa A & ~ u = A ( u ω ) = A u ω (3.3)

23 13 mssä ω on kulmanopeus lokaalssa koordnaatstossa ja matrs vektorsta u, joka määrtellään seuraavast: u ~ on vnosymmetrnen 0 u 3 u2 ~ u = u3 0 u1 (3.4) u2 u1 0 Kun lsäks otetaan huomoon, että u & = 0 saadaan yhtälö (3.2) muotoon & ~ r & = R A u ω + o A u& f (3.5) Kun tarkastellaan yhtälön (3.5) termejä nähdään, että R & on kappaleen lokaaln koordnaatston absoluuttnen nopeus. Keskmmänen term, A u ~ ω, saadaan dervomalla transformaatomatrs ajan suhteen. Term rppuu lokaaln koordnaatston rotaatosta ja kappaleen elastsesta muodonmuutoksesta. Vmenen term, muodonmuutokssta. /17/ A u & f, on partkkeln nopeus, joka johtuu pelkästään Käyttämällä merkntää u = A u ja dervomalla yhtälö (3.5) ajan suhteen saadaan partkkeln khtyvyys muotoon: && & r = R + ω ( ω u ) + α u + 2ω A u + A u (3.6) & & mssä ω on kulmanopeus globaalssa koordnaatstossa α Yhtälön (3.6) term Tonen term, Kolmas term, Neljäs term, vdes term, ω ( ω α u R & on partkkeln kulmakhtyvyysvektor. on lokaaln koordnaatston absoluuttnen khtyvyys. u ), on partkkeln khtyvyyden normaalkomponentt., on partkkeln khtyvyyden tangentaalskomponentt. 2 ω u, on partkkeln khtyvyyden corolskomponentt ja A & A u &, on partkkeln deformaatosta johtuva khtyvyys. /17/ Jäykän kappaleen vapausasteden lukumäärä on äärellnen. Esmerkks avaruustapauksessa kappaleella on kuus vapausastetta, jotka kuvaavat täydellsest kappaleen aseman ja orentaaton globaalsen koordnaatston suhteen. Joustavalla kappaleella on ääretön määrä vapausasteta, jotka kuvaavat kappaleen jokasen partkkeln aseman. Joustaven kappaleden käyttäytymstä

24 14 vodaan kuvata osttasdfferentaalyhtälöllä, joden ratkasu johtaa deformaatota kuvaavn äärettömn sarjohn. Deformaatovektorn u f komponentt vodaan kuvata seuraavast u u u f 1 f 2 f 3 = = = m= 1 m= 1 m= 1 a b c m m m f g h m m m (3.7) mssä a m, b m, c m ovat ajasta rppuva koordnaatteja f m, g m, h m ovat kantafunktota. Laskennallssta systä deformaatovektor kuvataan äärellsellä määrällä koordnaatteja. Approksmontn vodaan käyttää Raylegh Rtz -menetelmää. Matrsmuodossa tämä vodaan esttää yhtälön (3.8) mukasest /17/: mssä f n u φ = 1 p = Φp (3.8) Φ on (3 x n) -muotomatrs, jonka elementt ovat kantafunktota p on vektor ajasta rppuvsta modaalkoordnaatesta. 3.2 Värähtelymuotojen ratkasu elementtmenetelmällä Elementtmenetelmällä saadaan vamentamattoman joustavan kappaleen lkeyhtälöks /14/: M u & + K u = Q (3.9) f f e mssä M on massamatrs, jossa massa on jaettu tasasest u f solmupstesn (Lumped Mass Matrx) on solmupsteden srtymä kuvaava vektor K Q e on jäykkyysmatrs on ulkonen vomavektor.

25 15 Osarakenneteknkassa tutkttava rakenne jaetaan ssäsn vapausastesn ja lttymävapausastesn (Internal and Boundary DOFs). Rakenteen jäykkyys- ja massamatrst jaetaan osa-aluesn valttujen vapausasteden mukasest. BB BI K K K = IB II (3.10) K K BB M 0 M = II (3.11) 0 M jossa ndeks B tarkottaa lttymävapausastetta ja ndeks I tarkottaa ssästä vapausastetta. Lttymävapausaste tarkottaa solmupstettä, jossa komponentt ltetään tosnsa el nhn asetetaan dynamkan smulontohjelmstossa nvelrajotteta (kuva 3.2). /14/,/18/. Lttymävapausaste Ssänen vapausaste Kuva 3.2. Vapausasteden määrttely. Levyn nurkkasolmuhn kohdstetaan dynamkan smulontohjelmstossa nvelrajotteta. Tukemattoman kappaleen omnasmuodot el normaalmuodot (Normal Constraned Modes) ratkastaan yhtälöstä (3.9) asettamalla ulkonen vomavektor Q e nollaks ja sjottamalla N ω t u f = Φ e λ. (3.12) Tällön yhtälö (3.9) saadaan muotoon II 2 II N ( K ω λ M ) Φ = 0, (3.13) josta omnasmuodot ja -taajuudet saadaan ratkasemalla omnasarvotehtävä. N 2 Yhtälössä (3.13) Φ on tukemattoman kappaleen muotomatrs ja ω on omnasarvo. Kuvassa 3.3 on estetty suorakulmasen levyn eräs normaalmuoto. λ

26 16 Normaalmuotoja käytetään rakenteen dynaamsten muodonmuutoksen approksmomseen. /18/ Kuva 3.3. Eräs normaalmuoto. Staattset korjausmuodot (Statc Correcton Modes) saadaan ratkasemalla staattnen ongelma jokaselle reunaehtovapausasteelle yhtälöstä (3.14) F F B I K = K BB IB K K BI II δ δ B I. (3.14) Asettamalla ssäsn vapausastesn vakuttava voma I F nollaks saadaan 1 I II IB B δ = K K δ = Φ C δ B (3.15) mssä I δ on fyysset ssästen vapausasteden srtymät B δ C Φ on fyysset reunaehtovapausasteden srtymät on staattsten muotojen matrs. Staattnen korjausmuoto vastaa rakenteen muodonmuutosta, joka syntyy, kun yhdelle lttymävapausasteelle aheutetaan ykskön suurunen srtymä ptäen samalla muut lttymävapausasteet pakallaan. Term kuvaa reaktovoma pakallaan pdettävssä vapausastessa. Staattsa korjausmuotoja käytetään rakenteen staattsten muodonmuutosten approksmomseen. Kun rakenne, jossa vakuttaa voma sekä reunaehtoja, on staattsessa tasapanossa, käytetään deformotuneesta muodosta nmtystä staattnen muoto. /14/,/18/ B F Fyysstä deformaatota vodaan nyt approksmoda yhdstetyn omnasmuotomatrsn avulla seuraavast (fnte modal summaton):/18/ B δ I I δ Φ N 0 pˆ C Φ pˆ C N = Φˆ pˆ. (3.16)

27 17 Yhdstämällä normaalmuodot ja staattset korjausmuodot saadaan ylestetty jäykkyysmatrs /18/: mssä CC Kˆ 0 Kˆ = NN (3.17) 0 Kˆ ˆ CC BB K = K + K BI Φ ˆ T NN N II N K Φ. K = Φ Vastaavalla tavalla saadaan ylestetty massamatrs mssä C CC CC Mˆ Mˆ Mˆ = NC NN (3.18) M ˆ Mˆ ˆ CC BB M = M + ˆ CN BB M = M + Φ Φ C C T T M M ˆ T NN N II N M Φ. M = Φ II II Φ Φ C N ADAMS/Flex käyttää heman modfotua Crag Bampton -menetelmää systeemn vapausasteden vähentämsessä. Crag Bampton -menetelmässä jäykän kappaleen lke on myös muotojen lneaarkombnaato, jota e tarvta epälneaarsessa dynamkan smulonnssa. Jäykän kappaleen lke korvataan joustavan kappaleen lokaaln koordnaatston epälneaarsella lkkeellä. Crag Bampton -muotojen ortogonalsonnlla jäykän kappaleen muodot vodaan tunnstaa ja postaa. Matrst saadaan ortogonalsotua ratkasemalla uus omnasarvo-ongelma: K ˆ 2 ( ˆ ω Mˆ ) pˆ = 0. (3.19) λ ADAMS/Flex käyttää muotojen ortogonalsonnssa QZ-hajotelmaa, joka perustuu Moler Stewart -algortmn /19/. Alkuperäset modaalkoordnaatt transformodaan ortogonaalsks modaalkoordnaateks p ortogonaal operaattorlla N yhtälön (3.20) mukasest N p = pˆ. (3.20) Joustavan kappaleen fyysstä deformaatota vodaan kuvata ortogonalsodun muotomatrsn ja modaalkoordnaatten avulla seuraavast: pˆ

28 18 n u Φp ˆ ˆ = Φˆ N p = φ p = Φ p. (3.21) f j= 1 j j Käyttämällä ortogonalsotua muotomatrsa massamatrseks: Φ saadaan ylestetyks jäykkyys- ja 2 ω λ1 0 T K = Φ Kˆ Φ = O (3.22) 2 0 ωλn T M = Φ MΦ ˆ = I. (3.23) Ortogonalsonnlla saadaan jäykkyys- ja massamatrst dagonaalmuotoon. Käytettävät muodot vodaan nyt valta kuormtustapauksen mukaan, koska muodolla e ole kesknästä rstkytkentää. Staattset korjausmuodot muuttuvat lttymävapausasteden omnasmuodoks, joden omnastaajuus tunnetaan. Kuvassa 3.4 on havannollstettu staattsten korjausmuotojen ortogonalsonta levylle, jossa on 21 lttymäsolmua sen ptkällä svulla. /16/,/18/ Kuva 3.4. a) Staattnen korjausmuoto ennen ortogonalsonta. Muodon taajuutta e tunneta. b) Lttymävapausasteden omnasmuoto ortogonalsonnn jälkeen. Muodon taajuus on tunnettu. /18/

29 Systeemn lkeyhtälöden muodostus Ylestetyt koordnaatt Kappaleden kuvaamseen käytetään ylestettyjä koordnaatteja, jotka kuvaavat täydellsest jokasen systeemn kuuluvan partkkeln aseman. Käyttämällä Eulern kulma esttämään orentaatota, saadaan ylestetyt koordnaatt partkkeln lkkeelle /18/: [ q = x r y r z r T T T q r ψ θ φ p ] = (3.24) p mssä x r, y r ja z r ovat lokaaln koordnaatston sjant globaaln nähden ψ, θ ja φ ovat lokaaln koordnaatston Eulern kulma globaaln koordnaatstoon nähden (kuva 3.5) q r on jäykän kappaleen ylestetyt koordnaatt p on joustavan kappaleen ajasta rppuvat modaalkoordnaatt. Kuva 3.5. Eulern kulmat. /17/ Eulern kulmen akadervaatolle ja lokaaln koordnaatston kulmanopeudelle globaaln suhteen saadaan seuraava yhteys /18/: ψ & ω = G & θ = G θ& & φ (3.25) Nyt partkkeln nopeuden yhtälö (3.5) saadaan muotoon ~ r& = R& A u Gθ& + A Φ p = [ I ~ A u G A Φ]q (3.26)

30 Knemaattset rajotteet Mekaansen systeemn koordnaatt evät ole täysn rppumattoma tosstaan, koska nvelet ja määrtellyt lkeradat synnyttävät vuorovakutusta systeemn ylestettyjen koordnaatten välllä. Kappaleden välset vuorovakutukset kuvataan rajoteyhtälöden avulla. Rajoteyhtälöt ovat funktota ylestetystä koordnaatesta ja mahdollsest myös ajasta. Rajoteyhtälöt vodaan esttää muodossa: C ( q1 q2 L qn, t)= 0 (3.27) mssä n on ylestettyjen koordnaatten lukumäärä. Kohdstamalla vrtuaalnen srtymä yhtälöön (3.27) saadaan johdettua systeemn lkemahdollsuuksa kuvaava Jacoban matrs /17/: C mssä n c n q C11 L C1 = M M Cn c 1 L Cn c n n on rajoteyhtälöden lukumäärä on ylestettyjen koordnaatten lukumäärä. (3.28) Esmerkknä rajoteyhtälöstä kästellään rotaatonveltä kahden jäykän kappaleen välllä (Kuva 3.6). Kuva 3.6. Rotaatonvel. /12/ Rotaatonvelessä molempen kappaleden nvelpsteet ovat ana samassa pakassa, jollon knemaattseks rajoteyhtälöks saadaan /12/ j j j C = R + A u R + A u = 0, (3.29)

31 21 jollon saadaan Jacoban termt kappaleden ja j vällle seuraavast mssä I C A θ q = ( C ) θ θ (3.30) ( Cq ) p j j q q r [ I A u I A u ] = on ykskkömatrs on transformaatomatrsn dervaatta Eulern kulmen suhteen. (C q ) qr on Jacobn matrs jäykän kappaleen koordnaattehn kohdstuvsta rajotukssta (C q ) p on Jacobn matrs modaalkoordnaattehn kohdstuvsta rajotukssta. Knemaattset rajotteet vodaan huomoda joko sjottamalla rajoteyhtälöt systeemn lkeyhtälöhn ta käyttämällä Lagrangen kertoma λ. Sjotusmenettely johtaa lkeyhtälöhn, jotka ovat vakeast numeersest ratkastavssa. Lagrangen kerronta käyttämällä systeemn dfferentaalyhtälöstä muodostuu varsn yksnkertasa ja sten suhteellsen nopeta ratkasta sekä muodostaa. /6/ Ylestetyt vomat Soveltamalla vrtuaalsen työn peraatetta systeemn staattsessa tlanteessa saadaan muodostettua ylestetyt vomat. Ylestetyllä vomlla tarkotetaan voma, jotka lttyvät systeemn ylestettyhn koordnaattehn. Kakken kappaleeseen kohdstuven ulkosten e-konservatvsten vomen tekemä vrtuaalnen työ vodaan esttää muodossa T δ We = Qe δ q, (3.31) T Q e mssä on e-konservatvsten ulkosten vomen ylestetty vomavektor. Vrtuaalsen työn yhtälö komponenttehn jaetussa muodossa on δ W e = T T T [ Q Q Q ] R θ p δ R δ θ, (3.32) δ p

32 22 Q R Q θ mssä ja ovat ylestettyjä voma, jotka lttyvät translaato- ja rotaatokoordnaattehn ja Q p on vektor ylestetystä vomsta, jotka lttyvät ylestettyhn modaalkoordnaattehn. /17/ Lagrangen yhtälö Lagrangen yhtälö vodaan nähdä energakeskesenä lähestymstapana systeemn dynamkan tutkmseks. Lagrangen yhtälö saadaan Newtonn tosesta lasta soveltamalla D alembertn peraatetta, ylestettyjä koordnaatteja sekä vrtuaalsen työn peraatetta. Lsäämällä Lagrangen yhtälöön rajoteyhtälöt Lagrangen kertoma käyttäen saadaan /17/: mssä L d dt C q λ L q & L + C q Τ q λ = Q on Lagrangen funkto T - V e (3.33) on Jacobn matrs laskettuna ylestetyssä koordnaatessa q on vektor Lagrangen kertomsta Q e on e-konservatvsten ylestettyjen vomen vektor. Kappaleen kneettnen energa T vodaan lausua muodossa T 1 = ρ 2 V T r & r& dv, (3.34) mssä ρ on kappaleen theys. Sjottamalla partkkeln nopeus yhtälöstä (3.26) saadaan lke-energan lauseke muotoon T 1 2 q & M q& T =, (3.35) mssä M on kappaleen massamatrs. Potentaalenergalle saadaan lauseke V = Vg + U, (3.36) mssä joustavan kappaleen venymäenerga U on 1 T 1 T U = q K q = p K p p, (3.37) 2 2

33 23 mssä K p on symmetrnen postvsest defntt jäykkyysmatrs, joka lttyy kappaleen ylestettyhn elastsn koordnaattehn. /17/ Gravtaatopotentaalenerga vodaan krjottaa muodossa V g [ R + A ( u Φ p ] g dv = ρ r g dv = ρ o + ), (3.38) V V mssä g on gravtaatokhtyvyysvektor. Gravtaatosta johtuva voma saadaan ottamalla potentaalenergan yhtälöstä (3.38) osttasdervaatat ylestettyjen koordnaatten suhteen /18/: f g Vg = q A = q ρ dv g V T ρ ( uo + Φp) dv g (3.39) V T A ρ Φ dv g V Vskoost vamennusvomat rppuvat ylestetystä modaalssta nopeukssta ja ne vodaan esttää muodossa F D 1 = p & T D p&, (3.40) 2 joka on nmeltään Rayleghn hävöfunkto. Matrs D on vamennusmatrs, joka ssältää vamennuskertomet d j. Käytettäessä ortogonaalsa muotoja vamennusmatrs vodaan tehokkaast laskea käyttäen modaalsta vamennussuhdetta d η =, (3.41) c kr mssä c 2 ω = 2 kr = m λ k m. Sten vamennuskertomet matrsssa D ovat: d = 2η k m. (3.42) Nän jokaselle moodlle vodaan määrtellä oma vamennussuhteensa. /18/ Sjottamalla yhtälöt ( ) Lagrangen yhtälöön saadaan joustavan kappaleen lkeyhtälöks /16/:

34 24 T M T M q + Mq & 1 && & q& q + Kq + fg + Dq + Cq λ = Q q & & 2 mssä D on vamennusmatrs f g λ Q e on gravtaatovomat on Lagrangen kertomet rajoteyhtälölle C q on ylestetyt vomat. e (3.43) Käyttämällä merkntöjä Q v = Mq & & T M q& q q& (3.44) Q = Q Kq f Dq& E e g (3.45) saadaan yhtälö (3.43) muotoon: M q& + C λ = Q + Q, (3.46) T q E v mssä Q v on nelöllnen nopeusvektor, joka ssältää gyroskooppsten ja Corols vomen vakutukset. Nelöllnen nopeusvektor on epälneaarnen funkto systeemn ylestetystä koordnaatesta ja nopeukssta. Vektor Q vomavektor, joka ssältää sekä konservatvset ja e-konservatvset vomat. /17/ E on Joustavan kappaleen massamatrs Massamatrs yhtälössä (3.43) on monmutkanen funkto muodonmuutokssta ja orentaatosta, mutta jakamalla massamatrs yhdeksään osamatrsn translaato-, rotaato- ja modaalkoordnaatten mukaan saadaan laskentatehoa parannettua. /16/ mrr M = symm. m m Rθ θθ m m m R p θ p p p (3.47) Alandekst R, θ ja p vttaavat translaato-, rotaato- ja modaalkoordnaattehn. Osamatrst muodostuvat ajasta rppuvsta ja ajasta rppumattomsta termestä. Ajasta rppumattoma termejä kutsutaan nertanvaranteks. Massamatrsn termt ovat /18/

35 25 1 mrr = ρ IdV = Ι I (3.48) V ~ ~ ~ 2 ~ 3 m R = ρ θ A ( uo + Φ p) G dv = A [ Ι + I j p j ] G (3.49) V m A Φ = A m I 3 Rp = ρ dv (3.50) V θθ = ρ G V = G T T [ Ι 7 ~ ~ T ~ ( u Φ p u ~ o + ) ( o + Φ p) G dv (3.51) 8 8T 9 [ I + I ] p I j p p ] G j T ~ ~ T T 4 5 m p = ρ θ G ( uo + Φ p) Φ dv = G [ Ι + I j p j ] (3.52) V m Φ Φ = Ι T 6 pp = ρ dv (3.53) V Invarantt vodaan laskea tlavuusntegraalena ta dskreetssä elementtmenetelmän tapauksessa summna. Invarantt ovat: - Joustavan kappaleen kokonasmassa N 1 Ι = ρ dv m (skalaar) (3.54) V = 1 mssä N on solmujen lukumäärä. - Ensmmänen staattnen momentt N 2 Ι = ρ u dv m u (3 x 1) (3.55) V o = 1 - Panopsteen korjaus johtuen deformaatosta N = 1 o 3 Ι = ρ φ dv m φ j =1,,M (3 x 1) (3.56) j V j mssä M on mooden lukumäärä - Deformaaton ja rotaaton rstkytkentä Ι 4 V o = 1 j N ~ ~ = ρ u Φ dv m u Φ + I Φ' (3 x M) (3.57) o j mssä Φ' on solmupsteen rotaatodeformaatota kuvaavat muodot ja I on solmun nertavektor. - Deformaaton ja rotaaton rstkytkennän tosen asteen korjaus

36 26 5 Ι = ρ φ ~ Φ dv m φ ~ Φ j =1,,M (3 x M) (3.58) j V j N = 1 - Joustavan kappaleen ylestetty massamatrs el modaalmassa Ι j N 6 T T T = ρ Φ Φ dv mφ Φ + Φ' IΦ' (M x M) (3.59) V = 1 - Joustavan kappaleen htausmomentt N 7 ~ T ~ ~ T ~ Ι = ρ u u dv m u u + I (3 x 3) (3.60) V o o = 1 - htausmomentn ensmmäsen asteen korjaus = 1 o o N 8 ~ ~ Ι = ρ u φ ~ dv m u φ ~ j =1,,M (3 x 3) (3.61) j V o - htausmomentn tosen asteen korjaus j o j Ι 9 jk V j k N = ρ φ ~ φ ~ dv m φ ~ φ ~ j,k =1,,M (3 x 3) (3.62) = 1 j k Invarantt tarvtsee laskea van kerran smulonnn alussa. Invarantteja vodaan myös asettaa nollaks, jollon nopeutetaan laskentaa, mutta tosaalta hekennetään sen tarkkuutta (kuva 3.7). Invarantt I 5 ja I 9 ovat tosen asteen nertakorjauksa, jotka vakuttavat vähten laskentatarkkuuteen, mutta nden suuren koon taka ne vaatvat paljon CPU-akaa. Invarantn I 6 el modaalmassan asettamnen nollaks tekee kappaleesta jäykän. /16/ Kuva 3.7. Käytettäven massamatrsn nertanvarantten valnta ADAMS:ssa.

37 27 Lkeyhtälön muotolu numeersta ntegronta varten Jakamalla ylestetyt koordnaatt jäykän kappaleen lkettä ja deformaatota kuvaavn koordnaattehn saadaan systeemn lkeyhtälö (3.46) muotoon: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + p v q v p E q E T p q T q q r pp pr rp rr r r r Q Q Q Q λ C C p q m m m m ) ( ) ( && && (3.63) Käyttämällä vektora ( ) [ ] q C q q C C q C Q & & & & & qt q q tt q c = = (3.64) saadaan lkeyhtälö muotoltua nn, että se vodaan ratkasta numeerslla ntegrontmenetelmllä yhtälön (3.65) mukasest. Alandeks t yhtälössä (3.64) tarkottaa osttasdervaattaa ajan suhteen ja q osttasdervaattaa ylestettyjen koordnaatten suhteen. /17/ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = c p v p E q v q E r T p q pp T q q rp rr r r r symm Q Q Q Q Q λ p q 0 C m C m m && &&. ) ( ) ( (3.65) el ( ) ( ) ( ) ( ) + + = c p v p E q v q E T p q pp T q q rp rr r r r r symm Q Q Q Q Q 0 C m C m m λ p q 1. ) ( ) ( && && (3.66) 3.4 Roottordynamkan mallnnus Edellsssä luvussa kästeltn ylestä menetelmää joustavsta ja jäykstä kappalesta koostuvan systeemn dynamkan mallntamsessa. Roottordynamkan mallnnusta ovat kästelleet tarkemmn Ramo von Hertzen ja Marko Jorkama /20/. He ovat johtaneet lkeyhtälöt kuvan 3.8 mukaselle pyörvälle telalle. Lkeyhtälöt ssältävät gyroskooppset efektt, epäsymmetrsen putktelan, päätylevyt, joustavat akselt ja muuttuvan pyörmsnopeuden. Putktelan epäsymmetra on otettu huomoon ylesellä tavalla, jollon jäykkyysomnasuudet vovat muuttua ptkn telan ptuutta. Mall ottaa huomoon myös telan alkukäyryyden.

38 28 Kuva 3.8. Pyörvä putktela, jossa jäykät päätylevyt ja elastset akselt. /20/ Akselelle, päätylevylle ja putkelle johdetaan lke- ja potentaalenergan lausekkeet, josta muodostetaan systeemn Lagrangen funkto L = T - V. Lkeyhtälöt johdetaan Hamltonn prnspstä: t 2 δ L dt = 0 (3.67) t 1 Systeemn lkeyhtälöstä nähdään, että putken epäsymmetra aheuttaa herätteen, jonka taajuus on kaks kertaa pyörmstaajuus. Alkukäyryys taas aheuttaa herätteen, jonka taajuus on pyörmstaajuus. /20/ Lkeyhtälöden ratkasumenetelmäks on ehdotettu modaalkoordnaattehn perustuvaa menetelmää. Omnasarvojen laskenta vodaan tehdä joko lman gyroskooppsta kytkentätermä ta sen kanssa. Jälkmmänen lähestymstapa on rajotettu vakopyörmsnopeuteen, mutta se antaa tarkan kuvauksen roottorn dynamkasta. Jos halutaan tarkastella roottorn khdytystä, täytyy gyroskooppset kytkentätermt jättää pos muotojen laskennasta. Tällön vaaka- ja pystysuuntasa lkketä tarkastellaan tosstaan rppumattomna ja gyroskooppset termt sekä asymmetrset termt tuodaan ulkosna vomna systeemn lkeyhtälöhn. /20/

39 Vertalu teoroden välllä Kaupallsten dynamkansmulontohjelmstojen (ADAMS, DADS, SIMPACK) käyttämä jäsenen moodehn perustuva joustavuuden kuvaustapa soveltuu kohtalasen hyvn roottoreden mallnnukseen. FE-malln massa- ja jäykkyysjakauma srtyy dynamkansmulontohjelmstoon tarkast, jos käytetään rttäväst muotoja ja solmuja. Tämä mahdollstaa valmstusepätarkkuukssta johtuven geometrsten epädeaalsuuksen mallntamsen. Myös gyroskooppset ja keskpakovomat tulevat huomotua automaattsest. Elementtmalln elementten ja solmujen lukumäärällä e ole vakutusta laskenta-akaan dynamkan smulonnssa, koska joustavan kappaleen vapausasteden määrä on käytettäven muotojen määrä. Puutteena roottordynamkan kannalta on, että menetelmässä srtymät ovat lneaarsa, ekä menetelmällä sten pystytä kuvaamaan pyörmsnopeuden aheuttamaa jäykkyyden kasvamsta (stress stffenng). Kaupallsen smulontohjelmston matemaattset omnasuudet mahdollstavat laakeronnn ja sen epädeaalsuuksen kuvaamsen. Roottordynamkan yhtälöden johtamnen ja nden perusteella muodostetun smulontmalln etuna on, että malllla vodaan tutka er termen vakutusta. ADAMS/Flexn käyttämässä menetelmässä esmerkks gyroskooppset efektt ovat automaattsest mukana, ekä ntä voda tarkastella erkseen. Matemaattsest menetelmät ovat hyvn ptkält samoja; molemmat perustuvat Lagrangen yhtälöön.

40 30 4 TUTKITTAVA RAKENNE JA SEN MALLI 4.1 Koeroottor Työssä tutkttava roottor on TKK:n Koneensuunnttelun laboratoron paperkoneen putktela. Putktelalla on kehtetty roottordynamkan mttaus- ja analysontmenetelmää, joka perustuu tasapanotusteknkan, laserantureden, uuden matemaattsen algortmn sekä telan asematedon yhdstämseen. Lattesto kästtää PC-pohjasen tedonkeruujärjestelmän, neljä laser-antura vahvstmneen, kytkentäpaneeln ja mttajohteen, johon anturt on asennettu. Mttaus tahdstetaan ulkosella pulssanturlla. Nollamerkknä käytetään telan akseln klauraa. Hettoa mttaavna anturena käytetään kolmomttausperaatteella tomva laserantureta, joden mttaus perustuu lasersäteen hajahejastuksen ntensteettmaksmn lkkumseen havatsjalla (kuva 4.1). /21/ dynaamsen tapuman mttaus kolmessa tasossa mttakelkka koemassojen knntys Kuva 4.1. Telan dynaamsen käyttäytymsen mttaus perustuu laseranturella tehtävään heton mttaukseen. Koetelassa on pultthtsatut tapt koemassojen knntystä varten. /21/

41 31 Telan käyttömoottor on 4 kw:n okosulkumoottor ja stä ohjataan 30 kw:n taajuusmuuttajan avulla. Käyttöakselssa on vakonopeusnvelet. /21/ Mttalatteen ohjelmsto on tehty graafsella DTVee-ohjelmontkelellä (kuva 4.2). Ohjelmontkel ssältää useta erlasa tomntolohkoja, joden avulla vodaan toteuttaa vaatvakn algortmeja ja analyysejä. Mttausohjelmsto lukee jokasen kanavan antursgnaaln, muuntaa sgnaaln taajuustasoon ja tallettaa antursgnaalt tetokoneen massamustn. /21/ Mttauksesta analysodaan tapumavva, hetto ja heton harmonset komponentt sekä resonansskohdat. Hettosgnaalsta havataan komponentten suuruudet, kesknäset suhteet ja vahekulmat sekä muutokset nopeuden funktona. Komponentesta vodaan päätellä mahdollsa vrheden sytä. /21/ Kuva 4.2. Teladynamkan HPVee -mttausohjelmston rakenne /21/.

42 Smulontmall Telakoelatteston smulontmalln muodostuksessa käytettn FEA- ja MBSohjelmstoja. Telasta ja tasapanotuspukn yläosasta laadttn FE-mallt, jotka srrettn ADAMS:n mekansmn jäsenks. ADAMS:ssa määrteltn nvelrajotteet ja mekansmn vakuttavat vomat Telan FE-mall Telan FE-mall on tehty ANSYS 5.4 ohjelmalla (kuva 4.4). Telan akselt ja päätylevyt on malltettu 8-solmusella soldelementllä SOLID45. Vappa on malltettu 4-solmusella kuorelementllä SHELL63. Laakerontkohta on vahvstettu jäykllä 3D palkkelementellä BEAM4, joden kmmomodul on 100- kertanen teräksen vastaavaan. ADAMS:ssa nvelrajotteet kohdstetaan van yhteen solmuun, jollon vahvstamaton ltoskohta antaa väärä tuloksa. Palkkelementellä ss jaetaan laakerkuormtus useammalle solmulle. Mallssa on 2046 solmua ja 2062 elementtä. Vapan senämänpaksuus on FE-mallssa mttaustuloksen mukanen. Kuorelementn SHELL63 paksuus vodaan määrtellä REAL CONSTANT - vakolla elementn nurkkapstessä, el jokasen solmun kohdalla /22/. Vapan senämänpaksuus on mtattu nn, että mttauspsteet ovat FE-malln solmupsteden kohdalla. MATLAB -ohjelmstossa krjotettn ohjelma, joka lukee mttaustulokset sekä solmu- ja elementttedoston. Ohjelma tulostaa teksttedostoon ANSYS:n käskyt, jolla elementten paksuutta muutetaan. Ohjelman vuokaavo on ltteessä 1. Kuvassa 4.3 on vapan senämänpaksuuskartta ja senämänpaksuuden mttaustuloksa on estetty taulukossa 4.1.

43 33 Kuva 4.3. Vapan senämänpaksuuskartta. Ptuuskoordnaatt alkaa hotopäästä. Asentokulman 0-kohta on X-akseln postvnen suunta (kuva 4.4) ja kertosuunta hotopäästä katsottuna myötäpävään. Kuva 4.4. Telan FE-mall. Vapan paksuusvahtelu on estetty er värellä. Käyttöpää on kuvassa lähempänä. Lekkauksessa vrhe on 25- kertanen.

44 34 Taulukko 4.1. Vapan senämänpaksuuden mttaustuloksa. Keskarvo [mm] Keskhajonta [mm] Mnmarvo [mm] Maksmarvo [mm] Vahtelu [mm] Tasapanotuspukn jousvakoden määrtys Tela on tuettu molemmsta pästään kuvan 4.5 mukasella tasapanotuspuklla. Pukn alaosa on knntetty betonlattaan ja yläosa on knntetty alaosaan lattaraudolla ja pezokteellä. Pukn ylä- ja alaosan materaal on valurautaa. Tukrullen knntykseen käytetyn levyn materaal on terästä ja se on knntetty ktkasulkesella ruuvltoksella pukn yläosaan. Suurn osa pystysuuntasesta jäykkyydestä tulee pukn yläosasta ja lattaraudosta. Vaakasuuntasen jäykkyyden määrää pääasallsest pezokde, jonka jousvako on 70 MN/m. Kuva 4.5. Tasapanotuspukn rakenne. Pukn vaaka- ja pystysuuntaset jousvakot määrtettn kuvan 4.6 mukasella pukn yläosan FE-malllla. Mallssa on käytetty hyväks tasapanotuspuksta laadttua 3D-CAD -prustusta. CAD -prustus on laadttu Pro-E -ohjelmalla, josta

45 35 mall srrettn IGES-muodossa ANSYS:een. ANSYS:ssä malla on yksnkertastettu postamalla stä porauksa ja penä olakketa. Nän saatn vähennettyä tarvttaven elementten määrää. Pezokde on malltettu vetopurstusjäykkyydeltään ekvvalentella palkkelementellä. Kuva 4.6. Pukn jousvakoden määrtyksessä käytetty pukn yläosan FE-mall. Valurautanen osa on snvhreä ja teräksset osat ovat voletteja. Valurautasen osan kmmomodul on MPa, Possonn vako 0.21 ja theys 7.08 kg/m 3. Malln asetettn kuormtukseks tukrullen kohdalle 1000 N:n vaakasuuntanen sekä 4000 N:n pystysuuntanen voma. Srtymen perusteella votn laskea pukn jousvakot. Tuloksks saatn: - vaakasuuntanen srtymä µm, jollon jousvako on MN/m - pystysuuntanen srtymä µm, jollon jousvako on MN/m Jousvakot ovat luultavast heman penempä, koska tasapanotuspukn alaosa ja betonlatta joustavat heman. Tarkempaan tulokseen päästäsn mttaukslla ADAMS -mall Telan ja pukn FE-mallt srrettn ANSYS:stä ADAMS:n. Telamallsta ratkastn 36 normaalmuotoa ja 12 staattsta korjausmuotoa. Staattset korjausmuodot laskettn laakerontsolmulle. Telan massamatrsn

46 36 muodostuksessa on käytetty kakka nertanvarantteja. Käyttöaksel on malltettu ekvvalenttna jousena, joka ptää telan pakallaan sen akseln ptuussuunnassa. Okeasta telasta punntut tasapanotusmassat on knntetty telan pntaan (kuva 4.7). Kuva 4.7. Telakoelatteston mall ADAMS:ssa. Pukn mallsta srrettn 15 normaalmuotoa ja 12 staattsta korjausmuotoa. Smulonnessa pukt ovat jäykkä kappaleta, el nden massamatrsn nertanvarantt I 6 (modaalmassa) on asetettu nollaks. Muotoja käytetään ss pelkästään massaomnasuuksen kuvaamseen. Pukken jousto on kuvattu lattarautojen ja pezokteden kohdlle asetetulla jous-vamennnvomlla, jossa jous- ja vamennusvakot on määrtelty STATE VARIABLE -muuttujan avulla. Muuttujan käyttö mahdollstaa jous- ja vamennusvakoden muuttamsen smulonnn akana esmerkks kerrosnopeuden ta ajan funktona. Vamennuskerron määrtettn vastaamaan 6 % suhteellsta vamennusta. Krttnen vamennus laskettn yhtälöstä (4.1) /24/ ja vamennusvakoks saatn taulukon 4.2 mukaset arvot:

47 37 c kr = 2 k m (4.1) Taulukko 4.2. Tasapanotuspukken lasketut vamennusvakot. Jousvako [MN/m] Värähtelevä massa [kg] Krttnen vamennus [Ns/m] 6 % vamennus [Ns/m] Vaakasuunta Pystysuunta Telan akselkaulojen ja tukrullen ympyrämäsyyden mallnnus Mtatusta telan akselkaulojen ja tukrullen ympyrämäsyysproflesta muodostettn yhtälön (4.2) mukaset Fourern cosnsarjat. 4 k= 1 ( H ( α ) = c k cos k α + φ ), (4.2) k mssä α on telan asentokulma ja φ k on k:n harmonsen komponentn vahe-ero. Sarjan ensmmänen term el akselkaulojen epäkesksyys määrtettn pyörttämällä telaa htaalla pyörmsnopeudella ja mttaamalla heton maksm- ja mnmarvot käyttö- ja hotopuolelta. Mtattuhn pstesn sovtettn kuvan 4.8 mukaset käyrät. Mallssa huomotn van kertaluvun harmonset komponentt, sllä korkeampen komponentten ampltudt olvat merktyksettömän penä. Mttaustulokset ovat taulukossa 4.3. Akselkaulojen epäkesksyyskomponentt on suur verrattuna sokomasuus-, kolmomasuus- ja nelömäsyyskomponenttehn. Kuvassa 4.9 on estetty kertaluvun harmonset komponentt telan asentokulman funktona.