Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4

2 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä vaat, että kappaleen ja alustan välnen lepoktka on rttävän suur. Kun kappale e lu, massakeskpste etenee yhden pyörähdyksen akana tarkast kappaleen ympärysmtan ptusen matkan: x R Jaetaan yhtälö kerrosajalla T: Vervän sylntern akseln rata on suora, kehäpsteen rata syklod. v x T Vermsehto: R T v R Vermsessä pätee ana tämä yhteys etenemslkkeen ja pyörmslkkeen nopeuksen välllä.

3 Vermsehdon kaltanen ehto tulee käyttöön myös, kun tarkastellaan esm väkpyören kautta kulkeva köysä ta lankoja. Yleensä vo olettaa, että köys kertää väkpyörän ympär lukumatta. Sllon köyden ja sen päässä olevan kappaleen nopeus on sama kun väkpyörän kehäpsteen nopeus: v köys v kpl v kehä R Kappaleen khtyvyys vodaan esttää väkpyörän kulmakhtyvyyden avulla: a kpl R Geometrset ehdot väkpyörälkkeelle (lustamaton köys): v kpl R a kpl R

4 Kuvassa on vervä kappale prretty xykoordnaatstoon. Massapsteen pakkavektor vodaan esttää summana r r r, rel r r r, rel massapsteen pakkavektor massakeskpsteen pakkavektor massapsteen pakka massakeskpsteen suhteen Ottamalla akadervaatta saadaan massapsteen nopeudeks v v v, rel Tarkastellaan kehän pstettä, joka koskettaa alustaa. Sen nopeus CM:n suhteen on v,rel = - R, koska se lkkuu R-sätestä ympyrärataa kulmanopeudella. Tosaalta vermslkkeessä v = R, joten alustaa koskettava kehän pste on hetkellsest levossa. Tätä lukumatta vermnen juur tarkottaa: kosketuspste e lku (lusta) alustan suhteen. Etenemslke + pyörmslke = kokonaslke

5 Vermnen on hetkellstä pyörmstä alustan ja kappaleen kosketuskohdan P ympär. CM:n nopeus R on juur se, mkä etäsyydellä R pyörmsakselsta kulmanopeudella kertävän kappaleen ratanopeuden tulee ollakn, samon kappaleen ylmmän psteen nopeus R on etäsyydellä R kertävän kappaleen okea ratanopeus. Hetkellsest kappaleen koko lke on pyörmslkettä psteen P suhteen. Lke-energa on K 1 K rot P n suhteen I P : Htausmomentt saadaan Stenern säännön avulla: I P I MR Koska vermsessä R = v, vervän kappaleen lkeenergan vodaan esttää muodossa K rollng 1 I 1 Mv K rot K Vervän kappaleen lke vodaan jakaa massakeskpsteen lkkeeseen (lke-energa K ) ja massakeskpsteen ympär tapahtuvaan pyörmslkkeeseen (lke-energa K rot ).

6 Vervät kappaleet kaltevalla pnnalla Tarkastellaan kolmea vervää kappaletta ja ktkatta lukuvaa hukkasta kaltevalla tasolla (ks kuva). Massat samat (M), samon verven säteet (R). Mllä kappalesta on suurn nopeus tason alareunassa? = 0 Energaperaate: (K+U) alhaalla =(K+U) ylhäällä Htausmomentt CM:n suhteen: I = c MR Rengas c = 1 Sylnter c = ½ Umppallo c = /5 Hukkanen c = I Mv 1 v ( cmr )( ) R Mgh 1 Mv el 1 M ( 1 c) v Mgh Tästä saadaan loppunopeudelle ja vakokhtyvyydelle v gh 1 c a a 1 c partcle Johda! Vervän kappaleen khtyvyys on penemp kun lukuvan kappaleen.

7 Pyörmslkkeen vektorestys Tähän ast olemme lmasseet esmerkks pyörmsen suunnan kulmanopeuden etumerkllä. Nyt määrttelemme kulmanopeusvektorn Vektrorn suuruus on kappaleen kulmanopeus el =. Vektorn suunta määräytyy kappaleen pyörmsssuunasta okean käden säännöllä. Vääntömomentt vodaan esttää voman vakutuspsteen pakkavektorn r ja vomavektorn F rsttulona: r F = [rfsn, suunta okean käden säännön mukaan]

8 Lkemäärämomentt el pyörmsmäärä Lkemäärämomentt on vektorsuure, suunta nähdään okeankäden säännöllä. Rppuu psteestä Q, jonka suhteen vektor otetaan. Merktään psteen pakkavektora psteen Q suhteen r. L r p ( mvrsn, suunta okean käden säännön mukaan) On kohtsuorassa lketasoa vasten. Lkemäärän vastne pyörmslkkeessä. Q

9 Ympyrälke xy-tasossa: lkemäärä ja radan keskpsteestä prretty pakkavektor kohtsuorassa tosaan vasten. Pyörmsmäärä on z-akseln suuntaan, ja sen suuruus on Lz mrv t Suunta on +z-akseln suunta (ulos kuvasta), jos lke tapahtuu vastapävään (L z > 0), ja z-akseln suuntaan (kuvaan pän), jos lke tapahtuu myötäpävään (L z < 0). Etenemslkkeessä (Newton II lak) dp F net dt Pyörmslkkeessä on vastaava yhteys vääntömomentn ja pyörmsmäärän välllä: dl d dr dp ( r p) p r dt dt dt dt v p r F net 0 net Vääntömomentt aheuttaa pyörmsmäärän muutoksen dl dt net

10 Monen kappaleen systeemn kokonaspyörmsmäärä saadaan summana L L Systeemn kappalesn vakuttava kokonasvääntömomentt ahettaa kokonaspyörmsmäärän muuttumsen: Hyvn ohut Nettovääntömomentt aheutuu kokonaan systeemn ulkoapän vakuttavsta vomsta. Ssästen vomen vääntömomentt kumoutuvat parettan Newtonn III lan seurauksena. xy-tasossa oleva äärmmäsen ohut pappale (dealsaato) L L ( m r ) I Tämä e päde e-ohulle kappalelle ylesest, koska pakkavektorella on komponentt myös z-suunnassa. Jos pyörmnen tapahtuu kappaleen symmetra-akseln suhteen, näden z-komponentten vakutus kumoutuu. Symmetra-akseln suhteen L I tapahtuvassa pyörmsessä

11 Pyörmsmäärän sälymnen Erstetyn systeemn (ulkonen nettovoma = 0) pyörmsmäärä sälyy. Jos pyörmnen tapahtuu symmetra-akseln ympär, htausmomentn penenemnen kasvattaa vastaavast pyörmsnopeutta.

12 Prekesso Pyörvä vauhtpyörä suorttaa kertolkettä pyörmsakseln tukpsteen kautta kulkevan kohtsuoran akseln ympär. Tätä lkettä kutsutaan prekessoks. Pano aheuttaa momentn r tauluun pän. Tämä aheuttaa akseln (ja pyörän) kertymsen pystyakseln ympär. Koska d L/ dt, pyörmsmäärä muuttuu ajassa Dt määrällä L t Pyörmsmäärän suunta muuttuu samassa ajassa määrällä L L Prekesson kulmanopeus on sllon L / L Wr t t L I 1 Huom. el nopeast pyörvä pyörä prekesso htaammn. Ylhäältä katsottuna

13 Two buckets spn around n a horzontal crcle on frctonless bearngs. Suddenly, t starts to ran. As a result, A. The buckets speed up because the potental energy of the ran s transformed nto knetc energy. B. The buckets contnue to rotate at constant angular velocty because the ran s fallng vertcally whle the buckets move n a horzontal plane. C. The buckets slow down because the angular momentum of the bucket + ran system s conserved. D. The buckets contnue to rotate at constant angular velocty because the total mechancal energy of the bucket + ran system s conserved. E. None of the above.