Sähkökäyttöisen konejärjestelmän vuorovaikutteinen simulointi

Transkriptio

1 Lappeenrannan teknllnen korkeakoulu Koneteknkan osasto Konstruktoteknkan latos Sähkökäyttösen konejärjestelmän vuorovakuttenen smulont Dplomtyön ahe on hyväksytty koneteknkan osaston osastoneuvostossa Työn tarkastajana on tomnut professor Ak Mkkola Työn ohjaajana on tomnut professor Asko Rouvnen Lappeenrannassa Joun Teppo Pellonmäenratt 3 as Lappeenranta

2 TIIVISTELMÄ Tekjä: Joun Teppo Nm: Sähkökäyttösen konejärjestelmän vuorovakuttenen smulont Osasto: Koneteknkan osasto Pakka: Lappeenranta Vuos: 2000 Dplomtyö. Lappeenrannan teknllnen korkeakoulu. 65 svua, 27 kuvaa, 3 taulukkoa, 3 ltettä Tarkastaja: Professor Ak Mkkola Hakusanat: yhdstetty smulont, kestomagnetotutahtkone, monkappale dynamkka Työn tavotteena ol toteuttaa smulontmall, jolla pystytään tutkmaan kestomagnetodun tahtkoneen aheuttaman vääntömomenttvärähtelyn vakutuksa sähkömoottorn ltetyssä mekankassa. Tarkotus ol lsäks selvttää kunka kysenen smulontmall vodaan toteuttaa nykyakasa smulontohjelma käyttäen. Saatujen smulonttulosten okeellsuus varmstettn tätä työtä varten rakennetulla verfontlattestolla. Tutkttava rakenne koostu akselsta, johon knntettn epäkeskotanko. Epäkeskotankoon knntettn massa, jonka sjanta votn muunnella. Massan asemaa muuttamalla saatn rakenteelle erlasa omnastaajuuksa. Epäkeskotanko mallnnettn joustavana elementtmenetelmää apuna käyttäen. Mekankka mallnnettn dynamkan smulontn tarkotetussa ADAMS ohjelmstossa, johon joustavana mallnnettu epäkeskotanko tuotn ANSYS elementtmenetelmäohjelmasta. Mekankan mall srrettn SIMULINK ohjelmstoon, jossa mallnnettn myös sähkökäyttö. SIMULINK ohjelmassa mallnnettn sähkökäyttö, joka kuvaa kestomagnetotua tahtkonetta. Kestomagnetodun tahtkoneen yhtälöt perustuvat lneaarsn dfferentaalyhtälöhn, john hammasvääntömomentn vakutus on lsätty

3 härösgnaalna. Sähkökäytön mall tuottaa vääntömomentta, joka syötetään ADAMS ohjelmstolla mallnnettuun mekankkaan. Mekankan mallsta otetaan roottorn kulmakhtyvyyden arvo takasnkytkentänä sähkömoottorn malln. Nän saadaan akaseks yhdstetty smulont, joka koostuu sähkötomlatekäytöstä ja mekankasta. Tulosten perusteella vodaan todeta, että sähkökäyttöjen ja mekankan yhdstetty smulont on mahdollsta toteuttaa valtulla menetelmllä. Smulomalla saadut tulokset vastaavat hyvn mtattuja tuloksa.

4 ABSTRACT Author: Joun Teppo Ttle: Coupled Smulaton of Electrcally Drven Machne System Department: Mechancal Engneerng Place: Lappeenranta Year: 2000 Master s thess. Lappeenranta Unversty of Technology 65 sheets, 27 fgures, 3 tables, 3 appendces Supervsor: Professor Ak Mkkola Keywords: coupled smulaton, permanent magnet synchronous machne, multbody dynamcs The objectve of the work was to construct a smulaton model n such a way that effects of permanent magnet synchronous motor nduced coggng torque n mechancs can be studed. Furthermore, objectve was to fnd out a way to create the smulaton model usng new smulaton programs. The valdty of the results from the smulaton model where verfed wth a verfyng structure bult for ths project. The studed structure conssts of an eccentrc rod that was attached to a shaft. The shaft was connected to the rotor of the electrc drve. A mass was attached to the eccentrc rod n a way that enables the movement of the mass. By movng the mass t was possble to vary the nomnal frequency of the structure. The eccentrc rod was modeled as a flexble part. The flexblty of the rod was descrbed usng modal flexblty. The mechancs was modeled by usng the MBS-modelng program ADAMS. The flexble rod was mported to ADAMS from a FEM-program ANSYS. The mechancs model was mported to SIMULINK n whch the electrc drve was modeled. The electrc drve used n ths work was a permanent magnet synchronous motor and t was modeled n SIMULINK. The permanent magnet synchronous motor was descrbed by lnear dfferental equatons. The coggng torque has been added to

5 these equatons as an nterference sgnal. The model of the electrc drve calculates the torque that s transported to the mechancal model. The mechancal model s used to calculate the angular acceleraton of the rotor whch s transported as a feedback sgnal to the model of the electrc drve. In ths way t s possble to construct a smulaton model whch couples an electrc drve wth mechancs. The results ndcate that the used methods are sutable for analyzng a coupled smulaton model that contans an electrc drve and mechancs. The smulated results correspond well to the results measured from the verfcaton system.

6 ALKUSANAT Dplomtyö on tehty Lappeenrannan teknllsen korkeakoulun koneteknkan osastolla ja se lttyy Teknologan kehttämskeskuksen (TEKES) ja Suomen akateman rahottamaan projektn, joka kästtelee sähkötomlatekäyttösten mekaansten konejärjestelmen mallnnusta ja analysonta. Työn tarkastajana on tomnut professor Ak Mkkola, jota haluan kttää melenkntosesta aheesta ja knnostuksesta työtän kohtaan. Työn ohjaajana on tomnut professor Asko Rouvnen, jolle estän ktoksen työn akana saamstan neuvosta ja opastuksesta. Lsäks haluan kttää professor Juha Pyrhöstä, professor Oll Pyrhöstä ja TkL Panu Kurrosta sähköteknkan osastolta, jotka ovat omalta osalta auttaneet ertysest sähköteknkan aluetta kästteleven asoden ymmärtämsessä. Haluan osottaa ktokset myöskn sähköteknkan osaston suunnttelunsnöörlle Tapan Manulalle, joka autto verfontlatteston ja mttausten suorttamsten kanssa. Joku jää ana mantsematta, joten haluan kttää kakka jotka ovat olleet mukana auttamassa tähän työhön lttyvssä asossa nn koneteknkan kun sähköteknkankn osastolla. Ertysest haluan kttää vamoan Terhä tuesta ja ymmärryksestä työtän kohtaan ja pentä Lotta-tytärtän, jonka losuus ja kokelunhalu antavat mukavan vastapanon työlle. Lopuks ktokset myös kaklle läheslle, jotka ovat olleet tukemassa ja auttamassa elämän varrella. Ilman tetä tämä tuskn ols ollut mahdollsta. Lappeenrannassa Joun Teppo

7 KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET Kappaleessa 2.1 käytetyt merknnät A a k, b k, c k C C q c kr c D dv d j f k, g k, h k F f g F D G g I I 1,,I 9 I K k L M M s m m N n c n Q Q nc = transformaatomatrs l. kertomatrs = ajasta rppuva koordnaatteja = vektor rajoteyhtälöstä = Jacoban matrs = krttnen vamennus = modaalnen vamennuskerron = vamennusmatrs = tlavuus ntegraal = vamennuskerron = kantafunktota = vapausastesn vakuttava vomavektor = gravtaatosta johtuva voma = Rayleghn hävöfunkto = lokaaln koordnaatston kulmanopeuden yhteys Eulern kulmn = gravtaatovektor = ykskkömatrs = massanvarantt = :nnen solmun massanvarantt = jäykkyysmatrs = jousvako l. jäykkyys = Lagrangen funkto = massamatrs = Valttujen mooden määrä = massa :nnessä solmussa = modaalkoordnaatten vektor = ortogonaalnen operaattor ja solmujen lukumäärä = rajoteyhtälöden määrä = ylestettyjen koordnaatten määrä = ylestetty vomavektor = e-konservatvsten ylestettyjen vomen vektor

8 Q E = ylestettyjen vomen vektor (ss. konservatvset ja ekonservatvset vomat) = ylestettyjen ulkosten vomen vektor Q e Q R Q θ Q m Q v q R r T t U u = translaatovapausastesn lttyvä ylestetty vomavektor = rotaatovapausastesn lttyvä ylestetty vomavektor = modaalkoordnaattehn lttyvä ylestetty vomavektor = nelöllnen nopeusvektor = ylestettyjen koordnaatten vektor = pakkavektor globaaln koord. orgosta lokaaln koord. orgoon = partkkeln globaal asemavektor = kneettnen energa = aka = venymäenerga = partkkeln asemavektor lokaalssa koordnaatstossa u u o u f u f V V g δw δw nc x r, y r, z r x 1, x 2, x 3 = partkkeln asema globaalssa koordnaatstossa = partkkeln deformotumaton asema lokaalssa koordnaatstossa = partkkeln deformaatovektor = solmupsteen srtymää (translaato ja rotaaton) kuvaava vektor = potentaalenerga = gravtaatopotentaalenerga = vrtuaalnen työ = ulkonen vrtuaalnen työ = lokaaln koordnaatston sjant = lokaaln koordnaatston sjant Krekkalaset krjamet α δ Φ = partkkeln kulmakhtyvyysvektor = fyyssten vapausasteden srtymävektor = muotomatrs Φ = solmupsteen rotaatodeformaatota kuvaavat muodot η ϕ = modaalnen vamennussuhde = valtun omnasmuodon muotovektor

9 ϕ, υ, ψ = Eulern kulmat λ λ θ ρ ω ω ω λ = Lagrangen kerron = vektor Lagrangen kertomsta = vektor Eulern kulmsta = theys = partkkeln kulmanopeus lokaalssa koordnaatstossa = partkkeln kulmanopeus globaalssa koordnaatstossa = kappaleen omnasarvovektor Yländekst: B C I N pˆ r r u u ~ T = reunaehtovapausastesn lttyvä = staattsn muotohn lttyvä = ssäsn vapausastesn lttyvä = partkkeln, solmuun ta muotoon lttyvä = normaalmuotohn lttyvä = yhdstettyhn muotohn lttyvä = dervotu kerran ajan suhteen = dervotu kahdest ajan suhteen = vektor lokaalssa koordnaatstossa = vnosymmetrnen matrs vektorsta u = matrsn ta vektorn transpoos Alandekst: e = ulkosn vomn lttyvä f = elastsn koordnaattehn lttyvä m = modaalkoordnaattehn lttyvä o = kappaleen deformotumattomaan muotoon lttyvä p = partkkeln P lttyvä q = osttasdervaatta ylestettyjen koordnaatten suhteen R = translaatokoordnaattehn lttyvä r = jäykän kappaleen koordnaattehn lttyvä s = ssäsn vomn lttyvä t = osttasdervaatta ajan suhteen

10 λ θ = kappaleen omnasarvohn lttyvä = rotaatokoordnaattehn lttyvä Kappaleessa 2.2 ja 3. käytetyt merknnät ja lyhenteet a = vaheenkääntöoperaattor = vrran avaruusvektor = vrran hetkellsarvo D Q sa, sb, sc sd sq sα sβ s0 f L L md L mq L D L Q L Dσ L Qσ L sd L sq L sσ p PMSM PWM R s R D R Q T e = vamennuskäämn ptkttässuuntanen vrta = vamennuskäämn pokttassuuntanen vrta = staattorn vahevrtojen hetkellsarvot = staattorvrran ptkttäskomponentt roottorkoordnaatstossa = staattorvrran pokttaskomponentt roottorkoordnaatstossa = staattorvrran ptkttäskomponentt staattorkoordnaatstossa = staattorvrran pokttaskomponentt staattorkoordnaatstossa = nollavrta = kestomagneett korvaavan näennäsen vrtalähteen vrta = nduktanss = ptkttässuuntanen magnetotumsnduktanss = pokttassuuntanen magnetotumsnduktanss = vamennuskäämn kokonasnduktanssn ptkttäskomponentt = vamennuskäämn kokonasnduktanssn pokttaskomponentt = vamennuskäämn ptkttässuuntanen hajanduktanss = vamennuskäämn pokttassuuntanen hajanduktanss = ptkttässuuntanen staattor-nduktanss = pokttassuuntanen staattor-nduktanss = staattorn hajanduktanss = napaparluku = kestomagnetotutahtkone (Permanent Magnet Synchronous Motor) = pulssleveysmodulont (Pulse Wdth Modulaton) = staattorresstanss = vamennuskäämn resstanssn ptkttäskomponentt = vamennuskäämn resstanssn pokttaskomponentt = sähkönen vääntömomentt

11 T e T Σ T c T ˆ 6,12 t u u sa, u sb, u sc u sd u sq = sähkösen vääntömomentn vektor = kokonasmomentt = hammasvääntömomentt = hammasvääntömomenttylaallon ampltudn 6. ja 12. komponentt = aka = jänntteen avaruusvektor = staattorn vahejänntteden hetkellsarvot = staattorjänntteen ptkttäskomponentt roottorkoordnaatstossa = staattorjänntteen pokttaskomponentt roottorkoordnaatstossa Krekkalaset krjamet α = roottorn kulmakhtyvyys γ = vahesrto ϕ = roottorn kertymä θ = roottorn kulma staattorkoordnaatstossa ω e ω Ψ ψ Ψ D Ψ Q = sähkönen kulmanopeus = mekankan kulmanopeus = käämvuon avaruusvektor = käämvuon hetkellsarvo = vamennuskäämn käämvuon ptkttäskomponentt = vamennuskäämn käämvuon pokttaskomponentt Ψ sa, Ψ sb, Ψ sc = käämvuon vaheden hetkellsarvot Ψ sα Ψ sβ Ψ sd Ψ sq Ψ PM = staattorkäämvuon reaalosa staattorkoordnaatstossa = staattorkäämvuon magnaarosa staattorkoordnaatstossa = staattorkäämvuon ptkttäskomponentt roottorkoordnaatstossa = staattorkäämvuon pokttaskomponentt roottorkoordnaatstossa = kestomagneetn käämvuon avaruusvektor

12 Yländekst: Tˆ = hammasvääntömomentnylaallon ampltud Alandekst: A, B, C = vahesn lttyvä d = staattorsuureen ptkttäskomponentt roottorkoordnaatstossa, roottorkoordnaatston x-aksel q = staattorsuureen pokttaskomponentt roottorkoordnaatstossa, roottorkoordnaatston y-aksel D = vamennuskäämn ptkttäskomponentt Q = vamennuskäämn pokttaskomponentt m = magneettehn ta magnetontn lttyvä PM = kestomagneett s = staattorn lttyvä α = staattorkoordnaatston x-aksel β = staattorkoordnaatston y-aksel σ = haja- (nduktanss tms.) Kakk matrst ja vektort on lhavotu

13 1 SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO TYÖN TAVOITTEET TEHTÄVÄN RAJAUS VUOROVAIKUTTEISEEN SIMULOINTIIN LIITTYVÄÄ TEORIAA MEKANISMIN DYNAMIIKAN MALLINTAMISEN TEORIAA Joustavan kappaleen knematkka Deformaaton kuvaus elementtmenetelmällä Ylestetyt koordnaatt Knemaattsten rajotteden huomomnen lkeyhtälössä Joustavan kappaleen ylestetyt vomat Joustavan kappaleen kneettnen energa ja potentaalenerga Lagrangen yhtälö Joustavan mekansmn lkeyhtälö Joustavan kappaleen massamatrs Lkeyhtälöden saattamnen ntegrotavaan muotoon KESTOMAGNETOIDUN TAHTIKONEEN TEORIAA Avaruusvektort Jännte- ja vuoyhtälöt kaksakselmallssa Vääntömomentn yhtälö NUMEERINEN INTEGROINTI TUTKITTAVA JÄRJESTELMÄ JA SIMULOINTIMALLI VERIFIOINTILAITTEISTON RAKENNE SIMULOINTIMALLIN RAKENNE MEKANIIKKAMALLIN RAKENNE MITATUT JA SIMULOIDUT TULOKSET VERIFIOINTIMITTAUKSISSA KÄYTETYT ASETUKSET SIMULOINNISSA KÄYTETYT ASETUKSET MITTAUKSISTA JA SIMULOINNEISTA SAADUT TULOKSET TULOSTEN TARKASTELU JOHTOPÄÄTÖKSET JATKOKEHITYS...61 LÄHDELUETTELO...63

14 2 1. JOHDANTO Taajuusmuuttajakäytöt tuovat säätö- ja ohjauspren aheuttamat herätteet sähkötomlatteen kautta mekaansn konejärjestelmn. Nämä herätteet, osuessaan mekankan omnastaajuuksen alueelle, vovat aheuttaa melu- ja värähtelyongelma ja sten vakuttaa hekentäväst sekä latteston kestävyyteen, että käyttökään. Taajuusmuuttajakäyttöjä käytetään nykysn lähes kakssa uusssa paperkone-, hss- ja nostolatekäytössä, jossa kakssa vo ss esntyä melu- ja värähtelyongelma. Mekankan ja sähkökäytön välsten dynaamsten vuorovakutusten aheuttamen värähtelyongelmen tutkmnen on akasemmn tehty sten, että näden osa-alueden ongelma on tutkttu erllsnä. Tällön kokonasuuden tomnta on selvnnyt vasta latteen ta prototyypn testaamsen yhteydessä. Mekankan ja sähkökäytön ssältävän kokonasuuden tomnnan varmstamseks on latteet usen ylmtotettu, jotta vältyttäsn latteen halltsemattomalta dynaamselta käyttäytymseltä. 1.1 Työn tavotteet Dplomtyö tehdään osana Teknologan kehttämskeskuksen (TEKES) ja Suomen akateman projekteja, jossa on tarkotus selvttää taajuusmuuttajaohjatun tomlatteen ja mekaansen järjestelmän muodostaman kokonasuuden mallnnusta ja smulonta. Lsäks on tarkotus etsä kenoja smulonnssa ta käytännön kokeden kautta havattujen mekaansten värähtelyjen aheuttamen herätteden tuomen ongelmen ratkasemseks. Tämä vo tarkottaa nden vamentamsta, resonansstaajuuden srtämstä ta jopa aktvsta vamentamsta. Tarkotus on tehdä pokkteteellstä yhtestyötä sähköteknkan ja koneteknkan osaston välllä. Työssä selvtetään nykyakasen dynamkan smulontn tarkotetun ohjelmston soveltuvuutta pyörvän latteen analysontn. Pyörvä late ssältää tässä tapauksessa tomlatteen mekankan ja shen kytketyn mekankan. Dynamkan smulomseen käytetään Mechancal Dynamcs Inc:n valmstamaa ADAMS ohjelmstoa. Tomlatteen ja taajuusmuuttajan tomnnan mallntamseen käytetään MathWorks Inc:n MATLAB ohjelmstoa.

15 3 Kestomagnetodussa tahtkonessa lmenevää hammasvääntömomentta (Coggng), sen aheuttaja ja sen korjausmahdollsuuksa on tutkttu usessa sähkökoneta kästtelevssä artkkelessa. Värähtelyjen vakutusta mekankkaan on tutkttu ana, joten tältä alueelta löytyy valtavast artkkeleta. Sellasa tutkmuksa, jossa oltasn tarkasteltu sähkökoneen ja mekankan välsä vuorovakutuksa on jo paljon vakeamp löytää. Monse, M. et al. /1 s / kästtelevät artkkelssaan sähkökäytön ja mekankan yhdstämstä teräsvalssaamon tapauksessa. Artkkelssa todetaan, että on tärkeää pystyä määrttämään dynaamsten lmöden aheuttamat jänntyshelahdukset ja järjestelmän tomnta arvaamattomssa tlantessa. On tärkeää tehdä tarkka selvtys nn mekankan kun sähkökäyttöjen osalta, jotta saadaan rakennettua tomva kokonasuus. Lsäks artkkelssa todetaan, että sähkökäytön ja mekankan tarkastelu erllään e tuota haluttua tulosta, koska näden välnen vuorovakutus jää näkemättä. Artkkelssa kuvallaan yhdstetyn sähkökoneen ja mekankan smulontn kykenevän ohjelmapaketn kehttämstä. Mekankan mallntamseen käytetään yksnkertastusta, jossa joustoa kuvataan jous-vamennn-yhdstelmllä. Yleensä artkkelt, jossa on kästelty mekankkaa ja sähkökäyttöjä, tyytyvät shen, että mekankka mallnnetaan tekemällä mahdollsmman paljon yksnkertastuksa. Tällön mekankka mallnnetaan anoastaan htausmassoks, joden välllä vakuttavat jousvako ja vamennuskerron. Tlanne on usen sellanen, ette varsnasta mekankkaa halutakaan mallntaa vaan tarkotuksena on anoastaan mallntaa joustavan roottorn ta akseln päähän jokn kuorma, joka stten kuvataan htausmassalla. Yleensä tällanen tulknta on rttävä nssä tapauksssa, jossa tutktaan esmerkks säätöjärjestelmän tomntaa. Tällasa artkkeleta löytyy useta, joten taulukossa 1.1 mantsen van muutaman artkkeln ja tekjän.

16 4 Taulukko 1.1. Artkkeleja, jotka kästtelevät yksnkertastettuja mekankkamalleja. Tekjä Julkasuvuos Artkkeln nm Km Young-Seok et al Two-Degree-of-Freedom Speed Control of Inducton Motor havng Two-Mass Resonant System Moromoto Shgeo et al Vbraton Control of Two-Mass System wth Low Inerta Rato Consderng Practcal Use Hong Chan-Ook et al Analyss of Shaft Torsonal Vbraton n Inverter-Fed Inducton Motor Drve Systems Sugura Koj et al Vbraton Suppresson n 2- and 3-Mass System Based on the Feedback of Imperfect Dervatve of the Estmsted Torsonal Torque Julkasja IEEE Electrcal Engneerng n Japan IEEE IEEE Yhong Zhong ja Raner Nordmann kästtelevät artkkelssaan Smulaton of an electromechancal drve system wth a mechncal model based on fnte element method menetelmää, jossa tutktaan elementtmenetelmällä tuotetun mekankan ja sähkökäytön yhdstettyä smulonta SIMPLORER ohjelmstolla /2/. Artkkelssa estellään menetelmä, jolla vodaan samanakasest ratkastaan sähkökäytön ja mekankan dynaamsa lmötä kuvaavat dfferentaalyhtälöt. Käytetty FE mall on kohtuullsen yksnkertanen, sllä se ssältää anoastaan 43 solmua, jossa kakk vapausasteet yhtä lukuun ottamatta on estetty. Artkkelssa tarkastellaan sähkökoneen vääntövärähtelyn vakutusta, joten anoa sallttu vapausaste on rotaato ptuusakseln suunnassa. Tutkttujen artkkelen pohjalta vodaan todeta, että sähkökäyttöjen ja mekankan yhdstettyä smulonta on tutkttu todella vähän. Molempa aheta on tutkttu erllsnä asona kohtuullsen tarkast. Artkkeleja, jotka kästtelevät sähkökäyttöjä, nden mallntamsta, nhn lttyvä ongelma, ongelmen ratkasuja jne. löytyy kaken tyyppslle sähkökäytölle. Tlanne on samanlanen mekankan osalta, sllä värähtelyongelma ja nhn lttyvä ratkasuja on tutkttu jo ptkään. Tähän mennessä e kutenkaan ole ollut sellasa ohjelmstoja, jotka olsvat kyenneet kästtelemään samanakasest sähkökäyttöhn lttyvää ja monmutkasen mekankan mukanaan tuomaa laskentaa. Tosena selvänä tekjänä on tetokoneden kehttymnen sllä kohtuullsen yksnkertanenkn mall, joka ssältää sähkökäytön ja joustavan mekankkamalln, on erttän raskas laskettava. Tänä pävänä on tarjolla

17 5 sekä ohjelmstoja että tetokoneta, jotka kykenevät tällaseen yhdstettyyn smulontn. 1.2 Tehtävän rajaus Sähkökäyttösen konejärjestelmän vuorovakuttesta smulonta ongelmaa e ole akasemmn yrtetty ratkasta MBS (Mult Body System) ohjelmstoja apuna käyttäen, joten työ rajataan koskemaan anoastaan yhden tyyppstä sähkömoottora, joka stten ltetään ADAMS ohjelmstolla luotuun mekankkamalln. Smulonnsta saatujen tuloksen tarkkuutta tutktaan käytännön mttauksn. Tarkasteltava testjärjestelmä rakennetaan sähköteknkan osaston laboratoroon. Mttaustulosten avulla on myös tarkotus selvttää sähkökonemalln tarvtsemen parametren arvoja. Verfontlattestossa ja smulontmallssa käytetään sähkömoottorna kestomagnetotua tahtkonetta ja mekankkana epäkeskotankoa, jonka omnastaajuuksa saadaan muutettua.

18 6 2. VUOROVAIKUTTEISEEN SIMULOINTIIN LIITTYVÄÄ TEORIAA Teoraosassa kästellään joustavan kappaleen dynamkan mallntamseen vaadttavaa teoraa sekä sähkökäytön mallntamseen lttyvää teoraa. Käytetyn järjestelmän dynamkka on mallnnettu ADAMS ohjelmstolla ja shen on ltetty joustava jäsen ANSYS ohjelmstosta, joten dynamkan teoraa kästellään näden ohjelmen kannalta. Sähkökoneen osalta kästellään kestomagnetodun tahtkoneen ylestä teoraa. 2.1 Mekansmn dynamkan mallntamsen teoraa Mekansmn jäsenet ovat matemaattsessa melessä ana joustava. Käytännössä mekaansten jäsenten joustoa e monestkaan ole tarvetta huomoda. Jos mekansmn jäsenet mallnnetaan jäykknä, on knntettävä ertystä huomota shen, että järjestelmän käynnnakaset taajuudet evät ole lähellä rakenteen omnastaajuuksa. Koska sähkökäyttöjen ja mekankan yhdstetyn malln on tarkotus tuottaa resonansstaajusa lmötä, on tärkeää mallntaa osa järjestelmästä joustavana. Joustavan systeemn dynaamnen analyys on kohtuullsen vakea tehtävä, mutta se vodaan ratkasta anakn kahdella peraatteellsella tavalla; keskttyneden massojen peraatteella ta jäsenen mooden avulla. /3 s.60/ Keskttyneden massojen peraate on yksnkertasn tapa huomoda joustavan jäsenen deformaato. Tämä peraate vodaan nähdä jäykken mekansmen erkostapauksena ja menetelmässä tse asassa käytetään jäykän kappaleen lkeyhtälötä. Menetelmässä joustava jäsen plkotaan usesn massapstesn, josta jokaselle muodostetaan lkeyhtälöt. Massapsteden vällle mallnnetaan jousa, jotka kuvaavat jäsenen joustoa. Käytännössä jäsen joudutaan dealsomaan kohtuullsen harvalla massapsteden joukolla, jollon jäsenen korkeat omnastaajuudet evät tule huomoduks. Keskttyneden massojen peraate soveltuu parhaten palkkmaslle elementelle, jolla on alhasa omnastaajuuksa. Tässä työssä joudutaan kästtelemään hukan monmutkasempaa joustavaa jäsentä,

19 7 joten teoraosuus keskttyy joustavan jäsenen omnasmuotojen el mooden kuvaamseks tarvttavaan teoraan. /3 s.61/ Joustavan kappaleen kuvauksen (Floatng frame of reference) perustana on erottaa kappaleen deformaato sen referensslkkeestä. Referensslke on jäykän kappaleen lkettä, kun taas deformaato nähdään kappaleen värähtelynä referensslkkeen ympärllä. Kappaleen dynamkka vodaan ratkasta käyttämällä elementtmenetelmää ta nykyakasta dynamkan smulontn tarkotettua ohjelmstoa kuten ADAMSa. /3 s.62, 4 s.13/ Tutkttaessa kappaleen pstesn ta mekansmn osn aheutuva nopeuksa ja khtyvyyksä, joudutaan tarkastelu usen tekemään suhteessa tosn pstesn ja kappalesn, jotka tsessäänkn ovat lkkeessä. Jos nätä nopeuksa ja khtyvyyksä laskettaessa e knntetä huomota lkketä aheuttavn vomn ta muhn tekjöhn, on kyseessä knemaattnen analyys. Jos kappaleen lkkeen akaansaavat vomat ja momentt otetaan mukaan tarkasteluun, on kyseessä dynaamnen analyys. Joustava kappaleta ssältävssä mallessa ollaan ana tekemsssä dynaamsen analyysn kanssa. /5 s.23/ Laskennallsesta näkökulmasta vodaan todeta, että mekansmn jokanen osa tulee voda kuvata tarkast omnasuuksen, funktoden ta yhtälöden avulla. Mekaannen järjestelmä vodaan ymmärtää joukoks kappaleta, jotka on ltetty tosnsa erlaslla nvelllä. Kappaleta kuvataan sellaslla omnasuukslla kuten massa, nerta, kappaleden asema ja mahdollsest myös geometra. Nvelet taasen kuvataan rajoteyhtälöllä, jotka kuvaavat stä, mten kappaleet vovat lkkua tosnsa nähden. /6 s.15/ Matemaattsest joustavan kappaleen ajatellaan koostuvan joukosta partkkeleja, joden avulla vodaan määrttää kappaleen omnasuudet. Joustavaan kappaleeseen kuuluvat partkkelt vodaan kuvata kappaleen mukana lkkuvassa lokaalssa koordnaatstossa, jonka suhteen partkkelella ajatellaan olevan penä lneaarsa srtymä. Jotta kappaleen dynamkka votasn laskea, on srryttävä kappaleen ulkopuolella olevaan knteään (lkkumattomaan) el globaaln koordnaatstoon. Kappaleen lkkuessa, lokaallla koordnaatstolla on suura epälneaarsa

20 8 translaatota ja rotaatota globaaln koordnaatstoon nähden. Kunkn partkkeln asema vodaan kutenkn määrttää globaalssa koordnaatstossa, jos tunnetaan lokaalsen koordnaatston pakka ja orentaato. /3 s.62/ Joustavan kappaleen knematkka Kuvassa (2.1) on estetty partkkeln P aseman kuvaus vektorella lokaalssa ja globaalssa koordnaatstossa. Joustavaan kappaleeseen kuuluvan partkkeln P asemaa kuvaava vektor r p vodaan laskea seuraavast: /7 s.195/ r = R + A u = R + A ( u + u ), (2.1) p p o f mssä R A u p uo on vektor, joka määrttää lokaaln koordnaatston pakan globaaln koordnaatston suhteen, on kertomatrs, joka kuvaa lokaaln koordnaatston kertymää globaaln koordnaatston suhteen, on partkkeln asema lokaalssa koordnaatstossa, on partkkeln asema ennen deformaatota lokaalssa koordnaatstossa ja u f on partkkeln deformaatovektor lokaalssa koordnaatstossa. Kuva 2.1. Partkkeln P aseman kuvaus vektorella. /7 s.194/

21 9 Jäykän kappaleen tapauksessa vodaan todeta, että ne vapausasteet, jotka määrttävät kappaleen lokaaln koordnaatston aseman ja orentaaton globaalnkoordnaatston suhteen, määrttävät myös yksselttesest mnkä tahansa kappaleeseen kuuluvan partkkeln aseman ja orentaaton. Tämä johtuu stä, että jäykän kappaleen tapauksessa sen partkkeleden välnen etäsyys pysyy ana muuttumattomana. Jäykän kappaleen avaruustapauksessa kappaleella on kuus vapausastetta, jotka kuvaavat täydellsest kappaleen aseman ja orentaaton globaalkoordnaatston suhteen. Tlanne kutenkn muuttuu merkttäväst kästeltäessä joustava kappaleta. Joustavassa kappaleessa partkkelt lkkuvat suhteessa tosnsa nähden ja tästä johtuen joustavan kappaleen jokasen partkkeln tarkan aseman kuvaamseen tarvtaan ääretön määrä vapausasteta. Joustavan kappaleen kuvaamseen käytetään osttasdfferentaalyhtälötä, joden käyttö johtaa deformaatota kuvaavn äärettömn sarjohn, jotka vodaan kuvata seuraavast /7 s.192/: = u f 1 a kfk mssä fk = f k (x1, x 2, x 3) k=1 = u f 2 bkgk mssä gk = gk (x1, x 2, x 3), (2.2) k=1 = u f 3 ckh k mssä h k = h k (x1, x 2, x 3) k=1 mssä a k, b k ja c k ovat ajasta rppuva koordnaatteja, f k, g k ja h k ovat kantafunktota ja x 1, x 2 ja x 3 ovat deformotumattomantlan koordnaatteja. Koska laskennallsest on hankala kästellä äärettömä sarjoja, on syytä käyttää jonknlasta approksmaatomenetelmää, jollon koordnaatten määrä saadaan äärellseks. Approksmontn vodaan käyttää esmerkks Ralegh-Rtzmenetelmää. Kysesen menetelmän perusperaate vodaan esttää matrsmuodossa seuraavast: /7 s.193, 4 s. 2-3/ n u f Φ m = Φm, (2.3) = 1 mssä Φ m on (3 x n) muotomatrs, jonka elementt ovat kantafunktota ja on vektor ajasta rppuvsta modaalkoordnaatesta.

22 10 Kappaleen nopeus saadaan dervomalla yhtälö (2.1) ajan suhteen ja merktsemällä u p = u./7 s.198/ r R A u + A u p = +. (2.4) Kertomatrsn akadervaatan ssältävä term vodaan esttää muodossa: A ~ u = A ( u ω ) = A u ω, (2.5) mssä ω ~ u on kulmanopeus lokaalssa koordnaatstossa ja on vnosymmetrnen matrs vektorsta u. ~ u määrtellään seuraavast: 0 u3 u2 ~ u = u3 0 u1. (2.6) u2 u1 0 Kun lsäks huomodaan, että deformotumatonta muotoa kuvaava vektor on ajan suhteen vako, jollon u = 0 vodaan yhtälö (2.4) krjottaa muotoon: /7 s / mssä o ~ r p = R A u ω + A u f, (2.7) R on kappaleen lokaaln koordnaatston absoluuttnen nopeus, A u ~ ω term on tulos kertomatrsn dervonnsta ajan suhteen ja A u f se rppuu lokaaln koordnaatston kertymästä sekä kappaleen elastsesta muodonmuutoksesta, on partkkeln deformaatosta johtuva nopeusterm. Dervomalla yhtälö (2.7) ajan suhteen ja käyttämällä seuraava merkntöjä: u = A u ja (2.8), (2.9) A u = ω u saadaan partkkeln khtyvyys yhtälön (2.10) esttämään muotoon. /7 s.201/ r p = R + ω ( ω u ) + α u + 2ω A u + A u, (2.10) mssä ω α on kulmanopeus globaalssa koordnaatstossa ja on partkkeln kulmakhtyvyysvektor.

23 11 Yhtälöstä (2.10) vodaan erottaa seuraavat komponentt: /7 s. 201/ ensmmänen term R, on lokaaln koordnaatston absoluuttnen khtyvyys, tonen term ω ( ω u ), on partkkeln khtyvyyden normaalkomponentt, kolmas term neljäs term vdes term α u ω A u, on partkkeln khtyvyyden tangentaalkomponentt, 2, on partkkeln khtyvyyden corolskomponentt ja A u, on kappaleen deformaatosta johtuva khtyvyys Deformaaton kuvaus elementtmenetelmällä Kappaleen jouston kuvauksen perustana on erottaa kappaleen deformaato referensslkkeestä. Vodaan ss ajatella, että kappaleen dynamkka muodostuu jäykän kappaleen lkkeestä (referensslke), johon superponotuu kappaleen värähtely (deformaato). Vamenemattoman joustavan kappaleen lkeyhtälö vodaan saattaa elementtmenetelmällä muotoon: /3 s.62, 4 s.13/ M u + Ku = Q, (2.11) f f e mssä M u f K Q e on massamatrs, jossa massa on redusotu vakuttamaan ana solmupstesn (Lumped mass matrx), on solmupsteen srtymä (translaatot ja kertymät) kuvaava vektor, on jäykkyysmatrs ja on ulkosa voma kuvaava vomavektor. Lkeyhtälön ratkasu tuntemattoman vektorn u f suhteen vodaan peraatteessa tehdä normaallla vakokertomsen dfferentaalyhtälön ratkasualgortmlla. Koska elementtmenetelmässä syntyvät kerronmatrst ovat tyypllsest suura, johtaa tämä menetelmä epätarkkohn tuloksn. Tästä johtuen yhtälön (2.11) ratkasemseks on kehtetty kaks ratkasuvahtoehtoa: suora akantegront ja omnasmuotojen superponont. Suora akantegront suortetaan numeersest käyttäen sopva aka-askeleta. Tässä tapauksessa yhtälö (2.11) ratkastaan sellasenaan, ekä shen tehdä mtään muutoksa. /3 s.66/

24 12 Muotojen superponontteknkkaa käytettäessä pyrtään saattamaan yhtälö (12.1) laskennallsest edullsempaan muotoon. Tällön yhtälö (2.11) ortogonalsodaan, jollon yhtälöstä postetaan systeemn vapausasteden välset rstkkäsvakutukset. Tämä tapahtuu srtymällä fyyssstä koordnaatesta modaalkoordnaattehn. Tämän jälkeen ortogonalsodut lkeyhtälöt vodaan ratkasta yksttän avan kuten ratkastasn useta peräkkäsä yhden vapausasteen lkeyhtälötä. Muotojen superponontteknkalla saavutetaan yleensä kohtuullsen tarkka tulos, vakka käytettäsnkn van muutama omnasmuotoja. Käytettyjen omnasmuotojen määrä vakuttaa suoraan tarvttaven dfferentaalyhtälöden määrään, joten vähäsellä määrällä omnasmuotoja päästään tlanteeseen, jossa tarvtaan myös vähemmän dfferentaalyhtälötä. Tällön myös tarvttava laskenta-aka lyhenee. Tästä syystä muotojen superponontteknkka on ylvertanen käytettäessä elementtmenetelmää osana mekansmn dynamkan smulonta. /3 s.66/ Joustavan jäsenen lttämnen muhn mekansmn osn tapahtuu nvelrajotteden avulla. Kyseset rajotteet knntetään solmupstesn, jollon osa ta kakk kysesen solmun vapausastesta tulevat luktuks. Omnasmuotojen lkerajotteet vodaan huomoda seuraavlla peraattella: /3 s.71/ 1. omnasmuodot ja arvot lasketaan tuetulle rakenteelle ta 2. omnasmuodot ja arvot lasketaan tukemattomalle rakenteelle, jollon rakenteelle lasketaan staattsa korjausmuotoja, joden avulla huomodaan reunaehdot. Ensmmästä menetelmää käyttämällä saadaan muodostettua omnasmuotoja, jotka automaattsest toteuttavat halutut reunaehdot. Tätä menetelmää käytettäessä on varmstuttava stä, että asetetut reunaehdot vastaavat dynamkan smulonnssa käytettyjä reunaehtoja koko smulonnn ajan. /3 s.71/ Tonen menetelmä perustuu rakenteen jakamseen osarakentesn. Osarakenteta analysomalla vodaan kehttää matemaattnen mall koko systeemstä. Staattsten korjausmuotojen käyttö mahdollstaa tuennan muuttamsen kesken dynaamsen analyysn. Tästä syystä tämä menetelmä on ylesemp kun omnasmuotojen laskenta tuetulle kappaleelle. Lsäks staattsten korjausmuotojen käyttö helpottaa staattsen tasapanotlan löytymstä smulonnn alussa. /3 s.71/

25 13 Osarakenneteknkka käytettäessä rakenne jaetaan ssäsn ja lttymävapausastesn (Internal and Boundary DOFs). Lttymävapausasteella tarkotetaan sellasta solmupstettä, josta kappale ltetään toseen kappaleeseen käyttämällä dynamkan smulonnssa nvelrajotteta (kuva 2.2). Rakenteen jäykkyys- ja massamatrs jaetaan osa-aluesn valttujen vapausasteden mukasest: /8 s.1315/ BB BI K K K = IB II, (2.12) K K BB M 0 M = II, (2.13) 0 M mssä ndeks B tarkottaa lttymävapausastetta ja ndeks I tarkottaa ssästä vapausastetta. Kuva 2.2. Vapausasteden määrttely. /3 s.72/ Tukemattoman kappaleen omnasmuodot el normaalmuodot (Normal Constraned Modes) ratkastaan yhtälöstä (2.11) asettamalla ulkonen vomavektor Q e nollaks ja sjottamalla: /8 s.1315/ f N ω t e λ u = Φ, (2.14) mssä N Φ ω λ on kappaleen omnasmuotomatrs ja on kappaleen omnasarvovektor. Yhtälö (2.11) saadaan ss muotoon: II 2 II N ( K ωλ M ) Φ = 0. (2.15)

26 14 Yhtälöstä (2.15) saadaan ratkastua omnasmuodot ja taajuudet ratkasemalla omnasarvotehtävä. Normaalmuotoja käytetään rakenteen dynaamsen muodonmuutoksen approksmomseen. Staattset korjausmuodot (Statc Correcton Modes) saadaan ratkasemalla staattnen ongelma jokasella reunaehtovapausasteella yhtälöstä (2.16). /8 s.1315/ F F B I K = K BB IB K K BI II δ δ B I, (2.16) mssä δ B ssältää fyysset reunaehtovapausasteden srtymät ja δ I ssältää fyysset ssästen vapausasteden srtymät. Asettamalla ssäsn vapausastesn vakuttava voma F I nollaks saadaan: /8 s.1315/ 1 I II IB B δ = K K δ = mssä Φ C on staattsten muotojen matrs. Φ C δ B, (2.17) Staattsa korjausmuotoja käytetään rakenteen staattsten muodonmuutosten approksmomseen. Staattnen korjausmuoto vastaa rakenteen lkettä, joka syntyy, kun yhdelle lttymävapausasteelle aheutetaan ykskön suurunen srtymä ptäen samalla muut lttymävapausasteet pakallaan. Term F B kuvaa reaktovomaa, joka syntyy pakallaan pdettävssä vapausastessa. /3 s.72/ Joustavan kappaleen fyysstä deformaatota vodaan nyt approksmoda yhdstetyn omnasmuotomatrsn avulla yhtälön (2.18) osottamalla tavalla. /4 s.4/ B C δ I 0 mˆ = Φm ˆ ˆ δ Φ Φ mˆ, (2.18) I C N N mssä yländeks C vttaa staattsn korjausmuotohn ja yländeks N normaalmuotohn. Crag-Bampton-menetelmään lttyvät ylestetty jäykkyysmatrs ja ylestetty massamatrs saadaan muodostettua yhdstämällä normaalmuodot ja staattset korjausmuodot. Ylestetty jäykkyysmatrs saadaan muotoon: /4 s.5/

27 15 BB BI C CC T K + K Φ Kˆ Kˆ 0 0 = Φ KΦ = T = N II N NN. (2.19) 0 Φ K Φ 0 Kˆ Vastaavast ylestetty massamatrs saadaan muotoon: Mˆ = Φ T Mˆ = M ˆ M MΦ = M CC CN Mˆ Mˆ NC NN BB BB + Φ + Φ T C T N M M II II Φ Φ C C M BB Φ + Φ T N T C M II M Φ II N Φ N. (2.20) Saatu tulos on muotojen superponontteknkan kannalta käyttökelvoton, sllä massa- ja jäykkyysmatrs evät ole dagonaalmatrseja, evätkä sten ortogonaalsa. ADAMS -ohjelmsto käyttää systeemn vapausasteden vähentämseen modfotua Crag-Bampton menetelmää. Crag-Bampton menetelmän ongelmana on, että jäykän kappaleen lke on mukana muotojen lneaarkombnaatona ja ADAMSa varten jäykän kappaleen lke tuls saada postettua. Crag-Bampton menetelmän antamen muotojen ortogonalsonnlla jäykän kappaleen muodot vodaan tunnstaa ja postaa. Crag-Bampton menetelmän matrst saadaan ortogonalsotua ratkasemalla yhtälössä (2.21) estetty omnasarvo-ongelma. /9 s.469/ ˆ 2 ( K ωˆ Mˆ ) m ˆ λ = 0 (2.21) ADAMS/Flex käyttää muotojen ortogonalsonnssa QZ hajotelmaa, joka perustuu Moler-Stewart algortmn. /10/ Tässä algortmssa alkuperäset modaalkoordnaatt mˆ transformodaan ortogonaaleks modaalkoordnaateks m ortogonaal operaattorlla N seuraavalla tavalla: /4 s.6/ Nm = mˆ. (2.22) Joutavan jäsenen deformaatota vodaan kuvata ortogonalsodun muotomatrsn ja modaalkoordnaatten avulla seuraavast: /11 s.18/ n u Φm ˆ ˆ = ΦNm ˆ = ϕ m = Φm. (2.23) f j= 1 j j

28 16 Käyttämällä ortogonalsotua muotomatrsa Φ saadaan ylestetyks jäykkyys- ja massamatrseks: K = Φ T 2 ωλ1 KΦ ˆ = 0 0 ja (2.24) 2 ω λn T M = Φ MΦ ˆ = I. (2.25) Ortogonalsonnlla saavutetaan tukemattoman rakenteen omnasmuodot, josta kuus on jäykän kappaleen muotoja, jotka vodaan postaa. Lsäks ortogonalsonnlla saadaan jäykkyys- ja massamatrst dagonaalmuotoon. Ortogonalsonnn jälkeen vodaan käytettävät muodot valta kullosenkn kuormtustapauksen mukaan, koska ortogonalsont on postanut muotojen kesknäsen rstkytkennän. Staattset korjausmuodot muuttuvat lttymävapausasteden omnasmuodoks, joden omnastaajuus on tunnettu. Kuvssa 2.3 ja 2.4 on estetty ortogonalsonnn vakutus staattseen korjausmuotoon. /4 s.7/ Kuva 2.3. Staattnen korjausmuoto ennen ortogonalsonta (taajuutta e tunneta). /4 s.7/ Kuva 2.4. Lttymävapausasteden omnasmuoto ortogonalsonnn jälkeen (taajuus 1250Hz). /4 s.7/ Ylestetyt koordnaatt Muuttuja, jotka kuvaavat täydellsest mekansmn jokasen partkkeln aseman ja orentaaton, nmtetään ylestetyks koordnaateks. Ylestetyt koordnaatt vovat olla rppuva ta rppumattoma. Rppumattomat koordnaatt ovat nmensä mukaan

29 17 täysn musta koordnaatesta rppumattoma, kun taas rppuvat koordnaatt on sdottu rajoteyhtälöhn. Lkkuvaa järjestelmää kuvaavat ylestetyt koordnaatt muuttuvat ajan funktona. /12 s.49/ Rotaatokoordnaatten tarpeen määrää kertomatrsn määrttelyyn käytetty menetelmä. Mkäl käytetään Eulern parametrejä, tarvtaan koordnaatteja neljä. Jos taas käytetään Eulern kulma, tarvtaan koordnaatteja kolme. ADAMS -ohjelma, kuten monet muutkn kaupallset dynamkan smulontohjelmat, käyttävät kertomatrsn määrttämseen rppumattoma Eulern kulma (kuva 2.5). Kuva 2.5. Eulern kulmat. /7 s.67/ Joustavaan kappaleeseen kuuluvan partkkeln P aseman määrttämseen tarvtaan asema- ja orentaatomuuttujen lsäks modaalkoordnaatteja. Yhtälössä (2.26) on käytetty orentaatomuuttujen lmottamseen Eulern kulma, joden käyttöä on estetty kuvassa 2.5. Kuvassa 2.1 estetyn joustavaan kappaleeseen kuuluvan partkkeln P kuvaamseen tarvtaan seuraavanlanen ylestettyjen koordnaatten vektor: /4 s.10/ T [ y z υ ψ m ] T T q r q = x r r r ϕ =, (2.26) m mssä x r, y r ja z r ovat lokaaln koordnaatston koordnaatt globaaln koordnaatstoon nähden, ϕ, υ ja ψ ovat Eulern kulma, jotka kertovat lokaaln koordnaatston orentaaton globaaln koordnaatstoon nähden, q r on jäykän kappaleen ylestettyjä koordnaatteja kuvaava vektor ja

30 18 m on joustavan kappaleen ajasta rppuva modaalkoordnaatteja kuvaava vektor. Kulmanopeusvektor seuraavast: /13 s.370/ ω ω vodaan esttää Eulern kulmen akadervaattojen avulla ϕ = G υ = G θ, (2.27) ψ mssä sn υsn ψ cos ψ 0 G = sn υ cos ψ sn ψ 0. (2.28) cos υ 0 1 Matrsn G sarakkeet kuvaavat ykskkövektoreta, joden ympär Eulern kulmen ϕ, υ ja ψ rotaatot suortetaan. Nyt partkkeln P nopeuden yhtälö (2.7) vodaan saattaa seuraavaan muotoon: /7 s.200/ r R ~ A u G θ = + A Φp = I ~ A u G A Φ q = L, (2.29) mssä I p on ykskkömatrs. [ ] q Knemaattsten rajotteden huomomnen lkeyhtälössä Mekansmssa olevat nvelet synnyttävät vuorovakutuksa er koordnaatten vällle. Tämän seurauksena ylestetyt koordnaatt evät ole täysn tosstaan rppumattoma. Jos ss mekansmn kuuluvat kappaleet on ltetty tosnsa nvelllä, aheuttaa mekansmn yhden jäsenen lke lkettä myös mussa jäsenssä. Näden vuorovakutusten kuvaamseks tarvtaan rajoteyhtälötä. Rajoteyhtälöt ovat funktota ylestetystä koordnaatesta ja jossan tapauksssa myös ajasta. Rajoteyhtälöt vodaan esttää muodossa: /7 s.92/ C ( q q, t) = C( q, t) 0 q1 2 n =, (2.30) mssä n on ylestettyjen koordnaatten lukumäärä ja t on aka.

31 19 Rajoteyhtälöt muodostavat systeemlle knemaattsa sde-ehtoja, jotka vähentävät systeemn lkemahdollsuuksa. Lkemahdollsuuksa nmtetään myös systeemn vapausasteks. Systeemn vapausasteden määrä vodaan laskea yhtälöstä: /7 s.99/ mssä n vapausasteden n c _ lkm = n n, (2.31) on ylestettyjen koordnaatten lukumäärä ja rajoteyhtälöden lukumäärä. c Mkäl systeemssä on enemmän rajoteyhtälötä kun ylestettyjä koordnaatteja, puhutaan ylrajotetusta systeemstä. Ylrajottamsesta seuraa se, ette systeem pääse lkkumaan. Systeemn lkemahdollsuuksen kuvaamseen käytetään Jacoban matrsa. Jotta rajoteyhtälöstä (2.30) saatasn muodostettua Jacoban matrs, on nhn sovellettava vrtuaalsen työn peraatetta. Kohdstamalla vrtuaalnen srtymä yhtälöön (2.30), saadaan johdettua systeemn lkemahdollsuuksa kuvaava Jacoban matrs: /7 s.100/ C11 C12 C1 n C = 21 C22 C2n C q. (2.32) Cn C c1 n C c 2 ncn Joustavan kappaleen ylestetyt vomat Soveltamalla vrtuaalsen työn peraatetta systeemn staattsessa tlanteessa, saadaan muodostettua systeemn ylestetyt vomat. Ylestetyllä vomlla tarkotetaan voma, jotka lttyvät systeemn ylestettyhn koordnaattehn. Idealsomalla vamennusvoma nollaks, vodaan kappaleeseen kohdstuven e-konservatvsten vomen tekemä vrtuaalnen työ esttää muodossa: /7 s.219/ δ T W nc = Qncδq, (2.33) mssä Q nc on e-konservatvnen ylestetty vomavektor. Vrtuaalsen työn yhtälö vodaan jakaa komponenttehn seuraavast:

32 20 δr T T T δw nc = [ QR Qθ Qm ] δθ, (2.34) δm mssä Q R on translaatovapausastesn lttyvä ylestetty vomavektor, Q θ Q m on rotaatovapausastesn lttyvä ylestetty vomavektor ja on modaalkoordnaattehn lttyvä ylestetty vomavektor Joustavan kappaleen kneettnen energa ja potentaalenerga Kappaleen kneettselle energalle T vodaan käyttää seuraavaa yhtälöä: /7 s.203/ 1 T T = ρ r r dv, (2.35) 2 V mssä ρ on kappaleen theys. Sjottamalla yhtälöön (2.35) partkkeln nopeus yhtälöstä (2.29) vodaan kneettsen energan lauseke saattaa muotoon: /7 s.204/ 1 1 T = 2 2 V T T T = q ρ L L dv q q M q, (2.36) mssä M on kappaleen massamatrs. Kappaleen potentaalenergalle saadaan lauseke: V = V g + U, (2.37) mssä V g U on kappaleen gravtaatopotentaalenerga ja on joustavan kappaleen venymäenerga. Venymäenergalle saadaan seuraava lauseke: /7 s. 218/ 1 T U = q K mmq, (2.38) 2 mssä K mm on symmetrnen postvsest defntt jäykkyysmatrs, joka lttyy kappaleen ylestettyhn elastsn koordnaattehn. Gravtaatopotentaalenerga vodaan esttää seuraavassa muodossa: /4 s.19/ V = ρrgdv (2.39) g V

33 21 mssä g on gravtaaton aheuttama khtyvyysvektor. Sjottamalla yhtälöön (2.39) partkkeln asema yhtälöstä (2.1) ja käyttämällä lsäks yhtälöä (2.23), vodaan gravtaatopotentaalenergan lauseke saattaa muotoon: [ R + A( u Φm) ] V g = ρ o + gdv (2.40) V Gravtaatosta aheutuva voma saadaan muodostettua ottamalla potentaalenergan yhtälöstä (2.40) osttasdervaatat ylestettyjen koordnaatten suhteen. Gravtaatosta aheutuvaks vomaks f g saadaan: /4 s.20/ f g = V g q ρdv g V A T = ( + ) ρ uo Φm dv g. (2.41) q V T A ρφ dv g V Vamennusvomat rppuvat ylestetystä modaalnopeukssta ja ne vodaan esttää seuraavast: /4 s.20/ 1 F m T Dm D =, (2.42) 2 mssä D on vamennusmatrs. Yhtälöä (2.42) kutsutaan ylesest Raylegh n hävöfunktoks. Hävöfunkton vamennusmatrs D ssältää vamennuskertomet d j. Ortogonaalsa muotoja käytettäessä, vodaan vamennusmatrs D määrttää tehokkaast dagonaalmatrsna, joka ssältää modaalsa vamennuskertoma c. Modaalnen vamennussuhde vodaan määrttää seuraavast: /4 s.20/ c η =, (2.43) c cr mssä ccr on muodon krttnen vamennus. Krttnen vamennus vodaan määrttää seuraavast: c = 2 k m, (2.44) cr mssä k on muodon ylestetty jäykkyys ja

34 22 m on muodon ylestetty massa. Nyt vodaan määrttää vamennusmatrsn D vamennuskertomet seuraavast: c = 2η k m. (2.45) Lagrangen yhtälö Lagrangen yhtälö vodaan nähdä energakeskesenä lähestymstapana systeemn dynamkan tutkmseks. Monet kaupallset dynamkan smulontohjelmat perustuvat Lagrangen yhtälöön ta stä sovellettuhn yhtälöhn. Lähtökohtana Lagrangen yhtälössä on Newtonn tonen lak, johon sovelletaan vrtuaalsen työn peraatetta. Lagrangen yhtälö saadaan muotoon: /7 s.142/ d L L T T + λ Cq = Qnc, (2.46) dt q q mssä L on Lagrangen funkto L = T V, C q on Jacoban matrs ylestetyssä koordnaatessa q, λ Q nc on vektor Lagrangen kertomsta ja on e-konservatvsten ylestettyjen vomen vektor. Saatu Lagrangen yhtälö kuvaa yksttästen kappaleden lkketä lman vuorovakutuksa tosnsa. Käytännön rakentessa esntyvät vuorovakutukset vodaan huomoda yhtälössä joko sjottamalla rajoteyhtälöt lkeyhtälöön ta käyttämällä Lagrangen kertoma λ. Sjotusmenettely johtaa lkeyhtälöhn, joden numeernen ratkasemnen on hankalaa. Knemaattsten rajotteden huomomseks mekansmssa, joka koostuu kappalesta ja ntä yhdstävstä nvelstä, käytetään yleensä Lagrangen kertoma. Tällä menetelmällä saadaan mekansma kuvaavat yhtälöt kohtuullsen helpost ratkastavaan muotoon. /6 s.18/ Joustavan mekansmn lkeyhtälö Sjottamalla yhtälöt ( ) Lagrangen yhtälöön (2.46) saadaan joustavan kappaleen lkeyhtälö muotoon: /4 s.21/ T 1 M T M q + Mq q q + Kq + f g + Dq + Cq = Qe q λ, (2.47) 2

35 23 mssä Q e on ylestetyt ulkoset vomat. Tekemällä seuraavat merknnät: Q v = Mq T M q q q (2.48) Q = Q Kq f Dq E e g (2.49) saadaan yhtälö (2.47) krjotettua muotoon: M q + C λ = Q + Q, (2.50) T q E v mssä Q v Q E on nelöllnen nopeusvektor ja on konservatvset ja e-konservatvset vomat ssältävä vomavektor. Nelöllnen nopeusvektor huomo kappaleeseen kohdstuven corols ja gyroskooppsten l. hyrrävomen vakutuksen. Nelöllnen nopeusvektor on epälneaarnen funkto systeemn ylestetystä koordnaatesta ja nopeukssta. /6 s.24/ Joustavan kappaleen massamatrs Yhtälössä (2.47) estetty joustavan kappaleen massamatrs on monmutkanen funkto ajasta ja ylestetystä koordnaatesta. Massamatrs vodaan jakaa laskennan kannalta helpompaan yhdeksään osamatrsn, jollon se saadaan muotoon: /7 s.204/ M RR M = sym. M M Rθ θθ M M M Rm θm mm (2.51) mssä alandeks R vttaa translaatokoordnaattehn, alandeks θ rotaatokoordnaattehn ja alandeks m modaalkoordnaattehn. Osamatrst koostuvat ajasta rppuvsta ja ajasta rppumattomsta ossta. Ajasta rppumattoma osa kutsutaan massa- ta nertanvaranteks. Massamatrsn osamatrst vodaan määrtellä seuraavast: /4 s.18, 7 s.204/ 1 M = ρ I = RR dv I I (2.52) V ~ ~ ~ ~ 3 ( + Φm) G = A[ I 2 + I ]G M Rθ = ρa uo dv j m j (2.53) V

36 24 M = = V M 3 Rm ρaφdv AI (2.54) θθ ~ ~ T ~ ( u + Φm) ( ~ u ) T = ρg o o + Φm GdV V 7 8 8T 9 [ I [ I + I ] m I m m ]G T = G (2.55) j j j j ~ ~ T T 4 5 ( u + Φm) Φ = G [ I I ] T m ρg o dv j m j V M θ = + (2.56) M = = V T 6 mm ρφ ΦdV I (2.57) mssä komponentteja I 1 I 9 kutsutaan nvaranteks. j Invarantt ovat ajasta rppumattoma, joten ne lasketaan anoastaan kerran smulonnn alussa. Invarantteja vodaan myös asettaa nollaks, jollon laskenta nopeutuu, mutta sen tarkkuus hekkenee. Kuudennen nvarantn I 6 asettamnen nollaks tekee kappaleesta jäykän. Invarantt I 5 ja I 9 ovat kooltaan suura matrseja, joten nden laskenta vaat paljon CPU-akaa, mutta usemmssa tapauksssa ne vodaan asettaa nollks, sllä nden vakutus tulosten tarkkuuteen on vähänen. /14/ Ensmmänen nvarantt kuvaa kappaleen kokonasmassaa ja se vodaan esttää muodossa: /14, 15 s.7/ N ρdv V = 1 1 I = m, (skalaar) (2.58) mssä N on joustavan kappaleen solmujen lukumäärä ja m on massa :nnessä solmussa. Tonen nvarantt kuvaa deformotumattoman kappaleen panopstettä ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ I 2 = N V = 1 ρ u o dv m u. (3 x 1) (2.59) o Kolmas nvarantt kuvaa deformaatosta johtuvaa panopsteen muutosta ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ N ρφ jdv V = 1 3 I = m φ, j=1,,m s (3 x 1) (2.60) j

37 25 mssä ϕ j M s on j:nnen muodon, solmun, muotovektor ja on valttujen muotojen el mooden määrä. Neljäs nvarantt kuvaa joustavan kappaleen deformaaton ja rotaaton välstä kytkentää ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ N ~ 4 = u Φ mu ~ o V =1 I ρ o dv Φ + I Φ, (3 x M s ) (2.61) mssä Φ on :nnen solmun rotaatodeformaato kuvaava muoto ja I on :nnen solmun nertavektor. Vdes nvarantt kuvaa joustavan kappaleen deformaaton ja rotaaton välsen kytkennän ensmmäsen asteen korjausta ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ I 5 N ρφ ~ jφdv φ ~ m jφ V = 1 =. j=1,, M s (3 x M s ) (2.62) Kuudes nvarantt kuvaa joustavan kappaleen kunkn muodon ylestettyä massamatrsa ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ N T Φ ΦdV V =1 6 T T I = ρ mφ Φ + Φ IΦ. (M s x M s ) (2.63) Setsemäs nvarantt kuvaa kappaleen htausmomentta deformotumattomassa muodossa ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ N ~ T ~ ~ 7 T = u u muou ~ V =1 I ρ o dv + I. (3 x 3) (2.64) Kahdeksas nvarantt kuvaa joustavan kappaleen htausmomentn ensmmäsen asteen korjausta ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/ I 8 N ρuoφ ~ jdv muoφ ~ j V = 1 ~ ~ =. j=1,, M s (3 x 3) (2.65) Yhdeksäs nvarantt kuvaa joustavan kappaleen htausmomentn tosen asteen korjausta ja se vodaan esttää seuraavast: /14, 15 s.7/

38 26 = = N k j V k j dv 1 9 ~ ~ m ~ ~ ρ φ φ φ φ I. j,k=1,, M s (3 x 3) (2.66) Lkeyhtälöden saattamnen ntegrotavaan muotoon Yhtälöstä (2.47) vodaan ratkasta systeemn dynamkka, mutta se e kutenkaan ole sellasessa muodossa, että shen votasn soveltaa numeersa ntegrontalgortmeja helpost. Yhtälö (2.47) vodaan saattaa numeersta ntegronta varten parempaan muotoon jakamalla ylestetyt koordnaatt jäykän kappaleen lkettä ja deformaatota kuvaavn komponenttehn seuraavast: /7 s.248/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + m v q v m E q E T m q T q q r mm m m r r r Q Q Q Q λ C C m q M M M M θ θ θθ, (2.67) mssä ( ) r q q C on Jacoban matrs jäykän kappaleen koordnaattehn kohdstuvsta rajotukssta ja ( ) m q C on Jacoban matrs modaalkoordnaattehn kohdstuvsta rajotukssta. Yhtälö (2.67) vodaan saattaa yhtälön (2.69) esttämää muotoon käyttämällä apuna vektora /7 s.248/ ( ) q q C q C C q C Q q q qt tt q c = = 2, (2.68) mssä alandeks t vttaa osttasdervaattaan ajan suhteen ja alandeks q vttaa osttasdervaattaan ylestettyjen koordnaatten suhteen. Numeersta ntegronta varten vodaan joustavan kappaleen lkeyhtälö saattaa lopullseen muotoonsa: /7 s.249/ + + = c m v m E q v q E r T m q mm T q q m r r r sym Q Q Q Q Q λ m q C M C M M ) ( ) ( ) ( ) ( 0. ) ( ) ( θ θθ, (2.69) joka vodaan myös krjottaa muotoon: + + = c m v m E q v q E T m q mm T q q m r r r r sym Q Q Q Q Q C M C M M λ m q ) ( ) ( ) ( ) ( 0. ) ( ) ( 1 θ θθ. (2.70)

39 Kestomagnetodun tahtkoneen teoraa Kestomagnetotuja tahtkoneta käytetään ylesest penen tehontarpeen omaavssa lattestossa ja robottsovelluksssa, jossa pääasassa käytetään servomoottoreta. Kestomagnetotuja tahtkoneta e kutenkaan anoastaan käytetä penen tehontarpeen sovelluksssa, sllä on rakennettu jopa 1 MW kokosa kestomagnetotuja tahtkoneta. /16 s.63/ Kestomagnetotu tahtkone on peraatteessa tavallnen vahtovrtamoottor (AC), jossa käämtykset sjatsevat staattorn urssa, ja staattorvrta akaansaa lähes snmuotosen vuon. Yleensä staattor käämtään kolmvaheseks. Suurssa tahtkonessa on tavallsest roottorssa tasavrralla syötettävä magnetomskäämtys, mutta kestomagnetodussa tahtkoneessa roottorn käämtys on korvattu kestomagneetella. Kuvassa (2.6) on estetty erlasa roottorn rakennevahtoehtoja. Tahtmoottor nmtys tulee stä, että sähkökoneen pyörvä osa (roottor), pyör sähkökoneen pakallaan olevaan osaan (staattor) syötetyn vahtovrran muodostaman magneettkentän kanssa samalla nopeudella. /17 s.1-2/ Magneett roottorn pnnalla Magneett roottorn ssällä Kuva 2.6. Erlasa kestomagneetttahtkoneden roottoreden rakenteta. /18 s.739, 19 s.18, 20 s.119/

40 Avaruusvektort Kertokenttäkoneden tomnnalle oleellsa suureta vodaan ptää jaksollsna funktona, jotka vodaan hajottaa harmonsks sarjoks. Vahtosähköpren teoreettsessa tarkastelussa on ylestä, että ajan funktona snmuotosest vahtelevat suureet, kuten vrrat ja jänntteet lmastaan komplekstasossa pyörvllä osottmlla. Nätä osottma kutsutaan avaruusvektoreks. /19 s.1-7/ Symmetrsessä kolmvahejärjestelmässä vaheet ovat 120 sähköasteen vahesrrossa tosnsa nähden. Sähköasteet saadaan roottorn kertymää kuvaavsta mekaanssta astesta jakamalla ne napaparluvulla. Samalla tavalla muodostuu myös sähkönen kulmanopeus el jaetaan mekaannen kulmanopeus napaperluvulla. jollon sähkökoneden matemaattsessa kästtelyssä käytettävät vrran, jänntteen ja käämvuon avaruusvektort vodaan esttää seuraavast: /16 s.6-20/ mssä A,B,C [ ] 2 2 s () t = A() t + a B () t + a C () t, (2.71) 3 [ ] 2 2 u s () t = u A() t + au B () t + a uc () t, (2.72) 3 [ ] 2 2 Ψ s () t = ΨA() t + aψb () t + a ΨC () t, (2.73) 3 u A,B,C on staattorvrran hetkellsarvo kolmvahekoneen vahessa A, B ta C, on staattorjänntteen hetkellsarvo kolmvahekoneen vahessa A, B ta C, Ψ A,B,C on staattorkäämvuon hetkellsarvo kolmvahekoneen s u s Ψ s vahessa A, B ta C, on avaruusvektorteoran mukanen staattorvrtavektor, on avaruusvektorteoran mukanen staattorjänntevektor, on avaruusvektorteoran mukanen staattorkäämvuovektor ja 3 a on ykskkövektor, joka määrtellään seuraavast a = e. 2π j Yhtälössä (2.71) (2.73) käytetty kerron 2/3 skaalaa avaruusvektorn ptuuden yhtä suureks vahesuureen huppuarvon kanssa. Sähkökoneen avaruusvektorestyksessä tehdään suureden snmuotosuuden lsäks seuraavat olettamukset: nduktanssen

41 29 ajatellaan olevan kyllästymättömä, resstanssen ja nduktanssen oletetaan olevan lämpötlasta ja taajuudesta rppumattoma sekä rautahävöden oletetaan olevan nolla. /16 s.5-11/ Vakka sähkökoneden matemaattnen kästtely avaruusvektorella onkn tehokasta, nn säätöjärjestelmän käytännön toteutusta varten on vektort jaettava reaal- ja magnäärosaan. Jaettaessa vektort kahteen osaan puhutaan kaksakselestyksestä. Kolmvahessta suuresta päästään kaksakselestykseen sjottamalla avaruusvektorn määrtelmään (yhtälöt ) seuraava ykskkövektorn lttyvä määrtelmä: /21 s.335/ 2π e j π π a = = cos + j sn = + j, (2.74) jollon erottelemalla reaal- ja magnäärosat saadaan avaruusvektort muotoon: /16 s.19/ sα = Re{ s} = sa sb sc = sa, (2.75) { } = = sβ Im s sb sc ja (2.76) s 0 = sa sb sc = 3 ( + + ) 0. (2.77) Yhtälöden (2.75) (2.77) esttämällä tavalla vodaan muutkn avaruusvektort, el staattorjänntevektor ja staattorkäämvuovektor, saattaa kaksakselestyksen edellyttämään muotoon. Symmetrsessä kolmvahejärjestelmässä nollavrta s0 on nolla, mutta se pdetään mukana, jotta sama asa vodaan esttää matrsmuodossa seuraavast: /16 s.19/ s sa 2 = sα sb. (2.78) 3 sβ sc

42 30 Yhtälössä (2.78) on estetty ns. 32 muunnos, jollon ss srrytään vahesuuresta kaksakselestykseen. Yhtälössä (2.79) on estetty srtymnen kaksakselestyksestä takasn vahesuuresn, el 23 muunnos. sb sc 1 = s 3 2 s 3 2 s sa 1 0 α β (2.79) Tahtkoneen tomntaa vodaan kästellä sekä staattorn että roottorn knntetyssä koordnaatstossa. Muunnos staattorkoordnaatstosta roottorkoordnaatstoon on estetty kuvassa (2.7) ja se tapahtuu kertämällä koordnaatstoa kulman θ verran. /16 s.12/ q β d θ α Kuva 2.7. Srtymnen staattorkoordnaatstosta (αβ) roottorkoordnaatstoon (dq). /16 s.12/ Staattorkäämvuon muunnos staattorkoordnaatstosta roottorkoordnaatstoon vodaan toteuttaa seuraavalla matrsyhtälöllä: /16 s.17/ Ψ Ψ sd sq cosθ = snθ snθ Ψ cosθ Ψ sα sβ. (2.80) Vastaavast staattorkäämvuon muunnos roottorkoordnaatstosta takasn staattorkoordnaatstoon vodaan toteuttaa matrsyhtälöllä: Ψ Ψ sα sβ cosθ = snθ snθ Ψ cosθ Ψ sd sq. (2.81)

43 Jännte- ja vuoyhtälöt kaksakselmallssa Kestomagneetttahtkoneta tarkastellaan yleensä roottorn sdotussa dq koordnaatstossa, koska ylesessä tapauksessa tahtkone on staattorsta katsottuna magneettsest epäsymmetrnen. Kuvassa (2.8) on estetty kestomagnetodun tahtkoneen kaksakselmalln mukanen sjaskytkentä d- ja q-koordnaatessa. /17 s.12/ (a) d-aksel (b) q-aksel Kuva 2.8. Kestomagnetodun tahtkoneen sjaskytkennät d- ja q-akselessa. /17 s.12/ Kuten jo aemmn tul todettua, kestomagnetotu tahtkone pokkeaa roottorlla oleven kestomagneetten taka verasmagnetodusta tahtkonesta. Roottorlle sjotetut kestomagneett magnetovat koneen tosn kun verasmagnetodussa konessa, jossa magnetont tehdään roottorlla oleven käämen avulla. Kestomagnetodun tahtkoneen tapauksessa kestomagneett kuvataan matemaattsessa mallssa näennäsenä vrtalähteenä. Vrtalähteen f suuruus vodaan määrttää yhtälöllä: /16 s.66-67/

44 32 f Ψ L PM =, (2.82) md mssä Ψ PM L md on kestomagneetn käämvuo ja on magnetomsnduktanssn ptkttäskomponentt. Staattorn kaksakselmalln mukasest ptkttäs- ja pokttassuuntaset jänntteet u sd ja u sq roottorkoordnaatstossa ovat: /16 s.97/ dψsd u sd = R ssd + ωeψsq, (2.83) dt dψsq u sq = R s sq + + ωeψsd, (2.84) dt mssä R s on staattorresstanss, sd sq Ψ sd Ψ sq ω e on staattorvrran ptkttäskomponentt, on staattorvrran pokttaskomponentt, on staattorkäämvuon ptkttäskomponentt, on staattorkäämvuon pokttaskomponentt ja on roottorn sähkönen kulmanopeus. Vamennuskäämtykset ovat okosuljettuja, joten nden jännteyhtälöt ovat muotoa: /16 s.110/ dψ 0 = R D D D +, (2.85) dt dψ 0 = R Q QQ +, (2.86) dt mssä R D on vamennuskäämtyksen ptkttänen resstanss, R Q D Q Ψ D Ψ Q on vamennuskäämtyksen pokttanen resstanss, on vamennuskäämvrran ptkttäskomponentt, on vamennuskäämvrran pokttaskomponentt, on vamennuskäämtyksen käämvuon ptkttäskomponentt ja on vamennuskäämtyksen käämvuon pokttaskomponentt.

45 33 Yhtälöden (2.83) (2.86) perusteella vodaan käämvuon dervaatat määrttää seuraavast: dψ sd dt dψ sq dt dψd dt dψq dt = u R + ω Ψ, (2.87) sd sq s s sd sq e e sq = u R ω Ψ, (2.88) = R = R D Q D Q sd ja (2.89). (2.90) Yhtälössä (2.83) (2.86) estetyt staattor- ja vamennuskäämvuot määrtellään seuraavlla yhtälöllä: /17 s.11/ Ψ sd sq = ( md + Ls ) sd + Lmd D + ΨPM L σ, (2.91) ( L mq + Ls ) sq + LmqQ Ψ = σ, (2.92) Ψ D md sd ( Lmd + LD ) D + ΨPM = L + σ, (2.93) Q mq sq ( L mq + L Q σ ) Q Ψ = L +, (2.94) mssä L mq L sσ L Dσ L Qσ on magnetomsnduktanssn pokttaskomponentt, on staattorkäämtyksen hajanduktanss, on vamennuskäämtyksen hajanduktanssn ptkttäskomponentt ja on vamennuskäämtyksen hajanduktanssn pokttaskomponentt. Magnetomsnduktanssn ja staattorkäämtyksen hajanduktanssn summaa nmtetään staattor-nduktanssks ja sen komponentt ptkttäs- ja pokttassuunnassa vodaan merktä seuraavast: L = L + L ja (2.95) sd sq md mq sσ L = L + L. (2.96) sσ

46 34 Magnetomsnduktanss ja vamennuskäämtyksen hajanduktanssn summaa nmtetään vamennuskäämn kokonasnduktanssks ja sen komponentt ptkttäsja pokttassuunnassa vodaan merktä seuraavast: L = L + L ja (2.97) D Q md mq Dσ L = L + L. (2.98) Qσ Yhtälöden (2.95) (2.98) avulla vodaan yhtälöt (2.91) (2.94) krjottaa matrsmuotoon seuraavast: /17 s.12/ Ψ Ψ Ψ Ψ sd sq D Q L 0 = L 0 sd md L L 0 0 sq mq L 0 L md 0 D 0 L mq 0 LQ sd sq D Q + Ψ PM 1 0. (2.99) 1 0 Yhtälöstä (2.99) vodaan nyt ratkasta vrtamatrs, joka saadaan muotoon: sd sq D Q L 0 = L 0 sd md L L 0 0 sq mq L 0 L md 0 D 0 L mq 0 LQ 1 Ψ Ψ Ψ Ψ sd sq D Q Ψ PM 1 0. (2.100) 1 0 Yhtälössä (2.100) oleva nduktanssmatrsn kääntesmatrs vodaan ratkasta esmerkks käyttämällä determnanttmenetelmää. Merktään nduktanssmatrsn kääntesmatrsa seuraavast: B 0 C D 0 E L 1 =, (2.101) A C 0 F 0 0 E 0 G mssä A L L ( L L L ) L ( L L L ) =, sd D sq Q mq 2 ( LsqLQ Lmq ) 2 ( Lmq LsqLQ ) 2 ( LsqLD Lmd ) 2 ( L L L ) B = L, D C = L, md D = L, Q E = L, mq md sd D md sq Q mq

47 35 2 ( LsqLQ Lmq ) 2 ( L L L ) F = L ja sd G = L. sq sd D md Yhtälössä (2.87) (2.90) estetyt käämvuon dervaattojen lausekkeet vodaan nyt esttää muodossa: dψ dt dψ dt dψ dt dψ dt sd sq D Q = = R A [ B( Ψsd ΨPM ) + C( ΨD ΨPM )] + ωeψsd s u sd, (2.102) R A ( DΨsq + EΨQ ) ωeψsd s u sq, (2.103) R = A D R Q = A [ C( Ψ Ψ ) + F( Ψ Ψ )] sd PM ( EΨ GΨ ) sq Q D PM ja (2.104). (2.105) Vääntömomentn yhtälö Sähkökoneen sähkönen vääntömomenttvektor T e, vodaan lausua staattorkäämvuon ja vrran avaruusvektoren rsttulona seuraavast: /17 s.13/ 3 T e = pψs s, (2.106) 2 mssä p on napaparluku. Vääntömomentn yhtälö on koordnaatstosta rppumaton, joten käämvuon ja vrran pakalle vodaan sjottaa joko staattorn ta roottorn knntetyt arvot. Sjottamalla avaruusvektoren kaksakselestykset roottorkoordnaatstossa yhtälöön (2.106), saadaan vääntömomentn yhtälö muotoon: /16 s.85/ ( Ψ Ψ ) 3 Te = T e = p sd sq sq sd. (2.107) 2

48 Numeernen ntegront Yhtälö (2.70) vodaan ratkasta kolmella er peraatteella: /22 s.50/ 1. ntegrodaan yhtälöä (2.70) suoraan, 2. jaetaan yhtälön (2.70) ylestetyt koordnaatt rppuvn ja rppumattomn koordnaattehn ja kohdstetaan ntegront anoastaan systeemn rppumattomn koordnaattehn, jonka jälkeen rppuvat koordnaatt ratkastaan rajoteyhtälöden avulla ta 3. ntegrodaan yhtälön (2.70) kakk ylestetyt koordnaatt, jonka jälkeen tarkennetaan rppuven koordnaatten tulosta rajoteyhtälöden avulla. Integrontalgortmena vodaan käyttää mm: /22 s.50/ Taylorn sarjamenetelmää, Runge-Kutta menetelmää ta Ennuste-korjaus menetelmää. Numeersen ntegronnn ongelmana on se, että vrhettä syntyy ana. Numeersessa ntegronnssa syntyvä vrhelähtetä ovat: /23 s , 24 s.17-20/ mallvrhe, menetelmävrhe, lähtöarvovrhe, pyörstysvrhe, tomntahärö ja numeernen epästablus. Käytännön ongelman muokkaamnen matemaattseks ongelmaks on tavallsest mahdollsta van tekemällä yksnkertastuksa ja olettamuksa, jotka aheuttavat mallvrheen. Esmerkks vähämerktykssten tekjöden posjättämnen mallsta (lmanvastus vapaassa pudotuksessa tms.) ta rppuvuussuhteden olettamnen lneaarsks ovat tällasa tekjötä. Mallvrhe e snällään kuulu numeersen matematkan prn, mutta sen vakutus on syytä mustaa arvotaessa smulotujen ja mtattujen tulosten välsä eroja. /24 s.17/ Matemaattsen ongelman korvaamnen numeersella ongelmalla ta numeersen ongelman palauttamnen äärellseks, aheuttaa yleensä myös vrhettä. Tällanen

49 37 menetelmävrhe tehdään yleensä tetosest ja pyrkmyksenä on vrheen halltsemnen nn hyvn, että tedetään mten paljon numeersen ongelman ratkasu pokkeaa alkuperäsen ongelman ratkasusta. /24 s.17/ Menetelmävrhettä kutsutaan katkasuvrheeks, kun laskennassa joudutaan käyttämään approksmaatota tarkan matemaattsen prosessn sjasta. Esmerkk tällasesta on, kun ääretön sarja typstetään äärellseks jättämällä sarjan loppuosan termt huomomatta. Katkasuvrhe muodostuu toleransssta, joka määrttelee teraatoprosessn tarkkuuden. Ylesest vodaan todeta, että katkasuvrhe saadaan stä penemmäks, mtä penempää laskenta-askelta käytetään. Menetelmävrhettä kutsutaan dskretontvrheeks, jos jatkuva suure, kuten dervaatta korvataan dskreetllä analogallaan erotusosamäärällä. Tämä tapaus vodaan usen tulkta myös katkasuvrheeks. /23 s.102, 24 s.17-18/ Algortmn tarvtsemat lähtöarvotedot saattavat olla mttaustuloksa ta muta kokeellsest saatuja lukuja, john ssältyy epätarkkuutta, ta musta systä joudutaan käyttämään lkarvoja. Lähtöarvossa olevaa vrhettä kutsutaan lähtöarvovrheeks. Lähtöarvossa oleva vrhe aheuttaa yleensä sen, että lopputuloskn on vrheellnen. Tärkentä on huolehta stä, että snänsä mtätön härö lähtöarvossa e vahvstu lopputulosta täydellsest väärentäväks tekjäks. /24 s.19/ Pyörstysvrhe aheuttaa systeemlle luonnotonta vamennusta, joten yhtälöden ratkasussa on varattava rttävä tarkkuusvara pyörstykslle, jotta tärkeää tetoa e menetettäs. Pyörstysvrhe aheutuu stä, että tetokoneet ja ohjelmat kästtelevät lukuja anoastaan tetyllä tarkkuudella laskennan akana. Luvut kuten π ta e (Nepern-luku) joudutaan kuvaamaan anoastaan tetyllä määrällä merktsevä numerota, jonka taka ntä e voda kuvata tarkast. Samanen ongelma on nähtävssä tlanteessa, jossa kaks lähes saman suurusta lukua vähennetään tosstaan, jollon tulos vo olla nolla ta hyvn lähellä stä. Pyörstysvrhettä syntyy sekä lähtöarvohn että laskennan kuluessa. Laskenta-askeleen lyhentämnen suurentaa pyörstysvrhettä, mkä johtuu merktseven numeroden kumoutumsesta vähennyslaskussa ja lsääntyneestä laskennasta analyysn akana. /23 s.65 & s.102/

50 38 Tomntahärö lasketaan mukaan yhdeks vrheluokaks, vakka se e varsnasest lty numeerseen laskentaan. Tomntahärötä ovat nhmllset erehdykset, kuten ohjelmont- ja krjotusvrheet ja erttän harvnaset tomntahäröt tetokoneen komponentessa. /24 s.20/ Numeernen epästablus muodostuu dfferentaalyhtälöden ratkasussa käytetyn askelptuuden ja ntegrontalgortmn omnasuuksen yhtesvakutuksesta. Käytetyn algortmn tuls olla sellanen, että penet häröt lähtöarvossa ja vältuloksssa evät aheuta suura muutoksa lopputulokseen. Jos penet häröt evät vakuta lopullseen tulokseen merkttäväst, vodaan tällön algortma kutsua numeersest stablks. /24 s.41-42/ Tyypllsest ntegrontvrhe muodostuu katkasu- ja pyörstysvrheen summasta kuvan (2.9) esttämällä tavalla. Ideaalsen askelptuuden löytämnen ntegrontn on mahdollsta, mkäl vrhelähteet on votu määrttää. On huomattava, että laskentaaskeleen lyhentämnen parantaa tulosta katkasuvrheen osalta, mutta vastaavast huonontaa stä pyörstysvrheen osalta. On ss pyrttävä löytämään jonknlanen kompromss askelptuuden suhteen, jollon saavutetaan mahdollsmman pen kokonasvrhe. /23 s.103/ Integrontvrhe Vrheden yhtesvakutus Katkasuvrhe Pyörstysvrhe Optm Askelptuus Kuva 2.9. Numeersen ntegronnn vrhelähteet. /23 s.103/

51 39 Yleensä tlanne on sellanen, että optmaalsen askelptuuden löytymnen e ole mtenkään tsestään selvää. Mllanen vrheden yhtesvakutus kullosellakn askelptuudella syntyy, jää arvoden varaan. Monssa tlantessa vrheen arvomseks e ole mtään systemaattsta ja ylestä menetelmää, vaan usen joudutaan tyytymään käyttäjän kokemukseen ja arvoon kullosestakn tlanteessa. Vrheen suuruutta vodaan kutenkn pyrkä arvomaan, ja noudattamalla tettyjä peraatteta vodaan ongelmatlanteet pyrkä välttämään. Tärken peraate on, että laskennassa tuls kakn kenon välttää tlannetta, jossa joudutaan vähentämään lähes samansuuruset luvut tosstaan. Jos tällaseen tlanteeseen kutenkn joudutaan, on pyrttävä käyttämään mahdollsmman suurta tarkkuutta. On lsäks hyvä mustaa, että käytettäessä yhteen- ja vähennyslaskua kannattaa ana lähteä lkkeelle penmmästä luvusta koht suurempa. Numeersen vrheen suuruutta vodaan lsäks arvoda käyttämällä teoreettsa kaavoja, jollasa ovat esmerkks Taylorn-sarjat. /23 s.105/ Edellä kuvattujen menetelmen ongelmana on, että ne soveltuvat kohtuullsen huonost smulontympärstöön. Dynamkan smulontohjelmat suorttavat laskennan tsenäsest ja tähän laskentaan e pääse puuttumaan. Teoreettsten kaavojen käyttö on monmutkasta jopa helppojenkn ongelmen kohdalla, mkä aheuttaa sen, että hankalat smulontmallt evät tule tällasessa tlanteessa kyseeseen. Smulontmallen kohdalla anoaks vahtoehdoks jää koko malln ta osakokonasuuksen verfont todellsen malln avulla. Verfontmallsta saadaan mttaamalla halutut tedot, jonka jälkeen ntä vodaan verrata smulontmalln antamn tuloksn, mstä vodaan päätellä onko laskenta onnstunut vako e. Tarkasteltaessa smulotuja ja mtattuja tuloksa ja vertaltaessa ntä keskenään, on syytä mustaa reaalmaalman ja mallnnusympärstön välllä tehdyt olettamukset ja yksnkertastukset, joden taka smulontmallssa esntyy mallvrhettä.

52 40 3. TUTKITTAVA JÄRJESTELMÄ JA SIMULOINTIMALLI Yhtenä työn tavotteena ol rakentaa verfontlattesto, jonka avulla vodaan varmstaa smulontmalln tomvuus. Smulontmallssa käytetyn moottorn tul olla mahdollsmman helpost mallnnettavssa, jollon päädyttn kestomagnetotuun tahtkoneeseen, jonka smulontmall perustuu kappaleessa 2.2 estettyhn lneaarsn dfferentaalyhtälöhn. Lsäks kestomagnetodun tahtkoneen mallntamsta puols se, että kysenen moottor ol käytettävssä sähköteknkan laboratorossa verfontlattestoa varten. Kysestä moottora oltn käytetty aemmn sähköteknkan osaston omssa projektessa, joten suurn osa verfontlatteston sähköteknsstä komponentesta ol jo olemassa. Jäljelle jäkn mekankan suunnttelu. Kuvassa (3.1) on estetty tätä työtä varten rakennettu verfontlattesto. Verfontlattestolla tehtyjen mttausten perusteella selvtettn smulontmalln tomvuutta sekä smulontmallssa käytettyjen parametren vakutusta tuloksn. Kuva 3.1. Verfontlattesto.

53 41 Sähkökäyttöjen tomntaa on LTKK:ssa mallnnettu sähköteknkan osastolla käyttäen tse tehtyjä ohjelma (C-kelellä) ta MATLAB ohjelmston alasuudessa tomvaa SIMULINK ympärstöä. Mekankkamalln rakentamnen on suortettu koneteknkan osastolla käyttäen ADAMS ohjelmstoa. Nn mekankan kun sähkökäyttöjenkn malleja vodaan luoda usealla er ohjelmstolla. Perusedellytyksenä on ollut, että mekankkamall vodaan tuoda osaks luotua sähkökäytön malla ta pänvaston. Tämä on käytössä oleven ohjelmen tapauksessa tarkottanut stä, että yhteensopvuuden takaamseks sähkökäytöt on mallnnettu SIMULINK ympärstössä ja mekankkamallt on mallnnettu ADAMS ohjelmstolla. Tässä työssä on käytetty sähköteknkan osastolla luotua SIMULINK malla kestomagnetodusta tahtkoneesta ja ADAMS ohjelmalla luotua mekankan malla. Mekankkamall on ltetty osaks sähkökoneen malla SIMULINK ympärstössä kuvan (3.2) esttämällä tavalla. Kuva 3.2. SIMULINK mall, joka ssältää ADAMS blokn.

54 42 Tarkasteltavan järjestelmän mekankka rakennettn mahdollsmman yksnkertaseks, jotta mahdollsten vrhelähteden vakutus saatn mnmotua. Lsäks tarkotus ol rakentaa sellanen mall, jonka verfonta varten pystytään kohtuullsen yksnkertasest rakentamaan verfontlattesto. Smulontmallssa mekankka koostuu kuvan (3.3) esttämällä tavalla staattorsta, roottorsta, joustavaks mallnnetusta epäkeskotangosta ja lkuteltavasta massasta. Kuva 3.3. ADAMS mall.

55 Verfontlatteston rakenne Kuvassa (3.4) on estetty verfontlattesto kaavokuvana. Vahvstn Momenttantur Nopeusantur PMSM Invertter Kuva 3.4. Verfontlatteston kaavokuva. Verfontlattestossa syötettn nvertterllä vrtaa kestomagnetodulle tahtkoneelle, jonka roottor ol yhdstetty kytkmen vältyksellä momenttanturn ja edelleen erllsest laakerotuun akseln, johon epäkeskotanko massoneen knntty. Tahtkoneeseen ol lsäks knntetty nopeusantur, jonka teto vältty vahvstmen kautta mttaus PC:lle. Myös momenttanturn sgnaal srrettn vahvstmen kautta PC:lle. Ltteessä 2 on estetty verfontlatteston komponentten tarkemp kuvaus. Verfontmttaukset suortettn kolmessa erässä, josta ensmmäsessä ol tarkotuksena käyttää tasavrtamoottora jarruna. Het mttauksen alussa kutenkn havattn, että tasavrtamoottorn roottorn htausmassa ol nn suur, että se vamens kakk muut verfontlatteston lmöt. Tosessa vaheessa mttaukset tehtn sten, että tahtmoottorlla ajettn 8 sekunnn khdytysrampp nollasta kahteenkymmeneenvteen Hz:n lman tasavrtamoottora. Kolmannessa vaheessa ajettn samanlasa ramppeja sllä muutoksella, että khdytysaka ol 10 sekunta ja momenttantur ol otettu pos välstä.

56 Smulontmalln rakenne Kuvssa (3.2) estetty smulontmall rakentuu pääasallsest kappaleessa 2 estettyjen yhtälöden varaan. Koska kestomagnetodun tahtkoneen yhtälöt, jotka on estetty kappaleessa 2.2, ovat deaalsen koneen yhtälötä, on nhn täytynyt tehdä muutoksa ja lsäyksä, jotta todellsen koneen epädeaalsuudet saatasn eslle. Koska tämän työn tarkotuksena ol selvttää hammasvääntömomentn (Coggng) aheuttaman momenttvärähtelyn vakutusta, on hammasvääntömomentn lsäämnen deaalseen malln tärkeää. Hammasvääntömomentn vakutus lsättn malln härösgnaalna, joka summattn sähkökoneen malln laskemaan vääntömomenttn yhtälön (3.1) esttämällä tavalla. /25 s.1142/ T Σ = T e + T c, (3.1) mssä T Σ on mekankkamalln syötetty kokonasmomentt, T e T c on sähkökoneen tuottama momentt ja on hammasvääntömomentt. Hammasvääntömomentt vodaan esttää seuraavassa muodossa: /25 s , 26 s.260, 27 s.2030/ mssä ϕ ( ϕ ) Tˆ sn 6( ϕ γ ) + Tˆ sn ( ϕ γ ) + = Tc, (3.2) Tˆ 6,12... on roottorn kertymä, on hammasvääntömomenttylaallon ampltud ja γ on vahesrto. Lopullsest smulontmallssa hammasvääntömomentt laskettn seuraavalla yhtälöllä: ( ϕ ) = T sn 6( ϕ γ ) + T sn12( ϕ γ ) T 1 2 c, (3.3) mssä T 1,2 on mttaustulosten perusteella saatu hammasvääntömomentnylaallon ampltud.

57 45 Kuvassa (3.5) on estetty smulontmalln tomnta kaavokuvana. Invertter u 1 u 2 u u α u β Staattorkoordnaatstosta Roottorkoordnaatstoon u q u d PMSM Integraattor T e 60/(p*2π) ω e ϕ p ω Hammasvääntömomentt Härösgnaalna (T c ) T c Σ Tulostetaan pyörmsnopeus Integraattor Mekankka T Σ Kuva 3.5. Smulontmall kaavokuvana. α Tulostetaan momentt Smulontmall rakentu ss sten, että nvertter tuott PWM modulaatolla, kolmvaheset jänntteet (u 1, u 2 ja u 3 ). Jänntteet muunnettn kaksakselmalln edellyttämään kahteen vaheeseen (u α ja u β ), jonka jälkeen srryttn staattorkoordnaatstosta roottorkoordnaatstoon (u d ja u q ). Roottorkoordnaatstossa lmastut jänntteet syötettn kestomagnetodun tahtkoneen malln, jossa laskettn käämvuot (Ψ sd, Ψ sq, Ψ D ja Ψ Q ) ja vrrat ( sd ja sq ), joden avulla saatn laskettua vääntömomentt (T e ). Saatuun momenttn summattn yhtälössä (3.3) estetty hammasvääntömomentt (T c ). Tämä kokonasmomentt (T Σ ) syötettn ADAMS ohjelmassa pyörvään mekankkamalln. Mekankkamallsta otettn ulos vääntömomentt roottorn päässä sekä roottorn kulmakhtyvyys (α). Kulmakhtyvyydestä saatn ntegromalla kulmanopeus (ω), joka muutettn sähköseks kulmanopeudeks (ω e ) kertomalla se napaparluvulla (p). Saatu sähkönen kulmanopeus syötettn takasnkytkentänä tahtkoneen malln sekä koordnaatstonmuunnososaan ja lsäks

58 46 stä ntegrotn roottorn kertymä (ϕ) hammasvääntömomentn laskentaa varten. Lsäks sähkösestä kulmanopeudesta laskettn roottorn pyörmsnopeus. Smulonnssa käytetyt parametrt on estetty ltteessä Mekankkamalln rakenne Mekankan mall (kuva 3.3) mallnnettn ADAMS 10.0 dynamkan smulontohjelmalla ja se koostu ss staattorsta, roottorsta, joustavasta epäkeskotangosta ja lkuteltavasta massasta. Epäkeskotanko kuvattn joustavana, jotta jotkn epäkeskotangon omnastaajuukssta saatasn heräämään hammasvääntömomentn aheuttama momenttvärähtelyn ansosta. Tangon joustavuus mallnnettn ANSYS FEM ohjelmstolla. Tanko mallnnettn palkkelementtejä käyttäen. Mallssa on yhteensä 86 elementtä. Vakka mall onkn yksnkertanen, on tärkeää, että mallnnuksessa käytetään rttävää määrää elementtejä, jotta korkeammatkn omnastaajuudet tulevat huomoduks. Tanko mallnnettn ANSYS ohjelmalla, koska ANSYS ohjelmalla mallnnettu joustava kappale vodaan tuoda helpost ADAMS ohjelmstoon. ANSYS ohjelman, ADAMS ohjelman ja SIMULINK ympärstön lttymnen tosnsa on estetty kaavona kuvassa (3.6). T SIMULINK ADAMS ANSYS α Φ Kuva 3.6. Kaavokuva ohjelmstojen välsestä kytkennästä. Joustava tanko srrettn ADAMS ohjelmstoon, jossa se ltettn mekankkamalln. ADAMS ohjelmstossa mallnnettn lsäks staattor, joka knntettn jäykäst maahan (ground). Roottor mallnnettn sten, että sen htausmassaan lsättn verfontmallssa käytettyjen komponentten htausmassat, jollon smulontmallssa e tarvnnut erkseen mallntaa kytkmä, aksela ja momenttantura. Roottor knntettn kertonvelellä staattorn ja roottorn päähän knntettn epäkeskotanko kntonvelellä. Lsäks roottorn ja staattorn välseen ltokseen mallnnettn funkto, jonka avulla saadaan sähkökoneenmalln (SIMULINK) tuottama vääntömomentt tuotua mekankan malln. Joustavaan

59 47 epäkeskotankoon knntettn massa kntonvelellä. Massan lkuteltavuus mahdollst sen, että epäkeskotangon ja massan kokonasuus saavutt ana massan asemasta rppuen erlasa omnastaajuuksa. ADAMS ohjelmassa vodaan määrttää mtkä joustavan kappaleen omnastaajuudet otetaan lopullseen laskentaan mukaan. Samalla vodaan tarkastella FEM ohjelmston laskema omnasmuotoja. Ntä tulktsemalla vodaan päätellä mtkä omnasmuodot ovat kysesen tehtävän kannalta merktsevä ja mtkä evät. ANSYS ohjelmstossa laskettn tangolle 30 alnta omnasmuotoa, jotka kakk otettn käyttöön ADAMS mallssa, joten yhtään varsnasta omnasmuotoa e tputettu laskennasta pos. ADAMS ohjelmstossa mallnnettu mekankkamall vodaan srtää osaks SIMULINK ohjelmaa, jollon tetyt asat lasketaan SIMULINKssä ja tetyt ADAMSssa. Jotta mekankkamall saadaan srrettyä osaks SIMULINK malla on ADAMS ohjelmstossa määrtettävä ne muuttujat, jotka tulevat SIMULINKstä ADAMSn ja ne muuttujat, jotka menevät ADAMSsta SIMULINKn. Kuvassa 3.7 on estetty ADAMS ohjelman kkuna, jossa muuttujan määrtykset tehdään. Kuva 3.7. SIMULINK malla varten tarvttaven muuttujen määrttely. Kuvasta 3.7 nähdään, että SIMULINK ohjelmstosta tuodaan ADAMS ohjelmstoon vääntömomentt ja ADAMS ohjelmstosta vedään SIMULINK ohjelmstoon roottorn kulmakhtyvyys ja vääntömomentt.