Lappeenrannan teknillinen yliopisto LUT Metalli Konetekniikka/Konstruktiotekniikka

Transkriptio

1 Lappeenrannan teknllnen ylopsto LUT Metall Koneteknkka/Konstruktoteknkka RASITUSTEN ÄLYKÄS SEURANTA Työn tekjä: Ins. (AMK) Elas Altarrba 1. Tarkastaja Prof. Ak Mkkola 2. Tarkastaja TkT. Kmmo Kerkkänen

2 ALKUSANAT Tämä dplomtyö on tehty Lappeenrannan teknllsen ylopston koneteknkan osaston vrtuaalsuunnttelun tutkmusryhmän professorn Ak Mkkolan tomeksannosta. Haluan kttää häntä sekä melenkntosen ahealueen tomeksannon johdosta että ernomasesta ohjauksesta, avusta ja henksestä tuesta dplomtyön työstämsen akana. Ktokset myös työn toselle tarkastajalle, TkT Kmmo Kerkkäselle, sekä vrtuaalsuunnttelun tutkmusryhmän nuoremmalle tutkjalle DI Tuomas Rantalaselle laadukkaan välpalautteen antamsesta työn prosessonnn akana. Englannnkelsen tvstelmän kelasun tarkastuksesta ktokset M.Eng. Scott Semkenlle. Ktokset myös perheellen, puolsollen Anne-Marlle ja pojallen Antonlle, mukana elämsestä ja henksestä tuesta. Lappeenrannan Sknnarlassa kello 11 vuonna Elas Altarrba

3 TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknllnen ylopsto Teknllnen tedekunta Koneteknkan koulutusohjelma Elas Altarrba Rastusten älykäs seuranta Dplomtyö svua, 4 kuvaa, 3 taulukkoa, 2 ltettä Tarkastajat: Professor Ak Mkkola TkT Kmmo Kerkkänen Hakusanat: Monkappaledynamkka, jänntys, srtymä, optmont, osarakenneteknkka, joustavat kappaleet Tässä dplomtyössä kästellään monkappalesysteemnä mallnnetun tomlatteen ta mekaansen systeemn kappalessa vakuttaven rastusten, srtymen ja jänntysten laskentamenetelmä. Työhön ssällytettyjen menetelmen valnta on toteutettu 2000-luvulla vrtuaalsuunnttelua kästtelevssä tedelehdssä julkastujen artkkelen pohjalta. Työn tarkotuksena on muodostaa krjallsuuskatsaus uusen laskentamenetelmen omnasuukssta ja metodkasta, mtä vodaan tarvttaessa soveltaa vrtuaalsuunnttelun tarpesn. Kaks esteltävstä menetelmstä on optmontmenetelmä (RBDO ja ESL). Mussa menetelmssä kästellään muun muassa venymen rekonstruonta ja hankausktkasta komponenttehn kohdstuva jänntyksä. Movng frame-menetelmässä sovelletaan kelluvan koordnaatston peraatetta, yks menetelmstä perustuu selkeäst osarakenneteknkkaan ja yhdessä kappaleden joustokäyttäytymstä mallnnetaan muotofunktoden avulla. Lsäks on kolme soveltavaa esmerkkä rastusten seurannasta teollsuuskonessa. Laskentamenetelmät ovat luonteeltaan ja sovelluskelposuudeltaan erlasa. Optmontmenetelmät ovat parhammllaan rakenteden jatkokehtystyössä, snä mssä muut menetelmät soveltuvat joko olemassa oleven rakenteden mallntamseen ta kokonaan uusen systeemen suunnttelutyökaluks. Tätä eroavuutta vodaan ptää hyvänä asana, jotta vodaan valta parhaten omn tarkotuksn soveltuva menetelmä.

4 ABSTRACT Lappeenranta Unversty of Technology Faculty of Technology Degree Programme n Mechancal Engneerng Intellgent Montorng of Stresses and Strans Master s thess pages, 4 pctures, 3 tables, 2 appendces Examners: Professor Ak Mkkola D.Sc. (Tech) Kmmo Kerkkänen Keywords: Multbody dynamcs, stress, stran, optmzaton, component mode synthess, flexble bodes New multbody system dynamcs methods for the vrtual modelng of stresses and strans are the theme of ths master s thess. The calculaton methods consdered were ntroduced by papers publshed n the 2000 s n nternatonal journals on vrtual desgn. The man objectve of ths lterature analyss s to collect nformaton about the new calculaton methods, so researchers from the vrtual desgn group of the Lappeenranta Unversty of Technology can apply t n ther work. Two of the methods consdered are clearly optmzaton methods (RBDO and ESL); another calculates stresses by the reconstructon of strans; yet another deals wth the calculaton of stresses caused by frcton. Consdered also; one method apples the theory of a movng frame, another method s applcaton of component mode synthess and one method apples the theory of shape functons. Fnally, three examples are gven of montorng stresses n ndustral machnes. Each calculaton method has unue features that make t sutable for specfc applcatons. The optmzaton methods are most approprate n the development of structures and machnes, whle the other methods can be appled to the modelng of exstng structures or as part of the process to desgn completely new systems. The dversty of the methods and ther applcatons s a beneft to the desgner, who can select from them the most approprate tool for the task at hand.

5 SISÄLLYS 1 JOHDANTO Työn tarkotus Työn rajaus Työn tavotteet ja toteutusmenetelmät 5 2 RASITUSTEN LASKENTAMENETELMIEN MATEMAATTINEN TARKASTELU ESL-optmonnn laskentaprosess RBDO-optmonnn laskentaprosess Venymen rekonstruontmenetelmän laskentaprosess Ktkan aheuttamen rastusten laskentaprosess Movng frame-laskentaprosess Laskentaprosess rastusten määrttelemseks osarakenneteknkalla Joustaven kappaleden muotofunktomallntamsen laskentaprosess Kokoonpanorobotn rastusten analysonnn soveltava esmerkk 30 3 RASITUSTEN LASKENTAMENETELMIEN OMINAISUUKSIEN KÄSITTELY ESL-optmont RBDO-optmont Venymen rekonstruontmenetelmä Ktkan aheuttamen rastusten mallnnusmenetelmä Movng frame-laskentamenetelmä Rastusten määrttämnen osarakenneteknkalla Joustaven kappaleden mallntamnen muotofunktoden avulla Soveltava robottlatteden rastusten analysontesmerkkejä LCD-näyttöjen laseja srtävän robotn analysont Kskokuljettmen pyören väsymsanalyys Kskokuljettmen rungon väsymsanalyys 60 4 PÄÄTELMÄT RASITUSTEN LASKENTAMENETELMIEN OMINAISUUKSISTA Menetelmen omnasuusmatrs Lsähuomota menetelmen omnasuukssta Menetelmen jatkokehtysmahdollsuudet 72 5 YHTEENVETO 75 LÄHDELUETTELO 78 LIITE 1 LIITE 2 ESL-laskentaprosesskaavo RBDO-laskentaprosesskaavo

6 SYMBOLILUETTELO Latnalaset aakkoset A b C C D F I K M n p Q r R t T u v Kertomatrs Suunntteluparametrvektor Jacoban-matrs Rajotevektor Vamennusmatrs Vomavektor Inertamatrs Jäykkyysmatrs Massamatrs Lukumäärä Modaalkoordnaattvektor Ylestettyjen koordnaatten vektor Vomamatrs Asemavektor Lokaaln koordnaatston asemavektor Aka Vääntömomenttvektor Partkkeln asema lokaalssa koordnaatstossa Nopeusvektor

7 Krekkalaset aakkoset Vrtuaalnen srtymä/kertymä Kertymävektor Muotomatrs Muotomatrs Theys Kulmanopeusvektor Alandekst A C V e Vakuttava voma Rajottava voma Nopeus Ylestetty voma, elastnen srtymä Lyhenteet CFD ESL FEM FORM MBS PMA RBDO RIA Computatonal flud dynamcs Euvalent statc loads Fnte element method Frst order relablty methods Multbody system Performance measure approach Relablty based desgn optmzaton Relablty ndex approach

8 1 1 JOHDANTO 1.1 Työn tarkotus 2000-luvun ensmmäsen vuoskymmenen akana Lappeenrannan teknllsen ylopston vrtuaalsuunnttelun ja monkappaledynamkan tutkmusryhmät ovat tehneet lukusa tutkmusprojekteja lttyen ertyyppsten robotten ja tomlatteden vrtuaalsuunntteluun, mallntamseen ja dynamkan smulontn /1/. Kuvassa 1 on nähtävssä esmerkk planeettapyörästöstä, mnkä suunntteluun ja omnasuuksen smulontn vodaan soveltaa monkappaledynamkkaa. Suortetusta tutkmukssta huolmatta rastusten vakutusprssä oleven robott- ja tomlatesysteemen mallntamsessa lmenee edelleen haasteta ertysest smulotaessa monmutkasa rakenteta ta nssä usen tlastollsest lmenevä väsymsvaurota. Suurmmaks ongelmaks nousee kutenkn yleensä smulonttarkkuuden ja tarvttavan laskentatehon välnen suhde, jonka optmont e ole lankaan yksselttenen asa. Kuva 1: Ravgneaux-vahtesto on dynaamnen monkappalesysteem (Ka Motors Co., K-Step)

9 2 Länsmasen teollsuuden klpalukyky perustuu enenevssä määrn teollsuus- ja kokoonpanolatoksen tuotantolnjojen kasvavaan automaatoasteeseen /2/. Tuotannossa ja kokoonpanolnjolla käytössä oleven robotten omnasuuksen on mahdollstettava tomnta suhteellsen suurella työkentällä ja tosaalta nden rakenteellnen jäykkyys on oltava rttävä, jollon ntä vodaan hyödyntää myös tarkkuutta vaatven työtehtäven suorttamsessa, kuten komponentten asentamstyössä, htsauksessa ta metalltyöstössä, sekä elektronkkateollsuuden kasvavssa tarpessa. Kokoonpanolnjojen edellyttämen työtehtäven suorttamsen akana robott on jatkuvast vuorovakutuksessa ympärstönsä kanssa. Osa vuorovakutuksesta tapahtuu ohjaajan kanssa. Ohjaaja vo olla joko hmnen ta keskusykskkö, ta monssa tapauksssa molemmat vovat toma ohjaajna. Jotta ohjausprosess votasn suorttaa mahdollsmman tarkotuksenmukasest ja samalla myös taloudellsessa melessä tehokkaast, ensarvosen tärkeää on tarjota ohjaajalle mahdollsmman reaalakanen palaute robotn ta tomlatteen valltsevasta olotlasta. Tämän palautteen tasoa parantamalla vodaan kehttää nn ohjaajan ja robotn kun robotn ja työtehtävän välstä vuorovakutusta. Tomlatteen ja ohjaajan välsen takasnkytkennän smulont on teorassa suhteellsen helppoa. Mkäl tomlate toms ana deaalsest, votasn palautetta antavan takasnkytkennän ssältämä nformaato jo suunntteluvaheessa approksmoda hyvällä tarkkuudella tomlatteen käytön optmomseks. Käytännössä deaalset robott ovat kutenkn mahdottoma toteuttaa, mnkä vuoks tomnnaltaan tarkkoja robotteja smulotaessa on huomotava myös takasnkytkentäsgnaaln kumulotuvat epätarkkuudet. Osa sgnaaln epätarkkuukssta johtuu vomalatteden, kuten hydraulkka-, pneumatkka- ja sähköjärjestelmen, tomnnan epätarkkuukssta ja tarkotuksettomsta vvestä, osa taas on peräsn tomlatteen komponentten muodonmuutokssta el deformaatosta. Mtä suurempaa tarkkuutta tomlatteelta edellytetään, stä keskesemmäks nousee käytön akana lmenevstä rastukssta seuraaven tomntaa hattaaven epätarkkuuksen huomomnen systeemä ohjattaessa. Ertysen merkttäväks ongelma kehttyy systeemessä, mtkä ssältävät suura nertavoma ja suura khtyvyyksä, ja joden tomnnan tuls kutenkn olla tarkkaa ja ykstyskohtasta. Tuollon rastukssta aheutuven systeemn kappaleden deformotumsten määrttämsestä tulee oleellnen asa jo suunntteluvaheessa systeemn vrheettömän tomnnan takaamseks. Myös systeemn kestävyyttä ertysest väsymsen suhteen arvotaessa on rastusten mallntamnen keskesellä sjalla. Tässä työssä tarkotuksena on perehtyä tarjolla olevn rastusten laskentamenetelmn, joden avulla vodaan smuloda robotten ja muden tomlatteden tomntaa tarkemmn lman, että smulontn kuluva laskenta-aka kasvas kohtuuttomaks.

10 3 1.2 Työn rajaus Robotten ja muden tomlatteden epätarkkuudet vovat johtua monsta er tekjöstä. Tässä työssä tarkotuksena on kutenkn tarkastella anoastaan dynamkasta aheutuva systeemn er komponenttehn kohdstuva rastuksa ja nden seurauksena aheutuneta muodonmuutoksa el deformaatota. Rastuksen vakutuksen smulonnlla vodaan määrttää myös rakenteen mahdollset hekot kohdat ta ylrasttumset jo suunntteluvaheessa, sekä tarkastella rakenteen käyttäytymstä mahdollsssa oletettavssa olevssa erkostlantessa. Nätä erkostlanteta ovat esmerkks yllättävä ylkuormtus ta jonkn komponentn vaurotumnen. Erkostlannesmulonnlla vodaan täten jo suunntteluvaheessa parantaa merkttäväst systeemn turvallsuutta ja kestävyyttä. Systeemn komponentten rastukslla tarkotetaan nssä vakuttava ssäsä rastuksa, jotka ovat seurausta ulkosten vomen ja dynaamsten lmöden vakutukssta. Ulkoslla vomlla tarkotetaan esmerkks panovomaa ja komponenttn kohdstuva yleensä erlasten tomlatteden aheuttama ulkosa kuormtuksa, sekä systeemn muden kappaleden tutkttavaan komponenttn nvelen vältyksllä aheuttama rastuksa. Dynaamsa lmötä ovat khtyvyyksen lsäks muun muassa nerta- ja keskpakovomen vakutukset. Kuormttaven tekjöden seurauksena kappaleeseen muodostuu ssäsä jänntyksä, jotka vovat aheuttaa kappaleessa elastsa ta plastsa srtymä valltseven jänntysten vomakkuukssta ta kappaleen materaalomnasuukssta rppuen. Deformotumslmöllä on ana vakutusta systeemn käytettävyyteen, tarkkaan ohjaamseen ja komponentten kestokään. Älykäs seuranta on kästteenä varsn laaja ja monmerktyksnen, mnkä johdosta sen tarkemp määrttely on tarpeellsta. Rastusten seurannassa seurannan älykkyys vodaan nähdä kahdesta näkökulmasta. Käytönakasena älykkäänä seurantana tarkotetaan järjestelmää, jossa mtataan käytönakasa rastuksa esmerkks venymäluskojen ta muden emprsten antureden avulla. Antureden lähettämä nformaato muunnetaan dgtaalseen muotoon, mnkä jälkeen stä käytetään yhtenä tetolähteenä, jonka perusteella systeemn elektronnen ohjanlate välttää käyttölattelle ohjaussgnaaleja ja ohjaa nän systeemn tomntaa ptäen sen turvallsella ja tarpeenmukasella tasolla. Järjestelmä mahdollstaa myös rastukssta mtatun dgtaalsen sgnaaln tallentamsen, jollon tätä nformaatota vodaan käyttää myöhemmn tetolähteenä analysotaessa esmerkks systeemn tomntahstoraa kysesen robotn ta tomlatteen tuotekehtysprosessn tarpesn. Tässä työssä rastusten emprstä seurantaa e kutenkaan kästellä kevyttä svuamsta lukuun ottamatta.

11 4 Tässä työssä älykkäällä seurannalla tarkotetaan vrtuaalmaalmassa matemaattsn mallen suortettavaa todellsten systeemen rastusten analysonta. Tarkotuksena on perehtyä uusn menetelmn, joden avulla rastuksen vomakkuutta ja nden kehttymstä vodaan smuloda mahdollsmman todenmukasest huomomalla samalla tetokoneden laskentatehon rajallsuus ja smulonnn realstsuustason tarpeenmukasuus. Smulaatoprosess mahdollstaa myös smulaaton akana lasketun rastushstoran tallentamsen myöhempää kästtelyä varten, jollon vodaan tarkastella rastusten käyttäytymstä ja lmenemstä erlasten dynaamsten kuormtusten ja muden käyttötlanteden akana. Tarvttaessa tätä smulotua rastushstoraa vodaan verrata myös emprsest mttaamalla saatuun rastushstoraan, jollon malln okeellsuus ja tarkkuus vodaan varmstaa. Systeemen dynamkan smulont toteutetaan mallntamalla rakenne monkappalesysteemnä ertysest, mkäl systeem koostuu usesta nvelllä tosnsa ltetystä komponentesta. Monkappalemallssa systeemen dynamkan mallntamnen ja mahdollsest komponentten kesknäset suuretkn kertymät vodaan laskea lman suunntteljan omaan ntutoon perustuva oletuksa ta ratkasumalleja, joden määrttelemnen tetokoneavustesessa laskennassa on erttän haastavaa, elle usessa tapauksssa jopa täysn mahdotonta. Monkappaledynamkan yhtälöden kästtely symbolsella tasolla on helppoa, nden rakenne soveltuu tetokonepohjaseen laskentaan ja monkappalemall mahdollstaa tarvttaessa myös elementtmenetelmän yhdstämsen esmerkks jonkn yksttäsen komponentn malln, mkä lsää mahdollsuuksa tavotella realstsa tuloksa ja valta laskentamenetelmä ertystarpeden mukaan. Kakk tässä työssä kästeltävät menetelmät soveltuvat tarkasteltavaks otettavan kappaleen ta systeemn smulontn sten, että kappaleen joustavuus otetaan huomoon mallnnuksessa. Tähän rajaukseen on päädytty kahdesta syystä. Ensnnäkn tomnnaltaan tarkkuutta vaatven tomlatteden ta robotten suunnttelu ja mallntamnen vaatvat yleensä kappaleden mallntamsen joustavana, jotta mahdollset dynaamset epävakaudet vodaan havata jo suunntteluvaheessa ja systeemn todellnen dynaamnen käyttäytymnen tunnettasn mahdollsmman tarkkaan. Tosaalta systeemen mallntamsessa joudutaan ana tekemään approksmaatota, joden vakutusta lopputuloksn e voda kstää, mnkä taka todellsuudessa joustaven kappaleden mallntamnen jäykknä ykstyskohtasessa suunnttelutyössä e ole melekästä. Käytännössä täysn joustavana mallnnettavasta systeemstä vo usessa tapauksssa tulla tuloksen tarkkuuteen nähden laskennallsest tarpeettoman raskas, mnkä seurauksena yleensä joustavana mallnnetaan anoastaan sellaset komponentt, jotka ovat tsessään joko ertystarkastelun kohteena ta joden joustavuudella on suur vakutus tarkasteltavana olevan systeemn käyttäytymseen.

12 5 1.3 Työn tavotteet ja toteutusmenetelmät Monkappaledynamkassa rastusten laskenta vodaan toteuttaa usella tosstaan pokkeavlla menetelmllä, joden tarkkuus, soveltamskelposuus ja laskentatehon tarve vahtelevat. Jos pohdtaan deaalsen rastusten laskentamenetelmän luonnetta, tuls menetelmän ssältää kakk rastuksn vakuttavat muuttujat, muodostuven yhtälöryhmen tuls olla mahdollsmman yksnkertasa ja nden ratkasemnen mahdollsmman tehokasta ja yksnkertasta lman suura numeersa approksmaatota. Menetelmän tuls soveltua yhtä lalla systeemen alkusuunntteluun kun olemassa oleven rakenteden optmontn ta omnasuuksen vrtuaalseen tutkmseen. Lsäks menetelmän tuls ssältää mahdollsmman vähän sarjassa tehtävä tsenäsä analyysejä ja tuloksen ols oltava laadukkata ja soveltamskelposa. Nämä ehdot täyttävää menetelmää e tostaseks ole velä kehtetty, mnkä johdosta rastuksa on laskettava erlasn tlantesn soveltuvlla ertyyppsllä menetelmllä, joden tarkkuus, soveltamskelposuus, laskentatehokkuus ja monet muut ykstyskohdat vahtelevat menetelmttän, mkä tekee menetelmän valnnasta joskus yksselttestä ja joskus haastavaa. Koska monkappaledynamkan vodaan olettaa olevan ylesest tunnettu teora /3/, e sen perusteden tarkkaa kästtelyä katsota tarpeellseks, vaan huomo kesktetään uusmpen laskentamenetelmen metodkan, luonteen ja soveltamskyvyn selvttämseen erlasten systeemen tomnnan tarkastelemseks. Näden menetelmen kartotus suortetaan tutustumalla kansanvälsten monkappaledynamkkaa kästteleven tedelehten artkkelessa vme akona tehtyhn julkasuhn, jotka kästtelevät venymen ta rastusten laskentaa systeemn komponentessa. Enssjasest tarkotuksena on etsä mahdollsmman uusa asaa kästtelevä artkkeleta vuoslta , mutta myös heman vanhemmat, luvun vahteen tenolta olevat artkkelt huomodaan tutkmusmateraalks. Rastusten älykästä seurantaa kästteleven artkkelen etsntä perustuu hakusanohn monkappaledynamkka (mbs ja multbody system), jänntykset (stress) ja venymät (stran). Vakka monkappaledynamkkaa kästtelevä artkkeleta on tedelehdssä julkastu runsaast, on rastusten älykästä seurantaa kästtelevä julkasuja huomattavast vähemmän. Hakusanojen avulla hankttu otos analysodaan tarkastelemalla artkkelen ssällön suhdetta rastusten laskentaan, mnkä perusteella valtaan tarkemmn analysotavat artkkelt. Artkkelen perusteella tarkasteltavks valttujen setsemän laskentamenetelmän esttely tapahtuu kolmessa luvussa. Menetelmen matemaattnen metodkka kästellään luvussa 2, ylestetoa menetelmen luonteesta, omnasuukssta ja soveltuvuudesta on saatavssa luvusta 3, ja lukuun 4 on koottu menetelmen tärkemmät omnasuudet ja luonteenprteet nden kesknäsen vertalun helpottamseks.

13 6 2 RASITUSTEN LASKENTAMENETELMIEN MATEMAATTINEN TARKASTELU Tässä luvussa kästellään rastusten laskentamenetelmen matemaattnen metodkka. Tarkasteltava menetelmä on setsemän kappaletta. Menetelmstä kaks on optmontmenetelmä (ESL ja RBDO), josta ESL (euvalent statc loads, luvut 2.1 ja 3.1) perustuu dynaamsten kuormtusten mallntamseen ekvvalenttena staattsna kuormtuksna ja RBDO (relablty based desgn optmzaton, luvut 2.2 ja 3.2) lähestyy optmotavaa omnasuutta systeemn tomnnan luotettavuuden näkökulmasta todennäkösyyslaskentaa apuna käyttäen. Venymen rekonstruontmenetelmässä (luvut 2.3 ja 3.3) rekonstruodaan systeemn komponentessa er kuormtusvahessa lmenevä deformaatota, joden perusteella vodaan määrttää komponentessa vakuttavat ssäset jänntykset. Ktkarastuksen mallntamsmenetelmässä (luvut 2.4 ja 3.4) tarkastellaan kappaleden välsestä hankaavasta ktkakontaktsta aheutuven vomen suuruuksa ja käyttäytymstä. Movng framelaskentamenetelmä (luvut 2.5 ja 3.5) perustuu kelluvan koordnaatston laskentametodkkaan. Kysenen menetelmä on erttän soveltamskelponen monmutkasten systeemen rastusten laskentaan. Osarakenneteknkkaan perustuvassa rastusten laskentamenetelmässä (luvut 2.6 ja 3.6) hyödynnetään moodanalyysä tarkasteltavan kappaleen joustavuuden mallntamseks. On huomotava, että moodanalyys on tok käytössä myös monessa muussakn menetelmässä sen soveltamskelposuuden vuoks. Vmesessä esteltävässä menetelmässä kappaleden joustavuus ja rastusten vakutuksesta shen muodostuvat deformaatot lasketaan muotofunktoden avulla (luvut 2.7 ja 3.7). Lsäks luvussa 2.8 kästellään soveltavan tehdasrobotn smulontesmerkn laskentametodkka. Soveltavsta esmerkestä ja nstä tehdystä havannosta on saatavssa lsätetoa luvusta 3.8.

14 7 2.1 ESL-optmonnn laskentaprosess ESL-optmonnn (euvalent statc loads) laskentaprosess /4, s / on kuvattu graafsest ltteessä 1. Prosessn aluks luodaan smulotavasta rakenteesta ta tomlatteesta monkappalemall, mnkä jälkeen valtaan systeemn optmotavat komponentt. Laskentaprosess etenee optmontprosesselle tyypllsellä slmukkaperaatteella. Ltteen 1 kuvasta vodaan havata slmukota olevan kaks kappaletta, värähtelyanalyysn ympärllä oleva ssäsykl ja koko optmontprosessn ssältävä ulkosykl. p Optmontprosess alotetaan määrttämällä optmotavaa omnasuutta kuvaavalle suunntteluparametrvektorlle b alkutlanteen arvot b ja asettamalla laskentaprosessn tostosyklen p määrä aluks nollaan yhtälön 1 /4, s. 554/ osottamalla tavalla. 0 p' 0 b b p' 0 (1) Systeemn kappaleet oletetaan optmontprosessn alussa jäykks ja systeemlle suortetaan jäykken kappaleden dynaamnen analyys. Kappaleden ssäsen vomen oletetaan vastaavan ulkosa voma. Ssäset vomat määrtellään systeemä rajottavks vomks ja nden laskentaan käytetään jäykken kappaleden lkeyhtälöä 2 (johdettu Newton-Euler) /4, s. 553/. T F ~ T 0 T A (2) A Yhtälössä 2 M on massamatrs, on asemavektor, F on vomavektor, I nertamatrs, T vääntömomenttvektor, kulmanopeusvektor ja ~ vnosymmetrnen kulmanopeusmatrs. Alandeks A määrttää voman ja momentn olevan ulkosest vakuttava. Määrteltäessä knemaattset rajotteet vrtuaalsten srtymen ja kertymen suhteen rajotematrslla C, yksnkertastuu yhtälö muotoon (yhtälö 3) /4, s. 553/ C C 0, (3) mssä C ja C ovat srtymen ja kertymen suhteen muodostettuja Jacoban-matrseja.

15 8 Systeemn dynamkka määrtellään energaperaatteella yhtälön 2 ja Lagrangen kertomen avulla. Tuollon yhtälö johdetaan muotoon (yhtälö 4) /4, s. 553/ T T T ~ T M F C I I T C 0. (4) A A Yhtälö ssältää satunnaset srtymä- ja kertymävektort. Jotta yhtälö toteutus ana, on sekä srtymä- että kertymävektoreden kertomen oltava nolla. Asetettaessa näden vektoreden sulkessa olevat kerrontermt nollks, vodaan ne kuvata yhtälöllä 5 ja 6 /4, s. 553/. M C F (5) T A I T C T ~ I (6) A Näden yhtälöden vasemmalla puolella olevat toset termt kuvaavat negatvsa rajotevoma. Jotta rajotevomen esttämnen ols havannollsempaa (yhtälöt 7 ja 8) /4, s. 554/, merktään kappaletta rajottaven vomen termä merknnällä F C ja rajottava vääntömomentteja termllä T C. M F C F F (7) A T A C I T T C I ~ T T ~ I (8) A A C Yhtälöden okeanpuoleset termt kuvaavat monkappalesysteemssä vakuttava ssäsä voma. Näden vomen osajoukko ssältää myös tarkastelun kohteeks otetussa kappaleessa vakuttaven ulkosten vomen määrttelyn. Ssäset vomat lasketaan alussa määrtellyn suunntteluparametrn b p suhteen. Mkäl vakuttaven vomen laskennan jälkeen toteutuu yhtälön 9 /4. s 554/ määrttämä ehto, vodaan optmontprosess katsoa suortetuks ja laskentaprosess päättää tähän. p n 1 p' r' p' 1 1 0, ja r (9) Yhtälössä 9 n on aka-askelten lukumäärä dynaamsessa analyysssä, p r on rajottaven reaktovomen vektor aka-askeleessa, syklssä p' ja 1 on katkasukohdaks määrtelty numeerselta suuruudeltaan rttävän pen luku.

16 9 Laskentaprosessn edellä kuvattua vahetta kutsutaan prosessn ulkosyklks, mssä määrtellään kohdekappaleden ulkoset vomat ssäsyklssä suortettavaa värähtelyanalyysä varten. Näden vomen tulee sälyä vakona ana, myös sllon kun muuttujna oleven suunntteluparametrvektoreden lukuarvoja vahdetaan optmontprosessn edetessä. Tästä eteenpän kuvataan värähtelyanalyysn perustuva prosessn ssäsykl. Laskenta-ajan säästämseks värähtelyanalyys tehdään van optmotavalle kappaleelle. Ssäsykllle asetetaan yhtälössä 10 määrtetyt alkuehdot /4, s. 554/ kuvaamaan ulkosykln tapaan ssäsykln järjestysnumeroa ja optmotavan komponentn omnasuuksa (termt erotetaan ulkosykln termestä jättämällä ndeksplkut pos). p 0 b b p p' (10) Kappaleen dynaamset omnasuudet mallnnetaan dfferentaalyhtälöllä 11 /4, s. 551/ ajan t ja suunntteluparametrvektorn b suhteen jättämällä huomomatta kappaleessa tapahtuva rakenteellnen vamenemnen. Yhtälön 11 term K on kappaleen jäykkyysmatrs ja asemavektor ylestettyjen koordnaatten suhteen. M b t Kb t Ft (11) Ekvvalentt staattset kuormtukset ratkastaan yhtälön 12 /4, s. 551/ avulla tekemällä systeemlle staattnen analyys kertomalla lneaarnen jäykkyysmatrs ja srtymävektor keskenään ja vähentämällä nden tulo ulkosten dynaamsten kuormtusten vomavektorsta K b t F t Mb t Kb t fe (12) f e t b t F M (13) mssä f e (yhtälö 13) /4, s. 551/ kuvaa ekvvalentteja staattsa kuormtuksa vektormuodossa ssältäen ulkoset vomat ja nertat kakssa vapausastessa ja määrttäen värähtelyanalyysn edellyttämät dskreett aka-askeleet. Yhtälö ratkastaan numeersest jokasta aka-askelta kohden. Nätä aka-askeleta on yhteensä h:n verran (yhtälö 14) /4, s. 551/. f b F t Mb, h 1,2 n h e h h h,..., K (14) Yhtälössä 14 n on aka-askelten lukumäärä värähtelyanalyysssä määrätyllä tarkasteluvälllä. Käytännössä h määrttelyn jälkeen h f e lasketaan kertomalla K(b) ja h keskenään.

17 10 Värähtelyanalyysn perustana on yhtälö 12 /4, s. 551/ asettamalla vektornb pakalle vektor b p. Tämän jälkeen lasketaan ekvvalentt staattset kuormtukset jokasta aka-askelta kohden yhtälöllä 14. Näden tulosten ja ekvvalentten staattsten kuormtusten perusteella vodaan suorttaa lneaarsstaattsen vasteen optmont mnmomalla vektor b funktossa F(b) yhtälöden 15 ja 16 /4, s. 551/ osottamalla tavalla b f, 1,2,..., n K (15) e, 0 j 1,2 j n j g b,...,, (16) mssä fe on ekvvalentten staattsten kuormtusten vektor ja g j on j:s rajotefunkto. Kuormtusolosuhteta on yhtä paljon kun aka-askelakn, joden määrä vo kasvaa suureks. Yhtälön 17 /4, s. 551/ määrttämen ehtojen täyttyessä staattsten vasteden optmont, el prosessn ssäsykl vodaan päättää. Mkäl yhtälö e toteudu, tehdään suunntteluparametrn tarvttava muutos ja lsätään p:n lukuarvoon luku 1. Tämän jälkeen srrytään tekemään uus värähtelyanalyys, jonka perusteella vodaan laskea ekvvalenttset staattset kuormtukset uudelleen. p p1 ja 2 bp 1 p 0, b b (17) Kun yhtälön 17 ehto täyttyy, lsätään prosessn ulkosyklen lukumäärää yhdellä p' p' 1 ja srrytään laskentaprosessssa takasn alkuun ja pävtetään koko systeemn monkappalemall laskentatulosten perusteella. Yhtälön 17 katkasukohta määrtellään muuttujalla 2, jonka arvoks valtaan tarpeeks pen lukuarvo rppuen stä, kunka tarkkoja tuloksa on tarkotus tavotella.

18 RBDO-optmonnn laskentaprosess RBDO-optmontmenetelmä (relablty based desgn optmzaton) /5, s / on optmontn soveltuva todennäkösyyslaskentaa hyväkskäyttävä menetelmä. Laskentaprosess on kuvattu graafsest ltteessä 2. RBDO-menetelmä määrtetään yhtälöllä 18 /5, s. 302/. Yhtälössä b on suunntteluparametrvektor ja X on jokasen kysesen vektorn alkoon lttyvä satunnasmuuttujavektor. bx, bx 0 t L U b bx b mn P G b,, 0, 1,..., NPC (18) Yhtälössä 18 P määrttää todennäkösyysjakauman, G on yks todennäkösyysehdosta, on kumulatvnen jakaumafunkto, kuvaa luottamusvälä ja määrttää merktsevän arvon. Yländekst L ja U määrttävät suunntteluparametrn lukualueen alarajan ja ylärajan. Sekä suunntteluparametrvektorn alkoden että kakken satunnasmuuttujen oletetaan kuuluvan reaallukujen joukkoon. Yhtälö määrttää ss valtun parametrn, esmerkks massan ta jonkn fyyssen mtan mnmomsen luotettavuuden perusteella sten, että määrtellään kappaleen vaurotumselle todennäkösyysfunkto ja asetetaan vaadtulle luotettavuudelle reunaehdot. Valttua omnasuutta ss mnmodaan ylttämättä vaurotumsen todennäkösyydelle asetettua rajaarvoa. Yhtälöstä on huomotava, että vauron todennäkösyys rppuu tekjästä G(b(X))>0. Tämä vastaa numeersest komponentn vaurotumsen todennäkösyyden theysfunkton ntegraala määrtellyssä avaruudessa yl reunaehtojen määrttämän avaruuden. Tämän ntegraaln ratkasemnen on usen haastavaa, ekä ana välttämättä edes mahdollsta. FORM-menetelmällä (frst order relablty method) vodaan tulosta kutenkn approksmoda. FORM-menetelmässä /5, s. 303/ satunnasmuuttujen joukko b(x) standardodaan normaalmuuttujavektorks (u). Mkäl jokaselle normaalmuuttujalle määrtellään erkseen theysfunkto muuttujen ollessa epäkorrelova, ntä yhdstävä theysfunkto saadaan kertomalla näden muuttujen theysfunktot keskenään, mnkä seurauksena normaalavaruudessa todennäkösyysjakauman muodoks tulee -sätenen pallo, mnkä keskpste sjatsee u-avaruuden orgossa. U-avaruudessa määrtellään myös safe/fal-reunaehdot, jotka jakavat avaruuden luotettavuuden kannalta hyväksyttävn ja hylättyhn pstejoukkohn. Todennäkösyydet vodaan ratkasta käyttämällä RIA (relablty ndex approach)-, ta PMA (performance measure approach)-menetelmä.

19 12 RIA-menetelmässä /5, s. 303/ suurmman todennäkösyyden pste etstään määrtellyn reunaehtokäyrän G(u)=0 ja todennäkösyysjakauman theysfunkton suurmman arvon kohdalta. Geometrsest tarkasteltuna tämä pste sjatsee reunaehtokäyrän ja pallon orgon välsen etäsyyden ollessa penmmllään. Tämä etäsyys lasketaan ja stä verrataan vertalukohteena määrteltyyn suurmpaan sallttuun vaurotumsen todennäkösyyttä mallntavan muodoltaan pallomasen theysfunkton säteeseen. Mkäl tämän pallon säteen ptuus on suuremp kun reunaehtokäyrän ja orgon välnen ptuus, e systeemn luotettavuus ole hyväksyttävällä tasolla. Vastakkasessa tapauksessa rttävä luotettavuustaso on saavutettu. Tosn sanoen pallon tlavuuden ntegraaln reunaehtokäyrän postvsella puolella tulee olla ana nolla, mkäl systeemn tomnnallnen luotettavuus halutaan ptää tavotetasolla. PMA-menetelmällä /5, s. 304/ suurmman todennäkösyyden pste etstään kääntesellä laskennalla. Tuollon määrtellään aluks suurn sallttu vaurotumsen todennäkösyys pallomasen theysfunktojoukon avulla. Tämän jälkeen etstään reunaehtokäyrältä pste, mkä on mahdollsmman lähellä kysesen pallon ulkopntaa mutta kutenkn safe-alueella. Tuollon vaurotumsen todennäkösyys on reunaehtojen ssäpuolella samaan akaan, kun optmotavasta omnasuudesta rppuva reunaehtokäyrä määrttää kysesen omnasuuden optmaalseks. PMA-menetelmässä /5, s. 304/ jokasen todennäkösyysreunaehdon tarkastelu alotetaan ratkasemalla yhtälön 19 /5, s. 304/ osottama epälneaarnen optmontongelma u- avaruudessa max G u t u, (19) Näden avulla ratkastaan suurmman todennäkösyyden pste ja shen lttyvät reunaehdot. Optmontmenettelyssä yhtälössä 20 /5, s. 304/ on kuvattu suuntavektor, u t u (20) u t mkä määrtellään pallon yhtälön perusteella. PMA-menetelmä vodaan tämän jälkeen suorttaa loppuun AMV-, CMV,- ta HMV-vahtoehdolla.

20 13 AMV-menetelmässä (advanced mean value) /5, s. 304/ jyrkäst kasvava suuntavektor n(u) määrtetään suurmman todennäkösyyden psteessä yhtälöllä 21 /5, s. 304/. Vektora optmodaan teratvsest kunnes rttävä lähestymnen on saavutettu. 0 k1 k uamv 0 uamv tn u k k ug u AMV n uamv k G u u AMV AMV, (21) Mkäl tarkasteltava funkto on muodoltaan kovera, AMV-menetelmä lähestyy tavotearvoa htaast ta pahmmassa tapauksessa funkto dvergo. Koveren funktoden tapauksessa käytetään CMV-menetelmää (conjugate mean value) /5, s. 304/. Tässä menetelmässä k k 1 k valtaan teronnelle jyrkmmn kasvava suunta kolmen termn nu CMV nu CMV ja nu CMV 2, lneaarkombnaaton avulla. Menetelmä määrtetään yhtälöllä 22 ja 23 /5, s. 304/ u 0 CMV u k 1 CMV , ucmv uamv, ucmv uamv, k k 1 k2 nucmv nucmv nucmv t kun k 2 k k 1 k2 nu nu nu CMV CMV CMV (22) mssä k n u CMV k ug ucmv. (23) k G u u CMV CMV-menetelmä on AMV-menetelmään nähden ylvertanen suppeneven ja stablen koveren funktoden laskentaan, mutta kuperlle funktolle se on tehoton ja epäluotettava. HMV-menetelmä /5, s. 304/ yhdstää AMV- ja CMV-menetelmät. Menetelmässä määrtellään aluks funkton pnnan muoto. Tämä tapahtuu funkton jyrkäst kasvavaan suuntaan laskettavalla kolmella peräkkäsellä teraatolla yhtälön 24 /5, s. 304/ osottamalla tavalla. k1 k1 k k k 1 n n n n (24) k 1 sgn 0 nn funkto k 1 u 0 on kovera b (X ) : n suhteen HMV k 1 sgn 0 nn funkto k1 u 0 on kupera b (X ) : n suhteen HMV Kun kohdefunkton tyypp on selvtetty, valtaan lähestymstapa funkton tyypn mukaan (AMV ta CMV).

21 Venymen rekonstruontmenetelmän laskentaprosess Venymen rekonstruontmenetelmässä systeemstä luodun monkappalemalln kappalesn fokusodaan vasteta systeemn lkeyhtälöden perusteella. Menetelmässä käytetään hyväks kappaleen fyyssen solmukoordnaatten transformaatota modaalkoordnaateks muotomatrsn avulla. Tarkotuksena on luoda mall srtymä/venymäkentästä, jonka perusteella vodaan elementtmenetelmää apuna käyttäen laskea kappaleessa vakuttavat jänntykset suhteellsen tarkast. Vamentamaton lneaarnen systeem vodaan kuvata yhtälöllä 25 /6/ t Kt Ft M (25) mssä M on kappaleen massamatrs, K jäykkyysmatrs, (t) on akarppuvanen n- kappaletta vapausasteta ssältävä tarkasteltavan psteen asemavektor ja F(t) on ylestettyjen akarppuvasten kuormtusten vomavektor. Yhtälön fyysset solmukoordnaatt transformodaan modaalkoordnaateks muotomatrsn avulla yhtälössä 26 /6/ ( t) p( t), (26) mssä p(t) määrttää modaalkoordnaatt ja matrs ssältää n-kappaletta systeemn omnasvektoreta. Vastaavalla peraatteella kuormtukset määrtetään yhtälössä 27 /6/ t F( t), (27) jollon ylestetyt lkeyhtälöt redusodaan yhtälön 28 /6/ osottamaan muotoon t 2 p t t p. (28) Systeemn aheuttama vaste ja rastusten modaalkomponentt ratkastaan Fourern sarjalla tarkasteltavan kappaleen omnastaajuuden f w suhteen. Nän yhtälöt muuntuvat yhtälöden 29 ja 30 /6/ osottamaan muotoon p M t p0pj jfwtrjsn jfwt j1 cos (29) M t 0j jfwtjsn jfwt j1 cos. (30)

22 15 Systeemlle tehtyjen emprsten mttauksen tulokset saadaan vertalukelposks krjottamalla ne yhtälön 31 /6/ osottamaan muotoon e M t e0ej jfwtkjsn jfwt j1 cos. (31) Tätä algortma vodaan soveltaa monssa ertyyppsssä tapauksssa venymen lsäks. Mttausten ja ylestettyjen koordnaatten suhde määrtetään matrsn B ja stä Moore- Penrosen säännöllä luodun kääntesmatrsn e t pt pt B et B avulla yhtälössä 32 /6/ B,. (32) Matrs B määrtellään tehtyjen mttausten perusteella. Esmerkks, mkäl muuttujavektor e määrttää mtatun venymän suuruutta psteessä x, y, nn B j kuvaa modaalvenymää j psteessä. Yhtälöden 29, 30, 31 ja 32 /6/ perusteella johdetaan yhtälöden 33, 34 ja 35 /6/ algebraalset korrelaatot rastusten Fourern komponentten ja pakallsten venymen vällle. 2 B 0 0 e dag (33) j f e, j 1,2 n j dag w B j,..., (34) j f k, j 1,2 n j dag w B j,..., (35) Tarkastelun lopputuloksen kannalta oleellsa ovat van mttausakahstoran Fourern komponentt. Yhtälöden 33, 34 ja 35 perusteella määrtellään ekvvalentt kuormtusvektor (yhtälö 36) /6/, mkäl mtattujen vasteden akasdonnaset Fourern komponentt ovat suuruudeltaan lähellä modaalrastusten Fourern komponentteja. F t t M (36) Tämän menetelmän etuna on, että systeemn täydellsen rastusjakauman selvttämnen e ole tarpeellsta ja lsäks monet ulkossta vomsta vodaan määrttää modaalkuormtusten ja dynaamsen vasteen rekonstruonnn avulla.

23 Ktkan aheuttamen rastusten laskentaprosess Tässä luvussa kästellään monkappalesysteemn kahden komponentn fyyssen kontaktn seurauksena syntyvän ktkavoman aheuttamen komponentten ssästen rastusten mallntamsta /7, s /. Ktkavoman vakutuksen laskenta alotetaan määrttämällä jäykken kappaleden lkeyhtälöryhmä 37 /7, s. 206/ globaalen koordnaatten suhteen olettaen aluks ktkan vakutuksen olevan nolla. M v 0 T C, tq, v, t C, t0 (37) Yhtälöryhmässä 37 on Lagrangen reaktovomen kertomen vektor, on asemavektor ylestettyjen koordnaatten suhteen, v on nopeusvektor, C on Jacoban-matrs, M on massamatrs ja Q on vomavektor. Integromalla yhtälöryhmä saadaan staattset ja dynaamset vomat er muuttujks määrttävä yhtälöpar 38 /7, s. 207/ T M CQe Q C,t0 mssä merkntä V, (38) Q V osottaa ktkavoman rppuvuuden eksplsttsest Lagrangen kertomsta. Alandekst e ja V merktsevät ylestettyä vomaa ja nopeutta. Ktkavoman oletetaan olevan kappaleeseen vakuttava ulkonen voma, joka muodostaa vomaparn kappaleeseen muodostuvan ktkan vastevoman kanssa. Mkäl kneettnen ktka määrtetään ulkoseks vomaks, vodaan staattnen ktka nähdä olevan seurausta systeemn rajottesta, jollon yhtälöt vodaan johtaa yhtälöryhmän 39 /7, s. 207/ osottamaan muotoon M T C T C Q Q, V C 0 C V V 0 e V V. (39) Yhtälöryhmässä 39 yhtälöparn 38 on lsätty systeemn rajottesta muodostuva staattsen ktkan vakutus. Yhtälöryhmässä V kerron lttyy staattsen ktkan reunaehtohn. Tämä yhtälö lausutaan matrsmuodossa yhtälönä 40 /7, s. 207/. M C T C Qe Q 0 QC V, mssä C C C V ja V (40)

24 17 Ktkavoman ja sen muodostaman vasteen ollessa määrtelty lasketaan kappaleessa tämän vomaparn seurauksena vakuttavat jänntykset. Jänntysten laskenta lähtee olettamalla kappaleden deformaatot vähäsks ja määrttämällä lkeyhtälöt referensskoordnaatston suhteen yhtälön 41 /7, s. 209/ osottamalla tavalla Q Q Q Q p p p T p V V p e e r r r pp pr rp rr r C K D M M M M , (41) mssä T C on Lagrangen kertomlla kerrottu reaktovomavektor, e Q on joustavaan kappaleeseen kohdstuven ulkosten vomen vektor ja V Q on keskpakovomen summavektor ajan ja koordnaatston suhteen. Vapausasteden vähentämseks johdetaan yhtälö 41 yhtälöks 42 /7, s. 209/ Q Q Q Q p p T p T T R p V T r V p e T r e r r pr T rp rr C C K D I M M M p r, (42) mssä vamennusta kuvaava matrs D vodaan määrttää dfferentaalsest osarakenneteknkalla.

25 Movng frame-laskentaprosess Movng frame-menetelmää /8, s / vodaan soveltaa monmutkastenkn systeemen dynamkan analysontn laskentatulosten ollessa laadukkata ja luotettava. Menetelmän esttely alotetaan määrttämällä satunnasen psteen asema tarkasteltavassa kappaleessa globaaln koordnaatston suhteen yhtälöllä 43 /8, s. 149/ r P o f R A u u, (43) mssä u o määrttää psteen aseman ennen deformotumsta ja u f psteen aseman deformotumsen tapahduttua. Molemmat psteet määrtellään lokaaln koordnaatston suhteen. R on lokaaln koordnaatston asemavektor ja A kertymämatrs. Elementtmenetelmässä vastaava elastnen srtymä lausutaan yhtälöllä 44 /8, s. 150/ u N, (44) f u e mssä N kuvaa nterpolotua muotofunktomatrsa ja vektor u e määrttää solmujen elastset srtymät. Sjottamalla yhtälö 44 yhtälöön 43 lausutaan satunnasen psteen asema yhtälöllä 45 /8, s. 150/. r P o e R A u Nu (45) Dervomalla yhtälö 45 ajan suhteen saadaan solmusrtymen nopeuden määrttävä yhtälö 46 /8, s. 150/ r Nv, (46) P mssä vektor v on solmusrtymen nopeusvektor. Solmusrtymen ollessa tunnettuja määrtetään yhtälössä 47 /8, s. 150/ joustavan kappaleen kneettnen energa E KIN 1 2 v r T r 1 T T 1 T P Pdm v N Nvdm v MFEMv, (47) 2 2 v mssä MFEM on elementtmenetelmällä laskettu massamatrs.

26 19 Dfferentomalla yhtälö 45 ja ratkasemalla se nopeuden suhteen saadaan yhtälö 48 /8, s. 150/ u 0 ue Au e v R A (48) ja määrttämällä matrsn A sarakkena olevat ykskkövektort a, b ja c muodostetaan yhtälö 49 /8, s. 151/ v v v 1 11 Ia 12 Ia 13 IA 0 n Ia Ian 1 I an2 I an3 I 0 R a b c u e1, (49) A u e n mssä n on kappaleen solmujen lukumäärä ja I on 3x3-tyyppnen matrs, jonka alandekst määrtellään yhtälöparven 50 avulla /8, s. 151/. a a 11 n1 uox1 uex1; a12 uoy1 uey1; a13 uoz1 uez1; uoxn uexn; an2 uoyn ueyn; an3 uozn uezn; (50) Elastset srtymät vodaan esttää staattsten ja dynaamsten mooden superpostona (yhtälö 51) /8, s. 150/ n s nd e 1 j 1 u, (51) j j mssä n s ja n d ovat staattsten ja dynaamsten mooden numerota, määrttää staattset moodt, nden ampltudt, j määrttää dynaamset moodt ja j nden ampltudt. Joustolmön muuttuja ovat ss staattset ja dynaamset moodt, el tarkemmn sanottuna lokaaln koordnaatston orgon R sjant, kolme lokaala koordnaattaksela määrttävää ortogonaalsta ykskkövektora a, b ja c, ja dynaamsten ja staattsten mooden ampltudt.

27 20 Sjottamalla yhtälö (51) yhtälöön (49) saadaan matrsyhtälö 52 /8, s. 151/ v I I b11 bn1 I I b12 bn2 I I b13 bn3 I I A A 1 1 n 1 A A 1 ns n ns A A 1 1 n 1 A A 1 nd n nd R a b c 1 B ns 1 nd (52) mssä r ssältää staattsen moodn solmussa r, s j ssältää dynaamsen moodn j solmussa s, ja alandeksen tehdyt määrttelyt on nähtävssä yhtälössä 53, 54, 55, 56, 57 ja 58 /8, s. 152/. ns nd 11 uox1 x1 jx1 j 1 j1 b (53) ns nd 12 uoy1y1 jy1 j 1 j1 b (54) ns nd 13 uoz1 z1 jz1 j 1 j1 b (55) ns b u (56) n1 o xn xn 1 ns nd j 1 yn yn 1 nd j 1 jxn j b u (57) n2 o ns znzn 1 nd j1 jyn j b u (58) n3 o jzn j

28 21 Yhtälössä 52 vektor määrttää kappaleen nopeuden. Sjottamalla tämä vektor energayhtälössä nopeusvektorn v pakalle saadaan kneettsen energan yhtälö johdettua yhtälössä 59 /8, s. 152/ osotettuun muotoon E KIN 1 T T 1 B M B T M FEM (59) 2 2 ja joustavan kappaleen massamatrs lausutaan yhtälönä 60 /8, s. 152/. T M B M B (60) FEM Lagrangen yhtälöä soveltamalla yhtälöstä 59 johdetaan nopeusvektorn suhteen nertavomen yhtälö 61 /8, s. 152/. Q V T B M B (61) FEM Yhtälössä 60 ja 61 määrtellyt nertavomat ovat huomattavast helpompa ratkasta kun esmerkks yhtälöstä 52. Monkappalesysteemn lkeyhtälöt lausutaan Lagrangen kertomen avulla yhtälönä 62 /8, s. 153/ M C C C Q Q, (62) T T V e mssä C on rajoteyhtälöden Jacoban-matrs, on rangastusvomakerron, C on rajotevektor, on Lagrangen kertomet ja Q on nopeukssta rppuvat nertavomat. Lagrangen kertomet määrtetään yhtälössä 63 /8, s. 153/ osotetussa terontprosessssa (mssä alandeks merktsee aka-askelta) C, 01,, 2,..., (63) 1 1 mssä 0 oletetaan denttseks edellsellä aka-askeleella määrtellyn termn suhteen. Integront suortetaan soveltamalla mplsttstä yksaskel-trapetsodsääntöä. Nopeuksen ja khtyvyyksen dfferenssyhtälöt 64 ja 65 /8, s. 153/ ovat muotoa n 2 n n mssä ˆ 2 n n 1 1, n (64) t t 4 n n n mssä ˆ 4 4 n n 1 1, n n. (65) 2 2 t t t

29 22 Dynaamnen tasapano saavutetaan aka-askeleella n+1 sjottamalla dfferenssyhtälöt 64 ja 65 lkeyhtälöön 62, jollon muodostuu yhtälö 66 /8, s. 153/. 0 ˆ n n e V n n T n n t Q Q C M C M (66) Kertomalla yhtälö 66 termllä 4 2 t saadaan yhtälö 67 /8, s. 153/ 0 ˆ n n e V n n T n n t t t Q Q C M C M, (67) mkä vodaan lausua symbolsest yhtälönä 68 /8, s. 153/ 0 1 n f. (68) Tämä epälneaarnen systeem (yhtälö 69) ratkastaan Newton-Raphson-menetelmällä /8, s. 154/ 1 f f, (69) mstä muodostuva jäännösvektor määrtetään yhtälössä 70 /8, s. 154/ e V T T t Q Q C f C C M 4 2 (70) ja approksmotu tangenttmatrs yhtälössä 71 /8, s. 154/ K C C D M T 2 4 t 2 t f, (71) mssä matrst D ja K määrttävät systeemn vamennus- ja jäykkyysvomat.

30 23 Newton-Raphson-ntegronnlla laskettujen nopeuksen ja khtyvyyksen sevennetyt termt ja vodaan lausua yhtälöllä 72 /8, s. 154/ ja 73 /8, s. 155/ t T 2 2 T 2 4 t 4 t 2 t 4 t 2 t C C K D M K C C D M (72) nopeukslle ja t T T t t t t t C C C K D M K C C D M (73) khtyvyykslle.

31 Laskentaprosess rastusten määrttelemseks osarakenneteknkalla Osarakenneteknkkaan perustuvan menetelmän lähtökohtana ovat tarkasteltavan monkappalesysteemn lkeyhtälöt, jotka ntegromalla johdetaan materaaln elastsa omnasuuksa määrttävks Eulern-Lagrangen yhtälöks /9, s /. Joustavuuden mallntamnen toteutetaan moodanalyysllä. Kappaleden deformaatot vodaan määrttää srtymävektorlla u, mkä vodaan määrttää modaalmatrsn ja ylestettyjen koordnaatten avulla yhtälössä 74 /9, s. 635/ u c t c t,, (74) mssä c on massapsteen aseman sjant. Mooden srtymät kuvataan moodettan yhtälöllä 75 /9, s. 635/ /10/ u u u B I C 0 p N p C N V p, (75) mssä fyskaalset koordnaatt arvodaan dskreetn srtymävektorn u avulla ja ne ratkastaan kertomalla modaalmatrs modaalvektorlla p, jollon samalla saadaan uus ylestettyjen koordnaatten systeem. Yhtälön 75 alandeksestä B merktsee rajotetta, N vapausasteden lukumäärää ja I ssäsä vapausasteta. Matrs C määrttää staattset korjausmoodt ja matrs N normaalmoodt. Van p-mooden joukko selvtetään laskemalla. Joustavan kappaleen lkeyhtälö modaalkoordnaatten suhteen määrtetään yhtälössä 76 /9, s. 635/. Analyysä yksnkertastetaan ortonormalsonnlla. Mp Kp f (76) m m BB NB m m BN NN p B kbb p I 0 0 pb fb knn pi fi (77) Nän modaalmatrs dagonalsotuu, jollon joustavan kappaleen vapaata olemusta ja elastsa deformaatota mallnnetaan samalla matrslla. Sjottamalla kuvaamaan modaalmatrsen srtymä, S ortonormalsotua transformaatomatrsa ja uutta ylestettyjen koordnaatten systeemä, vodaan srtymät lausua yhtälön 78 osottamalla tavalla /9, s. 635/ u ' S'. (78)

32 25 Systeemn tasapanotla nertavomen suhteen rppuu khtyvyyksen kesknäsestä suhteesta panopsteeseen nähden, mnkä perusteella vodaan kappaleen jänntykset ja venymät ratkasta, vakka kappaleen absoluuttnen asema olskn epäselvä. Tuollon kakk vomakomponentt a F t ja momenttkomponentt a F r asetetaan nertavomen suhteen tasapanoon khtyvyyskentässä a, (yhtälö 79) /9, s. 638/ I I t ar I I at dv 0 Fa R a r RdV t r F,, (79) a 0 V V mssä R on komponentn lokaaln koordnaatston asemavektor globaaln koordnaatston suhteen ja materaaln theys. Systeemn tasapanoehto määrtetään yhtälössä 80 /9, s. 638/ I I F a 0 F M a 0 a t M,, (80) t t a r r r mssä Mt on koko elementtmalln massatensor ja I t I r Mr on massamomentten ja nertamomentten tensor. Khtyvyysvektort a ja a vodaan määrttää näden perusteella ja laskea venymäkentän srtymät m / m suuruudet., jollon havataan maksmvenymäalueden sjannt ja Venymävektor määrtetään osttasdervomalla srtymäkenttä (yhtälöt 81 ja 82) /9, s. 639/ T 13 2 (81) L 1 L, (82) 2 mssä L1ja L2 ovat muotofunktoon lttyvä lneaarsest rppuva matrseja. Jänntysvektor määrtetään yhtälöllä 83 ja 84 Hooken laka soveltamalla (olettaen materaalomnasuudet homogeensest lneaarselastsks sotrooppsks materaaleks) /9, s. 639/. T (83) n H (84)

33 26 Yhtälö 85 määrtetään yhtälöden 83 ja 84 perusteella /9, s. 639/. c E c (85) Tämä yhtälö yhdstää muotomatrsn srtymät ja kertymät sekä jänntykset ja venymät matrsn E, mkä on luonteeltaan lneaarnen dfferentaaloperaattor. Jänntysten ja venymen lnkttämnen uuteen muotomatrsn srtymäkentän määrttämseen käytettyjen ylestettyjen koordnaatten avulla tapahtuu yhtälöllä 86 /9, s. 639/. c t c t, (86) Venymät määrtellään modaalmenetelmällä lneaarkombnaatomuotona, mtkä yhdstävät tunnetut kertomet modaalkoordnaatten yhteydessä estettyhn akarppuvasn arvohn. Osarakenneteknkassa vodaan yhtälötä 74, 75 ja 86 johtaa kuvaamaan yhtälöparn 87 suhteta /9, s. 642/ p r 2, (87) Sr mssä modaalmatrs syntetsodaan lmentämään samalla jänntystermä ja 2 saadaan käyttämällä transformaatota S ortonormalsomaan srtymämoodt jänntysten muotomatrsks 1 /10/.

34 Joustaven kappaleden muotofunktomallntamsen laskentaprosess Kappaleessa tapahtuneden deformaatoden määrttämseks ajan funktona vodaan kappaleen asema- ja nopeusmuuttujat esttää lokaaln kelluvan koordnaatston suhteen yhtälöllä 88 /11, s. 363/ hyödyntäen Rtzn approksmaatomenetelmää. I t u t ja u t u t I j I I, j 12,,..., n. u (88) I I j u Mallnnettaessa jäykkä kappaleta n u 6, joustaven kappaleden tapauksessa n u 6. Referensslke (yhtälö 89) /11, s. 367/ ja deformaatot (yhtälö 90) /11, s. 367/ määrtetään kappaleen referensskoordnaatston suhteen omnasmuotomatrsen ja avulla u ref def R t R t, (89) R t R t, (90) mssä t, k 1, 2 n t,...,. (91) k Yhtälön määrttämä kappaleen asema ja nopeus lausutaan yhtälössä 92 ja 93 /11, s. 367/ t t t R ui t ui j ta (92) u II t u II j t t t v, (93) t mssä alandeks j 12,,..., n, n 6 n. u u Yhtälössä 92 ja 93 R on kelluvan koordnaatston asemavektor, A koordnaatston kertymämatrs ja solmupsteen k asemavektor ylestettyjen koordnaatten suhteen. Vastaavast v on koordnaatston nopeusvektor, kertymän kulmanopeusvektor ja solmupsteen k nopeusvektor ylestettyjen koordnaatten suhteen.

35 28 Näden muuttujen perusteella vodaan lkkeen knematkka määrttää matrsyhtälönä 94 /11, s. 367/ I U ui ui I (94) u mssä k, ~ A u R 0 U 0 Ur 0, (95) k, 0 0 A u mssä U r on kulmanopeudesta ja kertymän akadervaatosta rppuva 3x3-matrs. Knematkkayhtälöden perusteella määrtetään kappaleen dynamkkaa kuvaavat yhtälöt. Dynamkan rajotteta määrttävät yhtälöt jaetaan kahteen joukkoon. Ensmmäsessä joukossa on kappaleden mallen määrttelyyn ertysn analyysen luodut yhtälötyypt, toseen joukkoon kuuluvat kappaleen solmujen ja nvelten välset vuorovakutusrajotteet. Eksplsttsest ensmmäsen joukon määrttämät rajotteet kakken psteden srtymäkentässä rppuvat yhtälöden 92 ja 93 muuttujsta. Tosen joukon antamat rajotteet ovat seurausta van nvelstä ja nden eksplsttsestä muodosta mtkä estetään yhtälöden 92 ja 93 redundanttsna muuttujna. Systeemn lkeyhtälöt dervomalla saadaan vrtuaalsen tehon yhtälö 96 /11, s. 368/ kappaleen nopeuksen suhteen n 1 T P u M u F F, (96) I I I I A C mssä muuttuja lasketusta nopeukssta on rajotevomen vektor. u II määrttää vrtuaalset nopeudet ylestettyjen koordnaatten suhteen u II, M on massamatrs, F A on vakuttaven vomen vektor ja F C

36 29 Kappaleeseen vakuttavat vomat määrtellään summayhtälön 97 /11, s. 369/ perusteella F A W G e p f F F F F F, (97) mssä alandeks W merktsee nertavoma referensslkkeen kulmanopeuden suhteen, G gravtaatovakutusta, e elastssta deformaatosta muodostuva ssäsä voma, p jänntyksstä muodostuva ulkosa pntavoma, ja f vomaelementestä solmussa k, syntyvä ylestettyjä voma, mtkä ovat seurausta psteeseen vakuttavan resultanttvoman ja momentn yhtesvakutuksesta. Yhtälön 96 massamatrs määrtellään yhtälön 98 /11, s. 369/ mukasest M M M M uu u eu M M e k sym. m A m c Mee Cu, u I C sym., (98) M e mssä alandekst u ja määrttävät muuttujan referensslkkeen srtymen ja kertymen suhteen ja e merktsee elastsa deformaatota. Matrs c määrttää kelluvan koordnaatston asemavektorn kappaleen panopsteen suhteen, M e määrttää ylestetyt massat nopeuksen suhteen, Cu ja C ovat matrseja, jotka muodostavat yhteyden referensslkkeen ja deformaatoden vällle. Näden matrsen avulla vodaan laskea kappaleessa vakuttaven momentten vakutus kappaleen referensslkkeeseen ja deformaatohn. Momentten suuruusluokka kelluvan koordnaatston suhteen tapahtuneden deformaatoden perusteella määrtetään yhtälöllä 99 ja 100 /11, s. 370/. Tln Cu (99) T (100) ang C

37 Kokoonpanorobotn rastusten analysonnn soveltava esmerkk Systeemn komponentten joustavuuden mallntamnen vodaan toteuttaa kelluvan koordnaatston menetelmällä ja osarakenneteknkalla. Joustavuuden mallntamsen yks perusongelma on suur ylestettyjen koordnaatten määrä, mnkä seurauksena laskentaprosesssta tulee helpost raskas ertysest, mkäl tarkasteltava systeem on kokoluokaltaan suur. Ylestettyjen koordnaatten määrän vähentämseks mallnnetaan kappale osarakenneteknkalla ja sovelletaan modaalkoordnaatteja. Käytettävä moodeja on kahdenlasa, normaalmoodeja ja staattsa moodeja. Kakk käytettävät moodt normalsodaan ortogonalsonnn mahdollstamseks, jollon päästään eroon vapausasteden rstvakutukssta. Laskentamenetelmä on estetty prosesskaavona taulukossa 1 svulla 32. Koska tarkotus on laskea systeemssä tapahtuva srtymä, nmetään tarkasteltavan kappaleen satunnanen pste psteeks p. Tämän jälkeen kysenen joustava komponentt dskretsodaan suurella määrällä elementtejä ja komponentsta valtun tarkasteltavan psteen p asema määrtellään globaaln koordnaatston suhteen yhtälöllä 101 /12, s. 724/ r p o f R A u R A u u, (101) mssä u 0 on psteen p alkuasemaa kuvaava vektor ja u f on deformaaton suuruutta kuvaava srtymävektor lokaaln koordnaatston suhteen. Vektor R määrttää lokaaln koordnaatston aseman ja A on lokaaln koordnaatston kertymämatrs. Srtymävektorn suuruutta approksmodaan deformaatomooden lneaarkombnaatolla yhtälössä 102 /12, s. 724/ f n u, (102) j 1 j j mssä x, y, z t, (103) r on modaalmatrs ja j on stä vastaava deformaatomood, on modaalvektor, j modaalkoordnaatt ja n määrttää modaalkoordnaatten lukumäärän. Deformaatomoodt vovat olla normaalmoodeja, staattsa moodeja ta normaalen ja staattsten mooden yhdstelmä. Käytettyjen mooden tulee kutenkn olla lneaarsest rppumattoma tosstaan.