Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 009 Jukka Maalamp LUENTO 3

2 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä vaat, että kappaleen ja alustan välnen lepoktka on rttävän suur. Kun kappale e lu, massakeskpste etenee yhden pyörähdyksen akana tarkast ympärysmtan ptusen matkan: x R Jaetaan yhtälö kerrosajalla T: x v R T T Vermsehto: v R Vervän sylntern akseln rata on suora, kehäpsteen rata syklod. Vermsessä pätee ana tämä yhteys etenemslkkeen ja pyörmslkkeen nopeuksen välllä.

3 Vermsehdon kaltanen ehto tulee käyttöön myös, kun tarkastellaan esm väkpyören kautta kulkeva köysä ta lankoja. Yleensä vo olettaa, että köys kertää väkpyörän ympär lukumatta. Sllon köyden ja sen päässä olevan kappaleen nopeus on sam kun väkpyörän kehäpsteen nopeus: v köys v kpl v kehä R Kappaleen khtyvyys vodaan esttää väkpyörän kulmakhtyvyyden avulla: a kpl R

4 Kuvassa on vervä kappale prretty xykoordnaatstoon. Massapsteen pakkavektor vodaan esttää summana r r r, rel r r r, rel massapsteen pakkavektor massakeskpsteen pakkavektor massapsteen pakka massakeskpsteen suhteen Ottamalla akadervaatta saadaan massapsteen nopeudeks v v v, rel Tarkastellaan kehän pstettä, joka koskettaa alustaa. Sen nopeus CM:n suhteen on v,rel = - R, koska se lkkuu R-sätestä ympyrärataa kulmanopeudella. Tosaalta vermslkkeessä v = R, joten alustaa koskettava kehän pste on hetkellsest levossa. Tätä lukumatta vermnen juur tarkottaa: kosketuspste e lku alustan suhteen. Etenemslke + pyörmslke = kokonaslke

5 Vermnen on hetkellstä pyörmstä alustan ja kappaleen kosketuskohdan P ympär. CM:n nopeus R on juur se, mkä etäsyydellä R pyörmsakselsta kulmanopeudella kertävän kappaleen ratanopeuden tulee ollakn, samon kappaleen ylmmän psteen nopeus R on etäsyydellä R kertävän kappaleen okea ratanopeus. Hetkellsest kappaleen koko lke on pyörmslkettä psteen P suhteen. Lke-energa on K 1 K rot P n suhteen I P : Htausmomentt saadaan Stenern säännön avulla: I P I MR Koska R = v, saamme estettyä vervän kappaleen lke-energan muodossa K rollng 1 I 1 Mv K rot K Vervän kappaleen lke vodaan jakaa massakeskpsteen lkkeeseen (lke-energa K ) ja massakeskpsteen ympär tapahtuvaan pyörmslkkeeseen (lke-energa K rot ).

6 Vervät kappaleet kaltevalla pnnalla Tarkastellaan kolmea lukumatta vervää kappaletta ja ktkatta lukuvaa hukkasta kaltevalla tasolla (ks kuva). Massat samat (M), samon verven säteet (R). Mllä kappalesta on suurn nopeus tason alareunassa? Energaperaate: 1 1 I Mv 1 v ( cmr )( ) R Mgh 1 Mv el 1 M ( 1 c) v Mgh Htausmomentt CM:n suhteen: I = cmr Rengas c = 1 Sylnter c = ½ Umppallo c = /5 Hukkanen c = 0 Tästä saadaan loppunopeudelle ja vakokhtyvyydelle v gh 1 c a a 1 c partcle Johda! Vervän kappaleen khtyvyys on penemp kun lukuvan kappaleen.

7 Pyörmslkkeen vektorestys Tähän ast olemme lmasseet esmerkks pyörmsen suunnan kulmanopeuden etumerkllä. Nyt määrttelemme kulmanopeusvektorn Vektrorn suuruus on kappaleen kulmanopeus el =. Vektorn suunta määräytyy kappaleen pyörmsssuunasta okean käden säännöllä. Vääntömomentt vodaan esttää voman vakutuspsteen pakkavektorn r ja vomavektorn F rsttulona: r F

8 Lkemäärämomentt el pyörmsmäärä Lkemäärämomentt on vektorsuure, suunta nähdään okeankäden säännöllä. Rppuu psteestä, jonka suhteen vektor otetaan. r On kohtsuorassa lketasoa vasten. Lkemäärän vastne pyörmslkkeessä.

9 Ympyrälke xy-tasossa: lkemäärä ja radan keskpsteestä prretty pakkavektor kohtsuorassa tosaan vasten. Pyörmsmäärä on z-akseln suunnassa, ja sen suuruus on Lz mrv t Suunta on +z-akseln suunta, jos lke tapahtuu myötäpävään (L z > 0), ja z-akseln suuntaan, jos lke tapahtuu vastapävään (L z < 0). Etenemslkkeessä (Newton II lak) dp F net dt Pyörmslkkeessä on vastaava yhteys vääntömomentn ja pyörmsmäärän välllä: dl d dr dp ( r p) p r dt dt dt dt v p r F net 0 net Vääntömomentt aheuttaa pyörmsmäärän muutoksen dl dt net

10 Monen kappaleen systeemn kokonaspyörmsmäärä saadaan summana L L Systeemn kappalesn vakuttava kokonasvääntömomentt ahettaa kokonaspyörmsmäärän muuttumsen: Nettovääntömomentt aheutuu kokonaan systeemn ulkoapän vakuttavsta vomsta. Ssästen vomen vääntömomentt kumoutuvat parettan Newtonn III lan seurauksena. xy-tasossa oleva äärmmäsen ohut pappale (dealsaato) L L ( m r ) I Tämä e päde e-ohulle kappalelle ylesest, koska pakkavektrolla on komponentt myös z-suunnassa. Jos pyörmnen tapahtuu kappaleen symmetra-akseln suhteen, näden vakutus kumoutuu. Symmetra-akseln suhteen tapahtuvassa pyörmsessä L I

11 Pyörmsmäärän sälymnen Erstetyn systeemn (ulkonen nettovoma = 0) pyörmsmäärä sälyy. Jos pyörmnen tapahtuu symmetra-akseln ympär, htausmomentn penenemnen kasvattaa vastaavast pyörmsnopeutta.

12 Prekessolke

13 Two buckets spn around n a horzontal crcle on frctonless bearngs. Suddenly, t starts to ran. As a result, A. The buckets speed up because the potental energy of the ran s transformed nto knetc energy. B. The buckets contnue to rotate at constant angular velocty because the ran s fallng vertcally whle the buckets move n a horzontal plane. C. The buckets slow down because the angular momentum of the bucket + ran system s conserved. D. The buckets contnue to rotate at constant angular velocty because the total mechancal energy of the bucket + ran system s conserved. E. None of the above.