AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

Transkriptio

1 Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä.

2 Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten potenssien osmäärä j noll eksponentti Potenssin potenssi.... Negtiivinen eksponentti.... Tulon potenssi Osmäärän potenssi.... Kymmenpotenssimuoto Potenssej lskimell Lukujärjestelmät* Lusekkeit Polynomi.... Termien yhdistäminen j järjestäminen.... Polynomien yhteen- j vähennyslsku Monomin kertominen monomill Polynomin kertominen monomill Polynomin kertominen polynomill Kertustehtäviä... 98

3 Mpllon väestönksvu Mplloll suu tällä hetkellä (008) rviolt, miljrdi ihmistä. Väkilukuun vikutt trksteltvll ikvälillä se, pljonko lpsi syntyy j vstvsti se, pljonko ihmisiä kuolee. Näiden khden lukumäärien erotust snotn positiivisess tpuksess luonnolliseksi väestön lisäykseksi j negtiivisess tpuksess luonnolliseksi väestön vähenemiseksi. Väestöennusteiden ltimiseen käytetään mtemttisi mllej. Mpllon väkiluvun snotn ksvvn eksponentilisesti eli korko korolle peritteen mukisesti. Pienikin jtkuv ksvuvuhti kksinkertist väkiluvun yllättävän nopesti. Esimerkiksi jos vuotuinen ksvu olisi,0 %, niin milmn väkiluku kksinkertistuisi 8 vuodess. Viime vuosikymmenellä ksvunopeus settui nykyiseen, prosenttiin vuodess. Suomen väestömäärä on ksvnut vuosittin 00-luvun puolest välistä lähtien, lukuun ottmtt muutmi poikkeuksellisi vuosi. Suurimmt väestönmenetykset olivt nälkävuosin 8 88 j viimeisimmät väestötppiot koettiin vuosin 99 j 90, jolloin monet suomliset muuttivt Ruotsiin. Viime vuosin väestönksvu on hidstunut j se näyttää vähitellen pysähtyvän, minkä jälkeen väkilukumme lk vuosittin pienentyä. Tulevisuudess Suomen väestönkehitys riippuukin merkittävästi mhnmuuttjien määrästä. Äärellisellä mplloll voi elää vin äärellinen määrä ihmisiä. Jos mpllon väestönksvu ei sd pysähtymään, lisääntyy puute rvinnost, juomkelpoisest vedestä j muist luonnonvroist. Vhvemmt väestöryhmät tulevt puolustmn omi etujn j trvitsemns elintil, mikä joht heikompien listmiseen j phimmss tpuksess toistuviin sotiin. Puolet milmn väestönksvust tphtuu kuudess mss, jotk ovt Inti, Kiin, Pkistn, Nigeri, Bngldesh j Indonesi. Indonesiss j Kiinss väestö ksv kuitenkin hitmmin kuin kehitysmiss keskimäärin. Lähes kikiss kehitysmiss on ryhdytty toimeen, jott väestönksvu stisiin käännettyä lskuun. Suhtutuminen perhesuunnitteluun on kuitenkin kulttuurisidonnist. Esimerkiksi Intiss perheen koko on vrllisuutt mittv j perheen sosiliturv tkv tekijä. Kiinss väestönksvun hidstumist on tvoiteltu ntmll yksilpsisten perheiden vnhemmille plknkorotuksi j eläke-etuj. Myös inot lpset ovt sneet etuj opiskelupikkojen huss. Jos perheeseen on syntynyt enemmän lpsi, on siitä nnettu skkoj. Mseudull yhden lpsen peritteest on joustettu siinä tpuksess, jos ensimmäinen lpsi on ollut tyttö. Tiukst väestöpolitiikst johtuen poiklsten osuus on ksvnut.

4 . Smnkntisten potenssien tulo Merkinnässä luku snotn kntluvuksi, luku eksponentiksi j luku potenssin rvoksi. Potenssin kntluvun knss on oltv trkkn. Jos sulkeit ei käytetä, eksponentti vikutt vin siihen lukuun, jok on suorn eksponentin ll. Esimerkki. Sievennetään potenssit. Kntluku on. Vstus on negtiivinen, kosk tuloss on priton määrä () negtiivisi tekijöitä. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kntluku on -. Vstus on positiivinen, kosk tuloss on prillinen määrä () negtiivisi tekijöitä. Tuloss on molempien potenssien kntluku sm. Merkintää kutsutnkin smnkntisten potenssien tuloksi. Esimerkki. Sievennetään potenssit. Ainostn smnkntiset potenssit voidn yhdistää.

5 Smnkntisien potenssien kertolskuiss on usein mukn muitkin tekijöitä, joit voidn yhdistellä erikseen keskenään. Jos tuloss on muuttuji eli kirjimi, kertomerkit jätetään merkitsemättä lukurvon j muuttujn väliin ti usemmn muuttujn väliin. Esimerkki. Sievennetään potenssit. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luvut kerrotn keskenään j eksponentit lsketn yhteen.

6 Tehtäviä. Kirjoit potenssimuodoss ( 8) ( 8) ( 8) y y y y y y y. Mikä on potenssin kntluku? 8. Onko potenssin rvo positiivinen vi negtiivinen? 98. Lske luvun neliö kuutio.. Ilmise yhden potenssimerkinnän vull Sievennä j ilmoit vstus potenssimuodoss..

7 c d 8 c 0 d c d 9 c 8. Merkitse yhteisen kntluvun potenssin Jäljennä kuvio vihkoosi j merkitse vierekkäisten potenssien tulo niiden yllä olevn ympyrään. 0. Merkitse j sievennä potenssien tulo. j j j. Sievennä y y y 8 y y z z z. Merkitse j lske luvun - neljäs potenssi neljännen potenssin vstluku neliö kuutio

8 . yyy yyy zzzz. 8 y y y 9 y. Mikä luku sopii :n piklle?. y cd c d 8. Jäljennä kuvio vihkoosi j merkitse vierekkäisten potenssien tulo niiden yllä olevn ruutuun. 8. c d cd c d g h g h gh 8 8

9 9. Kun., lske päässä 0. Tulukoss on potenssien rvoj Päättele vstukset tulukon vull. Älä käytä lskint Keksi kksi tehtävää, joiss käytetään edellisen tehtävän tulukko. Ann prisi rtkist ne j trkist vstukset. 9

10 . Smnkntisten potenssien osmäärä j noll eksponentti Osmäärää kutsutn smnkntisten potenssien osmääräksi. Esimerkki. Sievennetään potenssit. 8 ( ( ) ( ) ) ( ) y y y y Myös smnkntisien potenssien osmäärässä on usein mukn muitkin tekijöitä, joten on syytä oll trkkn kntluvun knss. Esimerkki. Sievennetään potenssit. 0

11 8 8 Jetn luvut keskenään j yhdistetään smnkntiset potenssit. Trkstelln seurvksi jkolsku smnkntisten potenssien osmäärän vull sekä supistmll. khdell eri tvll. Sievennetään luseke Kosk molemmt toimenpiteet ovt sllittuj, on lopputuloksien oltv yhtä suuret eli 0. Esimerkki. Sievennetään potenssit ei void lske

12 Tehtäviä. Sievennä j ilmoit vstus potenssimuodoss. yyyy yy. Lske Merkitse yhtenä potenssin.. Lske Lske.

13 c c d d d 8. Lske. y y k 9. Lske. 0 0 () z y e) 0 0.

14 . 9 8 c 8 c d d 0 9. c c d d c c d d. Merkitse j sievennä potenssien tulo osmäärä. j. Lske. 8 8

15 Lske c c c c c d c d c y. Lske. 0,,,,,,) ( c c d d

16 9. y 9y y y c d c d 9 y 0 0 z y c c 9. Mikä luku sopii :n piklle?. 0c c c c. Mikä luku sopii :n piklle? 8

17 . Potenssin potenssi ( Merkinnällä trkoitetn potenssin potenssi. Eksponenttin on luku j kntlukun on sulkeiden sisältö eli. Käsitellään kntlukun olev potenssi smoin kuin yksittäistä lukukin. Potenssimerkintä voidn kirjoitt muodoss ) Esimerkki. Sievennetään potenssit. ( ) 9 Ainostn on potenssin kntluku. Kyseessä ei ole potenssin potenssi! Esimerkki. Mihin potenssiin luku on korotettv, jott vstus olisi yhtä suuri kuin luku 9? Eli mikä luku sopii :n piklle:? 9 Rtkisu: Potenssin 9 kntlukun on 9, jok sdn luvun kolme potenssin seurvsti: 9. Sijoittmll tämä yhdeksikön piklle j sieventämällä sdn. Vstus: Luku on korotettv potenssiin 0. 9 ( ) 0

18 Tehtäviä. Kirjoit yksinkertisemmss muodoss. ( ) ( ) ( ) ( ). 0 y. ( ) ( ) ( ) ( ) Lske lusekkeen = = = - ( ) rvo, kun 9. Päättele, mikä luku sopii :n piklle? 8

19 ( ) ( ) ( ) ( ) k 0 t t. Ilmoit luvut khden potenssein Merkitse j sievennä lukujen neliöt. z 8 t 90 k k. Luvut j 8 ovt luvun kolme potenssej eli j vstukset luvun potenssein Ann tehtävien. Merkitse j sievennä lukujen kuutiot. y y n 0 9

20 . y y 9 m m 0 p p f f. c 9 c. Päättele, mikä luku sopii :n piklle ( ) 9. Päättele, mikä luku sopii :n piklle Mikä luvun potenssi on yhtä suuri kuin luku 9 potenssi on yhtä suuri kuin luku? 0

21 . Tulukoss on potenssien rvoj Sievennä lusekkeet käyttäen pun oheist tulukko. Älä käytä lskint. 9. Keksi kksi tehtävää, joiss käytetään edellisen tehtävän tulukko. Ann prisi rtkist ne j trkist vstukset.

22 . Negtiivinen eksponentti Trkstelln luvun kksi potenssej sekä potenssien rvoj. Oikelt vsemmlle mentäessä luvun kksi eksponentti pienenee yhdellä. Potenssin rvo sdn jkmll edellisen potenssin rvo khdell. Sm menettelyä voidn jtk myös negtiivisten eksponenttien puolelle. Verrtn keskenään potenssien j - rvoj j hvitn, että molemmiss esiintyy luku khdeksn. Vstvsti, jos eksponenttin on ti, esiintyy rvoss luku. Merkitsemällä murtoluvut eksponentteihin.,, 8 muodoss,,, nähdään selvä yhteys vstviin positiivisiin Potenssin lskusäännöt ovt voimss myös negtiivisille eksponenteille. Esimerkki. Kirjoitetn murtolukun. 9

23 Esimerkki. Kirjoitetn negtiivisen eksponentin vull. e) 8 8 y y Ole trkkn kntluvun knss.

24 Tehtäviä. Merkitse murtolukun. 9 e) f) 00 h. Lske, ilmoit vstus murtolukun. 0. Merkitse positiivisen eksponentin vull. e) f) 0 ( y). Kirjoit negtiivisen eksponentin vull. k k k k 0. Lske.

25 8. Mitkä ltikon lusekkeist on lusekkeen knss yhtä suuret, kun ei ole noll. 9. Lske, nn vstus murtolukun. : 0. Mikä ero on käänteisluvull j vstluvull?. Määritä luvun käänteisluku. 9. Määritä luvun vstluku. 9. Kirjoit positiivisen eksponenttien vull j lske potenssien rvot.

26 e) f). Lske käyttäen potenssikvoj Lske lukujen j summ erotus tulo osmäärä. Ann vstus murtolukun.. Sievennä j nn vstus potenssimuodoss. ( ) 8 ( ) ( ) 0 ( ). Sievennä j nn vstus potenssimuodoss Lske käyttäen potenssikvoj. 8

27 9. Mikä luku sopii :n piklle? ( ) ( ) ( ) ( ) Esitä yhden kymmenpotenssin vull Ovtko väittämä tott? 0 0 ( ) (9 ( ) 0 ) ( (9 ( ) ) ) ( ( ) ) 8. Päättele mikä luku sopii kirjimen n piklle. n 0 0 n 8 8. Ilmoit luvun kksi potenssein sievennetyssä muodoss. ( ) (8 ) ( ) ( 0 ) 8. Lske 0. (yo kevät 9)

28 . Tulon potenssi Jos potenssin kntlukun on tulo ( ), on kyseessä tulon potenssi, jok voidn lske normlej lskusääntöjä noudtten ( ) (). Tulon potenssill on olemss myös om lskusääntönsä, joll päädytään smn lopputulokseen. ( ) 9 Tulon potenssien lskusääntöä ei välttämättä trvitse käyttää pelkillä lukurvoill lskettess. Sen sijn lusekkeit, joiss on mukn muuttuji, ei void sieventää normlej lskusääntöjä noudtten. Esimerkki. Sievennetään potenssit. 8 8 (y) y y y y Esimerkki. Merkitään yhtenä potenssin. 8 y y (y ) 8

29 Tehtäviä 8. Lske Merkitse neliön pint-l potenssimuodoss j sievennä luseke, kun neliön sivun pituus on 8 m 0 m. 8. Muodost j sievennä neliöiden pint-lojen lusekkeet. 88. ( ) ( ) ( ( y) 89. Merkitse j sievennä potenssi, jonk kntluku on j eksponentti kntluku on j eksponentti kntluku on j eksponentti y 9

30 9. Lske luvun neliö. 9. ( y z ) ( ( 0y ) ( 0,c ) 9. Lske luvun kuutio. e) 9. Merkitse yhtenä potenssin , 0 ( y) y ( y) y ( y ) y

31 c d c d 8 ef e f 98. y y z z w w 99. Merkitse j sievennä potenssi, jonk kntluku on j eksponentti kntluku on j eksponentti kntluku on y j eksponentti 00. Kuution tilvuus sdn lskemll särmän pituuden kuutio. Merkitse kuution tilvuus potenssimuodoss j sievennä luseke, kun kuution särmän pituus on m m 0. Muodost j sievennä rpkuutioiden tilvuuksien lusekkeet. 0. Päättele neliöiden sivujen pituudet. 0. Merkitse yhtenä potenssin. c

32 0. Päättele puuttuv kntluku. 9 z 8 8 y z 0. Merkitse yhtenä potenssin. 8 c 0. m n m n c ce e 9 p q p q 0. Minkä lusekkeen neliö on 9 0,8 y? 08. Päättele, mikä luku sopii :n piklle (

33 . Osmäärän potenssi Jos potenssin kntlukun on osmäärä, kutsutn merkintää osmäärän potenssiksi. Potenssin rvo voidn lske normlej lskusääntöjä käyttäen korottmll ensiksi sekä osoittj että nimittäjä toiseen potenssiin. () ti 9 Osmäärän potenssien lskusääntöjä ei välttämättä trvitse käyttää pelkillä lukurvoill lskettess. Sen sijn lusekkeit, joiss on mukn muuttuji, ei void sieventää normlej lskusääntöjä noudtten. Esimerkki. Sievennetään lusekkeet

34 Esimerkki. Lsketn lusekkeet sieventämällä ensiksi yhdeksi potenssiksi Esimerkki. Merkitään yhtenä potenssin.

35 Tehtäviä 0. Mikä on eksponentin kntluku?. Lske.. c d. y

36 . Muodost j sievennä lukujen 9m n j m n osmäärän neliö.. Lske Onko potenssin rvo positiivinen vi negtiivinen? 8. Lske sieventämällä ensiksi yhdeksi potenssiksi Merkitse j sievennä luvun kuutio neliö neljäs potenssi. c 9.

37 ( ) ( ) 0. Kirjoit neliönä. 9 y 8 9y. Merkitse yhtenä potenssin Lske sieventämällä ensin yhdeksi potenssiksi c d c d

38 e f e f. Kirjoit kuution. y c y Sievennä, ilmoit vstus ilmn negtiivist potenssi.. Päättele puuttuv kntluku c 8 : 8

39 Potenssien lskusäännöt pitävät pikkns myös silloin kuin eksponenttin on negtiivinen luku ti noll. Korj kvt oikeiksi. n n n m n n mn m mn n n n 9

40 Atomi Muodostumme kikki tomeist. Itse siss ei meissä muut olekn. Kehossmme on erilisi hppi-, hiili-, vety-, typpi-, fosfori-, klium- ym. tomej yhteensä noin kpplett (lusutn 000 kvdriljoon. Meissä on tomej stoj kertoj enemmän kuin vesipisroit milmn kikiss merissä. Atomit ovt läpimitltn noin 0, m eli kymmenesmiljrdisosn suuruusluokk. Atomin mss on keskittynyt tomin ytimeen. Sen koko on suuruusluokk 0, m j tilvuus vin sdsmiljrdisos koko tomin tilvuudest. Ytimen ympärillä on lähes tyhjää, vin siellä täällä viuhtoo pienempiä hiukksi nimeltään elektronit, jotk määräävät miten ine käyttäytyy kemillisesti. Lj elektronipilvi koostuu vin muutmst elektronist, jotk ovt niin pieniä, ettei niiden koko ole kyetty mittmn. Jos ydintä esittäisi mm kokoinen nuppineuln pää, niin tomi oikess mittkvss esittäisi hlkisijltn 0-metrinen pllo. Kosk lähes koko tomin mss sijitsee ytimessä, on ytimen ine erittäin tiheää. Jos puristisimme koko mpllon ydinineen tiheyteen, sen hlkisij pienenisi 800 metristä noin 0 metriin. Koko elollinen milm rkentuu hiilitomin ympärille. Jokisen ihmisen, eläimen ti ksvin jokinen solu sisältää hiilitomej. Syömme hiilitomej jokisell terill j vedämme niitä keuhkoihimme jokisell hengenvedoll. Mistä hiilitomi tietää, että sen kuuluu juuri oll hiiltä eikä esimerkiksi kult? Atomin keskipisteessä olev pienen pieni ydin koostuu ydinhiukksist, joit on kht lji: protonej j neutronej. Protonien lukumäärä määrää ineen tyypin. Vedyllä on yksi protoni, heliumill kksi, hiilellä kuusi, urnill 9, kullll 9 jne. Herääkin kysymys, voisimmeko tehdä kult joistkin hlvemmist ineist? Kenties yhdistämällä tin (0 protoni j kupri (9 protoni? Se että sekoitmme stiss tin j kupri, ei s ikn kult, sillä molemmt tomit säilyvät ennlln. Jos sen sijn onnistumme pommittmn tin kuprill niin voimkksti, että kupri ydin tunkeutuu tinytimeen, smme ikiseksi kult. Jyväskylän yliopiston fysiiknlitoksell on erityisesti perehdytty sellisten ytimien, joiss on pljon protoneit, tuotntoon hiukkskiihdyttimien vull. Ongelmi ytimien vlmistmisess iheutt kuitenkin se, että toiset ytimet hjovt smn tien j vin joistin tulee pysyviä. Ytimessä olevien neutronien lukumäärä vuorostn rtkisee, onko ine pysyvää vi ei. Pysyvät ydinmuodot ovt niitä, joit me kutsumme tvllisiksi ti ei-rdioktiivisiksi. Jott ydin olisi pysyvä, on siinä neutronej oltv suunnilleen smn verrn ti enemmän kuin protonej. Tällöin positiivisesti vrutuneet protonit eivät pääse hylkimään toisin. Mutt jos ytimessä on väärä määrä neutronej, se stressntuu. Tällinen ydin on niin jännittynyt, ettei se kert kikkin pysy ksss. Mitä nurinkurisempi neutronimäärä, sitä voimkkmpi stressitil, j sitä nopemmin ydin purk ylimääräisen energins säteilypulssin muodoss. Tällist inett snotn rdioktiiviseksi. Rdioktiivisuus siis riippuu ytimen rkenteest. 0

41 . Kymmenpotenssimuoto Suurten j pienten lukujen merkitsemisessä käytetään kymmenpotenssej. Kehossmme olevien tomien määrä voidn esittää lyhyemmin kymmenpotenssimuodoss Lukuj voidn merkitä kymmenpotenssimuodoss missä 0 0 n, j n positiivinen ti negtiivinen kokonisluku. Esimerkki. Kirjoitetn luvut normlimuodoss ilmn kymmenpotenssi Luku 0 voidn esittää muodoss, 00. Kun kerrotn sdll, siirretään desimlipilkku kksi skelt oikelle. Sm luku kymmenpotenssimuodoss on, 0.

42 , 0,0 Luku 0,0 voidn vstvsti kirjoitt muodoss. Kun kerrotn sdsosll, siirretään desimlipilkku kksi skelt vsemmlle. Sm luku kymmenpotenssimuodoss on., 0 Esimerkki. Kirjoitetn luvut kymmenpotenssimuodoss. Joillkin suurill luvuill on omt nimityksensä: nimitys nollien lukumäärä miljoon miljrdi 9 iljoon triljoon 8 kvdriljoon kvintiljoon 0 sekstiljoon septiljoon googol 00 Huom! Triljoon on Euroopss 0 8, mutt USA:ss 0. Vstvsti iljoon on Euroopss 0, mutt USA:ss 0 9. On olemss myös yleisesti käytettäviä kerrnnisyksiköiden etuliitteitä, joille on vlittu omt tunnukset. Eräs tunnetuimmist etuliitteistä on kilo (0 ). Usein käytetään yleisiä etuliitteitä kymmenpotenssimuotojen sijn. Tällöin hyväksytään, että kertojksi tulee myös suurempi lukuj kuin kymmenen j pienempiä kuin ykkönen. Snomme mieluummin jonkun mssksi kg kuin,0 g ti mtkn pituudeksi km kuin,0 m. Nimi Tunnus Kerroin gig G 0 9

43 meg M 0 kilo k 0 hehto h 0 dek d 0 desi d 0 - sentti c 0 - milli m 0 - mikro μ 0 - Lisää kerrnnisyksiköitä löydät kirjn lopust tulukko-osiost. Esimerkki. Vesimolekyylin hlkisij on metreinä millimetreinä mikrometreinä j nnometreinä.,80-8 cm. Ilmoit hlkisij Rtkisu:

44 Tehtäviä 0. Lske. 000, 000, 0000 e) f), 0, 0,00, 0,0000. Kirjoit numeroin miljoon kuusisttuhtt neljämiljrdi viisistmiljoon kksisttriljoon kolmeiljoon viisimiljoon kolme.. Sievennä ilmn lskint ( 0) 0 0. Kirjoit kymmenpotenssimuodoss. 0 0,98 0,0 e),0 f) Kirjoit kymmenpotenssimuodoss. 0,00 0, , , Kirjoit ilmn kymmenpotenssej., 0

45 , 0, 0, 0 9. Ilmoit desimlilukun Lske ilmn lskint j ilmoit vstus kymmenpotenssimuodoss ( 0) 0 ( ) Kirjoit kymenpotenssimuodoss , e) 0, Mikä tulee kntluvun 0 eksponentiksi, jos luvut esitetään kymmenpotenssimuodoss st kymmenen tuhtt miljoon st miljoon e) tuht f) kymmenen miljrdi g) kymmenen miljoon h) iljoon 0. Kirjoit kymmenpotenssimuodoss miljrdi,9 triljoon 0,8 kvintiljoon,0 googoli e) iljoon. Kirjoit kymmenpotenssimuodoss, iljoon,8 miljoon

46 0, miljrdi miljoon. Mitä lukuyksikköä merkitään seurvsti? e) 0 - f) 0. Verihiutleet uttvt verenvuodon tyrehdyttämisessä j niitä on normlisti 0, 0,0 miljoon kpplett yhdessä kuutiomillimetrissä vert. Kirjoit lukurvot normlin lukujen esitysmuoton.. Kirjoit ilmn kymmenpotenssi j lske. e) f) , n Kirjoit luvut muodoss 0, missä ,0 e) 0, Miehillä on litrss vert,, iljoon punsolu j -0 miljrdi vlkosolu. Kirjoit lukurvot kymmenpotenssimerkintää käyttäen.. Mpllon mss on tonni, säde 8 km j pint-l km. Ilmoit kymmenpotenssimuodoss Mn mss kilogrmmoin, säde metreinä, pint-l neliökilometreinä. 8. Lske ilmn lskint j ilmoit vstus kymmenpotenssimuodoss.

47 ( 0 ) ( 0 ( 0 ) ) 9. Seurvt kymmenpotenssimuodot eivät ole oikein, korj ne. 8, , 0 0, Muut smn kymmenpotenssimuotoon j lske,9 0, 0 00, 0, Muut smn kymmenpotenssimuotoon j lske.,00,0 0, 0, Lske j pyöristä vstus oiken trkkuuteen., 0,, 0 0 8, 0 8. Kroisoksell on rh kuusituhtt sekstiljoon euro j Roopell on rh 0 0. Kumpi on rikkmpi?. Kirjoit suureet kymmenpotenssimuotoj j SI-järjestelmän perusyksiköitä käyttäen. Auringost Alf Centur tähdelle on mtk cm. Vetytomin mss on 0, g.. Suomen vltion udjetti on useit vuosi ollut noin miljrdi euro. Jos tämä rhsumm jettisiin tsn kikille suomlisille, kuink pljon kukin sisi? Suomen väkiluku on noin viisi miljoon. (yo kevät 00). Mn j Kuun välinen keskimääräinen etäisyys on km. Ilmise etäisyys sopiv etuliitettä käyttäen. (Etuliitteitä löytyy kirjn tk tulukko-osiost

48 . Kirjoit luvut käyttäen sopivi kerrnnisyksiköiden etuliitteitä. 0 A (mpeeri, sähkövirrn yksikkö) 000 nm mm 0,000 8 km e) 0, Mm 8

49 8. Potenssej lskimell Vikk käytössäsi olisi lskin, on potenssien lskusäännöt hllittv. Jos potenssi on liin suuri lskimen käsiteltäväksi, on se osttv muutt selliseen muotoon, jost lskin selviää. Lisäksi lskimen näytön tulosteet on osttv tulkit oikein. Kosk lskimi on niin monenlisi, on käyttöohjeet syytä säilyttää myös myöhempiä toimintoj vrten. Esimerkki. Lsketn lskimell luvun 0 likirvo. Montko numero luvuss 0 on? Näppäilemällä lskimeen sdn lskimest riippuen näyttöön esimerkiksi Luku on liin suuri mhtukseen kokonn näyttöön, joten lskin näyttää sen likirvon kymmenpotenssimuodoss. Tulos tulkitn normlimuotoon seurvsti: 0,9 0 8 j tämä muutetn Likirvo on,90 8 j luvuss on yhteensä 9 numero. Esimerkki. Lsketn luvun 0 likirvo khden numeron trkkuudell. Montko numero luvuss 0 on? Kosk useimmt lskimet eivät pysty käsittelemään näin suuri potenssej, on potenssi jettv osiin. Likirvo on, 0 j luvuss on numero. 9

50 Huom! Muistthn, että kymmenpotenssin kerroin on välillä -0 olev luku. Esimerkki. Lsketn lskimell 9, 0, 0 0. Kymmenpotenssit syötetään lskimeen yleensä EXP-näppäintä käyttämällä. Näppäilemällä lskimeen ilmestyy näyttöön 0 eli vstus on,8 0. 0

51 Tehtäviä 8. Lske lukujen kuutiot Kirjoit lukujen likirvot normlimuodoss Ann vstus kolmen merkitsevän numeron trkkuudell., 9 0,8 9, 9 0,9 9. Montko numero luvuiss on?. Lske lusekkeen = = - = - = 8 ( ) rvo, kun. Lske, nn vstus kymmenpotenssimuodoss., 0,8 0, 0,8,8 0 8, :,99 0 :, 0 8. Lske, nn vstus kymmenpotenssimuodoss

52 8, 0, 0 0,0,09 0. Lske, nn vstus kymmenpotenssimuodoss.. Lske. (, 0, 0,80 9, (8, 0, 0 ) 9,0. Lske. ) 8. Ann vstukset desimlilukun j murtolukun. (-) Lske lusekkeet j nn vstukset kolmen merkitsevän numeron trkkuudell, kun j. 0,,, ( c 0 c 0,0 0. Jos kntluku on, mikä on suurin eksponentti, joll lskimesi nt vstukseksi potenssin trkn rvon likirvon?.

53 St ystävältäsi epäilyttävän ketjukirjeen, joss on llekkin kuusi nimeä osoitteineen, ystäväsi nimi viimeisenä. Kirjeen mukn sinun on lähetettävä listn ensimmäiselle henkilölle 0. Tämän jälkeen poistt ensimmäisen nimen listst j litt omn nimesi viimeiseksi. Lopuksi lähetät kirjeen kuudelle ystävällesi. Jos kukn ei ktkise ketjukirjettäsi, niin monessko kirjeessä olet lopult ensimmäisenä? Kuink pljon voit sd rh? Miksi kymmenen nimen ketjukirje on mhdoton?. Arkkien koot on stndrdoitu siten, että A0-rkin l on m. A-rkin l on puolet A0- rkin lst. vstvsti A-rkin l on puolet A-rkin lst jne. Lske A-rkin l käyttäen negtiivist eksponentti.. Määritä potenssin 00 likirvo khden numeron trkkuudell. Montko numero kyseisessä luvuss on?. Määritä potenssin 00 likirvo khden numeron trkkuudell. Montko numero luvuss 0 on?. Hehkulmpun plminen trkoitt itse siss elektronien virt ohuess metllilngss. Teholtn 00 W hehkulmpuss kulkee keskimäärin elektroni jok sekunti. Montko elektroni hehkulmpuss virt vuorokuden ikn? Ilmoit vstus kymmenpotenssimuodoss.. Minä vuonn täyttää 98 syntynyt henkilö yhden gigsekunnin (=0 9 sekunti? Lskuss ei trvitse ott huomioon krkusvuosi. (yo kevät 00). Shkkipeli keksittiin noin 00 vuott sitten Intiss. Trinn mukn kunings ihstui peliin niin pljon, että lupsi keksijälle plkinnoksi mitä thns. Vtimttomn keksijä esitti toiveens: Hän pyysi ensimmäiselle shkkipelin ruudulle yhden vehnänjyvän, toiselle kksi, kolmnnelle neljä, neljännelle khdeksn jne. ruudulle skk. Montko jyvää oli shkkiludn viimeisellä ruudull? Yhden vehnäjyvän mss on noin 0,0 g. Mikä oli viimeisellä ruudull olevn vehnämäärän mss? Vehnää tuotetn koko milmss noin,00 8 tonni. Monenko vuoden tuotnto oli viimeisellä ruudull?

54 Lukujärjestelmien kehittyminen Olisi hnkl jtk lskemist loputtomsti ntmll jokiselle uudelle luvulle uusi nimi, niinpä jokin tietty lukumäärä otetn ns. kokovksi yksiköksi. Tämä ide on perustn kikille lukujärjestelmille. Kokovn yksikön suuruutt kutsutn lukujärjestelmän kntluvuksi. Ensimmäinen lskemisess pun käytetty väline lienee ollut sormemme. Tästä syystä käyttämämme lukujärjestelmän kntlukun on kymmenen. Muitkin lukujärjestelmiä on ollut j on edelleen käytössä, vikk kymmenjärjestelmä onkin ylivoiminen muihin lukujärjestelmiin verrttun. Kymmenjärjestelmässä lskutoimitukset ovt yksinkertisi j desimlilukuj voidn käsitellä smoin kuin muitkin lukuj. Yleisimmät kntluvut ovt olleet viiden monikertoj ti näiden yhdistelmiä. Yhteys sormiin j vrpisiin on selvä. Esimerkiksi luku kksikymmentä voidn ilmoitt sormet j vrpt. Uset Austrlin itäosien heimot j Afrikn ushmnnit käyttävät edelleenkin puhdst kksijärjestelmää, joss lukumääriä lsketn käyttämällä vin lukuj j trkoittvi snoj. Kht suurempi lukuj trkoittvt snt muodostetn yhdistelemällä, esimerkiksi luku viisi esitetään muodoss kksi-kksi-yksi. Kksijärjestelmä on hyvin epäkäytännöllinen suuri lukuj ilmistess. Tietokoneiss käytettyä inäärijärjestelmää snotn myös kksijärjestelmäksi, mutt se poikke olennisesti edellä minitust. Binäärijärjestelmä perustuu pikkmerkintään j se on vstvnlinen kymmenkntisen pikkjärjestelmämme knss, joss numeron pikk luvuss ilmisee, mitä lukuyksikköä numero trkoitt. Binäärijärjestelmässä kntluvun 0 sijst käytetään kntluku. Ei ole todisteit siitä, että inääristä lskutp olisi käytetty josskin kielessä. Eräs mielenkiintoinen lukujärjestelmä on 0- eli seksgesimlijärjestelmä, jonk kehittivät Mesopotmin sumerit noin 000 ekr. On esitetty erilisi teorioit sille, miksi juuri luku 0 oli niin tärkeä. Erään selityksen mukn se vlittiin helpottmn jkolskuj, kosk 0 on jollinen hyvin monell luvull. Vikk luku 0 kntlukun tuntuukin omituiselt, vikutt se edelleen meidänkin mittusjärjestelmässämme kulmyksiköissä, minuuteiss j tunneiss. Sormill j vrpill lskettess lskutoimituksist ei jäänyt muistiinpnoj, niinpä tuli trpeen kehittää tpoj lukujen merkitsemiseksi. Lukuj esitettiin solmujen j puun- ti luunplsille kiverrettujen lovien vull. Lisäksi käytettiin myös erityisiä symolej, joit kiverrettiin kiveen ti puuhun ti kirjoitettiin sveen.

55 9. Lukujärjestelmät* Voivtko luvut 00 j oll yhtä suuri? Tietenkään eivät, jos molemmt tulkitn normlisti käytettävän kymmenjärjestelmän luvuiksi. Tilnne on kuitenkin toinen, jos luvut edustvtkin eri lukujärjestelmiä. Lukujärjestelmät nimetään niiden kntluvun mukn. Kntluku myös määrää, minkälisist numeroist kyseisen lukujärjestelmän luvut voidn muodost. Kymmen- eli desimlijärjestelmä on yleisin lukujärjestelmä. Järjestelmän kntlukun on 0 j siinä esiintyvät numerot Kymmenjärjestelmässä jokinen luku voidn kirjoitt kymmenpotenssin vull. Kymmenjärjestelmää merkitään lskimiss lyhenteellä DEC. Esimerkki. Luku voidn kirjoitt muodoss 00 0 eli Binääri- eli kksijärjestelmä (BIN) on yleisesti käytössä tietotekniikss. Tietokoneet pystyvät käsittelemään vin kht eri tso: jännitteetöntä ti jännitteellistä til, joit voidn kuvt numeroill 0 j. Binäärijärjestelmän kntlukun on j sen inot numerot ovt 0 j. Binäärijärjestelmässä jokinen luku voidn esittää luvun potenssin. Nolln ti ykkösen pikk kertoo kuink suuri luku on kyseessä. potenssimuoto 0 lukurvo 8 8

56 Huom! Kosk kymmenjärjestelmä on yleisin lukujärjestelmä, ei sen luvuiss käytetä yleensä lindeksiä. Esimerkki. Muutetn inääriluku 00 kymmenjärjestelmän luvuksi. Vstus: 00 0 Esimerkki. Muutetn kymmenjärjestelmän luku 8 inäärimuotoon. 8 - Otetn ensiksi suurin sellinen khden potenssi, jok on 8. - Vähennetään tämä muutettvst luvust 8 = 9. - Suurin khden potenssi, jok on 9, on - Vähennetään tämä muutettvst luvust 9 =. - Suurin khden potenssi, jok on, on. - =, joten viimeiseksi khden potenssiksi tulee 0 - Potenssien,, j 0 pikoille tulee inääriesityksessä luku j niiden väliin jääville pikoille tulee noll. - Binääriluku on 000 Vstus:

57 Tehtäviä 8. Lske lusekkeen rvo Esitä luvut kymmenpotenssilusekkeen Luettele numerot, jotk ovt käytössä viisijärjestelmässä seitsemänjärjestelmässä. 8. Mikä lukujärjestelmä on kyseessä, jos siinä voi esiintyä inostn numerot 0,, j? 8. Voiko luku oll viisijärjestelmän luku? Perustele. 8. Jtk seurvi luseit Kymmenjärjestelmää snotn myös Binääriluvuss voi esiintyä numerot 8. Mikä on pienin viisinumeroinen inääriluku suurin kolminumeroinen inääriluku suurin khdeksnnumeroinen inääriluku? 8. Luettele kymmenjärjestelmän luvut 0-0 inäärilukuin. 8. Esitä inäärimuodoss kymmenjärjestelmän luvut 9 8.

58 Esitä kymmenjärjestelmämuodoss inääriluvut Ilmoit inääriluvut kymmenjärjestelmämuodoss Jäljennä kuvio vihkoosi. Lske sitten vierekkäisten inäärijärjestelmän lukujen summ j merkitse se niiden yläpuolell olevn ruutuun. 90. Muunn luvut inäärijärjestelmästä kymmenjärjestelmään Ilmoit inäärilukun om ikäsi luokksi oppiliden määrä. 9. Lske j ilmoit vstus kymmenjärjestelmässä Internetiin liitetyt tietokoneet erotetn toisistn IP-osoitteiden perusteell. Jokisell Internetiin liitetyllä koneell on om yksilöllinen IP-osoitteens. Esitä tietokoneen IP-osoitteet kymmenjärjestelmässä

59 9. Muut IP-osoitetteet inäärimuotoon Onko lsku lskettu oikein? Rnskss on käytetty kymmenjärjestelmän sijst 0-järjestelmää. Nykyisin Rnsk on siirtynyt kymmenjärjestelmän käyttöön, mutt lukujen nimissä on jäänteitä 0-järjestelmän käytöstä. luku nimitys un deu trois qutre cinq si sept huit neuf di luku Kirjoit kymmenjärjestelmän luvut rnskn lukusnll nimitys onze douze treize qutorze quinze seize disept dihuit dineuf 9. Sno jokin luku rnskksi j pyydä vierustoverisi muuttmn se kymmenjärjestelmän luvuksi. 98. Oktli- eli khdeksnjärjestelmässä kntlukun on 8 j siinä esiintyvät numerot 0. Ilmoit oktliluku kymmenjärjestelmässä, kymmenjärjestelmän luku 00 oktlilukun, om ikäsi oktlilukun. 99. Binrilukujen eli kksijärjestelmän yhteenlskusäännöt ovt, 0 0,. Mitkä ovt vstvt kertolskusäännöt? Lske inrijärjestelmässä yhteen- j kertolskusääntöjen vull 0 0 j 0. (Lske llekkin.) (yo kevät 000) Lusu -järjestelmän luku 0 0-järjestelmässä. (yo syksy 99) vingt 9

60 0. Lusekkeit Suomess lämpötilt ilmoitetn celsiusstein, mutt esimerkiksi USA:ss lämpötilojen yhteydessä käytetään fhrenheitsteit. Eri lämpötil-steikkojen välillä vllitsee tietty yhteys, jok voidn ilmoitt mtemttisen lusekkeen. Celsiussteet voidn muutt fhrenheitsteiksi lusekkeen 9 F C vull, missä F on lämpötil fhrenheitstein j C lämpötil celsiusstein. Fhrenheitsteiden lusekett voidn käyttää yhä uudestn sijoittmll C:n piklle eri lämpötiloj. Tämä on esimerkki muuttujlusekkeest. Kirjin C edust muuttuj, jok voi sd eri rvoj. Muutttujlusekkeiss kertomerkki jätetään merkitsemättä luvun j muuttujn tulos ti usempien muuttujien tuloss. Kertomerkki on ehdottomsti muistettv merkitä, kun muuttujn piklle sijoitetn jokin lukurvo. Lisäksi, jos muuttujn rvo on negtiivinen, on se sijoitettv sulkeiss. Kht lskutoimitusmerkkiä ei voi esiintyä peräkkäin ilmn sulkeit. Esimerkki. Lsketn, mitä fhrenheitsteikkoinen lämpötilmittri näyttää, jos lämpotil celsiusstein on C, C? Sijoitetn luku muuttujn C piklle j lsketn lusekkeen rvo. Sijoitetn luku - muuttujn C piklle j lsketn lusekkeen rvo. Vstus: C on fhrenheitstein F j - C on fhrenheitstein F. 0

61 Kirjimill lskeminen voi luksi tuntu kummlliselt, mutt niiden vull tosielämän ilmiöistä voidn tehdä mtemttisi mllej. Yleensä mtemttiset mllit ovt niin monimutkisi, ettei niiden kuvmiseen riitä yksi muuttuj. Esimerkiksi mpllon väestonksvumlliss ovt muuttujin A = väkiluku luss, t = ik vuosin j k = ksvukerroin. Väkiluku V, kun on kulunut t vuott on t V Ak Ksvukertoimeen k vikuttvt monet tekijät, kuten tudit, sodt j nälänhätä. Siksi sen rvioiminen etukäteen on hnkl. Tiedetään kuitenkin että mpllon väestönksvu on hidstumss, 90-luvull ksvukerroin oli,0 (tämä trkoitt että väestö lisääntyi % vuodess j vuoden 990 lopuss se oli,0. On ennustettu, että vuoteen 0 mennessä ksvukerroin lskee lukuun,0. Esimerkki. Lsketn rvio mpllon väkiluvulle 0 vuoden kuluttu, kun tällä hetkellä se on, miljrdi (vuonn 008). Lsketn rvio käyttämällä ensin ksvukerroint,0 j sitten ksvukerroint,0. Listtn kikki tehtävässä nnetut muuttujt: A =, miljrdi k =,0 t = 0 vuott Sijoitetn muuttujt lusekkeeseen j lsketn lusekkeen rvo: t V Ak,,0 0 9,0 miljrdi Lsketn toinen rvio käyttämällä ksvukerroint,0. t V Ak,,0 0 8, miljrdi Vstus: Arvio mpllon väkiluvulle 0 vuoden kuluttu on 9,0 miljrdi (ksvukerroin,0) ti 8, miljrdi (ksvukerroin,0).

62 Tehtäviä 0. Lskintehtävä Muunn lämpötilt fhrenheitsteiksi. Kkku pistetn celsiussteen lämpötilss. Jään sulmispiste on 0 C. Asoluuttinen nollpiste on noin C. 0. Lskintehtävä Ihmisen iknsm kuumin lämpötil on 0 miljoon o C eli 0 kert kuumemp kuin uringon ytimessä. Se synnytettiin..99 Tokmk-koefuusiorektoriss Princetonin yliopistoss (New Jersey, USA) käyttämällä deuterium-tritium-plsmsekoitust. Pljonko lämpötil on fhrenheitstein? 0. Lskintehtävä Kun hlutn muunt fhrenheitsteet celsiussteiksi, käytetään lusekett Muunn lämpötilt celsiussteiksi. 90 F 0 F 8 F ( F ) C Lske lusekkeen 0 rvo, kun 0. Lske lusekkeen 0 rvo, kun 0. Lskintehtävä Olet vrmn hvinnut, että helteellä kuuluu pljon heinäsirkn siritystä. Ilmn lämpötil voikin rvioid heinäsirkn sirityksen vull: siritysten lukumäärä minuutiss 0 lämpötil Lske lämpötil, kun heinäsirkk sirittää minuutiss 0 kert 00 kert 0 kert Arvioi, ntko luseke todellisi tuloksi. 0.

63 Kullkin hmpll on kksinumeroinen tunnuslukuns. Ensimmäinen numero trkoitt leukpuolisko, jotk ovt pysyvälle hmpimistolle seurvt: = yläleun oike puoli (suun omistjn suunnst ktsottun = yläleun vsen puoli = lleun vsen puoli = lleun oike puoli Toinen numero hmpn pikk: Etuhmpt ovt ykkösiä j viisudenhmpt khdeksikkoj. Kirjoit hmpistoon edestä ktsottun tunnusluvut. 08. Mitohmpisto kirjoitetn edestä ktsottun seurvsti: Millä numeroll merkitään yläleun oike puolt? Millä numeroll merkitään lleun vsemp puolt? Montko mitohmpit on yhteensä? 09. Lskintehtävä Ihmisen pituus senttimetreinä voidn lske kyynärluun ti sääriluun perusteell: Niset Miehet pituus =,88 kyynärluu +,0 pituus =, kyynärluu + 80, pituus =, sääriluu +, pituus =,9 sääriluu + 8,9 Mitt omn kyynär- j sääriluusi pituus j lske om pituutesi niiden perusteell. Kummll tvll pääsit lähemmäksi oike pituuttsi? Vertile tuloksi toisten knss. 0. Lske lusekkeiden rvot, kun s rvon -.. Lske lusekkeen rvo, kun = j = = - j = = j = -8 = - j = -

64 . Kirjoit mtemttisen lusekkeen enemmän kuin vähemmän lisättynä lukuun vähennettynä luvust e) kerrottun f) jettun g) jettun h) kerrottun itsellään. Lske edellisen tehtävän lusekkeiden rvot, kun = -.. Kynäkoteloss on n kpplett kyniä. Montko kynää sinne jää, kun ott pois kynistä n?. Kirjoit mtemttisen lusekkeen. Vähennä lukujen j tulost luku 9. Lisää lukujen j osmäärään luku. J lukujen j summ lukujen j erotuksell. J lukujen 9 j erotus luvull.. Lske edellisen tehtävän kusekkeiden rvot, kun = - j =.. Yhdessä ltikoss on omen. Pljonko omenoit on yhteensä, jos ltikoit on kpplett? 0 kpplett? 8. Koiri on trhss n kpplett. Mitä voitisiin kuvt lusekkeell n n n? 9. Koordintistoon piirrettyä suor voidn kuvt lusekkeen (yhtälön) vull. Jokisell suorll on omnlisens luseke. Erään suorn luseke on y. Lusekkeess kuv suorll olevn pisteen -koordintin rvo j vstvsti y kuv smn pisteen y- koordintin rvo. Lske lusekkeen vull y-koordintin rvo, kun 0

65 Miten voit piirtää suorn y koordintistoon? 0. Lskintehtävä Määritä lusekkeen y y : y trkk rvo, kun j y. (yo kevät 98). Määritä lusekkeen rvo, kun j on kolmsos :stä. (yo syksy 999)

66 . Polynomi Kertoimen j muuttujosn tulo snotn termiksi. Termeissä esiintyvät kirjimet eli muuttujt trkoittvt käytännössä joitkin lukurvoj svi sioit. Tällisi ovt tuntiplkk, lämpötil, uton nopeus jne. Jos esimerkiksi litr mnsikoit mks, voimme kuvt mnsikoiden hint termillä. Termi ilmoitt hinnn muodostumisen mnsikoiden määrän mukn. Jos mnsikoit ostetn litr, sdn niiden hinnksi 8 sijoittmll :n piklle. Esimerkki. Sievennetään lusekkeet. e) y y ( ) y y Esimerkki. Trkstelln mikä os termistä on kerroin j mikä muuttujos.

67 Kun termejä lsketn yhteen, muodostuu polynomi. Polynomi, joss on vin yksi termi snotn monomiksi, kksitermistä inomiksi j kolmitermistä trinomiksi. Polynomin steluvull trkoitetn sen steluvultn korkeimmn termin steluku. Polynomin käsitteen ymmärtäminen on perust yhtälöiden (mtemttisten lusekkeiden) muodostmiselle j rtkisemiselle. Esimerkki. Polynomi Polynomi Polynomi y on trinomi j sen steluku on. on monomi j sen steluku on. y on inomi j sen steluku on. Esimerkki. Lsketn trinomin rvo, kun = j = -. Sijoitetn muuttujien j rvot trinomiin vstvien muuttujien piklle ( ).

68 Tehtäviä. Jäljennä tulukko vihkoosi j täydennä puuttuvt tiedot. termi kerroin muuttujos steluku yz -. Onko kyseessä monomi, inomi vi trinomi? 9. Lske inomin rvo, kun on 0.. Lske monomin rvo, kun on 0, 0.. Mikä on polynomin steluku? y 8y n. Lske monomin rvo, kun = j = - = - j =. 8. Lske inomin rvo, kun z 8

69 . 9. Onko väite tott? Polynomiksi snotn summlusekett, jonk yhteenlskettvt ovt monomej. Vkiotermi ei ole monomi. Myös pelkät monomit ovt polynomej. On olemss termejä, joill ei ole kerroinos. e) On olemss termejä, joill ei ole muuttujos. 0. Nimeä polynomit termien lukumäärän mukn. c y y. Keksi itse jokin monomi inomi trinomi.. Luettele polynomin termit termien kertoimet vkiotermit. 8. Jäljennä tulukko vihkoosi j lske polynomin + rvo tulukoss olevill :n rvoill Ot riittävä määrä seurvist termeistä j muodost niistä jokin c y,,, d monomi inomi trinomi polynomi., - c, 9

70 . Lske polynomin rvo, kun. Lske polynomin rvo, kun j. Suorkulmion piiri lsketn kvll suorkulmion piiri, kun =, cm j =, cm = mm j = mm p (, joss j ovt sivujen pituudet. Lske 8. Mitkä ovt monomien steluvut? z y ²³c 9. Mikä on vkiotermin steluku? 0. Millä muuttujn rvoll inomi 0 - s rvon. Lske polynomin = = = 0. 8 rvo, kun. Lske polynomin y = j z = - y = j z = y = - j z = 0. y yz z rvo, kun 0

71 . Määritä polynomien steluku. ( ) ( ) ( ). Mitkä on oltv :n j y:n rvot, jott kuvss olisi suorkulmio?. Millä :n rvoll polynomit j svt smn rvon?

72 . Termien yhdistäminen j järjestäminen Termit ovt smnmuotoisi, jos niillä on täsmälleen sm kirjinos. Myös vkiot ovt keskenään smnmuotoisi. Vin keskenään smnmuotoiset termit voidn yhdistää yhteen- j vähennyslskuss. Yhdistettäessä smnmuotoisi termejä lsketn kertoimien summ ti erotus j kirjinos pysyy smn. Esimerkki. Sievennetään lusekkeet, jos mhdollist. 8 cm + 0 Ei void yhdistää, kosk termeillä on eri kirjnost. e) Ei void yhdistää, kosk termeillä on eri kirjnost. 0m m m 9 Esimerkki. Sievennetään lusekkeet.

73 Esimerkki. Järjestetään polynomit.

74 Tehtäviä. () () () (). Lske ( ) e) 8. Lske. kg + kg + m m m 8 s s s Lske. koir + kiss + koir km min + min cm + - cm y + 9y - 0. Pljonko sinull on rh jäljellä, jos ostoksille lähtiessä sinull oli 0 j ostokset mksoivt? 0 j ostokset mksoivt? j ostokset mksoivt? j ostokset mksoivt?. Muodost j sievennä suorkulmion piirin luseke..

75 Yhdistä smnmuotoiset termit. 9 c 8c 9c c c c c c. Järjestä polynomit. c z y y u t v 8. Järjestä polynomit. y y y u 9u u u. 8y y 9 8 y y y 8. Lske kuvioiden piirit.

76 9. Mitkä seurvist termeistä ovt keskenään smnmuotoisi?, c, d,,, 0. y y 8 y,,,,, y y y y m m m m y.. ( ( c (. y y ( 9 y) ( y ( ) ( 0 ). Keksi kksi monomi, joiden summ on )

77 . Merkitse kirjinlusekkeen oheisen tsokuvion piiri. (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 99)

78 . Polynomien yhteen- j vähennyslsku Polynomien yhteen- j vähennyslskuiss on oltv trkkn, kun sulkeit poistetn. Sulkeiden edessä olev plusmerkki ei iheut muutoksi termien etumerkkeihin, kun sulkeet poistetn. Jos sulkeiden edessä on miinusmerkki, on kikkien termien etumerkit vihdettv vstkkisiksi sulkeit poistettess. Jos et muist, miten khden etu- j lskumerkin yhdistelmät korvtn yhdellä merkillä, plut ne mieleen seurvst tulukost. Nämä on osttv. merkkiyhdistelmä korvtn merkillä esimerkki + ( ( + ) = - ( ( + ) = - + ( ( -) = - - ( ( -) = Kht polynomi, joiden summ on noll, snotn toistens vstpolynomeiksi. Polynomin vstpolynomi sdn vihtmll polynomin jokisen termin etumerkki. Esimerkki. Muodostetn j sievennetään polynomien j summ. Summ merkitään ( ) ( ). Esimerkki. Muodostetn j sivennetään polynomin vstpolynomi. Vstpolynomi muodostetn kuten vstluku eli litetn polynomin eteen miinusmerkki. 8

79 Esimerkki. Muodostetn j sievennetään polynomien j erotus. Polynomit vähennetään toisistn lisäämällä ensimmäiseen polynomiin jälkimmäisen polynomin vstpolynomi. Esimerkki. Lsketn polynomin ( rvo, kun = 0. Ennen muuttujn rvon sijoittmist, knntt polynomi sieventää! ( Sijoitetn sievennettyyn lusekkeeseen muuttujn piklle 0 9

80 Tehtäviä. Poist sulkeet. ( y ) ( ) ( y) ( 8 y ). ( ) ( ) ( ) 8. Muodost j sievennä polynomien vstpolynomit. y c 9. ( ) (8 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 9) ( ). Vähennä inomist monomi inomi trinomi 8. Lske lusekkeen ( ) ( ) rvo, kun = 80

81 = = -. Poist sulkeet j sievennä. ( ( (. Lske inomien summ erotus. y j y. Vähennä trinomist inomien j erotus.. Lske edellisen tehtävän polynomin rvo, kun = = -.. Muodost polynomin vstpolynomi vstpolynomin vstpolynomi. 8. ( ( ) ( ) ( ) ) 9. Poist sulkeet j yhdistä smnmuotoiset termit. ( ) ( y) ( ) ( ( ( ( y) ( y) ( 8y) 80. Lske lusekkeen =, = = -, = = -, = - ( ( ) rvo, kun 8. Sievennä j lske polynomin rvo, kun. 8

82 8 ) 9 ( ) ( 8 8. Mikä on puuttuv polynomi? ) ( 0 ) ( ) ( 8. Lske khden prillisen kokonisluvun m j n neliöiden summ. 8. ) ( ) ( ) ( ) ( 8. Lske lusekkeen rvo, kun = = -00.

83 . Monomin kertominen monomill Trkstelln khden monomin j tulo. Molemmt termeistä muodostuvt kertoimen j muuttujosn tulost, joten voidn kirjoitt muodoss Jos monomeiss on muuttujin smoj kirjimi, sovelletn niiden kertolskuss potenssien lskusääntöjä. Jos muuttujin on eri kirjimi, jää ne vstukseen kertolskumuotoisen eikä niitä void yhdistää. Esimerkki. Sievennetään lusekkeet. ( y) ( ) y 8y ( ) ( ) ( y) ( ) y y Esimerkki. Lsketn monomien tulot. ( ) ( ) 0 e) ( y) ( ) ( ) y y ( ) y y ( y ) ( ) y y y 8 y 8y 0 8

84 Tehtäviä 8. Lske. ( 8) 8 ( 9) 8. 9e f ( ) g f f 88. Lske. c c d d 89. Muodost j sievennä monomien summ erotus tulo. j 90. Lske. ( ) 9. Merkitse j lske monomien tulo. j y j 9 j y j y y 9. Lske. 8

85 ( 9. Pljonko mks yhteensä ruusu, kun yhden hint on ruusu, kun yhden hint on ruusu, kun yhdne hint on y ruusu, kun yhden hint on? 9. Lske. ( y) y y y y ( 9. mn m n st s p p t y) ( p) 9. Päättele puuttuv monomi ( ) 9. Keksi kksi monomi, joiden tulo on c y. 98. y y y y ( y) y y z 8

86 99. y y y y y y ( y) y 8y y y 00. Lske suorkulmion piiri pint-l. 0. Mikä on tummennetun lueen pint-l? 0. Päättele puuttuv monomi c d ( c ( c g 0. h 8g h gh d ) 8

87 8 c c 0. y k y y k y 8

88 . Polynomin kertominen monomill ( ) Normlej lskusääntöjä noudtten luseke, jok siis trkoitt sm kuin, sievennetään seurvsti:. Smn tulokseen päädytään myös kertomll ensiksi molemmt yhteenlskettvt erikseen ( ) 8. Jos lusekkeess on mukn muuttuji, mitkä estävät suluiss olevn summn sieventämisen, nt jälkimmäinen tp mhdollisuuden sulkujen poistmiseen. ( ) ( ) Esimerkki. Kerrotn polynomi monomill. Esimerkki. ( ) Lsketn. Päättelyn pun voidn käyttää suorkulmiot, jonk sivujen pituudet ovt j ( + ). Vstus sdn suorkulmion pint-lst. Vstus:

89 Esimerkki. Kerrotn polynomit monomill. 89

90 Tehtäviä 0. Sievennä käyttäen pun suorkulmion pint-lmlli. 0. Muodost pint-lojen lusekkeet j sievennä ne. 08. Lske edellisen tehtävän pint-lojen rvot, kun 09. Lske. ( ) ( y) y( y) ( y) 0. Poist sulkeet. ( (m ) ( s ) (t v). Poist sulkeet. ( ) ( ) ( ) ( ) j y.. Lske edellisen tehtävän lusekkeiden rvot, kun. Poist sulkeet j sievennä.. 90

91 ( ) ( y) y ( ) ( y) y. Poist sulkeet j sievennä. ( ) ( ) ( ) ( ). Poist sulkeet j sievennä. ( t ) t r( r ) r 8( r s) s w( w) w. Poist sulkeet j sievennä. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Poist sulkeet j sievennä. 8(e ) ( e ) f ( f ) f ( f ) u( u ) u(u ) g( g) ( g g) 8. Täydennä. y (......) y ( ) 8y ( ) ( ) 9. Päättele puuttuv monomi. ( )( - ) 9 9

92 ( ( )( y ) y y )( ) 8 0. Päättele puuttuv inomi. ( ) y( y ) (y y ( ) y y ). Aikuisen lippu tidegllerin mks euro, lsten lippu mks euro vähemmän. Kirjoit luseke, jok kuv lsten lipun hint. Antti vei kolme lstns tidegllerin. Kuink pljon hänen j lsten liput tulivt kokonisuudessn mksmn?. Lske khden peräkkäisen kokonisluvun n j n + summn j erotuksen tulo.. Merkitse j lske lusekkeet, kun Q e) f) P P P ( Q) P P Q P P Q P Q P P( ) j Q( ).. Millä :n rvoill tulo ( ) s negtiivisi rvoj? (yo kevät 99). Osoit, että kikki kolminumeroiset luvut, joiden keskimmäinen numero on yhtä suuri kuin muiden summ, ovt jollisi yhdellätoist. Tällisi lukuj ovt esimerkiksi 0, 8, 9 j

93 . Polynomin kertominen polynomill Esimerkki. Määritetään suorkulmion pint-l, kun sen sivujen pituudet ovt j. Pint-l on neljän pienemmän suorkulmion lojen summ A 8 Toislt pint-l sdn lsketuksi myös suorkulmion sivujen pituuksien tulon. Vstus: Suorkulmion pint-l on. Huom! Termit kerrotn siis tässä järjestyksessä keskenään: ensimmäiset, uloimmt, sisimmät j viimeiset. 9

94 Polynomien kertolskuiss tulee helposti huolimttomuusvirheitä. Muist, että jokiseen termiin kuuluu myös sen edessä olev etumerkki. Esimerkki. Kerrotn inomi j trinomi keskenään. 9

95 Tehtäviä. Lske kuvion piiri pint-l. ( )( ) ( )( ) ( c )( c ) 8. Lske suorkulmion pint-l kun sen sivujen pituudet ovt j j j 9. Neliön sivun pituus on y +. Muodost j sievennä neliön piirin pint-ln luseke. 0.. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ). Muodost j sievennä inomien summ erotus tulo. j 9

96 . Muodost suorkulmioiden pint-lojen lusekkeet.. Sievennä edellisen tehtävän lusekkeet.. ( ) ( )( ) ( ). Kerro monomien j summ monomien j erotuksell.. 8. Merkitse j sievennä lukujen j summn j erotuksen tulo. 9. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0. ( c d( c ( c ( c ( )( 9

97 . ( ) ( )( ). Sievennä.. Osoit, että.. ( ) t( t ) t( t) (t )( t ). ( ) ( ( ( m) ( ) ( ) ( ). Muodost j sievennä vrjostetun lueen pint-ln luseke.. A Lusu polynomin luseke, missä. (yo kevät 98) A 8. Osoit, että luku 99) ( n ) n on jollinen khdeksll, kun n on kokonisluku. (yo syksy 9

98 . Kertustehtäviä Smnkntisten potenssien tulo 9. Onko potenssin rvo positiivinen vi negtiivinen? 0. Merkitse j lske luvun - viides potenssi viidennen potenssin vstluku neliö kuutio.. Sievennä j ilmoit vstus potenssimuodoss.. Merkitse j sievennä potenssien j j j tulo... y () y 8 y y 8 y 98

99 . Jäljennä kuvio vihkoosi j merkitse vierekkäisten potenssien tulo niiden yllä olevn ympyrään.. Päättele mikä luku sopii :n piklle? 9 8 Smnkntisten potenssien osmäärä j noll eksponetti. Lske. 8. Lske. e) () y

100 8c c d d Merkitse yhtenä potenssin j lske. ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ). Merkitse j sievennä potenssien osmäärä tulo. 0 8 j. Sievennä j lske lusekkeen rvo, kun. 8. Päättele puuttuv termi.?? 8 0? 8 0?. 0 00

101 c c 0 c c Potenssin potenssi... Päättele, mikä luku sopii :n piklle? 8. Sievennä. 9. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0,,

102 0 99 c c 0.. Mikä luvun potenssi on yhtä suuri kuin potenssi on yhtä suuri kuin 8 8 potenssi on yhtä suuri kuin 9. 0 y y z z Negtiivinen eksponentti. Merkitse murtolukun. 99. Merkitse positiivisen eksponentin vull. ( e) 0

103 . Lske, ilmoit vstus murtolukun.. Lske lukujen j summ erotus tulo osmäärä. Ann vstus murtolukun.. Kirjoit positiivisen eksponentin vull. 8. Lske. 9. Lske Ilmoit luvun kksi potenssein sievennetyssä muodoss. 9 () ( ) ( 8 ) ( ) ( 0 )

104 Tulon potenssi Merkitse neliön pint-l potenssimuodoss j sievennä luseke, kun neliön sivun pituus on m 9 m Merkitse j sievennä potenssi, jonk kntluku on j eksponentti kntluku on cd j eksponentti kntluku on j eksponentti kntluku on j eksponentti. 8. Minkä lusekkeen kuutio on e)? 8. Päättele puuttuv kntluku. ( ) ( ( 8 ( y) (y) 8 0,008 y y 0,c 8 0

105 8. Merkitse yhtenä potenssin c c Osmäärän potenssi 89. Mikä on eksponentin kntluku?

106 y Muodost j sievennä lukujen j osmäärän kuutio Merkitse yhtenä potenssin. y y y 8 y y 9. Vstuksiss ei s s esiintyä negtiivisi eksponenttej. 0

107 c c c Kymmenpotenssimuoto 9. Kirjoit kymmenpotenssien vull st tuht miljoon 98. Kirjoit normlimuodoss ilmn kymmenpotenssej. e) 0, 0 0,0 9, Kirjoit kymmenpotenssimuodoss Kirjoit kymmenpotenssimuodoss Kirjoit msst kymmenen potenssin vull. 0,00 kg 0, kg 0, kg. 0. Ilmoit luvut kymmenpotenssimuodoss. 0

108 ,000 0, Seurvt kymmenpotenssimuodot eivät ole oikein, korj ne., 0 0, 0 0, 0 0, 0 0. Kuink mont noll on luvuss (0 00 ) 00, jos se kirjoitetn muotoon ? (yo kevät 988) Potenssej lskimell 0. Lske lukujen kuutiot Lske j nn vstus kokonislukun ti desimlilukun Ann vstukset kymmenpotenssimuodoss khden desimlin trkkuudell. 8 - (-) (-0,0) Ann vstus kolmen merkitsevän numeron trkkuudell., 0,8 08

109 , 0,9 09. Montko numero luvuiss on? 0. Lske.. Lske lusekkeet j nn vstukset kolmen merkitsevän numeron trkkuudell, kun j , 0,8 0, 0, 0 9 c,,,, ( c 0. Määritä potenssin 00 likirvo khden numeron trkkuudell. Montko numero kyseisessä luvuss on? Lusekkeit. Lske lusekkeen. Lske lusekkeen 0 8 rvo, kun rvo, kun. Jonoss on lunperin n poik. Montko poik on jonoss, jos 09

110 jonoon tulee poik lisää poik lähtee jonost tyttöä tulee jonoon poik lähtee jonost j y tyttöä tulee jonoon?. Kopioi tulukot vihkoosi j täydennä lusekkeen rvot.. Lske lusekkeen = j = = - j = = j = - = - j = - rvo, kun 8. Ihmisen verenpine vihtelee sydämen toiminnn mukn. Kun sydän supistuu, verenpine on suurimmilln. Tätä snotn systoliseksi pineeksi. Kun sydän ljenee, on verenpine pienimmillään. Tätä pinett snotn distoliseksi pineeksi. Verenpineen yksikkönä käytetään elohopemillimetriä (mmhg). Systolisen verenpineen normlirvo voidn lske lusekkeell henkilön ikä vuosin systolinen pine 0 Lske, mikä on systolisen pineen normlirvo ikäiselläsi 9-vuotill 0-vuotill 98 vuotill 9. Kirjoit lusekkeen: Lukujen - j tulo jetn luvull j osmäärään lisätään lukujen j erotus. 0. Lske edellisten tehtävän lusekkeen rvo, kun = -. Polynomi. 0

111 Jäljennä tulukko vihkoosi j täydennä puuttuvt tiedot. monomi kerroin kirjinos Kirjoit polynomi, jonk termit ovt j -, j -, j -y. Montko termiä on inomiss monomiss trinomiss?. Mikä on polynomin steluku? t 8 c y 8 m 9. Mikä on polynomin neljännen toisen ensimmäisen steen termin kerroin?. Keksi polynomi, jonk steluku on 00 k 8. Millä :n rvoll polynomit j svt smn rvon? y k. Lske polynomin y c rvo, kun =, y = j z = =, y = - j z = 9

112 Termien yhdistäminen j järjestäminen 9. Ktriin sievensi lusekkeen. Hän ei ymmärrä, miksi vstus on väärin. Korj hänen virheensä j selitä mikä hänen vstuksessn on väärin. 0. Järjestä polynomit. Järjestä polynomit.. Keksi kolme muut termiä, jotk ovt smnmuotoisi kuin c c + +. n n 0 y. Yhdistä smnmuotoiset termit. 9. c 9 y y y u 9u u u y y m m m y y y 9 c c 9c