Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?"

Transkriptio

1 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen. Perustele lyhyesti käyttämäsi kvt. Srj A A1 Jlkpllomlivhti nt mlipotkun siten, että pllo s lähtönopeuden 23 m/s. Kuink suurell korotuskulmll mlivhdin on potkistv pllo, jott se lentää ilmss suorn keskikenttäpeljn jlkn, jok sijitsee etäisyydellä 51 m pllon lähtöpikst? Ilmnvstust ei otet huomioon. A2 Lsse (mss 55 kg) lskee suksill mäkeä, jonk pituus on 45 m j kltevuuskulm horisonttitsoon nähden on 17. Lssen suksien j lumen välinen liukukitkkerroin on 0,16. Ilmn j lumen lämpötil on 0 C. ) Kuink suuri on Lssen nopeus mäen ll, kun hän lähtee liikkeelle levost? Ilmnvstust ei otet huomioon. b) Kuink pitkän mtkn Lsse liukuu vielä mäen ll olevll vksuorll tsisell osuudell? c) Kuink pljon lunt voi sul enintään Lssen suksien ll? A5 Olet pudottnut kotivimesi reunojn myöten täynnä olevn uim-ltseen (ks. Kuv 1). Kun seisot ltn reunll, vimesi näkyvät ltn pohjll suunnss, jok on 58,0 horisonttitson lpuolell. Silmäsi ovt korkeudell y = 1,62 m ltn reunst j uim-ltn syvyys on h = 3,00 m. ) Näetkö vimesi olevn todellist lähempänä vi kuempn ltn seinämästä? Piirrä kuv. (2 p.) b) Lske vimiesi etäisyys x ltn seinämästä. (4 p.) y h x Kuv 1 n i n v A3 A4 Vedessä syvyydellä 56 m olevn sukeltjn hppilitteest lähtee ksukupl, jonk säde on 5,0 mm. Vedenpinnss veden lämpötil on 19 C j sukeltjn syvyydellä 11 C. ) Kuink suuri pine on hppilitteest lähtevän ksukupln sisällä? Perustele. (2 p.) b) Kuink suuri on ksukupln säde juuri ennen vedenpint? (4 p.) Kksi hehkulmppu, joiden resistnssit ovt R 1 = R 2 = 1,3 Ω, kytketään pristoon, jonk npjännite on U = 1,5 V. Olet, että lmppujen resistnssit j priston npjännite ovt vkioit. ) Perustele, miten hehkulmput on kytkettävä priston knss, jott ne plvt mhdollisimmn kirkksti. Piirrä kytkentä. (4 p.) b) Lske tehohäviö toisess hehkulmpuist, kun lmpun kirkkus on mhdollisimmn suuri. (2 p.) A6 Rdioktiivist suolliuost säilytetään lumiinisess suljetuss stiss, jonk seinämän pksuus on 3,0 cm. Rdioktiivinen isotooppi on 22 N, jok hjo β + - hjomisell. Syntynyt tytärydin on hjomistphtumn jälkeen virittyneessä tilss j se lähettää perustiln siirtyessään gmmfotonin, jonk energi on 1,28 MeV. Säteilyilmisimell mittn stin ulkopuolell hjomisprosessist hvinto sekunniss. Kuink kun suolliuost on säilytettävä, ennenkuin se voidn kerrll kt viemäriverkkoon, jos viemäriverkkoon kerrll kdettvn nesteen suurin sllittu ktiivisuus on 15 MBq. Olet, että säteily kulkee kohtisuorsti stin seinämän läpi. VAKIOITA: Absoluuttinen nollpiste T 0 = 273,15 C Alumiinin mtkvimennuskerroin µ Al = 22,8 m 1 Avogdron vkio N A = 6, mol 1 Ilmn moolimss M i = 29,0 g mol 1 Ilmn titekerroin n i = 1,00 Jään (lumen) ominislämpökpsiteetti c j = 2,10 kj kg 1 K 1 Jään (lumen) sulmislämpö L s = 333 kj kg 1 22 N:n puoliintumisik T 1/2 = 2,6 Normli ilmnpine p 0 = 1, P Plnckin vkio h = 6, Js Putomisliikkeen kiihtyvyys g = 9,807 m s 2 Vlon nopeus tyhjiössä c = 2, m s 1 Veden ominislämpökpsiteetti c v = 4,19 kj kg 1 K 1 Veden titekerroin n v = 1,33 Veden tiheys ρ v = 1, kg m 3 Yleinen ksuvkio R = 8,3145 J mol 1 K 1

2 suure, lki yksikkö kv Pikk ( vkio) m r = r 0 + v 0 t t2 Nopeus ( vkio) m/s v = v 0 + t Liikemäärä kgm/s p = m v p = E c Voimn impulssi Ns I = F t Liikeyhtälö Fi = m Liikekitkvoim N F µ = µn Vääntömomentti Nm M = r F Hitusmomentti kgm 2 J = m i r 2 i Mgneettinen voim N F = q v B Työ J W = F r Energi J E p = mgh E k = 1 2 mv2 E = hf E = mc 2 E = 1 2 CU 2 Lämpömäärä J Q = cm T Q = Lm Teho W P = W t P = F v P = UI Sähkökentän voimkkuus V/m E F = q Jännite (E vkio) V U = Ed (R vkio) U = RI U = Q C suure, lki yksikkö kv Kpsitnssi F C = ɛ A d (tpus 1) (tpus 2) C = C i C 1 = C i 1 Resistnssi Ω R = ϱ l A (tpus 1) (tpus 2) R = R i R 1 = R i 1 Mgneettikentän voimkkuus A/m H = B µ Mgneettivuo Wb Φ = A B Tiheys kg/m 3 ρ = m V Ainemäärä mol n = m M Pine P p = F A p = ρgh Ideliksulki pv = nrt Allon nopeus m/s v = fλ v = c n Tittuminen n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2 Hilyhtälö d sin α = mλ Jksonik s T = 1 f Aktiivisuus Bq A = A 0 e λt Puoliintumisik s T 1/2 = ln 2 λ Heikennyslki I = I 0 e µx Trigonometri sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ

3 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 1 Jlkpllomlivhti nt mlipotkun siten, että pllo s lähtönopeuden 23 m/s. Kuink suurell korotuskulmll mlivhdin on potkistv pllo, jott se lentää ilmss suorn keskikenttäpeljn jlkn, jok sijitsee etäisyydellä 51 m pllon lähtöpikst? Ilmnvstust ei otet huomioon. Alkurvot: y(t) v 0 α v 0 x (m/s) (m) A: B: C: D: Liike on tsisesti kiihtyvää y-suunnss j tsist x-suunnss, jolloin y(t) = y0 + v y0 t t2 ( ) x(t) = x 0 + v x0 t, missä vlitn y 0 = 0 j x 0 = 0 j missä vx0 = v 0 cos α v y0 = v 0 sin α j = g y(t) = 0. ( ) Rtkisemll molemmist yhtälöistä t (t = 0 ti) t = 2vy0 g t = x v x0 ( ) x x(t) Oiket vstukset: α trk+1 1% +1% α trk+1 1% +1% ( ) ( ) ( ) ( ) (rd) (rd) (rd) (rd) A: 35 35,5 35,1 35,9 0,62 0,620 0,613 0,627 B: 31 31,4 31,0 31,8 0,55 0,549 0,543 0,555 C: 28 28,3 28,0 28,6 0,49 0,493 0,488 0,498 D: 26 25,6 25,3 25,9 0,45 0,446 0,441 0,451 Tp 2: Rtkistn ik t jommst kummst yhtälöstä j sijoitetn se toiseen yhtälöön. Esim. x(t) = x0 + v x0t t = x v x0 y(t) = y 0 + v y0 t t2 = v y0 t 1 2 gt2 = 0. Sijoittmll ik t jälkimmäiseen yhtälöön x v 0 sin α v 0 cos α 1 ( ) 2 x 2 g = 0 2 sin α cos α = gx v 0 cos α v0 2. Tp 3: Muuten smll tvll, mutt ( ):llä merkityt kohdt korvutuvt kvoill v y (t) = v y0 + t v y (t) = 0 lkipisteessä t = 2 vy0 g Huom: On olemss toinenkin rtkisu: jos α on rtkisu, niin (90 α) on myös rtkisu (fysiklinen), kosk sin α cos α = cos(90 α) sin(90 α). Toist rtkisu ei vdit täysiin pisteisiin. sdn ik t eliminoitu 2v 0 sin α x = g v 0 cos α 2 sin α cos α = gx v0 2. Trigonometrist 2 sin α cos α = sin 2α, joten sin 2α = gx v 2 0 α = 1 2 rcsin ( gx v 2 0 ).

4 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 2 Lsse (mss 55 kg) lskee suksill mäkeä, jonk pituus on 45 m j kltevuuskulm horisonttitsoon nähden on 17. Lssen suksien j lumen välinen liukukitkkerroin on 0,16. Ilmn j lumen lämpötil on 0 C. ) Kuink suuri on Lssen nopeus mäen ll, kun hän lähtee liikkeelle levost? Ilmnvstust ei otet huomioon. b) Kuink pitkän mtkn Lsse liukuu vielä mäen ll olevll vksuorll tsisell osuudell? c) Kuink pljon lunt voi sul enintään Lssen suksien ll? Alkurvot: m s 1 θ µ T (kg) (m) ( ) ( ) (K) A-D: ,16 273,15 Lsse kuvv voimkuvio -kohdss j b-kohdss. ) (mx 2p) Kitkvoimn tekemä työ mtkll s 1 on ) N y F µ x θ h G s 1 θ F µ = µn = µmg cos θ b) F µ W µ = F µ s 1 = F µ s 1 = µmg cos θ s 1. N G Liike-energin muutos on sm kuin ulkoisten voimien tekemä työ (ti K = W g + W µ = U + W µ ti K + U + W = K l + U l ) ti ( ) 1 2 mv2 0 = (0 mgh) + W µ, j kosk h = s 1 sin θ, sdn nopeudelle luseke v = 2gs 1 (sin θ µ cos θ) = 11 m/s. s 2 c) (mx 2p) Lumen sultukseen käytettävissä olev energi on E = E luss E lopuss eli E = (mgh 0) = m lumi L s m lumi = mgh = mgs 1 sin θ = 21 g. L s L s Trk+1 21,3 g j virherjt 21,0 21,6 g. ) Tp 2: s(t) = s 0 + v 0 t t2 v 0=0 t = v(t) = v 0 + t v0=0 2s = 1 = 2s 1 Newton II (dynmiikn peruslki): = F m = G x F µ m b) Tp 2: v(t) = v0 + t = 0 t = v0 s 2 (t) = s 0 + v 0 t + 1 s0=0 2t2 Newton II (dynmiikn peruslki): = F m = F µ m = µg 2(s s 0) 2s = 1 = g(sin θ µ cos θ) = v ( v0 ) 2 v0=v = 1 v 2 2 c) Tp 2: Kitkvoimien tekemä työ voidn käyttää lumen sulttmiseen, eli (µmg cos θ s 1 + µmg s 2 ) = m lumi L s m lumi = mgµ(s 1 cos θ + s 2 ) L s Trk+1 11,1 m/s j virherjt 10,9 11,3 m/s. b) (mx 2p) Liike-energin muutos on sm kuin kitkvoimn F µ = µmg tekemä työ tsisell mtkll s 2, joten K = (0 12 ) mv2 = µmg s 2 s 2 = v2 = 39 m. 2µg Trk+1 39,2 m j virherjt 38,8 39,6 m.

5 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 3 Vedessä syvyydellä 56 m olevn sukeltjn hppilitteest lähtee ksukupl, jonk säde on 5,0 mm. Vedenpinnss veden lämpötil on 19 C j sukeltjn syvyydellä 11 C. ) Kuink suuri pine on hppilitteest lähtevän ksukupln sisällä? Perustele. (2 p.) b) Kuink suuri on ksukupln säde juuri ennen vedenpint? (4 p.) Alkurvot: h r 2 T 1 T 1 T 2 T 2 (m) (mm) ( C) (K) ( C) (K) A: 56 5, , ,15 B: 48 4, , ,15 C: 52 4, , ,15 D: 44 3, , ,15 ) (mx 2p) Pine vedessä syvyydellä h on Oiket vstukset: p 2 = p 1 + ρgh = p 0 + ρ v gh = 1, P + ρ v gh. p 2 trk+1 1% +1% (10 5 P) (10 5 P) (10 5 P) (10 5 P) A: 6,5 6,50 6,43 6,57 B: 5,7 5,72 5,66 5,78 C: 6,1 6,11 6,04 6,18 D: 5,3 5,33 5,27 5,39 Kupln tilvuus on V = 4 3 πr3, joten Tällöin jost sdn, kun p 1 = p 0, Oiket vstukset: V 1 V 2 = ( r1 4 3 πr πr3 2 r 2 = ( r1 r 2 ) 3 = p 2T 1 p 1 T 2, p 3 2 T 1 r 1 = r 2. p 0 T 2 ) 3. r 1 trk+1 1% +1% (mm) (mm) (mm) (mm) A: 9,4 9,38 9,28 9,48 B: 8,1 8,09 8,00 8,18 C: 7,3 7,35 7,27 7,43 D: 6,1 6,14 6,07 6,21 b) (mx 4p) Voidn olett, että ksu käyttäytyy kuten ideliksu (Voidn käyttää ideliksulki), jolloin nrt = pv nr = pv T = vkio ti ideliksulist seur p 1V 1 T 1 = p 2V 2 T 2 V 1 V 2 = p 2T 1 p 1 T 2.

6 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 4 Kksi hehkulmppu, joiden resistnssit ovt R 1 = R 2 = 1,3 Ω, kytketään pristoon, jonk npjännite on U = 1,5 V. Olet, että lmppujen resistnssit j priston npjännite ovt vkioit. ) Perustele, miten hehkulmput on kytkettävä priston knss, jott ne plvt mhdollisimmn kirkksti. Piirrä kytkentä. (4 p.) b) Lske tehohäviö toisess hehkulmpuist, kun lmpun kirkkus on mhdollisimmn suuri. (2 p.) Alkurvot: R 1 = R 2 R U (Ω) (V) A: 1,3 1,5 B: 1,6 1,5 C: 1,9 1,5 D: 2,2 1,5 ) (mx 4p) Suurempi tehonkulutus pl kirkkmmin. Kuv. Lmput rinnn. Rinnnkytkennän ekvivlentti resistnssi on ( 1 R eq = + 1 R 1 R 2 Tehonkulutus on Kuv. Lmput srjss. R 1 R 2 U I 1 I 2 I ) 1 = 1 2 R. P rinnn = UI = U U R eq = 2 U 2 R. Srjnkytkennän ekvivlentti resistnssi on Tehonkulutus on R eq = R 1 + R 2 = 2R. R 2 R 1 P srjss = UI = U U = 1 U 2 R eq 2 R. Kosk P srjss < P rinnn, niin tehonkulutus on rinnnkytkennässä suurempi, jolloin lmputkin plvt kirkkimmin. I U Lukurvoill: P rinnn P srjss (W) (W) A: 3,46 0,87 B: 2,81 0,70 C: 2,37 0,59 D: 2,05 0,51 b) (mx 2p) Kirchhoffin säännöistä rinnnkytketyille lmpuille I = I 1 + I 2 U I 2 R 2 = 0 U I 1 R 1 = 0 I 1 = U R 1 = U R j tehonkulutus P 1 = UI 1 = U 2 Oiket vstukset. Sm tulos lmpulle 2. R P 1 trk+1 1% +1% (W) (W) (W) (W) A: 1,7 1,73 1,71 1,75 B: 1,4 1,41 1,39 1,43 C: 1,2 1,18 1,16 1,20 D: 1,0 1,02 1,00 1,04 b) Tp 2: Symmetrin (R 1 = R 2 ) perusteell I 1 = 1 2 I = 1 U = 1 2 R eq 2 2U R = U R P 1 = UI 1 = U 2 R b) Tp 3: Symmetrin (R 1 = R 2 ) perusteell P 1 = 1 2 P rinnn = U 2 b) Tp 4: Kosk U on sm rinnnkytkennässä, niin P 1 = UI 1 = U U = U 2 = U 2 R 1 R 1 R R

7 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 5 Olet pudottnut kotivimesi reunojn myöten täynnä olevn uim-ltseen (ks. Kuv 1). Kun seisot ltn reunll, vimesi näkyvät ltn pohjll suunnss, jok on 58,0 horisonttitson lpuolell. Silmäsi ovt korkeudell y = 1,62 m ltn reunst j uim-ltn syvyys on h = 3,00 m. ) Näetkö vimesi olevn todellist lähempänä vi kuempn ltn seinämästä? Piirrä kuv. (2 p.) b) Lske vimiesi etäisyys x ltn seinämästä. (4 p.) y h x Kuv 1 n i n v b) (mx 4p) Veden j ilmn rjpinnll vlonsäde tittuu normlist poispäin. Snellin lki (ti tittumislki) nt Kuvst nähdään tittumiskulm Tulokulm on nyt γ = rcsin n v sin γ = n i sin β. β = 90 α = 32,0 (0,55851 rd). ( ) ni sin β = 23,480 (0,42751 rd). n v Mtk x sdn kuvst käyttämällä trigonometri x = y tn β + h tn γ. Alkurvot: ) (mx 2p) Kuv α n i n v y h ( ) ( ) ( ) (m) (m) A: 58,0 1,00 1,33 1,62 3,00 B: 58,0 1,00 1,33 1,62 3,20 C: 58,0 1,00 1,33 1,77 3,20 D: 58,0 1,00 1,33 1,77 3,50 y h α β γ x } }} } y tn β h tn γ n i n v Oiket vstukset: x trk+1 1% +1% (m) (m) (m) (m) A: 2,32 2,316 2,292 2,340 B: 2,40 2,402 2,377 2,427 C: 2,50 2,496 2,471 2,521 D: 2,63 2,626 2,599 2,653 Avimet näyttävät olevn todellist kuempn.

8 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe , mllirtkisut. 6 Rdioktiivist suolliuost säilytetään lumiinisess suljetuss stiss, jonk seinämän pksuus on 3,0 cm. Rdioktiivinen isotooppi on 22 N, jok hjo β + - hjomisell. Syntynyt tytärydin on hjomistphtumn jälkeen virittyneessä tilss j se lähettää perustiln siirtyessään gmmfotonin, jonk energi on 1,28 MeV. Säteilyilmisimell mittn stin ulkopuolell hjomisprosessist hvinto sekunniss. Kuink kun suolliuost on säilytettävä, ennenkuin se voidn kerrll kt viemäriverkkoon, jos viemäriverkkoon kerrll kdettvn nesteen suurin sllittu ktiivisuus on 15 MBq. Olet, että säteily kulkee kohtisuorsti stin seinämän läpi. Huom: Hjomislki voidn esittää myös muodoss A (t) = A 0 ( 1 2) t/t1/2, jok on sm kuin kvkokoelmss esiintyvä kv: ( ) t/t1/2 ( ) λt/ ln 2 ( ) λt/ ln A ( (t) = A 0 = A 0 = A e ln 2 = A 0 e ln 2 ) λt/ ln 2 = A0 e λt. Alkurvot: x E A A µ Al T 1/2 (cm) (MeV) (MBq) (MBq) (m 1 ) () A-D: 3,0 1, ,8 2,6 Astin ulkopuolell mittn hjomistphtumst hvintoj sekunniss (heikennyslki) A = A 0 e µx, missä A 0 on lähteen ktiivisuus, jok pienenee eksponenttilisesti myös jn t funktion (hjomislki) A (t) = A 0 e λt, missä hjomisvkio λ sdn puoliintumisjst T 1/2 = ln 2 λ λ = ln 2 T 1/2. Hlutn tietää jnhetki t, jolloin näytteen ktiivisuus A 15 MBq, kun mittushetkellä stin ulkopuolell hvitn A = 22 MBq. Kosk β-säteily ei kulje kuoren läpi, niin kuoren ulkopuolell hvitn vin γ-säteilyä, j tällöin A 0 on sm heikennys- j hjomisyhtälöissä, joten A = j ottmll puolittin ln() sdn ln A A = µx λt t = 1 λ A e µx e λt = Ae µx λt A A = eµx λt (µx ln A A ) = T 1/2 ln 2 ) (µ Al x ln A = 4,0 A Trk+1 4,00 j virherjt 3,96 4,04.

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Kuvan 4 katkoviivalla merkityn alueen sisällä

Kuvan 4 katkoviivalla merkityn alueen sisällä TKK, TTY, LTY, OY ja ÅA insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 28.5.2003 Merkitse jokaiseen koepaperiin nimesi, hakijanumerosi ja tehtäväsarjan kirjain. Laske jokainen tehtävä siististi omalle

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli 1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut 1 Huvipuiston vuoristoradalla vaunu (massa m v = 1100 kg) lähtee levosta liikkeelle

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä 766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

S , Fysiikka IV (ES) Tentti

S , Fysiikka IV (ES) Tentti S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset 1. a) Laskuvarjohyppääjän pudotessa häneen vaikuttaa kaksi putoamisliikkeen kannalta merkittävää voimaa: painovoima ja ilmanvastusvoima. Painovoima on likimain

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot

Lääketiede Valintakoeanalyysi 2015 Fysiikka. FM Pirjo Haikonen

Lääketiede Valintakoeanalyysi 2015 Fysiikka. FM Pirjo Haikonen Lääketiede Valintakoeanalyysi 5 Fysiikka FM Pirjo Haikonen Fysiikan tehtävät Väittämä osa C (p) 6 kpl monivalintoja, joissa yksi (tai useampi oikea kohta.) Täysin oikein vastattu p, yksikin virhe/tyhjä

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

c) Missä ajassa kappale selvittää reitin b-kohdan tapauksessa? [3p]

c) Missä ajassa kappale selvittää reitin b-kohdan tapauksessa? [3p] Fysiikan valintakoe 11.5.2016 klo 9-12 1. Kappale lähtee levosta liikkeelle pisteessä A (0,3) ja liukuu kitkattomasti, ensin kaltevaa tasoa pitkin pisteeseen B (x,0) ja siitä edelleen vaakaatasoa pitkin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Kurssikoe, FY5 Pyöriminen ja gravitaatio,

Kurssikoe, FY5 Pyöriminen ja gravitaatio, Kussikoe, FY5 Pöiinen j gittio, 5.4.6 Vst in iiteen tehtäään. Jokisess tehtäässä ksii pisteäää on kuusi pistettä. Voit psti tehdä ekintöjä ös tehtääppeiin, niitä ei huoioid ioinniss. Plut ös tehtääppei..

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen. Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:

Lisätiedot

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että

a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

2. Pystyasennossa olevaa jousta kuormitettiin erimassaisilla kappaleilla (kuva), jolloin saatiin taulukon mukaiset tulokset.

2. Pystyasennossa olevaa jousta kuormitettiin erimassaisilla kappaleilla (kuva), jolloin saatiin taulukon mukaiset tulokset. Fysiikka syksy 2005 1. Nykyinen käsitys Aurinkokunnan rakenteesta syntyi 1600-luvulla pääasiassa tähtitieteellisten havaintojen perusteella. Aineen pienimpien osasten rakennetta sitä vastoin ei pystytä

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä Phyic 9. pino (9) 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää : 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää 9. ) Hituoentti on uue, jok kuv kppleen pyöiihitutt, toiin noen itä, iten vike kppleen pyöiitä on uutt. b) Syteein pyöiiäää

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

järjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE- Lineiet jäjetelmät Jtkuv-ikiet jäjetelmät muunnoton tkiu Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen Lplce-muunno Aikton DY Aikton tkiu Lplcemuunno Käänteimuunno Rtkiu -to 2 Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen

Lisätiedot

Atomin ydin. Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N

Atomin ydin. Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N Atomin ydin ytimen rakenneosia, protoneja (p + ) ja neutroneja (n) kutsutaan nukleoneiksi Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N saman

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot