FUNKTIOT JA MATRIISIT

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "FUNKTIOT JA MATRIISIT"

Transkriptio

1 FUNKTIOT JA MATRIISIT Matti Vaarma 6. heinäkuuta 017 B

2 SISÄLTÖ 1. Funktiot ja yhtälöt Funktion määritelmä ja merkinnät Yhdistetty funktio Funktion kuvaaja Paloittain määritelty funktio Polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio Polynomiyhtälö Ensimmäisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö Rationaalifunktio Rationaaliyhtälö Potenssifunktio Potenssiyhtälö Trigonometrinen funktio Trigonometrinen yhtälö Eksponenttifunktio Eksponenttiyhtälö Logaritmifunktio Logaritmiyhtälö Matriisit 14.1 Matriisin määritelmä Matriisien yhteenlasku Matriisien kertominen reaaliluvulla (skalaarilla) Matriisin transpoosi Neliömatriisi, lävistäjämatriisi, yksikkömatriisi Matriisitulo Determinantti Käänteismatriisi Lineaarinen yhtälöryhmä matriisitulona II

3 3. Esimerkkejä 19 LIITTEET A. Lukujoukot ja välit 45 A.1 Lukujoukot A. Välit B. Gaussin eliminointimenetelmä 47 B.1 Gaussin eliminointimenetelmä B.1.1 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen (tapaus n n).. 47 B.1. Käänteismatriisi III

4 1 FUNKTIOT JA YHTÄLÖT 1.1 Funktion määritelmä ja merkinnät E1 E E3 Funktio on kahden joukon A ja B välinen sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion y. Funktion f alkioon liittämää alkiota y merkitään y = f () ja kutsutaan funktion arvoksi. Funktion määrittelyjoukko on joukko, joka muodostuu kaikista niistä alkioista, joilla funktio on määritelty. Funktion arvojoukko on joukko, joka muodostuu funktion kaikista arvoista. A f y = f () B Kuva 1.1: Funktio f kuvaa määrittelyjoukon A alkion arvojoukon B alkioksi y eli funktion arvoksi f (). E4 E5 Tässä materiaalissa määrittelyjoukot ja arvojoukot ovat jatkossa lukujoukkoja ja funktion säännöt matemaattisia lausekkeita. Lähinnä tarkastellaan reaalifunktioita eli funktioita, joissa sekä määrittely- että arvojoukko ovat reaalilukujen osajoukkoja. Jos määrittelyjoukkoa ei ole ilmoitettu, määrittelyjoukko on laajin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa funktion lauseke on määritelty. määrittelyjoukko funktion muuttuja syöte (input) f : N R f () = 3 f (5) = 5 3 funktion nimi funktion nimi funktion nimi arvojoukon sisältävä joukko funktion lauseke funktion arvo (output) Kuva 1.: Funktioon liittyviä merkintöjä ja niiden tulkinta. 1

5 1. Yhdistetty funktio E6 E7 Olkoon funktio f : A B ja funktio g : B C. Funktioiden f ja g yhdistetty funktio g f on funktio (g f )() = g( f ()) f g f g f () g( f ()) A B C Kuva 1.3: Funktio f kuvaa alkion alkioksi f (). Edelleen, g kuvaa alkion f () alkioksi g( f ()). Yhdistetty funktio g f kuvaa alkion suoraan alkioksi g( f ()). E8 Yhdistetyssä funktiossa g f funktiota g sanotaan ulkofunktioksi ja funktiota f sisäfunktioksi. On hyvä huomata, että yleisesti g f = f g. 1.3 Funktion kuvaaja Funktion f kuvaaja on kaikkien määrittelyjoukon alkioiden ja niitä vastaavien funktion arvojen f () muodostamien pisteiden (, f ()) joukko. Jokaiselle määrittelyjoukon alkiolle piirretään siis koordinaatistoon piste (, f ()). Funktion nollakohdat ovat ne luvut, joissa kuvaaja leikkaa -akselin eli f () = 0. ( 1, f ( 1 )) f ( ) y f ( 1 ) (, f ( )) 1 Kuva 1.4: Funktion f kuvaaja saadaan piirtämällä pisteet (, f ()) jokaiselle määrittelyjoukon alkioille. Käytännössä pisteitä piirretään äärellinen määrä. Funktion määrittelyjoukko on usein äärettömän suuri, esimerkiksi R. Tällöin ei ole mahdollista piirtää kaikkia pisteitä (, f ()). Sen sijaan koordinaatistoon piirretään äärellinen määrä pisteitä (, f ()) ja sommitellaan kuvaaja kulkemaan

6 E9 E10 näiden kautta. Monet laskimet ja tietokoneohjelmat yhdistävät pisteet suoralla viivalla: kun pisteitä on tarpeeksi tiheässä, kuvaaja näyttää sileältä. 1.4 Paloittain määritelty funktio Paloittain määritelty funktio on funktio, joka on määritelty alifunktioiden avulla siten, että jokaisen alifunktion määrittelyjoukko on osa pääfunktion määrittelyjoukosta. Reaalifunktioilla alifunktiot on määritelty väleittäin. Paloittain määriteltyä funktiota f merkitään aaltosulkeilla, esimerkiksi f () = {, kun < 0, kun 0 E11 Funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä. 3 1 f () = {, kun < 0, kun Kuva 1.5: Paloittain määritellyn funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä. 1.5 Polynomifunktio Polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 a n = 0 missä n N 0 ja termit a 0, a 1,..., a n ovat vakioita. Polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Korkeimman termin a n n eksponenttia n kutsutaan polynomifunktion asteeksi. Usein sovelluksissa käytettyjä polynomifunktioita ovat ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktiot. Polynomifunktioiden kuvaajia on monenlaisia. Yhteistä kaikille on, että ne ovat jatkuvia. 3

7 y y f () = f () = Kuva 1.6: Vasen: esimerkki kolmannen asteen polynomifunktion kuvaajasta. Oikea: esimerkki neljännen asteen polynomifunktion kuvaajasta. E1 Polynomifunktio f voidaan jakaa tekijöihinsä polynomiyhtälön f () = 0 ratkaisujen eli funktion f nollakohtien 1,,..., n avulla seuraavasti. f () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 = a n ( 1 )( ) ( n ) Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a + b a = 0 E13 missä a ja b ovat vakioita. Ensimmäisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Ensimmäisen asteen polynomifunktion f () = a + b kuvaaja on suora. Kulmakerroin a kertoo kuinka monta yksikköä suora nousee y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Jos a > 0, suora on nouseva. Jos a < 0, suora on laskeva. Vakiotermi b kertoo sen y-akselin kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin. y f () = Kuva 1.7: Esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajasta. 4

8 1.5. Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a + b + c a = 0 E14 missä a, b ja c ovat vakioita. Toisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Toisen asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaaja on paraabeli. Jos a > 0, paraabelin sanotaan aukeavan ylöspäin. Jos a < 0, paraabelin sanotaan aukeavan alaspäin. Vakiotermi c kertoo sen y-akselin kohdan, jossa paraabeli leikkaa y-akselin. Termin b vaikutusta ei käsitellä tässä yhteydessä. y y Kuva 1.8: Toisen asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaaja on ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli. 1.6 Polynomiyhtälö Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon a n n + a n 1 n a 1 + a 0 = 0 a n = 0 E15 Polynomiyhtälöllä on korkeintaan n ratkaisua. Polynomiyhtälön ratkaiseminen riippuu yhtälön asteesta n. Ensimmäisen ja toiseen asteen polynomiyhtälölle on olemassa yksinkertaiset ratkaisukaavat. Korkeamman asteen yhtälöt kannattaa ratkaista laskimella Ensimmäisen asteen yhtälö Ensimmäisen asteen yhtälö on yhtälö, joka voidaan esittää seuraavassa muodossa. a + b = 0 a = 0 E16 Ensimmäisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu. 5

9 E17 E18 Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen on paras selittää esimerkkien avulla. Tällaisia yhtälöitä esiintyy monissa sovelluksissa. Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälön a + b = 0 ratkaisu vastaa suoran y = a + b ja -akselin leikkauspisteen -koordinaattia. y (, 0) y = a + b Kuva 1.9: Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälön a + b = 0 ratkaisu vastaa suoran y = a + b ja -akselin leikkauspisteen -koordinaattia Toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö on yhtälö, joka on voidaan esittää seuraavassa muodossa. a + b + c = 0 a = 0 E19 E0 E1 Toisen asteen yhtälöllä on korkeintaan ratkaisua. Toisen asteen yhtälö ratkaistaan muokkaamalla yhtälö ylläolevaan muotoon ja käyttämällä seuraavaa ratkaisukaavaa. Vaillinainen toisen asteen yhtälö, eli yhtälö, jossa b = 0 tai c = 0, voidaan ratkaista myös ilman ratkaisukaavaa. = b ± b 4ac a Ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä olevaa lauseketta b 4ac = D kutsutaan diskriminantiksi. Diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön ratkaisujen määrä. Jos D > 0, yhtälöllä on ratkaisua Jos D = 0, yhtälöllä on 1 ratkaisu Jos D < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja Graafisesti toisen asteen yhtälön ratkaisut vastaavat paraabelin y = a + b + c ja -akselin leikkauspisteiden -koordinaatteja. Riippuen diskriminantista D, leikkauspisteitä on kaksi, yksi tai nolla. 6

10 y y y D > 0 D = 0 D < 0 Kuva 1.10: Graafisesti toisen asteen yhtälön a + b + c = 0 ratkaisut vastaavat paraabelin y = a + b + c ja -akselin leikkauspisteiden -koordinaatteja. Riippuen diskriminantista D, leikkauspisteitä on kaksi, yksi tai nolla. 1.7 Rationaalifunktio Rationaalifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = P() Q() E missä P() ja Q() ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki reaaliluvut R paitsi luvut, joilla nimittäjä Q() saa arvon nolla. Rationaalifunktion kuvaajia on monenlaisia. Yhteistä kuvaajille on, että nimittäjän nollakohdissa eli kohdissa, joilla Q() = 0 kuvaajaan tulee hyppy. y 1 Kuva 1.11: Esimerkki rationaalifunktion kuvaajasta. Nimittäjän nollakohdassa = kuvaajaan tulee hyppy. 1.8 Rationaaliyhtälö Rationaaliyhtälö on yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon P() Q() = 0 7

11 E3 E4 missä P() ja Q() ovat polynomifunktioita. Sovelluksissa P ja Q ovat usein ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktioita. Rationaaliyhtälöt voidaan usein muokata verrannoksi. Tällöin yhtälö voidaan kertoa ristiin, ja rationaaliyhtälöstä saadaan polynomiyhtälö. 1.9 Potenssifunktio Potenssifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a n missä a ja n ovat vakioita. Potenssifunktion määrittelyjoukko riippuu siitä, mihin lukujoukkoon eksponentti n kuuluu. Rajoitutaan seuraavassa tilanteisiin, joissa n on positiivinen tai negatiivinen kokonaisluku. Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin määrittelyjoukko on R Jos n on negatiivinen kokonaisluku, niin määrittelyjoukko on R, = 0 Jos potenssifunktion f () = n eksponentti n on positiivinen pariton kokonaisluku, funktion f kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Jos n on positiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Molemmissa tapauksissa kuvaajat ovat jatkuvia. Usein sovelluksissa käytetään vain osaa, jossa 0. y y 3 4 Kuva 1.1: Vasen: Potenssifunktion f () = n kuvaaja on symmetrinen origon suhteen jos n on positiivinen pariton kokonaislukuluku. Oikea: Jos n on positiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Jos potenssifunktion f () = n eksponentti n on negatiivinen pariton kokonaisluku, funktion f kuvaaja on symmetrinen origon suhteen ja kohdassa nolla kuvaajaan tulee hyppy. Jos n on negatiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja kohdassa nolla kuvaajaan tulee hyppy. Usein sovelluksissa käytetään vain osaa, jossa 0. 8

12 y y 3 4 Kuva 1.13: Vasen: Potenssifunktion f () = n kuvaaja on symmetrinen origon suhteen jos n on negatiivinen pariton kokonaisluku. Oikea: Jos n on negatiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen Potenssiyhtälö Potenssiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy potenssissa. Usein sovelluksissa tavataan potenssiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon n = a E5 missä n on luonnollinen luku. Ylläoleva potenssiyhtälö saadaan ratkaistua ottamalla yhtälön molemmista puolista juuri n. Tällöin potenssiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen yhtälö. Juurta ottaessa pitää huomioida n. Kun n on pariton: n = a n n = n a n n parittomille juurille pätee n = = n a Kun n on parillinen: n = a n n = n a jos a 0, niin n n parillisille juurille pätee n = = n a = ± n a 1.11 Trigonometrinen funktio Sinifunktio on funktio f () = sin, missä sin on suunnatun kulman kehäpisteen y-koordinaatti. Määrittelyjoukko on R ja arvojoukko [ 1, 1] 9

13 Kosinifunktio on funktio f () = cos, missä cos on suunnatun kulman kehäpisteen -koordinaatti. Määrittelyjoukko on R ja arvojoukko [ 1, 1] Tangenttifunktio on funktio f () = tan, missä tan = sin cos. Määrittelyjoukko on R, = 90 + n 180, n Z ja arvojoukko R E6 Sini- ja kosinifunktio ovat molemmat jaksollisia funktioita ja niiden jakso π. E7 Toisin sanoen sini- ja kosinifunktion arvot toistuvat π:n välein. 1 y π 3π cos sin π π 1 π π 3π π Kuva 1.14: Sini- ja kosinifunktion kuvaaja välillä [ π, π]. Molemmat funktiot ovat jaksollisia ja niiden jakso on π. Myös tangenttifunktio on jaksollinen funktio. Sen perusjakso on π. y π 3π π π π π 3π π Kuva 1.15: Tangenttifunktion kuvaaja välillä [ π, π]. Tangenttifunktion perusjakso on π. Huomaa kohdat, joissa tangenttifunktiota ei ole määritelty. 1.1 Trigonometrinen yhtälö Trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy trigonometrisen funktion sisällä. Useat sovelluksissa käytettävät trigonometriset yhtälöt voidaan esittää seuraavassa muodossa. sin α = a 1 a 1 cos α = a 1 a 1 tan α = a 10

14 E8 E9 E30 E31 Tällaisilla trigonometrisilla yhtälöillä on äärettömästi ratkaisuja. Ylläolevan kaltainen yhtälö ratkaistaan jollakin seuraavista kaavoista, joissa n Z. sin α = a α = sin 1 (a) + n 360 tai α = 180 sin 1 (a) + n 360 cos α = a α = cos 1 (a) + n 360 tai α = cos 1 (a) + n 360 tan α = a α = tan 1 (a) + n Eksponenttifunktio Eksponenttifunktio on funktio f () = a E3 jossa kantaluku a > 0 ja a = 1. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko R. Jos eksponenttifunktion f () = a kantaluku a > 1, funktion f kuvaaja on kasvava (sanotaan eksponentiaalisesti kasvavaksi). Jos 0 < a < 1, kuvaaja on vähenevä (eksponentiaalisesti vähenevä). y f () = e ( ) g() = 1 Kuva 1.16: Eksponenttifunktion f () = e kantaluku on suurempi kuin yksi, joten f on eksponentiaalisesti kasvava. Eksponenttifunktion g() = ( 1 ) kantaluku on nollan ja yhden välissä, joten g on eksponentiaalisesti vähenevä Eksponenttiyhtälö Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy eksponentissa. Usein sovelluksissa tavataan eksponenttiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon a = b missä a > 0, a = 1 ja b on vakio. 11

15 E33 E34 Ylläoleva eksponenttiyhtälö saadaan ratkaistua ottamalla yhtälön molemmista puolista logaritmi. Tällöin eksponenttiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen yhtälö. a = b log a = log b log a = log b = log b log a log log a = log a 1. asteen yhtälö 1.15 Logaritmifunktio Logaritmifunktio on funktio f () = log a missä kantaluku a > 0 ja a = 1. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko R +. Jos logaritmifunktion f () = log a kantaluku a > 1, funktion f kuvaaja on kasvava. Jos 0 < a < 1, kuvaaja on vähenevä. y f () = ln g() = log 1/ Kuva 1.17: Logaritmifunktion f () = ln kantaluku on suurempi kuin yksi, joten f on kasvava. Logaritmifunktion g() = log 1/ kantaluku on nollan ja yhden välissä, joten g on vähenevä Logaritmiyhtälö Logaritmiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy logaritmin sisällä. Usein sovelluksissa tavataan logaritmiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon log a = b missä a > 0, a = 1 ja b on vakio. Ylläolevan logaritmiyhtälön ratkaisemiseksi survaistaan kantaluku a yhtälön molemmille puolille. Tällöin logaritmiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen 1

16 E35 yhtälö. log a = b a log a = a b = a b survaistaan a a log a = 1. asteen yhtälö 13

17 MATRIISIT.1 Matriisin määritelmä Matriisi A on suorakulmioksi järjestetty lukujen joukko. a 11 a 1 a 1n a A = 1 a a n... a m1 a m a mn E36 E37 Matriisin A dimensiota merkitään m n tai A m n, missä m on A:n rivien lukumäärä ja n on A:n sarakkeiden lukumäärä. Matriisia on usein hyödyllistä ajatella taulukoksi, josta otsikot on poistettu. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan myös alkioiksi. Matriisin A rivillä i ja sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään a ij. Pystyvektori on matriisi, jossa on vain yksi sarake. Vaakavektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi.. Matriisien yhteenlasku E38 Kahden m n matriisin A ja B yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. a 11 + b 11 a 1n + b 1n a A + B = 1 + b 1 a n + b n.. a m1 + b m1 a mn + b mn Erotus määritellään vastaavasti. Jos matriisit A ja B eivät ole samankokoisia, yhteentai vähennyslaskua ei voida suorittaa. Nollamatriisi 0 m n on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia. Matriisien yh- 14

18 teenlasku toteuttaa seuraavat säännöt. A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A A + ( A) = 0.3 Matriisien kertominen reaaliluvulla (skalaarilla) E39 Matriisi A m n kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla r siten, että A:n jokainen alkio kerrotaan skalaarilla r. ra 11 ra 1n ra ra = 1 ra n.. ra m1 ra mn Matriisien kertominen skalaarilla toteuttaa seuraavat säännöt. r(sa) = (rs)a r(a + B) = ra + rb (r + s)a = ra + sa.4 Matriisin transpoosi E40 Matriisin A m n transpoosi on matriisi An m T, jonka i:nellä rivillä ovat A:n i:nnen sarakkeen alkiot. Transponointi muuttaa siis A:n sarakkeet riveiksi ja päinvastoin. A = ( ) 3 6 A T = Neliömatriisi, lävistäjämatriisi, yksikkömatriisi Matriisi A on neliömatriisi jos siinä on yhtä monta riviä ja saraketta. Toisin sanoen, A on neliömatriisi, jos sen dimensio on n n. Lävistäjämatriisi on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mitä tahansa lukuja ja kaikki muut alkiot nollia. Neliömatriisin A lävistäjäalkiot ovat alkiot a ij, joilla 15

19 i = j. Yksikkömatriisi I on lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä. ( ) a 11 a 1 a 1 a a a a Kuva.1: neliömatriisi, 3 3 lävistäjämatriisi ja 4 4 yksikkömatriisi I..6 Matriisitulo Matriisien A ja B matriisitulo AB on määritelty ainoastaan jos A:n sarakkeiden lukumäärä on sama kuin B:n rivien lukumäärä. Tulomatriisissa C = AB on yhtä monta riviä kuin A:ssa ja yhtä monta saraketta kuin B:ssä. A m n B n p = C m p E41 E4 Matriisin C alkio c ij lasketaan matriisin A rivin i transpoosin ja B:n sarakkeen j pistetulona. Matriisitulo toteuttaa seuraavat säännöt. (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (rs)ab = (ra)(sb) E43 Huomaa, että sääntö AB = BA ei toteudu yleisesti. Yksikkömatriisi I on matriisien ykkönen eli sille pätee IA = A AI = A Tulon transpoosi toteuttaa seuraavan laskusäännön. (AB) T = B T A T 16

20 E44.7 Determinantti Neliömatriisin A = ( a11 ) a 1 determinantti det(a) on reaaliluku a 1 a a det(a ) = 11 a 1 a 1 a = a 11 a a 1 a 1 E45 Neliömatriisin A 3 3 = Neliömatriisin A 4 4 = det(a 4 4 ) = ( a11 a 1 a 13 ) a 1 a a 3 determinantti det(a) on reaaliluku a 31 a 3 a 33 a 11 a 1 a 13 det(a 3 3 ) = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 3 = a 11 a 3 a 33 a a 1 a 3 1 a 31 a 33 + a a 1 a 13 a 31 a 3 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 ( a11 a 1 a 13 a 14 ) a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 determinantti det(a) on reaaliluku a 41 a 4 a 43 a 44 a a 3 a 4 = a 11 a 3 a 33 a a 1 a 3 a 4 34 a 4 a 43 a a1 a 31 a 33 a a 1 a a a 41 a 43 a + a13 a 31 a 3 a a 1 a a a 41 a 4 a a14 a 31 a 3 a a 41 a 4 a 43 Näin jatkamalla determinantti voidaan määritellä kaikille neliömatriiseille A n n..8 Käänteismatriisi Neliömatriisi A n n on kääntyvä, jos on olemassa neliömatriisi B n n siten, että AB = BA = I E46 Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään A 1. Voidaan todistaa, että jos jo jompikumpi ylläolevista ehdoista AB = I tai BA = I toteutuu, niin B on A:n käänteismatriisi A 1. Lisäksi voidaan todistaa, että matriisi A on kääntyvä jos ja vain jos det(a) = 0. Jos neliömatriisit A ja B ovat kääntyviä, voidaan todistaa, että myös A 1, A T ja 17

21 AB ovat kääntyviä. Lisäksi käänteismatriisille pätevät seuraavat säännöt. (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T.9 Lineaarinen yhtälöryhmä matriisitulona Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta, on yhtälöryhmä a a a 1n n = b 1. =. a m1 1 + a m a mn n = b m Termit 1,,..., n ovat tuntemattomia ja termit a ij ja b i tunnetaan. Tällainen yhtälöryhmä voidaan esittää matriisitulon avulla lyhyesti A = b E47 missä a 11 a 1 a 1n 1 b 1 A =... =. b =. a m1 a m a mn n b m Jos yhtälöryhmässä on yhtä monta tuntematonta kuin yhtälöä, A on n n neliömatriisi. Jos A on kääntyvä, yhtälöryhmän ratkaisu saadaan käänteismatriisin A 1 avulla. A = b A 1 A = A 1 b I = A 1 b = A 1 b kerrotaan vasemmalta A 1 :lla 18

22 3 ESIMERKKEJÄ E1 Funktio käsitteenä (tehdas) Ajatellaan tehdasta, joka valmistaa rauta-, kupari- ja kultamalmista vastaavan metallin harkkoja. Esimerkiksi, jos tehtaaseen tuodaan kuparimalmia, tehdas tuottaa kupariharkkoja. Vastaavasti raudalle ja kullalle. Tällainen tehdas on funktio, sillä se liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon (jonkin metallin malmiin) täsmälleen yhden arvojoukon alkion (kyseisen metallin harkon). Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö valmista syötemalmista harkkoja määrittelyjoukko rauta-, kupari- ja kultamalmi tehdas ei osaa käsitellä esimerkiksi viljaa tai tukkeja arvojoukko rauta-, kupari- ja kultaharkot mitään muuta tehdas ei tuota E Funktio käsitteenä (etunimikone) Ajatellaan konetta, jonne voidaan syöttää etunimiä. Kone palauttaa kunkin syötetyn etunimen kirjainten lukumäärän. Matti Etunimi Koneen palaute Matti 5 Anna 4 Johannes 8 ETUNIMIKONE 5 Tällainen kone on funktio, sillä se liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon (etunimi) täsmälleen yhden arvojoukon alkion (kyseisen etunimen kirjainten lukumäärän). 19

23 Käsite sääntö määrittelyjoukko arvojoukko Merkitys nyt palauta etunimen kirjainten lukumäärä kaikki etunimet kaikki luvut, jotka kone palauttaa, kun sinne on syötetty kaikki etunimet E3 Funktio käsitteenä (joukkojen väliset säännöt) Ovatko seuraavat säännöt funktioita? 0 1 A B A B Ratkaisu a) Sääntö ei ole funktio, koska eräs joukon A alkio liitetään kahteen joukon B alkioon. b) Sääntö on funktio, koska funktio liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Useaan joukon A alkioon voidaan liittää sama joukon B alkio. Tähän voidaan liittää taulukko. Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö piirretty kuvaan nuolilla määrittelyjoukko, ja mikään muu arvo ei kelpaa arvojoukko tämä on ainoa arvo, jonka funktio palauttaa E4 Funktio käsitteenä (reaalifunktio) Olkoon funktio f () = ja sovitaan, että f on määritelty vain luvuilla { 1, 0, 1, }. Lasketaan funktion f arvot kaikille määrittelyjoukon alkioille. f ( 1) = ( 1) = 1 f (0) = 0 = 0 f (1) = 1 = 1 f () = = 4 0

24 Funktion f arvojoukko muodostuu kaikista funktion arvoista. Joukkoihin ei kuitenkaan ole tapana lukea samaa alkiota kuin kerran, joten arvojoukko on nyt kolmen alkion joukko {0, 1, 4}. Funktio f on reaalifunktio, sillä sekä määrittelyjoukko että arvojoukko ovat reaalilukujen osajoukkoja. Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö f () = määrittelyjoukko { 1, 0, 1, } reaalilukujen osajoukko arvojoukko {0, 1, 4} reaalilukujen osajoukko E5 Reaalifunktion määrittelyjoukkoa ei annettu Olkoon funktio f () = 1. Mikä on funktion f määrittelyjoukko? Ratkaisu Koska määrittelyjoukkoa ei ole annettu, määrittelyjoukko on laajin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa funktio on määritelty. Lauseke f () = 1 on määritelty kaikilla muilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Tämä voidaan merkitä esimerkiksi R, = 0. Vaihtoehtoisesti voidaan merkitä määrittelyjoukon olevan { R = 0} tai R \ {0}. E6 Yhdistetty funktio käsitteenä (tehdas) Ajatellaan esimerkin 1 funktiotehdasta, joka jalosti rauta-, kupari- ja kultamalmista kyseisen metallin harkkoja. Ajatellaan lisäksi toista tehdasta, joka valmistaa sinne tuoduista metalliharkoista kyseisestä metallista tehtyjä putkia. Kuljettamalla ensimmäisestä tehtaasta valmistetut harkot toiseen tehtaaseen, saadaan tuotettua putkia. Näiden kahden funktiotehtaan yhdistetty funktio tarkoittaisi tehdasta, jonne tuodaan rauta-, kupari- tai kultamalmia, ja joka valmistaa malmista kyseistä metallia olevia putkia. 1

25 E7 Yhdistetyn funktio lauseke Olkoon f () = 1 ja g() =. Muodosta ( f g)() ja (g f )(). Ratkaisu Yhdistetty funktio f g määritellään ( f g)() = f (g()). Funktioon f () sijoitetaan siis :n paikalle g(). ( f g)() = f (g()) f () = 1 = 1 g() g() = = 1 ( ) = Funktio (g f )() muodostetaan vastaavasti, mutta toisin päin. (g f )() = g( f ()) g() = = ( f ()) f () f () = 1 = (1 ) (1 ) = Huomaa, että ( f g)() = (g f )(). E8 Sisä- ja ulkofunktioon jakaminen Jaa seuraavat funktiot sisä- ja ulkofunktioon s() ja u(). Ratkaisu a) f () = ( + 1) 3 b) f () = 1 3 a) Sisä- ja ulkofunktiot ovat s() = + 1 ja u() = 3 koska u(s()) = (s()) 3 = ( + 1) 3

26 b) Sisä- ja ulkofunktiot ovat s() = 3 ja u() = 1 koska u(s()) = 1 s() = 1 3 E9 Funktion kuvaajan piirtäminen (paraabeli) Piirrä funktion f () = 1 kuvaaja. Ratkaisu Koska funktion f määrittelyjoukkoa ei ole annettu, se on laajin mahdollinen joukko, jossa funktion lauseke on määritelty. Lauseke f () = 1 on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, joten määrittelyjoukko on R. Määrittelyjoukko R on äärettömän suuri, joten kaikkia pisteitä (, f ()) ei voida piirtää. Valitaan määrittelyjoukosta muutama luku ja lasketaan niitä vastaavat arvot y = f (). On kätevää taulukoida arvot. Kun taulukko on valmis, piirretään pisteet (, f ()) koordinaatistoon. Lopuksi sommitellaan kuvaaja kulkemaan näiden pisteiden kautta. f () = y E10 Funktion kuvaajan piirtäminen (tietokone) Monet sovellukset piirtävät pisteet (, f ()) tietyin :n välein ja yhdistävät pisteet suoralla viivalla. Kun pisteitä on tarpeeksi tiheässä, kuvaaja näyttää sileältä. Oheisessa kuvassa on esitetty funktion f () = sin kuvaaja sadalla ja kymmenellä pisteellä suoralla viivalla yhdistettynä. Vaikka sadan pisteen kuvaaja näyttää sileältä, kuvaajan tarkentaminen osoittaa, että kuvaaja ei ole sileä. 3

27 1 y sin, n = 100 sin, n = 10 1 E11 Paloittain määritelty funktio 4, kun < 1 Olkoon f () = +, kun , kun > a) Laske f (0) ja f ( 5) b) Piirrä funktion f kuvaaja Ratkaisu a) Kun funktioon f sijoitetaan jokin syöte, sijoitus tehdään siihen alifunktioon, jonka määrittelyvälillä on. syöte alifunktioon f (0) = 0 + f () = + = f ( 5) = ( 5) syöte alifunktioon 4 ( 5) f () = 4 = 7 b) Funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä E1 Polynomifunktion jako tekijöihin (toinen aste) Jaa polynomifunktio f () = tekijöihinsä. 4

28 Ratkaisu Ratkaistaan ensin polynomiyhtälö f () = 0 eli yhtälö = = 0 = 1 tai = 3 Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, joten nollakohtatermejä tulee. f () = a ( 1 )( ) a = 1 = 1 = 3 = ( 1)( ( 3)) = ( 1)( + 3) Tuloksen voi tarkistaa kertomalla tulon auki. E13 Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan termit Oheisen kuvan ensimmäisen asteen polynomifunktion f kulmakerroin kertoo, että suora nousee yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Vakiotermi puolestaan kertoo, että suora leikkaa y-akselin kohdassa 1. Funktion g kulmakerroin kertoo, että suora laskee (negatiivinen kulmakerroin) /3 yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella: suora laskee yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään 3 yksikköä oikealle -suunnassa. Vakiotermi kertoo, että suora leikkaa y-akselin kohdassa 1. y y g() f () = 1 E14 Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja Oheisissa kuvissa on havainnollistettu kerrointen a, b ja c vaikutusta toisten asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaajaan. Lyhyesti: a vaikuttaa paraabelin leveyteen ja ylös- tai alaspäin aukeavuuteen, b:n vaikutus on monimutkaisempi ja c kertoo paraabelin ja y-akselin leikkauskohdan. 5

29 y y y 4 + E15 Kolmannen asteen polynomiyhtälö laskimella Seuraava yhtälö on kolmannen asteen polynomiyhtälö = 0 Laskin antaa sille kolme eri ratkaisua. 0,818 tai 1,7 tai 7,097 E16 Ensimmäisen asteen yhtälö: perusteet Ratkaise yhtälö ( 3) = Ratkaisu ( 3) = = = = 4 = 4 7 avataan sulut siirretään :n sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle (etumerkit vaihtuvat siirrettäessä) yhtälön voi kertoa tai jakaa puolittain samalla luvulla. jaetaan nyt :n kertoimella : ( 7) voi ilmoittaa myös desimaalilukuna E17 Ensimmäisen asteen yhtälö: kaavat Ratkaise kaavasta PV = nrt termi T. 6

30 Ratkaisu Kaavat ratkaistaan kuten muutkin ensimmäisen asteen yhtälöt. PV = nrt nrt = PV T = PV nr käännetään yhtälö, jolloin saadaan T:tä sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle : nr E18 Ensimmäisen asteen yhtälö: yhteinen tekijä εt 1 εt = T 1 Ratkaise kaavasta εt 1 εt = T 1 termi T 1. Ratkaisu Joskus yhtälön ratkaisussa täytyy ottaa yhteinen tekijä. siirretään T 1 :n sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle otetaan vasemmalla puolella yhtei- εt 1 T 1 = εt nen tekijä T 1 T 1 (ε 1) = εt : (ε 1) T 1 = εt ε 1 E19 Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise toisen asteen yhtälö 6 = 5 Ratkaisu Muokataan yhtälö 6 = 5 muotoon a + b + c = 0 viemällä kaikki termit yhtälön toiselle puolelle. Saadaan 5 6 = 0. Ratkaisut saadaan sijoittamalla 7

31 ratkaisukaavaan. = b ± b 4ac a = ( 5) ± ( 5) 4 1 ( 6) 1 = 5 ± 49 = 6 tai = 1 a = 1 b = 5 c = 6 E0 Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen (b = 0) Ratkaise toisen asteen yhtälö 8 = 0 Ratkaisu Koska yhtälö ei sisällä -termiä eli b = 0, kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista ilman ratkaisukaavaa. (Ratkaisukaavaa saa toki käyttää.) 8 = 0 = 8 = 4 = 4 molemmista puolista a = a = = ± E1 Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen (c = 0) Ratkaise toisen asteen yhtälö = 0 Ratkaisu Koska yhtälö ei sisällä vakiotermiä eli c = 0, kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista ilman ratkaisukaavaa. (Ratkaisukaavaa saa toki käyttää.) = 0 ( 3 + 7) = 0 otetaan yhteinen tekijä 8

32 Jotta ylläolevasta tulosta voi tulla nolla, joko = 0 tai = 0 (tulon nollasääntö). Saadaan siis kaksi ensimmäisen asteen yhtälöä. = = 0 = 9 Alkuperäsen toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat siis = 0 tai = 9. E Rationaalifunktion määrittelyjoukko Mikä on rationaalifunktion f () = Ratkaisu Etsitään nimittäjän nollakohdat määrittelyjoukko? 6 = 0. asteen yhtälö = tai = 3 Funktion f määrittelyjoukko on siis R, = tai = 3. E3 Rationaaliyhtälön ratkaiseminen verrannolla Ratkaise rationaaliyhtälö Ratkaisu 1 = Muokataan rationaaliyhtälö verrannoksi. 1 = = = = + = ± 1 lavennetaan termillä + 1 samannimiset, summataan kerrotaan ristiin. asteen yhtälö E4 Rationaalikaavan ratkaiseminen (resistanssi) Ratkaise R kaavasta 1 R = 1 R R 9

33 Ratkaisu Muokataan rationaaliyhtälö verrannoksi. 1 R = 1 R R 1 R = R R 1 R + R 1 R 1 R 1 R = R 1 + R R 1 R R 1 R = R(R 1 + R ) lavennetaan 1 R 1 termillä R ja 1 R termillä R 1 samannimiset, summataan kerrotaan ristiin 1. asteen yhtälö R = R 1R R 1 + R E5 Potenssiyhtälö Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Ratkaisu a) 4 3 = 3 b) 4 = 16 a) 4 3 = 3 : 4 3 = = = b) 4 = = 4 16 = = ± E6 Funktion cos kuvaaja Yksikköympyrän avulla hahmottaa, miten funktion cos kuvaaja syntyy. Aloitetaan kulmasta = 0 ja edetään 30 välein positiiviseen suuntaan. Taulukoidaan kutakin kulmaa vastaava arvo cos (tietokoneelta). Piirretään pisteet koordinaatistoon. 30

34 y / cos 1 0,87 0,5 0 0,5 0,87 1 0,87 0,5 0 0,5 0,87 Seuraava yksikköympyrän kierros piirtäisi jakson [360, 690 ] ja niin edelleen. Kuvaaja on loputon. Kun käydään läpi myös negatiiviset kulmat, kuvaaja piirtyy negatiiviselle -akselille. E7 Trigonometristen funktioiden kuvaaja sovelluksissa Jotkin aaltoliikettä ja värähtelyä käsittelevät fysikaaliset mallit sisältävät trigonometrisia funktioita. Yksi esimerkki on ajasta t riippuva siniaalto y(t) = A sin(ωt + φ) missä A on aallon amplitudi, ω on kulmanopeus ja φ on vaihe-ero. Siniaallon amplitudi A vaikuttaa aallon suuruuteen. Siniaalto saa arvoja väliltä [ A, A]. 1 y π 3π sin 0,5 sin π π 1 π π 3π π Siniaallon kulmanopeus ω vaikuttaa aallon värähtelytiheyteen. 31

35 1 y π 3π sin sin π π 1 π π 3π π Siniaallon vaihe-ero φ määrää missä kohtaa värähtelyjaksoa aalto on. Jos φ > 0 aalto siirtyy taaksepäin. Jos φ < 0 aalto siirtyy eteenpäin. 1 y π 3π π sin sin( + π/) π 1 π π 3π π E8 Trigonometrisillä yhtälöillä on äärettömästi ratkaisuja Ratkaistaan yhtälö sin = 0,5 Laskimen komento sin 1 (.5) antaa tuloksen = 30. Tämä on yksi ratkaisu, mutta ratkaisuja on enemmänkin. Sini sin tarkoittaa kulman kehäpisteen y-koordinaattia. Yhtälön sin = 0,5 ratkaisuksi käyvät täten ne kulmat, joiden kehäpisteen y-koordinaatti on 0,5. Piirretään yksikköympyrään vaakasuora jana korkeudelle 0,5. Kulmat, joiden kehäpiste on tällä janalla, kelpaavat ratkaisuksi. 30 Aloitetaan kulmasta 0 ja lähdetään kiertämään yksikköympyrää positiiviseen suuntaan. Ensimmäinen kulma, jonka kehäpiste osuu vaakajanalle on 30. Kun jatketaan eteenpäin, myös toisen kulman kehäpiste osuu janalle. Symmetrian perusteella tämä kulma on =

36 Ratkaisuksi kelpaavia kulmia on kuitenkin enemmän. Kun jatketaan kulmasta 150 positiiviseen suuntaan päästään taas kulmaan, jonka kehäpiste on janalla. Kulma on = 390. Vastaavasti kulma = 510 on ratkaisu. Yleisesti, yhtälön sin = 0,5 ratkaisuksi käyvät kulmat 30 ja 150 sekä näiden monikerrat. Ratkaisuja on siis äärettömästi. Nämä äärettömän monta ratkaisua voidaan listata seuraavasti kun n Z. = 30 + n 360 tai = n 360 = n 360 Havainnollistetaan tilannetta myös aste-y-koordinaatistossa. Piirretään koordinaatistoon funktioiden sin ja 0,5 kuvaajat. Ratkaisuja ovat kaikki -akselin kohdat, joissa kuvaajat leikkaavat toisensa; näitä kohtia on äärettömästi. 1 y E9 Siniyhtälö Ratkaise yhtälö sin = 1 Ratkaisu Käytetään siniyhtälön ratkaisukaavaa. sin α = a α = sin 1 (a) + n 360 tai α = 180 sin 1 (a) + n 360 sin = 1 = sin 1 ( 1 ) + n 360 tai = 180 sin 1 ( 1 ) + n 360 = 45 + n 360 = n 360 =,5 + n 180 = 67,5 + n 180 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. 33

37 E30 Kosiniyhtälö Ratkaise yhtälö cos( 30 ) = 1 Ratkaisu Käytetään kosiniyhtälön ratkaisukaavaa. cos α = a α = cos 1 (a) + n 360 tai α = cos 1 (a) + n 360 cos( 30 ) = 1 cos( 30 ) = 1 ( ) ( ) 30 1 = cos 1 + n 360 tai 30 1 = cos 1 + n = 60 + n = 60 + n 360 = 90 + n 360 = 30 + n 360 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. E31 Tangenttiyhtälö Ratkaise yhtälö tan(3) = 4 34

38 Ratkaisu Käytetään tangenttiyhtälön ratkaisukaavaa. tan α = a α = tan 1 (a) + n 180 tan(3) = 4 3 = tan 1 (4) + n ,96 + n 180 5,3 + n 180 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. E3 Eksponenttifunktio mallina (hajoavan aineen määrä) Hajoavan aineen määrää tietyllä ajanhetkellä a(t) voidaan mallintaa eksponenttifunktiolla a(t) = a 0 ( ) t 1 t 1/ missä t on aika, a 0 on aineen määrä ajanhetkellä t = 0 ja t 1/ puoliintumisaika. Puoliintumisaika on aika, jonka kuluttua puolet aineesta on hajonnut eli aineen määrä on puolittunut. Erään lääkkeen määrä puolittuu elimistössä kuuden tunnin välein. Jos lääkeannos on 100 mg, kuinka paljon sitä on mallin mukaan elimistössä vuorokauden kuluttua? 35

39 Ratkaisu Lääkkeen määrää voidaan ennustaa ylläolevalla eksponenttiyhtälöllä a(t) = a 0 (1/) t t 1/ a 0 = 100 mg t 1/ = 6 h t = 4 h a(4 h) = 100 mg (1/) 4 h 6 h 6 mg E33 Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmilla Ratkaise yhtälö = 18 Ratkaisu = 18 : = 3 muodossa a = b ln ln = ln 3 log a r = r log a (3 + 1) ln 5 = ln 3 1. asteen yhtälö : ln = ln 3 ln 5 = ln 3 ln Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää jonkin muun kantaista logaritmia. Tulos näyttää erilaiselta, mutta on sama = 18 : = 3 log 5 log = log 5 3 log a r = r log a (3 + 1) log 5 5 = log 5 3 log a a = = log 5 3 = log

40 E34 Symbolinen eksponenttiyhtälö (puoliintumisaika) Ajassa t 1/ puoliintuvan aineen määrä a(t) voidaan laskea kaavasta a(t) = a 0 ( ) t 1 t 1/ missä t on aika, a 0 on aineen määrä ajanhetkellä t = 0 ja t 1/ puoliintumisaika. a) Ratkaise kaavasta t. b) Lääkkeen pitoisuus elimistössä puoliintuu kuudessa tunnissa. Jos lääkeannos on 100 mg, kuinka kauan kestää, että lääkettä on elimistössä jäljellä 8 mg? Ratkaisu Ratkaistaan yhtälö t:n suhteen. a(t) = a 0 (1/) t t 1/ : a 0 a(t) a 0 ln a(t) a 0 = (1/) t t 1/ = ln(1/) t t 1/ ln a(t) a 0 = t t 1/ ln(1/) nyt muodossa a = b ln log a r = r log a 1. asteen yhtälö t = a(t) ln a 0 ln(1/) t 1/ Sijoitetaan ratkaistuun kaavaan a(t) = 8 mg, a 0 = 100 mg ja t 1/ = 6 h. t = ln 8 mg 100 mg ln(1/) 6 h h E35 Logaritmiyhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö 4 ln = 1 37

41 Ratkaisu 4 ln = 1 : ( 4) ln = 3 nyt muodossa log a = b survaistaan e yhtälön alapuolelta e ln = e 3 logaritmin määritelmä a log a = = e 3 1. asteen yhtälö = e 3 E36 Matriisin dimensio Oheisen matriisin A dimensio on 4 koska siinä on riviä ja 4 saraketta. ( ) A = E37 Matriisin alkioihin viittaminen Oheisen matriisin A alkio a 1 = 5, koska matriisin rivillä ja sarakkeessa 1 oleva luku on 5. Vastaavasti a 13 = A = E38 Matriisien yhteenlasku ( ) ( ) Olkoon A = ja B =. Laske A + B

42 Ratkaisu Matriisit lasketaan yhteen komponenteittain. ( ) ( ) A + B = ( ) ( 10) = ( 6) ( ) = E39 Matriisien kertominen skalaarilla (ja laskujärjestys) ( ) 1 3 Olkoon A = ja B = ( ). Laske A + B. Ratkaisu Kerto- ja vähennyslaskun suhteen noudatetaan normaalia laskutoimitusjärjestystä: ensin kertolasku, sitten yhteenlasku. ( ) ( ) A + B = ( ) ( ) = ( ) = 4 3 E40 Vektoreiden transpoosi Transponointi muuttaa pystyvektorin vaakavektoriksi ja päinvastoin. 1 = 0 T = ( ) 1 0 E41 Matriisitulon perusteet 1 ( ) 3 4 Olkoon A 3 = 4 5 ja B =. Laske matriisitulo AB ja BA

43 Ratkaisu Ennen matriisitulon laskemista tarkistetaan onko tulo määritelty eli onko A:n sarakkeiden lukumäärä sama kuin B:n rivien lukumäärä. Tätä varten on mukava kirjoittaa matriisien dimensiot peräkkäin: (3 ) ( ). Jos keskimmäiset luvut ovat samat, tulo on määritelty. Lisäksi reunimmaiset luvut kertovat tulomatriisin koon, 3. Tulomatriisin C = AB alkio c 11 on matriisin A rivin 1 transpoosin ja matriisin B sarakkeen 1 pistetulo: = 5. Alkio c 1 on puolestaan matriisin A rivin transpoosin ja matriisin B sarakkeen pistetulo: = 17. Jatketaan näin kaikille C:n alkioille. 1 ( ) 3 4 AB = = = Tuloa BA ei ole määritelty, sillä B:n sarakkeiden lukumäärä () ei ole sama kuin A:n rivien lukumäärä (3). Kirjoittamalla ( 3) ( ) nähdään, että keskimmäiset luvut eivät ole yhtäsuuret. E4 Matriisitulo, vektorit ja transpoosi ( ) ( ) ( ) Olkoon A =, = ja y =. Laske seuraavat matriisitulot a) A b) y T c) T A 40

44 Ratkaisu a) Matriisitulo A on määritelty, sillä ( ) ( 1). Tulomatriisin kertaluku on 1 eli pystyvektori. ( ) ( ) 1 0 A = ( ) = ( ) = 4 b) Matriisitulo y T on määritelty, sillä ( 1) (1 ). Tulomatriisin kertaluku on. Huomaa että kahden vektorin matriisitulosta voi syntyä matriisi. ( ) y T 0 ( ) = ( ) ( 1) = ( 1) ( ) 0 0 = 0 1 c) Matriisitulo T A on määritelty, sillä (1 ) ( ) ( 1). Tulomatriisin kertaluku on 1 1. Huomaa, että matriisitulosta voi syntyä myös reaaliluku. Kolmen tai useamman matriisin tulo on laskettava osissa, kaksi matriisia kerrallaan. ( ( ) ( ) ( )) ( ) T 1 0 A = ( ) ( ) 0 = = 4 41

45 E43 Matriisitulo symboleilla Matriisitulon laskusäännöillä voidaan sieventää seuraava lauseke. (I + A)B B = IB + AB B = B + AB B = AB E44 E45 Determinantti matriisille ( ) 1 Olkoon A =. Tällöin A:n determinantti det(a) lasketaan seuraavasti. 3 5 a 11 a 1 a 1 a = a 11a a 1 a = 5 ( 1) 3 = 13 Determinantti 3 3 matriisille Lasketaan seuraava 3 3 determinantti. a 11 a 1 a 13 a a 3 a 1 a a 3 = a 11 a 31 a 3 a 33 a 3 a 33 a a 1 a 3 1 a 31 a 33 + a a 1 a 13 a 31 a = ( ) = 5(0 0 3) + (4 0 6) + 0 = 54 E46 Käänteismatriisin toteaminen Matriisi A = ( ) ja B = ( ) Onko B matriisin A käänteismatriisi A 1?

46 Ratkaisu Matriisi B on A:n käänteismatriisi A 1, jos AB = I tai BA = I AB = = = I Siis, B on matriisin A käänteismatriisi A 1. E47 Yhtälöryhmän esittäminen matriisitulona + y z = 4 Esitä seuraava yhtälöryhmä matriisimuodossa. 4y 6 = 3 z = y Ratkaisu Ensin muokataan yhtälöryhmää siten, että kaikki tuntemattomat muuttujat ovat yhtälön vasemmalla puolella ja vakiot oikealla puolella. + y z = y = 6 y + z = 0 Seuraavaksi kirjoitetaan matriisi A siten, että se sisältää muuttujien kertoimet. Ajattele, että sarakkeiden otsikot ovat, y ja z ja rivien otsikot yhtälö 1, yhtälö ja yhtälö 3. Kirjoitetaan samalla myös muuttujavektori, joka on tuntemattomista muuttujista koostuva pystyvektori. Kirjoitetaan vielä vakiovektori b, jossa ovat yhtälön oikealla puolella olevat vakiot A = = y b = z 0 43

47 Tällöin yhtälöryhmä voidaan esittää matriisitulona A = b. Varmistaudutaan tästä kertomalla matriisitulo: y = z + y z y + z =

48 A LUKUJOUKOT JA VÄLIT A.1 Lukujoukot Merkintä A tarkoittaa, että on joukon A alkio eli kuuluu joukkoon A. Merkintä / A tarkoittaa, että ei kuulu joukkoon A. Luonnollisten lukujen joukkoon N kuuluvat lukumäärää ilmaisevat luvut. N = {1,, 3,...} Merkitään N 0 :lla luonnollisten lukujen joukkoa, joka sisältää nollan. Kokonaislukujen joukko Z sisältää joukon N lisäksi luonnollisten lukujen vastaluvut ja nollan. Z = {...,, 1, 0, 1,,...} Rationaalilukujen joukko Q sisältää kokonaislukujen Z lisäksi luvut, jotka voidaan esittää kokonaislukujen avulla murtolukumuodossa. { m Q = n } m, n Z, n = 0 Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka eivät kuulu rationaalilukuihin Q. Toisin sanoen irrationaalilukuja ei voida esittää kokonaislukujen avulla murtolukumuodossa. Tällaisia lukuja ovat esimerkiksi π ja. Reaalilukujen joukko R sisältää rationaalilukujen Q lisäksi irrationaaliluvut. Reaalilukuja voidaan havainnollistaa lukusuoralla. R Q Z N Kuva A.1: Lukujoukoista laajemmat sisältävät suppeammat joukot Kuva A.: Reaalilukuja voidaan havainnollistaa lukusuoralla, jonne jokainen reaaliluku voidaan sijoittaa. Lukusuoralle on sijoitettu luku. 45

49 A. Välit Avoin väli ]a, b[ on väli, joka sisältää kaikki reaaliluvut a < < b. Päätekohdat a ja b eivät kuulu väliin. ]a, b[= { R a < < b } Suljettu väli [a, b] on väli, johon päätekohdat kuuluvat. [a, b] = { R a b } Puoliavoin väli on väli, jonka toinen päätekohta kuuluu väliin, mutta toinen ei. ]a, b[ [a, b] [a, b[ ]a, b] a b a b a b a b Kuva A.3: Avoin-, suljettu- ja kaksi puoliavointa väliä. Avointa päätekohtaa merkitään tyhjällä ympyrällä ja suljettua täytetyllä ympyrällä. Positiivisia reaalilukuja merkitään R + = ]0, [ 46

50 B GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ B.1 Gaussin eliminointimenetelmä Gaussin eliminointimenetelmä algoritmi, jolla voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä. Algoritmilla voidaan ratkaista myös kääntyvän matriisin A käänteismatriisi A 1. Menetelmässä operoidaan matriisia alkeisrivioperaatioilla, joita on kolme: Kerrotaan matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla Lisätään matriisin rivi (kerrottuna nollasta eroavalla vakiolla) toiseen riviin Vaihdetaan rivien paikkaa Menetelmän vaiheet on paras selittää esimerkin avulla. B.1.1 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen (tapaus n n) Olkoon A = b E48 E49 E48 matriisimuodossa esitetty lineaarinen yhtälöryhmä, missä A on n n kerroinmatriisi, on n 1 tuntematon pystyvektori ja b on n 1 pystyvektori. Tällainen yhtälöryhmä voidaan ratkaista Gaussin eliminointimenetelmällä. Kirjoitetaan matriisi ( A b ). Muokataan tämä alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ). Tällöin yhtälöryhmän ratkaisut nähdään suoraan. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä (tapaus ) { + y = 14 Ratkaise yhtälöpari Gaussin eliminointimenetelmällä. + 4y = 47

51 Ratkaisu Yhtälöparin kerroinmatriisi A = ( ) ja b = ( 14 ). Kirjoitetaan matriisi ( A b ) ja muokataan se alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ). ( ) 1 14 ( A c ) = 1 4 lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin ( ) 1 14 kerrotaan 1. rivi luvulla kerrotaan. rivi luvulla 9 ( ) lisätään. rivi luvulla 1 kerrottuna 1. riviin ( ) nyt ( I c ) 0 1 Tämä vastaa yhtälöryhmää { = 6 y = mikä on ryhmän ratkaisu. E49 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä (tapaus 3 3) + y = 6 Ratkaise yhtälöpari z = 3 z = 5 Gaussin eliminointimenetelmällä. 48

52 Ratkaisu Yhtälöparin kerroinmatriisi A = ( ) ja b = ja muokataan se alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ) ( A c ) = ( nyt ( I c ) ). Kirjoitetaan matriisi ( A b ) lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin lisätään 3. rivi. riviin lisätään. rivi 1. riviin kerrotaan. rivi luvulla 1 = 8 Tämä vastaa yhtälöryhmää y = 1 z = 5 mikä on ryhmän ratkaisu. B.1. Käänteismatriisi E50 E51 E50 Olkoon neliömatrisi A n n kääntyvä. Tällöin A:n käänteismatriisi A 1 voidaan muodostaa seuraavasti. Kirjoitetaan matriisi ( A I ). Muokataan tämä alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I B ). Tällöin B on A:n käänteismatriisi A 1. Käänteismatriisin etsiminen matriisille Olkoon A = ( ) Selvitä A 1. 49

53 Ratkaisu Kirjoitetaan matriisi ( A I ) ja muokataan se muotoon ( I A 1 ). ( ) lisätään 1. rivi luvulla kerrottuna ( A I ) = riviin ( ) kerrotaan. rivi luvulla ( ) lisätään. rivi 1. riviin ( ) nyt ( I A 1 ) Siis, Matriisin A = ( ) käänteismatriisi A 1 = kirjoitettuna A 1 = 1 ( 0 1 ) 1. ( ) tai ilman murtolukuja E51 Käänteismatriisin etsiminen 3 3 matriisille Olkoon A = ( ) Selvitä A

54 Ratkaisu Kirjoitetaan matriisi ( A I ) ja muokataan se muotoon ( I A 1 ) ( A I ) = Siis, Matriisin A = lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin kerrotaan. rivi luvulla lisätään. rivi 3. riviin kerrotaan 3. rivi luvulla lisätään 4. rivi luvulla 3 kerrottuna riviin lisätään. rivi 1. riviin kerrotaan 1. rivi luvulla nyt ( I A 1 ) tai ilman mur tolukuja kirjoitettuna A 1 = 1 4 ( ) käänteismatriisi A 1 = 0 1 ( 3 1 )

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

6 Funktioita ja yhtälöitä

6 Funktioita ja yhtälöitä 6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT 3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

10 Matriisit ja yhtälöryhmät 10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot