DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Transkriptio

1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 37P MARTTI HAMINA Tasa-arvopinnat x + y x + y y u(x, y) C x x(y, C) x x(y, C) x x (y, C) x x + y y + y y x x Φ(x, y, y )? y F (x,y) F (x(t),y) y y(x, C) y y (x, C)?? F (x, y) dt F (t, y(t)) dt y f (x)g(y) x D ( x a x x + ) f (t) dt f (x) arc sin x+c arc tan x+c y + a(x)y f (x) φn (x) y + F (t, φn (t)) dt x φ (x) valitaan Eksakti differentiaali y h( xy ) z xy P (x, y)x +Q(x, y) ehto Py Qx y F (x, y ) dz z, y P (x, y) +Q(x, y) ehto Py Qx Φ(x, y, y, y ) y F (y, y ) dz dz z, y z st F (s) f (t) e dt L(af + bg) al(f ) + bl(g) L(f ) s L(f ) f () sf () L(f ) sl(f ) f () Integraalimuunnokset f (t) F (s) tn (n )! sn sin ωt cos ωt eat ω s +ω s s +ω s a y h(ax + by + c) z ax + by + c Konvoluutio L(H(t c)f (t c)) e cs F (s) L( ect f (t)) F (s c) L(tn f (t)) ( )n F (n) (s) L(δ(t c)) e cs y + A(x)y B(x)y k z y k P (x, y)+q(x, y)y ehto Py Qx y F (x, y, y ) y + a(x)y + b(x)y f (x) y(x) yh (x) + y (x) y + a(x)y + b(x)y y + a(x)y + b(x)y y zy Kevät 4 Oulun yliopisto Matematiikan jaos Siirtomatriisi p (x)y + p (x)y q(x) Lineaariset differentiaaliyhtälöt Kl on k! Differentiaaliyhtälöt x D(f (g(x))) f (g(x))g (x) φ(x, y, C) φ(x, y, C) φ + φ y x y? y y(x, C) Integrointi Tasa-arvokäyrän differentiaaliyhtälö y ln(xy) ln x + ln y ln(x/y) ln x ln y ln(xy ) y ln x ln x e x, x >, ln( ex ) x x+y ex ey e x y e ex e y ex / ey x y ( e ) exy ( ey )x Derivointi Integraaliyhtälötekniikat + Potenssit m m n xm ( n x) x n Alkeisfunktiot x x Kompleksitaso Kompleksinen eksponenttifunktio iφ z x + iy e cos φ + i sin φ z r(cos φ + i sin φ) e iφ cos φ i sin φ iφ z re Juuret Tasa-arvokäyrä ay + by + cy λx y e ax y + bxy + cy y xλ y C (x)y + C (x)y C (x)y + C (x)y C (x)y + C (x)y f (x) Matriisitekniikat

2 Sisältö. JOHDANTO Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä Funktio, käyrä ja käyräparvi Derivaatta, differentiaali ja integraalifunktio Peruskäsitteitä Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeniyhtälö ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT Integroimalla ratkeava tehtävä Muoto y f(x) Muoto y f(y) Separoituva yhtälö, y f(x)g(y) Operaattoritulo, eräitä erikoistapauksia Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö Vakiokertoiminen lineaariyhtälö Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö Sijoituskeino differentiaaliyhtälössä Bernoullin yhtälö Muoto y f(ax + by + c) Tasa-asteinen yhtälö Riippumattoman muuttujan valinta Koordinaatiston vaihtaminen GRAAFISIA TARKASTELUJA JA SOVELLUKSIA Graafisia tarkasteluja Eulerin menetelmä Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden sovelluksia Kohtisuorat leikkaajat Yksinkertaiset virtapiirit Geometrisia sovelluksia Käyräparven verhokäyrä LAPLACEN MUUNNOS Funktioavaruus Differentiaalioperaattoreista Laplacen muunnoksen määrittely ja laskusääntöjä Laplacen muunnoksen soveltamisperiaate Lisää muunnoskaavoja RATKEAVUUSTEORIAN TULOKSIA Alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Differentiaaliyhtälön ja integraaliyhtälön yhteys Likimääräisiä ratkaisumenetelmiä Picard-Lindelöfin menetelmä Taylorin kehitelmään perustuva menetelmä Potenssisarjamenetelmä EKSAKTIT DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tasa-arvokäyrä, osittaisderivaatat ja kokonaisdifferentiaali Kahden muuttujan funktion derivointi parametrin suhteen Tasa-arvokäyrän differentiaaliyhtälö Eksaktit differentiaaliyhtälöt Separoituva differentiaaliyhtälö on eksakti Integroiva tekijä Vastauksia monisteen tehtäviin TOISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT

3 7.. Yleistä Ensimmäiseen kertalukuun palautuvia tapauksia Yhtälöstä puuttuu riippuva muuttuja Yhtälöstä puuttuu riippumaton muuttuja Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Lineaariyhtälön ratkaisujoukon rakenne Lineaarinen riippumattomuus ja Wronskin determinantti Ratkaisujen perusjärjestelmä ja lineaarinen riippumattomuus Vakiokertoiminen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Määräämättömien kertoimien menetelmä Cauchy-Eulerin differentiaaliyhtälö, homogeeniyhtälö Kertaluvun pudotus Vakioiden variointi Toisen kertaluvun yhtälön muuntamisesta Sovelluksia Harmoninen värähtelijä Vaimenematon harmoninen värähtelijä. Vapaat värähtelyt Vaimenematon harmoninen oskillaattori. Pakotetut värähtelyt Vaimennettu harmoninen oskillaattori. Vapaat värähtelyt Vaimennettu harmoninen värähtelijä. Pakotetut värähtelyt LAPLACEN MUUNNOS: ASKELFUNKTIO JA IMPULSSI Paloittain määriteltyjen funktioiden muuntuminen Impulssin mallintaminen Konvoluutio ja vakiokertoiminen lineaarinen systeemi DIFFERENTIAALIYHTÄLÖSYSTEEMEISTÄ Differentiaaliyhtälön palauttaminen normaaliryhmäksi Lineaarinen toisen kertaluvun normaaliryhmä Laplacen muunnos ja vakiokertoimiset systeemit POTENSSISARJAMENETELMÄ Vastauksia monisteen tehtäviin LIITE Kompleksiluvuista Määritelmä ja perusominaisuuksia Kompleksitaso, Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys Binomiyhtälö Kompleksinen eksponenttifunktio, Eulerin kaavat Polynomeista ja rationaalifunktioista KOTITEHTÄVÄT Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisuohje Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisuohje Hakemisto

4 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3. JOHDANTO Tämän monisteen tavoitteena on antaa teekkarille yleiskuva tavallisista differentiaaliyhtälöistä. Opiskelijalla pitäisi kurssin suorittamisen jälkeen olla mielikuva seuraavista asioista: Mitä taitoja differentiaaliyhtälöiden käsittely edellyttää? (Perustiedot.) Mikä on differentiaaliyhtälö? (Käsitteistö.) Millaiset yksinkertaiset yhtälöt ratkeavat tarkasti? (Tunnistaminen.) Miten ratkaisen differentiaaliyhtälön? (Ratkaiseminen.) Miten muodostan differentiaaliyhtälön? (Mallintaminen.) Milloin differentiaaliyhtälön ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen? (Ratkeavuusteoria.) Käsittelemme pääasiassa yksinkertaisia tavallisia differentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista analyyttisesti. Lähestymistapa on perusteltu, sillä näin opiskelijalle voidaan antaa kuva erilaisista differentiaaliyhtälöihin perustuvista matemaattisista malleista ja niiden ratkaisujen ominaisuuksista. Toisaalta opiskelijalle saattaa muodostua virhellinen käsitys siitä, että kaikki differentiaaliyhtälöt ovat helposti ratkaistavissa analyyttisesti, mikä ei suinkaan pidä paikkaansa. Keskeinen kysymys, jonka opiskelija asettaa, on : "Mitä hyötyä on differentiaaliyhtälöistä?". Tavoitteena on vastata tähän kysymykseen. Lyhyesti sanottuna differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sellaisen tuntemattoman funktion määräämistä, joka toteuttaa yhtälön identtisesti. Derivaatta kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta, joten differentiaaliyhtälön avulla voimme kuvata systeemin tilan ja tilan muutosnopeuden välisiä yhteyksiä. Tämä tarkoittaa sitä, että differentiaaliyhtälön avulla voimme mallintaa minkä tahansa systeemin, mikäli pystymme muodostamaan yhtälön, joka kuvaa systeemin tilan ja tilan muutosnopeuden välistä yhteyttä. Kurssilla esitetään soveltavia esimerkkejä mm. mekaniikasta, lämpöopista, virtapiireistä, virtausmekaniikasta ja lujuusopista. Osastojen kursseilla jatketaan rakentamista tälle perustalle (KO lujuusoppi, namiikka, PYO lämmönsiirto, aineensiirto, liikkeensiirto, STO piiriteoria). Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen edellyttää kohtuullista perusanalyysin sekä differentiaali- ja integraalilaskennan ymmärtämistä. Opiskelijan pitää hallita alkeisfunktioiden käsittely, derivointi ja integrointi. Kun opiskelija osaa nämä perusasiat hyvin, niin differentiaaliyhtälöiden kanssa ei pitäisi olla vaikeuksia. Kurssia kannattaa seurata myös kirjallisuudesta. Erinomainen, itseopiskeluunkin sopiva kirja on: Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics. Kannattaa myös tutustua www-sivuun: mha/master.html Aito, idiotiaa? Juttuja motivoi i, ov, IT. Oma juttu ja aito idiotia!

5 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3.. Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä Differentiaaliyhtälöitä muodostettaessa verrannollisuuden käsitteen ymmärtäminen on keskeisessä asemassa. Seuraavien esimerkkien avulla havainnollistamme differentiaaliyhtälön muodostamista ja verrannollisuuden käsitettä. Esim Heittoliike ylöspäin. Tarkastelemme maan vetovoimakentässä heittoliikettä suoraan ylöspäin, kun väliaineen vastusta ei oteta huomioon. Olkoon koordinaatiston x-akselin suunta ylöspäin. Merkitsemme: x(t) t aika x(t) kappaleen paikka hetkellä t v(t) x (t) kappaleen nopeus hetkellä t v (t) x (t) kappaleen kiihtyvyys hetkellä t. Kuva. Vapaa putoaminen Jos kappaleen kiihtyvyys on vakio; esimerkiksi a(t) g (9.8 m/s ); niin Newtonin toinen laki ma F sievenee liikettä kuvaavaksi differentiaaliyhtälöksi x (t) g. () Tämä yksinkertainen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista integroimalla kaksi kertaa: x (t) g x (t) gt + C x(t) gt + C t + C. Differentiaaliyhtälön () yleinen ratkaisu x(t) gt + C t + C sisältää kaksi mielivaltaista vakiota C ja C. Mikäli tunnemme kappaleen paikan ja nopeuden alkuhetkellä t, niin vakiot C ja C voidaan määrätä yksikäsitteisesti. Jos kappale heitetään koordinaatiston origosta alkunopeudella v niin C, x(), C v, x () v, joten funktio x(t) gt + v t on alkuehdot toteuttava yksityisratkaisu. Alkuarvotehtävä x (t) g, x(), x () v, () kuvaa origosta alkunopeudella v suoraan ylöpäin heitetyn kappaleen liikkeen täydellisesti. Esim Väestönkasvu. Kiinnitetään merkinnät t N (t) N () N aika väkiluku väkiluku alkuhetkellä.. malli: Väkiluvun muutos aikayksikössä on suoraan verrannollinen väkilukuun. De rivaatta dn dt N (t) edustaa väkiluvun muutosnopeutta hetkellä t ja positiivinen vakio k on ns. verrannollisuuskerroin. Saadaan differentiaaliyhtälö dn kn dt tai toisin merkinnöin N (t) kn (t). (3) Tämän differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on N (t) C ekt, joten malli johtaa eksponentiaaliseen kasvuun. Alkuehdon N () N toteuttava ratkaisu on N (t) N ekt. No, liikerata, derivaattaa. Taavi ivaa taattaa. Vire, data, reki ilon.

6 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3. malli: Olkoon b syntyvyys aikayksikössä ja m kuolleisuus aikayksikössä. Oletetaan, että on voimassa yhtälö väkiluvun muutos aikayksikössä b m, väkiluku josta dn (b m)n. dt Jos oletamme, että syntyvyys aikayksikössä on vakio, mutta kuolleisuus aikayksikössä on suoraan verrannollinen väkilukuun eli m m N, niin saamme ns. logistisen kasvun differentiaaliyhtälön dn (b m N )N, dt b m (4) jonka ratkaisu on funktio N (t) N N (t) N b m + b m N N e bt, jossa N on väkiluku hetkellä t. Kuva. Logistinen kasvukäyrä Logistisen kasvun yhtälön ratkaisulla on uusi ominaisuus, tasapainotila. Ajan myötä väkiluku lähestyy raja-arvoa mb. 3 Esim 3 Gravitaatio. Tarkastelemme kappaleen, jonka massa on m, pystysuoraa liikettä maan vetovoimakentässä. Ilmanvastusta ja maan pyörimisen vaikutusta ei oteta huomioon. Tällöin kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima on kääntäen verrannollinen kappaleen ja maapallon etäisyyden neliöön. Newtonin toisen lain mukaan F ma, joten voimme kirjoittaa kappaleen hetkelliselle paikalle x differentiaaliyhtälön m d x k dt x (k γmm ). (5) Edellä γ on gravitaatiovakio ja M on maapallon massa. Harjoitustehtäviä Totea, että funktio N (t) C ekt toteuttaa yhtälön N (t) kn (t) kaikilla t R. b Totea, että funktio N (t) b m N bt toteuttaa logistisen kasvun yhtälön identtisesti. m + N e Ratkaistuamme differentiaaliyhtälön voimme tutkia ratkaisua ja laskea raja-arvon äärettömyydessä. Tämä antaa mahdollista tasapainotilaa vastaavan funktion arvon. Toinen keino on seuraava. Merkitse logistisen kasvun yhtälössä derivaatta N (t) nollaksi ja ratkaise jäljelle jäävä yhtälö N :n suhteen. Mieti, mitä olet itse asiassa tehnyt! Ilmaise derivaatan avulla (valitse sopivat merkinnät) a) Kappaleen nopeus on kääntäen verrannollinen aikaan b) Laivan kiihtyvyys on suoraan verrannollinen potkurin työntövoiman ja veden vastuksen erotukseen, veden vastuksen ollessa suoraan verrannollinen laivan nopeuteen. c) Johdinkelaan indusoitunut jännite ( jännitehäviö kelassa) on suoraan verrannollinen johtimessa kulkevan virran muutosnopeuteen. Pallon muotoiseen sadepisaraan tiivistyy kosteutta siten, että pisaran massan muutosnopeus on suoraan verrannollinen pisaran pinta-alaan. Olkoon pisaran säde alkuhetkellä r. Johda differentiaaliyhtälö pisaran hetkelliselle säteelle käyttäen hyväksi kaavoja V 34 πr3 ja A 4πr. Ratkaise johtamasi yhtälö. T, äks, y. No, ei aina viisaat älyä. Vai soosia! Väylät aasi. Ivani aie on yskät. 3

7 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3.. Funktio, käyrä ja käyräparvi Seuraavaksi kertaamme muutamia keskeisiä peruskäsitteitä. Määritelmä Funktio f : A B on vastaavuus, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon A alkioon x yhden ja vain yhden joukon B alkion y f (x). Tällä kurssilla tarkastelemme reaaliarvoisia funktioita, joten joukko B on reaalilukujen joukko R. Reaaliarvoisen välillä [c, d] määritellyn funktion 4 f : x 7 f (x) kuvaaja xy-tasossa on joukko ns. funktiokäyrä (x, y) x [c, d], y f (x)} (x, f (x)) x [c, d] }. Tulojoukossa [a, b] [c, d] (x, y) x [a, b], y [c, d] } määritellyn kahden muuttujan reaaliarvoisen funktion g : (x, y) 7 g(x, y) kuvaaja xyz- koordinaatistossa on pinta (x, y, z) x [a, b], y [c, d], z g(x, y)} (x, y, g(x, y)) x [a, b], y [c, d] }. Määritelmä Olkoot x x(t) ja y y(t) jollakin välillä [c, d] määriteltyjä jatkuvia funktioita. Tällöin jatkuvan tasokäyrän parametriesitys on yhtälöpari x x(t), t [c, d], y y(t), jonka kuvajoukko (x(t), y(t)) t [c, d] } on tasokäyrä eli käyrä. Muuttuja t on käyrän parametri. Vastaavasti jatkuvan avaruuskäyrän parametriesitys on yhtälöryhmä x x(t), y y(t), t [c, d], z z(t), jossa x x(t), y y(t) ja z z(t) ovat jatkuvia välillä [c, d]. Kuvajoukko (x(t), y(t), z(t)) t [c, d] } on avaruuskäyrä eli käyrä, jonka parametrina on muuttuja t. Mikäli tasokäyrän parametriesityksestä voidaan eliminoida parametri, jää jäljelle muuttujien x ja y välinen yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon G(x, y). Yhtälö G(x, y) on käyrän implisiittinen eli ratkaisematon muoto. Käyrän eksplisiittisellä eli ratkaistulla muodolla tarkoitamme esitystä, jossa yhtälö G(x, y) on ratkaistu y:n (tai x:n) suhteen. Havainnollistamme käyrän eri esitysmuotoja yksikköympyrän avulla. y + x x + y y x (x(t), y(t)) x cos t, t [, π] y sin t Kuva 3. Käyrän eri esitysmuotoja Yksiparametrisen käyräparven yhtälö on muotoa G(x, y, C), jossa G on kolmen muuttujan funktio, x, y ovat muuttujia ja C on reaalinen parviparametri. Ratkaisemalla yhtälö G(x, y, C) muuttujan y (tai x) suhteen saadaan käyräparven yhtälön ratkaistu muoto y F (x, C) (tai x H(y, C)). Voimme myös käsitellä käyräparvia, joissa on n kappaletta parametreja. Tällöin käyräparven yhtälön yleinen muoto on G(x, y, C, C,..., Cn ). 4 Avaa kaava, tuttu jo funktio. Hoit: k(n), ufo juttu. Tavaa kaava 4

8 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 4 Yhtälö saa x +4y 4C määrittelee tasossa käyräparven. Ratkaisemalla y:n suhteen daan y ± C x /4. Vastaavasti muuttujan x suhteen ratkaisemalla saadaan x ± C y. Kirjoittamalla yhtälö muotoon x y + 4C C näemme, että negatiivisille C:n arvoilla käyrällä ei ole reaalista vastinetta. Tapauksessa C käyrä on surkastunut pisteeksi (origo). Positiiviset parviparametrin arvot antavat sisäkkäisiä ellipsejä. x + 4y 4C.3. Derivaatta, differentiaali ja integraalifunktio Määritelmä 3 Olkoon funktio f määritelty välillä ]x r, x + r[, r >. Merkitään x x x. Funktion f derivaatta pisteessä x on raja-arvo f (x ) lim x f (x + x) f (x ) x f x x lim df, (6) jos em. raja-arvo on olemassa. Avoimella välillä ]a, b[ määritelty funktio f :]a, b[ R on derivoituva, jos se on derivoituva kaikissa pisteissä x ]a, b[. Lauseke f (x ) x on muutosta x vastaava differentiaali pisteessä x. Differentiaalia merkitään joko df df (x ) f (x ) x (vastaa muutosta x) tai merkitsemällä pientä lisäystä :llä df df (x ) f (x ) Derivaatan eri merkintätapoja ovat f (x), Df (x), (vastaa muutosta ). (7) df d f (x),, Oheinen kuvio valaisee derivaatan ja differentiaalin tulkintaa. 5 Oikeanpuoleinen kuva on suurennos. Merkintä < x> tarkoittaa derivaatan määrittelevän raja-arvon virhetermiä f (x + x) f (x) f (x) < x>, kun x, x joten tulo x< x> edustaa differentiaalin virhettä, kun funktion arvojen muutosta approksimoidaan differentiaalilla. y f (x) y f (x) y+ y x < x> df f (x) x y x x+ x x x+ x Kuva 4. Derivaatan geometrinen tulkinta Derivaatta f (x ) kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta pisteessä x. Differentiaali df kuvaa funktion arvojen muutosta. Differentiaali antaa sitä paremman likiarvon funktion arvojen muutokselle mitä pienempi on muuttujapisteen arvon muutos x. Differentiaalikehitelmän f (x + x) f (x) f (x) x + x < x> avulla voidaan todeta, että jokainen reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, joka on derivoituva pisteessä x on myös jatkuva pisteessä x. 5 "y,, y(t), ne hiisi pois!" Avaa kallo, jolla kaavasi opi! Siihen tyy! 5

9 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Suljetulla välillä [x, x ] jatkuva funktio F on funktion f integraalifunktio välillä [x, x ], jos F (x) f (x) kaikilla x ]x, x [. Integraalifunktiota merkitään F f tai F (x) f (x). Integraalifunktio on lisättävää vakiota vaille yksikäsitteinen. Välillä [x, x ] jatkuvan funktion f se integraalifunktio, joka saa arvon F (x ) C, voidaan esittää muodossa F (x) x x f (t) dt + C, x [x, x ]. (8) x Käytämme merkintää f (t) dt jokin kiinnitetty integraalifunktio. Merkintä on käytännöllinen teoriaa ajatellen. Laskuissa vakio kiinnitetään tarkoituksenmukaisimmalla tavalla. Harjoitustehtäviä x Laske integraalin F (x) f (t) dt määrittelemät funktiot, kun, kun x < a) f (x) x b) f (x) c) f (x) x., kun x Millä välillä F on jatkuva? Millä välillä F on derivoituva? Määrää funktion f (x) se integraalifunktio, joka kulkee pisteen (,) kautta, kun + a) f (x) xx+ + e x b) f (x) sin x+x c) f (x) e x x Missä alueessa integraalifunktio on määritelty? Muista, että integraalifunktiota ei aina voi esittää x d alkeisfunktioiden avulla. Vihje: Jos g on jatkuva, niin g(t) dt g(x). a 8. Ratkaise yhtälö y x +. Millaiset ratkaisufunktiot ovat mahdollisia, jos a) y : R R on jatkuva b) y : R R on derivoituva c) Entä sitten, jos ei vaadita edes jatkuvuutta. 9. Osoita, että jokainen pisteessä x derivoituva funktio f : R R on myös jatkuva pisteessä x..4. Peruskäsitteitä Tavallinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy yksi riippumaton muuttuja sekä tämän tuntematon funktio derivaattoineen. Tämän yleistys on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jossa esiintyy useampia riippumattomia muuttujia sekä niiden tuntematon funktio osittaisderivaattoineen. Differentiaaliyhtälön kertaluku on yhtälössä esiintyvän korkeimman kertaluvun derivaatan kertaluku. Differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen eli eksplisiittinen, jos yhtälössä esiintyvä korkein derivaatta y (n) on ratkaistu riippumattoman muuttujan x, tuntemattoman funktion y sekä derivaattojen y, y,..., y (n ) suhteen. Kertaluvun n normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö on muotoa y (n) f (x, y, y,..., y (n ) ). Sanomme differentiaaliyhtälöä normaalimuotoiseksi myös siinä tapauksessa, että korkeimman derivaatan ratkaiseminen yhtälöstä edellyttää termien siirtelyä yhtälön toiselle puolelle sekä mahdollisesti yhtälön kertomista puolittain nollasta eroavalla vakiolla. Differentiaaliyhtälöä ei aina voida saattaa normaalimuotoon. Tällöin on tyyttävä yhtälön implisiittiseen esitysmuotoon Φ(x, y, y,..., y (n) ), jossa Φ on n+:n muuttujan funktio. n pk (x)y (k) q(x) ja sen kerkertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa k toimet p, p,..., pn ovat riippumattoman muuttujan x funktioita. Tärkeä erikoistapaus on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka kertoimet p, p,..., pn ovat vakioita. Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä funktio q(x) on ns. häiriöfunktio. Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen. Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen eli täydellinen. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan aina saattaa normaalimuotoon jakamalla kertoimella pn (x) mikäli pn (x) kaikilla x:n arvoilla. Jos differentiaaliyhtälö ei ole lineaarinen, niin se on epälineaarinen. Epälineaarista differentiaaliyhtälöä ei aina voi saattaa normaalimuotoon. 6 6 Avaa kiho ulos ovi. Ai, e olisi maalaiselle i. Tiellesi ala amis ilo. Ei aivosolu, ohi kaava. 6

10 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 K E R T A L U K U HOMOGEENINEN LINEAARINEN EPÄHOMOGEENINEN EPÄLINEAARINEN Kuva 5. Differentiaaliyhtälöiden yleinen luokittelu Seuraavissa esimerkeissä on lueteltu muutamia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Opettele tunnistamaan lineaarinen ja epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Esim 5 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. p (x)y + p (x)y q(x) ay + by q(x), a y + y y + y sin x xy + x y sin x p (x)y + p (x)y + p (x)y q(x) y + ay + by x y + axy + by Ψ m [E V (x)]ψ ℏ y xy ( x )y xy + n y x y + xy + (x n )y Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälön yleinen muoto Yleinen ensimmäisen kertaluvun vakiokertoiminen yhtälö Eräs vakiokertoimen homogeeniyhtälö Eräs vakiokertoimen täydellinen yhtälö Eräs täydellinen lineaariyhtälö Toisen kertaluvun lineaariyhtälön yleinen muoto Vakiokertoiminen homogeeniyhtälö, a, b R Cauchy-Eulerin homogeeniyhtälö, a, b R Ajasta riippumaton yksiulotteinen Schrödingerin yhtälö Airyn yhtälö. Ratkaisut ovat ns. Airy n funktioita. Tsebysevin yhtälö. Besselin yhtälö. Ratkaisut ovat Besselin funktioita. Esim 6 Kolmannen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on yleistä muotoa p3 (x)y (3) + p (x)y + p (x)y + p (x)y q(x). Analyyttisesti ratkeavia erikoistapauksia ovat vakiokertoiminen yhtälö, a3 y (3) + a y + a y + a y q(x), ak R vakio, ja Cauchy-Eulerin yhtälö a3 x3 y (3) + a x y + a xy + a y q(x), ak R vakio. Esim 7 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. y a(x)y n + b(x)y y a(x)y n + b(x)y + c(x) ay g, g >, a (y )m f (x, y) y + y axm y t M EI (+y )3/ d y + y + k d y + yk d x dt d x dt d x dt + a sin x µ( x ) dt + x + x(t) + ax(t)3 Bernoullin yhtälö Riccatin yhtälö Erikoistapaus Riccatin yhtälöstä Binominen yhtälö Eulerin yhtälö Palkin kimmoviivan yhtälö Köysikäyrän yhtälö Yksiulotteinen gravitaatio Heilurin yhtälö Van der Polin yhtälö Duffingin yhtälö Vielä otamme pari esimerkkiä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä. Näitä ei käsitellä tällä kurssilla. Esim 8 Tärkeitä toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. f + yf x c xu t u t k x t k( x + y ) Laplacen yhtälö (potentiaaliyhtälö) Yksiulotteinen aaltoyhtälö Yksiulotteinen lämmönjohtoyhtälö Kaksiulotteinen lämmönjohtoyhtälö 7 f f (x, y) u u(x, t) u u(x, t) u u(x, y, t)

11 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Differentiaaliyhtälön y (n) f(x, y, y,..., y (n ) ) klassinen ratkaisu välillä I on sellainen välillä I määritelty n kertaa derivoituva funktio y y(x) φ(x), joka yhtälöön sijoitettuna toteuttaa yhtälön identtisesti eli φ (n) (x) f(x, φ(x), φ (x),..., φ (n ) (x)), kaikilla x I. Ratkaisun kuvaaja xy-tasossa on ratkaisukäyrä. Aina ei ole tarkoituksenmukaista hakea funktiomuotoista ratkaisua vaan ratkaisun tulkinta tasokäyräksi saattaa olla parempi tapa. Esim 9 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö xy + y ratkeaa huomaamalla, että yhtälön vasen puoli on tulon derivaatta eli yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (xy), josta saadaan integroimalla puolittain xy C. Yleinen ratkaisu on funktioparvi y y(x) C x, jossa C on reaalinen vakio. Kertalukua n olevan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sisältää yleensä n kappaletta oleellisia parametreja. Tällöin parametrien lukumäärää ei voida vähentää muuttujanvaihdolla, sieventämällä,... eikä millään muulla keinolla. Kiinnittämällä parametrien arvot yleisestä ratkaisusta saadaan yksityisratkaisu. Yleinen ratkaisu ei aina sisällä kaikkia yhtälön ratkaisuja. Tällaisessa tapauksessa yhtälöllä on erikoisratkaisuja eli singulaariratkaisuja. Differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä ole olemassa ratkaisuja. Pääsääntö: Kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on n parametrinen käyräparvi. Esim Differentiaaliyhtälön ratkaisu ja ratkeavuus. y yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja y + y ainoa ratkaisu on y(x) y y yleinen ratkaisu y(x) 4 (x C) ei sisällä erikoisratkaisua y(x) Differentiaaliyhtälön yksityisratkaisu kiinnitetään asettamalla lisäehtoja. Jos lisäehdot liittyvät samaan muuttujapisteeseen, puhutaan alkuarvotehtävästä. Jos taas lisäehdot liittyvät eri pisteisiin, niin kyseessä on reuna-arvotehtävä. Esim Eri tehtävätyyppejä. Tehtävä Yleinen muoto Esimerkki. kertaluvun y f(x, y), x > x, y y, x > x, alkuarvotehtävä y(x ) α. y(). y. kertaluvun f(x, y, y ), x > x, y + y, x > x, y(x alkuarvotehtävä ) α, y(), y (x ) α. y (). y. kertaluvun f(x, y, y ), x < x < x, y + y, < x < π, y(x reuna-arvotehtävä ) α, y(), y(x ) β. y(π). y 4. kertaluvun (4) f(x, y, y, y, y ), x < x < x, y (4) y, < x <, y(x reuna-arvotehtävä ) α, y (x ) α, y(), y y(x ) β, y (), (x ) β, y(π), y (π), Edellä todettiin, että kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on käyräparvi, jossa on n kappaletta parametreja. Toisaalta n-parametrinen käyräparvi on yleensä jonkin kertaluvun n differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Pääsääntö: Käyräparven differentiaaliyhtälö voidaan määrätä derivoimalla käyräparven yhtälöä implisiittisesti n kertaa ja eliminoimalla näin saadusta n n yhtälöryhmästä käyräparven parametrit. 8

12 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Tämä strateginen suunnitelma voidaan toteuttaa taktisesti useilla erilaisilla tavoilla. Yleispätevää ohjetta ei ole. Seuraavat esimerkit valaisevat asiaa. Esim Käyräparven differentiaaliyhtälö muodosta f (x, y) C. Yhtälöstä x +4y C saadaan derivoimalla puolittain implisiittisesti x + 8yy. Annetun ellipsiparven implisiittinen differentiaaliyhtälö on x + 4yy. Eksplisiittinen derivaatan x suhteen ratkaistu muoto on y 4y. Esim 3 Käyräparven differentiaaliyhtälö muodosta f (x, y, C). Yhtälöstä Cx + y C saadaan derivoimalla puolittain implisiittisesti Cx + yy. Yhtälöparista Cx + y C, Cx + yy, eliminoidaan parametri C ja tulokseksi saadaan differentiaaliyhtälö yy ( x ) + y x. Parametrin eliminointi voidaan tehdä myös toisella tavalla. Ensin ratkaistaan yhtälö Cx + y C parametrin C suhteen ja tämän jälkeen derivoidaan implisiittisesti, jolloin parametri eliminoituu derivoitaessa. Sievennysten jälkeen saadaan tietenkin sama tulos kuin edellä eli yy ( x ) + y x. Mikäli käyräparvessa on useampia parametreja, on implisiittiderivointeja suoritettava yhtä monta kertaa kuin käyräparvessa on parametreja. Esim 4 Ensimmäisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeniyhtälö. Olkoon p y + p y, jossa p ja p, p ovat reaalisia vakioita. Jakamalla puolittain nollasta eroavalla luvulla p ja merkitsemällä a pp saamme yhtäpitävän yhtälön y + ay. Oletamme, että y(x), jolloin yhtäpitävästi y + ay y ay y (x) a. y(x) (x) d, saamme edellisestä yhtälöstä puolittain Koska logaritmifunktion derivaatta on ln y(x) yy(x) integroimalla ln y(x) ax + C, jossa C R. Tuntemattoman funktion y(x) ratkaisemiseksi logaritmifunktiosta on päästävä eroon. Tämä tapahtuu ottamalla eksponenttifunktio puolittain ja käyttämällä hyväksi sitä, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita eli ln y(x) ax + C eln y(x) y(x) e ax+c, josta eksponenttifunktion laskukaavojen mukaan y(x) ec e ax. Tässä ec on positiivinen vakio, joka saa kaikki positiiviset arvot, kun vakio C saa kaikki reaaliarvot. Täten edellä olevan itseisarvoyhtälön ratkaisu toteuttaa C ax e e, kun y(x) > C ax y(x) e e y(x) C ax e e, kun y(x) <. Merkitsemällä C :llä nollasta eroavaa vakiota siten, että C ec, voimme kirjoittaa ratkaisun muotoon y(x) C e ax, jossa C. Lisäksi toteamme, että nollafunktio y(x) kaikilla x, toteuttaa differentiaaliyhtälön ja nollafunktio vastaa parametrin arvoa C. Näin ollen yhtälön y + ay yleinen ratkaisu on yksiparametrinen käyräparvi y(x) C e ax, jossa C saa kaikki reaaliarvot. Oheiseen kuvioon on piirretty muutamia yhtälön y +.5y ratkaisukäyriä. Tarkistamme vielä epäsuorasti sen, että löydetty ratkaisu toteuttaa differentiaaliyhtälön. 9

13 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Kerromme ratkaisufunktion määrittelevän yhtälön y C e ax puolittain nollasta eroavalla funktiolla eax, jolloin yhtäpitävästi 3 -.*exp(-x/) -.5*exp(-x/).*exp(-x/).5*exp(-x/).*exp(-x/) y C e ax y eax C vakio. Derivoimalla puolittain implisiittisesti saamme d d (C ) (y eax ) y eax + ya eax (y + ay) eax. Koska termi eax on aina nollasta eroava, on oltava voimassa differentiaaliyhtälö y + ay. Huomautus Opiskele edellinen esimerkki huolellisesti. Siinä on tuotu esille useita differentiaaliyhtälöiden käsittelyssä käytettäviä tekniikoita: yhtälön kertominen puolittain nollasta eroavalla funktiolla yhtälön integroiminen puolittain funktion ottaminen puolittain yhtälöstä funktion ja käänteisfunktion ominaisuuksien käyttäminen tunnettujen funktioiden laskusääntöjen käyttäminen itseisarvojen poistaminen vakion merkin valinnalla yhtälön derivoiminen puolittain yhtälön ratkaisujoukkona on käyräparvi Harjoitustehtäviä. Osoita, että seuraavat funktiot ovat annetun differentiaaliyhtälön ratkaisuja a) xv 5v 5x3, v 5 x3 + C x5 b) y + 9y, y C cos(3x) + C sin(3x). Osoita, että seuraavat funktiot ovat vastaavan differentiaaliyhtälön ratkaisuja ja määrää vakiot siten että ratkaisu toteuttaa annetun ehdon a) y + x y, y C x, y(). b) y + 6y, y C cos(4x + C ), y(), y ().. Yhtälö y 3 x4 + C ey määrittelee käyrän xy-tasossa. Osoita, että käyrällä olevat pisteet toteuttavat 4y differentiaaliyhtälön y x(y 3). Käytä implisiittiderivointia. 3. Yhtälö yx + C ey määrittelee käyrän xy-tasossa. Osoita, että käyrällä olevat pisteet toteuttavat y. Ohje: Ratkaise käyrän yhtälöstä x x(y) ja käytä käänteisfunktion differentiaaliyhtälön y x(y ) derivaattaa. 4. Kuinka monta oleellista parametria (A, B, C, D R) on seuraavissa yhtälöissä? x Ax+B a) y(x) A e +B b) y(x) A sin(x + B) + C cos(x) c) y(x) Cx+D C d) y(x) ln( x ) D e) Ax + Bxy + Cy. 5. Määrää seuraavien differentiaaliyhtälöiden kertaluku ja lineaarisuus/epälineaarisuus sekä onko kyseessä homogeeniyhtälö vai ei. 4 d y 5 a) (y ) + y x3 b) y y + xy c) + ( ) + x y 3 d y d y d) y + x sin y x3 e) y + y sin x x3 f ) y d y d3 y 5 g) 3 + ( ) + x y h) x y + y sin x tan x i) yy x3. 6. Määrää seuraavien käyräparvien differentiaaliyhtälöt a) x Cy b) y (x + Cx ) c) y 3 (C 3x). 7. Ratkaise a) y + 4y b) y 9 y, y(). 8. Moottoriveneen moottori pysäytetään hetkellä t veneen kulkiessa nopeudella m/s. Tämän jälkeen nopeus pienenee siten, että hidastuvuus on suoraan verrannollinen nopeuteen. Muodosta ja ratkaise liikettä kuvaava differentiaaliyhtälö. Mikä on veneen nopeus 6 sekunnin kuluttua moottorin pysäyttämisestä, kun sekunnin kuluttua nopeus on m/s?

14 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3.5. Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeniyhtälö Havainnollistamme differentiaaliyhtälöihin liittyvää käsitteistöä ja laskutekniikkaa ratkaisemalla erään täydellisesti ratkeavan ja sovellusten kannalta tärkeän tehtäväluokan. Tämä luokka on vakiokertoimiset lineaariset homogeeniyhtälöt, joiden yleinen muoto on n pk y (k) pn y (n) + pn y (n ) p y + p y, (9) k jossa kertoimet pk, k,..., n ovat vakioita. Oletamme, että kyseessä on aito kertaluvun n yhtälö, jolloin kerroin pn. Yleistämme esimerkissä 4 löydetyn ensimmäisen kertaluvun vakiokertoimisen yhtälön ratkaisun kertaluvun n tapaukseen. Esimerkissä 4 ratkaisu oli muotoa y(x) C eλ x, jossa C R on mielivaltainen vakio ja λ on parametri, jonka arvo riippuu differentiaaliyhtälön kertoimista. Asetamme kysymyksen: "Millä parametrin λ arvoilla funktio y(x) eλx on differentiaaliyhtälön (9) ratkaisu?" Vastaus saadaan sijoittamalla yrite y(x) eλx yhtälöön ja sieventämällä saatu lauseke muotoon ( n pk λk ) eλx. k Koska eλx saadaan parametrille λ ehdoksi ns. karakteristinen yhtälö p(λ) n pk λk pn λn p λ + p, () k joka on tavallinen astetta n oleva polynomiyhtälö. Karakteristisella yhtälöllä p(λ) on kertaluvun mukaan laskien n kappaletta juuria λ,..., λn, jotka voivat olla reaalisia tai kompleksisia. Karakteristisen yhtälön kertoimet pk, k,..., n ovat reaalilukuja, joten kompleksiset ratkaisut esiintyvät liittolukupareina (katso sivu 86). Lause Ratkaisuohje vakiokertoimiselle homogeeniyhtälölle.. Määrää karakteristinen yhtälö p(λ) tekemällä yrite y(x) eλx.. Määrää karakteristisen yhtälön juuret λ,..., λn. 3. Tutki eri tapaukset (a) Jokaista kertaluvun m reaalijuurta λk vastaavat m ratkaisufunktiota ovat yk eλk x, yk x eλk x,..., ykm xm eλk x. (b) Jokaista kertaluvun m kompleksista juuriparia λk αk ± βk i vastaavat m ratkaisufunktiota ovat yk yk... ykm eαk x cos(βk x), x eαk x cos(βk x),... xm eαk x cos(βk x), yk(m+) yk(m+)... yk(m) eαk x sin(βk x), x eαk x sin(βk x),... xm eαk x sin(βk x). 4. Vaiheissa 3a-3b löydetään n kappaletta ratkaisuja y, y,..., yn, joiden avulla yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa summana y(x) C y (x) + C y (x) Cn yn (x), jossa C, C,..., Cn ovat mielivaltaisia reaalisia vakioita. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on n-parametrinen käyräparvi, jonka parametreina ovat vakiot Ck, k,..., n.

15 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 5 Toisen kertaluvun vakiokertoiminen yhtälö, eri tapaukset. y 4y,. Kaksi erisuurta reaalijuurta: Ratkaise alkuarvotehtävä y(), y (). Ratkaisu: Yrite on y(x) eλx, jolloin sen derivaatat ovat y (x) λ eλx ja y (x) λ eλx. Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan ehto (huomaa identtinen yhtälö ) y 4y λ eλx 4 eλx (λ 4) eλx. Eksponenttifunktio on aina nollasta eroava, joten karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa λ 4. Sen juuret ovat λ ±. Niitä vastaavat ratkaisufunktiot ovat y (x) ex ja y (x) e x. Yleinen ratkaisu on y(x) C y (x) + C y (x) C ex + C e x. Lasketaan derivaatta y (x) C ex C e x ja määrätään kertoimet yhtälöparista y() C + C, y () C C, 4 ja C 4. Alkuehdon toteuttava ratkaisu on y(x) y 6y + 9y,. Reaalinen kaksoisjuuri. Ratkaise alkuarvotehtävä y(), y (). jonka ratkaisu on C 7 x x. 4 e 4 e Ratkaisu: Yrite on y eλx, jolloin y λ eλx ja y λ eλx. Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan ehto y 6y + 9y λ eλx 6λ eλx + 9 eλx (λ 6λ + 9) eλx. Karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa λ 6λ + 9. Sen juuret ovat λ 3, joka on toisen kertaluvun juuri. Sitä vastaava ratkaisufunktio on y (x) e3x. Toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu (käsite sivulla 54) muodostetaan kertomalla x:llä y (x) x e3x. Yleinen ratkaisu on y(x) C y (x) + C y (x) C e3x + C x e3x. Lasketaan derivaatta y (x) 3C e3x + C e3x + 3C x e3x. Kertoimet alkuarvotehtävän ratkaisulle määrätään yhtälöparista y() C, y () 3C + C, jonka ratkaisu on C ja C. Alkuehdon toteuttava ratkaisu on y(x) e3x x e3x. y + 4y, 3. Puhdas imaginaariluku juurena. Ratkaise alkuarvotehtävä y(), y (). Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa λ + 4. Sen juuret ovat λ ± i. Ratkaisuohjeen mukaan vastaavat ratkaisufunktiot ovat y (x) cos(x) ja y (x) sin(x). Yleinen ratkaisu on y(x) C y (x) + C y (x) C cos(x) + C sin(x). Lasketaan derivaatta y (x) C sin(x) + C cos(x). Kertoimet alkuarvotehtävän ratkaisulle määrätään yhtälöparista C, y() C, C. y () C, Alkuehdon toteuttava ratkaisu on y(x) 7 sin(x). Tentin korjaajalle: Oli ilo. Saat:,,,. Taas oli ilo.

16 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 y 6y + 5y, 4. Liittokompleksiluvut juurena. Ratkaise alkuarvotehtävä y(), y (). Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa λ 6λ + 5. Sen juuret ovat 8 λ 3 ± 4 i. Ratkaisuohjeen mukaan vastaavat ratkaisufunktiot ovat y (x) e3x cos(4x) ja y (x) e3x sin(4x). Yleinen ratkaisu on y(x) C y (x) + C y (x) C e3x cos(4x) + C e3x sin(4x). Lasketaan derivaatta tulon derivointikaavalla y (x) 3C e3x cos(4x) 4C e3x sin(4x) + 3C e3x sin(4x) + 4C e3x cos(4x). Kertoimet alkuarvotehtävän ratkaisulle määrätään yhtälöparista C, y() C, C 4. y () 3C + 4C, Alkuehdon toteuttava ratkaisu on y(x) 3x 4 e sin(4x). Esim 6 Kolmannen kertaluvun yhtälö. Ratkaise differentiaaliyhtälö y + y. Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on λ3 +. Sen juuret ovat λ, λ3 ± i 3. Yleinen ratkaisu on y(x) C e x + C e x sin( 3 x) + C3 e x cos( 3 x). Esim 7 Korkeamman kertaluvun juuri. Ratkaise differentiaaliyhtälö y (4) 4y +6y 4y +y. Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on λ4 4λ3 + 6λ 4λ + tai toisin kirjoitettuna (λ )4. Karakteristisella yhtälöllä on kertaluvun 4 juuri λ, joten yleinen ratkaisu on y(x) C ex + C x ex + C 3 x ex + C 4 x 3 ex. Esim 8 Neljännen kertaluvun yhtälö. Ratkaise differentiaaliyhtälö y (4) + 9y. π kπ Ratkaisu: Karakteristinen yhtälö on λ4 +9. Sen juuret ovat λk 4 9 e i( 4 + ), k Z. Erisuuret juuret ovat (ratkaisumenetelmä sivulla 85) π λ 3 e i i 6, 3π λ 3 e i i 6, i 5π λ 3 e 4 6 i 6, 7π λ3 3 e i i 6. Yleinen ratkaisu on y(x) C e x sin( 6 x) + C e x cos( 6 x) + C3 e x sin( 6 x) + C4 e x cos( 6 x). Harjoitustehtäviä 9. Ratkaise toisen kertaluvun vakiokertoimiset homogeeniyhtälöt a) y 4y + 4y, b) y + 5y, c) y + 4y + 3y, d) y + y 6y.. Ratkaise alkuarvotehtävät a) y 9 y, y(), y (), b) y + 6y + 9y, y(), y () 3, c) y + 5y, y(), y (), d) y y + y, y(), y ().. Ratkaise reuna-arvotehtävä y ky, y(), y(). Millä vakion k arvoilla tehtävällä on nollafunktiosta eroavia ratkaisuja. Mitkä ovat kyseiset ratkaisut?. Määrää toisen kertaluvun vakiokertoiminen homogeeniyhtälö, jonka yleinen ratkaisu on käyräparvi y(x) C sin(x) + C cos(x). 3. Ratkaise differentiaaliyhtälöt a) y y, b) y (4) y, c) y (4) + y. 4. Ratkaise differentiaaliyhtälöt a) y (4) y + y, b) y (4) + y + y, c) y (4) 4y. 8 Abi fuksi. No niin, aito idiotia. Iso taittuu kaihoni: Ulos ovi. Aamu ja oppilaat. Hamina ja iso tila. Arg! Etninen integraali. Tosi ajan i mahtaa lippoa - juma - aivosoluin ohi. Akuuttia, tosi aito idiotia. Niin on isku, fiba. 3

17 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT Ensimmäisen kertaluvun yhtälön yleinen muoto on Φ(x, y, y ). Rajoitumme tarkasteluissa eksplisiittisiin ensimmäisen kertaluvun yhtälöihin y f (x, y), jossa funktio f oletetaan jatkuvaksi kahden muuttujan funktioksi Integroimalla ratkeava tehtävä Muoto y f (x) Yksinkertaisin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa y f (x), jossa f on jatkuva funktio. Tämän yhtälön yleinen ratkaisu saadaan integraalilaskennan peruslauseen nojalla integroimalla yhtälö puolittain: x y(x) f (x) f (t) dt + C, jossa C on mielivaltainen reaalinen vakio. Alkuarvotehtävän x y f (x), ratkaisu on y(x) y + f (t) dt. y(x ) y, x Yhtälön y f (x) ratkaiseminen on puhdas integraalifunktion määräämistehtävä. Integraalifunktiota ei aina voida kirjoittaa käytettävissä olevien alkeisfunktioiden avulla. Näissä tapauksissa ratkaisun integraaliesitys määrittelee uuden funktion. Tällaisista funktioista löytyy tietoa erikoisfunktioita käsittelevästä kirjallisuudesta. 9 (Esim. Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables.) Erikoisfunktioiden pisteittäisiä arvoja voidaan laskea numeerisesti integroimalla integraaliesityksistä tai sarjakehitelmien avulla. Tyypillisiä esimerkkejä erikoisfunktioista ovat erf(x) Γ(x) x t e dt π x t t e dt Ei(x) Si(x) x x... Virhefunktio Gammafunktio e t t dt Eksponentti-integraali sin t t dt Sini-integraali Ci(x) cost t dt x( )k x n+k Jn (x) k k!(n+k)! ( ) x F (k, x) dt x k sin(t) E(k, x) k sin (t) dt Kosini-integraali Ensimmäisen lajin Besselin funktio Ensimmäisen lajin elliptinen integraali, < k < Toisen lajin elliptinen integraali, < k < Muoto y f (y) Toinen tehtäväluokka, joka palautuu helposti integrointitehtävään on tyyppiä y f (y) olevat yhtälöt, jossa f on jokin tunnettu jatkuva funktio. Tarkastelu on jaettava kahteen osaan: f (y) ja f (y). ) Jos y y toteuttaa yhtälön f (y ), niin vakiofunktio y y on yhtälön ratkaisu (ns. erikoisratkaisu). ) Tapauksessa f (y) voimme kirjoittaa: y (x) f (y(x)) 9 Ahaa, hip! Prujaus sua jurppi. Haa ha! 4 y (x), f (y(x))

18 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 josta saadaan puolittain integroimalla y (x) f(y(x)) x + C. Yhtälön vasemmalla puolella tehdään muuttujanvaihto z y(x), jolloin dz y (x) ja voimme kirjoittaa dz x + C f(z) f(y). Yleisen ratkaisun määrääminen on palautunut integrointitehtäväksi. Esim 9 Säiliön tyhjeneminen nestepaineella (Torricellin laki). Tarkastelemme nestettä sisältävän säiliön tyhjenemistä säiliön pohjassa olevan aukon kautta. Otamme käyttöön seuraavat merkinnät..3. Separoituva yhtälö, y f(x)g(y) Separoituva yhtälö on muotoa t aika h h(t) nestepinnan hetkellinen korkeus g maan painovoiman aiheuttama kiihtyvyys, 9.8m/s A säiliössä olevan poistoaukon pinta-ala A A(h) säiliön nestepinnan ala, kun neste on korkeudella h k supistuskerroin, riippuu viskositeetistä, reiän muodosta,... Säiliön tyhjenemistä mallintaa differentiaaliyhtälö dh h dt k ga A(h). y f(x)g(y). Kuten edellä, tarkastelu jaetaan kahteen osaan: g(y) ja g(y). ) Jos y y toteuttaa yhtälön g(y ), niin vakiofunktio y y on yhtälön ratkaisu (ns. erikoisratkaisu). ) Tapauksessa g(y) voimme kirjoittaa: y (x) g(y(x))f(x) josta saadaan puolittain integroimalla y (x) g(y(x)) y (x) g(y(x)) f(x), x f(x) f(t) dt + C. Yhtälön vasemmalla puolella tehdään muuttujanvaihto z y(x), jolloin dz y (x) ja voimme kirjoittaa x dz f(t) dt + C g(z) g(y). Yleisen ratkaisun määrääminen on palautunut integrointitehtäväksi. Separoituvan yhtälön ratkaisuohje: Tutki ensin tapaus g(y), joka antaa erikoisratkaisut y y. Ratkaise tapaus g(y) : f(x)g(y) f(x) g(y) g(y) f(x). Siis kirjoitat derivaatan differentiaalien osamääräksi ja saatat yhtälön muotoon, jossa y-riippuvat ja x-riippuvat termit ovat omalla puolellaan (differentiaalit osoittajassa), integroit yhtälön oikean ja vasemman puolen. Lopuksi ratkaiset muuttujan y suhteen (jos osaat). Käsittele yhtälöä seuraavien esimerkkien mukaisella tavalla. 5

19 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim Ratkaise differentiaaliyhtälö y y x. Ratkaisu: Yhtälö on separoituva (tässä f(x) x, g(y) y ). Tutkitaan ensin funktion g nollakohdat eli tapaus y, jolloin y. Erikoisratkaisu on vakiofunktio y. Seuraavaksi ratkaistaan tapaus y, jolloin y x y x y ln y ln x + C. x Edellisestä yhtälöstä otetaan eksponenttifunktio puolittain e ln y e ln x +C e C e ln x. Eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat käänteisfunktioita, joten y e C x y Cx, C, ( C e C ) Tapauksesta y saadaan käyräparvi y C x +, jossa C. Tässä yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y Cx +, jossa C R. Esitys sisältää myös erikoisratkaisun. Esim Ratkaise differentiaaliyhtälö y x y. Ratkaisu: Yhtälö on separoituva (tässä f(x) x, g(y) y ). Funktiolla g ei ole nollakohtia, joten erikoisratkaisuja ei ole. Separoidaan ja integroidaan puolittain x y (y ) x (y ) x (y ) x + C Ratkaistaan yhtälö y:n suhteen (y ) x + C y ± x + C. Erikoisratkaisuja ei ole, joten yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y ± x + D, jossa D R. Ratkaisukäyrien luonne voidaan myös selvittää kirjoittamalla (y ) x + C x (y ) D, D C. Ratkaisukäyrät ovat hyperbelejä, joiden keskipiste on (x, y) (, ). Parametrin D etumerkistä riippuu se, onko kyseessä tavallinen hyperbeli vai liittohyperbeli. Tapaus D antaa parven kaikkien hyperbelien asymptoottisuorat y ± x. Esim Ratkaise differentiaaliyhtälö y (y ). Ratkaisu: Yhtälö on separoituva, f(x), g(y) (y ). Tutkitaan ensin funktion g nollakohdat eli tapaus y, jolloin y. Erikoisratkaisu on vakiofunktio y. Seuraavaksi tapaus y, jolloin (y ) (y ) ja edelleen integroimalla saadaan (y ) (y ) x + C, joka ratkaistaan y:n suhteen y + (x + C), C R. Yleinen ratkaisu y + (x + C), jossa C R, ei sisällä erikoisratkaisua y millään vakion C arvolla. Huomaa, että myös paloittain määritellyt funktiot (a R parametri), kun x a, y(x) + (x a), kun x > a, ovat differentiaaliyhtälön y (y ) ratkaisuja, sillä ne toteuttavat yhtälön identtisesti ja ne ovat derivoituvia funktioita koko reaaliakselilla. 6

20 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Operaattoritulo, eräitä erikoistapauksia Helpoissa operaattoritulotehtävissä differentiaalioperaattori on muotoa, joka voidaan ratkaista peräkkäisillä integroinneilla ja kertomalla yhtälöä puolittain sopivilla funktioilla. Seuraavat esimerkit valaisevat asiaa. Huomaa, että ratkaistaessa ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälöä integroivan tekijän menetelmällä määrätään differentiaalioperattorin operaattorituloesitys. d Esim 3 Operaattoritulo. Ratkaise differentiaaliyhtälö (x ) x. Ratkaisu: Integroidaan yhtälö puolittain x : n suhteen d (x ) x x x + C. Ratkaistaan saatu yhtälö derivaatan y suhteen ja integroidaan uudelleen C C y 4 x + x y 8 x + ln x + D. Yleinen ratkaisu on y(x) 8 x + C ln x + C. d Esim 4 Operaattoritulo. Ratkaise differentiaaliyhtälö (y ) x. d Ratkaisu: Integroimalla yhtälö puolittain x : n suhteen (y ) x saadaan y x + C. Separoidaanja integroidaan y (x + C) 3 y 3 3 x3 + Cx + D. Yleinen ratkaisu on y(x) 3 x3 + C x + C. Harjoitustehtäviä 5. Ratkaise y seuraavista differentiaaliyhtälöistä a) y x b) y ex e) y x f) y +x c) g) y cos(x) y tan x d) h) y y +x cos x 6. Ratkaise y seuraavista differentiaaliyhtälöistä (α R) a) y xα, b) y xα ln x, c) y xα arctan x. 7. Ratkaise y seuraavista differentiaaliyhtälöistä a) y y, b) y ey, c) y + y. 8. Ratkaise y seuraavista differentiaaliyhtälöistä y a) y x, b) y xy, c) (x + )y y. 9. Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt d d du d a) r dr (r du dr ), b) r dr (r dr ), c) (y ) Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö Vakiokertoiminen lineaariyhtälö Olkoon a R. Tarkastelemme vakiokertoimista ensimmäisen kertaluvun epähomogeenista yhtälöä y + ay f (x), x ]x, x [. Yhtälön ratkaisemisessa käytämme hyväksi kaavaa d (y eax ) y eax + ya eax (y + ay) eax. Tätä varten kerromme yhtälön puolittain nollasta eroavalla funktiolla eax, jolloin yhtäpitävästi d (y eax ) eax f (x). d Integroimalla puolittain saamme (y eax ) y eax eax f (x), josta funktio y y(x) ratkaistaan kertomalla yhtälö termillä e ax ( ) x ax ax ax y e e f (x) e eat f (t) dt + C e ax. y + ay f (x) Termiä eax sanotaan yhtälön y + ay f (x) integroivaksi tekijäksi. 7

21 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3... Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö Seuraavaksi tarkastelemme yleistä muotoa olevaa ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälöä p (x)y + p (x)y q(x), x ]x, x [, jonka normaalimuoto on y + a(x)y f (x), x ]x, x [. Tässä normaalimuodon kerroinfunktiot a a(x) ja f f (x) ovat jatkuvia välillä [x, x ]. Pyrimme yleistämään edellisen ratkaisumenetelmän ts. haluamme löytää välillä [x, x ] sellaisen nollasta eroavan funktion p p(x), että p(x) > kaikilla x ]x, x [ ja d (y p(x)) (y + a(x)y)p(x). () Funktio p on normaalimuotoisen yhtälön integroiva tekijä. Mikäli tällainen funktio on olemassa, niin seuraavat yhtäpitävyydet ovat voimassa y + a(x)y f (x) (y + a(x)y)p(x) p(x)f (x) d (y p(x)) p(x)f (x) y p(x) ( p(x)f (x) ) x p(t)f (t) dt + C. y p(x) Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö ratkeaa, jos on olemassa ehdot () toteuttava funktio p. Seuraavaksi määräämme integroivan tekijän p p(x). Ehdon () mukaisesti on oltava voimassa d (y + a(x)y)p(x) (yp(x)) y p(x) + a(x)yp(x) y p(x) + yp (x), joten p (x) a(x)p(x) kaikilla x ]x, x [. Jakamalla puolittain p(x):llä ja integroimalla, saamme (p(x) > ) x ln p(x) a(x) a(t) dt + C. Jokainen integraalifunktio kelpaa. Valinta C antaa integroivan tekijän p(x) exp( x a(t) dt). Lause Ratkaisuohje. kertaluvun lineaariyhtälölle. Saatetaan ensin yleistä muotoa oleva lineaariyhtälö p (x)y + p (x)y q(x) normaalimuotoon y + a(x)y f (x) x ]x, x [, jossa a a(x) ja f f (x) ovat jatkuvia funktioita välillä x [x, x ]. Lasketaan differentiaaliyhtälön integroiva tekijä x x p(x) e a(t) dt exp ( a(t) dt). Yleinen ratkaisu saadaan seuraavien yhtäpitävyyksien nojalla y + a(x)y f (x) p(x)(y + a(x)y) p(x)f (x) d (p(x)y) p(x)f (x) integroimalla oikealla oleva yhtälö puolittain ja jakamalla integroivalla tekijällä ( x ) ( x ) t y(x) p(t)f (t) dt + C x a(t) dt e a(u) du f (t) dt + C. p(x) e Anna kaavaa, kaavi kaavaa, kivaa kaavaa kanna. 8

22 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Huomautus Olemme oikeastaan johtaneet ratkaisukaavan ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälölle. Älä opettele tätä ulkoa vaan opiskele menetelmä ja toista laskun vaatima päättely aina. Esim 5 Lineaariyhtälön ratkaiseminen. Määrää yhtälön xy (x) + 4y(x) 3x3 yleinen ratkaisu. Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö normaalimuotoon y + a(x)y f (x), jolloin a(x) x4 ja f (x) 3x. Funktio f (x) 3x on jatkuva kaikilla x R ja a(x) x4 on jatkuva pisteissä x. Olkoon x eli joko x > tai x <. x Määrätään integroiva tekijä p(x) exp( 4t dt) e4 ln x ( eln x )4 x4. Teorian mukaisesti y + x4 y 3x x4 (y + x4 y) x4 (3x ) d 4 6 (x y) 3x normaalimuotoinen yhtälö kerrotaan puolittain p(x):llä ja käytetään p(x):n ominaisuutta. Tästä saadaan puolittain integroimalla x4 y 3x6 73 x7 + C ja jakamalla integroivalla tekijällä y x 4 ( 73 x7 + C) 37 x3 + C. x4 Yhtälön yleinen ratkaisu on y 73 x3 + xc4 ja se on määritelty joko alueessa x > tai x <. Tarkista vastaus derivoimalla ja sijoittamalla yhtälöön! Esim 6 Lineaariyhtälön alkuarvotehtävä. Määrää differentiaaliyhtälön xy + 4y 3x3 se ratkaisu, joka kulkee pisteen (, ) kautta. Ratkaisu: Edellisen esimerkin mukaisesti yleinen ratkaisu on y(x) 73 x3 + xc4. Sijoitetaan (x, y) (, ), josta seuraa yhtälö y( ) 37 + C. Tämän ratkaisu on C 37. Pisteen (, ) kautta kulkeva ratkaisukäyrä on y(x) 37 (x3 + x4 ), x <. Huomaa rajoitus x <. Esim 7 Liuoksen konsentraatio. Säiliössä on l vettä, johon on liuennut 4 kg suolaa. Tietyllä hetkellä hanat aukaistaan ja säiliöstä virtaa ulos l/min suolavesiliuosta. Samanaikaisesti säiliöön virtaa 5 l/ min suolavesiliuosta, jonka suolapitoisuus on. kg/l. Sekoitin pitää liuoksen homogeenisena. Johda alkuarvotehtävä hetkelliselle suolamäärälle ja ratkaise se. Oletamme, että suolan liukenemisesta aiheutuva tilavuuden muutos voidaan jättää huomiotta. Millä hetkellä 3 t + t + 4, t 3 min sek. säiliössä on eniten suolaa? Vastaus: m(t) Esim 8 Liuoslaskun yleinen malli. Oletamme, että aluksi säiliössä on V litraa liuosta, jossa on d kiloa suolaa. Säiliöstä pumpataan pois sekoittunutta liuosta nopeudella b l/min. Samanaikaisesti säiliöön johdetaan nopeudella a l/min suolaliuosta, jonka konsentraatiota valvotaan tunnetulla tavalla. Kuvatkoon sisäänvirtaavan liuoksen pitoisuuden kontrollia funktio f f (t) kg/l. Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme, että a ja b ovat vakioita. Lisäksi oletamme, että sekoittuminen on ideaalista eli liuos on joka hetki homogeenistä. Oletamme myös, että suolan liukenemisesta ei aiheudu tilavuuden muutosta. Otamme käyttöön seuraavat merkinnät: t (min) Aika t (min) Aikavälin pituus x x(t) (kg) Suolan määrä säiliössä hetkellä t x x(t + t) x(t) (kg) Suolamäärän muutos aikavälillä [t, t + t] jolloin voimme laskea V (t) V + (a b)t (l) Liuoksen määrä hetkellä t x(t) x(t) (kg/l) Konsentraatio hetkellä t V (t) V +(a b)t Annettujen tietojen avulla laskemme suolamäärän muutoksen x aikavälillä [t, t + t]. Laskemme ensin suolan määrän tarkasteluvälin lopussa lisäämällä alkuhetken suolamäärään sisään virrannut suolamäärä ja vähentämällä ulos virrannut suolamäärä eli kaavana x(t + t) x(t) + af (t ) t b x(t ) t, V + (a b)t 9 t, t [t, t + t].

23 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Tarkasteluvälillä sijaitsevat apupisteet t t ja t t ovat sopivat ajanhetket keskimääräisille pitoisuuksille. Tällöin suolamäärän muutos aikavälillä [t, t + t] on x (af (t ) b x(t ) ) t. V + (a b)t Jakamalla puolittain tarkasteluvälin pituudella t saamme x x(t ) a f (t ) b. t V + (a b)t Seuraavaksi annamme tarkasteluvälin pituuden lyhentyä rajatta eli t, jolloin t t, t t sekä x t dt x (t). Rajalla saamme differentiaaliyhtälön x(t) a f (t) b. dt V + (a b)t Liuoksen sekoittumista mallintaa ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälön alkuarvotehtävä x(t) dt + b V +(a b)t af (t), x() d. Harjoitustehtäviä 3. Tarkista sijoittamalla, että y(x) 73 (x3 + C x4 ) on yhtälön y (x) + x4 y(x) 3x yleinen ratkaisu. 3. Ratkaise lineaariset differentiaaliyhtälöt a) xy (x) 4y(x) + x, x >, b) xy (x) 4y(x) + x, x >. 3. Ratkaise y (x) y(x) tan(x) sin(x) välillä π/ < x < π/ 33. Ratkaise alkuarvotehtävät a) 5x3 5y + xy, y(), x >, b) y + x y 3x, y() Ratkaise a) y y, sijoita z y, b) xy y, sijoita z y. 35. Säiliössä on l vettä, johon on liuennut 4 kg suolaa. Tietyllä hetkellä hanat aukaistaan ja säiliöstä virtaa ulos l/min suolavesiliuosta. Samanaikaisesti säiliöön virtaa l/min suolavesiliuosta, jonka suolapitoisuus on. kg/l. Sekoitin pitää suolavesiliuoksen homogeenisena. Määrää suolapitoisuus u(t), t säiliössä ajan funktiona. Oletetaan, että suolan liukenemisesta aiheutuva tilavuuden muutos on niin pieni, että se voidaan jättää huomiotta. Mikä on suolapitoisuuden raja-arvo limt u(t)? 36. Kupissa on 95 -asteista teetä. Huoneen lämpötila on C. Kokemusperäisen tiedon mukaan teen lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen teen sen hetkisen lämpötilan ja ympäristön lämpötilan väliseen erotukseen. Jos tee on minuutissa jäähtynyt 9 -asteiseksi, niin milloin tee on 65 asteista..3. Sijoituskeino differentiaaliyhtälössä Seuraavissa kappaleissa käsitellään sijoituskeinoa differentiaaliyhtälössä. Otetaan esimerkeiksi lineaariyhtälöön palautuva Bernoullin yhtälö ja pari sopivalla sijoituksella separoituvaksi palautuvaa yhtälöä..3.. Bernoullin yhtälö Differentiaaliyhtälö dt ay, a mallintaa kappaleen liikettä väliaineessa. Tällöin tuntematon funktio y on kappaleen nopeus ja termi ay edustaa voimaa, joka oletetaan verrannolliseksi nopeuden neliöön. Voisimme tietenkin ratkaista tämän yksinkertaisen tehtävän, mutta pystymme tekemään paljon enemmän. Voimme ratkaista kokonaisen probleemaluokan, jossa esiintyy nopeuteen verrannollinen termi ja nopeuden potenssiin k verrannollinen termi. Lisäksi verrannollisuuskertoimet saavat olla ajan funktioita. Toisin sanoen pystymme ratkaisemaan analyyttisesti muotoa + A(t)y B(t)y k, dt k R,

24 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 olevan differentiaaliyhtälön. Olkoon A : [x, x ] R ja B : [x, x ] R jatkuvia funktioita. Tarkastelemme ns. Bernoullin (differentiaali)yhtälöä välillä ]x, x [: (k R, k, k ). + A(x)y B(x)y k, () Tapaukset k ja k suljetaan pois siksi, että ne ovat lineaariyhtälöitä ja palautuvat edellä käsiteltyihin tapauksiin. Bernoullin yhtälö ratkeaa sijoituksella z(x) (y(x)) k. Ratkaistaan sijoitus y:n suhteen k dz y z k, josta derivoimalla y ( k) z ( k). Nämä lausekkeet sijoitetaan Bernoullin yhtälöön, joka sievenee muotoon dz + ( k)a(x)z ( k)b(x). Sijoitus johtaa lineaariseen yhtälöön, joka osataan ratkaista. Ratkaisu z z(x) palautetaan funk tioon y kaavalla y z k. Huomautus 3 Jos k >, niin Bernoullin yhtälöllä on erikoisratkaisu y. Esim 9 Bernoullin yhtälö. Ratkaise differentiaaliyhtälö y 4 xy 4 xy 5. Ratkaisu: Kyseessä on Bernoullin yhtälö, jossa k 5. Erikoisratkaisu on y. Sijoitetaan z y 4, y z 4, 5 y 4 z 4 z, jolloin yhtälö palautuu lineaariyhtälöksi z:n ja x:n välillä y 4 xy 4 xy z 4 z 4 xz 4 4 xz 4 z + xz x. x Lineaariyhtälön integroiva tekijä on p(x) exp( x ) exp( x ). Integroivan tekijän menetelmän mukaisesti d (z + xz) e x (z e x ) x e x. Tästä seuraa puolittain integroimalla yhtälö x ze x e x e x + C, joka ratkaistaan z:n suhteen ja palataan sen jälkeen alkuperäiseen muuttujaan: z + C e x. y4 Implisiittinen ratkaisu on y 4 ( + C exp( x )). Erikoisratkaisu on y(x). Harjoitustehtäviä ( ) 37. Totea laskemalla, että käyräparvi y 4 + C exp( x ) on differentiaaliyhtälön y 4 xy 4 xy 5 implisiittinen ratkaisu. 38. Ratkaise seuraavat Bernoullin yhtälöt a) xy + y xy 3, b) x y + xy + y, x >. 39. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y +x + ( + x)y 4, y().

25 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Muoto y f (ax + by + c) Olkoot a, b, c reaalisia vakioita, siten että ab. Tarkastelemme yhtälöä y f (ax + by + c). (3) z z(x) ax + by(x) + c (4) Otetaan käyttöön sijoitus sekä ratkaistaan sijoituksen määrittelevä yhtälö y:n suhteen ja lasketaan derivaatta y. Tulos on y (z ax c), b y dz ( a). b (5) Sijoittamalla lausekkeet (4) ja (5) yhtälöön (3) saadaan z:n ja x:n välinen differentiaaliyhtälö dz bf (z) + a. Tämä on separoituva yhtälö, josta ratkaistaan z. Varsinainen ratkaisu y saadaan yhtälön (4) (tai (5)) avulla. Erikoisratkaisut saadaan yhtälöstä bf (z) + a. (x y + ) +. Esim 3 Lineaarinen muunnos. Ratkaise yhtälö Ratkaisu: Sijoitetaan z x y +, jolloin y x z + ja y z ja yhtälö muuntuu separoituvaksi (x y + ) + z z + Separoidaan ja integroidaan (z on erikoisratkaisu) dz dz z z dz z. x+c z x y + eli yleinen ratkaisu on y x + Yleinen ratkaisu on z x+c Erikoisratkaisu on z x y + eli y x x+c. Tasa-asteinen yhtälö Tasa-asteinen yhtälö on muotoa y eli derivaatta y (x) on osamäärän z(x) y x h( xy ), (6) x funktio. Tämä tehtävätyyppi ratkeaa sijoituksella y(x), josta ratkaistaan y zx, x y z x + z. Nämä lausekkeet sijoitetaan yhtälöön (6) ja sievennysten jälkeen saadaan separoituva yhtälö h(z) z dz x joka integroidaan puolittain tai dz h(z) z dz, h(z) z x ln Cx. x Seuraavaksi ratkaistaan z, jonka avulla alkuperäisen yhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa käyttäen yhtälöä y(x) xz(x). Nimittäjän h(z) z mahdolliset nollakohdat z z ovat erikoisratkaisuja, joita vastaavat ratkaisukäyrät ovat y z x. Aamut. Tasa-asteisia tollo taisi. Et saa sattumaa!

26 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 y 4 +x4. xy 3 y 4 ( ) + Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon y (xy )3. Sijoitus z xy, y zx, x dz yhtälöön z x + z zz 3+, joka on separoituva x ( zz 3+ z) x ( z z+ 3 ). Esim 3 Ratkaise tasa-asteinen yhtälö y y z x+z johtaa Separoidaan ja integroidaan z3 dz z4 + x z3 dz z4 + x 4 ln(z 4 + ) ln x + D. Edelleen kertomalla nelosella ja ottamalla eksponenttifunktion puolittain saamme z 4 + e4d x4 Cx4 z 4 Cx4 ( xy )4. Implisiittinen ratkaisu on y 4 Cx8 x4, jossa C >. Esim 3 Ratkaise tasa-asteinen yhtälö xy + (x + y )y. ( y ) Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö muotoon y xxy +(xy ). +y Sijoitus z xy johtaa separoituvaan yhtälöön Yleinen ratkaisu on y 3 + 3x y C, C R. dz 3 x +3z 3 x ( z+z ), josta ratkaistaan z + 3z C. x3 Harjoitustehtäviä 4. Ratkaise separoituviksi palautuvat yhtälöt a) xyy y x, b) y y x y+x, c) y (x + y). 4. Ratkaise yhtälö y (x + 4y + ). 4. Määrää differentiaaliyhtälön y k. Opastus: sijoita z y y se ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdot y( ), y() Riippumattoman muuttujan valinta Leibnizin käyttöönottamassa merkintätavassa derivaattaa merkitään differentiaalien osamääränä. Jos y y(x), niin y. Tarkastelemme yhdistetyn funktion derivointia. Olkoon z z(y) ja y y(x) derivoituvia funktioita, jolloin yhdistetty funktio z z(y(x)) z(x) on derivoituva funktio. Yhdistetyn funktion derivointikaava z (x) z (y)y (x) voidaan "johtaa" helposti differentiaalien avulla. Tarkempi analyyttinen perustelu erotusosamäärän raja-arvon avulla antaa luonnollisella tavalla Leibnizin merkintätavan derivaatalle z z y dz z(y + y) z(y), kun x. (x + x) x x y x Voimme merkitä d (z(y(x)) z (y(x))y (x), tai dz dz. Erityisesti käänteisfunktion derivaatta (f ) (y) f (x) voidaan kirjoittaa Leibnizin merkintätavalla. Mitä tällainen differentiaalien pyöritys merkitsee? Se merkitsee sitä, että kiinnittämällä differentiaalien osamäärän valitsemme riippumattoman ja riippuvan muuttujan! Seuraavat esimerkit havainnollistavat asiaa. Esim 33 Riippumattoman muuttujan valinta. Ratkaisemme yhtälön y y + kahdella tavalla. Tapa : Valitsemme kuten tavallisesti y y(x), jolloin yhtälö on y +. Separoimalla ja integroimalla saamme, y + josta saadaan yleinen ratkaisu y tan(x + C). 3

27 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Tapa : Valitsemalla x x(y) yhtälö saa muodon y + x (y), joka on suoraan integroimalla ratkeavaa tyyppiä eli x(y) x (y) y arctan y + C. + Ratkaisemalla y yhtälöstä x arctan y + C saadaan sama ratkaisu kuin edellä. Esim 34 Valitaan y riippumattomaksi muuttujaksi. Ratkaise yhtälö xy + (x + y )y. Tämä tehtävä voidaan ratkaista tasa-asteisena yhtälönä. Valitsemalla y:n riippumattomaksi muuttujaksi voimme kirjoittaa yhtälön muotoon x + y x y xy. xy Saadaan Bernoullin yhtälö (k ) x y x yx, kun x valitaan riippuvaksi ja y riippumattomaksi muuttujaksi..5. Koordinaatiston vaihtaminen Tarkastelemme ensin yleisesti tason koordinaatistomuunnosta. Sovellusesimerkkeinä otamme napakoordinaatistomuunnoksen sekä affiinin muunnoksen. Olkoon f f (x, y) kahden muuttujan funktio. Koordinaatistomuunnoksen x x(u, v), y y(u, v), avulla voimme kirjoittaa z f (x, y) f (x(u, v), y(u, v)). Differentiaaliyhtälön y f (x, y) muuntumiselle saadaan kokonaisdifferentiaalin avulla kaava y y x + + y dv v du x dv v du f (x(u, v), y(u, v)). Muuttujien u ja v määräämässä kordinaatistossa on voimassa differentiaaliyhtälö y x + + y dv v du x dv v du f (x(u, v), y(u, v)), joka on edelleen mahdollista saattaa muotoon v dv du y x + f (x(u,v),y(u,v)) Esim 35 Ratkaise tasa-asteinen differentiaaliyhtälö y x r cos φ, y x f (x(u,v),y(u,v)) v v y x y+x. napakoordinaatistomuunnoksella y r sin φ. Huomautus 4 Tasa-asteinen yhtälö on aina muotoa y f ( xy ) f (tan φ). Napakoordinaatistomuunnos johtaa separoituvaan yhtälöön. x y affiinilla muunnoksella. Esim 36 Affiini muunnos. Ratkaise differentiaaliyhtälö y x+4y Ratkaisu: Suorien leikkauspiste on x, y, joten kannattaa valita sijoitus u x, du v y, dv. Saadaan tasa-asteinen yhtälö dv u v, du u + 4v joka ratkaistaan ja sitten palataan alkuperäisiin muuttujiin. y Implisiittinen ratkaisu on ln(4y + (x ) ) + arc tan( x ) C. ax+by+c Huomautus 5 Affiinia muunnosta voidaan aina käyttää muotoa y f ( Ax+By+C ) olevan yhtälön ratkaisemisessa. Oikea muunnos on se, joka siirtää origon suorien ax+by+c ja Ax+By+C leikkauspisteeseen. Kyseinen muunnos johtaa tasa-asteiseen differentiaaliyhtälöön. Anna kaavaa. Kivaa! Raavi kaavaa. Kanna! 4

28 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 3. GRAAFISIA TARKASTELUJA JA SOVELLUKSIA 3.. Graafisia tarkasteluja Yhtälö y f (x, y) on helppo tulkita geometrisesti. Yhtälö tarkoittaa sitä, että tunnemme jokaisessa (x, y)-tason pisteessä tuntemattoman ratkaisukäyrän y y(x) derivaatan eli tunnemme tangentin kulmakertoimen k tan α y (x) f (x, y(x)). Pisteeseen (x, y) liitetty vektorin (, f (x, y)) suuntainen jana on suuntaelementti eli viivaelementti. Piirtämällä tietokoneella riittävästi tason eri pisteisiin (x, y) liittyviä suuntaelementtejä saadaan muodostettua suuntakenttä eli suuntaelementtikenttä. Ne käyrät, joilla suuntaelementin suunta on vakio ovat isokliinejä. Toisin sanoen isokliinillä on voimassa y f (x, y) C, jossa C on vakio. Esim 37 Määrää differentiaaliyhtälön xy x + y isokliinit ja piirrä suuntaelementtejä sekä hahmottele muutamia ratkaisukäyriä. Esim 38 Määrää Riccatin yhtälön y x + y isokliinit ja piirrä suuntaelementtejä sekä hahmottele muutamia ratkaisukäyriä. y x+y y +y/x Eulerin menetelmä Eulerin menetelmä on yksinkertaisin numeerinen algoritmi alkuarvotehtävän y f (x, y), x ]x a, x + a[, y(x ) y, (x, y ) D, likimääräisen ratkaisun määräämistä varten. Olkoon h menetelmän askelpituus. Eulerin menetelmä määritellään kaavoilla xn xn + h, y yn + hf (xn, yn ), n,,..., n x, y, annettuja. y y(x) y3 y3 y + hf (x, y ) y y y + hf (x, y ) y y y y + hf (x, y ) x x x x3 Kuva 6. Eulerin menetelmän graafinen tulkinta 5

29 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Eulerin menetelmän tuloksena saadaan saadaan pistejoukko (x, y ), (x, y ),..., (xn, yn ). Ratkaisufunktiota approksimoiva likiratkaisu saadaan muodostamalla pisteiden (xi, yi )ni kautta kulkeva murtoviiva. Algoritmin yksinkertaisuuden vuoksi menetelmällä on myös heikkoutensa. Kuvion mukaisessa tilanteessa likiarvot yi jäävät systemaattisesti jälkeen todellisista arvoista y(xi )., x [, ], +y y x. Esim 39 Ratkaise Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävä y täen askelpituutta h 4. Vertaa tulosta tarkkaan ratkaisuun y y(), käyt- Harjoitustehtäviä 43. Tutki isokliinien avulla differentiaaliyhtälön y x + y ratkaisujen käyttäytymistä. 44. Ratkaise Eulerin menetelmällä, askelväli h., alkuarvotehtävä y x + y, x [, ], y(). 45. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 3/, y(). Laske y( ). Miksi tehtävä kannattaa ratkaista numeerisesti? 3.3. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden sovelluksia Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön avulla voidaan kuvata mikä tahansa systeemi, kun tunnetaan systeemin tilan ja tilan muutosnopeuden välinen yhteys. Edellä on tarkasteltu sovelluksina liikeyhtälöitä, lämmönjohtumista, sekoitusongelmia sekä kemiallisten reaktioiden nopeuksia Kohtisuorat leikkaajat Tunnetun käyräparven kohtisuorien leikkajien määrääminen on tehtävä, jolla on useita tärkeitä fysikaalisia sovelluksia. Mainittakoon esimerkiksi seuraavat Sähkökentän kenttäviivat tai voimaviivat ja sähköisen potentiaalin tasa-arvokäyrät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ideaalisen nestevirtauksen (kitkaton, kokoonpuristumaton ja pyörteetön virtaus) virtaviivat ja nestepotentiaalin tasa-arvokäyrät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Käyrät, joita pitkin lämpö virtaa, ovat kohtisuorassa isotermejä vastaan. Jyrkimmän nousun tai laskun reitti on kohtisuorassa korkeuskäyriä vastaan. Ongelman muotoilu: Tunnetaan parametrista C riippuva käyräparvi F (x, y, C). Halutaan määrätä kohtisuorien leikkaajien käyräparvi. Ratkaisumenetelmä Muodostetaan käyräparven F (x, y, C) differentiaaliyhtälö eliminoimalla implisiittiderivoinnilla saadusta yhtälöparista F (x, y, C), F F x (x, y, C) + y (x, y, C)y, parametri C. Tuloksena saadaan käyräparven differentiaaliyhtälö, joka on muotoa y G(x, y). Kohtisuorien leikkaajien differentiaaliyhtälö on y G(x,y), joka ratkaistaan ja saadaan kohtisuorien leikkaajien käyräparvi. Esim 4 Määrää hyperbeliparven xy C kohtisuorat leikkaajat. 3 Ratkaisu: Määrätään implisiittiderivoinnilla käyräparven xy C differentiaaliyhtälö y + xy. Lasketaan differentiaaliyhtälön eksplisiittinen muoto y xy. Muodostetaan kohtisuorien leikkaajien differentiaaliyhtälö y xy. Separoituvan yhtälön ratkaisu on hyperbeliparvi x y C

30 3.3.. Yksinkertaiset virtapiirit Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön avulla voidaan analysoida yksinkertaisia virtapiirejä. Käymme ensin läpi merkinnät ja sähköopin perusteita. Piirin sähkömotorinen voima E E(t) [V] (volttia) saa yleisessä tapauksessa riippua ajasta. Erikoistapaukset ovat tasavirtapiiri, jossa E on vakio ja vaihtovirtapiiri, jossa E E sin(ωt + ϕ) on sinimuotoinen. Olkoon Q Q(t) [Q] (coulombia, Q As) piirin hetkellinen varaus. Piirin sähkövirta I I(t) [A] (ampeeria) on hetkellisen varauksen muutosnopeus eli I dq dt. Kääntäen, hetkellinen varaus voidaan esittää integraalina t Q(t) Q(t ) + I(v) dv. t Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden avulla voidaan käsitellä jännitelähteeseen kytketyt RL-piirit (vastus-kela) ja RC-piirit (vastus-kondensaattori). Seuraavaksi muotoilemme lausekkeet jännitehäviöille vastuksessa, kelassa ja kondensaattorissa. Jännitehäviö vastuksessa U R on verrannollinen hetkelliseen sähkövirtaan I. Verrannollisuuskerroin R on vastuksen resistanssi, sen yksikkö on ohmi, Ω V A. Jännitehäviö kelassa U L on verrannollinen sähkövirran I hetkelliseen muutosnopeuteen. Verrannollisuuskerroin L on kelan induktanssi, sen yksikkö on henry, H Vs A. Jännitehäviö kondensaattorissa U C on verrannollinen kondensaattorin hetkelliseen varaukseen Q, Verrannollisuuskerroin on C, jossa C on kondensaattorin kapasitanssi, jonka yksikkö on faradi, F As V Q V. Lisäksi tarvitsemme seuraavat Kirchoffin lait. Kirchhoffin ensimmäisen lain mukaan virtapiirin tiettyyn pisteeseen saapuvien virtojen summa ja siitä lähtevien virtojen summa ovat yhtäsuuret. Kirchhoffin toisen lain mukaan suljetussa virtapiirissä hetkellisten jännitehäviöiden summa on nolla. Näin ollen voimme muodostaa virtapiirejä mallintavat differentiaaliyhtälöt, jotka ovat RL-piirille ja RC-piirille U R + U L E L di + RI E(t), dt U R + U C E R dq dt + C Q E(t). RC-piirin differentiaaliyhtälö on muodostettu varaukselle. Derivoimalla yhtälö puolittain sekä käyttämällä varauksen ja virran välistä yhteyttä saamme RC-piiriä kuvaavan differentiaaliyhtälön sähkövirran suhteen R di dt + C I de dt. Esim 4 RL-piiri. Olkoon virtapiirissä sarjaan kytkettynä vastus R Ω, kela L H ja jännitelähde, jonka sähkömotorinen voima olkoon E sin(5t) V. Hetkellä t s piirissä ei ole ole virtaa. Määrää piirin sähkövirta I I(t) A. Ratkaisu: RL-piiriä mallintaa yleisesti differentiaaliyhtälö L di dt + RI E(t). Tässä tapauksessa yhtälö on di dt + I sin(5t). Sen normaalimuoto on di dt + 5I 5 sin(5t). Differentiaaliyhtälön integroiva tekijä on P (t) e 5t. Integroivan tekijän menetelmällä saadaan yleinen ratkaisu I(t) C e 5t + (sin(5t) cos(5t)). Alkuehdon I() toteuttaa ratkaisu I(t) e 5t + (sin(5t) cos(5t)) e 5t + sin(5t+δ), jossa δ arc tan( ). Pitkän ajan kuluttua piirin virta on I(t) (sin(5t) cos(5t)) sin(5t + δ). 7

31 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Geometrisia sovelluksia Tarkastelemme tilannetta suorakulmaisessa xy koordinaatistossa. Olkoon (u, v) käyrän F (x, y) piste. Lisäksi oletamme, että implisiittisestä yhtälöstä F (x, y) voidaan ratkaista käyrän eksplisiittinen muoto y f (x). Seuraavassa taulukossa on lueteltu muutamia keskeisiä geometrisesti tulkittuja lausekkeita. f (x) f (x) tangentin kulmakerroin pisteessä (x, y) normaalin kulmakerroin pisteessä (x, y) y v f (u)(x u) y v f (u) (x u) käyrän pisteen (u, v) kautta kulkevan tangentin yhtälö käyrän pisteen (u, v) kautta kulkevan normaalin yhtälö (, v (u + vf (u), ) (, v + f u(u) ) ds + (f (x)) tangentin leikkauspiste y akselin kanssa normaalin leikkauspiste x akselin kanssa normaalin leikkauspiste y akselin kanssa (u v f (u), ) uf (u)) tangentin leikkauspiste x akselin kanssa kaaren pituusalkio Esim 4 Määrää ne tasokäyrät, joiden kaikki normaalit kulkevat origon kautta. Vihje: Annettu geometrinen ehto tasokäyrille y f (x) sievenee differentiaaliyhtälöksi y y x Käyräparven verhokäyrä Seuraavaksi tarkastelemme yksiparametrisen käyräparven F (x, y, C) verhokäyrän määräämistä. Määritelmä 4 Käyräparven F (x, y, C) verhokäyrällä tarkoitetaan sellaista käyrää, joka sivuaa jokaisessa pisteessään jotakin käyräparven käyrää. Käyräparven verhokäyrä saadaan määrättyä eliminoimalla parametri C yhtälöparista F (x, y, C), F C (x, y, C). Käyräparven verhokäyrää ei ole aina olemassa. Käyrän evoluutta on käyrän kaarevuuskeskipisteiden ura. Voidaan osoittaa, että evoluutta on käyrän normaalien verhokäyrä. Seuraavissa esimerkeissä verhokäyrän yhtälö sievenee tavalliseksi muuttujien x, y ja C väliseksi yhtälöksi. Esim 43 Osoita,että käyräparven (x C) + y 4 verhokäyrät ovat suorat y + ja y. Esim 44 Osoita, että suoraparven x cos α+y sin α 4, α R verhokäyrä on ympyrä x +y 6. Esim 45 Verhokäyrä. Osoita, että ympyräparven (x C) + y 4C verhokäyrä on x akselin suuntaan avautuva paraabeli y 4x + 4. Ratkaisu: Tässä yhtälöpariksi, saadaan (x C) + y 4C, (x C) 4. Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä (x C) sekä C x + ja sijoitetaan ne ylempään yhtälöön. Saadaan yhtälö ( ) + y 4C 4(x + ). Tämä sievenee muotoon y 4x + 4. Huomaa, että ratkaistava yhtälöpari ei ole tyypiltään differentiaaliyhtälö. 8

32 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, LAPLACEN MUUNNOS Funktioavaruus Funktioavaruus on joukko, jonka alkiot ovat funktioita f : A B. Tässä vaiheessa ei ole oleellista ottaa kantaa siihen, millaisia joukkoja määrittelyjoukko A ja joukko B ovat. Oleellista on se, että funktioavaruuksilla on lineaariavaruuden rakenne, kun määrittelemme funktioiden väliset laskutoimitukset yhteenlasku ja funktion kertominen luvulla luonnollisella tavalla eli pisteittäin. Olkoot f : A B ja g : A B funktioita. Määrittelemme funktiot f + g ja λf seuraavasti 3 (f + g)(x) : f (x) + g(x), kaikilla x A (λf )(x) : λf (x), kaikilla x A, λ R. Esimerkkejä funktioavaruuksista ovat mm. C ([a, b]) C ([a, b]) C n ([a, b]) C ([a, b]) f f f f : [a, b] R f on jatkuva } : [a, b] R f ja f ovat jatkuvia } : [a, b] R f (k) on jatkuva kaikilla k,,..., n} : [a, b] R f (k) on jatkuva kaikilla k,,...}. Funktioavaruuden etäisyyskäsite voidaan määritellä usealla eri tavalla. Jatkuvien funktioiden muodostamassa avaruudessa luonnollinen normi on f supx [a,b] f (x). Tällöin kahden funktion f ja g etäisyyttä mitataan lausekkeella f g sup (f g)(x) sup f (x) g(x), x [a,b] x [a,b] joka mittaa funktioiden arvojen suurinta mahdollista poikkeamaa. Mikäli funktio ei ole jatkuva vaan pelkästään neliöintegroituva, niin voimme määritellä avaruuden b L [a, b] f : [a, b] R f (t) dt < }. a Neliöintegroituvan funktion L -normi määritellään lausekkeella f saadaan erotuksen normista b f g f (t) g(t) dt. b a f (t) dt ja etäisyys a Voidaan osoittaa, että näin määritelty L normi toteuttaa muut etäisyysfunktion ominaisuudet ehtoa f f lukuunottamatta, sillä on olemassa muitakin funktioita kuin nollafunktio, joiden neliön integraali yli välin [a, b] häviää. Mikä tahansa funktio, joka saa välillä [a, b] arvon nolla paitsi mahdollisesti äärellisessä pistejoukossa, kelpaa. Tämä ongelma ratkaistaan siten, että samaistetaan funktiot, joiden arvot ovat samat paitsi mahdollisesti äärellisessä määrässä pisteitä. Toisin sanoen määrittelemme neliöintegroituvien funktioiden joukossa yhtäsuuruuden siten, että f g 4.. f g. Differentiaalioperaattoreista Merkintöjen yksinkertaistamiseksi on hyöllistä ottaa käyttöön operaattorin käsite. Operaattori L on funktioavaruudessa määritelty kuvaus. Operaattori L on lineaarinen operaattori, mikäli L(f + g) Lf + Lg L(λf ) λl(f ) kaikilla avaruuden funktioilla f ja g sekä kaikilla kertoimilla λ. 3 Homeremonteista syksyllä 997: EMOHOME: Oloni leima: "Tosi noloa". Juttu, ja viel Linnamaaltako? Tasakaton alla home. Aamu ja räkä raju. Maaemo hallan ota kasat okat. Laamannille ivajuttuja, Oloni: sotamieli/nolo. 9

33 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaalioperaattori on muotoa L p (x) d + p (x), jossa p ja p ovat jatkuvia funktioita. Tällöin Ly (p (x) d + p (x)) y p (x) + p (x)y ja operaattoriyhtälöksi kirjoitettuna differentiaaliyhtälö p (x) +p (x)y q(x) saa tiiviin muodon Ly q. Differentiaaliyhtälön ratkaisua haetaan jollakin välillä [x, x ] R ja on luonnollista rajata tarkasteltava funktioavaruus siten, että kaikki tarvittavat derivoinnit voidaan suorittaa. Sopiva avaruus. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden klassista tarkastelua varten on C ([x, x ]) y : [x, x ] R y, y ovat jatkuvia funktioita välillä [x, x ]}. Helpolla laskulla voidaan todeta, että L : C ([x, x ]) C ([x, x ]) on lineaarinen operaattori. Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on jälleen yleistä muotoa p (x)y + p (x)y + p (x)y q(x), x ]x, x [, jossa p, p ja p ovat jatkuvia funktioita. Vastaava toisen kertaluvun lineaarinen differentiaalioperaattori L : C ([x, x ]) C ([x, x ]) on L p (x) d d + p (x) + p (x) ja operaattoriyhtälönä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on jälleen muotoa Ly q. Operaattorin L lineaarisuus perustellaan laskemalla se, että L(af + bg) al(f ) + bl(g), kaikille a, b R, f, g C ([x, x ]). Päättely on seuraava: Olkoon f, g C ([x, x ]) ja olkoon a, b R. Tällöin d d L(af + bg) (p (x) + p (x) + p (x))(af + bg) d d p (x) (af + bg) + p (x) (af + bg) + p (x)(af + bg) d d d d p (x)(a f + b g) + p (x)(a f + b g) + p (x)(af + bg) d d d d ap (x) f + bp (x) g + ap (x) f + bp (x) g + ap (x)f + bp (x)g d d d d a(p (x) f + p (x) f + p (x)f ) + b(p (x) g + p (x) g + p (x)g) al(f ) + bl(g). Sama tarkastelu yleistyy myös korkeamman kertaluvun lineaarisille differentiaali- ja osittaisdifferentiaalioperaattoreille Laplacen muunnoksen määrittely ja laskusääntöjä Menetelmän rajoitus: Laplacen muunnosta voidaan käyttää pääsääntöisesti ainoastaan vakiokertoimisen differentiaali tai osittaisdifferentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän ratkaisemiseen. Laplacen muunnos 4 soveltuu myös integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmäksi. Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F (s) L(f ) : 4 f (t) e st dt Aito idiotia, isot aivosolut. Ohi kaava Laplasen. Ei liene salpa L. Avaa kihot ulos ovia. Tosi aito idiotia. 3

34 edellyttäen, että integraali Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 f(t) e st dt suppenee. Riittävä ehto muunnoksen määrittelevän integraalin suppenemiselle on funktion f eksponentiaalinen rajoittuneisuus f(t) M exp(rt), kaikille t, jossa M ja r ovat positiivisia vakioita. Jatkossa käsittelemme funktioita, joiden oletamme toteuttavan yllämainitun ehdon. Ehto sallii funktiolle varsin monipuolisen vaihtelun. Laplacen muunnos on määritelty esimerkiksi kaikille rajoitetuille ja jatkuville funktioille. Perustelemme Laplacen muunnoksen olemassaolon jatkuville ja eksponentiaalisesti rajoitetuille funktioille. Muunnoksen määritelmä tarkoittaa seuraavaa raja-arvoa M F (s) L(f) f(t) e st dt lim M f(t) e st dt, mikäli ko. raja-arvo on olemassa ja äärellinen. Olkoon funktio f : [, ] R eksponentiaalisesti rajoitettu eli on olemassa positiiviset vakiot M ja r siten, että f(t) M e rt, t. Kaikilla positiivisilla arvoilla M > on voimassa arvio M M f(t) e st dt f(t) e st dt M M e (r s)t dt M s r ( e (s r)m ). Tämän vuoksi riittävän suurilla parametrin s arvoilla pätee s r > ja tällöin on voimassa arvio F (s) f(t) e st dt M s r, s > r. Ehto takaa Laplacen muunnoksen määrittelevän integraalin suppenemisen. Esim 46 Määritelmän mukaan laskettuja muunnoksia. L() e st dt s, s >, L( e t ) e t e st dt L( e at ) e at e st dt e (+s)t dt s+, s >, e (a s)t dt s a, s > a. Aluksi tarkastelemme muunnoksen laskusääntöjä. Oletamme, että laskutoimituksissa esiintyvien funktioiden muunnokset ovat olemassa. Lause 3 Laplacen muunnos on lineaarinen operaattori. Olkoon L(f) F (s) ja L(g) G(s). Tällöin L(f + g) L(f) + L(g), L(λf) λl(f), kaikilla λ R. Perustelu: Olkoot L(f) ja L(g) olemassa. Tällöin (f(t) + g(t)) e st dt (f(t) e st + g(t) e st ) dt f(t) e st dt + g(t) e st dt. eli L(f + g) L(f) + L(g). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla. Mikäli funktio f tunnetaan, niin Laplacen muunnos määräytyy yksikäsitteisesti muunnoksen määrittelevästä integraaliesityksestä. Jos kääntäen tunnemme Laplacen muunnoksen lausekkeen, niin yleisesti emme voi määrätä funktiota f yksikäsitteisesti. Jatkuvien funktioiden luokassa funktion f ja sen Laplacen muunnoksen L(f) välillä on yksi-yhteen vastaavuus. 3

35 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Lause 4 Olkoon f : [, [ R jatkuva ja olkoon L(g) jatkuvan funktion g Laplacen muunnos. Tällöin on voimassa yhtäpitävyys L(f ) L(g) f g. Jos tarkasteltavat funktiot ovat jatkuvia, niin voidaan määritellä käänteismuunnos L siten, että L (F (s)) L (L(f )) f (t), L(L (F (s))) F (s). Lause 5 Käänteismuunnos on lineaarinen operaattori. Olkoon L(f ) F (s) ja L(g) G(s). Tällöin kaikilla λ R L (F (s) + G(s)) L (F (s)) + L (G(s)), L (λf (s)) λl (F (s)). Perustelu: Laplacen muunnoksen lineaarisuuden ja käänteismuunnoksen määrittelyn nojalla L (F (s) + G(s)) L (L(f ) + L(g)) L (L(f + g)) f + g L (L(f )) + L (L(g)) L (F (s)) + L (G(s)). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla. 5 Lause 6 Derivaattojen muuntuminen. Olkoon f, f,..., f (n ) jatkuvia ja eksponentiaalisesti rajoitettuja funktioita eli f (k) (t) M exp(rt) kaikilla t >, k,..., n. Jos derivaatta f (n) on paloittain jatkuva ja jos F (s) L(f ), niin L(f (n) ) sn L(f ) sn f () sn f ()... sf (n ) () f (n ) (). Erityisesti ensimmäisen ja toisen derivaatan muunnokset ovat L(f ) sl(f ) f (), L(f ) s L(f ) sf () f () Laplacen muunnoksen soveltamisperiaate Laplacen muunnoksen periaate on seuraavan kaavion mukainen. Differentiaaliyhtälö ja alkuehdot aika-alueessa L ( ) L( ) Tavallinen yhtälö ratkaisun muunnokselle s-alueessa. Alkuarvotehtävän ratkaisu y(t). Ratkaisun muunnos Y (s). Esim 47 Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla ensimmäisen kertaluvun yhtälön alkuarvotehtävä y + y e t, t >, y(). Ratkaisu: Merkitään L(y) Y (s). Derivaatan muunnos on L(y ) sl(y) y() sy (s) y(). Siirrytään s-alueeseen muuntamalla yhtälö puolittain L(y + y) L( e t ) s+. 5 Tyy taas! Niin Käy! Yäk! Niin saat y,, y(t). 3

36 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Vasemman puolen muunnos lasketaan käyttämällä muunnoksen lineaarisuusominaisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoa L(y + y) L(y ) + L(y) sy (s) y() + Y (s) (s + )Y (s). Saadaan yhtälö (s + )Y (s) s+, josta ratkaistaan Y (s) (s+)(s+) + s+ s+3 (s+)(s+). Muodostetaan osamurtokehitelmä Y (s) s+3 (s+)(s+) s+ + s+ ja määrätään tehtävän ratkaisu käänteismuunnoksella y(t) L (Y (s)) L ( s+ + s+ ) L ( s+ ) + L ( s+ ) e t + e t. Esim 48 Laske Laplacen muunnokset L(sin ωt) ja L(cos ωt). Ratkaisu: Käytetään muunnoksen määritelmää ja lasketaan osittaisintegroinnilla integraalit: / sin(ωt) e st dt ω cos(ωt) e st ( ω cos(ωt))( s e st ) dt lim M ω cos(ωm) e sm + ω + / L + ω + L + ω lim ω s ω sin(ωt) ( s e st ) ω M sillä raja-arvot häviävät, mikäli s >. Täten L L cos(ωm) lim M lim M sin(ωm) (s e sm ) ω sin(ωt) e st dt, s >. ω e sm, s >, sin(ωm) (s e sm ), s >. ω ω cos(ωt)( s e st ) dt sin(ωt) (s e st ) dt ω Edellisen osittaisintegroinnin perusteella sinin muunnokselle saadaan yhtälö, josta ratkaistaan L(sin(ωt)) L(sin(ωt)) ω s ω L(sin(ωt)), sin(ωt) (s e st ) dt ω ω s +ω, s >. Vastaavasti lasketaan kosinin muunnos. Kaavat ovat Esim L(sin(ωt)) ω, s >, s +ω L(cos(ωt)) s, s >. s +ω 49 Ratkaise Laplacen muunnoksella toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä y + 4y 4 e t, t >, y(), y (). Ratkaisu: Merkitään L(y) Y (s). Toisen derivaatan muunnos on L(y ) s L(y) sy() y () s Y (s) sy() y (). Siirrytään s-alueeseen muuntamalla yhtälö puolittain L(y + 4y) L(4 e t ) 4 s+. Vasemman puolen muunnos lasketaan käyttämällä muunnoksen lineaarisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoja L(y + 4y) (s + 4)Y (s) s. Saadaan yhtälö (s + 4)Y (s) s 4 s+. Ratkaistaan Y (s) ja kehitetään se osamurtoihin Y (s) Tehtävän ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella s +5s+6 (s+)(s +4) s+ + 3 s+ s +4. y(t) L (Y (s)) L ( s+ + 3 s+ s +4 ) L ( s+ ) + 3 L s ( ) + L ( s + e t + 3 cos(t) + sin(t). s + ) 33

37 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Lisää muunnoskaavoja Lause 7 Muunnoksen derivoiminen ja integroiminen. Olkoon L(f ) F (s). Tällöin n d L(tn f (t)) ( )n ds n [F (s)]. Jos lisäksi osamäärän f (t) t oikeanpuoleinen raja-arvo olemassa ja äärellinen pisteessä t, niin L( f (t) t ) F (x). s Perustelu: Yleinen tapaus induktiolla. Lasketaan tapaus n. d d [F (s)] ds f (t) e st dt f (t) s ( e st ) dt tf (t) e st dt L(tf (t)). ( ) ds Jälkimmäisen kaavan perustelu sivuutetaan. Lause 8 Siirros s-alueessa. Jos L(f ) F (s) niin Perustelu: Laskemalla saadaan L( eat f (t)) Esim 5 Määrää L(t sin(ωt)). Nyt L(tf (t)) F (s), Tällöin ω L(sin(ωt)) s +ω. L( eat f (t)) F (s a). eat f (t) e st dt f (t) e (s a)t dt F (s a). d ω L(t sin(ωt)) ds ( s +ω ) Määrää L( e at sin(ωt)). Tässä L( ect f (t)) F (s c) ja L(sin(ωt)) L( e at sin(ωt)) (s+a)ω +ω. ω, s +ω Määrää L( e at t sin(ωt)). Tässä L( ect f (t)) F (s c) ja L(t sin(ωt)) L( e at t sin(ωt)) ωs. (s +ω ) joten ωs, (s +ω ) joten ω(s+a). ((s+a) +ω ) Kaavan L( eat f (t)) F (s a) avulla saamme laajennettua Laplacen muunnoksen perustaulukkoa. f (t) t tn (n )! sin ωt cos ωt eat ta, a > F (s) s s sn ω s +ω s s +ω s a Γ(a+) sa+ f (t) F (s) ct e t (s c) tn ect (n )! (s c)n ω ect sin ωt (s c) +ω s c ect cos ωt (s c) +ω Γ(a+) ect ta, a > (s c) a+ Harjoitustehtäviä 46. Määrää F (s), (käytä taulukkoa ja laskusääntöjä) kun a) f (x) 3 + t, b) f (x) sin(3t) + 3 cos(t), c) f (x) t e5t, d) f (x) t e5t. a 47. Laske kaavan L(sin(at)) s +a ja laskusääntöjen avulla Laplace muunnokset t L(cos(at)), L(t cos(at)), L( e t cos(at)). s+7 ( (s +4s+8)(s 48. Laske käänteismuunnokset L ( (s+)(s +4) ), L +9) ). Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla seuraavat differentiaaliyhtälöt 49. a) y 5y e5t, y(), b) y + y sin(t), y(). 5. y + 4y + 8y sin(t), y() y (). 5. y + 4y + 8y cos(3t) + 4 sin(3t), y(), y (). 5. y 5y, y(π). 53. Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla alkuarvotehtävä y + y sin t, y(). 54. Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla y + 4y sin(t) y(), y (). cos(ωt) ) (s +ω Taulukoista löytyy muunnoskaava L( sin(ωt) ωt ). Johda myös muunnoskaava. ω 3 34

38 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 5. RATKEAVUUSTEORIAN TULOKSIA Tässä vaiheessa osaamme ratkaista muutamia yksinkertaisia ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Perusteet pitäisi olla hallinnassa. Seuraavaksi tarkastelemme yleisesti ensimmäisen kertaluvun yhtälön ratkeavuutta sekä muutamia tapoja likimääräisen ratkaisun muodostamiseksi. Hyvä esimerkki yhtälöstä, johon keinomme eivät tehoa on ns. Riccatin I differentiaaliyhtälö y (x) (y(x)) + x. (7) Se ei ole tuntemaamme tyyppiä eikä myöskään ole palautettavissa mihinkään tuntemaamme yhtälötyyppin (separoituva, lineaarinen, tasa-asteinen, Bernoullin yhtälö) millään muunnoksella. Mitä voidaan sanoa yhtälön (7) ratkeavuudesta ja ratkaisujen lukumäärästä? Jos yhtälöllä on ratkaisu, niin miten se löydetään? 5.. Alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Tarkastelemme yleisesti ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän y f (x, y(x)), x ]x δ, x + δ[, y(x ) y, ratkeavutta. Voidaan osoittaa seuraava ns. lokaali olemassaolo ja yksikäsitteisyystulos. Lause 9 Olkoon D (x, y) x x < a, y y < b } R suorakulmio ja olkoon funktio f (x, y) : D R jatkuva molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Lisäksi oletamme, että osittaisderivaatta f y (x, y) : D R on olemassa ja jatkuva molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Tällöin on olemassa luku δ > siten, että alkuarvotehtävällä y f (x, y(x)), y(x ) y, (x, y ) D, on yksikäsitteinen ratkaisu välillä ]x δ, x + δ[. Tämä tulos on puhdas olemassaolotulos ja sen todistus sivuutetaan. Tarkistamalla lauseen oletukset; funktion f ja osittaisderivaatan f y jatkuvuuden alkuarvopisteen (x, y ) ympäristössä; voimme päätellä alkuarvotehtävän ratkeavuuden jollakin välillä ]x δ, x + δ[. Tulos ei kuitenkaan tässä muodossa sano mitään siitä, kuinka pitkä on väli, jolla ratkaisua voidaan hakea. Entä mitä tapahtuu, jos lauseen oletukset eivät ole voimassa? Seuraavat esimerkit havainnollistavat tilannetta. Esim 5 Tutki alkuarvotehtävän y y x, y() a ratkeavuutta eri arvoilla a R. Ratkaisu: Tässä sekä funktio f (x, y) y x että sen osittaisderivaatta f y (x, y) 4xy ovat määriteltyjä ja jatkuvia koko tasossa, joten suorakulmio D on koko taso. Edellisen lauseen oletukset ovat voimassa kaikilla alkuarvopisteillä (x, y ) (, a), a R. Tällöin kaikilla parametrin a arvoilla alkuarvotehtävällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä ] δ, δ[, jossa δ >. Osaamme ratkaista yhtälön separoimalla, joten voimme tutkia tilannetta analyyttisen ratkaisun avulla. Tehtävällä on erikoisratkaisu y sekä yleinen ratkaisu y x +C, C R. 3 Alkuehdon y() toteuttaa erikoisratkaisu y, jolloin väli ] δ, δ[ R. Tapauksessa a > alkuehdon y() a toteuttaa funktio y x +, jolloin väli ] δ, δ[ R. a Tapauksessa a < alkuehdon y() a toteuttaa funktio y x. Tällöin ratkaisun määrittelyväli ] δ, δ[ a ], + [ voi olla lyhyt itseisarvoltaan suurilla a:n a arvoilla. a 3 x y

39 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 5 Osittaisderivaatta f y ei ole jatkuva. Tutki alkuarvotehtävän (y ) 3 y, y() ratkaisujen lukumäärää. Ratkaisu: Tässä differentiaaliyhtälö on muotoa y f(x, y), jossa funktio f(x, y) 3 y y 3. Funktio f on määritelty ja jatkuva koko tasossa. Sen osittaisderivaatta muuttujan y suhteen on f + (x, y) 3 y 3, y >, y 3 y 3, y <. Osittaisderivaatta f y ei ole määritelty x-akselilla, jolloin y. Tutkitaan jälleen alkuarvotehtävän ratkaisuja ja ratkaisujen lukumäärää tarkastelemalla separoimalla määrättyä analyyttistä ratkaisua. Erikoisratkaisu on y. Yleinen ratkaisu on y 7 (x + C)3, jossa C R. Erikoisratkaisu y toteuttaa alkuehdon y(). Yleisestä ratkaisusta saatu funktio y 7 x3 toteuttaa alkuehdon y(). Lisää ratkaisuja saadaan valitsemalla luku a > ja määrittelemällä funktio paloittain seuraavasti, x a, y a (x) 7 (x a)3, x > a., 7,5 Näin määritelty funktio y a on alkuarvotehtävän ratkaisu. Se on derivoituva funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdon. Alkuarvotehtävällä on äärettömän monta ratkaisua. y 5,,5, x 4 6 Edellä todettiin, että ratkaisun määrittelyvälin pituus on hankala päätellä etukäteen. Seuraava erikoistapaus, ns. globaali olemassaolo ja yksikäsitteisyystulos, on kuitenkin hyöllistä tuntea. Lause osittaisderivaatta f y Olkoon D (x, y) x x a, y R } R ja olkoon funktio f : D R sekä : D R olemassa ja jatkuvia molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Lisäksi oletamme, että f y (x, y) on rajoitettu joukossa D. Tällöin alkuarvotehtävällä y f(x, y(x)), y(x ) y, (x, y ) D, on yksikäsitteinen ratkaisu joka on määritelty koko välillä [x a, x + a]. Esim 53 Osoita, että alkuarvotehtävän y cos(y), y() yksikäsitteinen ratkaisu koko reaaliakselilla on funktio y(x) arc tan( e x ) π. Ratkaisu:. Osoitetaan, että globaalin olemassaolotuloksen oletukset ovat voimassa koko tasossa. Tällöin tiedämme, että tehtävällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu. Tässä differentiaaliyhtälö on muotoa y f(x, y), jossa f(x, y) cos y. Funktio f on määritelty ja jatkuva koko tasossa. Sen osittaisderivaatta f y (x, y) sin y on määritelty ja jatkuva jatkuva koko tasossa. Osittaisderivaatta on rajoitettu koko tasossa, sillä f y (x, y) sin y, kaikilla (x, y) R.. Osoitetaan, että annettu ratkaisu toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdon. Alkuehto toteutuu, sillä y() arc tan( e ) π. Yhtälö toteutuu, sillä y ex ja toisaalta +( e x ) cos(y) cos( arc tan( e x ) π ) cos( π arc tan( ex )) sin( arc tan( e x )) sin(arc tan( e x )) cos(arc tan( e x )) ex +( e x ) y. 36

40 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Harjoitustehtäviä 55. Millä alkuarvopisteillä (a, b) monisteessa esitetty olemassaolo ja yksikäsitteisyystulos takaa yksikäsit y teisen ratkaisun olemassaolon alkuarvotehtävälle x(x+y), y(a) b pisteen (a, b) ympäristössä. 56. Kuinka ratkaisua alkuarvotehtävällä monta on (y )3 y, y y, xy + y xy, a) b) c) y(). y(). y(). 5.. d) xy + y xy, y(). Differentiaaliyhtälön ja integraaliyhtälön yhteys Olkoon D (x, y) x x < a, y y < b } R suorakulmio ja olkoon funktio f : D R ja osittaisderivaatta f y : D R jatkuvia molempien muuttujiensa suhteen joukossa D. Alkuarvotehtävä y f (x, y(x)), x [x δ, x + δ], (8) y(x ) y, (x, y ) D, on yhtäpitävä integraaliyhtälön y(x) y + x f (t, y(t)) dt, x (9) x [x δ, x + δ], kanssa. 6 Tuloksen perustelemiseksi on osoitettava, että alkuarvotehtävällä (8) ja integraaliyhtälöllä (9) on samat ratkaisut. Suunta. Alkuarvotehtävän ratkaisu toteuttaa integraaliyhtälön: Jos funktio y y(x) on alkuarvotehtävän y f (x, y(x)), x [x δ, x + δ], y(x ) y, (x, y ) D, ratkaisu, niin saamme integroimalla puolittain differentiaaliyhtälöä x x y (t) dt f (t, y(t)) dt, x [x δ, x + δ], x x josta seuraa (käyttämällä alkuarvoa y(x ) y ) integraaliyhtälö y(x) y + x f (t, y(t)) dt. x Ts. alkuarvotehtävän ratkaisu toteuttaa integraaliyhtälön. Suunta. Integraaliyhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävän ratkaisu: x Jos funktio y y(x) on integraaliyhtälön y(x) y + f (t, y(t)) dt, x [x δ, x + δ], ratkaisu, x niin y(x ) y. Derivoimalla puolittain x:n suhteen saadaan differentiaaliyhtälö y (x) f (x, y(x)). Ts. integraaliyhtälön ratkaisutoteuttaa alkuarvotehtävän y f (x, y(x)), x [x δ, x + δ], y(x ) y, (x, y ) D. Esim 54 Tutkimme aikaisemmin esitetyn liuoslaskun toisella periaatteella. Tarkastelemme tilannetta tutkimalla suolan kokonaismäärää aikavälillä [, T ]. Alussa liuosta oli V litraa ja siihen oli liuennut d kiloa suolaa. a l/min f(t) kg/l b l/min Sekoittunutta liuosta Liuoksen määrä säiliössä hetkellä t on V (t) V + (a b)t. Tuntematon funktio on hetkellinen suolamäärä säiliössä x x(t). Sen avulla lausuttuna hetkellinen suolapitoisuus säiliössä on c(t) 6 x(t) x(t). V (t) V + (a b)t Aa, katso, luennot aivosolun ohi. Nolla kallon ihon. Ulos ovia! Tonne ulos, takaa. 37

41 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Jaetaan tarkasteltava aikaväli pieniin osiin ( t)i [ti, ti ]. Suolan määrä hetkellä t T saadaan laskemalla yhteen vaikutukset pieniltä osaväleiltä: x(t ) x() + n i n af (t i )( t)i bc( t i )( t)i. i Tihennetään jakoa, n ja otetaan huomioon se, että integraali on summan raja-arvo. Rajalla saadaan yhtälö T T x(t ) x() + af (t) dt bc(t) dt. Sijoitetaan alkuarvo ja pitoisuuden lauseke x(t ) d + a T f (t) dt b T x(t) V +(a b)t dt. Suolan määrää kuvaa integraaliyhtälö. Integraaliyhtälö on voimassa kaikilla t [, T ]. Tuntematon funktio x esiintyy sekä integraalin alla että integraalin ulkopuolella. Tällainen yhtälö on ns. toisen lajin integraaliyhtälö. Siis x(t) d + a t f (τ ) dτ b Derivoimalla puolittain saadaan differentiaaliyhtälö t x(τ ) V +(a b)τ dτ. x(t). x (t) af (t) b V +(a b)t Alkuehto x() d saadaan sijoittamalla integraaliyhtälöön t. Saadaan ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä x(t) +b af (t), dt V + (a b)t x() d Likimääräisiä ratkaisumenetelmiä Seuraavaksi käsittelemme erilaisia likimääräismenetelmiä, joiden avulla voidaan muodostaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän ratkaisu Picard-Lindelöfin menetelmä Picard-Lindelöfin menetelmä on likimääräismenetelmä, jossa muodostetaan jono peräkkäisiä approksimaatioita alkuarvotehtävän ratkaisulle käyttämällä hyväksi integraaliyhtälöä (9). Likiratkaisujono φn (x), n,,,... muodostetaan kiinnittämällä jatkuva funktio φ (x) ja laskemalla seuraavat approksimaatiot φn (x) kaavasta φn (x) y + x f (t, φn (t)) dt, n,,.... () x Seuraavat esimerkit havainnollistavat menetelmän käyttöä. Esim 55 Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä alkuarvotehtävä y xy, y(). Laske approksimaatiot φ (x), φ (x), φ3 (x), φ4 (x) aloittaen alkuarvauksesta φ (x). Vertaa tuloksia separoimalla määrätyn tarkan ratkaisun sarjakehitelmään. Ratkaisu: Määrätään ensin vastaava integraaliyhtälö. Puolittain integroimalla saadaan x x ty(t) dt y (t) dt y(x) y() y(x), 38

42 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 joten alkuarvotehtävää vastaava integraaliyhtälö ja edelleen Picard-Lindelöfin menetelmä ovat x x y(x) + ty(t) dt, φ n (x) + tφ n (t) dt, n,,.... Tehtävässä oli annettu φ (x), jolloin saadaan iteraatiojono x x φ (x) + tφ (t) dt + t dt, x x φ (x) + tφ (t) dt + t dt + x, x x x φ 3 (x) + tφ (t) dt + t( + t ) dt + (t + t 3 ) dt + x + x4, x x x φ 4 (x) + tφ 3 (t) dt + t( + t + t4 ) dt + (t + t 3 + t 5 ) dt + x + x4 + 6 x6. Picard-Lindelöfin menetelmä antaa likiratkaisun y(x) φ 4 (x) + x + x4 + 6 x6, joka on hyvä approksimaatio ratkaisulle alkuarvopisteen ympäristössä. Separoimalla saadaan tarkka ratkaisu y xy y x y x x ln y x y e x. Tarkan ratkaisun Taylorin kehitelmä y(x) e x + x likiratkaisuun φ 4 (x) kuudennen asteen termiin saakka.! + x4! + x6 3! xk k! yhtyy Esim 56 Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä alkuarvotehtävä y y + x, y(). Esim 57 Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä alkuarvotehtävä y x + y, y(). Esim 58 Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä y (y ) /3, y(), kun x >. a) Valitse φ (x). b) Valitse φ (x) x 3. Huomautus 6 Alkuarvauksen φ saa valita. Luonnollisia valintoja ovat φ (x) y tai φ (x). Välttämättä alkuarvausfunktion ei tarvitse olla jatkuva. Integroituvuus riittää. Esim 59 Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä alkuarvotehtävä y y, y(). Käytä alkuarvausta φ (x) cos x. Ratkaisu: Alkuarvotehtävää vastaava integraaliyhtälö ja Picard-Lindelöfin menetelmä ovat y(x) + x y(t) dt, φ n (x) + Iteraatio käynnistetään annetusta alkuarvauksesta φ (x) cos x x x φ (x) + φ (t) dt + cos t dt + sin x, x φ n (t) dt, n,,.... x x φ (x) + φ (t) dt + ( + sin t) dt + x cos x +, x x φ 3 (x) + φ (t) dt + ( + t cos t + ) dt + x + x sin x + x, x x φ 4 (x) + φ 3 (t) dt + ( + t + t sin t + t) dt + x + x + 3! x3 + cos x + x. Menetelmä generoi kaksi potenssisarjaa, joista toinen muodostaa vähitellen eksponenttifunktion kehitelmää ja toinen osa syö trigonometrista termiä. 39

43 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Huomautus 7 Picard-Lindelöfin menetelmän avulla voidaan laskea ratkaisun sarjakehitelmän termejä. Menetelmä sopii numeeristen menetelmien perustaksi. Sitä voi käyttää symbolisen matematiikan ohjelmistojen kanssa siten, että ohjelmoi iterointikaavan tietokoneelle ja antaa koneen laskea integroinnit. Picard-Lindelöfin menetelmä suppenee, mikäli olemassaolo ja yksikäsitteisyyslauseen oletukset ovat voimassa. Oletuksia voidaan jossain määrin lieventää. Picard-Lindelöfin menetelmä ei aina suppene. Sarjakehitelmää käytettäessä on muistettava käsitteiden suppenemissäde ja suppenemisväli merkitykset Taylorin kehitelmään perustuva menetelmä Oletamme, että alkuarvotehtävällä y f (x, y(x)), x [x a, x + a], y(x ) y, (x, y ) D, on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu alkuarvopisteen (x, y ) ympäristössä. Likiratkaisu voidaan muodostaa derivoimalla yhtälöä implisiittisesti ja laskemalla korkeamman kertaluvun derivaattoja alkuarvopisteessä. Taylorin lauseen mukaan 7 y(x) y(x ) + y (x )(x x ) +! y (x )(x x ) voimme approksimoida ratkaisufunktiota potenssisarjalla. Yleisessä tapauksessa derivaattojen laskeminen on hankalaa. Jo kolmas derivaatta on ikävä laskettava. Alkuarvotehtävän ratkaisun derivaatoille on yleisesti voimassa y f (x, y(x)), y fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))y (x), y fxx + fxy y + fyy (y ) + fy y fxx + fxy y + fyy (y ) + fy (fx + fy y ). Potenssisarjaa määrättäessä derivaatat on laskettava alkuarvopisteessä (x, y ). Esim 6 Ratkaise alkuarvotehtävä y y, y() Taylorin menetelmällä. Ratkaisu: Tässä tapauksessa derivaatat on helppo laskea, sillä derivoimalla differentiaaliyhtälöä y y saadaan y y y. Seuraavalla derivoinnilla saadaan y y y. Yleisesti saadaan y (k) y. Täten y (k) () y(). Tarkan ratkaisun kehitelmä origossa on y(x) y() + y ()x +! y ()x x +! x +... ex. Esim 6 Ratkaise alkuarvotehtävä y x + y, y() Taylorin menetelmällä. Harjoitustehtäviä 57. Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä alkuarvotehtävä y xy, y(). Laske approksimaatiot φ (x), φ (x), φ3 (x) aloittaen funktiosta φ (x). Vertaa tulosta tarkan ratkaisun (separointi) sarjakehitelmään. 58. Ratkaise Picard-Lindelöfin menetelmällä y x + y, y(). Yritä keksiä tarkka ratkaisu vertaamalla tuloksia ex :n sarjakehitelmään Potenssisarjamenetelmä Menetelmä soveltuu lineaarisiin homogeeniyhtälöihin. Sillä on mahdollista ratkaista myös epähomogeenisia lineaarisia yhtälöitä. että lineaariyhtälön alkuarvotehtävällä Oletamme, y a(x)y(x), x [x a, x + a] y(x ) y, (x, y ) D 7 "y,, y(t), ne hiisi pois!" Avaa kallo, jolla kaavasi opi. Sanasi söit, helmi se on! Anna kaavaa, karamelli. Oi sioille Mara, kaavaa kanna. No esim. lehtiösi, sanasi: pois. Avaa kallo, jolla kaavasi opi! Siihen tyy! 4

44 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 on olemassa alkuarvopisteen (x, y ) ympäristössä potenssisarjamuotoinen ratkaisu 8 n y(x) a + a (x x ) + a (x x ) an (x x ).... k ak (x x )k. Sijoitetaan potenssisarjayrite y(x) ak (x x )k ja sen derivaatta y (x) kak (x x )k k k differentiaaliyhtälöön. Myös kerroinfunktio a(x) on kehitettävä potenssisarjaksi. Vaaditaan, että sarjakehitelmä toteuttaa differentiaaliyhtälön. Tästä vaatimuksesta seuraa palautuskaava eli rekursiokaava potenssisarjan kertoimille. Palautuskaavasta ratkaistaan potenssisarjan kertoimet an, n,,.... Joissakin tapauksissa on mahdollista tunnistaa ratkaisufunktio potenssisarjasta. Seuraavien laskutoimituksien hallitseminen potenssisarjoilla on välttämätöntä menetelmän osaamista varten. Potenssissarjan summausindeksi on mykkä muuttuja eli on samantekevää mitä muuttujaa indeksinä käytetään i! j! k!. i j k Summausindeksin vaihtaminen potenssisarjassa i + k, jolloin i j k ja ai xi+k i ai xi+k tapahtuu sijoittamalle sarjaan j i aj k xj. Nyt muuttuja j oikeanpuoleisessa summassa on jk dummy eli mykkä muuttuja, joten voimme korvata sen millä tahansa indeksillä, joka ei esinny sarjassa. Usein halumme palauttaa summausindeksin alkuperäiselle nimelle. Esim 6 Summausindeksin vaihto. Olkoon an } n lukujono ja k kiinteä kokonaisluku. Tällöin seuraavat kaavat saadaan korvaamalla ii ˆ k ja vaihtamalla summauksen alaraja i+k ai x ai k xi, iai xi+k (i k)ai k xi, i i i(i )ai xi+k ik ik i ik (i k)(i k )ai k xi. Lisäksi on tietenkin tunnettava peruskurssi II:ssa käsitellyt asiat: Sarjan suppeneminen, suppenemissäde, suppenevien sarjojen yhteenlaskeminen ja kertominen sekä sarjan integroiminen ja derivoiminen termeittäin. Esim 63 Ratkaise alkuarvotehtävä y y, y() potenssisarjamenetelmällä. Ratkaisu: Sijoitetaan potenssisarjayrite y(x) ak xk ja yritteen derivaatta y (x) ak kxk k k muotoon y y kirjoitettuun yhtälöön, jolloin y y k k ak kxk ak xk k k (ak+ (k + )xk ak xk ) ak+ (k + )xk k ak x k k (ak+ (k + ) ak )xk kaikilla x. Nollafunktion potenssisarjassa kaikki kertoimet ovat nollia, joten on oltava ak ak+ (k + ) ak, k,,..., josta ratkaistaan ak+ k+, k,,.... ak k a. Muut kertoimet lasketaan iteroimalla Alkuehdosta saadaan a, sillä y() kaavasta ak+ a a + k ak k+ :, a a +, a3 a + 3, a4 a , a5 a ,... Ilmeisesti yleinen kerroin on ak k! ja ratkaisun sarjakehitelmä on k y(x) + x + x + 3! x3 + 4! x4 + 5! x k! x +... ex. Esim 64 Ratkaise alkuarvotehtävä y x + y, y() potenssisarjamenetelmällä. Ratkaisu: Kyseessä ei ole lineaarinen differentiaaliyhtälö, joten menetelmä ei sovellu. Harjoitustehtäviä 59. Ratkaise potenssisarjamenetelmällä alkuarvotehtävä y y, y(). Yritä keksiä tarkka ratkaisu vertaamalla tuloksia ex :n sarjakehitelmään. 8 Taas sarjan saavat ottaa. Tuttu jo funktio. Hoit k, n. UFO-juttu. Taatto tavaa S(n). AJ! Rassaat. 4

45 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 6. EKSAKTIT DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Olkoon [x, x ] ja [y, y ] välejä. Määrittelemme suorakulmion muotoisen alueen D [x, x ] [y, y ] (x, y) x [x, x ], y [y, y ]}. Olkoon u u(x, y) alueessa D määritelty reaaliarvoinen funktio siten, että funktio u : D R on jatkuva alueessa D osittaisderivaatat 6.. x : D R ja y : D R ovat jatkuvia alueessa D. Tasa-arvokäyrä, osittaisderivaatat ja kokonaisdifferentiaali Kahden muuttujan funktion u u(x, y) kuvaaja on pistejoukko (x, y, z) R3, jossa z u(x, y). Kuvaaja on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa. Funktion u tasa-arvokäyrä on niiden tason pisteiden (x, y) joukko, joilla funktio u saa vakioarvon eli 9 tasa-arvokäyrällä u(x, y) C vakio. Seuraavaan kuvioon on piirretty funktioita u(x, y) pinnat sekä tasa-arvokäyriä xy tasoon. 4x + y ja u(x, y) sin x cos y vastaavat x**/4+y** sin(x)*cos(y) Voidaan sanoa, että tasa-arvokäyrät ovat pintaa vastaavia "korkeuskäyriä". Palautamme mieliin osittaisderivaattojen tulkinnan. Olkoon x [x, x ] kiinteä piste, jolloin funktio u(x, y) on yh den muuttujan funktio. Osittaisderivaatta y (x, y) kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta pisteessä y, kun x x. Siis x koordinaatti on kiinteä ja riippuvuus on pelkästään y akselin suuntaan. Vastaavasti, olkoon y [y, y ] kiinteä piste, jolloin funktio u(x, y ) on yhden muuttu jan funktio. Osittaisderivaatta x (x, y ) kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta pisteessä x, kun y y. Siis y koordinaatti on kiinteä, jolloin riippuvuus on pelkästään x akselin suuntaan. Riittävän säännöllisen funktion u osittaisderivaatat x ja y ovat kahden muuttujan funktioita ja niille voidaan laskea osittaisderivaatat. Näin saadaan muodostettua toisen kertaluvun osittaisderivaatat, joita merkitään x x y x ( x ) x ( y ) y x y ( x ) uxy u u y ( y ) uyy u. y uxx u, uyx u, Voidaan osoittaa seuraava tulos: Jos osittaisderivaatat ux, uy, uxx, uxy, uyx, uyy ovat olemassa ja jatkuvia, niin osittaisderivoinnin järjestyksen voi vaihtaa eli on voimassa ( ) ( ). y x x y Varsinaisen funktion arvojen muutoksen x akselin tai y akselin suuntaan voimme kirjoittaa differentiaalien avulla seuraavasti: u(x, y + y) u(x, y) u(x + x, y) u(x, y) 9 y (x, y) y + y < y >, x (x, y) x + x < x >, jossa < y >, kun y, jossa < x >, kun x. Avaa kaava?? Tosi iloa viina: "Laatuartefakti"! Kitka, Fe t. rauta. Alani iva oli iso:"tavaa kaava". 4

46 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Seuraavaksi tarkastelemme funktion arvojen kokonaismuutosta, pisteessä (x, y), kun muuttujapistettä muutetaan ( x, y):n verran. Tarkastelu palautetaan koordinaattiakselien suuntaisten muutosten yhteisvaikutuksen tutkimiseen u(x, y) u(x + x, y + y) u(x, y) u(x + x, y + y) u(x + x, y) + u(x + x, y) u(x, y) y (x + x, y) y + x (x, y) x y (x + x, y) y y (x, y) y + y (x, y) y + x (x, y) x x y (x, y) x y + y (x, y) y + x (x, y) x y (x, y) y + x (x, y) x. Kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaali x (x, y) du + y (x, y) kuvaa funktion arvojen kokonaismuutosta pisteessä (x, y). Tasa-arvokäyrällä on u(x, y) C vakio ja tällöin kokonaismuutos pisteessä (x, y) tasa-arvokäyrää pitkin on du (x, y) + (x, y) x y eli tasa-arvokäyrällä kokonaisdifferentiaali häviää. 6.. Kahden muuttujan funktion derivointi parametrin suhteen Olkoon u u(x, y) riittävän säännöllinen kahden muuttujan funktio, jonka koordinaateilla on parametriesitykset x x(t) ja y y(t), jossa t [t, t ]. Nyt funktio u riippuu ainoastaan parametrista t eli u u(t) u(x(t), y(t)). Miten lasketaan derivaatta u (t) du dt? Muodostetaan kokonaisdifferentiaali ja otetaan huomioon, että käyrää pitkin kuljettaessa differentiaalit ovat x (t) dt, y (t) dt. Tällöin + ( x (t) + y (t)) dt, x y x y josta saadaan dt:llä puolittain jakamalla tulos du du dt x x (t) + y y (t). Erikoistapauksessa u u(x, y(x)) derivointikaava saa muodon du Derivaatta 6.3. du x + y y (x). kuvaa funktion arvojen muutosnopeutta käyrällä y y(x). Tasa-arvokäyrän differentiaaliyhtälö Olkoon y y(x) välillä [x, x ] määritelty funktio siten, että u(x, y) C. Tällöin d u(x, y) (x, y(x)) + (x, y(x))y (x) x y eli funktio y y(x) on differentiaaliyhtälön (x, y) + (x, y)y (x) x y () ratkaisu. Toisaalta y y(x) voidaan tulkita käyrädifferentiaaliyhtälön (x, y) + (x, y) x y 43 Osat yx-tason. Osata kaavajuttuja tajuttuja. Vaakatason osat: xy-taso. ()

47 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 ratkaisuksi. Käyrädifferentiaaliyhtälöä käytettäessä ei ole otettu kantaa siihen kumpi on riippumaton ja kumpi riippuva muuttuja. Kaavassa () kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaali on merkitty nollaksi. Kolmas vaihtoehto on x:n ja y:n roolien vaihtaminen eli tulkitsemme että y on riippumaton muuttuja ja x x(y) on riippuva muuttuja. Tämä tulkinta johtaa differentiaaliyhtälöön (x, y)x (y) + (x, y). (3) x y Tarkkaan ottaen differentiaaliyhtälöt (), () ja (3) eivät ole samoja. Käyrädifferentiaaliyhtälö () on yleisin muoto, jossa kumpikin muuttuja on samanlaisessa asemassa. Yhtälöitä () ja (3) käytettäessä ratkaisukäyrät x x ja y y ovat erikoisasemassa. Käytännön laskuissa yhtälöt ()-(3) saadaan toisistaan jakamalla tai kertomalla yhtälöä puolittain differentiaaleilla ja ja tulkitsemalla differentiaalien osamäärä derivaataksi. Käytämme sitä muotoa, mikä kulloinkin on tarkoituksenmukainen. Esim 65 Ellipsiparven differentiaaliyhtälö. Määrää tasa-arvokäyrien u(x, y) x + 4y C differentiaaliyhtälö. Ratkaisu x + 4yy Eksaktit differentiaaliyhtälöt Tarkastelemme yleistä muotoa olevia. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä P (x, y) + Q(x, y)y, jossa P ja Q ovat riittävän säännöllisiä kahden muuttujan funktioita. Eksaktit differentiaaliyhtälöt ovat eräs muotoa P (x, y) + Q(x, y)y oleva ratkeava tehtäväluokka. Mutta mikä tai mitä on eksaktisuus tässä yhteydessä? Määritelmä 5 Olkoon D [x, x ] [y, y ] suorakulmio tasossa. Olkoot P : D R ja Q : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälö P (x, y) + Q(x, y)y on eksakti, jos on olemassa potentiaalifunktio u u(x, y) siten, että x (x, y) y (x, y) P (x, y), Q(x, y), kaikilla (x, y) D kaikilla (x, y) D. Jos differentiaaliyhtälö on eksakti, niin ratkaisukäyrät ovat potentiaalifunktion u(x, y) tasa-arvokäyriä. Lause Eksaktisuusehto. Olkoon D [x, x ] [y, y ] R suorakulmio. Olkoot P : D R ja Q : D R sekä osittaisderivaatat Py : D R ja Qx : D R jatkuvia funktioita. Tällöin differentiaaliyhtälö P (x, y) + Q(x, y)y on eksakti jos ja vain jos on voimassa seuraava integroituvuusehto: kaikille (x, y) D. Py (x, y) Qx (x, y), (4) Perustelu: Suunta : Olkoon differentiaaliyhtälö P (x, y) + Q(x, y)y eksakti alueessa D. Eksaktisuuden vuoksi on olemassa potentiaalifunktio u u(x, y) siten, että kaikilla (x, y) D, x (x, y) P (x, y), (x, y) Q(x, y), kaikilla (x, y) D. y Osittaisderivaattojen laskujärjestyksen vaihtosäännön oletukset ovat voimassa, joten pätee Py ( ) ( ) Qx. y x x y Suunta : Perustelua varten tarvitaan käyräintegraalin käsite. Perustelu sivuutetaan. Suu ja AT-486. Frame eksakti. Kitka skeema. RF-684 taajuus. 44

48 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Kun yhtälön P (x, y) + Q(x, y)y eksaktisuus on todettu, tiedämme että on olemassa potentiaalifunktio u(x, y) : D R siten, että x (x, y) y (x, y) kaikilla (x, y) D kaikilla (x, y) D. P (x, y), Q(x, y), Potentiaalifunktion osittaisderivaatat tunnetaan ja funktio u määrätään vaiheittain seuraavasti. vaihe. Integroidaan yhtälö x (x, y) P (x, y) x:n suhteen ja saadaan φ. (5) u(x, y) P (x, y) + φ(y), jossa x vaihe. Derivoidaan edellä saatu potentiaalifunktion lauseke muuttujan y suhteen, josta seuraa (x, y) ( P (x, y) ) + φ (y). y y vaihe 3. Käytetään eksaktisuutta uy Q, joten Q(x, y) (x, y) ( y y P (x, y) ) + φ (y). (6) y Ratkaistaan derivaatta φ (y) yhtälöstä (6) sekä määrätään integroimalla φ(y) φ (y). vaihe 4. Nyt funktio φ(y) tunnetaan, joten sijoittamalla kaavaan (5) saadaan potentiaalifunktio u(x, y) P (x, y) + φ(y). (7) Vaihe 5. Ratkaisukäyrät ovat tasa-arvokäyriä u(x, y) C, jossa C on reaalinen vakio. Esim 66 Eksaktin yhtälön ratkaiseminen. Otamme esimerkiksi alkuarvotehtävän xy + (x + y )y, y(). Ratkaisu: Käyrädifferentiaaliyhtälöksi tulkittuna saamme xy + (x + y ). Esimerkkitapauksessa on P (x, y) xy ja Q(x, y) x + y. Integroituvuusehto Py Qx toteutuu, sillä Py Qx y P (x, y) x Q(x, y) y (xy) x, x (x + y ) kaikilla (x, y) R, x, kaikilla (x, y) R. Kahden muuttujan funktiot P, Q, Px ja Qy ovat olemassa ja määriteltyjä koko tasossa R, joten yhtälö on eksakti koko tasossa. Eksaktisuuden nojalla potentiaalifunktio on olemassa ja funktiot P ja Q ovat potentiaalifunktion osittaisderivaatat. Seuraavaksi ratkaisemme potentiaalifunktion. vaihe. Integroidaan ux P (x, y) x:n suhteen. u(x, y) xy x y + φ(y). (8) vaihe. Derivoidaan edellä laskettu potentiaalifunktion lauseke muuttujan y suhteen, josta saadaan (x, y) (x y + φ(y)) x + φ (y). y y vaihe 3. Käytetään eksaktisuutta uy Q, joten Q(x, y) x + y (x, y) x + φ (y). y Ratkaistaan funktio φ (y) y ja määrätään funktio φ integroimalla φ(y) y y 3 y 3. Aito idiotia! No, no, tovia. On tulostavoite haisu. Sutta nuutunutta sattunu. Tuunattu susia. Heti ovat solut... no aivoton on aito idiotia. 45

49 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 vaihe 4. Sijoittamalla φ(y) kaavaan (8) saadaan potentiaalifunktio u(x, y) x y + 3 y 3. vaihe 5. Differentiaaliyhtälön implisiittiset ratkaisut ovat tasa-arvokäyriä u(x, y) x y + 3 y 3 C, jossa C on reaalinen vakio. Alkuarvotehtävän ratkaisu saadaan vaatimalla, että u(, ) 43, joten implisiittinen ratkaisu on käyrä x y + 3 y Tämä yhtälö on hankala ratkaista y:n suhteen. Muuttujan x suhteen ratkaistu muoto on x x(y) + ( 43 3 y 3 ) y. Neliöjuuren merkki määräytyy alkuehdosta. Eksaktin yhtälön alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolosta voidaan osoittaa seuraava tulos. Lause Ratkaisun olemassaolo. Olkoon yhtälö P (x, y) + Q(x, y)y (x) eksakti suorakaiteessa D [x, x ] [y, y ] ja olkoon funktio Q(x, y ) pisteessä (x, y ) D. Tällöin on olemassa pisteen x ympäristössä määritelty yksikäsitteinen ratkaisu y y(x) siten, että u(x, y(x)) u(x, y ) ja y(x ) y. Todistus sivuutetaan. Todistus perustuu implisiittifunktiolauseeseen, joka karakterisoi tyyppiä g(x, y) olevan yhtälön ratkeavuutta muuttujan y (tai x) suhteen pisteen (x, y ) ympäristössä. Geometrisesti tulkittuna ehto Q(x, y ) tarkoittaa sitä, että derivaatta y (x ) voidaan ratkaista differentiaaliyhtälöstä ja se on äärellinen. Toisin sanoen ehto kieltää y akselin suuntaisen tangentin. Tulos voidaan tietenkin muotoilla myös muuttujan x suhteen ratkaistulle muodolle. Harjoitustehtäviä 6. Totea implisiittiderivoinnilla, että käyrä x y + 3 y 3 C on yhtälön xy + (x + y )y implisiittinen ratkaisu. 6. Ovatko seuraavat yhtälöt eksakteja? a) xy + y xy b) xy + x + (y lnyx )y, c) x + y xy d) x xy + ey (x y x ey )y Jos yhtälö on eksakti, niin ratkaise se. 6. a) Totea, että yhtälö y + x + y ei ole eksakti, mutta kertomalla yhtälö puolittain funktiolla ex saadaan yhtälö, joka on eksakti. Ratkaise näin saatu eksakti yhtälö. b) Yhtälö y + x + y on lineaariyhtälö. Ratkaise se aikaisemmin opitulla lineaariyhtälön ratkaisumenetelmällä sekä vertaa a)-kohdan ratkaisun kanssa Separoituva differentiaaliyhtälö on eksakti Olkoon D [x, x ] [y, y ] sekä olkoot funktiot f : [x, x ] R ja g : [y, y ] R jatkuvia sekä olkoon g(y) kaikilla y [y, y ]. Separoituva differentiaaliyhtälö on muotoa f (x)g(y). Koska funktio g(y), voimme kirjoittaa yhtälön (9) yhtäpitävästi muotoon f (x) (9) 3 tai käyrädifferentiaaliyhtälöksi f (x) g(y) g(y) Tässä P (x, y) f (x) ja Q(x, y) g(y) f (x) Qx x ( g(y). On voimassa Py y ). Olkoon (x, y ) D. Se potentiaalifunktio, joka saa pisteessä (x, y ) arvon nolla on x y dt, (3) u(x, y) f (t) dt x y g(t) sillä kaavalla (3) määritellyn funktion osittaisderivaatat ovat (x, y) f (x) ja x 3 (x, y). y g(y) Saat Ana kumisaapaskasan, osin isona. Saksa, Paasi mukana taas. 46

50 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Lause 3 Separoituvan yhtälön ratkaiseminen. Olkoot funktiot f : [x, x ] R ja g : [y, y ] R jatkuvia sekä olkoon g(y) kaikilla y [y, y ]. Jos (x, y ) [x, x ] [y, y ], niin "pienessä" x :n ympäristössä alkuarvotehtävällä y (x) f (x)g(y), y(x ) y on yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan ratkaisemalla yhtälö x y dt f (t) dt, x y g(t) y:n suhteen. Separoituvan yhtälön yleinen ratkaisu saadaan yhtälöstä x y dt f (t) dt + C, g(t) (3) (3) (33) jossa C on integroimisvakio. Vakio C voidaan kiinnittää alkuehdon y(x ) y avulla. Huomautus 8 Yhtälön (3) erikoisratkaisut löytyvät funktion g(y) nollakohdista. Esim 67 Ratkaise yhtälö y xy. Laskutekninen ratkaisu on seuraava: Separoidaan ja integroidaan yhtälö x y x y x. y Lasketaan integraalifunktiot y x +C ja sievennetään y x C. Merkitsemällä C C saadaan yleinen ratkaisu y x C, C R. Jos C, niin ratkaisukäyrät ovat hyperbelejä. Tapauksessa C saadaan kaksi leikkaavaa suoraa so. hyperbeliparven asymptootit. Esim 68 Ratkaise yhtälö y y x. Jos y (nollafunktio), niin y eli yhtälö toteutuu. Nollafunktio y on yhtälön erikoisratkaisu. Tapauksessa y separoidaan ja integroidaan yhtälö x + C y x x + C x x. y y y, C R. Ratkaistaan y x +C. Merkitsemällä C C saadaan yleinen ratkaisu y x +C Erikoisratkaisu on y(x). Erikoisratkaisua ei saada yleisestä ratkaisusta millään äärellisellä vakion C arvolla. Esim 69 Kemiallinen reaktio. Hiilimonoksidi reagoi hiilen ja hiilidioksidin kanssa edestakaisin: CO C + CO. Jos u(t) on häkäpitoisuus hetkellä t, niin sille on voimassa differentiaaliyhtälö du k(a u)(b + u), dt k, a, b >. Ratkaise differentiaaliyhtälö alkuehdolla u() u < a. Tehtävän ratkaisu on u(t) b+u a u a exp(k(a + b)t) b. b+u a u exp(k(a + b)t) + Harjoitustehtäviä 63. Määrää differentiaaliyhtälön y y x3 yleinen ratkaisu. Onko erikoisratkaisuja? Laske alkuehdon y() toteuttava yksityisratkaisu. 64. Ratkaise separoituvat yhtälöt 4y a) y 4 + y, b) u eu sin t, c) y x(y 3), k c dc f) y + + (x + )y. d) x(y + ) + y(x + )y, e) dt k +c, 65. Ratkaise alkuarvotehtävät a) x ( + t ) sin x t cos x, x() π3, b) y (x) xy3, y(), c) x y ( + x)y (x), y(). 47

51 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Integroiva tekijä Yleensä muotoa P (x, y) + Q(x, y)y (x) oleva differentiaaliyhtälö tai vastaava käyrädifferentiaaliyhtälö P (x, y) + Q(x, y) ei ole eksakti eli P (x, y) ja Q(x, y) eivät ole minkään potentiaalifunktion osittaisderivaattoja. Toisaalta voimme kertoa yhtälön puolittain nollasta eroavalla funktiolla ja uusi yhtälö on ekvivalentti alkuperäisen kanssa. Jos kerroinfunktio on sopiva, niin uusi yhtälö on eksakti. Jos on olemassa funktio M M(x, y) siten, että yhtälö M(x, y)p (x, y) + M(x, y)q(x, y)y (x) on eksakti, niin funktio M(x, y) on yhtälön P (x, y)+q(x, y)y (x) integroiva tekijä. Yleisessä tapauksessa integroivan tekijän määrääminen johtaa osittaisdifferentiaaliyhtälöön, jonka ratkaiseminen on hankalampi kuin alkuperäinen tehtävä, joka oli tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Jos integroivan tekijän muoto arvataan tai tunnetaan, esim. M M(x) integroiva tekijä riippuu vain x:stä M M(y) integroiva tekijä riippuu vain y:stä M M(x a y b ) integroiva tekijä riippuu vain tulosta x a y b M M(x + y ) integroiva tekijä riippuu vain lausekkeesta x + y niin seuraavalla tavalla voidaan tutkia integroivan tekijän olemassaoloa. Menetelmän ideaa valaistaan esimerkkien avulla. Esim 7 Lineaarinen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. y + a(x)y f(x). Ratkaisu: Muotoon a(x)y f(x)+y kirjoitettu yhtälö ei ole eksakti. Integroivalle tekijälle M(x) saadaan yhtälö M(x)a(x) M (x). Sen ratkaisut ovat M(x) C exp( x a(t) dt). Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktin yhtälön tekniikalla. Esim 7 Integroiva tekijä on muotoa M M(x). Ratkaise y + x + x + yy. Ratkaisu: Yhtälö ei ole eksakti, sillä y (y + x + x) y x (y). Tutkitaan, onko olemassa pelkästään muuttujasta x riippuvaa integroivaa tekijää M M(x). Kerrotaan yhtälö puolittain funktiolla M(x), jolloin saadaan yhtälö M(x)(y + x + x) + M(x)yy. Nyt P (x, y) M(x)(y + x + x) ja Q(x, y) M(x)y ja eksaktisuusehto saa muodon y (M(x)(y + x + x)) x (M(x)y). Laskemalla osittaisderivaatat ja sieventämällä saadaan differentiaaliyhtälö M (x) M(x). Yleinen ratkaisu on M(x) C e x, jossa valitsemme C. Nyt integroivalla tekijällä M(x) e x puolittain kerrottu yhtälö e x (y + x + x) + y e x y }}}} P (x,y) Q(x,y) on eksakti koko tasossa, sillä y ( ex (y + x + x)) y e x x (y ex ), kaikilla (x, y) R. Siis on olemassa potentiaalifunktio u u(x, y) siten, että x (x, y) ex (y + x + x), y (x, y) y ex. Edelleen tiedämme, että ratkaisukäyrät ovat potentiaalifunktion tasa-arvokäyriä. Lasketaan potentiaalifunktio integroimalla Q(x, y) y:n suhteen u(x, y) (y e x ) y e x + φ(x). Derivoidaan näin saatu potentiaalifunktio x:n suhteen ja käytetään eksaktisuutta u x P eli (x, y) x x (y e x + φ(x)) y e x + φ (x) e x (y + x + x) }} P (x,y) Vertaamalla ylläolevia lausekkeita näemme, että on oltava voimassa φ (x) (x + x) e x φ(x) (x + x) e x x e x + C. Valitaan C, jolloin potentiaalifunktioksi saadaan u(x, y) y e x + x e x (x + y ) e x. Implisiittinen ratkaisu on (x + y ) e x C, C >. Muuttujan y suhteen ratkaistu muoto on y ± C e x x. 48

52 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 7 Integroiva tekijä on muotoa M M (y). Ratkaise yhtälö y x33yx. +y Kirjoitetaan yhtälö muotoon 3yx +(x +y )y. Tässä P (x, y) 3yx ja Q(x, y) x3 +y 4. Osittaisderivaatat ovat Py 3x ja Qx (x, y) 3x, joten eksaktisuusehto ei toteudu. Etsitään integroivaa tekijää M M (y). Kerrotaan yhtälö puolittain funktiolla M (y), jolloin saadaan yhtälö M (y)( 3yx ) + M (y)(x3 + y 4 )y. Nyt P (x, y) 3M (y)yx ja Q(x, y) M (y)(x3 + y 4 ) ja eksaktisuusehto saa muodon 3 4 y (M (y)( 3yx )) x (M (y)(x + y )). Laskemalla osittaisderivaatat ja sieventämällä saadaan differentiaaliyhtälö M (y) + y M (y). Yleinen ratkaisu on M (y) Cy, jossa valitsemme C. Nyt integroivalla tekijällä M (y) y puolittain kerrottu yhtälö 3y x + y x3 + y ) y z } z } P (x,y) Q(x,y) on eksakti sillä y ( 3y x ) 3y x x (y x3 + y )), y. Siis on olemassa potentiaalifunktio u u(x, y) siten että 3 x (x, y) 3y x, y (x, y) y x + y. Edelleen tiedämme, että ratkaisukäyrät ovat potentiaalifunktion tasa-arvokäyriä. Lasketaan potentiaalifunktio integroimalla P (x, y) x:n suhteen u(x, y) ( 3y x ) y x3 + φ(y). Derivoidaan näin saatu potentiaalifunktio y:n suhteen ja käytetään eksaktisuutta uy Q eli (x, y) ( y x3 + φ(y)) y x3 + φ (y) y x3 + y ). z } y y Q(x,y) Edellä on oltava voimassa φ (y) y, joten φ(y) y 3 y 3 + C. Valitaan C, jolloin potentiaalifunktioksi saadaan u(x, y) y x3 + 3 y 3. Implisiittinen ratkaisu saadaan potentiaalifunktion tasa-arvokäyristä y x3 + 3 y 3 C. Esim 73 Totea, että Bernoullin yhtälön y A(x)y + B(x)y k integroiva tekijä on funktio x k A(x) ). M (x, y) y exp ( ( k) 4 Ratkaise yhtälö integroivan tekijän menetelmällä. Harjoitustehtäviä 66. Yhtälöllä 4x y + (x3 + y + )y, y > on muotoa M M (y) oleva integroiva tekijä. Ratkaise yhtälö integroivan tekijän menetelmällä. Harjoitustehtäviä 67. Johda suussa sulavan karamellin differentiaaliyhtälö. Karamelli on pallon muotoinen. Oleta, että makeisen hetkellinen tilavuuden muutosnopeus on suoraan verrannollinen makeisen ulkopinnan alaan. Sulamisen aikana makeinen säilyttää pallon muotonsa. Käytä pallon tilavuuden ja pinta-alan kaavoja ja johda differentiaaliyhtälö karamellin säteen muutosnopeudelle. 68. Johda radioaktiivisen hajoamisen differentiaaliyhtälö. Oleta, että radioaktiivisen aineen hajoamisnopeus on verrannollinen ajanhetkellä t olevaan radioaktiivisen aineen määrään. 69. Vesihöyry tiivistyy sadepisaraksi siten, että pisaran massan muutosnopeus on suoraan verrannollinen pisaran pinta-alaan. Alkuhetkellä pisaran massa on m ja pisara lähtee liikkeelle levosta. Laske matka s, jonka pisara putoaa aikavälillä [, t] muodostamalla ja ratkaisemalla nopeuden differentiaaliyhtälö. Matkahan saadaan sitten integroimalla. Ilman vastusta ei oteta huomioon ja pisara oletetaan pallon d (mv) mg. muotoiseksi. Opastus: dt 7. Oulun kaupungin asukasmäärä oli vuonna 99 n.. Kuvitellaan, että asukasluku noudattaa 8 logistista kasvulakia x. Mikä on tämän mallin mukaan Oulun asukasluku vuonna dt x? Mikä on Oulun maksimiväkiluku edellisen kasvumallin mukaan? 4 Laskiaistiistain kunniaksi:"nääkkö Yökkään? Ää, pääni pipi. Pipi nää? Pää? Nääkkö yökkään!" 49

53 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 7. Nopeus, millä kiinteä aine S liukenee liuotinnesteeseen L on suoraan verrannollinen jäljellä olevan aineen S määrän (liukenemattoman määrän) ja kyllästymispitoisuuden ja ajanhetkellä t olevan pitoisuuden erotuksen tuloon. Tässä pitoisuudella tarkoitetaan liuenneen kiinteän aineen massan suhdetta liuotinnesteen massaan. a) Alussa astiassa oli kg liuotinainetta ja 6 kg ainetta S. Kyllästymispitoisuus on 3. Määrää liuennut massa m(t), t. b) Mikä on verrannollisuuskerroin, kun minuutin kuluttua liuoksen pitoisuus on /3? 7. Sylinterinmuotoinen astia, jossa on nestettä, pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω. Mikä on vapaan nestepinnan muoto, kun huomioon otetaan maan vetovoima? Vihje: Tasapainotilassa pinnan nestepartikkeliin vaikuttavien voimien (maan vetovoima mg, keskipakovoima mω x) resultantti on kohtisuorassa pintaa vastaan. Huom! Keskipakovoima on hitausvoima. Mikä on vastaus, jos tasapainotilassa nestepinnan korkeus pyörimisakselilla on.5 m ja sylinteri pyörähtää yhden kierroksen sekunnissa? 73. Mäntä liikkuu sylinterissä siten, että männän kiihtyvyys on suoraan verrannollinen nopeuteen verrannollisuuskertoimen ollessa tunnettu vakio k. Lisäksi kiihtyvyys on nopeuden suunnalle vastakkainen ja alkunopeus v() v. Määrää männän nopeus. 74. Suora tanko on kiinnitetty toisesta päästään origoon. Tanko pyörii origon ympäri kulmanopeudella π 4 rad/s ja sen pituus r(t) kasvaa tasaisella nopeudella. m/s. Määrää tangon vapaan pään piirtämän käyrän differentiaaliyhtälö napakoordinaatistossa ja ratkaise se alkuehdoilla r(). m, φ() π. 75. Pyöräilijän ja pyörän yhteenlaskettu massa olkoon m. Hän polkee sohjossa vakiovoimalla K, sekä sohjon, ilman yms. tekijöiden yhteisvaikutuksena ns. ilmanvastuskerroin on r >. Tällöin liikeyhtälö pyörälle on mx (t) K rx (t). Kirjoita differentiaaliyhtälö nopeudelle ja määrää siitä pyörän nopeus v(t), kun alussa v(). Mikä on maksimaalinen nopeus ja mikä on pyörän paikka ajan funktiona? Jos pyöräilijä laihduttaa siten, että massa m pienenee % niin mikä on vaikutus rajanopeuteen? 76. Korkeuskäyrät ovat ellipsejä 4 x + y C. Määrää jyrkimmän laskun käyräparvet. Mikä jyrkimmän laskun reitti johtaa laakson pohjalle pisteen (.,.4) kautta? Miten laskisit jyrkimmän laskun reittiä pitkin kuljetun matkan? 77. Lämpötilamittauksissa on havaittu, että eräässä homogeenisessa väliaineessa isotermit ovat käyriä y ln x + C. Mitä käyriä pitkin lämpö virtaa? 78. Sähkökentän voimaviivat (kenttäviivat) ovat käyriä x +(y c) +c. Määrää sähköisen potentiaalin tasa-arvokäyrät. 79. Laske nestepotentiaalin tasa-arvokäyrät, kun ideaalivirtauksen virtaviivat ovat 3x y y 3 C. 8. Induktanssi H ja resistanssi Ω kytketään sarjaan V:n smv:n kanssa. Jos alussa virta I(), niin mikä on virta hetkellä t.s? 8. Majakka sijaitsee koordinaatiston origossa ja satama on pisteessä (,). Laivan kapteeni on todennut, että sopiva reitti laivalle noudattaa seuraavaa sääntöä: Laiva kiertää majakkaa vastapäivään ja laivan kulkusuunta muodostaa joka hetki saman kulman majakasta lähtevien valonsäteiden kanssa. Jos tämä kulma on niin mikä on laivan rata ja missä pisteessä laiva ylittää positiivisen y-akselin ensimmäisen kerran. Opastus: käytä napakoordinaatteja. 8. Määrää niiden tason yksikköympyröiden (säde) differentiaaliyhtälö, joiden keskipiste on x-akselilla. Osaatko ratkaista johtamasi yhtälön? 83. Voima F.5 N venyttää jousta. m. Levossa olevaan jouseen kiinnitetään massakappale m.5 kg. Jousta venytetään.5 m ja päästetään irti. Jousi-massa-systeemi alkaa värähdellä kitkattomalla alustalla. Mikä on kappaleen paikka ajan funktiona? 84. Laatikon muotoinen laiva kelluu vedessä. Veden tiheys on ρ ja laivan massa on m. Vesilinjan määräämä uintipinnan pinta-ala on A. Valitaan x-akseli vedenpinnasta pohjaan. Jos jostain syystä laiva poikkeaa pystysuunnassa tasapainotilastaan, niin se alkaa värähdellä tasapainotilansa suhteen. Johda Arkhimeden periaatteen avulla värähtelylle liikeyhtälö mx + gρax, kun nesteen vaimennusta ei huomioida ja g on maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Mikä on värähsaika T? Arkhimeden periaate: Noste syrjäytetyn vesimäärän paino. 85. Kahden origokeskisen metallisen pallopinnan säteet ovat r ja r (r < r ). Pallot on varattu sähköllä siten että niiden potentiaalit ovat V ja V. Laske pallojen välillä olevan kentän potentiaali V origosta lasketun etäisyyden funktiona, kun V toteuttaa differentiaaliyhtälön d V dr + r dv dr. 86. Auton massa on 8 kg, jousituksen jäykkyysvakio k 5 7 N/m ja vaimennuskerroin r 5 Ns m. Auton poikkeama (vertikaalinen) jousituksen lepotilasta on x(t) ja se on differentiaaliyhtälön m x (t)+ r x (t) + k x(t) ratkaisu. Mikä on auton jousituksen värähtelyn taajuus? Arvioi, kuinka nopeasti värähtely on vaimennut pois. 5

54 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Vastauksia: 5. r kρ, r(t) kt ρ + r 6.a) F (x) (x ) b) F (x), x <, F (x) x, x c) F (x) ln( x), x < 7.a) F (x) x x + ln(x + ) e x + 3 ln 4 + e, x > x x b) F (x) sint t dt + (x + ) c) F (x) + e t dt 8) a) y ±(x + ), y ± x + b) y ±(x + ) c) äärettömän monta epäjatkuvaa ratkaisua..a) y(x) x b) y(x) cos(4x) 4.a) b) c) 3 d) e) 5. a). kl., epälin. b). kl., epälin. c). kl. epälin. d). kl epälin. e). kl. lin., epähomog. f) 3. kl. lin. homog. g) 3. kl. epälin. h). kl. lin. epähomog. i). kl. y epälin. 6. a) y x b) xy + y xy 3 c) y y 4 7. a)y(x) C e 4y b)y(x) ex/9 8. v(t) t/, v(6) /4 (m/s) 9. a) y C ex + C x ex, b) y C sin( 5x) + C cos( 5x) x x c) y C e x sin(3x) + C e x cos(3x) d) y C ex + C e 3x. a) y 3 ( e 3 e 3 ) b) y e 3x + 9x e 3x c) y cos(5x) d) y ex sin x.kn n π, n,, 3,..., yn (x) Cn sin nπx 3 3 x x x. y + 4y 3. a) y(x) C e + C e sin x + C3 e cos x b) y C ex + C e x + C3 sin x+c4 cos x c) y C sin x+c cos x+c3 x+c4 4. a) y C ex +C x ex +C3 e x +C4 x e x b) 3 y C sin x+c x sin x+c3 cos x+c4 x cos x c) y C ex +C e x +C3 x+c4 5. a) y 3 x +C b) y(x) ex + C c) y 4 cos x + C x + C d) y(x) sinh x + C e) y arcsin x + C f) y arctan x+c, y x arctan x ln(+x )+C x+c g) y(x) ln cos x +C h) y(x) tan x+c ln x 6. a) y(x) α+ xα+ + C, α, y(x) ln x + C, α b) y(x) xα+ ( α+ (α+) ) + C, xα+ xα+ α, y(x) ln x + C, α c) y(x) α+ arctan x α+ +x, α 7. a) y (x + C), y, b) y ln(c x), c) y tan(x + C), 8. a) y Cx, b) x + y C c) y C earc tan x 9. a) u 6 r + Cr + D b) u 4 r + C ln r + D c) y x + C x + C 3. C a) y Cx4 x, b) y(x) 6 x + Cx 4, 3. y(x) cos x + cos x, 33. a) y(x) (x x ), b) y(x) 6 e 4 x 34. a) y C ex + C, b) C x + C 35. u(t)..6 e.t (kg/l) t ) ( C), t 7.4(min) 38. a) y x + Cx, y b) y Cxx, y 39. T (t) + 75( 5 y [( + x)3 3( + x) ] /3 4. a) y x ln x + Cx b) ln(x + y ) + arctan( xy ) C c) y tan(x + C) x 4. y 4 (x + ) + 8 tan(x + C) 4. y k (cosh(kx) cosh(k)) 46. a) s s a F (s) 3s + s43 b) F (s) s6+9 + s3s c) F (s) (s 5) d) F (s) (s 5)3 47. a) s +a, b) (s +a ), c) +4 (s+) a sin t, b) e t cos t+ e t sin t cos 3t, 49. a) y(t) t e5t,, 48. a) 5 e t 5 cos t+ ((s+) +a ) 69 t t sin t 4 cos t + 7 sin t 5. e cos t + 3 b) y(t) 57 e t 5 cos t + 5 sin t, 5. y(t) 65 3 e y(t) e t cos t+ e t sin t cos 3t, 5. y(t) e5(t π), 53. y(t) e t cos t+ sin t, y(t) 98 sin(t) 4 t cos(t)+cos(t), 57. φ (x) + x + 8 x4, φ3 (x) + x + 8 x x, y(x) x ln x e. 6.a) ei, b) on, y +x + 3 y 3 C, c) ei, d) x x y +x ey + y C 6. y C e x x y y C x 4,y,y 4 x4 64. a) y sinh(x + C) b) u ln(cos t + C) c) e Cy x, y C x d) y xc+ e) t(c) ln(kck /k ec/k )), c f) y +Cx, y x 65. a) x arc cos +t b) r g k y 4 43 x3 + c) y (x+) e x x x3 y + 5 y + 3 y C 69. v 4α [αt+r (αt+r 3 ], α ρ ) ( e kt/6 ) 8 π x 7. x(t).+.9, x() m(t) 4 ( kt/6,k ln 7 7. y(x) g +.5 e t/ e ) 3 K rkt v v e kt 74. r π φ 75. v(t) r tanh( m ) 76. y Cx 77. y C x 78. y ( x + y )/(xy), y + (x D) D 79. y (x y )/(xy), x3 3xy D 8. m I(t) ( e 5t ), I(.) 3.93A 8. y (+(y ) ) 83. x(t).5 cos( 5t) 84. T π gρa 85. v C r + C. 5 5 Olon isku fuski. Fiksu fuksi nolo. Mökäät, seinille purnaat: Se tavaa kaava. Testaan rupellini. Estääkö? Molon isku fuski. Fiksu fuksi nolo. 5

55 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 7. TOISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT 7.. Yleistä Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on yleistä muotoa Φ(x, y, y, y ), jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen eli eksplisiittinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu riippumattoman muuttujan x, tuntemattoman funktion y sekä derivaatan y suhteen eli toisen kertaluvun normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö on muotoa y f (x, y, y ). Sanomme differentiaaliyhtälöä normaalimuotoiseksi myös siinä tapauksessa, että toisen derivaatan ratkaiseminen yhtälöstä edellyttää termien siirtelyä yhtälön toiselle puolelle sekä mahdollisesti yhtälön kertomista puolittain nollasta eroavalla vakiolla. Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, on muotoa pi (x)y (i) p (x)y + p (x)y + p (x)y q(x), i ja sen kertoimet p, p, p ovat riippumattoman muuttujan x funktioita. Tärkeä erikoistapaus on vakiokertoiminen lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka kertoimet p, p, p ovat vakioita. Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä funktio q(x) on ns. häiriöfunktio. Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen. Jos q(x), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen eli täydellinen. Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan aina saattaa normaalimuotoon jakamalla kertoimella p (x) mikäli p (x) kaikilla x:n arvoilla. Toisen kertaluvun yhtälön yleinen ratkaisu on yleensä kaksiparametrinen käyräparvi y y(x, C, C ). Kiinnitetyillä parametrien C ja C arvoilla toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön y f (x, y, y ) ratkaisu välillä I on välillä I kaksi kertaa derivoituva funktio y y(x) φ(x), joka yhtälöön sijoitettuna toteuttaa yhtälön identtisesti eli 6 φ (x) f (x, φ(x), φ (x)), kaikilla x I. Esim 74 Yhtälön y +4y yleinen ratkaisu on kaksiparametrinen käyräparvi y(x) C sin(x)+ C cos(x). Se toteuttaa yhtälön identtisesti kaikilla x R. Esim 75 Määrää kaikkien tason R säteisten ympyröiden differentiaaliyhtälö. Ratkaisu: Tason R säteiset ympyrät ovat muotoa (x A) + (y B) R. Implisiittiderivoinnilla saadaan yhtälöryhmä R, (x A) + (y B) (x A) + (y B)y, + (y ) + (y B)y, josta eliminoidaan parviparametrit A ja B. Kysytty differentiaaliyhtälö on y 3 (+(y ) ) R. Ensimmäiseen kertalukuun palautuvia tapauksia Yhtälöstä puuttuu riippuva muuttuja Yhtälö on yleistä muotoa y F (x, y ). Se palautuu sijoituksella z y ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi z F (x, z), josta ratkaistaan z. Ratkaisufunktio y saadaan integroimalla. dz Erikoistapaus y F (y ) palautuu sijoituksella z y separoituvaksi yhtälöksi F (z). Kaikkein yksinkertaisin yhtälö on muotoa y F (x) ja se ratkeaa kahdella peräkkäisellä integroinnilla. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y(x) 6 x t F (τ ) dτ dt + C x + C, Yo, ai susia. Sattu sata sutta. Sai susia OY. 5 C, C R.

56 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 76 Derivaattasijoitus. Ratkaise differentiaaliyhtälö xy y + x. Ratkaisu: Yhtälössä ei ole y-termiä, joten sijoittamalla z y, z y saadaan ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö xz z + x. Normaalimuoto on z x z. Integroiva tekijä on p(x) x, joten integroivan tekijän menetelmän mukaan d xz x x + C z x + C x y. ( x z) x Ratkaisukäyrät saadaan integroimalla y ( x + C x ) 3 C x3 x + C. Yleinen ratkaisu on y y(x) D x3 + C x, jossa D, C R, (D 3 C ). Tarkistus: Sijoitetaan saatu yleinen ratkaisu yhtälöön xy y + x. Vasen puoli xy x(6d x ) 6D x x ja oikea puoli y + x (3D x x) + x 6D x x ovat samat kaikilla x:n arvoilla joten yleinen ratkaisu on oikein Yhtälöstä puuttuu riippumaton muuttuja Yhtälö on muotoa y F (y, y ). Käytämme muuttujia y ja z, jolloin voimme kirjoittaa dz dz dz y z eli z. Tällöin olemme tulkinneet derivaatan z riippuvan muuttujan y:n funktioksi eli z z(y) z(y(x)). Näillä merkinnöillä yhtälö saa muodon z dz F (y, z), joka on ensimmäisen kertaluvun yhtälö y:n ja z:n välillä. Siitä ratkaistaan z saadaan separoimalla yleisen ratkaisun implisiittinen muoto g(y, C ) x y g(y, C ), josta + C. g(y, C ) Esim 77 Sijoitus z y. Ratkaise differentiaaliyhtälö yy + y. dz dz dz Ratkaisu: Sijoitetaan z y, jolloin z z ja yhtälö saa muodon yy + y y dz dz z + z z(y + z). dz Oltava joko z tai y + z. Jälkimmäisellä yhtälöllä on erikoisratkaisu z ja muut ratkaisut saadaan separoimalla dz dz C ln z ln y + ln C ln y. z y z y C Ottamalla eksponenttifunktio puolittain saadaan z y, joten z Cy, C R on yleinen ratkaisu, joka sisältää erikoisratkaisun. Alkuperäisen tehtävän ratkaisu saadaan separoimalla C z y C y C x + C. y Yleinen ratkaisu implisiittimuodossa on y C3 x + C4, jossa C3, C4 R. Eksplisiittinen ratkaisu on y ± C3 x + C4. Tarkistetaan ratkaisu derivoimalla implisiittiratkaisua implisiittisesti, jolloin yy C3 ja edelleen (y y + yy ) eli y + yy. OK! 7.3. Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Kuten edellä mainittiin on toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p (x)y + p (x)y + p (x)y q(x). Vastaava homogeeniyhtälö on p (x)y +p (x)y +p (x)y. Olkoon I R väli, jolla toisen derivaatan kerroinfunktio p (x) kaikilla x I. Tällöin yhtälö voidaan kirjoittaa normaalimuotoon jakamalla puolittain kertoimella p (x). 53

57 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Normaalimuotoinen toisen kertaluvun lineaariyhtälö on y + a(x)y + b(x)y f (x) ja sitä vastaava homogeeniyhtälö on y + a(x)y + b(x)y. Esitämme useita tuloksia normaalimuotoiselle yhtälölle, jolloin niitä käytettäessä on muistettava ensin saattaa yhtälö normaalimuotoon. Lause 4 Olkoot a a(x), b b(x) ja f f (x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoon x I. Tällöin alkuarvotehtävällä y + a(x)y + b(x)y f (x), x I, y(x ) α, y (x ) β, on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu välillä I kaikilla alkuarvoilla α, β R. Perustelu: Tämän tärkeän teoreettisen tuloksen perustelu sivuutetaan. Erityisesti homogeeniyhtälön ratkaisuille on voimassa superpositioperiaate, jonka avulla tunnetuista homogeeniyhtälön ratkaisuista saadaan muodostettua uusia homogeeniyhtälön ratkaisuja. Lause 5 Olkoot y (x), y (x),..., yn (x) homogeeniyhtälön ratkaisuja. Tällöin myös funktio y(x) C y (x) + C y (x) Cn yn (x) on homogeeniyhtälön ratkaisu kaikilla C, C,..., Cn R. Huomautus 9 Superpositioperiaate ei ole voimassa epälineaaristen yhtälöiden ratkaisuille. Määritelmä 6 Funktiot y (x), y (x),..., yn (x) ovat lineaarisesti riippuvat eli sidotut välillä I, jos on olemassa vakiot C, C,..., Cn, joista jokin Ci siten, että C y (x) + C y (x) Cn yn (x) kaikilla x I. Funktiot y (x), y (x),..., yn (x) ovat lineaarisesti riippumattomat eli vapaat välillä I, jos ehdosta C y (x) + C y (x) Cn yn (x) kaikilla x I, seuraa, että on oltava C C... Cn. Esim 78 Osoita, että funktiot y (x), y (x) x ja y3 (x) x ovat lineaarisesti riippumattomia välillä [, ]. Ratkaisu: Tapa, joka sopii lineaarisen riippumattomuuden perusteluun. Vaaditaan, että C y (x) + C y (x) + C3 y3 (x) C + C x + C3 x, kaikilla x [, ]. Nollakertoimet ovat ainoa mahdollisuus, sillä vaatimalla yhtälön toteutuminen pisteissä x, x ja x, saadaan yhtälöryhmä x, C x, C C + C3 x, C + C + C3 jonka ainoa ratkaisu on C C C3. Siis funktiojoukko, x, x } on ton välillä [, ]. Tapa. Muodostetaan derivoimalla lisää yhtäpitäviä yhtälöitä C y (x) + C y (x) + C3 y3 (x) C + C x + C y (x) + C y (x) + C3 y3 (x) C + C y (x) + C y (x) + C3 y3 (x) lineaarisesti riippuma- C3 x C3 x C3,,. Yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on C C C3. Funktiojoukko, x, x } on lineaarisesti riippumaton välillä [, ]. Esim 79 Osoita, että funktiot y (x) sin x, y (x) cos x ja y3 (x) 3 sin x + cos x ovat lineaarisesti riippuvat jokaisella välillä I R. Esim 8 Kahden funktion lineaarinen riippumattomuus. Osoita, että kaksi funktiota ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos niiden osamäärä on identtisesti vakio. 54

58 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Lineaariyhtälön ratkaisujoukon rakenne Lineaariyhtälön ratkaisujoukolla on algebrallinen rakenne, jonka ymmärtäminen on keskeistä jatkon kannalta. Täydellisen lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen voidaan jakaa osatehtäviin, jotka ovat homogeeniyhtälön yleisen ratkaisun määrääminen ja täydellisen yhtälön jonkin ratkaisun määrääminen. Epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä ei voida luokitella homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhtälöihin. 7 Lause 6 Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R. Tällöin homogeeniyhtälöllä y + a(x)y + b(x)y on olemassa kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua y (x) ja y (x) välillä I. Perustelu: Olkoon x I. Kertoimet a(x) ja b(x) ovat jatkuvia funktioita välillä I, joten lauseen 4 mukaan homogeeniyhtälön alkuarvotehtävillä y + a(x)y + b(x)y, x I, y + a(x)y + b(x)y, x I, y(x ), y(x ), y (x ), y (x ), on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut y ja y välillä I. Alkuehtojen y (x ), y (x ) ja y (x ), y (x ) vuoksi y ja y ovat lineaarisesti riippumattomia, mikä seuraa suoraan lineaarisen riippumattomuuden määritelmästä Lineaarinen riippumattomuus ja Wronskin determinantti Määritelmä 7 Välillä I R määriteltyjen funktioiden y ja y Wronskin determinantti on funktio y (x) y (x) W (y, y ; x) y (x)y (x) y (x)y (x). y (x) y (x) Esim 8 Keskeisiä Wronskin determinantteja. Laske Wronskin determinantti, kun a) y (x) eλx ja y (x) x eλx : W (y, y, x) y y y eλx y λ eλx eλx x eλx eλx ( eλx + xλ eλx ) λ eλx x eλx eλx. + xλ eλx b) y (x) eαx cos(βx) ja y (x) eαx sin(βx): y y eαx cos(βx) eαx sin(βx) αx αx αx y y α e cos(βx) β e sin(βx) α e sin(βx)+β eαx cos(βx) αx βe cos (βx) + β eαx sin (βx) β eαx. W (y, y, x) Lause 7 Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R. Tällöin homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y ratkaisut y (x) ja y (x) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I jos ja vain jos W (y, y ; x) kaikilla x I. y (x) y (x) y (x)y (x) y (x)y (x), y (x) y (x) josta saamme derivoimalla W (y, y, x) y y + y y y y y y y y y y. Nyt yi (x), i, on yhtälön ratkaisu, joten yi a(x)yi b(x)yi, i,. Sijoittamalla nämä edelliseen Wronskin determinantin derivaatan lausekkeeseen saamme Perustelu: Wronskin determinantti on W (y, y, x) W (y, y, x) y ( a(x)y b(x)y ) ( a(x)y b(x)y )y a(x)(y y y y ) a(x)w (y, y, x) kaikilla x I. 7 Välikoeanalyysi: "On raju taas SIK. OTIT osaa. Soti toki SS-Aatu. Jarno." 55

59 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Toisin sanoen Wronskin determinantti toteuttaa differentiaaliyhtälön W W a(x)w ln W a(x) W a(x) x a(x) + C. x Funktio W on erikoisratkaisu, joten käyräparvi W W (y, y, x) C exp( a(x) ) sisältää kaikki ratkaisut. Jos Wronskin determinantilla on nollakohta x I, niin Wronskin determinantti toteuttaa alkuarvotehtävän W (y, y, x) a(x)w (y, y, x), W (y, y, x ). Alkuehto voi toteutua ainoastaan arvolla C. Jos Wronskin determinantilla on nollakohta välillä I, niin Wronskin determinantti on identtisesti nolla välillä I Ratkaisujen perusjärjestelmä ja lineaarinen riippumattomuus Määritelmä 8 Jos funktiot y ja y ovat homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, niin sanomme, että y ja y muodostavat homogeeniyhtälön ratkaisujen perusjärjestelmän, mikäli jokainen homogeeniyhtälön ratkaisu y voidaan esittää muodossa y(x) C y (x) + C y (x) eli y on funktioiden y ja y lineaarikombinaatio eli lineaarinen yhdistely. Tällöin homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) C y (x) + C y (x). Lause 8 Lineaarinen riippumattomuus ja ratkaisujen perusjärjestelmä. Olkoot a(x) ja b(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y ja y kaksi homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y lineaarisesti riippumatonta ratkaisua välillä I. Tällöin y ja y muodostavat ratkaisujen perusjärjestelmän. Perustelu: Olkoon homogeeniyhtälön ratkaisupari y, y } lineaarisesti riippumaton. Lauseen 7 mukaan Wronskin determinantti W (y, y ; x) kaikilla x I. Olkoon y mielivaltainen homogeeniyhtälön ratkaisu ja olkoon x I. Merkitään y(x ) α ja y (x ) β. Tällöin yhtälöparilla C y (x ) + C y (x ) α, C y (x ) + C y (x ) β, on yksikäsitteinen ratkaisu C, C }, sillä W (y, y ; x ). Funktiot y ja C y + C y ovat alkuarvotehtävän y + a(x)y + b(x)y, x I, y(x ) α, y (x ) β, ratkaisuja. Lauseen 4 mukaan alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen, joten y(x) C y (x)+ C y (x) kaikilla x I. Lause 9 Olkoot a a(x), b b(x) ja f f (x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y y (x) ja y y (x) eräs homogeeniyhtälön y +a(x)y +b(x)y ratkaisujen perusjärjestelmä. Jos funktio y y (x) on jokin epähomogeenisen yhtälön y +a(x)y +b(x)y f (x) yksityisratkaisu välillä I, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) yh (x) + y (x) C y (x) + C y (x) + y (x), jossa C ja C ovat mielivaltaisia reaalisia vakioita. Perustelu: Olkoon y jokin täydellisen yhtälön ratkaisu. Tällöin erotus y y on homogeeniyhtälön ratkaisu ja se voidaan esittää perusjärjestelmän avulla muodossa y y C y + C y. Täten y voidaan esittää muodossa y C y + C y + y. 56

60 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Harjoitustehtäviä ax + by e ratkeavuutta. Miten ratkeavuus liittyy yhtälöryhmää cx + f a b vastaavaan determinanttiin ad cb. c d Totea, että funktiot y (x) ex, y (x) e x ja y3 (x) sinh x ovat homogeeniyhtälön y y ratkaisuja. Superpositioperiaatteen mukaan y(x) C ex + C e x + C3 sinh x on homogeeniyhtälön ratkaisu. Miksi yleistä ratkaisua ei esitetä ylläolevassa muodossa? y (x) y (x) Laske Wronskin determinantti W (y, y ; x) y (x)y (x) y (x)y (x), kun y (x) y (x) a) y (x) xλ ja y (x) xλ, λ λ, x >. b) y (x) xλ ja y (x) xλ ln x, x >. c) y (x) xα cos(β ln x) ja y (x) xα sin(β ln x), x >. Perustele lineaariyhtälön superpositioperiaate: Jos y (x),..., yn (x) ovat homogeeniyhtälön y +a(x)y + b(x)y ratkaisuja, niin y(x) C y (x) + + Cn yn (x) on myös ratkaisu. Totea, että epäpähomogeeniselle yhtälölle superpositioperiaate voidaan esittää myös muodossa: Jos y (x) on lineaariyhtälön y +a(x)y +b(x)y f (x) ratkaisu ja jos y (x) on lineaariyhtälön y +a(x)y + b(x)y f (x) ratkaisu niin funktio y(x) a y (x) + a y (x) on lineaariyhtälön y + a(x)y + b(x)y a f (x) + a f (x) ratkaisu. Totea, että funktiot y (x) x ja y (x) ovat differentiaaliyhtälön y y xy ratkaisuja mutta funktiot ( )y (x) x ja y (x) + y (x) x + eivät ole ratkaisuja. Miksi homogeeniyhtälön superpositioperiaate ei toimi? Ovatko funktiot et, et, e3t } lineaarisesti riippumattomia jokaisella välillä I R? Totea, että funktiot y (x), y (x) x + cos x, y3 (x) x + sin x ovat lineaarisesti riippuvat jokaisella välillä I R.. Tutki yhtälöparin (a, b, c, d R) Vakiokertoiminen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Vakiokertoiminen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on toisen kertaluvun lineaariyhtälön tärkeä erikoistapaus. Sen yleinen muoto on ay + by + cy f (x), jossa a, b, c R ja a. Lisäksi oletamme, että häiriöfunktio f (x) on jatkuva välillä I. Vastaavassa homogeeniyhtälössä häiriöfunktio merkitään nollaksi eli ay + by + cy. Täydellisen vakiokertoimisen yhtälön yleinen ratkaisu löydetään määräämällä ensin homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu. Lisäksi on löydettävä jokin täydellisen yhtälön ratkaisu. Lause Homogeeniyhtälön ay + by + cy yleinen ratkaisu saadaan karakteristisen yhtälön b ± b 4ac p(λ) aλ + bλ + c juurien λ a avulla seuraavasti: Jos λ λ R, niin y(x) C eλ x + C eλ x, Jos λ λ λ R, niin y(x) C eλx + C x eλx, Jos λ α ± iβ, niin y(x) eαx (C sin(βx) + C cos(βx)). Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää homogeeniyhtälön yleisen ratkaisun ja täydellisen yhtälön jonkin yksityisratkaisun summana. Toisin sanoen on tunnettava homogeeniyhtälön ratkaisujen perusjärjestelmä y (x), y (x)} ja jokin täydellisen yhtälön ay + by + cy f (x) ratkaisu y (x). Tällöin täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) yh (x) + y (x) C y (x) + C y (x) + y (x). Vakiot C ja C kiinnitetään alkuehdoilla. 57

61 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, Määräämättömien kertoimien menetelmä Menetelmää voidaan soveltaa vain vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin. Lisäksi menetelmää voidaan soveltaa vain tietyntyyppisiin, sovellusten kannalta keskeisiin häiriöfunktioihin, kuten polynomit f (x) B + B x Bn xn eksponenttifunktiot f (x) B ekx trigonometriset funktiot f (x) B sin(ωx) + B cos(ωx) tulomuotoinen häiriö f (x) ekx (B sin(ωx) + B cos(ωx)) Lause Määräämättömien kertoimien menetelmä. Olkoon differentiaaliyhtälön ay + by + cy f (x) homogeeniyhtälön karakteristinen polynomi p(λ) aλ +bλ+c. Seuraavat yritteet antavat ratkaisun vastaaville häiriöfunktioille. 8 häiriöfunktio f (x) yritefunktio y (x) ehto n n B + B x Bn x A + A x An x p() n x(a + A x An x ) p(), λ yksinkert. juuri x (A + A x An xn ) p(),λ kaksinkert. juuri B ekx A ekx p(k) kx xa e p(k), λ k yksinkert. juuri x A ekx p(k), λ k kaksinkert. juuri B sin(ωx) + B cos(ωx) A sin(ωx) + A cos(ωx) p(± iω) x(a sin(ωx) + A cos(ωx)) p(± iω) eαx (B sin(ωx) + B cos(ωx)) eαx (A sin(ωx) + A cos(ωx)) p(α ± iω) x eαx (A sin(ωx) + A cos(ωx)) p(α ± iω) Huomautus Määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan soveltaa myös ensimmäisen ja korkeamman kertaluvun vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin. Huomautus Summamuotoiselle häiriölle f (x) d f (x)+d f (x), d, d R yksityisratkaisu voidaan hakea kummallekin häiriöfunktiolle erikseen eli ratkaistaan erikseen yhtälöt + b y + c y a y f (x), a y + b y + c y f (x). Häiriöfunktiota f (x) d f (x) + d f (x) vastaava yksityisratkaisu on y (x) d y (x) + d y (x). Esim 8 Ratkaise määräämättömien kertoimien menetelmällä a) y + y + y e x, b) y + y + y e x, c) y + y + y x. Ratkaisu: Kohdissa a)-c) on sama homogeeniyhtälö. Homogeeniyhtälön y + y + y karakteristisen yhtälön λ + λ + juuren λ kertaluku on, joten homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on yh (x) C e x + C x e x. a) Häiriö on q(x) e x ja kerroin - eksponentissa ei ole karakteristisen yhtälön juuri. Yrite on y (x) A e x, josta y (x) A e x ja y (x) 4A e x. Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan ehto y + y + y 4A e x 4A e x + A e x A e x e x, kaikilla x. Oltava A, joten y (x) e x. Yleinen ratkaisu on (C, C R) y(x) yh (x) + y (x) C e x + C x e x + e x. 8 Anna kaavaa, kaavi karamelli. Oi, sioille Mara, kivaa kaavaa kanna. 58

62 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 b) Häiriö on q(x) e x ja kerroin - eksponentissa on karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri. Yrite on y (x) Ax e x, josta y (x) Ax e x +Ax e x ja y (x) Ax e x 4Ax e x + A e x. Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan ehto y + y + y Ax e x 4Ax e x + A e x Ax e x + 4Ax e x + Ax e x A e x e x, kaikilla x. On oltava A, joten A ja y (x) x e x. Yleinen ratkaisu on (C, C R) y(x) yh (x) + y (x) C e x + C x e x + x e x. c) Häiriö on q(x) x ja origossa ei ole karakteristisen yhtälön juuria, joten yrite on y (x) Ax+B ja y (x) A, y (x). Sijoittamalla yhtälöön y + y + y + A + Ax + B Ax + (A + B) x ja vaatimalla yhtälön toteutuminen kaikilla x saadaan yhtälöpari, jonka ratkaisu on A, B. Siis y (x) x ja yleinen ratkaisu on y(x) C e x + C x e x + x. Esim 83 Superpositioperiaate. Ratkaise täydellinen yhtälö y + y + y e x + 3 e x + 5x. Ratkaisu: Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on yh (x) C e x + C x e x. Häiriö on kolmen termin summa ja niitä vastaavat ratkaisut on laskettu edellisessä tehtävässä. Yleinen ratkaisu on y(x) C e x + C x e x + e x + 3 x e x + 5x, C, C R. Harjoitustehtäviä Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt määräämättömien kertoimien menetelmällä 8. u (t) + u (t) + u(t) sin(t), u() /5, u () 7/5 9. u (t) + u (t) + u(t) cos(t), u() /5, u () 7/5. a) u (t) 3u (t) + u(t) et cos(t), b) u (t) 3u (t) + u(t) et sin(t). a) y y ex b) y y + y ex. y y + y ex, y(), y () 3 3. y 4y + 3y cos(x) + 4 sin(x) 7.6. Cauchy-Eulerin differentiaaliyhtälö, homogeeniyhtälö Yleisessä tapauksessa toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä ei pystytä ratkaisemaan analyyttisesti. Cauchy-Eulerin yhtälö on eräs analyyttisesti ratkeava yhtälöluokka, jonka kertoimet eivät ole vakioita. Cauchy-Eulerin yhtälö on muotoa 9 ax y + bxy + cy f (x), jossa a, b, c R ja a. Oletamme, että f (x) on jatkuva kun x. Tarkasteluissa rajoitumme tapaukseen x >. Cauchy-Eulerin homogeeniyhtälö ax y + bxy + cy, ratkaistaan yritteellä y(x) xλ, jossa λ C (kompleksiluku). Sijoittamalla yritteen ja yritteen derivaatat yhtälöön saamme eksponentille λ ehdoksi karakteristisen yhtälön aλ(λ ) + bλ + c, jonka ratkaisu määrää potenssin yritteelle y(x) xλ. 9 Elli! Cusi-Euler ivallasi ilo. Siiri iso. Liisalla vire. Lue isucille. 59

63 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Lause Homogeeniyhtälön ax y + bxy + cy, x > yleinen ratkaisu saadaan karakteristisen yhtälön aλ(λ ) + bλ + c juurien avulla seuraavasti: Jos λ λ R, niin y(x) C xλ + C xλ, Jos λ λ λ R, niin y(x) C xλ + C xλ ln x, Jos λ α ± iβ, niin y(x) xα (C sin(β ln x) + C cos(β ln x)). Esim 84 Kaksi erisuurta reaalijuurta. Ratkaise differentiaaliyhtälö x y + xy y, x >. Ratkaisu: Cauchy-Eulerin homogeeniyhtälö ratkeaa yritteellä y xλ. Laskemalla yritteestä derivaatat y λxλ, y λ(λ )xλ ja sijoittamalla saadaan x y + xy y x λ(λ )xλ + xλxλ xλ xλ [λ(λ ) + λ ]. On oltava voimassa Cauchy-Eulerin yhtälön karakteristinen yhtälö λ(λ )+λ λ +λ. Sen juuret ovat λ ja λ, joten yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) C x + C x. Esim 85 Reaalinen kaksoisjuuri. Ratkaise differentiaaliyhtälö x y 3xy + 4y, x >. Ratkaisu: Yrite y xλ ja sen derivaatat yhtälöön sijoittamalla saadaan x y 3xy + 4y x λ(λ )xλ 3xλxλ + 4xλ xλ [λ(λ ) 3λ + 4]. On oltava voimassa Cauchy-Eulerin yhtälön karakteristinen yhtälö λ(λ ) 3λ+4 λ 4λ+4. Sen juuret ovat λ, joten yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) C x + C x ln x. Esim 86 Kompleksijuuret. Ratkaise differentiaaliyhtälö x y xy + 4y, x >. Yleinen ratkaisu on y(x) C x sin( 3 ln x) + C x cos( 3 ln x). Esim 87 Puhdas imaginaariluku juurena. Ratkaise differentiaaliyhtälö x y +xy +3y, x >. Yleinen ratkaisu on y(x) C sin( 3 ln x) + C cos( 3 ln x). Harjoitustehtäviä 4. Määrää differentiaaliyhtälöiden x y + 3xy + 5y, x > ja y + y + 5y yleiset ratkaisut. 5. Etsi differentiaaliyhtälön x y +xy +y, x > yleinen ratkaisu. Minkä yksityisratkaisun kuvaaja sivuaa positiivista x-akselia yksikön etäisyydellä origosta? 7.7. Kertaluvun pudotus Tarkastelemme yleistä toisen kertaluvun normaalimuotoista homogeeniyhtälöä y + a(x)y + b(x)y, x I. Oletamme, että tunnemme jonkin homogeeniyhtälön ratkaisun y y (x) välillä I eli on voimassa differentiaaliyhtälö y + a(x)y + b(x)y, x I. Toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu voidaan määrätä käyttäen yritettä y(x) z(x)y (x). Laskemalla yritteen lausekkeesta derivaatat y z y + zy, y z y + z y + zy, ja sijoittamalla ne yhtälöön saamme funktiolle z differentiaaliyhtälön z y + (y + a(x)y )z. Jos y (x) kaikilla x I, niin voimme kirjoittaa edellisen yhtälön muotoon y z + ( y + a(x))z, joka palautuu sijoituksella z u, z u ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöksi y u + ( y + a(x))u, funktion u suhteen. Kyseinen yhtälö on lineaariyhtälö ja se ratkeaa joko separoimalla tai käyttäen integroivan tekijän menetelmää. 6

64 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 88 Vakiokertoiminen yhtälö, reaalinen kaksoisjuuri. Ratkaise yhtälö y 6y + 9y. Yrite y eλx johtaa karakteristiseen yhtälöön λ 6λ + 9, jonka juuret ovat λ 3. Yrite kertaluvun pudotusta varten on y(x) z(x) e3x, josta derivoimalla lasketaan y z e3x + 3z e3x, y z e3x + 6z e3x + 9z e3x. Sijoittamalla yhtälöön saadaan y 6y + 9y z e3x + 6z e3x + 9z e3x 6(z e3x + 3z e3x ) + 9z e3x z e3x, kaikilla x. On oltava voimassa z, josta saadaan integroimalla kaksi kertaa z C + C x. Yleinen ratkaisu on y(x) C e3x + C x e3x. Esim 89 Reaalinen kaksoisjuuri. Ratkaise yhtälö x y 3xy + 4y, x >. Yrite y xλ johtaa karakteristiseen yhtälöön λ 4λ + 4, jonka juuret ovat λ. Uusi yrite kertaluvun pudotusta varten on y zx, josta derivoimalla lasketaan y z x + zx, y z x + 4z x + z. Sijoittamalla yhtälöön saadaan x y 3xy + 4y x (z x + 4z x + z) 3x(z x + zx) + 4zx x (z x + 4z x + z 3xz 6z + 4z) x (z x + xz ), kaikilla x. Oltava voimassa z x +xz, joka palautuu sijoituksella u z ensimmäisen kertaluvun yhtälöön u x + xu. Kirjoitetaan yhtälö lineaariyhtälön normaalimuotoon u + x u. Integroiva tekijä on p(x) x. Integroivan tekijän menetelmän mukaan ( Huom! voi ratkaista myös separoimalla.) d xu C xz. (xu) x Ratkaisemalla z :n suhteen ja integroimalla saamme z(x) Cx C ln x + C. Yleinen ratkaisu on y(x) C x ln x + C x. Esim 9 Osoita, että y (x) x on homogeeniyhtälön ( + x )y xy + y ratkaisu. Laske kertaluvun pudotuksella yleinen ratkaisu. Sijoittamalla yhtälöön nähdään, että y (x) x on homogeeniyhtälön ratkaisu. Yrite on y zx. Lasketaan derivaatat, sijoitetaan ja sievennetään. Saadaan yhtälö (+x )xz +z. Sijoitetaan u z ja ratkaistaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöstä ( + x )xu + u funktio u C3 (x + ) z. Integroimalla saadaan z C3 ( x + x) + C. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon y(x) C x + C (x ), jossa (C C3 ). Harjoitustehtäviä 6. Ratkaise differentiaaliyhtälö y + 6y + 9y käyttäen kertaluvun pudotusta toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun määräämiseksi. 7. Ratkaise differentiaaliyhtälö 9x y + 3xy + y käyttäen kertaluvun pudotusta toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun määräämiseksi. 8. Osoita, että y (x) x on homogeeniyhtälön x y x(+x)y +(+x)y ratkaisu. Laske kertaluvun pudotuksella yleinen ratkaisu Vakioiden variointi Vakioiden variointi on yleinen menetelmä täydellisen normaalimuotoisen lineaariyhtälön y + a(x)y + b(x)y f (x), x I ratkaisun konstruoimiseksi, kun tunnetaan homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y ratkaisujen perusjärjestelmä y (x), y (x)} välillä I. Tällöin homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on yh (x) C y (x) + C y (x), jossa C, C R. Teorian mukaan täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa y(x) yh (x) + y (x) C y (x) + C y (x) + y (x), C, C R. 6

65 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 jossa y (x) on täydellisen yhtälön jokin ratkaisu. Luonnollinen yrite on täydellisen yhtälön ratkaisun etsiminen muodossa y (x) C (x)y (x) + C (x)y (x), eli käyttää vakioiden variointia. 3 Funktioita on kaksi kappaletta, joten niiden kiinnittämiseksi tarvitaan kaksi ehtoa. Yksi ehto saadaan sijoittamalla yrite differentiaaliyhtälöön ja vaatimalla että yhtälö toteutuu. Toinen ehto ns. lisäehto voidaan valita. Lasketaan yritteen derivaatta y (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + C (x)y (x) + C (x)y (x). Lisäehdoksi on luonnollista valita yhtälö C (x)y (x) + C (x)y (x), sillä tällöin yritteen ensimmäinen derivaatta sievenee muotoon y (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) ja toista derivaattaa laskettaessa ei pääse muodostumaan funktioiden C (x) ja C (x) korkeampia derivaattoja. Lasketaan myös toinen derivaatta (käyttäen hyväksi lisäehtoa), jolloin y (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + C (x)y (x) + C (x)y (x). Seuraavaksi yrite y ja sen derivaatat sijoitetaan yhtälöön y + a(x)y + b(x)y f (x) ja käytetään hyväksi sitä, että y ja y ovat homogeeniyhtälön ratkaisuja y + a(x)y + b(x)y C (x)y + C (x)y + C (x)y + C (x)y +a(x)[c (x)y + [C (x)y ] + b(x)[c (x)y ] + C (x)y [ ] C (x)y + C (x)y +C (x) y + a(x)y + b(x)y +C (x) y + a(x)y + b(x)y C (x)y + C (x)y f (x). Funktioille C (x) ja C (x) saadaan ehdoksi yhtälöpari C (x)y + C (x)y, C (x)y + C (x)y f (x), josta ratkaistaan derivaatat C (x) f (x)y (x), W (y, y ; x) C (x) f (x)y (x). W (y, y ; x) Kerroinfunktiot saadaan integroimalla (tarvitaan jokin kiinnitetty integraalifunktio) C (x) x f (t)y (t) dt, W (y, y ; t) C (x) x f (t)y (t) dt. W (y, y ; t) Täydellisen yhtälön eräällä ratkaisulla on lauseke y (x) y (x) x f (t)y (t) dt + y (x) W (y, y ; t) x f (t)y (t) dt W (y, y ; t) ja täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) yh (x) + y (x). Huomautus Seuraavia näkökohtia on hyvä miettiä. Vakioiden variointia varten pitää järjestää yhtälö normaalimuotoon. Näin on varsinkin siinä tapauksessa, jos opettelet ulkoa yhtälöparin kertoimille. Tällä ei ole merkitystä, mikäli johdat aina yhtälöparin. 3 Tyy? Avaa kaavaa kamala kisälli, millä sika. Lamakaavaa: kaava y,, y(t). 6 ]

66 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Yhtälöpari on aina yksikäsitteisesti ratkeava, sillä Wronskin determinantti W (y, y, x) kaikilla x I. Vakioiden variointi voidaan yleistää kertaluvun n lineaariaariyhtälöille. Esim 9 Ratkaise differentiaaliyhtälö vakioiden varioinnilla y y + x. Homogeeniyhtälö on y y. Sen yleinen ratkaisu on y H (x) C + C e x. Määrätään eräs ratkaisu yritteellä y (x) C (x) + C (x) e x. Yrite johtaa yhtälöpariin C (x) + C (x) ex, C (x) ex + x, joka ratkaistaan ja lasketaan tarvittavat integraalifunktiot C (x) ( + x ) e x, C (x) ( + x ), C (x) x ( + x ) e x ( 3 x x ) e x, C (x) x ( + x ) x 3 x3. Täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on y (x) C (x) + C (x) e x 3 3x x 3 x3. Yleinen ratkaisu on y(x) C + C e x 3 3x x 3 x3 C 3 + C e x 3x x x3 3. Esim 9 Ratkaise differentiaaliyhtälö y + y sin x. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on y H (x) C sin x + C cos x. Täydellinen yhtälö on normaalimuodossa. Määrätään eräs ratkaisu yritteellä y (x) C (x) sin x + C (x) cos x. Yrite johtaa yhtälöpariin (kaava: sin x + cos x ) C (x) sin x + C (x) cos x, C (x) cos x + C (x)( sin x) sin x, sin x cos x cos x sin x joka ratkaistaan ja lasketaan tarvittavat integraalifunktiot C (x) cos x sin x, C (x) x cos x sin x ln sin x, (x), C (x) x x. C Täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on y (x) C (x) sin x + C (x) cos x (ln sin x ) sin x x cos x. Yleinen ratkaisu on funktio y(x) C sin x + C cos x + sin x ln sin x x cos x. Esim 93 Osoita, että funktiot y (x) x ja y (x) (x + ) muodostavat homogeeniyhtälön (x + )(x + )y + xy y ratkaisujen perusjärjestelmän sopivilla väleillä. Määrää epähomogeenisen yhtälön (x + )(x + )y + xy y (x + ) yleinen ratkaisu. Esim 94 Ratkaise vakioiden varioinnilla täydellinen yhtälö x y 4xy + 6y x. Homogeeniyhtälö on x y 4xy + 6y. Sijoittamalla yrite y x λ yhtälöön saadaan x y 4xy + 6y x λ(λ )x λ 4xλx λ + 6x λ x λ [λ(λ ) 4λ + 6]. On oltava voimassa Cauchy-Eulerin yhtälön karakteristinen yhtälö λ(λ ) 4λ+6 λ 5λ+6 Sen juuret ovat λ 3 ja λ, joten homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on y H (x) C x 3 +C x. Saatetaan täydellinen yhtälö x y 4xy + 6y x normaalimuotoon y 4 x y + 6 y x 3 ja x määrätään eräs ratkaisu yritteellä y (x) C (x)x 3 + C (x)x. Yrite johtaa yhtälöpariin C (x)x 3 + C (x)x, C (x)3x + C (x)x x 3, 3 x x joka ratkaistaan ja lasketaan tarvittavat integraalifunktiot x C (x) x, x 3 C (x) x, C (x) x 4, C (x) x 5, C (x) x x 4 3 x 3, C (x) x x 5 4 x 4. Täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on y (x) C (x)x 3 + C (x)x ( 4 x 4 )x x 3 x joten yleinen ratkaisu on y(x) C x 3 + C x + x. x, 63

67 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Harjoitustehtäviä 9. Ratkaise vakioiden varioinnilla differentiaaliyhtälöt a) y (x) 3y (x) + y(x) e x, b) x y + 3xy + 34 y x, c) x y xy + y x.. Määrää differentiaaliyhtälön y + 5y + 4y e x yleinen ratkaisu sekä vakioiden varioinnilla että määräämättömien kertoimien menetelmällä.. Määrää differentiaaliyhtälön y + y + y + x yleinen ratkaisu ja se ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(), y (). Saat valita menetelmän.. Osoita, että y (x) x ja y (x) x ex ovat homogeeniyhtälön x y x( + x)y + ( + x)y ratkaisuja. Laske vakioiden varioinnilla yhtälön x y x( + x)y + ( + x)y x3 yleinen ratkaisu Toisen kertaluvun yhtälön muuntamisesta Kirjallisuudessa sanotaan Eulerin lineaariyhtälöksi myös yleisempää muotoa olevaa yhtälöä (Ax + B) y + D(Ax + B)y + Cy (Ax + B) d y + D(Ax + B) + Cy, jossa kertoimet A, B, C, D ovat vakioita. Yhtälö palautuu yksinkertaisemmaksi differentiaaliyhtälöksi riippumattoman muuttujan vaihdolla t Ax + B x A (t B). Lasketaan ketjusäännön avulla derivaatat (y y(t(x)), jolloin dt A, dt dt d y d y d A ( ) A. dt dt Sijoittamalla saadaan uusi differentiaaliyhtälö A t d y + C. + DAt dt dt Merkitsemällä a A, b AD, c C tehtävä palautuu edellä käsiteltyyn Cauchy-Eulerin yhtälöön at d y + by, + bt dt dt joka ratkaistaan ja tulokseen sijoitetaan t Ax + B. Esim 95 Riippumattoman muuttujan vaihto. Ratkaise differentiaaliyhtälö (x + ) y + (x + )y + y, x >. Yleinen ratkaisu on y(x) C (x + ) 4 sin( 3 4 ln(x + )) + C (x + ) 4 cos( Harjoitustehtäviä 3 4 ln(x + )), x >. 3. Ratkaise yhtälö xy y 4x3 y x3. Opastus: Muuttujan vaihto x t. Sovelluksia Harmoninen värähtelijä Tarkastelemme toisen kertaluvun vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöiden sovelluksena harmonista värähtelijää. Otamme mallitehtävän, jossa tutkimme jousi-massa-systeemin liikettä vaakasuoralla tasolla. Olkoon t aika, x x(t) massapisteen siirtymä ja m kappaleen massa. Paikkakoordinaatiston origoksi valitaan jousen lepotilan mukainen massapisteen paikka. Oletamme, että ) Jousivoima on suoraan verrannollinen massapisteen etäisyyteen origosta. Verrannollisuuskerroin k on ns. jousivakio. ) Kitkavoima on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen. Verrannollisuuskerroin c on ns. vaimennusvakio. 3) Oletamme, että massapisteeseen vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva pakkovoima F F (t). 64

68 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Näillä oletuksilla systeemin liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (Newtonin II laki) mx kx cx + F tai mx + cx + kx F. Jakamalla puolittain kappaleen massalla ja merkitsemällä p yhtälön muotoon 3 F x + px + ω x m. c m, ω k m, voimme kirjoittaa Tarkastelemme sekä vaimenemattoman (p ) että vaimennetun (p ) värähtelijän sekä vapaita ( F ), että pakotettuja värähtelyjä (F ). Pakotettujen värähtelyjen tapauksessa rajoitumme tapaukseen, jossa pakkovoima on harmoninen eli se on muotoa F F sin(ωt + φ). Huomaa, että tarkastelu soveltuu sellaisenaan virtapiirien teoriaan Vaimenematon harmoninen värähtelijä. Vapaat värähtelyt Nyt kitkaa ja pakkovoimaa ei esiinny, joten liikeyhtälö on x + ω x. Karakteristisen yhtälön λ + ω juuret ovat λ ± iω, joten homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) C sin(ω t) + C cos(ω t). Vakiot C ja C kiinnitetään alkuehtojen avulla. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa myös muotoon x(t) A sin(ω t + φ), jossa yhteys edelliseen esitysmuotoon saadaan kaavoista A C + C, cos φ CA, sin φ CA tai tan φ C C. Tämä seuraa summatun kulman sinin kaavasta sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β, jota soveltamalla saadaan A sin(ω t + φ) A cos φ sin(ω t) + A sin φ cos(ω t) C sin(ω t) + C cos(ω t). Ylläolevien esitysten kertoimien välinen yhteys seuraa yhtälöparista (ks. PK I) A cos φ C, A sin φ C. Tässä A on värähtelyn amplitudi, ωπ on värähtelyn taajuus, (jousen ominaistaajuus), T ωπ π m k on värähsaika, ω t + φ on vaihekulma hetkellä t ja φ on vaihekulman alkuarvo eli vaihekulma hetkellä t Vaimenematon harmoninen oskillaattori. Pakotetut värähtelyt Seuraavassa tarkastelemme tilannetta, jossa jousi-massa-systeemiä häiritään periodisesti. Olkoon häiriö muotoa F (t) F cos(ωt), jolloin liikeyhtälö on x + ω x F cos(ωt). m ω Differentiaaliyhtälössä π on pakkovoiman taajuus (häiriötaajuus) ja ωπ on jousen ominaistaajuus. Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan laskemalla yhteen homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu ja täydellisen yhtälön eräs ratkaisu. Täydellisen yhtälön erään ratkaisun muoto riippuu siitä, tapahtuuko häirintä jousen ominaistaajuudella vai ei. 3 Välikoeanalyysi: "Ilo, onni kai? Sata masentavaa. Kaavat ne samat. Asiakin? No oli!" 65

69 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Tapaus ω ω : Tällöin yrite täydellisen yhtälön ratkaisuksi on x (t) A sin(ωt) + B cos(ωt), x (t) Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x (t) Aω sin(ωt) Bω cos(ωt). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen, josta seuraa A ja B Tällöin yleinen ratkaisu on x(t) C sin(ω t) + C cos(ω t) + F m (ω ω ) cos(ωt). F m(ω ω ). Tarkastelemme lähemmin tilannetta, jossa massapiste lähtee liikkeelle levosta. Alkuehdot ovat x() ja x () ja yleisessä ratkaisussa esiintyvät vakiot saadaan yhtälöparista Alkuarvotehtävän ratkaisu on x() C + F m, ω ω x () C ω, F x(t) m(ω ω ) [ cos(ωt) cos(ω t)] A(ω, t) sin( ω +ω t), jossa värähtelyn amplitudi riippuu ajasta eli A(ω, t) C F m(ω ω ), C. F m(ω ω ) sin( ω ω t) sin( ω +ω t) F m(ω ω ) sin( ω ω t). Tapaus ω ω. Sanomme, että systeemi on resonanssissa. Yrite täydellisen yhtälön ratkaisuksi on x (t) t(a sin(ω t) + B cos(ω t)), x (t) A sin(ω t) + B cos(ω t) + t(aω cos(ω t) Bω sin(ω t)), x (t) Aω cos(ω t) Bω sin(ω t) + t( Aω sin(ω t) Bω cos(ω t)). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen. Tällöin yleinen ratkaisu on x(t) C sin(ω t) + C cos(ω t) + F t sin(ω ω t), A sin(ω t + φ) + F t sin(ω mω t) Vaimennettu harmoninen oskillaattori. Vapaat värähtelyt Nyt malliin on lisätty kitkan vaikutus mutta pakkovoimaa ei esiinny. Liikeyhtälö on x + px + ω x. Karakteristisen yhtälön λ + pλ + ω juuret ovat λ p ± p ω, joten homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleisen ratkaisun muoto riippuu diskriminantin D p ω arvosta. On tarkasteltava erikseen tapaukset D >, D ja D <. ) Tapaus D >, on ns. voimakas vaimennus eli ylikriittinen vaimennus. Tällöin karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta negatiivista reaalijuurta, λ < ja λ <. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) C e λt + C e λt, kun t. Massapisteen nopeudeksi saadaan derivoimalla x (t) C λ e λ t + C λ e λ t. Derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran. ) Tapaus D, on ns. kriittinen vaimennus. Tällöin karakteristisella yhtälöllä on reaalinen toisen kertaluvun juuri λ λ p ja homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) C e pt + C t e pt e pt (C + C t), kun t. 66

70 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Massapisteen nopeus on x (t) ( p) e pt (C + C t) + e pt C e pt (C pc pc t). Kuten edellä derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta aluessa t >, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran. 3) Tapaus D <, on ns. heikko vaimennus eli alikriittinen vaimennus. Tällöin karakteristisen yhtälön juuret ovat liittokompleksiluvut λ p± i ω p p± iω, joilla on negatiivinen reaaliosa. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) e pt (C sin(ω t) + C cos(ω t)) A e pt sin(ω t + φ), kun t. Muodostuva värähtely on vaimenevaa, sillä kertoimena oleva eksponenttifunktio pienentää amplitudia ajan myötä. Tästä huolimatta puhutaan vaimenevan värähtelijän värähsajasta ja taajuudesta. Värähtely on periodista siinä mielessä, että siirtymän peräkkäiset nollakohdat ovat x(t) sin(ω t + φ) ω t + φ mπ, joten massapisteen tasapainoasema ohitetaan ajanhetkillä t t m mπ φ ω, m,.... Värähsaika on T t m+ t m π π ω ω p π ω (p/ω ) > π. ω p Siis vaimennus pidentää värähsaikaa. (On rajoituttu tapaukseen D < eli p < ω eli ω <.) Vaimenemisen nopeutta kuvaa ns. logaritminen dekrementti Λ πp ω. Oheisessa kuvassa on piirretynä tyypillisiä vaimennetun harmonisen värähtelijän ratkaisukäyriä. Ylinnä voimakas vaimennus, y + 4y + 3y. Keskellä kriittinen vaimennus, y + 4y + 4y. Alimmaisena heikko vaimennus, y + 4y + 65y Vaimennettu harmoninen värähtelijä. Pakotetut värähtelyt Tarkastelemme tilannetta, jossa jousi-massa-systeemiä häiritään jaksollisesti. Malliin on lisätty kitkan vaikutus ja pakkovoima on muotoa F (t) F cos(ωt), jolloin liikeyhtälö on x + px + ω x F m cos(ωt). 67

71 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on laskettu edellä. Määrätään täydellisen yhtälön eräs ratkaisu yritteellä x (t) A sin(ωt) + B cos(ωt), x (t) Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x (t) Aω sin(ωt) Bω cos(ωt). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen, x + px + ω x [ + Aω Aω pωb] sin(ωt) + [ + pωa + Bω Bω ] cos(ωt) cos(ωt) kaikilla t, F m josta seuraa kertoimille yhtälöpari (ω ω )A pωb, pωa + (ω ω )B F m, Tällöin täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on F m (pω) A B x (t) sin(ωt) + (pω) +(ω ω ) F m sin(ωt + φ (pω) ) +(ω ω ) ja täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on F m (pω), (pω) +(ω ω ) F m (ω ω ) (pω) +(ω ω ). F m (ω ω ) (pω) +(ω ω ) cos(ωt) x(t) e pt (C sin(ω t) + C cos(ω t)) + F m (pω) sin(ωt) A e pt sin(ω t + φ) + + F m (ω (pω) +(ω ω ) cos(ωt) ω ) (pω) +(ω ω ) F m (pω) +(ω ω ) sin(ωt + φ ) F m (pω) +(ω ω ) sin(ωt + φ ), kun t. Pitkän ajan kuluttua eli suurilla t:n arvoilla pakotetun värähtelyn taajuus on likimain ω π ja värähsaika on likimain π ω. Edelleen värähtelyn amplitudi riippuu pakkovoiman kulmataajuudesta seuraavasti F m A(ω) + (pω) + (ω ω ). Edellä olevasta kaavasta voidaan määrätä vaimenevan värähtelijän resonanssitaajuus. Tämä tapahtuu laskemalla se kulmataajuuden arvo, joka maksimoi amplitudin A(ω). Ääriarvoa määrättäessä riittää etsiä derivaatan avulla funktion g(ω) (pω) + (ω ω ) ääriarvot. Harjoitustehtäviä 4. Kattoon kiinnitettyyn jouseen, jousivakio k >, kiinnitetään massakappale m, vaimennuskerroin r >. a) Johda seuraava liikeyhtälö y (t) + r m y (t) + k m y(t) g, Tässä g on maanvetovoiman kiihtyvyys ja y(t) poikkeama jousen lepotilasta ja kitka on nopeuteen verrannollinen. b) Määritellään ajasta riippuva funktio x(t) y(t) mg k. Minkä differentiaaliyhtälön x(t) toteuttaa? Mikä on x(t):n fysikaalinen tulkinta? 5. Lämmitysjärjestelmä pitää DI:n asunnon lämpötilan 4 C. Illalla klo 8. lämmitysjärjestelmä menee rikki. Kello 4. asunnon lämpötila on C. Newtonin lämmönjohtumislain mukaan kappaleen lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen kappaleen lämpötilan ja kappaletta ympäröivän aineen lämpötilan erotukseen. Määrää asunnon lämpötilaa kuvaava funktio ja laske asunnon lämpötila klo 6. aamulla, kun oletetaan, että ulkolämpötila muuttuu kaavan T (t) cos ( ) πt 4 ( C) mukaisesti. Ajan yksikkö on tunteja ja aika-akselin nollakohdaksi on valittu klo 8. illalla. Avustukset: e ax cos(ωx) eax a +ω (a cos(ωx) + ω sin(ωx)). Lisäksi DI osasi määrätä likiarvon lämmönjohtumiskertoimelle. Tulos on k.348. Ratkaise tehtävä integroivan tekijän menetelmällä ja määräämättömien kertoimien menetelmällä. 6. Ratkaise yhtälö u (t) + u (t) + 7 6u(t) sin(ωt) eri ω:n arvoilla ja kuvaile ratkaisun käyttäytymistä. Jos u(t) on jousi-massa-systeemin poikkeama lepotilasta, niin mikä on systeemin maksimipoikkeama eri ω:n arvoilla. Tarkastele tilannetta suurilla t:n arvoilla. 68

72 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, LAPLACEN MUUNNOS: ASKELFUNKTIO JA IMPULSSI Paloittain määriteltyjen funktioiden muuntuminen Määritellään Heavisiden yksikköaskelfunktio H siten, että, jos t >, H(t), jos t <. Siirros Heavisiden yksikköaskelfunktion muuttujapisteessä vastaa määrittelyä, jos t > c, H(t c), jos t < c. cs. se Helpolla laskulla saadaan, että L(H(t c)) Tuloksen yleistys on seuraava lause. Lause 3 Siirros t-alueessa (aikaviive, viivästys). Jos L(f ) F (s) niin L(H(t c)f (t c)) e cs F (s), L ( e cs F (s)) H(t c)f (t c). Perustelu: Tulos seuraa muuttujan vaihdosta u t c L(H(t c)f (t c)) c st f (t c) e dt f (u) e (u+c)s du e cs F (s). Esim 96 Tutki seuraavia esimerkkejä. Piirrä kuviot. L ( 3 e 3s ) (t 3) H(t 3) s L( cos(t) cos((t π))h(t π)) (t 3), t > 3,, t 3. πs s( e ) s +4 Esim 97 Paloittain määritelty oikea puoli Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla alkuarvotehtävä t, t <, y + y + y f (t), t, y() y (). Ratkaisu: Muunnetaan yhtälö. Merkitään L(y) Y (s), jolloin saadaan L(y + y + y) L(f ) F (s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + y + y) L(y ) + L(y ) + L(y) s Y (s) y () sy() + (sy (s) y()) + Y (s) (s + s + )Y (s). Oikean puolen muunnoksen voi laskea määritelmän avulla eli integraalista F (s) f (t) e st dt te st dt + e st dt... e s. s s Toinen tapa on askelfunktion ja kaavaston käyttäminen. Ensin lausutaan oikea puoli askelfunktiota hyväksi käyttäen eli f (t) t[h(t) H(t )] + H(t ) th(t) (t )H(t ). 69

73 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Nyt muunnos saadaan käyttämällä lineaarisuutta ja laskukaavoja F (s) L(f (t)) L(tH(t)) L((t )H(t )) s s e s. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö (s + s + )Y (s) F (s) e s, s s joka ratkaistaan s-alueessa Y (s) e s ( ) e s. (s + ) s s s (s + ) s (s + ) Osamurtokehitelmällä nähdään, että G(s) : s (s + +, + + ) s s s + (s + ) joten voimme määritellä apufunktion g(t) L ( s (s+) ) + L ( (s+) L ( s ) + L ( s ) + L ( s+ ) ) + t + e t + t e t. Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: ( e s ) g(t) g(t )H(t ) y(t) L ( s (s+) ) L s (s+) + t + e t + t e t, t <, + ( + t) e t (t + ) e (t ), t >. 8.. Impulssin mallintaminen Mekaniikassa voiman F F (t) impulssi aikavälillä [a, a + h] määritellään integraalina I 3 a+h F (t) dt. a Erityisen mielekiintoisia tilanteita ovat sellaiset, joissa suuri voima vaikuttaa lyhyen ajan (isku, törmäys). Tarkastelemme paloittain määriteltyä funktiota δa,h (t), a < t < a + h, δa,h (t) h, muulloin, jonka impulssi on yksi yksikkö kaikilla parametrin h arvoilla. Funktio δa,h voidaan esittää kahden askelfunktion summana δa,h (t) [H(t a) H(t (a + h))]. h Sen Laplacen muunnos saadaan laskettua askelfunktion muunnoksen ja lineaarisuuden perusteella L(δa,h ) as e hs [e e (a+h)s ] e as. hs hs Annamme aikavälin pituuden lyhentyä rajatta. Rajalla h merkitsemme "rajafunktiota" lim δa,h (t) δ(t a), h 3 Mikä teema?: Takaisku! Laittoi Hooger. Puupää, puulauta, latua luupää! Puu!! PR ego ohi. Otti aluksi akat. 7

74 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 jossa δ(t a) on niin sanottu Dirac n deltafunktio. Dirac n deltafunktio ei varsinaisesti ole funktio, sillä sen ominaisuuksia, t a, δ(t a) δ(t a) dt., muulloin, ei voi olla tavallisella funktiolla. Dirac n deltan Laplacen muunnos voidaan laskea Hospitalin säännön avulla L(δ(t a)) e as. Esim 98 Vaimennetun systeemin vaste kanttipulssiin. Ratkaise alkuarvotehtävä, < t <, y + 4y + 3y f (t), muulloin, y() y (). Ratkaisu: Muunnetaan yhtälö ja merkitään L(y) Y (s), jolloin L(y + 4y + 3y) L(f ) F (s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + 4y + 3y) L(y ) + 4L(y ) + 3L(y) s Y (s) y () sy() + 4(sY (s) y()) + 3Y (s) (s + 4s + 3)Y (s). Oikean puolen muunnoksen voi laskea määritelmän avulla eli integraalista F (s) f (t) e st dt e st dt s e s s tai käyttämällä hyväksi askelfunktiota. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö (s + 4s + 3)Y (s) s e s s Y (s) e s. s(s + 4s + 3) s(s + 4s + 3) Osamurtokehitelmällä nähdään, että G(s) : 3 6 +, s(s + 4s + 3) s(s + )(s + 3) s s+ s+3 joten kannattaa määritellä apufunktio g(t) L ( s(s+)(s+3) ) 3 L ( s ) L ( s+ ) + 6 L ( s+3 ) t 3t 3 e +6e. Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: 33 y(t) L ( s(s +4s+3) ) L ( s(s +4s+3) e s ) t 3t +6e, t <, 3 e g(t) g(t )H(t ) t 3t (t ) 3(t ) e + 6 e +e 6e, t >. 33 Ota kaavaa komeaa. Saa emo kaavaa, kato. 7

75 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 99 Vaimennetun systeemin vaste impulssiin. Ratkaise alkuarvotehtävä y + 4y + 3y δ(t a), y() y (). Ratkaisu: Muunnetaan yhtälö ja merkitään L(y) Y (s), jolloin L(y + 4y + 3y) L(δ(t a)) e as. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö (s + 4s + 3)Y (s) e as Y (s) s e as. + 4s + 3 Osamurtokehitelmällä nähdään, että G(s) : joten g(t) L (, s + 4s + 3 (s + )(s + 3) s+ s+3 ) L ( ) L ( ) (s + )(s + 3) s+ s+3 t e e 3t. ja tehtävän ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) L (G(s) e as ) L ( e as ) g(t a)h(t a). + 4s + 3) (s Erityisesti tapauksessa a saadaan, y(t) g(t )H(t ) (t ) 3(t ) e, e. t, t > Seuraavaan kuvioon on piirretty vaimennetun systeemin vaste sekä kanttipulssiin että hetkellä t annettuun impulssiin f(t)-f(t-)*h(t-) g(t-)*h(t-) Konvoluutio ja vakiokertoiminen lineaarinen systeemi Toisen kertaluvun vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän y (t) + py (t) + qy(t) f (t), y(), y () ratkaiseminen Laplacen muunnoksen avulla johtaa ratkaisun muunnoksen lausekkeeseen Y (s) F (s)g(s) F (s) (s ps + q) Funktio G on differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän kuvaaman lineaarisen systeemin siirtofunktio. Oletamme, että tunnemme funktion f Laplacen muunnoksen F. Funktion G käänteismuunnos g voidaan aina määrätä osamurtokehitelmän avulla. Kaavan mukaisesti ratkaisun muunnos on kahden tunnetun funktion muunnoksen tulo. Käänteismuunnokselle voidaan osoittaa laskukaava L (Y (s)) L (F (s)g(s)) f g, jossa f g on funktioiden f ja g konvoluutio. Konvoluutio määritellään kaavalla (f g)(t) 34 t f (τ )g(t τ ) dτ. Tyy? No omi hämäläiskilli vitsisi! Ihana Hamina pani mahan - ah iisisti - villiksi. Älä! Mä himoon y,, y(t)! 7

76 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Täten nolla-alkutilaisen vakiokertoimisen lineaarisen systeemin vaste y voidaan lausua herätteen f ja siirtofunktion käänteismuunnoksen eli impulssivasteen g konvoluution avulla y(t) (f g)(t) t f (τ )g(t τ ) dτ. Konvoluutiolle on voimassa seuraavat laskusäännöt f f f f g (g h) (g + g ) g f, (f g) h, f g + f g, f. Ne perustellaan kirjoittamalla kaavat auki ja käyttämällä integraalin laskusääntöjä. Yleisten alkuehtojen tapauksessa vakiokertoimisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävää y (t) + py (t) + qy(t) f (t), y() a, y () b vastaa s alueessa yhtälö (s +ps+q)y (s) as b ap F (s), josta ratkaistaan ratkaisun muunnos Y (s) as + b + ap F (s) +. (s + ps + q) (s + ps + q) Alkuehdoista riippuvan osan käänteismuunnoksen voi laskea osamurtokehitelmällä ja muunnoskaavoilla. Herätteestä riippuvan osan voi lausua systeemin impulssivasteen ja herätteen konvoluution avulla. Taulukko. Funktioita ja niiden Laplace muunnoksia f (t) t tn (n )! sin ωt cos ωt eat ta, a > Harjoitustehtäviä F (s) s s sn L(αf (t)+βg(t)) αl(f (t))+βl(g(t)) L (αf (s)+βg(s)) αl (F (s))+βl (G(s)) L(ect f (t)) F (s c) ω s +ω s s +ω s a Γ(a+) sa+ L(tn f (t)) ( )n F (n) (s) L(H(t c)f (t c)) e cs F (s)) L(δ(t c)) e cs L((f g)(t)) F (s)g(s) 7. Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla alkuarvotehtävä, kun x < y (x) + y (x) + y(x) f (x), kun x y(), y (). y + 6y + 8y 4 4H(t 3), y + 6y + 8y 4 4δ(t 3), 8. Ratkaise a) b) y(), y (), y(), y (). Tässä H on askelfunktio ja δ(t a) kuvaa hetkellä t a vaikuttavaa impulssia. 9. Ratkaise alkuarvotehtävä ( a, g ja F ovat positiivisia vakioita) y g + F δ(t a), t >, y(), y () v. 3. Ratkaise alkuarvotehtävä mx (t) + rx (t) f (t), x(), x (), jossa massa on m.6 kg, 9 N, < t <. väliaineen vastus on r 4 Ns/m ja pakkovoima on f (t) N, t.. 73

77 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 9. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖSYSTEEMEISTÄ Seuraavaksi tarkastelemme differentiaaliyhtälön palauttamista useita yhtälöitä käsittäväksi systeemiksi. Menetelmä on käyttökelpoinen ratkaistaessa numeerisesti korkeamman kertaluvun yhtälöitä. 9.. Differentiaaliyhtälön palauttaminen normaaliryhmäksi Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x u(t, x, y), t I, y v(t, x, y), jossa u u(t, x, y), t I ja v v(t, x, y), t I ovat ovat tunnettuja funktioita. Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu on funktiopari x(t), y(t)}, joka toteuttaa normaaliryhmän kaikilla t I. Eksplisiittinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö y f (x, y, y ) on ekvivalentti toisen kertaluvun normaaliryhmän y z, x I, z f (x, y, z), kanssa. Kolmannen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x u(t, x, y, z), y v(t, x, y, z), t I, z w(t, x, y, z), jossa u u(t, x, y, z), t I ja v v(t, x, y, z), t I ja w w(t, x, y, z), t I. Kolmannen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu on funktiokolmikko x(t), y(t), z(t)}, joka toteuttaa normaaliryhmän kaikilla t I. Eksplisiittisen kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälön y f (x, y, y, y ), x I, kanssa ekvivalentti kolmannen kertaluvun normaaliryhmä on z z, x I. z z3, z3 f (x, z, z, z3 ), Esim Heilurin differentiaaliyhtälö y a sin y ja toisen kertaluvun normaaliryhmä y z, z a sin y, 35 ovat ekvivalentteja. Esim Määrää differentiaaliyhtälöä y (4) + 7y + 6y vastaava ekvivalentti neljännen kertaluvun normaaliryhmä. Ratkaisu: Normaaliryhmä löydetään merkitsemällä tuntematonta funktiota ja sen derivaattoja seuraavasti z y, z z, z y, z z3, z3 y, z z4, z4 y, 3 z4 7z3 6z z4 y (4) 7z3 6z, 35 Ota kaavaa kamalaa, lamakaavaa kato. 74

78 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Yleisesti voimme käsitellä kertaluvun n normaaliryhmiä ja voimme osoittaa (kuten edellä) että kertaluvun n eksplisiittinen yhtälö y (n) F (x, y, y,..., y (n ) ), x I on ekvivalentti oheisen kertaluvun n normaaliryhmän kanssa dz z, dz z3,.. x I.. dzn zn, dz n f (x, z, z,..., zn ), Esim Määrää differentiaaliyhtälöä y ( + (y ) ) 3y (y ) vastaava kolmannen kertaluvun normaaliryhmä. (y ) Ratkaisu: Korkeimman derivaatan suhteen ratkaistuna yhtälö on y 3y. +(y ) Merkitsemällä tuntematonta funktiota ja sen derivaattoja seuraavasti z y, u z, u y saadaan normaaliryhmä z, dz u, du 3zu. +z Normaaliryhmän analyyttinen ratkaiseminen vaatii kohtuullisen hyvää differentiaaliyhtälöiden käsittelytekniikkaa. Yleisenä ratkaisuna saadaan tason kaikki ympyrät (x D ) + (y D ) D3. Tämä tarkoittaa tietenkin sitä, että differentiaaliyhtälönä oli tason kaikkien ympyröiden differentiaaliyhtälö. 9.. Lineaarinen toisen kertaluvun normaaliryhmä Lineaarinen toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa y A (x)y + B (x)z + f (x), x I, z A (x)y + B (x)z + f (x), 36 jossa kertoimet A, A, B, B ovat riippumattoman muuttujan x funktioita. Funktiot y y(x) ja z z(x) ovat tuntemattomia. Jos kertoimet A, A, B, B ovat vakiota, niin normaaliryhmä on vakiokertoiminen. Mikäli f (x) f (x) kaikilla x I, niin normaaliryhmä on homogeeninen. Seuraavassa tarkastelussa oletamme, että kerroinfunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita välillä I. Olkoon B, jolloin voimme ratkaista ylemmästä yhtälöstä z:n ja derivoimalla saamme edelleen z :n eli z B [y A y f ] A A z ( B ) y + ( B )y ( B )y B y ( B ) f ( B )f. Nyt käytämme systeemin toista yhtälöä ja edellisiä lausekkeita, jolloin A ( B ) y + ( B )y ( B )y A B y ( B ) f ( B )f A y + B z + f B A y + B [y A y f ] + f. Sieventämällä ylläolevan yhtälön ja ratkaisemalla sen y :n suhteen saamme y [A + B B B B ]y + [A + B A A B A ]y + [f f B + B f f ]. B B B x x (t) Toisin sanoen toisen kertaluvun lineaarinen normaaliryhmä palautuu toisen kertaluvun lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi. Ratkaistaan y ja lasketaan z kaavalla z B [y A y f ]. 36 Kevät : HI/TUTA: Aa-ha! Paavo Petäjää: Tää Hemohes, se home häätää! Jäte povaa pahaa. 75

79 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 3 Homogeenisen systeemin alkuarvotehtävä. Ratkaise alkuarvotehtävä u() 5, u u + 6v, v(). v u v, Ratkaisu: Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä v ja muodostetaan derivoimalla v :n lauseke: v 6 u + 6 u, u u + 6v, v 6 u + 6 u. v u v, Käytämme toista yhtälöä v u v ja edellä laskettuja lausekkeita, jolloin v eliminoituu: u v u ( 6 u + 6 u ) 6 u + 6 u u + 3u 4u. Karakteristisen yhtälön λ + 3λ 4 juuret ovat λ ja λ 4, joten yleinen ratkaisu on u(x) C ex + C e 4x u (x) C ex 4C e 4x, v(x) 6 u + 6 u C3 ex C e 4x. Vakiot määrätään alkuehdoista 37 u() C + C 5, v() C3 C, C 3, C. u(x) 3 ex + e 4x, v(x) ex e 4x. Esim 4 Epähomogeenisen systeemin alkuarvotehtävä. Ratkaise alkuarvotehtävä x(), x x + y +, y(). y x + y + t +, Ratkaisu: Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y ja muodostetaan derivoimalla y :n lauseke: x x + y +, y x + x, y x + y + t +, y x + x. Käytämme toista yhtälöä y x + y + t + ja edellä laskettuja tuloksia, jolloin y eliminoituu: x + x x + y + t + x + ( x + x ) + t + x x + x t. Karakteristisen yhtälön λ λ + juuret ovat λ ± i, joten homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on xh (t) C et cos t + C et sin t. Täydellinen yhtälö ratkeaa yritteellä x (t) At + B, x (t) A, x (t). Sijoittamalla yhtälöön saadaan x x + x At + (B A) t A, B x (t) t. Siis x(t) C et cos t + C et sin t + t. Ratkaisun y-komponentti määrätään laskemalla y x + x (C et cos t + C et sin t + t) +(C et cos t C et sin t + C et sin t + C et cos t + ) C et cos t C et sin t t 3. Vakiot määrätään alkuehdoista x() C, y() C 3, C, C, 37 x(t) et sin t + t, y(t) et cos t t 3. Nootti ovela: "Tekniikka tilaa kopiotani. Mahtavaa! Hip! Prujaus sua jurppi. Haavat Hamina toi. Pokaali takkiin ketale, voitto on." 76

80 Differentiaaliyhtälöt M. Hamina, 3 Esim 5 Jännitelähteeseen kytketty RL-virtapiiri, jossa on kaksi virtasilmukkaa. Muodostetaan jännitehäviöiden kaavojen U L L di dt, U R Ri sekä Kirchhoffin lakien avulla piiriä mallintava differentiaaliyhtälöryhmä seuraavasti: i i + i, U L + U R E(t), U L U R + U L, di L dt +R (i + i ) E(t), L di dt R i + L di dt. Tämä voidaan muokata seuraavaan muotoon di L dt di L dt R i R i + E(t), R i (R + R )i + E(t). Nolla-alkutilaisen systeemin alkuehdot ovat i (), i (). Esim 6 Säiliöön K virtaa nopeudella a l/min suolaliuosta, jonka pitoisuus on f(t) kg/l. Säiliöstä K sekoittunutta suolaliuosta virtaa säiliöön K nopeudella a + b l/min. Säiliöstä K sekoittunutta liuosta virtaa ulos järjestelmästä nopeudella a l/min sekä takaisin säiliöön K nopeudella b l/min. Olkoot hetkelliset liuosmäärät säiliössä V (t) l ja V (t) l sekä vastaavat pitoisuudet u (t) kg/l ja u (t) kg/l. Määrää alkuarvotehtävä säliöiden suolapitoisuudelle, jos tarkastelun alkuhetkellä suolapitoisuudet ovat u () p kg/l ja u () p kg/l. Ratkaisu: Annetuilla virtausnopeuksilla liuoksen määrä säiliöissä pysyy vakiona eli V i (t) V i () V i on vakio (i, ). Lasketaan suolamäärän muutokset säiliöissä lyhyellä aikavälillä [t, t + t]: K : dm V du af(t) dt (a + b)u dt + bu dt, K : dm V du (a + b)u dt bu dt au dt. Tästä saadaan differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävä pitoisuuksille V u (a + b)u + bu + af(t), u () p, V u (a + b)u (a + b)u, u () p. Esim 7 Jousi-massa systeemien värähtely. Tarkastelemme kuvion mukaisen kytketyn jousimassa systeemin massojen m ja m yksiulotteista liikettä kitkattomalla tasolla ulkoisten voimien F F (t) ja F F (t) vaikutuksen alaisena. Olkoot jousivakiot k o, k ov ja k v. Olkoon t aikamuuttuja ja olkoot x x (t) ja x x (t) massapisteiden poikkeamat tasapainoasemasta. Liikeyhtälö kummallekin massapisteelle voidaan kirjoittaa Hooken lain ja Newtonin toisen lain avulla. Systeemin liikeyhtälö on m x k v x k ov (x x ) + F (t), m x k o x + k ov (x x ) + F (t). Tämä voidaan kirjoittaa muotoon m x + (k v + k ov )x k ov x F (t), m x k ovx + (k o + k ov )x F (t). 77