Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

Transkriptio

1 Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ (2) sin(α β) = sinα cosβ cosα sinβ (3) cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ (4)

3 2 Seuraavassa sinimuotoisiin funktioihin liittyviä kaavoja. Perusmuoto sinimuotoiselle funktiolle on nyt f (t) = F sin(ωt + α) (5) F on funktion maksimiarvo eli amplitudi. ω on kulmataajuus. Jos generaattori pyörii f = 50 kierrosta sekunnissa, niin generaattorin tuottaman sähkövirran taajuus on f = 50 1 sekunti = 50Hz ja kulmataajuus on ω = 2πf = 100π rad sekunti = 100πHz α on vaihesiirto. Usein merkitsemme f (t) = F sin(ωt + α) F = F α, missä F on sinifunktion osoitin (kompleksiluku)

4 3 Lause 1. Sinimuotoinen funktio f (t) = F sin(ωt + α) voidaan myös kirjoittaa muotoon missä f (t) = a sin(ωt) + b cos(ωt), (6) { a = F cosα b = F sinα ja { F = a 2 + b 2 tan α = b/a Perustelu: Saamme suoraan summakulman sinin kaavasta (1) f (t) = F sin(ωt + α) = F (sin(ωt)cos(α) + cos(ωt)sin(α)) = F cos(α) sin(ωt) + F sin(α) cos(ωt) }{{}}{{} =a =b

5 4 Lause 2. Kahden sinimuotoisen funktion summa on myös sinimuotoinen funktio ja osoittimille pätee, että summan osoitin on osoittimien summa, eli { f (t) = F sin(ωt + α) F = F α g(t) = G sin(ωt + β) G = G β f (t) + g(t) F + G Perustelu: Lasketaan funktion f (t) + g(t) amplitudi ja vaihesiirto ja toisaalta kompleksiluvun F + G moduli ja kulma. Väite on perusteltu, jos amplitudi ja moduli ovat samat ja toisaalta vaihesiirto ja kulma ovat samat.

6 5 Amplitudi: f (t) + g(t) = F sin(ωt + α) + G sin(ωt + β) = F cos(α) sin(ωt) + F sin(α) cos(ωt) + G cos(β)sin(ωt) + G sin(β)cos(ωt) = (F cos(α) + G cos(β))sin(ωt) (F sin(α) + G sin(β))cos(ωt) Vertaamalla lauseen 1 kaavoihin nähdään, että summafunktio on sinimuotoinen ja amplitudi on (F cos(α) + G cos(β)) 2 + (F sin(α) + G sin(β)) 2 = F 2 + 2FG cos(α β) + G 2

7 6 Osoittimien summan moduli: F + G = (F α) + (G β) = F cosα + jf sinα + G cosβ + jg sinβ = (F cosα + G cosβ) + j(f sinα + G sinβ) = (F cos(α) + G cos(β)) 2 + (F sin(α) + G sin(β)) 2 = F 2 + 2FG cos(α β) + G 2 SAMA kuin edellä!

8 7 Vaihesiirto ja osoittimen kulma: Funktion f (t) + g(t) = (F cos(α) + G cos(β))sin(ωt) (F sin(α) + G sin(β))cos(ωt) vaihesiirrolle ϕ pätee tanϕ = Toisaalta osoittimen F sin(α) + G sin(β) F cos(α) + G cos(β) F + G = (F α) + (G β) = (F cosα + G cosβ) + j(f sinα + G sinβ) Kulman tangentti on sama

9 Resistanssi 8 Vastus Seuraavissa laskuissa sähkövirta on ajan funktiona i(t) = I sin(ωt + ϕ i ) I ϕ i ja jännite on ajan funktiona u(t) = U sin(ωt + ϕ u ) U ϕ u Vastus: Ohmin laki pätee myös vaihtovirroille u(t) = R i(t) U = R I Vastuksen yli vaikuttava jännite ja vastuksen läpi menevä virta on siis samassa vaiheessa.

10 9 Kela Kelassa virta synnyttää magneettikentän. Virran muuttuessa muuttuu myös magneettikenttä ja magneettikentän muutos indusoi kelaan jännitteen. Jännite on suoraan verrannollinen virran muutosnopeuteen. u(t) u(t) = L d dt i(t) i(t) i(t) = I sin(ωt + ϕ i ) I ϕ i u(t) = L d dt i(t) = L d dt I sin(ωt + ϕ i) = ωli cos(ωt + ϕ i ) = ωli sin(ωt + ϕ i + 90 ) ωli (ϕ i + 90 ) U = jωli

11 10 Kondensaattori Kelassa virta synnyttää magneettikentän. Virran muuttuessa muuttuu myös magneettikenttä ja magneettikentän muutos indusoi kelaan jännitteen. Jännite on suoraan verrannollinen virran muutosnopeuteen. u(t) i(t) = C d dt u(t) i(t) u(t) = I sin(ωt + ϕ u ) I ϕ u i(t) = C d dt u(t) = C d dt U sin(ωt + ϕ u) = ωcu cos(ωt + ϕ u ) = ωcu sin(ωt + ϕ u + 90 ) ωcu (ϕ u + 90 ) I = jωcu U = 1 jωc I = j ωc I

12 11 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0 sin(ωt)v, U 2 = 5.0 sin(ωt)v, R 1 = 200Ω, Z 2 = j/(ωc)ω ja R 3 = 300Ω. i 1 U 2 i 3 R 1 Z 2 R 3 U 1 Kirchoffin ensimmäisestä laista saamme i 1 + i 2 + i 3 = 0. Kirchoffin toisesta laista saamme U 2 Z 2 i 2 + R 3 i 3 = 0 R 1 i 1 + U 1 + Z 2 i 2 = 0

13 12 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 Z 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + Z 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi: i 1 + i 2 + i 3 = 0 j/(ωc)ωi Ωi 3 = 5.0V 200Ωi 1 j/(ωc)ωi 2 = 2.0V Jaetaan vielä toinen ja kolmas yhtälö ohmilla, jolloin yhtälöryhmä menee muotoon:

14 13 i 1 + i 2 + i 3 = 0 Z 2 i i 3 = 5.0A 200i 1 + Z 2 i 2 = 2.0A D = Z Z 2 0 = D 1 = = A Z A Z 2 0

15 14 i 1 + i 2 + i 3 = 0 Z 2 i i 3 = 5.0A 200i 1 + Z 2 i 2 = 2.0A D 2 = = A = 1600A A A ( 2.0A)

16 15 i 1 + i 2 + i 3 = 0 Z 2 i i 3 = 5.0A 200i 1 + Z 2 i 2 = 2.0A D 3 = = Z 2 5.0A 200 Z 2 2.0A

17 16 Siis: i 1 = D 1 D = i 2 = D 2 D = i 3 = D 3 D =