Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

Transkriptio

1 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan FRW-metriikasta ds c dt dr c dt dr. Puolittain integroimalla saadaan x x dr c t a t t t c dt t a [ ] t t c t t a (t t ). Kun t, 4 v on nykyhetki ja t s. Fysikaalinen matka on tällöin ( ) d a (t ) x ct t t 4 miljardia valovuotta. b) Koska koordinaattietäisyydessä valon aallonpituuden täytyy olla sama, täytyy olla niin, että ajan hetkellä t x λ λ(t) a a(t) λ (t) ( ) t λ λ. a t Kun t ja t ovat samat kuin a)-kohdassa ja valon aallonpituus alkuhetkellä λ 5 nm, saadaan aallonpituudeksi λ(t ) ( t t ) λ 9 km.

2 c) Hubblen parametri saadaan laskemalla H ȧ (t) ( ) t Hetkellä t parametrin arvo on ( t H, 5 8 s 4, ) ( ) t t t. km s Mly. Tyhjää avaruutta syntyy siis parhaillaan 4, km miljoonaa valovuotta kohden joka sekunti. Tehtävä Esimmäinen FRW-yhtälö antaa tapauksessa K Otetaan neliöjuuri ja integroidaan: ȧ a (ȧ ) 8πG a c 4 ρ + Λ. 8πG c 4 ρ + Λ N vakio, ln a Nt + C, e Nt+C C e Nt, missä integroimisvakio C on nyt sisällytetty vakioon C. Skaalatekijä kasvaa eksponentiaalisesti, jolloin universumin laajeneminen kiihtyy jatkuvasti. Kyseessä on oikeastaan universumi, jossa on pelkästään pimeää energiaa. Tehtävä Energiatiheys riippuu seuraavalla tavalla skaalatekijästä: ( ) (+w) a ρ (t) ρ, missä w on tilanyhtälöparametri ja ρ energiatiheys ajan hetkellä t. Tämä pätee vain, kun maaimankaikkeuden energiatiheyttä dominoi jokin tietty kategoria. Koska maailmankaikkeus on laakea, niin K. Pimeän energian osuus oletetaan merkityksettömän pieneksi, jolloin Λ. Ensimmäisestä FRW-yhtälöstä saadaan silloin (ȧ ) 8πG a c 4 ρ 8πG ( ) (+w) c 4 ρ a,

3 (ȧ ) 8πG a c 4 ρ a (+w) (+w) N a (+w), a ( + w) / ( ( + w) ȧ a Na (+w)/, a daa (+w)/ [a (+w)/] a t a (+w)/ a (+w)/ t Ndt, N (t t ), a ) N (t t ). Olkoon nyt ajan alkuhetki t, jolloin tapahtui alkuräjähdys. Sillä hetkellä maailmankaikkeudella ei ollut kokoa, joten skaalatekijä ajan alkuhetkellä oli a. Nyt saadaan Nt (+w). Säteilyn dominoimassa maailmankaikkeudessa w, jolloin skaalatekijän käyttäytyminen on a rad (t) Nt ja materian dominoimassa maailmankaikkeudessa w, mistä seuraa Tehtävä 4 a mat (t) Nt. Määritellään suhteellinen energiatiheys osalle i: ρ i Ω i Σ n j ρ. j Tämän tehtävän tapauksessa summassa on vain kaksi termiä: pimeä energia ja normaali aine. Kello näyttää nyt t, 8 miljardia vuotta, ja pimeän aineen energiatiheys nyt on Ω Λ (t ) Ω Λ, 68. Materialle Ω m (t ) Ω m,. Edellisessä tehtävässä saimme selville, miten skaalatekijä käyttäytyy materian dominoimassa maailmankaikkeudessa. Lasketaan suhteellisten energiatiheyksien osammäärä tasapainohetkellä t: Ω Λ ρ Λ ρ m + ρ Λ ρ Λ ρ m + ρ Λ Ω m ρ m + ρ Λ ρ m ρ m + ρ a Λ ρ m a Ω Λ Ω m a a Ω Λ Ω m t t ()

4 Ωm 8 t t t 9, 47 miljardia vuotta. Ω Λ 7 Olemme kuitenkin syyllistyneet kardinaalivirheeseen tässä laskussa: miten avaruus voi olla samaan aikaan sekä materian että pimeän energia doiminoima? Eihän skaalatekijän muoto tietyllä ajan hetkellä yhtäkkiä muutu tyystin toisenlaiseksi. Lasketaan tämä nyt uudelleen. Friedmannin ensimmäinen yhtälö antaa missä Hubblen vakio ajan hetkellä t on H 8πG c 4 (ρ m + ρ Λ ), () H (t) ȧ (t), ja pimeän energian energiatiheydelle ρ Λ pätee Λ 8πG c 4 ρ Λ. Tiedämme, että nykyisin Hubblen vakio on H (67, ±, 9) km/smpc. Erityisesti H 8πG c 4 (ρ m + ρ Λ ). () Jaetaan yhtälöt ja puolittain keskenään: H H ρ m ρ m + ρ Λ + H a a eq H a H ρ Λ ρ m + ρ Λ a a Ω m a ρ a m a + ρ m + ρ Λ a + Ω Λ Ω m a a + Ω Λa t ρ Λ ρ m + ρ Λ da dt t t eq (4) a Ω m a + Ω Λ a t eq (tässä eq equilibrium tasapaino). Skaalatekijä a ei ole mitattava suure, joten se voidaan skaalata mielivaltaisesti. Yhtälöstä nähdään, että tasapainohetkellä skaalatekijä oli ( ) ( ) a eq a Ω m Ωm 8 7, Ω Λ missä on nyt valittu a (t ) a. Suoritetaan nyt ylläoleva Mapun tiedoilla ratkeava integraali yhtälöstä 4: a da a eq Ω m + Ω Λ a a da a eq Ωm + ΩΛ Ω m a. Ω Λ 4

5 Tehdään sijoitus Ω Λ Ω m a sinh x Ω Λ Ω m a da sinh x cosh xdx. Käänteisfunktio on Tällöin integraalista tulee x (a) arsinh ΩΛ Ω m a. Ω m Ω Λ Ωm x() ΩΛ Ω m x(a eq) dx Ω Λ (x () x (a eq )). Yhtälöstä 4 saadaan tulokseksi ( ) 7 t eq t arsinh arsinh (), 8 miljardia vuotta. H ΩΛ 8 5