Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.
|
|
- Juha Tuominen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on m n matriisi ja b R m, niin yhtälön Ax = b paras pienimman neliösumman (pns ratkaisu on ˆx R n siten, että b Aˆx b Ax, x R n Ratkaisu tähän lähtee huomiosta, että Ax on aina vektori A:n sarakevektoreiden virittämässä aliavaruudessa. Näistä vektoreista pitää siis valita optimaalinen Aˆx eli se, joka on lähinnä b:ta. Tälläisellä vektorilla täytyy olla se ominaisuus, että vektorin b Aˆx:n on oltava kohtisuorassa sarakeavaruutta vastaan. Niinpä on vaadittava, että A T (b Aˆx = 0, josta saadaan
2 Pienimmän neliösumman ratkaisu 2 Lause Yhtälön Ax = b pns ratkaisu ˆx on täsmälleen normaaliyhtälön A T Aˆx = A T b ratkaisu.
3 Pienimmän neliösumman ratkaisu 2 Lause Yhtälön Ax = b pns ratkaisu ˆx on täsmälleen normaaliyhtälön A T Aˆx = A T b ratkaisu. Esimerkki: Yhtälön Ax = b, jossa A = , b = 2 0 pns ratkaisua ˆx varten lasketaan ( A T 9 b = (, A T 7 A = 5 ( (, josta A T 5 A = Näillä ratkaistaan A T Ax = A T b ja saadaan ( A ˆx = A A T T b = ( 2. Lause Pns ratkaisu ˆx on yksikäsitteinen joss A T A on kääntyvä.
4 Symmetristen matriisien ominaisuuksia (Kr. 8., Lay 7. Lause Symmetrisen matriisin ( A T = A eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa. Tod.: Olkoon λ λ 2 ja v i, i =,2 vastaavat ominaisvektorit. Silloin pätee λ v v 2 = (λ v T v 2 = (Av T v 2 = (v TAT v 2 = v T (Av 2 = v T (λ 2v 2 = λ 2 v v 2 eli (λ λ 2 v v 2 = 0, josta seuraa kohtisuoruus. QED Jos ortonormaaleja ominaisvektoreita on riittävästi, voidaan niistä muodostaa (sarakkeina diagonalisointiin A = PDP tarvittava kannanmuuttomatriisi P. Tällön sanotaan, että matriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva ja pätee siis A = PDP T. Jos näin on, pätee A T = (PDP T T = P TT D T P T = PDP T = A eli A on symmetrinen! Itse asiassa käänteinenkin pätee: Lause Neliömatriisi on ortogonaalisesti diagonalisoituva joss se on symmetrinen.
5 Symmetristen matriisien ominaisuuksia 2 Esimerkki: Matriisin A = karakteristinen yhtälö on (λ 7 2 (λ+2 eli Ortogonaalisuuslause edellä ei välittömästi anna ortogonaalista matriisia P. Arvoa λ = 2 vastaava ominaisvektori v = (, 2, T on kohtisuorassa molempia λ = 7 vastaavia ominaisvektoreita v = (,0, T ja v 2 = ( 2,,0 T vastaan. Mutta jälkimmäiset eivät ole keskenaan kohtisuorassa. Korjataan tämä Gram-Schmidtillä: z 2 = v 2 v v 2 v = v v Nyt {v,z 2,v } on R :n ortogonaalikanta. Normalisoimalla kukin vektoreista ja muodostamalla niistä ortogonaalisen muunnosmatriisin P sarakkeet saadaan P = joille siis pätee A = PDP T ja D = , 0 0 2
6 Spektraalihajotelma (Lay 7. Jos patee A = PDP T, jossa ortogonaalisen P:n sarakkeina ovat A:n normeeratut ominaisvektorit {u i } ja D:n diagonaalina ominaisarvot {λ,...,λ n } (eli A:n spektri, saadaan λ 0 u A = PDP T = (u u n T 0 λ n un T u T = (λ u λ n u n. u T n = λ u u T + +λ n u n u T n. Tämä on A:n spektraalihajotelma. n n matriisit u i u T i ovat rangia olevia projektiomatriiseja: (u i u T i x on vektorin x ortogonaaliprojektio vektorin u i virittämälle -ulotteiselle aliavaruudelle. Jos osa ominaisarvoista on hyvin pieniä, kertoo spektraalihajotelma, mitkä projektiot oleellisesti kuvaavat A:n.
7 Spektraalihajotelma 2 (Lay 7. Esimerkki: Symmetrisen matriisin A = ominaisarvot ovat λ = 6, λ 2 = ja λ = 2. Vastaavat ominaisvektorit ovat (2,,, (,, ja (0,,. Normalisoimalla nämä saadaan ( 2 u = 6, 6, T (, u 2 =, 6, T ( ja u = 0,, 2 2 T. A:n spektraalihajotelma on siten i= λ iu i u T i. Koska u T i on A k :n ominaisarvoon λ k i liittyvä ominaisarvo, nähdään, että A k = i= λk i u iu T i kaikille k =,2,... Huomaa, että λ = 6 on dominoiva ominaisarvo, koska 6 > λ i, i = 2,. Siten A k ( 6 k u u T = eli projektiomatriisi u u T kuvaa asymptoottisesti Ak :n geometrian venytystä vaille.
8 Spektraalihajotelma (Lay 7. Entä jos dominoiva ominaisarvo on monikertainen, kuten edeltävän esimerkin matriisilla B = , 4 2 jossa λ = 7 oli kaksinkertainen ja 2 yksinkertainen? Tämäkin tilanne ratkeaa heti spektraaliesityksestä ja voidaan laskea, että B k ( 7 k 2,0, = T ( 2,0, 4 9 2, ( +, , joka ei ole projektiomatriisi, vaikka onkin kahden sellaisen summa. T (, , 8
9 Spektraalilause (Lay 7. Symmetrisillä matriiseilla on paljon hyviä ominaisuuksia, joista useat voidaan tiivistää seuraavasti Lause Symmetrisellä n n-matriisilla A on n reaalista ominaisarvoa, k-kertaista ominaisarvoa vastaava ominaisavaruus on k-ulotteinen, erillisiä ominaisarvoja vastaavat ominaisaliavaruudet ovat kohtisuorassa, on ortogonaalinen diagonalisointi. (Osa näistä ominaisuuksista on johdettu edellä, osa taas vaatii huomattavasti lisätyötä/löytyy kirjallisuudesta.
10 Neliömuodot (Kr. 8.4, Lay 7.2 Määritelmä Neliömuoto Q A (x on kuvaus R n R, joka määrittyy n n matriisista A: Q A (x = x T Ax. Koska A ja 2 (A+AT määrittelevät saman neliömuodon, voidaan keskittyä symmetristen matriisien antamien neliömuotojen analyysiin. Kun A on selvä, merkitään yksinkertaisesti Q(x. n n matriisin neliömuoto on aina toisen asteen polynomi n:n muuttujan suhteen.
11 Neliömuodot (Kr. 8.4, Lay 7.2 Määritelmä Neliömuoto Q A (x on kuvaus R n R, joka määrittyy n n matriisista A: Q A (x = x T Ax. Koska A ja 2 (A+AT määrittelevät saman neliömuodon, voidaan keskittyä symmetristen matriisien antamien neliömuotojen analyysiin. Kun A on selvä, merkitään yksinkertaisesti Q(x. n n matriisin neliömuoto on aina toisen asteen polynomi n:n muuttujan suhteen. Esimerkki: Matriisi ( 2 A = 2 7 määrittää neliömuodon ( 2 Q A (x = (x,x ( x x 2 = x 2 4x x 2 +7x 2 2.
12 Neliömuodot 2 Kääntyvä n n matriisi P voidaan tulkita koordinaatiston muunnosmatriisiksi R n :lla: x = Py. Jos siirrytään alkuperäisistä x-koordinaateista y-koordinaatteihin, muuntuu neliömuodon esitys Q(x = x T Ax = (Py T A(Py = y T (P T APy ( eli uudessa kannassa matriisi on P T AP. Koska kuitenkin A voidaan aina olettaa symmetriseksi ja symmetriset matriisit ovat ortogonaalisesti diagonalisoituvia, on nyt tarjolla ortogonaalinen koordinaatistonmuunnos. Sitä vastaten Q saa yksinkertaisimman mahdollisen esityksen, pääakselimuodon: Q(y = y T Dy = n i= λ i y 2 i. (2 Geometrisesti ( ja (2 ovat tietenkin täsmälleen samoja kuvauksia Q : R n R!
13 Neliömuodot Neliömuodon geometria on helpointa hahmottaa pääakselimuodosta. Yksinkertaisimmillaan, tasossa, yhtälö x T Ax = c määrittää joko ellipsin, hyperbelin, suoraparin, pisteen tai on tyhjä joukko. Käyrän orientaatio selviää välittömästi (kohtisuorista ominaisvektoreista, jotka antavat akselien suunnat. Esimerkki: ( Q(x = 5x 2 4x x 2 +5x = 48 (x,x ( T u = 2, 2 ja u2 = jossa ( x x 2 = 48. Matriisin ominaisavot ovat ja 7, joita vastaavat ortonormaalit ominaisvektori ovat (, 2 2 T. Siten koordinaatiston muunnos on x = Py, ( 2 P = ja vastaava pääakselimuoto y T Dy = y 2 +7y2 2. Q = 48 vastaa ellipsiä, jonka akselit ovat 45 asteen kulmassa alkuperäisten R 2 :n koordinaattiakselien suhteen.
14 Neliömuodot 4 Määritelmä Neliömuoto Q on positiividefiniitti jos Q(x > 0, x 0, positiivisemidefiniitti jos Q(x 0, x ja on olemassa x 0 siten että Q(x = 0, negatiividefiniitti jos Q(x < 0, x 0, negatiivisemidefiniitti jos Q(x 0, x ja on olemassa x 0 siten että Q(x = 0, indefiniitti jos Q saa sekä pos. että neg. arvoja.
15 Neliömuodot 5 Lause Neliömuoto x T Ax, A symmetrinen, on positiividefiniitti joss A:n ominaisarvot ovat positiiviset, positiivisemidefiniitti joss A:n ominaisarvot ovat ei-negatiiviset ja on olemassa häviävä ominaisarvo, negatiividefiniitti joss A:n ominaisarvot ovat negatiiviset, negatiivisemidefiniitti joss A:n ominaisarvot ovat ei-positiiviset ja on olemassa häviävä ominaisarvo, indefiniitti joss A:lla on sekä pos. että neg. ominaisarvoja.
16 Neliömuodot 6 Esimerkki: Muoto Q(x = x 2 +2x2 2 +x2 +4x x 2 +4x 2 x näyttää positiiviselta, mutta ei ole sitä. Vastaavan symmetrisen matriisin spektri on {5, 2, }. Q on siis indefiniitti neliömuoto (joka siis saa myös negatiivisia arvoja. Geometrisesti tasa-arvopinnat Q = vakio ovat yksi- tai kaksivaippaisia elliptisiä hyperboloideja R :ssa.
17 Singulaariarvot (Lay 7.4 Vaikkei diagonalisointi A = PDP olekaan mahdollinen mielivaltaiselle m n matriisille A, osoittautuu, että hieman yleisempi hajotelma A = QDP onnistuu. Ensin kuitenkin hiukan neliömuotojen ääriarvoista. A T A on symmetrinen n n matriisi, joten se on ortogonaalisesti diagonalisoituva. Olkoot {µ,...,µ n } sen ominaisarvot ja {v,...,v n } ortonormaalit ominaisvektorit. Siten 0 Av i 2 = (Av i T Av i = v T i A T Av i = v T i µ i v i = µ i. ( Olkoot nämä arvot laskevassa järjestyksessä µ i µ i+. Niiden juuret σ i = µ i ovat A:n singulaariarvot. Singulaariarvot antavat ( nojalla vektoreiden Av i pituudet. Huomaa, että Ax 2 maksimoituu samalla x:lla kuin Ax.
18 Singulaariarvot 2 (Lay 7.4 Lause Symmetriselle B, jonka spektri on µ µ 2..., µ = max{x T Bx x = } ja maksimi saavutetaan µ :tä vastaavalla yksikköominaisvektorilla. Esimerkki: Olkoon ( 4 4 A = 8 7 2, joten A T A = jonka ominaisarvot ovat {60, 90, 0}, josta edelleen A:n singulaariarvot: {6 0, 0,0}. A T A:n yksikköominaisvektorit ovat ( v =, 2, 2 T (, v 2 = 2,, 2 T ( 2 ja v =, 2, T. Ax maksimoituu edellä olevan nojalla v :n suuntaan ja sen maksimiarvo yksikköpallolla on siis Av = σ = 6 0. Voidaan osoittaa, että Ax :n maksimi v :n ortogonaalikomplementissa saavutetaan v 2 :n suuntaan ja on suuruudeltaan σ 2. (Tämä yleistyy edelleen, katso Lay 7. Lause 7 ja 7.4 Lause 9.,
19 Singulaariarvot Myös AA T on symmetrinen (m m matriisi, joten se on ortogonaalisesti diagonalisoituva. Olkoot {λ,...,λ m } sen ominaisarvot ja {u,...,u m } ortonormaalit ominaisvektorit. Siten 0 A T u i 2 = (A T u i T A T u i = u T i AA T u i = u T i λ i u i = λ i. (2 Olkoot nämä arvot laskevassa järjestyksessä λ i λ i+. Koska A T Av i = µ i v i, saadaan kertomalla vasemmalta A:lla AA T (Av i = µ i (Av i, joten nähdään, että µ i ja Av i ovat AA T :n ominaisarvo ja -vektoripari. Siten AA T :n ja A T A:n nollasta eroavat ominaisarvot ovat samat. { Jos r on A:n rangi, niin σ 2 µ i = i, i =,...,r 0, i = r +,...,n josta edelleen Av i = { σi u i, i =,...,r 0, i = r +,...,m
20 Singulaariarvot 4 {u i } m ovat A:n vasemmat singulaarivektorit ja {v i} n oikeat singulaarivektorit. Edellisen nojalla niille voidaan siis kirjoittaa A(v v r v r+ v n = (u u r u r+ u m Σ, jossa Σ = ( D = σ σ σ r on m n matriisi, jonka ainoat nollasta eroavat alkiot ovat singulaariarvot r r diagonaalimatriisissa D, r min{n, m}.
21 Singulaariarvohajotelma (Lay 7.4 Edellä oleva kehittely on oleellisesti kaikki mitä tarvitaan todistamaan singulaariarvohajotelma (engl. singular value decomposition, SVD. Lause Olkoon A m n matriisi, jonka rangi on r. Silloin on olemassa Σ kuten edellä ja siinä matriisi D, jonka diagonaalina ovat A:n singulaariarvot. Samoin on olemassa m m U ja n n V, molemmat ortogonaalisia, siten että A = UΣV T. Huomioita:. Matriisit U ja V eivät ole yksikäsitteisiä. 2. Jos A on n n neliömatriisi, ovat Σ, U ja V samaa kokoa ja kaksi viimeistä ortogonaalimatriiseja. Jos A on vieläpä symmetrinen tiedetään aiemmasta, että se on ortogonaalisesti diagonalisoituva, A = PDP T, joten voidaan siis valita U = V.
22 Singulaariarvohajotelma 2 (Lay 7.4 Esimerkki: Konstruoidaan singulaarihajoitelma edellisen esimerkin matriisille Nyt siis m = 2, n =. ( 4 4 A = Diagonalisoidaan A T A ja ratkaistaan singulaariarvot σ i kuten edellä: {6 0, 0,0} (siis r = 2. Ortonormaalit ominaisvektorit v i : ( v =, 2, 2 T (, v 2 = 2,, 2 T ( 2 ja v =, 2, T. 2. Määritellään -matriisi V = (v v 2 v ja edelleen ( ( σ D = = 0 σ ( ja Σ =
23 Singulaariarvohajotelma 2 (Lay 7.4. U:n r ensimmäistä saraketta ovat Av,...,Av r normalisoituna. Nyt r = 2 ja u = σ Av = 6 0 ( 8 6 u 2 = Av 2 = ( σ ( = 0 0 ( = 0 0 jotka ovat R 2 :n kanta ja siten U = (u u 2. Siten A:n singulaariarvohajotelma on, UΣV T = ( ( NB. Jos kävisi niin, että {Av i } ei antaisi kantaa kuten yllä, vaan vain k < m vektoria, niin silloin etsitään ortogonaalikannan loput vektorit tämän joukon ortogonaalikomplementista Gram-Schmidtia ja normalisointia käyttäen.
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotNeliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.
Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMatriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotPaikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotHarjoitusten 5 vastaukset
Harjoitusten 5 vastaukset 1. a) Regressiossa (1 ) selitettävänä on y jaselittäjinävakiojax matriisin muuttujat. Regressiossa (1*) selitettävänä on y:n poikkeamat keskiarvostaan ja selittäjinä X matriisin
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Simo Jaakkola Ortogonaalisuudesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö JAAKKOLA, SIMO: Ortogonaalisuudesta
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot1 Singulaariarvohajoitelma
1 Singulaariarvohajoitelma Tähän mennessä on tutkittu yhtälöryhmän Ax = y ratkaisuja ja törmätty tapauksiin joissa yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu ("helppo"tapaus) yhtälöryhmällä on ääretön
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotPienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotLU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24
LU-hajotelma 1 / 24 LU-hajotelma Seuravassa tarkastellaan kuinka neliömatriisi voidaan esittää kahden kolmiomatriisin tulona. Käytämme alkeismatriiseja tälläisen esityksen löytämiseen. Edellä mainittua
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotTampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä (PNS)
neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMilloin A diagonalisoituva?
Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotNeliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 27 materiaali II-4 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt. Idea a b Ajatellaan di erenssiyhtälöä z k+ Az k, A : Jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat
Lisätiedot