3 Määrätty integraali
|
|
|
- Antero Honkanen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa eli. Lasketaan A() kolmion pinta-alana. A ( ) Vastaus: A ( ) c) Derivoidaan b-kohdassa saatu pinta-alafunktio. A( ) Pinta-alafunktion A derivaatta kohdassa on sama kuin alkuperäinen funktio f(). Vastaus: A( ), mikä on sama kuin pinta-alaa rajaava funktio f.
2 . a) A() =,7 Vastaus:,7 b) Luetaan kuvaajasta erikseen kaksi pinta-alaa ja vähennetään ne toisistaan. A(5) A() = 9,5 7,97 =,8 Vastaus:,8 c) Voidaan ajatella, että pinta-ala kasvaa sitä enemmän, mitä korkeammalla funktion f kuvaaja on. Pinta-alafunktio A kasvaa siis nopeimmin, kun funktio f saa suurimman arvonsa eli kohdassa =. Vastaus: Kohdassa = d) Pinta-ala ei kasva, jos funktion f kuvaaja on -akselilla. Pintaalafunktion A muutosnopeus on hetkellisesti nolla kohdassa = 7. Vastaus: Kohdassa = 7 e) Pinta-ala kasvaa vakionopeudella, kun funktion f kuvaaja on vaakasuora. Näin ollen pinta-alafunktion A muutosnopeus on vakio, kun 9. Muuttujan kasvaessa yhdellä yksiköllä, kasvaa pinta-ala tällöin kolmella yksiköllä. Pinta-alafunktion muutosnopeus on siis. Vastaus: Pinta-alafunktion A muutosnopeus on vakio välillä 9. Muutosnopeuden suuruus on tällöin.
3 . Pinta-alafunktio YDINTEHTÄVÄT. Funktion f kuvaajan ja -akselin välillä [, 7] rajoittaman alueen pinta-ala on kuvaan merkittyjen alueiden erotus 6,7 6,6 =,.. a) Alueen pinta-ala on =.
4 b) A( ) Kysytty pinta-ala on A() A(). A() A() ( ) 79 () c) Funktio A on funktion f eräs integraalifunktio, joten f on funktion A derivaattafunktio. f ( ) A( ).. a) Alue on kolmio, jonka kannan pituus on ja korkeus on. A( ) b) Osoitettava, että A () = f(). A f ( ) c) A 9 8 () A() 9 4
5 4. Piirretään kuva. f() = + a) Alue on puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaiset sivut ovat f() = + = ja f() = + ja korkeus, eli yhdensuuntaisten sivujen välinen kohtisuora etäisyys on. Pinta-alafunktio on ( ) A ( ) ( ). b) Pinta-alafunktio on jokin funktion f integraalifunktio. f ( )d ( )d C. Kun =, on pinta-ala, josta ratkaistaan vakio C. + + C = C C = Pinta-alafunktio on A ( ). c) Välillä [, ] alueen pinta-ala on A() A() ( ) ( ) 4.
6 5. a) Piirretään kuva. f() = + Pinta-alafunktio on jokin funktion f integraalifunktio. ( )d C Pinta-ala on nolla, kun =. Ratkaistaan vakio C. C C C Pinta-alafunktio on A ( ). b) Välillä [, ] pinta-ala on A() A() ( ) ( ) 9.
7 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) Piirretään kuva. f() = Funktio A() on jokin funktion f integraalifunktio. ( )d C Kohdassa = pinta-ala on nolla. C C C Pinta-alafunktio on. A ( ) b) Välillä [, 5] pinta-ala on A(5) A() ( 5 5) ( )
8 7. a) Funktion A() arvot kasvavat nopeimmin, kun käyrän alla oleva pintaala kasvaa nopeimmin. Tämä tapahtuu kohdassa 6, missä alueen korkeus on suurin, eli funktio f saa suurimman arvonsa. b) Funktion A() arvot kasvavat hitaimmin, kun funktio f saa pienimmän arvonsa, eli kohdassa. c) Funktion A arvojen hetkellisen muutosnopeuden kertoo funktion derivaattafunktion arvo ko. kohdassa. Koska A on funktion f eräs integraalifunktio, niin A = f. Muutosnopeus kohdassa = 4 on f(4) =. 8. Pinta-alafunktio on eräs funktion f integraalifunktio. A ( ) d (4) d (4) d 4 s( ) u( s( )) ln 4 C ln(4) C,, kun Välillä [, 6] on f() >. Alueen pinta-ala välillä [, 6] on: A(6) A() ( ln( 6 4) C) ( ln( 4) C) ln6 C ln 4 C ln6 ln 4 ln 6 ln 4 ln 4 ln ln 4 ln. (Vakiota C ei tarvitse ratkaista, koska se kumoutuu laskussa.)
9 9. a) Käyrän y = + + ja -akselin leikkauspisteet saadaan ratkaistua yhtälöstä + + = 4 ( ) () = ja =. Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). b) Pinta-alafunktio on eräs funktion f integraalifunktio. A( ) ( )d C Välillä [, ] funktio f >. Pinta-ala on A() A( ) ( 8 4 C) ( C) ( C) ( ( ) ( ) ( ) C) 4 Pinta-ala on 4.
10 . a) Pinta-ala kuvaa metrojunan kulkemaa matkaa asemien välillä. b) Tapa (pinta-alakaavoilla): Lasketaan kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala kolmessa osassa geometrisesti pinta-alakaavoilla: Aikaväli 6 (s): 6 6,6 A,..., Aikaväli 6 6 (s): A 6,...,,6 Aikaväli 6 55 (s): 9 6,6 A 58,... 58, Pinta-ala yhteensä, +, +58, = 65 (m) 6 m Tapa (pinta-alafunktiolla): Aikaväli 6 (s): Muutetaan nopeus yksikköön m/s. 6 km/h = 6,6 m/s. Nopeuden kuvaaja on suora y = kt, joka kulkee pisteiden (, ) ja (6, 6 ) kautta. Kulmakerroin k =,6 6,6 vt () t 6 t 6 t. 6,6 6 57,6 6,6 6 joten nopeuden funktio on:
11 Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio 6 6 s() t td t t C. 57,6 5, Nyt 6 6 s(6) s() ( 6 C) ( C),...,. 5, 5, Aikaväli 6 6 (s): Nopeuden kuvaaja on vaakasuora suora: vt () 6.,6 Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio s() t 6 d 6 t t C.,6,6 Nyt s(6) s(6) ( 6 6 C) ( 6 6 C),...,.,6,6 Aikaväli 6 55 (s): Nopeutta kuvaa laskeva suora, joka kulkee pisteiden (6, 6,6 ) ja (55, ) kautta. 6 6,6,6 Suoran kulmakerroin k ,6 9 68,4 Suoran yhtälö y = 6 (t 55), josta y 6 t. 68,4 68,4 68,4 vt () 6 t. 68,4 68,4 Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio 6 6 s() t ( )d t t t t C. 68,4 68,4 6,8 68,4
12 Nyt s(55) s(6) 6 6 ( C) ( 6 6 C) 6,8 68, 4 6,8 68, 4 58,... 58, Pinta-ala on yhteensä, +, +58, = 65 (m) 6 m. Metrojuna kulkee kahden aseman välissä noin 6m.. a) Pinta-ala on F() F() F() F() ( 4 C) ( 4 C) 7 CC 5 (mm) Ft () (t4)dt t 4tC b) Kolmen ensimmäisen tunnin sademäärä eli kolmen ensimmäisen tunnin kokonaismuutos saadaan erotuksesta F() F(). Kolmen ensimmäisen tunnin aikana vettä sataa 5,5 mm. c) Sademäärän muutosta kuvaa lauseke t + 4, jonka arvot kasvavat ajan t kasvaessa. Siis sademäärän muutos kasvaa koko ajan ja sademäärän muutos on tasaista (muutosnopeutta kuvaa suora). Oikea vaihtoehto on C.
13 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT. Piirretään kuva. f() = 4 + Pinta-alafunktio on A C ( ) ( 4 )d. Käyrän y = 4 + sekä suorien y =, = ja = a rajaaman alueen pinta-ala saadaan erotuksesta A(a) A(), kun a >. A(a) A() = (a a + a + C) ( + + C) = a a + a + C C = a a + a. Pinta-alaehdon A = 4 nojalla kysytty a:n arvo ratkeaa yhtälöstä a a + a = 4 a a + a 4 = a (a ) + (a ) = (a + )(a ) = a + = tai a = a = a = ei ratkaisua Yhtälön ainoa ratkaisu on a =.
14 . a) Kun patoaltaasta juoksutetaan vettä, on virtaavan veden määrä sitä suurempi, mitä enemmän luukku on auki. Virtaama noudattaa funktiota f(t) = t, kun t, missä t on aika sekunteina luukun 6 aukaisemisesta. Kun on kulunut sekuntia, luukku on kokonaan auki. Tällöin virtaama on f () 5, eli 5 m /s. 6 Luukun ollessa täysin auki virtaama pysyy vakiona, 5 m /s, eli virtaaman funktio on f(t) = 5, kun t >. Luukun ollessa kokonaan auki, vettä virtaa 5 m yhdessä sekunnissa. Kymmenessä sekunnissa vettä virtaa s 5 m /s = 5 m. b) Virtaaman funktio voidaan esittää paloittain määriteltynä funktiona: t, kun t f() t 6. 5, kun t Piirretään funktion f kuvaaja. Virranneen veden määrä aikavälillä [, ] on kuvaajan alle jäävän alueen pinta-ala välillä [, ].
15 Tapa : Alueen pinta-ala voidaan laskea kolmion pinta-alana. Kolmion kanta on ja korkeus funktion f arvo, 5 kun =, eli f (). 6 5 Kolmion pinta-ala on 5 8 8,. Altaasta virtaa vettä aikavälillä [, ] noin 8, m. Tapa : Määritetään veden määrää kuvaava funktio integraalilaskennan avulla. Ft t C (), Alueen pinta-ala, eli virranneen veden määrä välillä [, ] on F() F() 5 8, (m ).
16 4. Funktion f lauseke saadaan integroimalla funktion f muutosnopeuden lauseke. f ( ) (4)d C Ratkaistaan vakio C ehdosta f() =. f() = + C = + C + C = C = f() = + Pinta-alafunktio A saadaan integroimalla funktion f lauseke: A( ) ( )d C. Välillä [, 4] on f() >. Alueen pinta-ala on A A C C 8 88C C 4. (4) () ( ) ( )
17 5. a) Pinta-alan alaraja on yhden desimaalin tarkkuudella 6, ja yläraja 7,4. b) Appletissa suorakulmioiden suurin määrä on. Tällöin pinta-alan alaraja on yhden desimaalin tarkkuudella 6,6 ja yläraja 6,9. Mahdollisia arvoja pinta-alalle on 6,6; 6,7; 6,8 ja 6,9.
![sin 6. a) Funktion f ( ) kuvaajan ja -akselin välillä [, 5 ] rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo on ALAPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 6,97.](/docs-images/99/141714994/images/18-1.jpg "GeoGebra: Alasumma[^sin(),pi/,5pi/,] YLÄPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 7,6.")
18 sin 6. a) Funktion f ( ) kuvaajan ja -akselin välillä [, 5 ] rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo on ALAPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 6,97. GeoGebra: Alasumma[^sin(),pi/,5pi/,] YLÄPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 7,6. Geogebra: Yläsumma[^sin(),pi/,5pi/,] Pinta-alan mahdolliset yksidesimaaliset likiarvot ovat 7,, 7, ja 7,. b) Pinta-alan yksidesimaalinen likiarvo on 7,, kun suorakulmioita on 87 kappaletta. Tällöin sekä ala- ja yläsumman likiarvo on yhden desimaalin tarkkuudella 7,.
![7. Funktion f ( ) e kuvaajan ja -akselin välillä [, ] rajaama pintaala ala- ja yläsummien avulla on,49 ja se saavutetaan 99 suorakulmiolla. 8.](/docs-images/99/141714994/images/19-1.jpg "a) f(),,98,4,9,6,8,8,6 Koska funktio f on vähenevä, f( ) > f( ), kun <. Tällöin laskettaessa pinta-alalle alarajaa, on alasumman pylväiden korkeus sama kuin funktion arvo välin oikeassa reunassa.")
19 7. Funktion f ( ) e kuvaajan ja -akselin välillä [, ] rajaama pintaala ala- ja yläsummien avulla on,49 ja se saavutetaan 99 suorakulmiolla. 8. a) f(),,98,4,9,6,8,8,6 Koska funktio f on vähenevä, f( ) > f( ), kun <. Tällöin laskettaessa pinta-alalle alarajaa, on alasumman pylväiden korkeus sama kuin funktion arvo välin oikeassa reunassa. Pylvään leveys on taulukoitujen muuttujan arvojen erotus,. A alaraja =, f(,) +, f(,4) +, f(,6) +, f(,8) +, f() =,(,98 +,9 +,8 +,6 + ) =,66. Vastaavasti ylärajaa laskettaessa yläsumman pylväät ovat korkeudeltaan funktion arvon korkuisia rajan vasemmanpuoleisessa reunassa: A yläraja =, f() +, f(,) +, f(,4) +, f(,6) +, f(,8) =,( +,98 +,9 +,8 +,6) =,86. b) Ei voida. Mahdollisia arvoja ovat,7;,8 ja,9.
20 . Määrätty integraali YDINTEHTÄVÄT 9. a) Aluetta rajoittaa funktion kuvaaja, joka on paraabeli. Mahdollisia kuvioita ovat A ja C. Määrätyssä integraalissa alarajana on = ja ylärajana =. Ainoastaan kuviossa C ovat nämä rajat. Integraaliin liittyy kuvaaja C. Funktion f() = eräs integraalifunktio on F() =. Nyt d F() F() 87. b) Aluetta rajoittaa funktion + kuvaaja, joka on paraabeli. Rajat ovat = ja =. Integraaliin liittyy kuvaaja A. Funktion f() = + eräs integraalifunktio on F( ). Nyt ( )d F() F() ( ) ( ) ) ) c) Aluetta rajoittaa funktion kuvaaja, joka on vaakasuora suora. Integraaliin liittyy kuvaaja B. Funktion f() = eräs integraalifunktio on F() =. Nyt 4 d F( 4 ) F( )
21 . Funktion f() = 6 eräs integraalifunktio on (6 )d F() F() F ( ). ( ) ( ) 8 5. a) Merkitään f() = e. Integroinnin alaraja on ja yläraja. Kysytty pinta-ala on e d/ e e e e. b) Merkitään f( ), >. Integroinnin alaraja on e ja yläraja e. Kysytty pinta-ala on e e d/ ln ln e ln lnelne ( ). e e e. a) b) e d e d / e ( e e ) ( e) e / sin d cos cos ( cos) ( ) c) / / d d ( )
22 . Alueen pinta-ala on cos d cos d sin / (sin( ) sin()) 4 (sin sin) (). 4. a) 4 4 f( )d f( )d f( )d4 b) 4 f( )d f( )d4 4 c) f( )d f ( )d f( )d d) 6 6 f( )d f( )d e) f ( )d ( F() F()) f) F4 F f ( ) d 4 4
23 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 5. ( )d ( )d ( ln / ) ln ln ln ( ln ) ( ln ) 6. Kun >, f() >. Kysytty pinta-ala on d d d ln / (ln 8 ln ) ln8 ln ln ln 7. Puun paksuuden muutos aikavälillä [, ] saadaan määrättynä integraalina. 6 ( sin ( t))d t ( cos( )) 6 / t t ( cos ( )) ( cos ( )) (4 ) 4 Paksuus lisääntyy vuodessa 4 cm.
24 8. a) 8( ) d 4() d 4 () d b) s( ) u( s( )) / () ( ) 4 / ( ) () ( ) d d / / / 6 4 ( 4 4) ( ) 4 c) 9. a) e d e d ( ) ( ) / e e e e u( s( )) e s ( ) ( )d ( )d ( )d 5 / ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 4 5
25 b) e e e d ( )d ( )d e / (ln ) (eln e) (ln ) e e c) d 4 ( ) d 4 ( ) d s ( ) u( s( )) / ( ) ( ) / / / ( ) ( )( ) /( ) (( ) ( ) ) ((8 ) 9 ) (9) (7 ) 6 5
26 . Ehto on ( e A)d. ( e A)d / ( e A ) ( e A ) ( e A ( ) ) A e A e A e A e. a) EPÄTOSI Esimerkiksi jos f() =,5 ja g() =,5 +,5, niin b) TOSI Nyt f ()d ja g( )d. f( )d f( )d 6. c) EPÄTOSI Esimerkiksi jos f() = 6, niin 6d / () (). Kuitenkin (6 ) d 6 d/ ( ) ( ).
27 . a) b). a) b) e e e e e d ( )d ( )d d / e ( )d ( )d ( )d /( ) ( ) ( ) d (sama ala- ja yläraja) 5 sin d cos d ( sin cos )d ( (sin cos ))d d / / ( ( ) ) ( )
28 c) 9 8 ( )d ( )d ( )d... ( )d 9 8 (( ) ( ) ( )... ( ))d ( 9 ( )d / )d kumoutuu termin kanssa kumoutuu 8 termin kanssa ( ) 9 ( ) ( )
29 4. a) Piirretään kuva. Kun <, niin lauseke 4 saa negatiivisia arvoja. Tällöin 4 = ( 4) = + 4. Kun, niin lauseke 4 saa positiivisia arvoja ja 4 = 4. (4) 4, kun 4 4, kun Integrointi pitää suorittaa osissa, välillä [, ] ja [, ]. / / 4 d ( 4)d (4)d ( 4 ) ( 4 ) b) Piirretään kuva. ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) Määritetään itseisarvomerkkien sisällä olevan lausekkeen 4 nollakohdat. Yhtälö 4 =, kun = ±. Funktion 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten 4 <, kun < <. Muualla 4, joten 4 4, kun 4, kun tai Integrointi välillä [, ] pitää suorittaa osissa, väleillä [, ], [, ] ja [, ].
30 4 d ( 4)d ( 4)d ( 4)d /( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) / / ( ( ) 4 ( )) ( ( ) 4 ( )) ( 4) ( ( ) 4 ( )) ( 4) ( 4) ( 8 8) ( 9) ( 8 8) ( 8 8) (9 ) ( 8 8) a) Piirretään kuva. sin d sin d s ( ) u( s( )) / / ( cos ) cos (cos cos ) ( )
31 b) Piirretään kuva. Ratkaistaan itseisarvomerkkien sisällä olevan lausekkeen nollakohta. sin =, kun sin n tai n n n Kun, niin sin. Kun, niin sin <. sin, kun sin sin, kun sin d sin d ( sin )d sin d sin d cos ( cos ) / / (cos ( ) cos ()) (cos cos ( )) (cos cos ) (coscos ) ( ) ( ( ))
32 c) Piirretään kuva. ( sin )d ( sin d s ( ) u( s( )) / ( cos ) cos(4 ) ( cos ) 6. a) Hetkellinen kiihtyvyys a on nopeuden v muutosnopeus eli derivaatta, joten nopeus ajanhetkellä t saadaan kiihtyvyyden lausekkeen t integraalifunktiosta: vt () ( t)dt t t C. Koska ajanhetkellä t = nopeus on nolla, niin v() = : v() C C, josta C =. v () 5 5 Rajanopeus on 5 m/s.
33 b) Hetkellinen nopeus v on matkan s muutosnopeus eli derivaatta. Kuljettu matka ajanhetkellä t saadaan nopeuden lausekkeen t t integraalifunktiosta: s() t ( t )d t t t 5t D. 6 Koska s() =, niin D =. Rajanopeus saavutetaan sekunnin kuluessa, joten rajanopeuden saavuttamisen aikana pudotaan metreinä s() 5 5, Koska laskuvarjo on avattava viimeistään 8 metrin korkeudessa, on hyppy suoritettava laskennallisesti. m + 8 m = 4, m korkeudesta. Hyppy on suoritettava vähintään 4 metrin korkeudesta. 7. a) Kun muutosnopeus on positiivinen, populaation koko kasvaa. 8 t > t < 6 Populaation koko kasvaa aikavälillä t 6 ja populaation koko on suurimmillaan ajanhetkellä t = 6 eli 6 vuorokauden kuluttua tarkastelun alusta 4 b) Määrätty integraali (8 t)dt kuvaa populaation kokonaismuutosta aikavälillä t 4, eli 4 ensimmäisen vuorokauden aikana. 4 4 (8 t)d t / (8 t t ) (8 4 4 ) (8 ) Populaation koko pienenee tarkasteluajankohtana 4 yksilöllä. c) Määrätyn integraalin avulla voidaan ainoastaan laskea populaation koon muutos, joka nyt on 4 yksilöä. Koska populaation kokoa tarkastelun alkuhetkellä ei tiedetä, populaation kokoa kahden viikon kuluttua tarkastelun alkamisen jälkeen ei voida tehtävänannon perusteella laskea.
34 8. Merkitään y-akselin suuntaista siirtoa kirjaimella k. Aluetta rajaava kuvaaja on muotoa y = e + k. A ( e k)d ( e k) ( e k) ( e ) ek / Koska alueen pinta-alan oltava e, niin saadaan yhtälö e + k = e, josta k =. Siirron on oltava yhden yksikön suuruinen, jotta alueen pinta-ala olisi täsmälleen e. 9. b b / ( )d ( ) ( b b) ( ( ) ( )) b b b b b b b( b ) b b Luvun b tulee olla. tai (ei ratkaisua)
35 4. f ( )d Määrätty integraali kuvaa pinta-alaa. Kuvaajaksi käy esimerkiksi suora, jonka alapuolelle ja -akselin yläpuolelle välillä [, ] jäävä alue on kolmio, jonka kanta on ja korkeus 4 tai suorakulmio, jonka leveys on ja korkeus. Jos kuvio on kolmio, suoralla tulee olla pisteet (, ) ja (, 4). Suoran kulmakerroin on 4 4. Suoran yhtälö: y = 4( ), josta y = 4 4. Jos kuvio on suorakulmio, kuvaaja on akselin suuntainen suora y =. Esimerkiksi funktiot f() = 4 4 ja f() = täyttävät halutut ehdot.
36 s 4. a) sin cos d (sin ) cos d u( s( )) '( ) / sin (sin ) (sin ) b) 4 4 s sin cos d (sin ) cos d / 6 u( s( )) sin '( ) (sin ) (sin ) 4 6 ( ) ( ) 8
![4 4 Väleillä [, 4 ] ja [ 5 4, ] cos sin on positiivinen ja välillä [ 4, 5 4 ] negatiivinen.](/docs-images/99/141714994/images/37-1.jpg "Integrointi pitää suorittaa erikseen jokaisella välillä.")
37 c) cos sin d Ratkaistaan itseisarvolausekkeen merkki nollakohtien avulla. cos sin cos sin : cos tan n 4 Välillä [, ] on kaksi nollakohtaa = 4 ja = Väleillä [, 4 ] ja [ 5 4, ] cos sin on positiivinen ja välillä [ 4, 5 4 ] negatiivinen. Integrointi pitää suorittaa erikseen jokaisella välillä. cos sin d (cos sin )d ( cos sin )d (cos sin )d / / / (sin cos ) ( sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) (sin cos) ( sin 5 cos 5 ) ( sin cos ) (sin cos ) (sin 5 cos 5 ) 4 4 4
38 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT b 4. Väite: kf ( )d k f ( )d a Todistus: vasen puoli: b a b a kf ( )d kf( b) kf( a) k( F( b) F( a)) oikea puoli: b k f( )d k( F( b) F( a)) kf( )d a b a 4. a) a ln a d Kun a >, integraali ilmoittaa funktion ja -akselin väliin jäävän pinta-alan. Pinta-ala on positiivinen joten ln a >, jos a >. ln d Kun < a <, ln a d d. a Koska integraali a d on a positiivinen, on d negatiivinen. Tällöin ln a <, kun < a <. a
39 b) ln d Arvioidaan pinta-alaa alapuolelle ja yläpuolelle asetettujen suorakulmioiden avulla. Suorakulmioiden leveys on =. Alapuolelle asetetun suorakulmion korkeus on f() = ja yläpuolelle asetetun suorakulmion korkeus on f() =. d ln
40 c) ln d Arvioidaan pinta-alaa ylä- ja alapuolelle asetettujen suorakulmioiden avulla, kuten b-kohdassa. Suorakulmioiden leveys on = ja korkeudet ja. d ln. Arviota voidaan tarkentaa lisäämällä suorakulmioiden määrää. Jos suorakulmioita olisikin kaksi: d 5 ln. 6
41 44. a) Funktion f() = tsin(t) kuvaajat ja nollakohdat, kun t =, ja : t = sin =, kun = + n = n tai = + n = + n yhdistettynä = n t = sin = : sin =, kun = + n tai = + n = n = + n : = n = + n yhdistettynä = n t = sin = : sin =, kun = + n tai = + n = n : = + n : = n = + n yhdistettynä = n
42 b) Funktion f() = tsin(t) kuvaajan ja -akselin rajaama pinta-ala: t = : A( ) sindcosc Alueen pinta-ala A() A() = cos + C ( cos + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = t = : A( ) sind cosc Alueen pinta-ala A( ) A() = cos ( ) + C ( cos ( ) + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = t = : A( ) sind cosc Alueen pinta-ala A( ) A() = cos ( ) + C ( cos ( ) + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = Havainto: Pinta-ala on aina. Funktion f() = tsin(t) nollakohdat (t > ) saadaan a-kohdan mukaan = n t. Alueen pinta-ala A( t ) A() = cos ( t ) + C ( cos (t ) + C) t = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + =.
43 45. a) 7 7 (t 7t6)d t / ( t t 6 t) 6 f D 7 ( ) ( 6 ) 7 6 Nollakohdat: 76 tai 6. b) Nyt ei pystytä integroimaan funktiota t e. Merkitään g ( ) t e. t e d t g( t)d t G( t) G() t g() t t e d t g( t)d t G( ) G( ) t f( ) D e dt D( G( ) G( )) g( ) g( ) ( ) e e e 9 e
44 Nollakohdat: 9 e e 8 e (e ) 8 e tai e 8 ei ratk. tai e e 8 ln 8 8 ln ln 8 ei ratkaisua Derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia.
45 46. f ( ) t dt Merkitään gt () t. Määritetään lausekkeen t nollakohdat (HUOM! muuttujana on t). t =, kun t =. t, kun t gt () t t, kun t Väli [, ]:, joten kohta, jossa itseisarvolauseke muuttuu on integrointivälillä. f ( ) t dt t dt t dt ( t)d t ( t)dt ( ) ( / t t ) / t t ( ) ( ) ( ) Väli [, ]:, joten integrointivälillä t, t < ( ) ( )d / ( ) f t t t t
![, kun f( ), kun Välillä [, ] kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin ja suurin arvo saadaan välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.](/docs-images/99/141714994/images/46-0.jpg "Derivaatta =, kun = f() =, f( ) = 4 (pienin) ja f() = Välillä ], ] kuvaaja on nouseva suora, joten se saa suurimman arvonsa kohdassa =.")
46 , kun f( ), kun Välillä [, ] kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin ja suurin arvo saadaan välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivaatta =, kun = f() =, f( ) = 4 (pienin) ja f() = Välillä ], ] kuvaaja on nouseva suora, joten se saa suurimman arvonsa kohdassa =. f() = = Suurin arvo on ja pienin arvo on 4.
47 47. G ( ) ft ( )dt f ()d t t F( ) F() G( ) D( f( t)d t) D( ( F( ) F())) D( ) ( F( ) F()) D( F( ) F()) ( F( ) F()) f( ) f()d t t f( ) G ( ) f( ) ( f ( ) G ( )) Jos f on kasvava, f() > f(t) kaikilla t:n arvoilla. Tällöin / f ( t)d t f ( )d t f ( ) d t f ( ) t f ( )( ) f ( ). Koska f ()d t t f ( ), niin f ( ) f ( t)d t G( ), kun > ja f on kasvava. Koska f() G(), f() G(), joten G( ) ( f( ) G( )), eli funktio G on kasvava.
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
![Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.](/thumbs/61/46046056.jpg "Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.")
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
jakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka
Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
4 FUNKTION ANALYSOINTIA
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6
. Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.
4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lyhyt, kevät 2016 Osa A
Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1: