Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2."

Eveliina Hakala
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Kuva. Kaksikerroksisen rakennelman malli (neliöpohjainen pyramidi) Pyramidin pohja on neliö (kuva 4), jonka sivun pituus on myös 2. Pohjan lävistäjän pituus x saadaan Pythagoraan lauseella eli = x 2 x = 2 2 Kuva 4. Neliöpohjaisen pyramidin pohja Neliöpohjaisen pyramidin korkeusjana jakaa pohjan lävistäjän kahteen yhtä suureen osaan eli pyramidin korkeus saadaan suorakulmaisesta kolmiosta (kuva 5), jossa kateettien pituudet ovat = 2 ja h on pyramidin korkeus. Hypotenuusa on sivusärmän pituus eli 2. Tällöin Pythagoraan lauseesta saadaan (h 1 ) 2 + ( 2) 2 = 2 2 h 1 = 2

2 Kuva 5. Neliöpohjaisen pyramidin korkeus Kolmiopohjainen rakennelma Kun kuulien keskipisteet yhdistetään, muodostuu tetraedri (kuva 6), jonka kaikki sivutahkot ovat tasasivuisia kolmioita, joiden sivun pituus on 2. Kuva 6. Kaksikerroksisen kasan malli (tetraedri) Pohjakolmion kärjestä piirretty korkeusjana jakaa vastaisen sivun kahteen yhtä suureen osaan eli muodostuu tasasivuinen kolmio (kuva 7), josta Pythagoraan lauseella voidaan laskea toisen kateetin eli korkeusjanan pituus: x 2 = 2 2 x = Kuva 7. Kolmiopohjaisen pyramidin pohja sekä siihen piirretyt mediaanit

3 Tetraedrin korkeusjana leikkaa pohjakolmion mediaanien leikkauspisteessä. Leikkauspiste jakaa mediaanit suhteessa 2 : 1 kärjestä lukien eli nyt saadaan suorakulmainen kolmio (kuva 8), jossa toisena kateettina on tetraedrin korkeusjana, toisena kateettina mediaanin pitempi osa ( 2 ) ja hypotenuusana tetraedrin sivusärmä (pituus 2). Tetraedrin korkeus voidaan ratkaista Pythagoraan lauseesta: (h 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 2 h 2 = 8/ = 2 2 Kuva 8. Kolmiopohjaisen pyramidin korkeus b) Kun n = 2, koko rakennelman korkeus muodostuu pyramidin korkeudesta ja sen yläja alapuolelle jäävistä osista. Koska pyramidin kärjet ovat kuulien keskipisteissä, ovat nämä osat kuulan säteen mittaisia eli yhteensä 2 1 = 2. Kun kerroksia lisätään, huomataan, että pyramideja kasataan päällekäin kuin kuulia. Tällöin kerroksen lisääminen lisää kokonaiskorkeutta h yhden pyramidin korkeuden verran. Tällöin neliöpohjaisen rakennelman korkeudeksi saadaan h a = (n 1) h ja vastaavasti kolmiopohjaisen rakennelman korkeudeksi kun n {1, 2,,...}. h b = (n 1) h 2 + 2, c) Ilmoitetaan aluksi neliö- ja kolmiopohjaisten rakennelmien kokonaiskorkeudet kerroksen n avulla. Neliöpohjaisen rakennelman korkeus h a on: h a = (n 1) h = (n 1) = 2n 2 + 2

4 Kolmiopohjaisen rakennelman korkeus h b on: h b = (n 1) h = 2 2 n Kysytyn kerrosmäärän ratkaisemiseksi täytyy muodostaa epäyhtälö, jonka ratkaisuna kerrosmäärä saadaan. Tähän on useita tapoja, esitetään niistä 2: Tapa 1 Jotta epäyhtälö voitaisiin muodostaa, on näytettävä, että h b h a. h b h a = (n 1)(h 2 h 1 ) h b h a = (n 1)( 2 2 2) Koska (n 1) 0 (kun n 1) ja ( 2 2 2) 0, 22 > 0, niin h b h a. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se: h b 1, 1h a 2 2 n ( 2n 2 + 2) 2 2 n n + ( )n Nyt muuttujan n kerroin on positiivinen ( 0, 077), jolloin epäyhtälön merkki ei vaihdu. n , Ja koska n {1, 2,,...}, niin n 4, eli kerroksia oltava vähintään neljä. Tapa 2 Kun verrataan rakennelmien korkeuksia h a = 2n ja h b = 2 2 n 2 + 2, huomataan, että korkeudet ovat yhtä suuret kun n = 1. Koska korkeuksien yhtälöt ovat suorien yhtälöitä, kulmakertoimet ovat positiivisia (muuttujan n kertoimet) ja 2 2 > 2, niin h b > h a kun n = 2,,.... Koska nyt h b h a (n 1), saadaan epäyhtälö

5 joka ratkaistaan: h b h a h a 0,, 2 2 n ( 2n 2 + 2) 2n , ( 2 2 2)n n ( 2n 2 + 2) 0 2n + 2 ( )n + ( n + 2 Tässä muodossa esitetty murtoepäyhtälö on helppo ratkaista, sillä nimittäjä on kaikilla muuttujan n {1, 2,,...} arvoilla positiivinen. Riittää siis tarkastella osoittajaa. Koska osoittaja on muodossa an+b, missä a(> 0) ja b ovat reaalisia vakioita, riittää ratkaista vain osoittajan ainut nollakohta. ) n = b a = 2 Koska a > 0, on epäyhtälön ratkaisu , 585 n , 585. Kun vielä otetaan huomioon, että n {1, 2,,...}, niin kerroksia tarvitaan vähintään 4. Kuva 9. Rakennelmien korkeudet muuttujan n funktiona.

Samankaltaiset tiedostot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen