HAARIN MITTA. 1. Differentiaalimuodot Tangenttivektorit ja -kuvaukset Vektorikentät Vektorikentät derivaatioina 4

Transkriptio

1 HAARIN MITTA Sisältö 1. Differentiaalimuodot Tangenttivektorit ja -kuvaukset Vektorikentät Vektorikentät derivaatioina Differentiaalimuodot d-muodon tilavuusmuoto ja integrointi sen suhteen 7 2. Haarin mitta Vasen ja oikea Haarin mitta Haarin mitta lineaarisella tai affiinilla Lien ryhmällä, joka on R m :n avoin joukko Haarin mitta tuloryhmällä Haarin mitta ja invariantit vektorikentät Moniston vektorikentät Lien algebrana Lien ryhmän adjungoitu esitys Ad ja Lien algebra g Eksponenttikuvaus ja yksiparametriset aliryhmät Ad, ad ja exp lineaarisessa Lien ryhmässä Lineaarisen Lien ryhmän Haarin mitta ja Lien algebra Katsaus kompaktien lineaaristen Lien ryhmien esityksiin Esityksen unitarisointi Schurin lemma Kompaktit itseadjungoidut operaattorit 35 1

2 2 HAARIN MITTA 4.4. Esitysten ortogonaalirelaatiot Peterin ja Weylin lause ja Fourier-sarjat (Ei kuulu kurssiin) Rotaatioryhmän esityksistä (Ei kuulu kurssiin) Historiaa 45

3 HAARIN MITTA 3 1. Differentiaalimuodot 1.1. Tangenttivektorit ja -kuvaukset. Määritelmä 1.1. Klassisen moniston M R n tangenttivektori pisteessä p M on sileän polun γ derivaatta γ γ(h) γ(0) (0) = lim h 0 h missä on oletettu, että γ(0) = p. Huomautus 1.2. Joukko R n, T p M = {X X on M:n tangenttivektori pisteessä p} R n on avaruuden R n vektorialiavaruus ja sama kuin lokaalin parametrisoinnin ϕ 1 derivaatan (Dϕ 1 )(ϕ(p)) kuva-avaruus, jota jo aikaisemmin olemme sanoneet moniston M tangenttiavaruudeksi pisteessä p. Määritelmä 1.3. Olkoon F : M N klassisten monistojen M R n ja N R m välinen sileä kuvaus. F kuvaa sileän polun γ :]a, b[ M sileäksi poluksi F γ monistolla N. Kuvapolun tangenttivektori kohdassa q = F (p) on määritelmän mukaan (F γ) (0), joka ketjusäännön mukaan on D p F (γ (0)). Sanomme derivaattaa d p F = T p F = (DF ) p : T p M T q M kuvauksen F tangenttikuvaukseksi eli differentiaalikuvaukseksi kohdassa p. Huomautus 1.4. Jos F on diffeomorfismi pisteiden p ja q ympäristöjen välillä, niin tangenttikuvaus kohdassa p on tietenkin lineaari-isomorfismi T p M T q M, ja tämä pätee käänteisluvauslauseen mukaan toisinkin päin: jos derivaatta jokaisessa avoimen joukon U M pisteessä p on isomorfismi, niin F on lokaali diffeomorfismi eli (lokaali) peitekuvaus ympäristöltä U monistolle N Vektorikentät. Määritelmä 1.5. Sileän moniston M tangenttikimppu T M on erillinen yhdiste sen tangenttiavaruuksista, siis p M T pm (eli muodollisesti kuvaus p T p M tai toisin tulkiten p M ({p} T pm) ). Tangenttiavaruuksia T p M sanotaan tässä yhteydessä usein tangenttikimpun säikeiksi. Huomautus 1.6. Tangenttikimppu T M varustetaan abstraktin sileän moniston rakenteella siten, että T M:n karttaympäristöjä ovat M:n karttaympäristöjen U tangenttikimput T U = p U ({p} T pm), ja karttalehdet ovat joukkoja ϕ(u) R d R d R d. Moniston T M karttakuvaukset ovat kuvaukset T U ϕ(u) R d : (p, X) (ϕ(p), D x ϕ(x). Huomaa, että nämä kuvaukset ovat säikeen säilyttäviä: saman säikeen pisteet (p, X) ja (p, Y ) kuvautuvat kumpikin samaan karteesisen tulon säikeeseen ϕ(p) R d.

4 4 HAARIN MITTA Huomaa myös, että tangenttikimppu saa karttakuvauksistaan luonnollisen topologian (Harjoitutehtävä: Tämä topologia on lokaalisti sama kuin karteesisella tulolla, mutta koko tangenttikimppu ei yleensä ole kimppuna, siis säikeet säilyttävästi isomorfinen karteesisen tulon kanssa. Yleensä se ei ole edes homeomorfinen sen kanssa). Vastaavalla tavalla voi rakentaa yleisempiäkin vektorikimppuja, jotka ovat lokaalisti muotoa U R d ja joiden karttakuvaukset vievät säikeet säikeille lineaarisesti. Tällaisia karttakuvauksia on tapana sanoa lokaaleiksi trivialisoinneiksi, sillä karteesinen tulo M R m on nimeltään triviaali vektorikimppu. Palaamme konstruktioon, jos tarvitsemme sitä. Määritelmä 1.7. Vektorikenttä eli tangenttivektorikimpun leikkaus eli sektio on sileä kuvaus ξ : M T M : p ξ p T p M. Moniston M vektorikenttien joukko on luonnollisin laskutoimituksin reaalinen vektoriavaruus, jota seuraavassa merkitään ΞM tai lyhyesti Ξ. Määritelmä 1.8. Olkoon F : M N klassisten monistojen M ja N välinen diffeomorfismi. F kuvaa vektorikentän ξ ΞM vektorikentäksi F ξ ΞN, joka määritellään asettamalla (F ξ) F (p) = T p F (ξ p ). Huomautus 1.9. Funktori F F on kovariantti, toisin sanoen kun molemmat puolet on määritelty Vektorikentät derivaatioina. (F ) = F, Huomautus Vektoriin X T p M liittyy derivointisuunnan ilmoittava funktionaali X : C (M) R : f ξf = Df p (X). Määritelmä Vektorikenttään ξ ΞM liittyy edellisen huomautuksen mukaan ensimmäisen asteen differentiaalioperaattori ξ : C (M) C M : f ξf = ( p Df p (ξ p ) R ). Huomautus Differentiaalioperaattori ξ on lineaarikuvaus C C, mutta ei säilytä funktioiden (pisteittäistä) tuloa, vaan on derivaatio pisteessä, ts. kaikille f, g C M ja p M: ( ξ(f g))(p) = ξf(p) g(p) + f(p) ξg(p) eli pätee tulon derivoimiskaava eli Leibnitzin kaava: ξ(f g) = ξf g + f ξg. Tämä on helppoa todeta koordinaateissa laskemalla, onhan ξf(p) sama asia kuin funktion f suunnattu derivaatta suuntaan ξ p pisteessä p.

5 HAARIN MITTA 5 Karttalehdellä R d on olemassa kantavektorikentät x e 1 = (1, 0,..., 0),... ja e d = (0,..., 1). Näihin liittyvät derivaatiot ovat tavalliset osittaiderivoinnit,akselien suuntaan. Lause Avaruuden R d avoimella joukolla eli avoimella alimonistolla jokainen derivaatio d : C C on (vakiolla kerrottu) suunnattu derivaatta johonkin suuntaan eli C -lineaarikombinaatio osittaisderivoinneista akselien suuntiin: d = α j (x), joka siis määräytyy tässä kannassa suunta- eli vektoriarvoisesta C -funktiosta x (α 1 (x),..., α d (x)). Todistus. Katso Holopainen. Huomautus Edellisestä lauseesta seuraa erityisesti, että jokainen derivaatio d : C C on jonkin sileän vektorikentän määräämä d = ξ jollekin ξ Ξ. Koska tämä pätee karttalehdillä, ja on lokaalia, se pätee myös jokaisella sileällä monistolla M. Koska lisäksi on ilmeistä, että eri vektorikenttiä vastaavat eri derivaatiot, on ξ ξ bijektio sileiden vektorikenttien joukolta ΞM funktiolgebran C = C (M, R) derivaatioiden joukolle. Sekä ΞM että derivaatioiden joukko ovat vektoriavaruuksia ja ξ ξ on lineaarinen, siis isomorfismi. Siksi voidaan vektorikentät samaistaa derivaatioihin. Tässä mielessä ξ = ξ. Vektorikentän x ξ x eri tulkinnat ovat hyödyllisiä eri yhteyksissä. ξ i (x) a) Koordinaateissa ξ x =.. ξ d (x) b) Koordinaateissa derivaationa ξ x = ξ x = d ξ j(x) Differentiaalimuodot. Määritelmä Sileän moniston M (sileä) 1-muoto eli asteen 1 differentiaalimuoto α on kuvaus, joka jokaiseen pisteeseen p M liittää lineaarikuvauksen α p : T p M R : ξ p α p (ξ p ) siten, että α on C -lineaarinen α : ΞM C = C (M, R). Esimerkki Funktion f C derivaatta on (asteen 1) differentiaalimuoto: df p = Df p : T p M T f(p) R = R. Koska jokaisen lineaarikuvauksen derivaatta muodostuu sen kopioista tangenttikimpun säikeisiin, niin erityisesti jokainen koordinaattifunktio x j : R d R : x x j määrittelee differentiaalimuodon dx j = x j : ΞR d C (R d ) : ξ x (ξ x ) j,

6 6 HAARIN MITTA joka siis poimii tangenttivektorin X = ξ x j:nnen koordinaatin: dx j (X) = X j. Analyysin kursseilta tiedetään, että avaruuden R n tavallisissa koordinaateissa, siis erityisesti jokaisella kartalla, funktion f derivaata on f df x = (x) dx j. eli kaikille X = ξ x T x R n on df x (X) = f (x) X j. Määritelmä Lineaarialgebrasta tiedetään, että d -ulotteisen vektoriavaruuden V kantaan liittyvät koordinaattifunktiot muodostavat kannan avaruuteen V = Hom(V, R) = {f : V R f on lineaarinen}, jota sanotaan V :n duaaliavaruudeksi. Siksi jokainen 1-muoto on lokaaleissa koordinaateissa muotoa α(ξ(x)) = α j (x)dx j missä kerroinfunktiot α j ovat sileitä. Tämä antaa aiheen määritellä moniston M kotangenttikimpun, joka muodostuu sen tangenttiavaruuksien duaaliavaruuksista: T M = p M T p. Asteen 1 differentiaalimuodot ovat kotangettikimpun leikkauksia eli kovektorikenttiä ja muodostavat vektoriavaruuden, jota merkitään seuraavassa alustavasti Ξ M. Määritelmä Olkoon F : M N klassisten monistojen M R n ja N R m välinen diffeomorfismi. F kuvaa asteen 1 differentiaalimuodon α ΞN differentiaalimuodoksi F α ΞM, joka määritellään asettamalla (F α) p (ξ p ) = α(f (ξ p )). Huomautus Edellinen määritelmän antaa kaavan, jolla voi siirtää differentiaalimuodon kartalta toiselle. Näin voi siis laskea differentiaalimuodon missä tahansa koordinaateissa, kun se on annettu jossain koordinaatistossa eli jollain kartalla. Funktorin F ylätähti viittaa siihen, että F on kontravariantti: (F ) = F. Määritelmä Kertaluvun k differentiaalimuoto ω on alternoivista k-lineaarimuodoista muodostuva kenttä, toisin sanoen C -lineaarinen ja alternoiva kuvaus eli ω Λ k Ξ(M). Pisteessä p M kuvaus ω p on alternoiva k-lineaarikuvaus joka on lineaarinen ja alternoiva. ω p : T p M T p M R (ξ 1,..., ξ k ) p ω p (ξ 1,..., ξ k ) p.

7 HAARIN MITTA 7 Määritelmä differentiaalimuodoista α 1,..., α k muodostettu kiilatulo eli ulkoinen tulo on k-lineaarimuoto α 1 α k : (ξ 1,..., ξ k ) det[α k (ξ k )] 1 i,j k C. Määritelmä Olkoon F : M N klassisten monistojen M ja N välinen diffeomorfismi. F kuvaa asteen k differentiaalimuodon ω Λ k ΞN k-differentiaalimuodoksi F ω Λ k ΞM, joka määritellään asettamalla (F ω)(ξ 1,..., ξ k ) = ω(f ξ 1,..., F ξ k )). Huomautus Näin voi siirtää k-differentiaalimuodon kartalta toiselle. Yleistettynäkin funktori F on kontravariantti: (F ) = F. Edellinen määritelmä merkitsee pisteessä p M, että (F ω) p (X 1,..., X k ) = ω F (p) (DF p (X 1 ),..., DF p (X k )). Esimerkki Koska alternoiva k-muoto on 0, kun muuttujat ovat lineaarisesti riippuvia, niin α 1 α k = 0, kun k > d = dim M. Kun k = d = dim M, niin tavallinen determinatti on vakiokerrointa vaille ainoa alternoiva k-lineaarikuvaus. Siksi d-differentiaalimuoto on koordinaateissa muotoa missä a C. ω = a(x) dx 1 dx d, 1.5. d-muodon tilavuusmuoto ja integrointi sen suhteen Huomautus Suoraan laskemalla voi todeta, että jos M ja N R d ovat avoimia joukkoja ja F : M N on diffeomorfismi, niin N-puolen d-muoto (huomaa dimensio) ω = b(y) dy 1 dy d kuvautuu kuvauksessa F M-puolen d-muodoksi F ω = b(f (x)) JF (x) dx 1 dx d, [ Fj missä JF (x) on funktion F Jacobin determinantti det x i ]. Tämä antaa mahdollisuuden määritellä ja laskea jokaiselle d-ulotteisella monistolla M annettuun d- muotoon liittyvän tilavuusmitan seuraavalla tavalla: Määritelmä Olkoon d-ulotteisella monistolla M annettu d-muoto ω. Olkoon kartan ϕ koordinaateissa lausuttuna ω = a(x) dx 1 dx d. Olkoon ω karttalehdellä määritelty mitta, joka saadaan Lebesguen mitasta painofunktiolla a(x), toisin sanoen ω (A) = a(x) dx 1... dx d. A Huomautuksen 1.25 nojalla tämä ei riipu koordinaatistosta, vaan mitan alkukuvana 1 F 1 ω = F ω, 1 Mitan µ alkukuva on mitta F 1 (µ)(a) = µ(f (A)).

8 8 HAARIN MITTA joten monistolla M määritelty d-muoto määrittelee mitan monistolla. Käytännössä tämä tarkoitaa, että mitta ei riipu käytetyistä koordinaateista. Huomautus Kartanvaihtoihin sovellettuna tämä antaa tunnetun integraalin muuttujanvaihtokaavan diffeomorfismissa F : jokaiselle kompaktikantajaiselle jatkuvalle funktiolle f karttalehdellä W pätee f(y) ω (dy) = f(f (x)) F ω (dx) F (A) eli lokaaleissa koordianaateissa f(y) a(y) dy 1... dy d = F (A) A A f(f (x)) a(f (x)) JF ((x) dx 1... dx d. Seuraus Lien ryhmien yhteydessä tarkastellaan usein tilannetta, jossa mitta ω sattuu olemaan invariantti kuvauksen F suhteen, eli pätee F ω = ±ω. Invariantille mitalle edelliset lausekkeet tietenkin yksinkertaistuvat ja saadaan: f(y) ω (dy) = f(f (x)) ω (dx) F (A) eli lokaaleissa koordianaateissa f(y) a(y) dy 1... dy d = F (A) Esimerkki a) Olkoon M = R d ja A A ω = dx 1 dx d. f(f (x)) a(f (x)) dx 1... dx d. Silloin d-muotoon ω liittyvä tilavuusmitta ω on luonnollisestikin pelkkä Lebesguen mitta itse, sillä nyt (jokaisessa tangenttiavaruudessa) on tavallisessa kannassa kaikille tangenttivektoreille X i ω p (X 1,..., X d ) = (dx 1 dx d )(X 1,..., X d ) = det[dx i (X j )] 1 i,j d = det[(x j ) i ] 1 i,j d. Matriisia [(X j ) i ] 1 i,j d on luontevaa merkitä sarakkeidensa jonona, siis [X 1... X d ]. Näin merkiten siis ω p (X 1,..., X d ) = det[x 1... X d ]. b) Olkoon M = R 2. Tarkastellaan 1-muotoa (!) ω = x 2 dx 1 + x 1 dx 2, jolle tavallisessa kannassa on tangenttivektorille X = (a, b) pisteessä p = (x, y) ω p (X) = x 2 ( dx 1 ) p (a, b) + x 1 (dx 2 ) p (a, b) = x 2 a + x 1 b = x 1 b x 2 a [ ] x1 a = det = det[p X]. b x 2 Tarkasteltavana oleva differentiaalimuoto ω = x 2 dx 1 + x 1 dx 2, on 1-muoto 2- ulotteisella monistolla R 2, joten siitä ei muodostu edellisen teorian mukaista tilavuusmittaa; ulotteisuudet eivät täsmää. Mutta tarkoitus ei olekaan integroida 1-muotoa

9 HAARIN MITTA 9 yli 2-ulotteisen moniston, vaan yli 1-ulotteisen moniston. Sellainen on esimerkiksi yksikköympyrä S 1 R 2. Tutkittavalla differentiaalimuodolla ω = x 2 dx 1 +x 1 dx 2, on luonnollisesti olemassa rajoittuma alimonistoon S 1 R 2, sillä jokainen S 1 :n tangenttivektori on samalla R 2 :n tangenttivektori: T p S 2 T p R 2. Tämä on ilmeisintä, kun ajattelee tangenttivektoreita polkujen derivaattoina. Näin voidaan differentiaalimuoto aina rajoittaa alimonistoon! 1-muoto ω = x 2 dx 1 + x 1 dx 2, määrää siis kyllä tilavuusmuodon yksikköympyrälle. Laskemme sen: [ ] x1 a Olemme jo todenneet, että pisteittäin ω p (X) = det = det[p, X]. Tästä x 2 b näkyy, että ω on rotaatioinvariantti eli invariantti ryhmän SL 2 (R) suhteen, toisin sanoen F ω = ω kaikilla F SL 2 (R), onhan jokainen F SO 2 (R) lineaarikuvaus, siis itsensä derivaatta, joten jokaisessa pisteessä p on (F ω) p (X) = ω F (p) ((DF ) p (X)) = det[f (p) (DF ) p (X)] = det[f (p) F (X)] = det[p X] = ω p (X). Tässä yhtälö det[f (p) F (X)] = det[p X] seuraa siitä, että oletuksen mukaan det F = 1 ja yleisesti 2 det[ax,, AY ] = det A det[x Y ]. Ryhmä SO 2 (R) kuvaa tietenkin ympyrän itselleen, joten on mielekästä ja edellä lasketun mukaan myös totta, että myös ω:n rajoittuma ympyrälle on invariantti ryhmän SO 2 (R) suhteen. Ympyrä on yksiulotteinen, joten 1-muoto ω määrittelee ympyrällä mitan ω, joka edellä sanotun mukaan on invariantti ryhmän SO 2 (R) suhteen ja tietenkin myös peilausten suhteen, siis koko ortogonaaliryhmän O(2) suhteen. Laskemalla ympyrän tavallisessa lokaalissa parametrisoinnissa sinin ja kosinin avulla huomaa, että löytämämme mitta on tavallinen kaarenpituus ja siis koko ympyrän mitta on 2π. c) Olemme konstruoineet differentiaalimuotojen avulla ympyrälle S 1 eli Lien ryhmälle SU 2 (C) invariantin mitan eli Haarin mitan.(ks. 2) Tavoitteenamme on konstruoida invariantti mitta muillekin Lien ryhmille. Palloista ainakin S 3 on Lien ryhmä, joten voi olla kiintoisaa konstruoida aluksi rotaatioinvariantti mitta pallolle S 3. Itse asiassa rotaatioinvariantti mitta löytyy kaikenulotteisille palloille samalla tempulla kuin ympyrällekin 3 : Olkoon M = R n ja ω = n ( 1) j 1 x j dx 1 dx j dx n. 2 Helppo harjoitustehtävä(8). Huomaa ettei hakasulku vaan matriisisulkeet sarakkeiden ympärillä. 3 Harjoitustehtävä (8): Laske tapaus S 2 eksplisiittisesti

10 10 HAARIN MITTA Tässä merkintä dx j tarkoittaa, että 1-muoto dx j on poistettava ω:n lausekkeesta, joten ω on n 1 -muoto. Laskemalla kuten kohdassa b) huomataan nyt, että ω x (X 1,..., X n 1 ) = det[x X 1 dots X n 1 ], joten nytkin ω on rotaatioinvariantti, ja siis myös sen rajoittuma yksikköpalloon S n 1 on rotaatioinvariantti eli SO n (R) -invariantti. Pallolle määräytyvä mitta ω on rotaatioinvariantti ja itse asiassa peilausinvarianttikin, siis peräti O n (R) -invariantti. d) Itse asiassa edellä konstruoimamme rotaatioinvariantti mitta on vakiokerrointa vaille ainoa rotaatioinvariantti mitta pallolla. Kertoimen voi normeerata vaatimalla, että koko pallon mitakis tulee 1. Tätä ei laskumme anna edes tapauksessa S 1, vaan pallon mitta ω (S n ) on lakettava. Tulos on missä Γ on gammafunktio. 4 ω (S n ) = 2 πn/2 Γ( n 2 ), Haar 2. Haarin mitta 2.1. Vasen ja oikea Haarin mitta. Määritelmä 2.1. Lien ryhmän Radon-mitta 5 µ on vaseninvariantti eli (vasen) Haarin mitta, 6 jos µ(ga) = µ(a) kaikille Borel-joukoille A ja kaikille g, jolloin f(gx) µ = f(x) µ kaikille jatkuville kompaktikantajaisille funktioille f. Jos µ() = 1, niin Haarin mitta on normeerattu. Lause 2.2. Haarin mitta on aina olemassa ja vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen. Perustelu: Yleinen tapaus sivuutetaan. 7 Haarin mitan olemassaolo todistetaan seuraavissa luvuissa lineaariselle Lien ryhmälle. Lisäksi laskemme sille eksplisiittisen lausekkeen klassisten ryhmien tapauksessa. Huomattakoon heti, että äärellisen ryhmän Haarin mitta on lukumäärämitta. 4 Sama kuin todennäköisyyslaskennassa. 5 Muistaakseni Radon- mitta on mitta, jossa Borel-joukot ovat mitallisia ja kompaktit joukot äärellismittaisia. 6 Alfréd Haar Unkari. 7 Riittää itse asiassa olettaa, että on lokaalikompakti topologinen ryhmä.

11 HAARIN MITTA 11 Huomautus 2.3. Vastaavalla tavalla voi määritellä oikeainvariantin mitan. Yleisessä epäkommutatiivisessa ruhmässä vasen- ja oikeainvariantti mitta ovat eri asioita, mutta ne voivat olla samoja ilman, että ryhmä on kommutatiivinen ja usein ovatkin (Ks ). Seuraava havainto tuo alustavaa valaistusta vasemman ja oikean invarianssin väliseen yhteyteen: Määritelmä 2.4. Koska Lien ryhmän normalisoitu Haarin mitta µ on yksikäsitteinen, niin jokaisella g Haarin mitta µ ja siitä g-konjugoinnilla saatava vaseninvariantti 8 mitta µ g (A) = µ(gag 1 ) eroavat toisistaan vain g:stä riippuvalla positiivisella vakiolla: Kaikilla Borel-joukoilla A on µ(ag 1 ) = µ(gag 1 ) = (g)µ(a). Näin määritelty funktio : R + on nimeltään ryhmän moduli. Huomautus 2.5. Moduli antaa tavan laskea integraalin g:llä konjugoidusta tai oikealta siirretystä funktiosta (vasen siirto oli jo yllä): f(xg 1 ) µ = f(gxg 1 ) µ = (g) f(x) µ. Lause 2.6. Jos µ on vaseninvariantti eli Haarin mitta, niin (g 1 )µ on oikeainvariantti mitta. Todistus. Ratkaisu: Oletuksen mukaan µ on vaseninvariantti, ts. kaikilla g ja kompaktikantajaisilla jatkuvilla funktioilla f on f(gx) dµ(x) = f(x) dµ(x). Modulin määritelmän mukaan f(gxg 1 ) dµ(x) = Vaihtamalla g:n rooliin g 1 saadaan f(g 1 xg) dµ(x) = (g 1 ) f(xg 1 ) dµ(x) = (g) f(x) dµ(x). f(x) dµ(x). Väite sanoo, että (x 1 )µ(x) on oikeainvariantti, eli f(xg) (x 1 ) dµ(x) = f(x) (x 1 ) dµ(x). 8 Helppo HT.

12 12 HAARIN MITTA Delta-1 Lasketaan käyttäen µ:n vaseninvarianssia sekä modulin multiplikatiivisuutta ja sen yllä viriteltyä määritelmää: f(xg) (x 1 ) dµ(x) = f(g 1 xg) (g 1 x 1 ) dµ(x) = f(g 1 xg) (g 1 x 1 g) (g 1 ) dµ(x) = (g 1 ) f(g 1 xg) ((g 1 xg) 1 ) dµ(x) = (g 1 ) (g) f(x) (x 1 ) dµ(x) = f(x) (x 1 ) dµ(x). Seuraus 2.7. Kaikilla g ja kompaktikantajaisilla jatkuvilla funktioilla f on f(x 1 ) dµ(x) = f(x) (x 1 ) dµ(x) Todistus. Huomataan aluksi, että f f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x) on vaseninvariantti mitta, minkä näkee heti soveltamalla mitan (x 1 )dµ(x) oikeainvarianssia funktioon ϕ(x) = f(x 1 ), jolloin saadaan ϕ(xg) (x 1 ) dµ(x) = ϕ(x) (x 1 ) dµ(x) eli f(g 1 x 1 ) (x 1 ) dµ(x) = f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x). Koska vaseninvariantit eli Haarin mitat eroavat toisistaan vain vakiokertoimella, on siis olemassa luku C > 0, jolla f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x) = C f(x) dµ(x). Soveltamalla tätä valiten f:n rooliin vasemman puolen integroitavan funktion ψ(x) = f(x 1 ) (x 1 ) saa, huomaten aluksi, että 1 = (x) (x 1 ): f(x) dµ(x) = f(x) (x) (x 1 ) dµ(x) = C f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x), siis C f(x) dµ(x) = C 2 f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x), mutta C f(x) dµ(x) = f(x 1 ) (x 1 ) dµ(x), joten C = 1.

13 HAARIN MITTA 13 Huomautus 2.8. Moduli on jatkuva ryhmähomomorfismi (R +, ). Todistus. Homomorfisuus on ilmeinen tosiasia. 9 Jatkuvuustodistus perustuu seuraavaan käsitteeseen ja lemmaan: Lien ryhmän (yleisemmin: topologisen ryhmän) osajoukossa E määritelty reaaliarvoinen (tai kompleksiarvoinen tms.) funktio f : E R on vasemmalta tasaisesti jatkuva, jos kaikille ɛ > 0 on olemassa neutraalialkion e ympäristö V siten, että f(x) f(y) ɛ kaikilla x E ja y E V x. Vastaavasti määritellään oikealta tasaisesti jatkuva funktio. Kompaktissa osajoukossa E jokainen jatkuva funktio on vasemmalta ja oikealta tasaisesti jatkuva. (Harjoitustehtävä(8).) Päätodistus: µ on vaseninvariantti, jolloin modulin määritelmän ja f:stä tehdyn oletuksen mukaan f(xg 1 ) dµ(x) = (g) f(x) dµ(x) = (g). Siis on kuvaus g f(xg 1 ) µ. Tämä on jatkuva, sillä oletuksen mukaan f on jatkuva, siis edellisen tehtävän mukaan molemmin puolin tasaisesti jatkuva, eli kaikille ɛ > 0 on olemassa neutraalialkion e ympäristö V siten, että f(g) f(h) ɛ kaikilla g Supp f ja h Supp f V g, jolloin (g) (h) = f(xg 1 ) dµ(x) f(xh 1 ) dµ(x) f(xg 1 ) f(xh 1 ) dµ(x) ɛ dµ(x) ɛ, sillä V voidaan valita siten, että xh 1 V xg 1, kun h V g 1. Supp f Määritelmä 2.9. Jos moduli on vakio 1 eli on unimodulaarinen, niin ryhmän vasen- ja oikeainvariantit mitat ovat samoja. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että Haarin mitta on oikeainvariantti ja sen kanssa, että on olemassa mitta, joka on sekä oikea- että vaseninvariantti. Abelin ryhmä on tietenkin unimodulaarinen. Lause Kompakti ryhmä on unimodulaarinen, samoin diskreetti ryhmä. Todistus. Jos on kompakti, niin kuvajoukko () R on kompakti aliryhmä. Mutta multiplikatiivisella ryhmällä R + ei tietenkään ole muita kompakteja aliryhmiä kuin {1}. Siis on unimodulaarinen. Jos taas on diskreetti, niin kompaktit joukot ovat äärellisiä, joten kompaktikantajainen funktio f on aina äärelliskantajainen. Mitta µ, joka kompaktikantajaiseen funktioon f liittää integraalin f µ = f(x) x 9 HT.

14 avoinhaar 14 HAARIN MITTA on oikea- ja vaseninvariantti Haarin mitta lineaarisella tai affiinilla Lien ryhmällä, joka on R m :n avoin joukko. Esimerkki Tarkastellaan Lien ryhmää, joka on R m :n avoin joukko ja jonka alkiot ovat joko lineaarisia tai affiineja kuvauksia ja laskutoimitus kuvausten yhdistäminen. Tavoitteena on löytää :n Haarin mitta yritteellä µ = hλ, missä λ on Lebesguen mitta ja painofunktio h on jatkuva. Mitan µ vaseninvarianssi merkitsee, että jokaisella g on oltava h(x) = h(gx) (JL g ), missä L g = g : ja siis JL g on vasemmalta kertomisen eli kuvauksen L g = g : Jacobin determinantti. 10 Valitsemalla g = x 1 huomaa, että ainoat ehdokkaat mitaksi µ ovat h(x) = h(e) JL x 1 = h(e) JL x 1, missä vakio h(e) määräytyy halutusta normituksesta. Esimerkkejä: a) Abelin ryhmässä (R n, +) Lebesguen mitta λ täyttää ym. ehdon, sillä tietenkin se on vaseninvariantti. Tarkastetaan asia harjoituksen vuoksi suoraankin: Olkoon g (R n, +) eli olkoon olemassa v R n, jolla g(x) = x + v kaikilla x R n. Voidaan samaistaa g ja v, jolloin kuvausten yhdistäminen vastaa vektorien yhteenlaskua ja siis jokainen L g = g on identtinen kuvaus + vakio, joten sen Jacobin determinantti on JL g = 1. b) Yksiulotteisten affinien kuvausten epäkommutatiivinen ryhmä muodostuu kuvauksista f a,b : R R : x ax + b, missä a 0. Selvästi tällaisen affiinin kuvauksen voi samaistaa matriisilla [ ] a b g = 0 1 [ x kertomiseen, kun luku x samaistetaan vektoriin x =. Näistä matriiseista muo- 1] dostuu L 2 (R):n aliryhmä, topologisena avaruutena = R\{0} R, joka on avoin osajoukko avaruudessa R 2. Vasemmalta kertominen on kuvaus L g = g : [ ] [ ] [ ] [ ] x y a b x y ax ay + b =, joka samaistuu kuvaukseen R 2 R 2 : (x, y) (ax, ay + b). 10 Huomaa, että lineaarisessa Lien ryhmässä vasemmalta kertominen on lineaarikuvaus, joten sen derivaaatta on se itse ja Jacobin determinantti siis välittömästi lasketavissa.

15 Sen Jacobin determinantti on HAARIN MITTA 15 a 0 0 a = a2. Vastaava vaseninvariantti eli Haarin mitta on siis (mahdollista vakiokerrointa vaille) µ = 1 λ, jonka suhteen integaali on koordinaateissa (a, b) lausuttuna (merkitty a 2 R = R \ {0}) f µ = f(a, b) 1 da db. a2 R R Vastaavalla tavalla tutkien oikelta kertomiskuvausta R g = g : voidaan affiinien kuvausten ryhmään rakentaa myös oikeainvariantti mitta µ r, joka tulee olemaan f µ r = f(a, b) 1 da db. a R R Modulifunktioksi saadaan siis (g) = a 2 a 1 = a 1. c) Ryhmän = L n (R) alkiot ovat kääntyvät n n-matriisit eli matriisit, joden detrminatti ei ole 0, joten on kaikkien n n-matriisien avaruuden M n = R n2 avoin joukko. Matriisitulo vasemmalta ga = L g (A) : on lineaarikuvaus (sellaisen rjoittuma), joten se on itsensä derivaatta ja sen Jacobin determinentti on siis sen determinantti. Koska matriisitulo vasemmalta ga = L g (A) lasketaan kertomalla oikeanpuoleinen matriisi A sarakkeittain, se voidaan kirjoittaa: ga = [gx 1,..., gx n ], missä vektorit x 1,..., X n ovat matriisin A sarakkeet. Siksi (HT) JL g = det L g = (det g) n. Vastaavalla tavalla saadaan oikenpuoleisen kertolaskun Jacobin deteminantti siitä huomiosta, että oikealta kertominen kertoo matriisin riveittäin. Siksi myös JR g = det R g = (det g) n. Saatavat mitat ovat samat, joten L n (R) on unimodulaarinen, vaikka ei ole kommutatiivinen. Ryhmän L n (R) Haarin mitta on siis matriisien luonnollisissa eli matriisialkioittaisissa koordianateissa x ij det g n n d) Aitojen (lävistäjällä ykkösiä) yläkolmiomatriisien ryhmä = T 0 (n, R) L n (R) voidaan topologisen avaruutena tietenkin samaistaa avaruuteen R n(n 1)/2. Se osoittautuu unimodulaariseksi ja Haarin mitta on Lebesguen mitta: n fµ = f(x) dx ij. R n(n 1)/2 i, dx ij i, e) Kaikkien kääntyvien yläkolmiomatriisien ryhmä = T (n, R) L n (R) voi- daan topologisena avaruutena samaistaa avoimeen joukkoon (R ) n R n(n+1)/2 vo

16 16 HAARIN MITTA R n(n+1)/2. (Vasen) Haarin mitta on fµ = f(x) (R ) n R n(n+1)/2 ja oikea fµ r = f(x) (R ) n R n(n+1)/2 n x ii i n 1 dx ii i=1 i<j dx ij n x ii i dx ii dx ij, joten = T (n, R) ei ole unimodulaarinen, vaan sen modulifunktio on vakiosta eroava n ( x) = x ii 2i n 1. i=1 i=1 i<j 2.3. Haarin mitta tuloryhmällä. Lause Olkoon lokaalikompakti ryhmä, esimerkiksi Lien ryhmä, ja olkoot P ja Q sen suljettuja aliryhmiä siten, että topologisena avaruutena = P Q, tarkemmin sanoen P Q : (p, q) xy on homeomorfismi. Merkitään :lla ryhmän modulifunktiota. Olkoon µ l,p vasen Haarin mitta ryhmällä P ja µ r,q oikea Haarin mitta ryhmällä Q. Silloin fµ = P Qf(xy) (y) dx(µ l,p ) dy(µ r,q ) on vasen Haarin mitta ryhmällä. (Muista: Vasen Haarin mitta on vakiota vaille yksikäsitteinen.) Todistus. Todistus tulee tähän. Se perustuu siihen, että tiedetään teoriasta, että µ on olemassa ja yksikäsitteinen ja integroidaan ensin tulomuotoisia funktioita f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y), joiden lineaarikombinaatiot ovat itse asiassa tiheässä avaruudessa C (P Q).. Seuraus Tunnetusti 11 ryhmä = L n (R) on ryhmien P = O n (R) ja Q = T (n, R) + tulo. Tässä T (n, R) + on niiden yläkolmiomatriisien ryhmä, joilla kaikki lävistäjäalkiot ovat positiivisia. Olkoon α ryhmän P = O n (R) normeerattu Haarin mitta (Kompakina ryhmänä P = O n (R) on unimodulaarinen, joten α on molemmanpuolinen Haarin mitta.) Väitetään, että α:n ja ryhmän = L n (R) Haarin mitan (joka on Lebesguen mitta λ) välillä on seuraava yhteys: jokaiselle ryhmällä L n (R) integroituvalle funktiolle f pätee: n n n f(x) det(x) n dx ij = c n f(pq) dα(p) dq ij. i, missä vakio c n riippuu vain dimensiosta n. P Q 11 Tämä ns. ramin hajoitelma ei kyllä sisälly lineaarialgebran peruskurssiin. i=1 q 1 ii i j

17 HAARIN MITTA 17 Todistus. Ryhmä L n (R) on edellisen kohdan c) mukaan unimodulaarinen ja sen Haarin mitta on det g n n i, dx ij. Erityisesti (y) = 1. Ryhmän Q = T (n, R) + oikeanpuoleinen Haarin mitta on tietenkin sama kuin ryhmän Q = T (n, R) oikeanpuoleinen Haarin mitta, joka edellä laskettiin kohdassa e) ja on µ r = n n x ii i dx ii dx ij = ( x i ii ) i=1 i<j i=1 i j Edellinen lause antaa siis tässä tapauksessa n f(x) det(x) n dx ij = fµ = c n i, = c n P Q P Q f(pq) dα(p) dx ij. f(pq) (q) dp(µ l,p ) dq(µ r,q ) n i=1 q i ii dq ij. i j Jos mitat valitaan normalisoiduiksi, vakio c n voidaan laskea valitsemalla sopiva funktio f. Tulokseksi saadaan gammafunktiolauseke c n = 2n π n(n+1)/4 n i=1 Γ( i 2 ). 3. Haarin mitta ja invariantit vektorikentät Moniston vektorikentät Lien algebrana. Palautamme seuraavassa mieleen Lien ryhmän Lien algebran käsitteen ja tulkitsemme sen hieman uudella tavalla. Todistamme seuraavassa nimittäin, että jokaisen sileän moniston vektorikentät muodostavat Lien algebran. Tavoitteena on sitten tulkita Lien ryhmän Lien algebran alkiot vektorikentiksi, jolloin niille siis jo on määritelty vektorikenttien hakatulo. Pitää sitten tietenkin tarkastaa, että se on sama asia kuin aikaisemmalla kurssilla määrittelemämme Lien ryhmän Lien algebran hakatulo. Lopullisesti tämä todistetaan (lineaariselle Lien ryhmälle) kohdassa Määritelmä 3.1. Moniston M vektorikenttä voidaan tulkita derivaatioksi ξ, joka on kuvaus C C. Kahden tällaisen yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus, yleensä ei derivaatio. Kommutaattori [ ξ, η] = ξ η η ξ on derivaatio ja näin määritelty vektorikenttien hakatulo on bilineaarinen ja antisymmetrinen, ja toteuttaa (tod: Harjoitustehtävä (9) ja alla) Jacobin identiteetin [[ξ, η], α] + [[η, α], ξ] + [[α, ξ], η] = 0, joten vektorikenttien avaruus ΞM on Lien algebra. Huomautus 3.2. Vektorikenttien hakatulo lokaaleissa koordinaateissa:

18 18 HAARIN MITTA Olkoon ξ x f = ξ x f = η x f = η x f = Sijoittamalla ja sieventämällä saadaan (ξ ηf η ξf)(x) = = ξ j (x) f η j (x) f. ξ j (x) ( η x f) η j (x) f ( ξ x f) =... x j ( ) ξ j (x) η i η j (x) ξ i f. x i i=1 Sileiden vektorikenttien ξ ja η hakatulo on siis koordinaatistossa kirjoitettuna vektorikenttä, jonka i:s komponentti on ( ξ j (x) η i η j (x) ξ ) i. ja VK-Lie Huomautus 3.3. Koska moniston M vektorikenttä voidaan tulkita derivaatioksi ξ, joka on kuvaus C C, on mahdollista muodostaa kahden tällaisen yhdistetty kuvaus ξ η. Koordinaateissa tämä merkitsee suunnattua derivointia kahteen eri suuntaan, ensin toiseen, sitten toiseen. Näin syntyy kyllä lineaarikuvaus C C, mutta yleensä ei derivaatio. Sen sijaan kahden vektorikentän kommutaattori eli niiden hakatulo [ ξ, η] = ξ η η ξ on kyllä derivaatio. On ilmeistä, että hakatulo on bilineaarinen ja antisymmetrinen. Leibnitzin kaava eli tulon derivoimiskaava on sama asia kuin että hakatulo toteuttaa Jacobin identiteetin [[ξ, η], α] + [[η, α], ξ] + [[α, ξ], η] = 0. Todistamme tämän harjoituksen vuoksi kahdella eri tavalla. 1. tapa: Määritelmän mukaan saadaan, koska vektorikenttä on lineaarikuvaus: joten [[ξ, η], γ] = (ξ η η ξ) γ γ (ξ η η ξ) = ξ η γ η ξ γ γ ξ η + γ η ξ, [[ξ, η], γ] + [[η, γ], ξ] + [[γ, ξ], η] = ξ η γ η ξ γ γ ξ η + γ η ξ + η γ ξ γ η ξ ξ η γ + ξ γ η + γ ξ η ξ γ η η γ ξ + η ξ γ = 0.

19 HAARIN MITTA tapa: Ensimmäisenä vaiheena Jacobin identiteetin todistamiseksi lasketaan hakatulo lokaaleissa koordinaateissa (samantekevää, missä koordinaateissa, käsitteethän on määritelty koordinaattivapaasti!): Olkoon kaikille f C ξ x f = ξ x f = ξ j (x) f kuten yllä ja η x f = η x f = η j (x) f. Sijoittamalla ja sieventämällä saadaan (ξ ηf η ξf)(x) = = = = = = ξ j (x) ( η x f) i=1 ξ j (x) ( d η i (x) f ) x i ξ j (x) ξ j (x) η j (x) i=1 ( i=1 i=1 i=1 i=1 ( ηi (x) f x i ) η j (x) f ( ξ x f) η j (x) f ( d ξ i (x) f ) x i η j (x) ( η i f x i + η i (x) f x i ) ( ξ i f x i + ξ i (x) f x i ) ( ξ j (x) η i f η j (x) ξ i f x i x i ) ξ j (x) η i η j (x) ξ i f x i. ) i=1 i=1 f ( ξi (x) f ) x i Sileiden vektorikenttien ξ ja η hakatulo on siis koordinaatistossa kirjoitettuna vektorikenttä, jonka i:s komponentti on ( ξ j (x) η i η j (x) ξ ) i.

20 20 HAARIN MITTA Siis [[ξ, η], γ] on vektorikenttä, jonka i:s komponentti eli ( ) ( η j ξ j γi ( d k=1 ξ k η k γ j x k x k = = j,k=1 j,k=1 k=1 ( η j γ i ξ j γ i (ξ k ξ k η k γ j x k x k ( η j γ i ξ j γ i ξ k η i ξ k η k γ j x k x k η i x k ) ξ k η i x k η k ξ i x i :n kerroin on ξ i x k ) x k )) ) (η k + γ j ) 2 η i η k ξ i 2 ξ i γ j ξ k + γ j + γ j η k x k x k x k x k Lopuksi todetaan, että kolmen tällaisen summana - kiertäen γ η ξ saadaan 0. Yhteenlaskua helpottaa, kun ryhmitellään samannäköiset termit yhteen siitä toivossa, että ne kumoavat toisensa. Pelkkiä ensimmäisiä derivaattoja sisältävien termien summaksi tulee j,k=1 ( ξ k η j x k γ i η k ξ j x k γ i γ j ξ k η i x k + γ j η k ξ i x k γ j ξ i η j ξ i η k γ i γ k η i + η k γ k ξ j + ξ j x k x k x k x k ξ j η i γ j η i γ k ξ i ξ k γ ) i + γ k ξ k η j + η j. x k x k x k x k Poimitaan tästä ne, joiden derivoimaton kerroin on ξ:n komponentti j,k=1 = = ( ξ k η j x k γ i ξ j η k γ i x k + ξ j γ k η i x k ξ k γ j x k η i ) j,k=1 j,k=1 ( ξ k η j x k γ i ξ k γ j x k η i ) + ( ξ k η j x k γ i ξ k γ j x k η i ) + j,k=1 k, ( ξ j γ k η i x k ξ j η k γ i x k ) ( ξ k γ j x k η i ξ k η j x k γ i ) = 0 Samalla tavalla käsitellään η- ja γ-kertoimiset termit ja lopuksi toisen asteen derivaat, joten olemme nyt todistaneet kahteen kertaan, että sileän moniston tangenttivektorikimppu eli vektorikenttien avaruus ΞM on Lien algebra Lien ryhmän adjungoitu esitys Ad ja Lien algebra g. Huomautus 3.4. Lineaarisen Lien ryhmän Lien algebra g on edellisellä kurssilla määritelty sen tangenttiavaruudeksi neutraalialkion kohdalla varustettuna tietyllä tavalla suuntaiderivaatoista saadulla hakatulolla, joka todistettiin samaksi kuin tangenttivektoreina olevien matriisien kommutaattori [X, Y ] = XY Y X.

21 HAARIN MITTA 21 Muistamme samalla, että matriisien eksponenttifunktio välitti yhteyden, jota myös voisi pitää lineaarisen Lien ryhmän Lien algebran g määritelmänä: (Harjoitustehtävä(10)) g = {X M n n t R : exp(tx) }. Seuraava yleinen määritelmä on sama kuin edellisellä kurssilla, mutta esitettynä monistoterminologiassa. Ideana on, että Lien sulkeet saadaan derivoimalla ryhmän konjugointikuvaus eli sisäinen automorfismi ensin muuttujan (keskellä) suhteen ja sitten myös konjugoivan alkion suhteen. Seuraava sanamuoto on tähän pääosin viritetty Karen Smithin luennoista, jotka on jo jaettu aikaisemmin Ad1 Määritelmä 3.5. K.S. Vaihe 1. Olkoon η n-ulotteisen Lien ryhmän toiminta konjugointina ryhmässä, ts. kullakin g on η g : h ghg 1 Kukin kuvaus η g (kiinteällä g ) on diffeomorfismi ja η g (e) = e, joten sen derivaatta kohdassa e on bijektiivinen lineaarikuvaus (dη g ) e : T e T e. Kuvaus g (dη g ) e on Lien ryhmähomomorfismi L(T e ) (Harjoitustehtävä. (9?). Sen nimi on Lien ryhmän adjungoitu esitys, Ad : L(T e ) L n (R) g (Ad g = (dη g ) e : T e T e ) Vaihe 2. Huomataan, että myös kuvaus Ad eli riippuvuus g:stä on sileä. Silläkin on siis derivaatta kohdassa e. Määritellään ja merkitään 12 ad = (d Ad) e : T e T I (L(T e )) X (ad X : T e T e ). Kuvauksen Ad derivaatta ad on siis lineaarikuvaus Lien ryhmän tangenttiavaruudelta T e vektoriavaruuden L(T e ) tangenttiavaruudelle kohdassa I eli avaruudelle T I (L(T e )) M n n {lineaarikuvaukset T e T e }. Vaihe 3. Määritellään lopuksi, että vektoriavaruuden T e Lien sulku on = ad X Y, ts. ad X = [X, ]. Olemme edellisellä kurssilla todenneet tämän toteuttavan Lien algebran määritelmän: bilineaarisuuden, antisymmetrian ja Jacobin identiteetin. Lien ryhmän tangenttiavaruus kohdassa e varustettuna tällä Lien sululla on Lien ryhmän Lien algebra. 12 Merkitään toisinaan Ad X, toisinaan Ad X, samoin ad X, toisinaan ad X.

22 22 HAARIN MITTA Huomautus 3.6. Seuraavassa kerrataan tällä terminologialla (uudelleen, mutta periaatteessa samalla tavalla kuin 1. kursilla!) edellisen määritelmän yhteydessä esitetyt väitteet. Vaihe 1. Konjugointi on diffeomorfismi, joten Ad g eli d e η g on lineaarinen bijektio T e T e. Ketjusäännön mukaan Ad gg = d e η gg = d e (η g η g ) = d η (e)η g d e η g = d e η g d e η g = Ad g Ad g, eli Ad : L(T e ) L n (R) on homomorfismi, lisäksi tietenkin sileä, minkä huomaa lokaaleissa koordinaateissa, (matriisielementit!). Vaihe 2. Ad on siis sileä. Sen derivaatta ad on lineaarikuvaus, ts. T e T I (L(T e )) M n n {lineaarikuvaukset T e T e }. Vaihe 3 a) Sulkeiden [X, Y ] = ad X Y bilineaarisuus: Koska ad X on lineaarikuvaus T e T e, niin Y [X, Y ] = ad X Y on tietenkin lineaarinen muuttujan Y suhteen. Lineaarisuus muuttujan X suhteen johtuu vastaavasti siitä, että kuvaus ad : X ad X on kuvauksen Ad derivaatta jossain kohdassa ja siis lineaarikuvaus. Vaihe 3 b) c) Sulkeiden [X, Y ] = ad X Y alternoivuus ja Jacobin identiteetti. Nämä asiat eivät ole itsestäänselviä. Seuraavassa ne johdetaan osoittamalla, että Lien ryhmän Lien algebran kuvaus ad itse asiassa on vastaavan moniston tangenttivektorikenttien kommutaattori. Yhteyden antaa eksponenttifunktio. (K.S. luennoissa on ensin pari esimerkkiä. Niitä tuskin enää tarvitaan). Sen sijaan seuraavalla lauseella on mielenkiintoa: Lause 3.7. Olkoon Lien ryhmä. Lineaarikuvaus ad : T e gl(t e ) eli g gl(g) säilyttää Lien sulkeet, toisin sanoen kaikille X, Y g: ad [X,Y ] = [ad X, ad Y ], missä vasemmalla on Lien ryhmän Lien algebran g sulkeet ja oikealla Lien ryhmän L(T e ) Lien algebran gl(t e ) Lien sulkeet, jotka tunnetusti (KS ja aikaisempi kurssi kohta??) ovat lineaarikuvausten strandardisulkeet. Todistus. Todistettava kaava sanoo tasan sen, että Jacobin identiteetti on voimassa ryhmän Lien algebralle: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 [X, [Y, Z]] [Y, [X, Z]] [[X, Y ], Z] = 0 ad X ([Y, Z]) ad Y ([X, Z]) ad [X,Y ] (Z) = 0 ad X (ad Y (Z)) ad Y (ad X (Z)) ad [X,Y ] (Z) = 0 ad X ad Y ad Y ad X = ad [X,Y ]

23 Tämä tulos on erikoistapaus seuraavasta lauseesta: HAARIN MITTA 23 Lause 3.8. Olkoon f : H Lien ryhmien homomorfismi. Derivaatta df e : T e gl(t e ) eli g H on Lien algebrahomomorfismi eli lineaarikuvaus, joka lisäksi säilyttää Lien sulkeet, toisin sanoen kaikille X, Y g: df e [X, Y ] = [df e X, df e Y ], missä vasemmalla on Lien ryhmän Lien algebran g sulkeet ja oikealla Lien ryhmän H Lien algebran H Lien sulkeet. Todistusluonnos: Tämä todistetttin 1. kurssilla! Ryhmähomomorfismin derivaatta on algebrahomomorfismi! 13 TÄSSÄ TODISTUSLUONNOS??? On ilmeistä, että ryhmän konjugointi voidaan vaihtaa homomorfismin kanssa siinä mielessä, että diagramma f H η g η f(g) f H kommutoi eli f(ghg 1 ) = f(g)f(h)f(g) 1 kaikilla g, h H. Derivoimalla kaikki kuvaukset saadaan ketjusäännön perusteella kommutatiivinen diagramma: kaikilla g jolloin on saatu kuvaukset d ef g H Ad g Ad f(g) g d ef f H H Ad Ad L(g) L(H) siten, että kaikilla X Ad() L(g) on Derivoimalla tämä g:n suhteen saadaan df e (Ad g (X)) = Ad f(g) d e f(x). g ad gl(g) d ef H ad gl(h), jossa jälleen ao. kuvajoukossa ad(g) gl(g) pätee diagramman kommutatiivisuuskaava eli kaikilla Y g d e f(ad X )(Y ) = ad def(x) d e f(y ), eli d e f([x, Y ]) = [d e f(x), d e f(y )]. 13 Täytynee varmistaa ettei jäänyt kiertopäättelyä. Viime kädessä todistus perustuu joka tapauksessa eksponenttifunktioon.

24 24 HAARIN MITTA 3.3. Eksponenttikuvaus ja yksiparametriset aliryhmät. Määritelmä 3.9. Reaalisen Lien algebran esitys on Lien algebrahomomorfismi Lien algebralle L n (R). Vastaavasti määritellään kompleksinen ja yleisen Lien algebran esitys. Huomautus Aikaisemmalta kurssilta tiedämme, että ainakin lineaarisen Lien ryhmän Lien algebra g on vektoriavaruutena tangenttiavaruus T e em. sulkein. Tämä on luonnollinen yhteys siinä mielessä, että se säilyttää homomorfismitkin, erityisesti jokaisesta ryhmän esityksestä ρ : L n (R) saadaan Lien algebraesitys (Dρ) e : g gl n (R). Tämä yhteys on käännettävissä: Lien ryhmän esitys voidaan rekonstruoida vastaavasta Lien algebran esityksestä. Eksponenttikuvaus on väline tähän tarkoitukseen; itse asiassa exp (Df) e = f exp. Huomautus Matriisien eksponenttikuvauksella on mm. seuraavat ominaisuudet: (1) exp X = X k k=0 suppenee kaikille neliömatriiseille X. k! (2) Jos XY = Y X, niin exp(x + Y ) = exp X exp Y. (Tämä ei päde mommutoimattomille matreiiseille, vaan niille pätee Hausdorffin ja Campbellin kaava, josta seuraa exp X exp Y = exp(x + Y + 1[X, Y ] + 1 [X, [X, Y ]] ylempiä termejä).) (3) Edellisestä seuraa (4) Jos on lineaarinen Lien ryhmä ja g sen Lien algebra, niin tarpeeksi pieneen 0:n ympäristöön rajoitettuna eksponenttikuvaus on diffeomorfismi jollekin :n neutraalialkion ympäristölle. Eksponenttifunktion käänteisykuvauksen eli logaritmifunktion määrittelee tavanmukainen logaritmin sarjakehitelmä log(g) = ( 1) k+1 (g I) k, k k=1 joka suppenee jossain ykkösmatriisin ympäristössä. (5) exp( X) = (exp X) 1. (6) exp(gxg 1 ) = g exp Xg 1. (7) Diagonaalimatriisille pätee exp diag(λ i ) = diag(e λ i ). (8) det exp X = exp(tr X) Todistus. Edellinen kurssi. expomin Huomautus Matriisien eksponenttikuvauksella on lisäksi mm. seuraavat ominaisuudet: (1) exp on homeomorfismi Sym(n, R) P n, missä Sym(n, R) = {X M n n X on reaalinen ja symmetrinen} ja P n = {X Sym(n, R) X on positiividefiniitti.} (2) Eksponenttikuvauksen derivaatta origon kohdalla on (D exp) 0 = I. (Käänteiskuvauslauseen mukaan exp siis on lokaali diffeomorfismi origon kohdalla.)

25 HAARIN MITTA 25 (3) Eksponenttikuvauksen derivaatta kohdassa A on ( 1) k (D exp) A X = exp A (k + 1)! (ad A)k X, k=0 missä ad A X = [A, X] = AX XA ja siis (ad A) 2 X = [A, [A, X]] jne. Todistus. (1) Sivuutetaan. (2) on helppo ja sitäpaitsi seuraa kohdasta (3). (3) saadaan derivoimalla sarja termeittäin. Ero reaali- tai kompleksimuuttujan eksponenttifunktion derivointikaavaan johtuu siitä, että matriisin potenssikuvauksen P k : X X k derivaatta kohdassa A on (DP k ) A X = d dt (S + k 1 tx)k t=0 = A k j 1 XA j. Huomautus Eksponenttikuvaus voidaan määritellä myös ilman sarjakehitelmää, vieläpä tavalla, joka yleistyy kaikille Lien ryhmille. Matriisien eksponenttikuvauksella on mm. seuraavat ominaisuudet: (1) exp : g on sileä kuvaus. (2) 0 e (3) (D exp) 0 = Id g. Nämä eivät kuitenkaan yksin riitä määräämään eksponenttifunktiota yksikäsitteisesti, eihän funktiosta ole origonympäristön ulkopuolella ole oletettu muuta kuin sileys. Ei ole muutenkaan yllättävää, että määritelmä?? on vielä puutteellinen, eihän siinä lainkaan esiinny Lien algebran g sulkeita sen enempää kuin ryhmän laskutoimitustakaan. Lien ryhmille eksponenttikuvauksen määrittelevä ominaisuus on, että asetetaan yllä asetettujen ehtojen (1), (2) ja (3) lisäksi vaatimus, että eksponettifunktion pitää olla seuraavassa mielessä luonnollinen: j=0 expad (4) Jos f : H on Lien ryhmien homomorfismi, niin kaavio f H exp exp g d ef kommutoi eli exp (Df) e = f exp.(ks. 3.20) Huomautus Yleisen Lien ryhmän Lien algebrassa eksponenttikuvauksen konstruktio ja yksikäsitteisyystodistus perustuu siihen, että Lien algebran alkio ensin tulkitaan (vaseninvariantiksi) vektorikentäksi Lien ryhmällä ja käytetään sitten tietoa, että moniston sileällä nollakohdattomalla vektorikentällä ainakin lokaalisti on h

26 26 HAARIN MITTA olemassa vektorikentän virtaus eli integraali, joka on sellainen funktio F :]a, b[ M M, että jokaisen integraalikiäyrän eli osittaiskuvauksen t x(t) = F (t, x 0 ) derivaatta hetkellä t eli virtauksen nopeusvektori on sama kuin annettu vektori x(t) = F (t, x 0 ). Integraalikäyrät ovat siis vektorikentän suuntaisia käyriä eli virtaviivoja parametrisoituina kentän antamin nopeuksin. Virtauksen avulla määritellään eksponenttikuvaus. Se tapahtuu näin: exp : g : X F (1, X). Todistus sille, että tämä toimii, on esitetty Karen Smithin luennoissa, jotka jaettiin kurssin alussa. Näin saadulla eksponenttifunktiolla ei tietenkään yleisesti päde laskusääntö exp(x + Y ) = exp X exp Y, jonka mukaan exp olisi ryhmähomomorfismi vektoriavaruuden g additiividelta ryhmältä ryhmälle. Seuraava käsite, yksiparametrinen aliryhmä, on tämän puutteen korvaava idea, jonka mukaan kaikilla X g rajoittuma exp RX on ryhmähomomorfismi RX R, toisin sanoen kaikilla λ, µ R ja X g exp((λ + µ)x) = exp(λx) exp(µx). Seuraavassa lauseessa kiinnitetään huomiota siihen, että tämä pätee matriisien eksponenttifunktiolle. Samalla huomataan, ettei lineaarisella Lien ryhmällä ole muita yksiparametrisia aliryhmiä kuin eksponettifunktiosta saadut. Määritelmä Lien ryhmän yksiparametrinen aliryhmä, on Lien 14 ryhmähomomorfismi R. Lause Olkoon γ Lien ryhmän yksiparametrinen aliryhmä. Silloin t R missä A = γ (0). Todistus. γ(t) = exp(ta), γ γ(t + s) γ(t) (t) = lim s 0 s γ(s) γ(0) = γ(t) lim s 0 s = γ(t)γ (0) = γ (t)γ(0) = Aγ(t), joten γ toteuttaa differentiaaliyhtälön γ (t) = Aγ(t) ja tietenkin myös alkuehdon γ(0) = I. Eksponenttifunktio t exp(ta) toteuttaa tietenkin sekä yhtälön että alkuehdon (Harjoitustehtävä(11)). Muita ratkaisuja ei ole, sillä jos γ on ratkaisu, niin matriisitulon derivoimiskaavan mukaan d (exp( ta)γ(t)) = A dt exp( ta)γ(t)+exp( ta)γ (t) = exp( ta)( Aγ(t)+Aγ(t)) = 0, joten exp( ta)γ(t) on vakio, siis exp( ta)γ(t) = exp( 0A)γ(0) = I ja siis exp(ta) = γ(t). 14 Riittää olettaa, että γ on jatkuva. Sileys todistettiin luennolla konvoluution avulla.

27 Lause Lien ryhmän M n n Lien algebra on HAARIN MITTA 27 g = {X M n n exp(tx) kaikille t R}. Todistus. Harjoitustehtävä (11). Merkittävää tässä Lien alagebran karakterisoinnissa on, ettei siis muita polkuja kuin eksponenttifunktiosta tulevia, lainkaan tarvita Lien algebran tekoon. Tämän avulla on myös aika helppoa tunnistaa klassisia Lien algebroita. (Harjoitustehtävä(12) 3.4. Ad, ad ja exp lineaarisessa Lien ryhmässä. Huomautus Muistetaan aluksi Lien ryhmän ja sen Lien algebran g adjungoitujen esitysten Ad, ad määritelmät (3.5) ja täydennetään niitä: Olkoon η n-ulotteisen Lien ryhmän toiminta konjugointina: η g : : h ghg 1. Sen derivaatta kohdassa e on bijektiivinen lineaarikuvaus Ad g = (dη g ) e : T e T e eli g g. Lineaarisen Lien ryhmän tapauksessa η g : h ghg 1 on lineaarikuvauksen rajoittuma, joten sen derivaatalla on sama lauseke: 15 Ad g : g g : X gxg 1. Lien ryhmän adjungoitu esitys Ad : g (dη g ) e on sileä homomorfismi L(g) L n (R). (Harjoitustehtävä. Ks. myös 3.19.) Sen derivaatta neutraalialkion kohdalla on Lien algebran g adjungoitu esitys: ad = (d Ad) e : g T I (L(g)) : X (ad X : g g). Kuvauksen Ad derivaattana ad on lineaarikuvaus Lien ryhmän tangenttiavaruudelta g vektoriavaruuden L(g) tangenttiavaruudelle kohdassa I eli avaruudelle T I (g)) = {lineaarikuvaukset g g} M n n. Vektoriavaruuden g Lien sulku on [X, Y ] = ad X Y, ts. ad X = [X, ]. Ad2 Lause Lineaarisessa Lien ryhmässä pätee kaikille X g: d dt Ad exp tx t=0 = ad X. Todistus. Lineaarisessa Lien ryhmässä on adjungoidun esityksen lauseke Ad exp(tx) Y = exp(tx)y (exp( tx), joten d dt Ad(exp(tX)) t=0 = d dt exp(tx)y exp( tx) t=0 = X exp(tx)y exp( tx) t=0 exp(tx)y X exp( tx) t=0 = [X, Y ] = ad X Y. 15 Lineaarisessa tapauksessa huomaa suoraankin, että gxg 1 g, kun g ja X g, sillä kaikilla t on exp(t(gxg 1 )) = g exp(tx)g 1.

28 28 HAARIN MITTA Seuraava lause vahvistaa, että eksponenttikuvaus toteuttaa huomautuksen 3.13 kohdan (4) vaatimuksen morfismeille Ad ja ad. Adexp Lause Olkoon Exp eksponenttikuvaus gl() L(). Näin merkiten 16 Exp(ad X) = Ad(exp X). Todistus. Sekä kuvaus γ 1 (t) = Exp(t Ad X ) että kuvaus γ 2 (t) = Ad(exp(tX)) ovat ryhmän yhden parametrin aliryhmiä samalla alkuarvolla γ 1(0) = γ 1(0) = Ad X, joten ne ovat sama kuvaus. (Harjoitustehtävä(12): tarkasta yksityiskohdat.) invkentt 3.5. Lineaarisen Lien ryhmän Haarin mitta ja Lien algebra. Lause Lineaarisen Lien ryhmän Lien algebra g voidaan määritellä seuraavilla yhtäpitävillä tavoilla. (1) g on :n tangenttivaruus kohdassa e, laskutoimituksena [X, Y ] = ad X Y. (2) g = {X M n n exp(tx) kaikille t R} laskutoimituksena matriisikertolaskun [X, Y ] = XY Y X. (3) g = {ξ ΞM ξ in vaseninvariantti} laskutoimituksena moniston vektorikenttien Lien sulkeet. (Vektorikentän vaseninvarianssi määritellään todistuksen alussa.) Todistus. Tiedämme jo, että (1) ja (2) antavat saman käsitteen ja että kaikkien sileiden vektorikenttien avaruus on Lien algebra. Kohdan (3) varmistamiseksi kerrataan vaseninvariantin vektorikentän käsite ja muodostetaan injektiivinen Lien algebrahomomorfismi T e () Ξ : X ξ X, jonka kuvajoukkona ovat tasan kaikki vaseninvariantit vektorikentät; vektorikenttä ξ Ξ() on vaseninvariantti eli invariantti moniston diffeomorfismien L g : h hg suhteen, jos kaikilla g pätee (L g ) ξ = ξ eli kaikilla g, h (dl g ) h (ξ h ) = ξ gh, missä L g : : h gh on kertominen vasemmalta alkiolla g ja (dl g ) h : T h T gh on sen derivaatta eli tangenttikuvaus kohdassa h. Lineaarisen Lien ryhmän tapauksessa L g on lineaarikuvaus ja siis itsensä derivaatta, joten invarianssiehto saa muodon (L g ) h (ξ h ) = ξ gh eli yksinkertaisesti gξ h = ξ gh. Tämä antaa aiheen määritellä etsitty Lien algebramorfismi X ξ X asettamalla ensin neutraalialkion kohdalla (ξ X ) e = X 16 gl(g) = { lineaarikuvaukset g g} = End(g).

29 ja sitten muissa pisteissä HAARIN MITTA 29 (ξ X ) g = (DL g ) e (ξ X ) e = gx. On helppoa todeta, että näin tulee määritellyksi vektorikenttä, selvästikin vaseninvariantti. On myös ilmeistä, että jokainen vaseninvariantti vektorikenttä on tätä muotoa. Koska vasemmalta kertominen on diffeomorfismi, niin sen derivaatta on bijektio, joten X 0 = (ξ X ) g = (dl g ) e X 0 ja siis kuvaus X ξ X on lineaarinen injektio. Lien sulkeiden säilymisen toteamiseksi vektorikenttät ξ Ξ kannattaa tulkita derivaatioiksi, onhan derivaatioiden ξ ja η Lien sulje yksinkertaisesti [ ξ, η] = ξ η η ξ. Merkitsemme vektorikenttää ξ vastaavaa derivaatiota 17 tässä selvyyden vuoksi ξ Ξ. Muistin virkistykseksi: ξ : C () C : ( ξf)(g) = (Df) g ξ g. Erityisesti vektorikenttää ξ X vastaa derivaatio ( ξ X f)(g) = (Df) g (ξ X ) g = (Df) g (gx). Erityisesti, jos X T e tulkitaan määritelmän (2) mielessä, siis matriisina, jolla jokainen exp(tx) ), niin ketjusäännön mukaan derivoiden (Harjoitustehtävä (12)): ( ξ X f)(g) = (Df) g (gx) = d dt t=0 f(g exp tx). Tästä saadaan sulkeiden säilymiskaava. Väite on Määritelmän mukaan ([ ξ X, ξ Y ]f)(g) = ( ξ [X,Y ] f)(g). ([ ξ X, ξ Y ])(g) = ( ξ X ( ξ Y f))(g) ( ξ Y ( ξ X f))(g). Tästä väite seuraa (HT (12)), sillä ( ξ X ( ξ Y f))(g) = d d ds s=0 dt t=0 f(g exp sx exp ty ) = (D 2 f) g (gx, gy ) + (Df) g (gxy ). Huomautus Nyt kun Lien ryhmän tangenttivektori neutraalialkon kohdalla osataan samaistaa vaseninvarianttiin vektorikenttään, voidaan myös muut tangenttiavaruuden lineaarialgebralliset objektit tulkita vaseninvarianttien kenttien avulla. Erityisesti voidaan tangenttiavaruuden T e alternoiva k-lineaarikuvaus ω = ω e tulkita differentiaalimuodoksi asettamalla ω g (gx 1,..., gx k ) = ω(x 1,..., X k ). Tämä on tietenkin ainoa vaseninvariantti k-muoto, joka neutraalialkion kohdalla yhtyy k-lineaarikuvaukseen ω. 17 Nämä derivaatiot ovat tietenkin 1. kertaluvun differentiaalioperaattoreita, kuten kirjallisuudessa usein sanotaan.