[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
|
|
- Elisabet Lehtinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin tarvittavan ekvivalenssirelaation käsitteen. Määritelmä 3.1. Olkoon A epätyhjä joukko. Joukon A A osajoukko on relaatio joukossa A. Jos R A A on relaatio, usein merkitään a R b, jos(a, b) 2 R. Määritelmä 3.2. Joukon A relaatio R on (1) refleksiivinen, josa R a kaikilla a 2 A, (2) symmetrinen, josb R a kaikilla a, b 2 A, joillea R b, (3) transitiivinen, josa R c aina kun a R b ja b R c, (4) antisymmetrinen, josb = a kaikilla a, b 2 A, joillea R b ja b R a. Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, se on ekvivalenssirelaatio. JosR on ekvivalenssirelaatio joukossa A, sanotaan,ettäjoukona alkiot a ja b ovat ekvivalentteja, jos a R b. Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä. Määritelmä 3.3. Jos on ekvivalenssirelaatio joukossa A, niinjokainenjoukona alkio a määrää ekvivalenssiluokan Ekvivalenssiluokkien joukko [a] ={b 2 A : a b}. A/ = [a] :a 2 A on ekvivalenssirelaatiota vastaava joukon A tekijäjoukko. Kuvaus A! A/, a 7! [a], on ekvivalenssirelaatiota vastaava tekijäkuvaus eli luonnollinen kuvaus. [0] = [5] = [2] + [3] [1] = [6] = [2][3] [2] = [ 3] = [3] = [ 2] = Kuva 4. Kongruenssiluokat modulo 5. Esimerkki 3.4. Olkoon q 2 N, q 2. Olkoonrelaatio kokonaislukujen joukossa Z määritelty säännöllä a b, josonk 2 Z siten, että b = a + kq. Tällöin on ekvivalenssirelaatio: (1) a = a +0q kaikilla a 2 Z, (2) jos b = a + kq jollain k 2 Z, niina = b +( kq), (3) jos b = a + kq ja c = b + nq joillain k, n 2 Z, niinc = a +(k + n)q. Ekvivalenssirelaatiota kutsutaan kongruenssiksi (modulo q). Koskaekvivalenssi- relaatio riippuu luonnollisesta luvusta q, tälleekvivalenssirelaatiollekäytetäänmer- kintää a b mod q tai a b (mod q). 16
2 Kongruenssia vastaavia ekvivalenssiluokkia sanotaan kongruenssiluokiksi (modulo q) ja vastaavalle tekijäjoukolle käytetään merkintää Z/qZ. Tämä merkintätapa on yhteensopiva luvussa 7 esiteltävän yleisemmän teorian kanssa. Kokonaislukujen jakoyhtälön avulla (todistetaan esimerkiksi kurssilla Lukuteorian alkeet) nähdään, että Ekvivalenssiluokat ovat erillisiä: Z/qZ = {[0], [1], [2],...,[q 1]}. Lemma 3.5. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Pisteiden x, y 2 A ekvivalenssiluokille pätee: (1) Jos x y, niin[x] =[y]. (2) Jos [x] \ [y] 6= ;, niin[x] =[y]. Todistus. Harjoitustehtävä 28. Olkoot A i, i 2 I joukon A epätyhjiä osajoukkoja. Jos (3) A = [ i2i A i ja kaikille i 6= j pätee A i \ A j = ;, sanotaan,ettäa on erillinen yhdiste joukoista A i, i 2 I. Merkitsemme joukkojen A i, i 2 I, erillistäyhdistettä A = G i2i A i. Tämä merkintä sisältää tiedon, että yhdistettävät joukot ovat erillisiä. Jos A = F i2i A i,niinjoukota i, i 2 I muodostavat joukon A osituksen. Lemman 3.5 nojalla joukon X ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokat muodostavat joukon X osituksen. Itse asiassa myös käänteinen väite pätee: Jos joukot A i, i 2 I muodostavat joukon A osituksen, määritellään relaatio R asettamalla x R y, jos ja vain jos x, y 2 A i jollain i 2 I. Osoittautuu,ettärelaatioR on ekvivalenssirelaatio. Propositio 3.6. Olkoon X 6= ;. (1) Joukon X ekvivalenssirelaatio määrää joukon X osituksen. (2) Joukon X ositus määrää joukon X ekvivalenssirelaation. Todistus. Kohta (1) seuraa Lemmasta 3.5. Todistetaan kohta (2): Olkoon R osituksen A = F i2i A i määräämä relaatio. Tarkastamme ekvivalenssirelaation määrittelevät ominaisuudet: Koska A = S i2i A i,niinjokaisellea 2 A pätee a 2 A i jollakin i 2 I. Siis a R a, jotenr on refleksiivinen. Symmetrisyys on selvä, koska relaatio R määritellään ehdolla a, b 2 A i. Oletetaan, että a, b 2 A i ja b, c 2 A j joillain i, j 2 I. KoskajoukotA k, k 2 I muodostavat joukon A osituksen, pätee joko A i = A j tai A i \ A j = ;. Oletuksen mukaan b 2 A i \ A j,jotena i = A j,jasiisa, c 2 A i,jotenrelaatio R on transitiivinen. Määritelmä 3.7. Joukon A laskutoimitus ja ekvivalenssirelaatio ovat yhteensopivat, josa b a 0 b 0 aina kun a a 0 ja b b 0.JosjoukonA ekvivalenssirelaatio ja laskutoimitus ovat yhteensopivat, niin joukon A/ laskutoimitus, joka määritellään asettamalla [a] [b] =[a b] on laskutoimituksen määräämä tekijälaskutoimitus. 17
3 On helppo nähdä, että yhteensopivuus takaa sen, että tekijälaskutoimitus on hyvin määritelty. Seuraavat havainnot seuraavat suoraviivaisesti määritelmistä: Propositio 3.8. Olkoon laskutoimituksella varustetun joukon (E,) laskutoimituksen kanssa yhteensopiva ekvivalenssirelaatio. Luonnollinen kuvaus E! E/ on surjektiivinen homomorfismi. Jos e 2 E on laskutoimituksen neutraalialkio, niin [e] 2 E/ on tekijälaskutoimituksen neutraalialkio. Todistus. Olkoon luonnollinen kuvaus. Kaikille a, b 2 E pätee (a) (b) =[a] [b] =[a b] = (a b), joten luonnollinen kuvaus on homomorfismi. Kuvauksen surjektiivisuus on selvää, koska jokaisella ekvivalenssiluokalla on edustaja joukossa E. Neutraalialkiotakoske- va väite seuraa Propositiosta Propositio 3.9. Olkoon laskutoimituksella varustetun joukon (E,) laskutoimituksen kanssa yhteensopiva ekvivalenssirelaatio. Jos laskutoimitus on assosiatiivinen, sen tekijälaskutoimitus on assosiatiivinen. Jos on kommutatiivinen, sen tekijälaskutoimitus on kommutatiivinen. Todistus. Koska luonnollinen kuvaus on Proposition 3.8 mukaan surjektiivinen homomorfismi, väite seuraa Propositiosta Esimerkki Kokonaislukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat yhteensopivia kongruenssin kanssa. Osoitamme tämän yhteenlaskulle: Jos a 0 = a+mq ja b 0 = b+nq, niin a 0 + b 0 = a + b +(m + n)q, joten a 0 + b 0 a + b mod q. Kertolaskulle väite osoitetaan samaan tapaan harjoituksissa (Harjoitustehtävä 29). Kokonaislukujen yhteenlasku ja kertolasku määräävät siis laskutoimitukset q alkion joukossa Z/qZ. Proposition 3.9 nojalla molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia. Käytämme molemmille kongruenssiluokkien laskutoimituksille samaa merkintää kuin indusoiville laskutoimituksille: [a]+[b] =[a + b] ja [a][b] =[ab] kaikille [a], [b] 2 Z/qZ. Proposition 3.8 mukaan [0] on kongruenssiluokkien yhteenlaskun neutraalialkio ja [1] on kongruenssiluokkien kertolaskun neutraalialkio. Kurssilla Lukualueet tarkastellaan kokonaislukujen ja rationaalilukujen konstruktiota luonnollisista luvuista lähtien. Luonnollisten lukujen joukko ja sen laskutoimitukset yhteenlasku ja kertolasku oletetaan intuitiivisesti tunnetuiksi. Lukualueiden kurssin aikana konstruoidaan muut lukualueet Z Q R C laajentamalla asteittain luonnollisista luvuista lähtien. Samalla tarkastellaan, miten algebralliset ominaisuudet muuttuvat laajempaan lukualueeseen siirryttäessä. Tällä kurssilla tarkastelemme kokonaislukujen ja rationaalilukujen määrittelyä lyhyesti esimerkkinä tekijälaskutoimituksista. Esimerkki Määrittelemme kokonaisluvut luonnollisten lukujen muodollisina erotuksina : Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niinniidenerotusm n on luonnollinen luku, se on yhtälön n + x = m ratkaisu. Sama luonnollinen luku voidaan esittää erotuksena äärettömän monella eri tavalla, sillä kaikilla k 2 N pätee (m + k) (n + k) =m n. 18
4 Näiden havaintojen opastamana määrittelemme joukkoon N N relaation asettamalla (m, n) (p, q),josjavainjosm+q = p+n.harjoitustehtävässä30osoitetaan, että relaatio on ekvivalenssirelaatio Kuva 5. Kokonaislukujen määrittelyssä käytettävä ekvivalenssirelaatio joukossa N N. Kokonaislukujen joukko on Z = N N/. Kokonaislukujen yhteenlasku on luonnollisten lukujen yhteenlaskun tulon (4) (m, n)+(p, q) =(m + p, n + q), indusoima laskutoimitus, ja kertolasku on joukon N N laskutoimituksen (5) (m, n) (p, q) =(mp + nq, mq + np) indusoima laskutoimitus. Laskutoimitusten määritelmät ovat järkeviä: Paria (m, n) tulee ajatella erotuksena m n, jolloinlausekkeet(4)ja(5)vastaavatlausekkeita ja (m n)+(p q) =(m + p) (n + q) (m n)(p q) =(mp + nq) (mq + np). Kokonaislukujen laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, koska vastaavat joukkoon N N määritellyt laskutoimitukset ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa. Todistamme tämän yhteenlaskulle: Jos (m, n) (m 0,n 0 ) ja (p, q) (p 0,q 0 ), niin määritelmän mukaan pätee m + n 0 = m 0 + n ja p + q 0 = p 0 + q. Siis (m + p)+(n 0 + q 0 )=(m 0 + p 0 )+(n + q), joten (m + p, n + q) (m 0 + p 0,n 0 + q 0 ). Kertolasku käsitellään harjoitustehtävässä
5 Esimerkki Rationaaliluvut muodostetaan vastaavalla tavalla kuin kokonaisluvut edellä kokonaislukujen muodollisten osamäärien avulla: Määrittelemme ekvivalenssirelaation joukossa Z Z (missä Z = Z {0}) asettamalla(a, b) (c, d), jos ja vain jos ad = bc. Rationaalilukujen joukko on Q = Z Z /. Käytämme rationaaliluvuista tavanomaista merkintää p/q =[(p, q)]. Rationaalilukujen yhteenlasku on laskutoimituksen (a, b) (c, d) =(ad + bc, bd) indusoima tekijälaskutoimitus a b + c ad + bc = d bd ja rationaalilukujen kertolasku on kokonaislukujen kertolaskun tulon (a, b) ~ (c, d) =(ac, bd) indusoima laskutoimitus. Harjoitustehtävässä 32 osoitetaan, että laskutoimitukset ja ~ ovat ekvivalenssirelaation kanssa yhteensopivia. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 27. Mitkä seuraavista ovat joukon C ekvivalenssirelaatioita? z R w, josjavainjosre z =Rew. z R w, josjavainjos z apple w. z R w, josjavainjosre z =Imw. Tehtävä 28. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Olkootx, y 2 A. Osoita, että ekvivalenssiluokille pätee: (1) Jos x y, niin[x] =[y]. (2) Jos [x] \ [y] 6= ;, niin[x] =[y]. Tehtävä 29. Osoita, että kokonaislukujen kertolasku on yhteensopiva kongruenssin kanssa. Tehtävä 30. Määritellään relaatio joukossa N N asettamalla (m, n) (p, q), jos ja vain jos m + q = n + p. Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 31. Määritellään laskutoimitus joukossa N N asettamalla (m, n) (p, q) =(mp + nq, mq + np). Osoita, että on yhteensopiva tehtävän 30 ekvivalenssirelaation kanssa. Todistuksessa voi käyttää vain luonnollisia lukuja! Tehtävä 32. Määritellään relaatio joukossa Z Z asettamalla (a, b) (c, d), jos ja vain jos ad = bc. Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 33. Määritellään laskutoimitukset (a, b) (c, d) =(ad + bc, bd) ja ~ joukossa Z Z asettamalla ja (a, b) ~ (c, d) =(ac, bd). Osoita, että nämä laskutoimitukset ovat yhteensopivia tehtävän 32 ekvivalenssirelaation kanssa. 20
6 Tehtävä 34. Määritellään relaatio reaalilukujen joukossa R asettamalla x y, jos ja vain jos x = qy jollain q 2 Q.Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Osoita, että tekijäjoukko R/ on ylinumeroituva. Tehtävä 35. Määritellään relaatio R joukossa C asettamalla z R w, josjavainjos z = w. Osoita, että R on ekvivalenssirelaatio. Millaisia joukkoja relaation R ekvivalenssiluokat ovat? Tehtävä 36. Olkoon f : X! A jokin kuvaus. Määritellään relaatio f joukossa X asettamalla x f y,josjavainjosf(x) =f(y). Osoita,että f on ekvivalenssirelaatio. Osoita, että f määrää bijektion F : X/ f! f(x) asettamalla F ([x]) = f(x). Tehtävä 37. Olkoot (X, ) ja (A, ~) laskutoimituksella varustettuja joukkoja ja olkoon :(X, )! (A, ~) homomorfismi. Olkoon homomorfismin määräämä ekvivalenssirelaatio joukossa X. Osoita,ettälaskutoimitus ja ekvivalenssirelaatio ovat yhteensopivat. Osoita, että laskutoimitus ~ indusoi laskutoimituksen joukkoon (X) ja että homomorfismin määräämä kuvaus : X/! (X) on isomorfismi. Tehtävä 38. Määritellään ekvivalenssirelaatio laskutoimituksella varustetussa joukossa C asettamalla z w, josjavainjos z = w. Osoita,että on yhteensopiva kertolaskun kanssa. Osoita, että C / on isomorfinen laskutoimituksella varustetun joukon (R +, ) kanssa. Tehtävä 39. Määritellään ekvivalenssirelaatio laskutoimituksella varustetussa joukossa (C, +) asettamalla z w,josjavainjosz w = k 2 i jollain k 2 Z.Osoita, että on yhteensopiva yhteenlaskun kanssa. Osoita, että (C, +)/ on isomorfinen kompleksilukujen multiplikatiivisen ryhmän C kanssa. 21
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotAlgebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotX R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotALGEBRA 2014 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA 2014 JOUNI PARKKONEN Tämä teksti on kevään 2014 kurssien Algebra 1A ja Algebra 1B oppimateriaali. Kurssit muodostavat johdatuksen abstraktiin algebraan, jota havainnollistetaan useilla konkreettisilla
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017
Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
LisätiedotLukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin
Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
Lisätiedot1. Tekijärakenteet. 1. R on refleksiivinen, eli xrx. 2.R on symmetrinen, eli josxry, niinyrx. 3.R on transitiivinen, eli josxry jayrz, niinxrz.
1. Tekijärakenteet Tässä osassa tarkastellaan tekijärakenteita, kuten tekijäryhmiä ja tekijärenkaita, lähtien liikkeelle mahdollisimman yleisistä periaatteista. Tekijärakenteiden ajatuksena on päästä tarkastelemasta
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
Lisätiedot(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotEsko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi
Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan,
LisätiedotHuom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotAlgebra. Jouni Parkkonen. Lukijalle
Algebra Jouni Parkkonen Lukijalle Tämä moniste perustuu kevään 2007 Algebran kurssiin. Koko materiaali on mahdollista käydä 12 viikon kurssilla, mahdollisesti algebran peruslauseen todistusta lukuunottamatta.
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotToisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
Lisätiedot