LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

Transkriptio

1 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja C -kuvaus ϕ p : U p V p siten, että (i) ϕ p on homeomorfismi U p V p M; (ii) derivaatan Dϕ p matriisin aste on kaksi kaikille u U p. Kuvaus ϕ p on pinnan M lokaali parametriesitys, joukko V p M (lokaali) kartta ja kuvauksen ϕ p käänteiskuvaus ϕ p : V p M U p on pinnan (lokaali) karttakuvaus. Muista, että joukkojen A R n ja B R m välinen homeomorfismi on jatkuva bijektio h: A B, jonka käänteiskuvaus h : B A on myös jatkuva. Monissa pintoja koskevissa tarkasteluissa kaikkia lokaaleilta parametriesityksiltä vaadittuja ominaisuuksia ei tarvita. Tätä varten otetaan käyttöön väljempi koordinaattitilkun käsite. Määritelmä 4.2. Avaruuden R 3 (koordinaatti-)tilkku on C -kuvaus ϕ: U R 3, missä U R 2 on avoin joukko. Joukko ϕ(u) R 3 on tilkun ϕ jälki. Tilkun ϕ: U R 3 koordinaattikäyrät ovat polut u ϕ(u, u 2 ) ja u 2 ϕ(u, u 2 ). Tilkku ϕ: U R 3 on sileä, jos sen koordinaattikäyrien tangenttivektorit E ϕ (u, u 2 ) := ϕ (u, u 2 ) ja E ϕ 2 (u, u 2 ) := ϕ (u, u 2 ) ovat lineaarisesti riippumattomat kaikille (u, u 2 ) U. Silloin, kun ei ole sekaannuksen vaaraa, koordinaattikäyrien tangenttivektoreita merkitään yksinkertaisesti E := E ϕ ja E 2 := E ϕ 2. Huomautuksia 4.3. a) Edellinen määritelmä 4. on kurssilla Differentiaalilaskenta 2 [6, määr. 4.] käytetyn pinnan määritelmän erikoistapaus (n = 3, k = 2). Yleisessä tapauksessa nimitys olisi euklidisen avaruuden alimonisto. b) C -kuvaukselle ϕ: U R 3, missä U R 2 on avoin joukko, ehdot (i) derivaatan Dϕ matriisin aste on kaksi kaikille u U, ja (ii) koordinaattikäyrien tangenttivektorit E ϕ ja E ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomat kaikille u U Viimeksi muutettu

2 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 23 ovat yhtäpitävät. Edelleen, derivaatan Dϕ matriisin aste on kaksi, jos ja vain jos Jacobin matriisin [ ] ϕ ϕ J ϕ := mat Dϕ = 2 ϕ 3 ϕ ϕ 2 ϕ 3 jokin 2 2-alideterminantti on nollasta eroava. Tässä ϕ = (ϕ, ϕ 2, ϕ 3 ). c) Tilkku ϕ: U R 3 on sileä, jos ja vain jos koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden E ϕ ja E ϕ 2 ristitulo on kaikkialla nollasta eroava, E ϕ E ϕ 2 0 kaikille u U. d) Karttakuvausta ϕ p : V p M U p kutsutaan myös (lokaaliksi) koordinaatistoksi pisteen p ympäristössä. Kun (u, u 2 ) = ϕ p (x), missä x V p M, ovat luvut u ja u 2 pisteen x V p M lokaalit koordinaatit kartan ϕ p : V p M U p suhteen. e) Pinnan määritelmä voidaan esittää tilkkujen avulla seuraavasti: epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä pinta, jos ja vain jos jokaisella pisteellä p M on ympäristö V p R 3 ja sileä tilkku ϕ p : U p R 3 siten, että ϕ p on homeomorfismi U p V p M. Pinta on siis melkein (homeomorfiaehto!) tilkuista yhteenliimattu tilkkutäkki. 2 Esimerkki 4.4. Oheisten kuvien kahdeksikkokäyrä ja sen päällä oleva sylinteri auttavat ymmärtämään miksi määritelmässä 4. vaaditaan lokaalien parametriesitysten olevan homeomorfismeja: sileän pinnan ei ole tarkoitus leikata itseään. Kuva. Kahdeksikon u (sin u, sin 2u) päällä oleva sylinteripinta (u, v) (sin u, sin 2u, v), 0 < u < 2π, < v <, sekä sen osat, jotka vastaavat parametriarvoja 0 < u < π, < v < (z-akselista 4 katsojaan päin oleva, xz- ja yz-tasojen väliin jäävä osa), 3π < u < 5π, 4 4 < v < ja 2π π < u < 2π, < v < (taaimmainen osa). 4 2 Tilkku: englanniksi patch, ranskaksi nappe.

3 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 24 Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi välillä 0 < u < 2π. Kuvaus α: (0, 2π) α((0, 2π)) on siis jatkuva bijektio, mutta se ei kuitenkaan ole homeomorfismi; käänteiskuvaus on epäjatkuva pisteessä α(π) = (0, 0). 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 Kuva 2. Kahdeksikko u (sin u, sin 2u), 0 < u < 2π. Parametrisarvoja 0 < u < π, π < u < 3π ja 3π < u < 2π vastaavat polun jäljet on piirretty eri värein. Huomaa: origossa polku käy vain hetkellä t = π, eli käyrä ei leikkaa itseään. Määritelmässä vaadittu homeomorfisuusehto on usein hankala todeta. Tärkeä erikoistapaus pinnoista, missä tämä ehto on aina voimassa, ovat seuraavan lauseen mukaiset tasa-arvopinnat: Lause 4.5 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot G R 3 avoin joukko ja F : G R C -kuvaus. Oletetaan, että tasa-arvojoukko M := F (0) = {x G F (x) = 0} on epätyhjä, ja että kaikille x M gradientti F (x) 0. Tällöin tasa-arvojoukko M on sileä kaksiulotteinen pinta. Todistus. Esitetään kurssilla Differentiaalilaskenta 2, [6, lause. 4.6]. Esimerkki 4.6 (Funktion kuvaaja). Olkoot U R 2 avoin ja f : U R C - funktio. Tällöin sen kuvaaja 3 G f := {(x, y, z) R 3 (x, y) U, z = f(x, y)} on sileä kaksiulotteinen pinta. Parametrisesitykseksi ϕ: U G f käy kuvaus ϕ: (x, y) (x, y, f(x, y)). 3 Differentiaaligeometriassa funktion kuvaajaan liittyvää tilkkua (x, y) (x, y, f(x, y)) kutsutaan usein Mongen tilkuksi.

4 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 25 Kuvaus on ϕ on homeomorfismi, koska se on jatkuva, ja sillä on käänteiskuvauksena G f U projektion (x, y, z) (x, y) rajoittuma joukkoon G f. Esimerkki 4.7. Pallo S 2 := {(x, y, z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 = } on sileä pinta sileänä tasa-arvopintana: kun F : R 3 R, F (x, y, z) := x 2 + y 2 + z 2, on F (0) = S 2 ja F (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) (0, 0, 0) kaikille (x, y, z) S 2. Pallo S 2 voidaan myös käsitellä funktioiden kuvaajien avulla seuraavasti: Asetetaan U := {(u, v) R 2 u 2 + v 2 < } ja f z,± : U R, f z,± (x, y) := ± (x 2 + y 2 ), f y,± : U R, f y,± (x, z) := ± (x 2 + z 2 ), f x,± : U R, f x,± (y, z) := ± (y 2 + z 2 ). Tässä pallon S 2 peittämiseen tarvitaan kuusi joukkoa V z,± := {(x, y, z) R 3 ±z > 0}, V y,± := {(x, y, z) R 3 ±y > 0}, V x,± := {(x, y, z) R 3 ±x > 0}. Huomaa, että määritelmän 4. perusteella pinta ei voi sisältää reunakäyrää, t.s esimerkiksi puolipallo {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 =, z 0} ei ole sileä pinta. Toinen luonnollinen pallon parametrisointi saadaan pallokoordinaattien avulla: ϕ: ( π, π) ( π, π ), ϕ(θ, φ) := (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ). 2 2 Pallokoordinaattienkaan tapauksessa yksi parametriesitys ei riitä. Toiseksi parametriesitykseksi voidaan valita ψ : ( π, π) ( π 2, π 2 ), ψ(θ, φ) := ( cos θ cos φ, sin φ, sin θ cos φ). Kuva 3. Koko pallo S 2 peitettynä kahden pallokoordinaattiesityksen avulla. Kolmas tärkeä pallon parametrisointitapa on käyttää stereografista projektiota. Määrätään kuvaus ϕ: R 2 S 2 geometrisesti seuraavalla tavalla. Olkoon p := (0, 0, ) = pohjoisnapa. Olkoot u = (u, u 2 ) R 2 ja α: R R 3, α u (t) := t (u, u 2, 0)+ ( t) p, t.s. α u on pisteitä (u, u 2, 0) ja p yhdistävä janapolku. On helppo todeta, että α u (t) osuu pallonkuoreen S 2, jos ja vain jos t = 0 tai t = 2/(u 2 + u ) =: t u.

5 4.2. SILEÄT TILKUT 26 Kuva 4. Pallo S 2 ja stereografinen projektio. Kuvan punainen jana on α u (t), 0 t t u. Vihreät käyrät ovat jana tasossa ja sen kuvajoukko parametriesityksessä ϕ. Asetetaan ϕ(u, u 2 ) := α u (t u ) (pohjoisnapa p vastaa arvoa t = 0). Yksinkertaisella laskulla saadaan ϕ(u, u 2 ) = (2u, 2u 2, u 2 + u 2 2 ). u 2 + u On helppo todeta, että ϕ on sileä, injektiivinen tilkku, jolle ϕ(r 2 ) = S 2 \ {p}. Harjoitustehväksi jätetään määrätä karttakuvaukselle ϕ : S 2 \ {p} R 2 lauseke. Tätä karttakuvausta ϕ kutsutaan stereografiseksi projektioksi (pohjoisnavalta). Kuten edellä, nytkään yksi parametriesitys ei riitä; etelänavan ympäristö voidaan käsitellä vastaavanlaisella stereografisella projektiolla etelänavalta (korvaa edellä ollut piste p pisteellä (0, 0, )) Sileät tilkut Lause 4.8. Olkoot ϕ: U R 3 sileä C 2 -tilkku ja v U. Tällöin pisteellä v on ympäristö U v siten, että ϕ on diffeomorfismi U v ϕ(u v ). Erityisesti, ϕ(u v ) on sileä pinta. Tarkkaan ottaen, käsitettä diffeomorfismi ei ole määritelty väitteen tilanteessa. Se, mitä osoitetaan, on hieman enemmän kuin ϕ on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi U v ϕ(u v ). Todistus on syytä käydä huolella läpi. Todistus. Olkoon ϕ = (ϕ, ϕ 2, ϕ 3 ). Olkoon N = (N, N 2, N 3 ): U R 3 tilkun ϕ koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo, ( ) N := E ϕ E ϕ ϕ 2 ϕ 2 = 3 ϕ ϕ 2 ϕ 3, ϕ 3 ϕ ϕ ϕ 3, ϕ 2 ϕ ϕ 2,

6 4.2. SILEÄT TILKUT 27 ja ϕ: U R R 3, ϕ(u, s) = ϕ(u, u 2, s) := ϕ(u, u 2 ) + s N(u, u 2 ). Koska tilkku ϕ on sileä, on sen koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo on kaikkialla nollasta eroava, joten N 0 kaikille u U. Kuvauksen ϕ Jacobin matriisin on ϕ + s N ϕ 2 + s N 2 ϕ 3 + s N 3 J ϕ (u, s) = ϕ + s N ϕ 2 + s N 2 ϕ 3 + s N 3. N N 2 N 3 Erityisesti, kun s = 0, on ϕ ϕ 2 ϕ 3 J ϕ (u, 0) = ϕ ϕ 2 ϕ 3. N N 2 N 3 Siis ϕ 2 det J ϕ (u, 0) = N ϕ 2 ϕ 3 ϕ ϕ 3 N 2 ϕ = N 2 + N N ϕ 3 ϕ ϕ 3 + N 3 ϕ Käänteiskuvauslauseen [5, lause 8.6] tai [6, lause 3.2] nojalla erityisesti pisteellä (u, s) = (v, 0) on ympäristö Ũv := U v I, missä I R avoin väli, jolle 0 I, siten, että ϕ on diffeomorfismi Ũv ϕ(ũv). Erityisesti rajoittuma ϕ: U v {0} ϕ(u v {0}) on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi. Kuvajoukko ϕ(u v {0}) = ϕ(u v ), joten yhdistämällä mukaan upotus u (u, 0), U v U v {0}, saadaan jatkuvasti differentioituva homeomorfismi ϕ: U v ϕ(u v ). Huomautuksia 4.9. a) Sileä tilkku ϕ: U R 3 on siis todistuksen antamassa mielessä lokaalisti diffeomorfismi: pullistamalla tason osajoukkoa U v avaruuden avoimeksi joukoksi saadaan aikaan lokaali diffeomorfismi Ũv ϕ(ũv), jonka rajoittuma alkuperäiseen joukkoon U v on alkuperäinen tilkku. Jatkossa diffeomorfismin käsitettä käytetään myös tässä laajennetussa merkityksessä (lähtö- ja maalijoukkojen luonne ratkaisee). Pallokoordinaattikuvaus G: (r, θ, φ) (r cos θ cos φ, r sin θ cos φ, r sin φ) kuvaa tason r = osajoukon yksikköpallon pinnalle S 2 (shakkiruudukko). Värillisten tasojen väliin jäävä alue kuvautuu pallonpinnan ympäristöksi. ϕ 2 ϕ 2

7 4.2. SILEÄT TILKUT 28 b) Edellinen lause soveltuu myös kahdeksikkokäyrän päällä olevaan sylinteriin (esimerkki 4.4) ϕ: (u, v) (sin u, sin 2u, v), vaikka parametrijoukkona olisi koko taso, ϕ: R R R 3. Kannattaa miettiä, mitä edellisen lauseen tulos tarkoittaa erityisesti kahdeksikon leikkauskohdissa (joissa u = k π, k Z). Huomaa, että ϕ on vieläpä injektio joukossa (0, 2π) R. c) Euklidisten avaruuksien kurssilta [3] kannattaa muistaa, että jos ϕ: K R m on jatkuva injektio ja K R n on kompakti, niin ϕ on homeomorfismi K ϕ(k). Seuraava tulos ei varsinaisesti tarvitse edellisen lauseen apua, paremminkin edellisen huomautuksen kohtaa c: Seuraus 4.0. Olkoot ϕ: U R 3 injektiivinen sileä tilkku ja U avoin joukko siten, että U U on kompakti. Tällöin ϕ(u ) on sileä pinta. Seuraus 4.. Olkoot M R 3 sileä pinta, ϕ: U M ja ψ : V M pinnan M lokaaleja parametriesityksiä siten, että pinnan M osajoukko W := ϕ(u) ψ(v) on epätyhjä. Tällöin kartanvaihtokuvaus ϕ ψ : ψ (W) ϕ (W) on diffeomorfismi tason avointen osajoukkojen välillä. Koska kuvaus ψ : V M on differentioituva ja lauseen 4.8 nojalla ϕ: U M on lokaali diffeomorfismi, ja siten ϕ : M U differentioituva (ainakin valitun pisteen ympäristössä), olisi helppoa ajautua käyttämään ketjusääntöä. Tässä pitää kuitenkin muistaa, että lauseen 4.8 mukainen diffeomorfismi ei tarkoita samaa kuin kursseilla Differentiaalilaskenta ja integraalilaskenta. Todistus. Käytetään lauseen 4.8 todistuksen merkintöjä: N : U R 3 on tilkun ϕ koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo, N := E ϕ E ϕ 2 ja ϕ: U R R 3, ϕ(u, s) := ϕ + s N. Olkoot p W sekä u 0 U ja v 0 V siten, että ϕ(u 0 ) = p = ψ(v 0 ). Kuten lauseen 4.8 todistuksessa pisteellä (u, s) = (u 0, 0) on ympäristö Ũu 0 := U u0 I (0 I R avoin väli) siten, että ϕ on diffeomorfismi Ũu 0 ϕ(ũu 0 ) (kurssin Differentiaalilaskenta mielessä, [4, huom b]). Tällöin ϕ : ϕ(ũu 0 ) Ũu 0 on differentioituva pisteen p avoimessa ympäristössä. Koska ψ on jatkuva pisteessä v 0, on joukko V v0 := ψ ( ϕ(ũu 0 )) pisteen v 0 avoin ympäristö. Koska ψ(v) M, on kuvaus ϕ ψ : V v0 Ũu 0 hyvinmääritelty. Kuvaus ϕ ψ on myös jatkuvasti differentioituva, koska molemmat kuvaukset ϕ ja ψ ovat jatkuvasti differentioituvia. Koska ϕ ψ Vv0 = ϕ ψ Vv0, on ϕ ψ jatkuvasti differentioituva pisteen v 0 ympäristössä V v0. Vastaavalla tavalla (vaihtamalla kuvausten ϕ ja ψ roolit) nähdään, että ψ ϕ jatkuvasti differentioituva jossakin pisteen u 0 ympäristössä.

8 4.2. SILEÄT TILKUT 29 Määritelmä 4.2. Olkoot M R 3 sileä pinta ja f : M R annettu funktio. Sanotaan, että funktio f on C -funktio, jos yhdistetty funktio f ϕ: U R on C -funktio kaikille pinnan M lokaaleille parametriesityksille ϕ: U M. Esimerkkejä 4.3. a) Jos V R 3 on avoin joukko siten, että M V, ja g : V R on C -funktio, niin rajoittuma f := g M : M R on C -funktio. b) Erityisesti, kun x j : R 3 R, j 3, ovat kanooniset koordinaattikuvaukset (eli projektiot koordinaattiakseleille, joille x j (p) := p j, kun p = (p, p 2, p 3 ) R 3 ), niin rajoittumat x j M : M R ovat C -funktioita. Huomautuksia 4.4. a) Funktion differentioituvuus pisteessä p R 3 edellyttää, että piste p funktion määrittelyjoukon sisäpiste; vrt. [4,. ]. Tämän takia pinnalla määritellylle funktiolle differentioituvuus pitää määritellä siirtämällä tilanne lokaalien parametriesitysten ϕ: U M avulla avoimiin joukkoihin U R 2. b) Edellä ei määritellä minkäänlaista derivaattaa pinnalla määritellylle funktiolle; tähän palataan myöhemmin. c) Kaikilla sileän pinnan M C -funktioilla f on laajennus johonkin avoimeen joukkoon V M, t.s. ne saadaan edellisen esimerkin a-kohdan tavalla rajoittumina f = g M C -funktioista g : V R. Tämän todistaminen käy lauseen 4.8 menetelmää apuna käyttäen: Kun ϕ: Ũv V p on diffeomorfismi avointen joukkojen Ũv ja V p := ϕ(ũv) R 3 (p := ϕ(v)) välillä, voidaan funktio f laajentaa aluksi joukkoon V p asettamalla f( ϕ(u, s)) := f(ϕ), kun ϕ(u, s) V p (piirrä kuva). Tarkemmin: [9, Ch. 5, Thm. 3]. Kannattaa kuitenkin huomata, että annettu funktio f : M R voi olla usean eri funktion g : V R rajoittuma pinnalle M (t.s. laajennus g ei määräydy mitenkään yksikäsitteisesti funktiosta f). Esimerkiksi, kanoonisten koordinaattikuvausten x j : R 3 R, j 3, rajoittumat pallon pinnalle S 2 ovat samat kuin funktioiden (x 2 + x x 2 3) x j : R 3 \ {0} R, j 3, rajoittumat. d) Seurauksen 4. nojalla pinnalla määritellylle funktiolle f : M R ehto funktio f on C -funktio on hyvin asetettu: jos ϕ: U M ja ψ : V M ovat pinnan lokaaleja parametriesityksiä siten, että W := ϕ(u) ψ(v) on epätyhjä, ja jos funktio f ϕ on C -funktio joukossa ϕ (W), niin tällöin myös f ψ on C -funktio joukossa ψ (W). Nimittäin, joukossa ψ (W) on f ψ = (f ϕ) (ϕ ψ). e) Oletetaan nyt, että sileän pinnan M lokaalit parametriesitykset ϕ: U M ovat C p -kuvauksia. Tällöin voidaan määritellä: funktio f : M R on C p -funktio, jos yhdistetty funktio f ϕ: U R on C p -funktio kaikille pinnan M lokaaleille parametriesityksille ϕ: U M.