LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2"

Transkriptio

1 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja C -kuvaus ϕ p : U p V p siten, että (i) ϕ p on homeomorfismi U p V p M; (ii) derivaatan Dϕ p matriisin aste on kaksi kaikille u U p. Kuvaus ϕ p on pinnan M lokaali parametriesitys, joukko V p M (lokaali) kartta ja kuvauksen ϕ p käänteiskuvaus ϕ p : V p M U p on pinnan (lokaali) karttakuvaus. Muista, että joukkojen A R n ja B R m välinen homeomorfismi on jatkuva bijektio h: A B, jonka käänteiskuvaus h : B A on myös jatkuva. Monissa pintoja koskevissa tarkasteluissa kaikkia lokaaleilta parametriesityksiltä vaadittuja ominaisuuksia ei tarvita. Tätä varten otetaan käyttöön väljempi koordinaattitilkun käsite. Määritelmä 4.2. Avaruuden R 3 (koordinaatti-)tilkku on C -kuvaus ϕ: U R 3, missä U R 2 on avoin joukko. Joukko ϕ(u) R 3 on tilkun ϕ jälki. Tilkun ϕ: U R 3 koordinaattikäyrät ovat polut u ϕ(u, u 2 ) ja u 2 ϕ(u, u 2 ). Tilkku ϕ: U R 3 on sileä, jos sen koordinaattikäyrien tangenttivektorit E ϕ (u, u 2 ) := ϕ (u, u 2 ) ja E ϕ 2 (u, u 2 ) := ϕ (u, u 2 ) ovat lineaarisesti riippumattomat kaikille (u, u 2 ) U. Silloin, kun ei ole sekaannuksen vaaraa, koordinaattikäyrien tangenttivektoreita merkitään yksinkertaisesti E := E ϕ ja E 2 := E ϕ 2. Huomautuksia 4.3. a) Edellinen määritelmä 4. on kurssilla Differentiaalilaskenta 2 [6, määr. 4.] käytetyn pinnan määritelmän erikoistapaus (n = 3, k = 2). Yleisessä tapauksessa nimitys olisi euklidisen avaruuden alimonisto. b) C -kuvaukselle ϕ: U R 3, missä U R 2 on avoin joukko, ehdot (i) derivaatan Dϕ matriisin aste on kaksi kaikille u U, ja (ii) koordinaattikäyrien tangenttivektorit E ϕ ja E ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomat kaikille u U Viimeksi muutettu

2 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 23 ovat yhtäpitävät. Edelleen, derivaatan Dϕ matriisin aste on kaksi, jos ja vain jos Jacobin matriisin [ ] ϕ ϕ J ϕ := mat Dϕ = 2 ϕ 3 ϕ ϕ 2 ϕ 3 jokin 2 2-alideterminantti on nollasta eroava. Tässä ϕ = (ϕ, ϕ 2, ϕ 3 ). c) Tilkku ϕ: U R 3 on sileä, jos ja vain jos koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden E ϕ ja E ϕ 2 ristitulo on kaikkialla nollasta eroava, E ϕ E ϕ 2 0 kaikille u U. d) Karttakuvausta ϕ p : V p M U p kutsutaan myös (lokaaliksi) koordinaatistoksi pisteen p ympäristössä. Kun (u, u 2 ) = ϕ p (x), missä x V p M, ovat luvut u ja u 2 pisteen x V p M lokaalit koordinaatit kartan ϕ p : V p M U p suhteen. e) Pinnan määritelmä voidaan esittää tilkkujen avulla seuraavasti: epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä pinta, jos ja vain jos jokaisella pisteellä p M on ympäristö V p R 3 ja sileä tilkku ϕ p : U p R 3 siten, että ϕ p on homeomorfismi U p V p M. Pinta on siis melkein (homeomorfiaehto!) tilkuista yhteenliimattu tilkkutäkki. 2 Esimerkki 4.4. Oheisten kuvien kahdeksikkokäyrä ja sen päällä oleva sylinteri auttavat ymmärtämään miksi määritelmässä 4. vaaditaan lokaalien parametriesitysten olevan homeomorfismeja: sileän pinnan ei ole tarkoitus leikata itseään. Kuva. Kahdeksikon u (sin u, sin 2u) päällä oleva sylinteripinta (u, v) (sin u, sin 2u, v), 0 < u < 2π, < v <, sekä sen osat, jotka vastaavat parametriarvoja 0 < u < π, < v < (z-akselista 4 katsojaan päin oleva, xz- ja yz-tasojen väliin jäävä osa), 3π < u < 5π, 4 4 < v < ja 2π π < u < 2π, < v < (taaimmainen osa). 4 2 Tilkku: englanniksi patch, ranskaksi nappe.

3 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 24 Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi välillä 0 < u < 2π. Kuvaus α: (0, 2π) α((0, 2π)) on siis jatkuva bijektio, mutta se ei kuitenkaan ole homeomorfismi; käänteiskuvaus on epäjatkuva pisteessä α(π) = (0, 0). 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 Kuva 2. Kahdeksikko u (sin u, sin 2u), 0 < u < 2π. Parametrisarvoja 0 < u < π, π < u < 3π ja 3π < u < 2π vastaavat polun jäljet on piirretty eri värein. Huomaa: origossa polku käy vain hetkellä t = π, eli käyrä ei leikkaa itseään. Määritelmässä vaadittu homeomorfisuusehto on usein hankala todeta. Tärkeä erikoistapaus pinnoista, missä tämä ehto on aina voimassa, ovat seuraavan lauseen mukaiset tasa-arvopinnat: Lause 4.5 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot G R 3 avoin joukko ja F : G R C -kuvaus. Oletetaan, että tasa-arvojoukko M := F (0) = {x G F (x) = 0} on epätyhjä, ja että kaikille x M gradientti F (x) 0. Tällöin tasa-arvojoukko M on sileä kaksiulotteinen pinta. Todistus. Esitetään kurssilla Differentiaalilaskenta 2, [6, lause. 4.6]. Esimerkki 4.6 (Funktion kuvaaja). Olkoot U R 2 avoin ja f : U R C - funktio. Tällöin sen kuvaaja 3 G f := {(x, y, z) R 3 (x, y) U, z = f(x, y)} on sileä kaksiulotteinen pinta. Parametrisesitykseksi ϕ: U G f käy kuvaus ϕ: (x, y) (x, y, f(x, y)). 3 Differentiaaligeometriassa funktion kuvaajaan liittyvää tilkkua (x, y) (x, y, f(x, y)) kutsutaan usein Mongen tilkuksi.

4 4.. MÄÄRITELMIÄ JA ESIMERKKEJÄ 25 Kuvaus on ϕ on homeomorfismi, koska se on jatkuva, ja sillä on käänteiskuvauksena G f U projektion (x, y, z) (x, y) rajoittuma joukkoon G f. Esimerkki 4.7. Pallo S 2 := {(x, y, z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 = } on sileä pinta sileänä tasa-arvopintana: kun F : R 3 R, F (x, y, z) := x 2 + y 2 + z 2, on F (0) = S 2 ja F (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) (0, 0, 0) kaikille (x, y, z) S 2. Pallo S 2 voidaan myös käsitellä funktioiden kuvaajien avulla seuraavasti: Asetetaan U := {(u, v) R 2 u 2 + v 2 < } ja f z,± : U R, f z,± (x, y) := ± (x 2 + y 2 ), f y,± : U R, f y,± (x, z) := ± (x 2 + z 2 ), f x,± : U R, f x,± (y, z) := ± (y 2 + z 2 ). Tässä pallon S 2 peittämiseen tarvitaan kuusi joukkoa V z,± := {(x, y, z) R 3 ±z > 0}, V y,± := {(x, y, z) R 3 ±y > 0}, V x,± := {(x, y, z) R 3 ±x > 0}. Huomaa, että määritelmän 4. perusteella pinta ei voi sisältää reunakäyrää, t.s esimerkiksi puolipallo {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 =, z 0} ei ole sileä pinta. Toinen luonnollinen pallon parametrisointi saadaan pallokoordinaattien avulla: ϕ: ( π, π) ( π, π ), ϕ(θ, φ) := (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ). 2 2 Pallokoordinaattienkaan tapauksessa yksi parametriesitys ei riitä. Toiseksi parametriesitykseksi voidaan valita ψ : ( π, π) ( π 2, π 2 ), ψ(θ, φ) := ( cos θ cos φ, sin φ, sin θ cos φ). Kuva 3. Koko pallo S 2 peitettynä kahden pallokoordinaattiesityksen avulla. Kolmas tärkeä pallon parametrisointitapa on käyttää stereografista projektiota. Määrätään kuvaus ϕ: R 2 S 2 geometrisesti seuraavalla tavalla. Olkoon p := (0, 0, ) = pohjoisnapa. Olkoot u = (u, u 2 ) R 2 ja α: R R 3, α u (t) := t (u, u 2, 0)+ ( t) p, t.s. α u on pisteitä (u, u 2, 0) ja p yhdistävä janapolku. On helppo todeta, että α u (t) osuu pallonkuoreen S 2, jos ja vain jos t = 0 tai t = 2/(u 2 + u ) =: t u.

5 4.2. SILEÄT TILKUT 26 Kuva 4. Pallo S 2 ja stereografinen projektio. Kuvan punainen jana on α u (t), 0 t t u. Vihreät käyrät ovat jana tasossa ja sen kuvajoukko parametriesityksessä ϕ. Asetetaan ϕ(u, u 2 ) := α u (t u ) (pohjoisnapa p vastaa arvoa t = 0). Yksinkertaisella laskulla saadaan ϕ(u, u 2 ) = (2u, 2u 2, u 2 + u 2 2 ). u 2 + u On helppo todeta, että ϕ on sileä, injektiivinen tilkku, jolle ϕ(r 2 ) = S 2 \ {p}. Harjoitustehväksi jätetään määrätä karttakuvaukselle ϕ : S 2 \ {p} R 2 lauseke. Tätä karttakuvausta ϕ kutsutaan stereografiseksi projektioksi (pohjoisnavalta). Kuten edellä, nytkään yksi parametriesitys ei riitä; etelänavan ympäristö voidaan käsitellä vastaavanlaisella stereografisella projektiolla etelänavalta (korvaa edellä ollut piste p pisteellä (0, 0, )) Sileät tilkut Lause 4.8. Olkoot ϕ: U R 3 sileä C 2 -tilkku ja v U. Tällöin pisteellä v on ympäristö U v siten, että ϕ on diffeomorfismi U v ϕ(u v ). Erityisesti, ϕ(u v ) on sileä pinta. Tarkkaan ottaen, käsitettä diffeomorfismi ei ole määritelty väitteen tilanteessa. Se, mitä osoitetaan, on hieman enemmän kuin ϕ on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi U v ϕ(u v ). Todistus on syytä käydä huolella läpi. Todistus. Olkoon ϕ = (ϕ, ϕ 2, ϕ 3 ). Olkoon N = (N, N 2, N 3 ): U R 3 tilkun ϕ koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo, ( ) N := E ϕ E ϕ ϕ 2 ϕ 2 = 3 ϕ ϕ 2 ϕ 3, ϕ 3 ϕ ϕ ϕ 3, ϕ 2 ϕ ϕ 2,

6 4.2. SILEÄT TILKUT 27 ja ϕ: U R R 3, ϕ(u, s) = ϕ(u, u 2, s) := ϕ(u, u 2 ) + s N(u, u 2 ). Koska tilkku ϕ on sileä, on sen koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo on kaikkialla nollasta eroava, joten N 0 kaikille u U. Kuvauksen ϕ Jacobin matriisin on ϕ + s N ϕ 2 + s N 2 ϕ 3 + s N 3 J ϕ (u, s) = ϕ + s N ϕ 2 + s N 2 ϕ 3 + s N 3. N N 2 N 3 Erityisesti, kun s = 0, on ϕ ϕ 2 ϕ 3 J ϕ (u, 0) = ϕ ϕ 2 ϕ 3. N N 2 N 3 Siis ϕ 2 det J ϕ (u, 0) = N ϕ 2 ϕ 3 ϕ ϕ 3 N 2 ϕ = N 2 + N N ϕ 3 ϕ ϕ 3 + N 3 ϕ Käänteiskuvauslauseen [5, lause 8.6] tai [6, lause 3.2] nojalla erityisesti pisteellä (u, s) = (v, 0) on ympäristö Ũv := U v I, missä I R avoin väli, jolle 0 I, siten, että ϕ on diffeomorfismi Ũv ϕ(ũv). Erityisesti rajoittuma ϕ: U v {0} ϕ(u v {0}) on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi. Kuvajoukko ϕ(u v {0}) = ϕ(u v ), joten yhdistämällä mukaan upotus u (u, 0), U v U v {0}, saadaan jatkuvasti differentioituva homeomorfismi ϕ: U v ϕ(u v ). Huomautuksia 4.9. a) Sileä tilkku ϕ: U R 3 on siis todistuksen antamassa mielessä lokaalisti diffeomorfismi: pullistamalla tason osajoukkoa U v avaruuden avoimeksi joukoksi saadaan aikaan lokaali diffeomorfismi Ũv ϕ(ũv), jonka rajoittuma alkuperäiseen joukkoon U v on alkuperäinen tilkku. Jatkossa diffeomorfismin käsitettä käytetään myös tässä laajennetussa merkityksessä (lähtö- ja maalijoukkojen luonne ratkaisee). Pallokoordinaattikuvaus G: (r, θ, φ) (r cos θ cos φ, r sin θ cos φ, r sin φ) kuvaa tason r = osajoukon yksikköpallon pinnalle S 2 (shakkiruudukko). Värillisten tasojen väliin jäävä alue kuvautuu pallonpinnan ympäristöksi. ϕ 2 ϕ 2

7 4.2. SILEÄT TILKUT 28 b) Edellinen lause soveltuu myös kahdeksikkokäyrän päällä olevaan sylinteriin (esimerkki 4.4) ϕ: (u, v) (sin u, sin 2u, v), vaikka parametrijoukkona olisi koko taso, ϕ: R R R 3. Kannattaa miettiä, mitä edellisen lauseen tulos tarkoittaa erityisesti kahdeksikon leikkauskohdissa (joissa u = k π, k Z). Huomaa, että ϕ on vieläpä injektio joukossa (0, 2π) R. c) Euklidisten avaruuksien kurssilta [3] kannattaa muistaa, että jos ϕ: K R m on jatkuva injektio ja K R n on kompakti, niin ϕ on homeomorfismi K ϕ(k). Seuraava tulos ei varsinaisesti tarvitse edellisen lauseen apua, paremminkin edellisen huomautuksen kohtaa c: Seuraus 4.0. Olkoot ϕ: U R 3 injektiivinen sileä tilkku ja U avoin joukko siten, että U U on kompakti. Tällöin ϕ(u ) on sileä pinta. Seuraus 4.. Olkoot M R 3 sileä pinta, ϕ: U M ja ψ : V M pinnan M lokaaleja parametriesityksiä siten, että pinnan M osajoukko W := ϕ(u) ψ(v) on epätyhjä. Tällöin kartanvaihtokuvaus ϕ ψ : ψ (W) ϕ (W) on diffeomorfismi tason avointen osajoukkojen välillä. Koska kuvaus ψ : V M on differentioituva ja lauseen 4.8 nojalla ϕ: U M on lokaali diffeomorfismi, ja siten ϕ : M U differentioituva (ainakin valitun pisteen ympäristössä), olisi helppoa ajautua käyttämään ketjusääntöä. Tässä pitää kuitenkin muistaa, että lauseen 4.8 mukainen diffeomorfismi ei tarkoita samaa kuin kursseilla Differentiaalilaskenta ja integraalilaskenta. Todistus. Käytetään lauseen 4.8 todistuksen merkintöjä: N : U R 3 on tilkun ϕ koordinaattikäyrien tangenttivektoreiden ristitulo, N := E ϕ E ϕ 2 ja ϕ: U R R 3, ϕ(u, s) := ϕ + s N. Olkoot p W sekä u 0 U ja v 0 V siten, että ϕ(u 0 ) = p = ψ(v 0 ). Kuten lauseen 4.8 todistuksessa pisteellä (u, s) = (u 0, 0) on ympäristö Ũu 0 := U u0 I (0 I R avoin väli) siten, että ϕ on diffeomorfismi Ũu 0 ϕ(ũu 0 ) (kurssin Differentiaalilaskenta mielessä, [4, huom b]). Tällöin ϕ : ϕ(ũu 0 ) Ũu 0 on differentioituva pisteen p avoimessa ympäristössä. Koska ψ on jatkuva pisteessä v 0, on joukko V v0 := ψ ( ϕ(ũu 0 )) pisteen v 0 avoin ympäristö. Koska ψ(v) M, on kuvaus ϕ ψ : V v0 Ũu 0 hyvinmääritelty. Kuvaus ϕ ψ on myös jatkuvasti differentioituva, koska molemmat kuvaukset ϕ ja ψ ovat jatkuvasti differentioituvia. Koska ϕ ψ Vv0 = ϕ ψ Vv0, on ϕ ψ jatkuvasti differentioituva pisteen v 0 ympäristössä V v0. Vastaavalla tavalla (vaihtamalla kuvausten ϕ ja ψ roolit) nähdään, että ψ ϕ jatkuvasti differentioituva jossakin pisteen u 0 ympäristössä.

8 4.2. SILEÄT TILKUT 29 Määritelmä 4.2. Olkoot M R 3 sileä pinta ja f : M R annettu funktio. Sanotaan, että funktio f on C -funktio, jos yhdistetty funktio f ϕ: U R on C -funktio kaikille pinnan M lokaaleille parametriesityksille ϕ: U M. Esimerkkejä 4.3. a) Jos V R 3 on avoin joukko siten, että M V, ja g : V R on C -funktio, niin rajoittuma f := g M : M R on C -funktio. b) Erityisesti, kun x j : R 3 R, j 3, ovat kanooniset koordinaattikuvaukset (eli projektiot koordinaattiakseleille, joille x j (p) := p j, kun p = (p, p 2, p 3 ) R 3 ), niin rajoittumat x j M : M R ovat C -funktioita. Huomautuksia 4.4. a) Funktion differentioituvuus pisteessä p R 3 edellyttää, että piste p funktion määrittelyjoukon sisäpiste; vrt. [4,. ]. Tämän takia pinnalla määritellylle funktiolle differentioituvuus pitää määritellä siirtämällä tilanne lokaalien parametriesitysten ϕ: U M avulla avoimiin joukkoihin U R 2. b) Edellä ei määritellä minkäänlaista derivaattaa pinnalla määritellylle funktiolle; tähän palataan myöhemmin. c) Kaikilla sileän pinnan M C -funktioilla f on laajennus johonkin avoimeen joukkoon V M, t.s. ne saadaan edellisen esimerkin a-kohdan tavalla rajoittumina f = g M C -funktioista g : V R. Tämän todistaminen käy lauseen 4.8 menetelmää apuna käyttäen: Kun ϕ: Ũv V p on diffeomorfismi avointen joukkojen Ũv ja V p := ϕ(ũv) R 3 (p := ϕ(v)) välillä, voidaan funktio f laajentaa aluksi joukkoon V p asettamalla f( ϕ(u, s)) := f(ϕ), kun ϕ(u, s) V p (piirrä kuva). Tarkemmin: [9, Ch. 5, Thm. 3]. Kannattaa kuitenkin huomata, että annettu funktio f : M R voi olla usean eri funktion g : V R rajoittuma pinnalle M (t.s. laajennus g ei määräydy mitenkään yksikäsitteisesti funktiosta f). Esimerkiksi, kanoonisten koordinaattikuvausten x j : R 3 R, j 3, rajoittumat pallon pinnalle S 2 ovat samat kuin funktioiden (x 2 + x x 2 3) x j : R 3 \ {0} R, j 3, rajoittumat. d) Seurauksen 4. nojalla pinnalla määritellylle funktiolle f : M R ehto funktio f on C -funktio on hyvin asetettu: jos ϕ: U M ja ψ : V M ovat pinnan lokaaleja parametriesityksiä siten, että W := ϕ(u) ψ(v) on epätyhjä, ja jos funktio f ϕ on C -funktio joukossa ϕ (W), niin tällöin myös f ψ on C -funktio joukossa ψ (W). Nimittäin, joukossa ψ (W) on f ψ = (f ϕ) (ϕ ψ). e) Oletetaan nyt, että sileän pinnan M lokaalit parametriesitykset ϕ: U M ovat C p -kuvauksia. Tällöin voidaan määritellä: funktio f : M R on C p -funktio, jos yhdistetty funktio f ϕ: U R on C p -funktio kaikille pinnan M lokaaleille parametriesityksille ϕ: U M.

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi

Lisätiedot

Pinnan tangenttivektorit

Pinnan tangenttivektorit LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

LUKU 6. Weingartenin kuvaus

LUKU 6. Weingartenin kuvaus LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

Vektorianalyysi II MAT21020

Vektorianalyysi II MAT21020 Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

7.1. Käänteiskuvauslause

7.1. Käänteiskuvauslause LUKU 7 Käänteiskuvauslause Parit (E, ), (F, ),... ovat Banachin avaruuksia, ellei toisin mainita. [4, Ch. XIV, Lemma. 1.1] 7.1. Käänteiskuvauslause Lause 7.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (X, d)

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla

Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla Antti Kosonen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2016 Tiivistelmä:

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 Ville Tengvall Matematiikan ja tilastotieteen osasto Helsingin yliopisto MAT21020 Vektorianalyysi II Syksy 2018 1 Kurssin perustiedot: Opettajat: Ville Tengvall

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1 LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot