Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
|
|
- Aku Topi Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat C -kuvauksia (jolloin diffeomorfismin h: U V käänteiskuvaus on C ) Euklidisen avaruuden alimonistot Määritelmä 4.1. Osajoukko M R n on k-ulotteinen (ali-)monisto, jos jokaiselle x M on voimassa ehto (M): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko V R n ja diffeomorfismi h: U V siten, että h(u M) = V (R k {0 n k }) = {y V y k+1 = = y n = 0}. Huomautus 4.2. Kurssilla Differentiaalilaskenta 2 [16, määr. 4.1] monistot määritellään näennäisesti varsin eri tavalla lokaalien parametriesitysten ϕ x : U x S W x avulla (vertaa myös seuraavaan lauseeseen 4.3). Lokaali parametriesitys voidaan kuitenkin laajentaa avaruuden R n avoimeen joukkoon (ainakin jossakin pisteen x ympäristössä) siten, että laajennus ϕ on oleellisesti sama kuin edellisen määritelmän kuvauksen h käänteiskuvaus; vrt. [6, lemma 10.8] (missä lokaalia parametriesitystä kutsutaan säännölliseksi tilkuksi, engl. regular patch). Kuvauksen h: U V rajoittumaa monistolle M, h U M, kutsutaan karttakuvaukseksi (tai lyhyesti kartaksi tai (lokaaliksi) koordinaatistoksi pisteen x ympäristössä); tarkemmin: karttakuvaus on projektio R k {0 n k } R k yhdistettynä kuvauksen h rajoittumaan monistolle M eli (h 1,..., h k ) U M : U M R k (rajoittumallehan viimeiset n k koordinaattia ovat nollakuvauksia). Luvut h j (z), 1 j k, ovat pisteen z U M lokaalit koordinaatit kartan h: U V suhteen. Pikku-Spivakissa [18, Thm. 5 2] seuraavan lauseen kuvausta f kutsutaan harhaanjohtavasti lokaaliksi koordinaatistoksi pisteen x ympäristössä, vaikka normaalin käytännön mukaan kyse on moniston M lokaalista parametriesityksestä pisteen x ympäristössä. Perusteellisessa johdatuksessa [19] terminologia on tavallinen. Lause 4.3. Joukko M R n on k-ulotteinen monisto, jos ja vain jos jokaiselle x M on voimassa seuraava parametriehto: (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W R k ja injektiivinen differentioituva kuvaus f : W R n siten, että (1) f(w ) = M U; (2) derivaatan Df(y) aste on k kaikille y W ; (3) f 1 : f(w ) W on jatkuva. 1 Viimeksi muutettu
2 4.1. EUKLIDISEN AVARUUDEN ALIMONISTOT 24 Todistus. Olkoon M k-ulotteinen monisto. Olkoot x M ja h: U V ehdon (M) toteuttava diffeomorfismi. Asetetaan W := {y R k (y, 0) h(m U)} ja f : W R n, f(y) := h 1 (y, 0). Tällöin f(w ) = M U ja f 1 on jatkuva. Lisäksi, jos määritellään H : U R k, H(z) := (h 1 (z),..., h k (z)), niin H(f(y)) = y kaikille y W. Tällöin DH(f(y)) Df(y) = I = identtinen kuvaus R k R k, joten derivaatan Df(y) aste on k kaikille y W. Oletetaan kääntäen, että f : W R k toteuttaa ehdon (P ). Olkoot x M ja y W siten, että f(y) = x. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että matriisin ( j f i (y)) k i,j=1 determinantti on nollasta eroava. (Ehdon (2) nojalla derivaatan Df(y) matriisin jonkin k k-alimatriisin determinantti on nollasta eroava.) Asetetaan g : W R n k R n, g(a, b) := f(a) + (0, b). Tällöin det(dg(a, b)) = det( j f i (a)) k i,j=1, joten erityisesti det(dg(y, 0)) 0. Käänteiskuvauslauseen [15, lause 8.4] nojalla on olemassa avoimet joukot V 1, V 2 R n siten, että (y, 0) V 1, x = g(y, 0) V 2 ja g V 1 : V 1 V 2 on diffeomorfismi. Olkoon h := (g V 1 ) 1 : V 2 V 1. Koska f 1 on jatkuva, on {f(a) (a, 0) V 1} = U f(w ) jollekin avoimelle joukolle U R n. Olkoot V 2 := U V 2 ja V 1 := g 1 (V 2 ). Tällöin V 2 M = {f(a) (a, 0) V 1 } = {g(a, 0) (a, 0) V 1 }, joten h(v 2 M) = g 1 (V 2 M) = g 1 ({g(a, 0) (a, 0) V 1 }) = V 1 (R k {0}) Puoliavaruus H k R k on joukko H k := {(x 1,..., x k ) R k x k 0}. Määritelmä 4.4. Osajoukko M R n on k-ulotteinen reunallinen monisto, jos jokaiselle x M on voimassa määritelmän 4.1 ehto (M) tai ehto ( M): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U, avoin joukko V R n ja diffeomorfismi h: U V siten, että h(u M) = V (H k {0}) = {y V y k 0 ja y k+1 = = y n = 0}, ja pisteen h(x) k. komponentti h k (x) = 0 (t.s. h(x) H k {0}). Ehdon ( M) toteuttavien pisteiden x joukkoa kutsutaan moniston M reunamonistoksi tai lyhyesti reunaksi, ja sitä merkitään M.
3 4.2. YKKÖSEN OSITUS 25 Esimerkki 4.5. Pallonkuori S n 1 := {x R n x = 1} on monisto samoinkuin sen ylempi avoin puolisko {x R n x = 1, x n > 0}. Sen sijaan pallonkuoren S n 1 ylempi suljettu puolisko M := {x R n x = 1, x n 0} ei ole monisto, mutta on reunallinen monisto. Huomaa, että reunallisen moniston M reunamonisto on joukko M = {x R n x = 1, x n = 0} ( päiväntasaaja ), mutta se on eri kuin sen joukko-opillinen reuna (joka on sama kuin joukko M itse). Huomautus 4.6. Koska ilmaisu reunallisen moniston reunamonisto on suhteellisen monimutkainen, on reunallisia monistoja tarkasteltaessa tavanomaista puhua vain monistoista, vaikka tarkoitettaisiinkin reunallista monistoa. Määritelmän 4.1 mukaiseen monistoon viitattaessa voidaan tällöin käyttää nimitystä reunaton monisto; tässä tapauksessa määritelmän 4.4 ehdon ( M) toteuttavien pisteiden muodostama joukko M on tyhjä. Vanhempi kirjallisuus on käyttänyt nimitystä suljettu monisto kompaktista, reunallisesta monistosta ja nimitystä avoin monisto epäkompaktista, reunattomasta monistosta. Samoin reunamoniston sijaan puhutaan vain moniston reunasta; moniston joukko-opillista reunaa kun tarkasteluissa ei juuri tarvita Ykkösen ositus Olkoot A R n ja f : A R jatkuva funktio. Funktion f kantaja supp f on joukko supp f := {x A f(x) 0}. Funktion f kantajan komplementti R n \ supp f on siis laajin avoin joukko, jossa f häviää identtisesti. Joukon A R n avoin peite O on joukkokokoelma O = {U i i I} siten, että jokainen joukko U i on avoin, ja että A i I U i. Huomaa, että indeksijoukon ei tarvitse olla äärellinen tai edes numeroituva. Joukkoperhe {U i i I}, U i R n, on lokaalisti äärellinen, jos jokaisella pisteellä x R n on ympäristö V siten, että U i V vain äärellisen monelle indeksille i I. Lause 4.7. Olkoot A R n ja O = {U i i I} joukon A avoin peite. Tällöin on olemassa kokoelma Φ = {ϕ i i I} C -funktioita, jotka on määritelty jossakin joukon A sisältävässä avoimessa joukossa, ja joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jokaiselle x A ja i I on 0 ϕ i (x) 1; (ii) supp ϕ i U i ; (iii) perhe {supp ϕ i i I} on lokaalisti äärellinen; (iv) jokaiselle x A on i I ϕ i(x) = 1. (Edellisen kohdan nojalla summa on äärellinen.) Määritelmä 4.8. Kokoelma Φ C -funktioita, joka toteuttaa edellisen lauseen ehdot (i) (iv), on joukon A peitteelle O alistettu ykkösen ositus. Lauseen esiintyvät funktiot ϕ i rakennetaan seuraavan funktion λ: R n R avulla: { ( exp 1 x λ(x) := 1), kun x < 1, ja 2 0, kun x 1.
4 4.2. YKKÖSEN OSITUS 26 Tällöin λ on C -funktio (HT), jolle λ(x) > 0, kun x < 1, ja λ(x) m(r) := exp(1/(r 2 1)), kun x r ja 0 < r < 1. Funktion λ avulla on helppo kostruoida seuraavanlainen apufunktio: Asetetaan µ: [0, ) R, { 1 exp(t 2 /(t 2 1)), kun 0 t < 1, ja µ(t) := 1, kun t 1. Tällöin µ on C, 0 µ 1, µ(0) = 0, ja µ(t) = 1, kun t 1. Itse asiasssa µ(t) = 1 e λ(t). Lauseen 4.7 todistus. Käsitellään vain tapaus, missä A on kompakti ja indeksijoukko I on äärellinen. Jokaista pistettä x A kohti valitaan indeksi i =: i(x) I siten, että x U i. Valitaan r(x) > 0 siten, että B(x; r(x)) U i. Joukot B(x; 1 r(x)), x A, muodostavat 2 kompkatin joukon A avoimen peitteen, joten sillä on äärellinen osapeite. Olkoot x α, α J, tätä osapeitettä vastaavien pallojen keskipisteet, ja r α := r(x α ). Asetetaan λ α (x) := 1 ( x m( 1) λ xα ). r 2 α Tällöin jokainen λ α on C, supp λ α U i(xα), ja λ α (x) 1 pallossa B(x α ; 1 2 r α). Merkitään J i := {α J i(x α ) = i}. Tällöin joukot J i, i I, muodostavat joukon J osituksen. Asetetaan g i (x) := α J i λ α (x). Tällöin jokainen g i on C, ja kun α J i, on supp λ α U i(xα) = U i, joten supp g i U i. Lisäksi i I g i(x) = α J λ α(x) 1 kaikille x A. Asetetaan nyt g(x) := g i (x). i I Olkoon U := {x R n g(x) > 0}. Tällöin U on avoin ja A U. Kun todistuksen alkua sovelletaan kompaktin joukon A yhden avoimen joukon muodostamaan peitteeseen {U}, löydetään C -funktio f : R n R siten, että 0 f 1, supp f U ja f(x) = 1 kaikille x A. Nimittäin, edellä löydetty funktio g 1 yhdistettynä apufunktioon µ kelpaa: Koska g 1 (x) 1 kaikille x A, on funktiolla f := µ g 1 vaaditut ominaisuudet. Asetetaan { f(x) g i (x) g(x) ϕ i (x) :=, kun x U, ja 0, kun x U. Funktioilla ϕ i, i I, on vaaditut ominaisuudet. Edellisestä todistuksesta saadaan myös Seuraus 4.9. Olkoot A R n kompakti ja U R n avoin siten, että A U. Tällöin on olemassa C -funktio f : R n R siten, että 0 f 1, supp f U, ja f(x) = 1 kaikille x A.
5 4.3. DIFFERENTIAALIMUODOT MONISTOILLA Differentiaalimuodot monistoilla Olkoot M R n k-ulotteinen monisto, x M, f : W M lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä sekä a W siten, että f(a) = x. Koska derivaatan Df(a) aste on k, on kuva-avaruus Df(a)(R k ) R n k-ulotteinen aliavaruus. Tällöin tangenttikuvauksen f : R k a R n x kuva-avaruus f (R k a) on k-ulotteinen aliavaruus ja f : R k a f (R k a) lineaarinen isomorfismi. Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (ja b V siten, että g(b) = x), niin g (R k b) = f (f 1 g) (R k a) = f (R k a). (Kuvaus f 1 g on diffeomorfismi; vrt. lauseen 4.3 todistukseen.) Aliavaruus f (R k a) R n x on siis riippumaton lokaalin parametriesityksen f valinnasta. Tätä aliavaruutta merkitään T x (M) := M x := f (R k a) ja kutsutaan moniston M tangenttiavaruudeksi pisteessä x. Tangenttiavaruuden T x (M) vektorit ovat moniston M tangenttivektoreita. Tangenttiavaruuden T x (M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((a; e j )) = (x; j f(a)), 1 j k. (Tangentti-)vektorikenttä F monistolla M on kuvaus F, joka liittää moniston M jokaiseeen pisteeseen x moniston M tangenttivektorin F (x) T x (M). Kun f : W M on lokaali parametriesitys kuten edellä, niin f : R k a T x (M) on lineaarinen isomorfismi, joten on olemassa yksikäsitteinen, joukossa W määritelty vektorikenttä G siten, että f (G(y)) = F (f(y)) kaikille y W. Sanomme, että vektorikenttä F on differentioituva (vast. C k tai C ), jos kuvaus G on differentioituva (vast. C k tai C ). Kuten edellä vektorikentän F differentioituvuus on riippumaton lokaalin parametriesityksen valinnasta. Funktio ω on l-muoto monistolla M, jos se liittää moniston M jokaiseeen pisteeseen x alternoivan l-muodon ω(x) Λ l (T x (M)). Kun f : W M on lokaali parametriesitys, niin f ω on l-muoto avoimessa joukossa W. Sanomme, että differentiaalimuoto ω on differentioituva (vast. C k tai C ), jos muoto f ω on differentioituva (vast. C k tai C ). Kuten euklidisen avaruuden avoimen joukon differentiaalimuodot voidaan monistonkin differentiaalimuodot esittää koordinaattikuvausten differentiaalien avulla. Koordinaattikuvauksiksi eivät nyt kuitenkaan kelpaa tavalliset koordinaattikuvaukset, vaan lokaalista koordinaatistosta saatavat. Olkoot x M ja h: U V kartta kuten moniston määritelmässä 4.1. Olkoot x j, 1 j n, avoimen joukon V kanooniset koordinaattikuvaukset, ja x j := x j h: U R. Olkoon vielä f : W M moniston M lokaali parametriesitys pisteen x = f(a) ympäristössä (ks. lause 4.3) siten, että f(w ) U. Koska f(w ) M, on x j (f(y)) = x j (h(f(y))) = 0, kun k+1 j n. Ketjusäännöstä seuraa, että d x j (f(y))(f (w)) = 0 kaikille w R k y, kun k + 1 j n. Koska moniston M tangenttiavaruus T x (M) = f (R k a), on siis d x j (x)(v) = 0 kaikille v T x (M), kun k + 1 j n. Toisaalta, vastaavaan tapaan kuin lauseen 4.3 todistuksessa voidaan todeta, että koordinaattidifferentiaalit d x j (x), kun 1 j k, ovat lineaarisesti riippumattomat. Näinollen differentiaalit d x j (x), 1 j k, muodostavat kannan avaruudelle Λ 1 (T x (M)). Vastaavaan tapaan kuin lauseessa lause 1.20 jokainen moniston M differentiaalimuoto ω voidaan esittää muodossa (4.1) ω = i 1 < <i l ω i1,...,i l d x i1 d x il,
6 4.3. DIFFERENTIAALIMUODOT MONISTOILLA 28 missä ω i1,...,i l ovat monistolla M määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita. Moniston M differentiaalimuodon ω ulkoista derivaattaa dω ei tämän esityksen avulla voida määritellä samalla kaavalla kuin euklidisen avaruuden avoimen joukon tapauksessa (ks. 3.1), koska osittaisderivaatat j ω i1,...,i l eivät ole mielekkäitä vain monistolla M määritellyile funktioille ω i1,...,i l. Tämä ongelma voidaan kuitenkin kierää muuttujanvaihdon avulla: Lause Olkoot M R n k-ulotteinen monisto ja ω moniston M l-muoto. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi (l + 1)-muoto dω siten, että kaikille moniston M lokaaleille parametriesityksille f : W M on voimassa f (dω) = d(f ω). Todistus. Olkoot f : W M moniston M lokaali parametriesitys pisteen x = f(a) ympäristössä ja v 1,..., v l+1 T x (M). Tällöin on olemassa yksikäsitteiset w 1,..., w l+1 R k a siten, että f (w j ) = v j, kun 1 j l + 1. Asetetaan dω(x)(v 1,..., v l+1 ) = d(f ω)(a)(w 1,..., w l+1 ). Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (ja b V siten, että g(b) = x), niin g = (f ϕ) = f ϕ ja g = (f ϕ) = ϕ f, missä ϕ := f 1 g. (Muista, että kuvaus ϕ = f 1 g on diffeomorfismi.) Olkoot u 1,..., u l+1 R k b siten, että g (u j ) = v j, kun 1 j l + 1. Tällöin ϕ (u j ) = w j, joten lauseen 3.1 kohdan f ja muuttujanvaihdon määritelmän (ks. 2.1) nojalla d(g ω)(b)(u 1,..., u l+1 ) = d(ϕ f ω)(b)(u 1,..., u l+1 ) = ϕ (d(f ω))(a)(u 1,..., u l+1 ) = d(f ω)(a)(ϕ u 1,..., ϕ u l+1 ) = d(f ω)(a)(w 1,..., w l+1 ). Tämän perusteella dω(x)(v 1,..., v l+1 ) on hyvinmääritelty (t.s. se on riippumaton käytetyn lokaalin parametriesityksen f valinnasta). Näin määritelty dω on ainoa mahdollinen ehdon toteuttava differentiaalimuoto. Huomautus a) Euklidisen avaruuden alimoniston M funktiot, vektorikentät ja differentiaalimuodot voidaan laajentaa (ainakin lokaalisti) johonkin joukon M avoimeen ympäristöön. Olkoot f : M R annettu funktio, x M ja h: U V kartta pisteen x ympäristössä. Tällöin funktio g := f h 1 : V h(m) R voidaan jatkaa joukkoon V asettamalla g(y 1,..., y n ) := g(y 1,..., y k, 0..., 0) kaikille (y 1,..., y n ) V. Funktion f rajoittuma f U M voidaan jatkaa joukkoon U asettamalla f(x) := g(h(x)). b) Edellä, kaavassa 4.1 käytetty moniston M differentiaalimuodon ω esitys koordinaattikuvauksten x j = x j h, 1 j k, differentiaalien avulla on perusteltua kahdesta syystä: Ensinnäkin, differentiaalit d x j (x) muodostavat luonnollisen kannan 1- muotojen vektoriavaruudelle Λ 1 (T x (M)). Toisekseen, abstraktien monistojen tapauksessa muita kuin nämä luonnolliset koordinaattikuvaukset ei ole käytettävissä. Jos
7 4.4. REUNAMONISTON SUUNNISTUS 29 muoto ω kuitenkin laajennettaisiin pisteen x ympäristössä avoimeen joukkoon U, niin tällöin voitaisiin käyttää esitystä ω = ω i1,...,i l dx i1 dx il, i 1 < <i l missä x j, 1 j n, ovat avoimen joukon V kanooniset koordinaattikuvaukset. Tavanomaisempaa on kuitenkin käyttää lokaalin parametriesityksen f : W M ja muuttujanvaihdon f tarjoamia apuja; esimerkiksi lauseen 4.10 avulla ulkoisen derivaatan ominaisuudet saadaan siirretyksi monistoille (vrt. 3.1) Reunamoniston suunnistus Olkoot M R n k-ulotteinen monisto, x M, f : W M lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä sekä a W siten, että f(a) = x. Tangenttiavaruuden T x (M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((a; e j )) = (x; j f(a)), 1 j k. Oletetaan, että moniston M jokaiselle tangenttiavaruudelle M x on annettu suunnistus µ x. (Muista, että µ x on tangenttiavaruuden M x järjestettyjen kantojen ekvivalenssiluokka; vrt. tarkastelut lauseen 1.21 yhteydessä.) Sanotaan, että suunnistukset µ x, x M, ovat yhteensopivat, jos kaikille lokaaleille parametriesityksille pisteen x ympäristössä f : W M ja kaikille a, b W on voimassa jos ja vain jos [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ f(a), [f ((e 1 ) b ),..., f ((e k ) b )] = µ f(b). Tässä (e j ) a (vast. (e j ) b ) ovat avaruuden R k a (vast. R k b ) stanrdardikantavektorit. Oletetaan nyt, että monistolle M on valittu yhteensopivat suunnistukset µ x. Jos lokaalille parametriesitykselle f : W M on voimassa [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ f(a) kaikille a W, sanotaan, että f on suunnistuksen säilyttävä. Jos f ei ole suunnistuksen säilyttävä, ja T : R k R k on lineaarikuvaus, jolle det T < 0, niin f T on suunnistuksen säilyttävä. Jokaisen pisteen x M ympäristössä on siis suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys. Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (a W ja b V siten, että f(a) = g(b) = x), niin [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ x = [g ((e 1 ) b ),..., g ((e k ) b )]. Koska g = (f ϕ) = f ϕ missä ϕ := f 1 g, on (vrt. lause 1.21) det(d(f 1 g)(b)) > 0. Monisto M, jolle suunnistukset µ x voidaan valita yhteensopivasti, on suunnistuva, ja tällainen suunnisten valinta µ: x µ x on moniston M suunnistus. Olkoon nyt M R n k-ulotteinen reunallinen monisto. Jos x M, niin reunan M tangenttiavaruus T x ( M) on tangenttiavaruuden T x (M) (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Nimittäin, jos f : W M on lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä siten, että f(w H k ) M ja f(0) = x, niin tangenttiavaruuden T x ( M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((0; e j )) = (x; j f(0)), 1 j k 1. Tästä seuraa,
8 4.4. REUNAMONISTON SUUNNISTUS 30 Möbiuksen nauha on suunnistumaton pinta, parametrisointina (u, v) r ((1 + v cos(u/2)) cos u, (1 + v cos(u/2)) sin u, v sin(u/2)) että aliavaruuden T x ( M) T x (M) ortogonaalikomplementti (tangenttiavaruuden T x (M) suhteen) on yksiulotteinen. Sanotaan, että vektori n T x (M), joka on kohtisuorassa aliavaruutta T x ( M) vastaan, on ulkonormaali, jos se on muotoa f ((0; v)) jollekin v = (v 1,..., v k ) R k, jolle v k < 0. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä määritelmä on riippumaton lokaalin parametriesityksen f valinnasta. Reunan M yksikköulkonormaalia pisteessä x M merkitään jatkossa n(x). Oletetaan nyt, että suunnistuvalle reunalliselle monistolle M on annettu suunnistus µ. Kun x M, valitaan v 1,..., v k 1 T x ( M) siten, että [n(x), v 1,..., v k 1 ] = µ x. Vektorit v 1,..., v k 1 määräävät suunnistuksen reunalle M, jota kutsutaan reunan M reunasuunnistukseksi, ja jota merkitään µ.
LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotStokesin lause LUKU 5
LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotPinnan tangenttivektorit
LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotAlternoivat multilineaarimuodot
LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotOlkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on
1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotLUKU 6. Weingartenin kuvaus
LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotLUKU 6. Klassiset lauseet
LUKU 6 Klassiset lauseet Tässä luvussa näytetään, miten klassiset Stokesin lauseelle lähisukuiset tulokset, Greenin ja Gaussin lauseet, saadaan erikoistapauksena yleisestä Stokesin lauseesta. Ensin tarkastellaan
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot7.1. Käänteiskuvauslause
LUKU 7 Käänteiskuvauslause Parit (E, ), (F, ),... ovat Banachin avaruuksia, ellei toisin mainita. [4, Ch. XIV, Lemma. 1.1] 7.1. Käänteiskuvauslause Lause 7.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (X, d)
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
LisätiedotLien ryhmät D 380 klo Ratkaisut 6+6=12
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lien ryhmät 22.5.2012 D 380 klo. 10-12 Ratkaisut 6+6=12 1. Käytä ehtoa g = {X M n n exp(tx) kaikille t R} ja tarvittaessa tietoa et exp A = exp r A toistaksesi
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotVektorianalyysi II MAT21020
Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotDifferentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla
Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla Antti Kosonen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2016 Tiivistelmä:
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotKäyrän kaarevuus ja kierevyys
Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero 2435589 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Derivointi polulla.........................
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot