Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisu 1 D 355 klo ja D 381 klo b 0 1
|
|
|
- Ilmari Laakso
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisu 1 D 355 klo ja D 381 klo Kompleksiluvut reaalisina matriiseina Kuvaus C (2 2 -matriisien rengas: z a + bi a + b on injektiivinen rengashomomorfismi, siis isomorfismi kuvajoukolleen, joka siis on kompleksilukujen kanssa isomorfinen kunta. Kompleksiluvut voi siis samaistaa tätä muotoa oleviin reaalisiin 2 2 -matriiseihin. 1. a Totea, että a + bi det(a + bi b Todista edellisen avulla, että kompleksilukujen normi eli itseisarvo on multiplikatiivinen, ts. z 1 z 2 z 1 z 2. c Totea, että kompleksiluvun z a + bi kompleksikonjugaatti z on vastaavan matriisin transpoosi. d Mitä matriiseja vastaavat reaaliluvut? e Mitä matriisia vastaa z z? Mitä huomaat? f Onko edellä mainittu isomorfismi ainoa tapa upottaa C alirenkaaksi kaikkien 2 2-matriisien renkaaseen? (Älä mieti liikaa: Muita emme ainakaan käytä. a a + bi a 2 + b 2 det b z 1 z 2 det(z 1 det(z 2 det(z 1 det(z 2 det(z 1 ( det(z 2 z 1 z 2. a b c z a + bi. Kompleksikonjugaatti z a bi. a 0 d a a + 0i a a1. 0 a a e z z 2 + b a 2 + b 2 z 2 1. Huomaan, että näinkin voi todistaa, että z z z. f Keksitään toinen tapa upottaa C alirenkaaksi kaikkien 2 2-matriisien renkaaseen. Upottaminen tarkoittaa injektiivistä rengashomomorfismia. Ykkösen kuvan on siis oltava ykkönen ja i:n kuvaksi on saatava jokin matriisi J, joka itsellään kerrottuna on on miinus ykkösmatriisi. Kun tämä on löydetty/valittu, isomorfismiksi määräytyy (reaalilineaarisuutensa perusteella kuvaus a + bi 1 + bj. Edellä valitun lisäksi kelpaa ainakin. Onko muita? Etsitään kaikki. Tehtäväksi jää määrätä
2 reaaliset 2 2 matriisit J, joiden neliö on J 2 1, eli ratkaista matriisiyhtälö a b. c d c d a 2 + bc (a + db c(a + d cb + d 2. Neljän yhtälön ja neljän tuntemattoman epälineaarinen yhtälöryhmä. Jos olisi a+d 0, niin bc0 ja siis a 2 d 2 1, mikä on mahdotonta, koska a, b, c, d R. Siis a + d 0 eli d a ja matriisiyhtälöksi jää a 2 + bc 0 0 a 2 + bc eli a 2 bc 1. Mahdollisia ehdokkaita ( imaginaariyksikköä i edustavaksi matriisiksi a b ovat siis tasan kaikki sellaiset J, joilla a c a 2 bc 1 eli det J Kompleksilukua z a + bi vastaavalla matriisilla kertominen on reaalisen 4- ulotteisen vektoriavaruuden R 4 reaalilineaarikuvaus itselleen, joten sillä on näin tulkittuna 4 4-matriisi. Määrää se. { } Käytämme luonnollista kantaa,,,,. Riittää laskea näiden kuvat (näiden lineaarikombinatioina, mikä tulee luonnostaan a 0 (a, 0, b, b 0 0 a (0, a, 0, b b 0 0 b 0 ( b, 0, a, 0 ( ( 0 0 a 0 (0, b, 0, a ( 0 b 0 a Kirjoittamalla kantavektorien kuvat sarakkeiksi saadaan pyydetty matriisi a 0 b 0 0 a 0 b b 0 a 0 0 b 0 a 2 3. Kaikkien 2 2-matriisien rengas on reaalisena vektoriavaruutena tietenkin helposti ( samaistettavissa avaruuteen R 4 lineaari-isomorfismina esimerkiksi (a, b, c, d a c. Tunnetulla tavalla R b d 4 on euklidinen avaruus, siis sisätuloavaruus ja siis edelleen normiavaruus ja metrinen ja lopulta topologinen avaruus. Osoita, että edellisen tehtävän isomorfismin mielessä: a C on R 4 :n vektorialiavaruus (joten se perii sisätulon, normin ja topologian.
3 b Onko kompleksiluvun z itseisarvo on sama asia kuin vektorin z R 4 normi? c Yksikkökompleksiluvulla z cos ϕ+i sin ϕ kertominen on (reaalisen, 2-ulotteisen tason C R 4 kierto ja jos ϕ π, (tehtävää korjattu niin se kuvaa avaruudessa C 2 1-ulotteisen aliavaruuden R ortogonaalikomplementikseen {x C (x y 0 x R}. a Kuvaus C on R 4 :n vektorialiavaruus, sillä kuvaus C (2 2 -matriisien rengas: z a + bi a + b on injektiivinen rengashomomorfismi, siis isomorfismi kuvajoukolleen, joka on kompleksilukujen kanssa isomorfinen kunta ja jonka samaistimme kompleksilukuihin. Tässä tehtävässä C tarkoittaa tuota kuvajoukkoa ja sisältää siis alkioidensa summat ja erotukset (lisäksi myös tulot ja muiden kuin nollan käänteiset. Tietenkin se sisältää nollamatriisin. Matriisin kertominen reaaliluvullakaan ei vie ulos tuosta kuvajoukosta, sillä reaaliluvut ovat kompleksilukuja. b Kompleksiluvun z itseisarvo on z a 2 + b 2. Vektorin z R 4 normi on a 2 + b 2 + b 2 + a 2 2 z, siis ei ihan sama normi, mutta vakiokerrointa vaille sama. c Kohdan b:n nojalla C on myös R 4 :n osajoukkona sama normiavaruus kuin tavallisesti, paitsi että kaikkien vektorien pituudeksi on sovittu 2 kertaa isompi luku. Siksi kierrot ja ortogonaalisuus säilyttävät alkuperäisen merkityksensä ja siis kompleksiluvulla z cos ϕ + i sin ϕ kertominen on myös (reaalisen, 2-ulotteisen tason C R 4 kierto ja jos ϕ π, niin se suoraan kulman suuruisena kiertona tietenkin kuvaa avaruudessa C 1-ulotteisen aliavaruuden R ortogonaalikomplementikseen 2 {x C (x y 0 x R}. Korkeintaan voi moittia tehtävänantoa siitä, että sanomme edelleen lukua z cos ϕ + i sin ϕ yksikkökompleksiluvuksi, vaikka sen normi neliulotteisessa tulkinnassa onkin 1. Enpä tullut huomanneeksi tuota normin muuttumista - eihän koko avaruuden mittakaavalla juuri ole merkitystäkään geometriassa a Osoita, että kompleksilukujonon konvergenssi z n z vastaa matriisien z n R 4 jonon suppenemista avaruuden R 4 euklidisessa topologiassa eli tavallisessa mielessä. b Osoita, että kompleksilukujonon konvergenssi z n z vastaa matriisien z n R 4 jonon suppenemista alkioittain eli siinä mielessä, että (reaalisille 2 2-matriiseille A n A (A n 11 A 11, (A n 12 A 12, (A n 21 A 21 ja (A n 22 A 22. a seuraa edellisen tehtävän b-kohdasta. b Yleensäkin R n :ssä x (x 1,..., x n y (y 1,..., y n x j y j j 1,..., n. Tämän todistamiseksi riittää tutkia tapaus y 0 eli x n 0. Katsotaan kumpikin suunta erikseen.
4 4 x (x 1,..., x n 0 (0,..., 0 x j 0 j 1,..., n, sillä n 0 x j x 2j x 2 j x 2 0. x j 0 j 1,..., n x (x 1,..., x n 0 (0,..., 0, sillä x 2 n j1 j1 x 2 j n max 1 j n x2 j Kvaterniot reaalisina matriiseina Kuvaus H kompleksisten (2 2 -matriisien rengas: a + id b ic a+bi+cj+dk a +b b ic a id ( +c 0 i i 0 +d i 0 0 i on injektiivinen rengashomomorfismi, siis isomorfismi kuvajoukolleen, joka siis on kvaternioidenen kanssa isomorfinen vinokunta. Kvaterniot voi siis samaistaa tätä muotoa oleviin kompleksisiin 2 2 -matriiseihin, erityisesti 0 i i 0 1, i, j ja k. i 0 0 i Näin teemme seuraavassa. 5. a Osoita, että Hamiltonin alkuperäisen kvaternioiden määritelmän ehdot i 2 j 2 k 2 ijk 1 pätevät näille matriiseille. Neliöt on helppo laskea ja 0 i i 0 i 0 i 0 ijk 1. i 0 0 i 0 i 0 i i 0 Juuri yllä laskettiin jo ij k. Yhtä helposti lasketaan matriisit kertomalla 0 i muutkin, mm. ki j sekä edelleen esimerkiksi i 0 0 i ik j. 0 i i 0 Näille kantakvaternioille pätee siis qr rq, kun ( r q. Tulkinta: C on upotettu H:hon valitsemalla 1 ja i i. Olemme siis kompleksi- i-ksi valinneet tämän -1:n neliöjuuren eli imaginaariyksikön, vaikka niistä kvaternioissa olisi ollut valinnan varaa, esimerkiksi j tai k. (Huomaa, että vinokunnassa siis polynomilla voi olla enemmän juuria kuin sen aste ilmaisee. Ks. myös lisätehtävä ratkaisujen lopussa.
5 b Koska kompleksiluvut on samaistettu reaalisiin 2 2 -matriiseihin, voi kvaterniot samaistaa reaalisiin 4 4 -matriiseihin, siis 5 a d b c a d a + id b ic a+bi+cj+dk d a c b b ic a id b c a d d a b c c b d a c b b c a d c b d a Tulkintaa: Käytämme monesta syystä mieluummin kompleksista esitystapaa, mutta kvaterniot voi siis tulkita (paitsi kompleksilineaarikuvauksiksi C 2 C 2 myös reaalilineaarikuvauksiksi R 4 R 4, siis reaalisiksi matriiseiksi, joita tällä kurssilla käsitellään. Yllä esitetty triviaali tapa ei ole sama samaistus kuin luennolla käytetty, jossa kvaternio samaistettiin konjugointiin kvaternioiden ryhmässä H, joka samalla on lineaarikuvaus siinä reaalisessa vektoriavaruudessa H R 4, jossa kantavektoreina ovat kvaterniot 1, i, j ja k. Konjugointi osoittautui jo geometrisesti merkityksellisemmäksi, koska se antoi tulkinnan imaginaaristen kvaternioiden kolmiulotteisen avaruuden rotaatioina. a Totea, että kvaternionormin neliö a+bi+cj+dk 2 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 on sama kuin vastaavan kompleksisen 2 2 -matriisin determinantti ja kvaternioidenkin normi on siis multiplikatiivinen: qq q q. Huomaa, että kvaternionormi tietenkin antaa euklidisen metriikan, kun tulkitaan yksinkertaisesti a + bi + cj + dk (a, b, c, d R 4. a + id b ic det (a + id(a id (b ic( b ic (a + id(a id + b ic a id (b ic(b + ic a 2 (id 2 + b 2 (ic 2 a 2 + d 2 + b 2 + c 2 q 2. b Totea, että kvaternion q a + bi + cj + dk konjugaatti q a bi cj dk on vastaavan matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. a + id b ic Kvaterniota q a + bi + cj + dk vastaavan matriisin kompleksikonjugaatti on tarkoitettu otettavaksi termeittäin ja se on siis. b ic a id a id b + ic b ic a + id a id b ic Tämän transpoosi on, joka tosiaan saadaan alkuperäisestä korvaamalla a, b ja c vastaluvuillaan. b + ic a + id c Mitä kompleksisia 2 2-matriiseja vastaavat reaaliluvut? a + id b ic Reaaliluvut vastaavat niitä kompleksisia 2 2-matriiseja, joilla b ic a id a 0 b c d 0 eli a a1. 0 a d Mitä kompleksista 2 2- matriisia vastaa q q? Mitä huomaat?
6 a + id b ic a id b ic q q b ic a id b + ic a + id (a + id(a id + ( b ic( b + ic (a + id(b + ic + ( b ic(a + id (b ic(a id + (a id(a + id (b ic(b ic + (a id(a + id a 2 + d 2 + b 2 + c b 2 + c 2 + a 2 + b 2 (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1. q 2 kuten luvuilla Määrää kvaterniota q 1 + i vastaava a kompleksinen 2 2 -matriisi b sitä vastaava reaalinen 4 4 -matriisi (syötä äskeiseen kompleksiluvut reaalisina 2 2-matriiseina. c reaalinen 4 4 -matriisi edellisen tehtävän mielessä d kuvausta H H : q qq vastaava reaalinen 4 4 -matriisi e kuvausta H H : q q q vastaava reaalinen 4 4 -matriisi f kuvausta H H : q qq q 1 vastaava reaalinen 4 4 -matriisi a q 1 + i 1 + 0i 1 + 0i b q 1 + i ( ( 1 + 0i 1 + 0i 0 1 c Kuten b. (Vahingossa sama tehtävä kahdesti d Kuvaus H H : q qq on a + bi + cj + dk (1 + i(a + bi + cj + dk (a + bi + cj + dk + i(a + bi + cj + dk (a + bi + cj + dk + (ai b + ck dj (a b + (a + bi + (c dj + (d + ck, mistä näkee kantavektorien 1, i, j, k kuvat, jotka kirjoitetaan sarakkeiksi saaden e Kuvaus H H : q q q on a + bi + cj + dk (a + bi + cj + dk(1 + i (a + bi + cj + dk + (a + bi + cj + dki (a + bi + cj + dk + (ai b ck + dj (a b + (a + bi + (c + dj + (d ck, mistä näkee kantavektorien 1, i, j, k kuvat,
7 jotka kirjoitetaan sarakkeiksi saaden f Käyttäen käänteisen lauseketta ja d-kohdan tulosta saadaan, että kuvaus H H : q qq q 1 on a + bi + cj + dk (1 + i(a + bi + cj + dk(1 + i 1 ((a b + (a + bi + (c dj + (d + ck 1 (1 i 2 1 (((a b + (a + bi + (c dj + (d + ck ((a b + (a + bi + (c dj + (d + cki 2 (a b + (a + bi + (c dj + (d + ck + (b ai + (a + b + (c dk (c + dj 1 2 2( 1 (2a + (2bi + ( 2dj + (2ck a + bi dj + ck, mistä näkee kantavektorien 1, i, j, k kuvat, jotka kirjoitetaan sarakkeiksi saaden Toinen tapa: Käytetään ensin hyväksi sitä, että i:n kaikki (pos ja neg potenssit kommutoivat ja lasketaan sitten kuten edellä: H H : q qq q 1 on a + bi + cj + dk (1 + i(a + bi + cj + dk(1 + i 1 (1 + ia(1 + i 1 + (1 + ibi(1 + i 1 + (1 + icj(1 + i 1 + (1 + idk(1 + i 1 a + bi + c(1 + ij(1 + i 1 + d(1 + ik(1 + i 1 a + bi + c(1 + ij(1 i + d (1 + ik(1 i 2 2 a + bi + c(j + k(1 i + d (k j(1 i 2 2 a + bi + c(j + k + k j + d (k j j k 2 2 a + bi + dj + ck, mistä näkee kantavektorien 1, i, j, k kuvat kuten yllä. Kolmas tapa: Laske kantavektorien kuvat erikseen. (Suunnilleen sama vaiva, mutta vie vähän enemmän tilaa. 7. Suomenna ja todista tai kumoa: The quaternions 1, i, j and k form a non-abelian group of order eight (with multiplication as the group operation. Kvaterniot 1, i, j ja k muodostavat (oikeammin: virittävät! epäkommutatiivisen 8- alkioisen ryhmän, jossa laskutoimituksena on (kvaternioiden kertolasku. Väite sanoo siis, että aliryhmä i, j, k H on epäkommutatiivinen ja 8 -alkioinen. Epäkommutatiivisuuden toteamiseksi riittää huomata, että ij ji. Aliryhmään i, j, k H kuuluvat tietenkin annetut 3 kvaterniota ja ykkösalkio 1. Lisäksi siihen kuuluvat annettujen käänteiset i, j ja k ja neliöt, jotka ovat 1. Näin 1, i, j, k, 1, i, j, k i, j, k. Mutta tässä on **, sillä löydettyjen 8 alkion tulot (64 kpl, mutta voi vähän niputella ja käänteiset kuuluvat kaikki joukkoon {1, i, j, k, 1, i, j, k}, joka siis on aliryhmä. 7
8 8. Kompleksiluvun z C kompleksikonjugaatin, normin ja käänteisluvun välillä on yhteys: z 1 z z 2. Päteekö samanlainen kaava kvaternioille? Pätee. Oli jo edellä! 9. Täydentävä tehtävä: Olkoon u H imaginaarinen yksikkökvaternio. (u niin kuin unit length. Osoitetaan, että u 2 1, joten kvaterniovinokunnassa voi 2. asteeen yhtälöllä olla monta ratkaisua. Koska i, j ja k ovat ortogonaalisia (ovathan niiden sisätulotut eli tulojen reaaliosat nollia, niin u ai+bj+ck siten, että u 2 a 2 +b 2 +c 2 1. Siis u 2 (ai+bj+ck 2 a 2 i 2 +b 2 j 2 +c 2 k 2 +ab(ij + ji+ac(ik + kj+bc(jk + kj a 2 b 2 c Ja vielä voi kysellä: Miksi kvaternion käänteinen on hyvin määritelty, siis oikean- ja vasemmanpuoleinen käänteinen ovat samat? Vastaus: Näinhän ryhmässä käy, kun molemmat ovat olemassa. Ja neliömatriisihan on kääntyvä, kun sillä on edes toinen! Lopuksi. Kaikenlaista tietoa kvaternioista löytyy mm sivulta of basis elements 8
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Lineaariset Lien ryhmät MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS 30.1.2012 / Harjoitus 2 Ratkaisut 1. Affiinit kuvaukset lineaarikuvauksina Kuvaus f A,b : R n R n : x Ax + b (Tässä A
H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Determinantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Kompleksiluvut ja kvaterniot kiertoina
Kompleksiluvut ja kvaterniot kiertoina Heikki Polvinen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 0 Tiivistelmä: Heikki Polvinen, Kompleksiluvut
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Käänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Ominaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Ominaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
Ortogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.