(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

Transkriptio

1 Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) = x cos x ( cos x) = x cos x + cos x (b) = sin x x cos x + C, C R. Pisteytys: Huomattu osittaisintegroida, mutta laskussa virheitä: p. Lasku oikein, mutta integroimisvakio puuttuu: p. Laskussa on virhe, mutta vakio huomattu ottaa mukaan: p. Virheetön ratkaisu tai vain pieni virhe laskussa: p. x x + x = x + x x + x x x + x = + x x + x. Vakiofunktio on helppo integroida, mutta toisen osan integrointiin osamurtokehitelmästä on hyötyä. Toisen asteen ratkaisukaavasta (tai arvaamalla ja tarkistamalla) saadaan Osamurtokehitelmä: x + x = (x ) (x + ). x (x ) (x + ) = A B x + x + x + (x ) (x + ) = A (x + ) B (x ) + (x ) (x + ) (x ) (x + ) x + = (A + B) x + A B A + B = ja A B = A = / ja B = 4/. Siis x x + x = + x 4 x + = x + log x 4 log x + + C, missä C R ja integroimisväli ei saa sisältää lukuja x = tai x =.

2 Pisteytys: Vastausten monimuotoisuuden takia tiiviitä pisteytysehtoja ei voi antaa. Jonkinlainen edistyminen tehtävässä, esimerkiksi onnistunut osamurtokehitelmä, antaa yhden pisteen. Pitkälle viety ratkaisu tai laskuvirheet poislukien onnistunut ratkaisu antaa kaksi pistettä. Virheetön ratkaisu antaa kolme pistettä.. (a) Käyrien y = +x, y =, x = ja x = väliin jäävä tasoalue pyörähtää suoran x = ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus. (b) Laske epäoleellinen integraali tai osoita, että se hajaantuu. x( x) (a) Tapa : Voidaan yhtäpitävästi tarkastella tilannetta, jossa kaksi yksikköä oikealle siirretty tasoalue pyörähtää y-akselin ympäri. Lasketaan siis sen kappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrien x =, x =, y = ja y = +(x ) rajaama tasoalue pyörähtää y-akselin (eli suoran x = ) ympäri. Kysytty tilavuus saadaan tällöin soveltamalla kaavaa V = π V = π b a xf(x), missä a =, b = ja f(x) = [ x = π + (x ) x 4 + (x ) + Huomaamalla, että d ( + (x ) ) = x 4, saadaan x 4 + (x ) = / + (x ) ; ] + (x ). log( + (x ) ) = log log = log. Muuttujanvaihtoa u = x ja tietoa d du arctan u = +u soveltamalla saadaan + (x ) = + u du = Pyörähdyskappaleen tilavuus on siten ( V = π log + π ) = π log + π. / arctan u = arctan = π. Tapa : Pyörähdyskappale muodostuu sellaisten lieriöiden vaipoista, joiden pohjan säde on x ( ) = x + ja korkeus f(x) =. Tilavuus on siis +x V = π (x+) + x = π x + x +4π + x =... = π log +π. Pisteytys: Tilannetta vastaava kuva:,5p. Tilannetta vastaava kuva ja tilavuudelle johdettu lauseke on oikein: p.

3 (b) Kyseessä on epäoleellinen integraali, sillä funtio f(x) = x( x) pisteen x = läheisyydessä. Koska x( x) = x x = (x ), sijoittamalla u = x ja käyttämällä tietoa d du arcsin u = u x( x) = (x ) = c du = lim = lim c u c du u / c arcsin u = lim arcsin c arcsin = arcsin c = π. Epäoleellinen integraali siis suppenee, ja sen arvo on π. kasvaa rajatta saadaan Pisteytys: Lasku osittain oikein: p. Lasku oikein, mutta rajankäynti tekemättä: p. Laskussa virhe, mutta epäoleellisuus huomattu: p. Lasku sisältää korkeintaan pienen virheen: p.. (a) Tasokäyrän koordinaatit ovat x = t t, y = t + t, t R. Selvitä, missä pisteissä (jos missään) käyrällä on vaaka-, missä pystysuora tangentti sekä hahmottele käyrä. (b) Tasokäyrän yhtälö napakoordinaateissa on r = sin θ cos θ. Selvitä käyrän yhtälö karteesisissa koordinaateissa sekä hahmottele käyrä. (a) Pystysuora tangentti löytyy ainakin pisteistä, joissa dt = ja dy dt. = dt = t = (t ) t = t = tai t =. (Lisäksi pystysuora tangentti voisi löytyä myös pisteistä, joissa dt jos näitä olisi, ne olisi tutkittava erikseen.) Vaakasuora tangentti löytyy ainakin pisteistä, joissa dy dt dy dt = t + >, joten aina dy dt. = ja dt. = ja dy dt = ; Käyrällä ei siis ole vaakasuoria tangentteja, ja pystysuora tangentti löytyy, kun t = eli pisteestä (x,y) = (,4) ja kun t = eli pisteestä (x,y) = (, 4).

4 Pisteytys: Jokaisesta seuraavista yksi piste: Pystysuorat tangentit löytyivät. Vaakasuoria tangentteja ei ole. Kuva. Jos tangentit menivät väärin päin, piste. (b) Napakoordinaattimuunnoksen x = r cos θ, y = r sin θ ja tiedon r = x + y avulla saadaan r = sin (θ) cos (θ) r = r sin (θ) r cos (θ) x + y = y x r x + x + y y = neliöiksi täydentäminen ( (x + ) + y ) = 5 4 ( (x + ) + y ( ) 5 =. ) Kyseessä on ympyrä, jonka keskipiste on (, /) ja säde on 5/ (= hiukan yli ). (Kuvan piirtämisessä auttaa myös havainto, että origo (,) toteuttaa yhtälön.)

5 Pisteytys: Jokaisesta seuraavista yksi piste: Muunnos karteesisiin koordinaatteihin. Ympyrän yhtälö näkyviin. Kuva. 4. Tutki perustellen, suppeneeko lukusarja (a) n= n + n + 7, (b) n + n 4n 5 + 6n 7. n= (a) Sarja n+ hajaantuu, sillä sarjan termien a n= n+7 n = n+ muodostama n+7 lukujono (a n ) n=,,... ei suppene nollaan: lim a n + n = lim n n n + 7 = lim + n n + 7 n =. (b) Sovelletaan osamäärätestiä vertaamalla sarjaa n +n n= 4n 5 +6n 7 sarjaan n=. Koska n yliharmoniseen a n b n = n +n 4n 5 +6n 7 n = n5 + n4 n 4n 5 + 6n 7 = + n n n 4 7 n 5 n 4 (, ), sarjat käyttäytyvät samalla tavalla. Tutkittava sarja siis suppenee, sillä vertailusarja n= n suppenee yliharmonisena sarjana (p = > ). Pisteytys: Myös muita hyväksyttäviä ratkaisutapoja. 5. Missä potenssisarja n= suppenee (a) itseisesti, (b) ehdollisesti? (x )k k Tehtävässä oli kirjoitusvirhe. Tehtävän voi ratkaista täsmälleen kirjoitetussa muodossa: Jos k =, niin sarjan termejä ei ole määritelty. Muutoinkin ongelmia voi olla; esimerkiksi kun x < ja k ei ole kokonaisluku. Oletetaan jatkossa, että sarja on määritelty ja sen termit ovat reaalilukuja. Jos x =, niin kyseessä on nollasarja, joka suppenee itseisesti. Tällöin se ei suppene ehdollisesti (ehdollinen suppeneminen tarkoittaa, että sarja ei suppene itseisesti, mutta suppenee tavallisesti ). 5

6 Jos x, niin kyseessä on vakiosarja (vakiolukujonosta muodostettu sarja), missä vakio ei ole nolla. Se hajaantuu, koska riippumatta muuttujasta n termi k (x )k ei lähesty nollaa. Sarja ei siis suppene itseisesti eikä ehdollisesti. Oletetaan nyt, että tehtävän sarja on korjattu sarjaksi k= k (x )k. Tapa, suoraan suhdetestillä: Käytetään merkintää a k = k (x )k ja suhdetestiä: a k+ a k = x k+ x k k (k + ) = x k k + x, kun k. Siis sarja suppenee itseisesti ainakin, kun x < eli kun x ],4[. Lisäksi testistä voi päätellä, että sarja hajaantuu kun x >. Pitää siis vielä tutkia yllä löydetyn välin päätepisteet x = ja x = 4. Tapa : Etsitään suppenemissäde R sarjan kertoimien a k = k avulla: R = lim a k+ k a k k = lim k (k + ) = lim k + k Siis suppenemissäde on. Koska sarjan kehityskeskus on, sarja suppenee itseisesti ainakin avoimella välillä ],4[ ja hajaantuu vastaavan suljetun välin ulkopuolella. Lisäksi on tutkittava välin päätepisteet: suppeneeko sarja itseisesti tai ehdollisesti, kun x = ja/tai kun x = 4. =. Oikea päätepiste x = 4: Sijoittamalla x = 4 sarja saadaan muotoon k= k k = joka on vakiokerrointa vaille harmoninen sarja ja siksi hajaantuu. k= k, Vasen päätepiste x = : Sarja saa muodon k= k ( )k = ( ) k, k= k joka on vakiolla kerrottu vuorotteleva harmoninen sarja joka suppenee ehdollisesti, mutta ei itseisesti. Vakiolla kertominen ei vaikuta suppenemiseen (koska vakio ei tässä ole nolla). Vuorottelevan sarjan suppenemisen voi todeta Leibnizin testillä:. a k = /k, kun k. Sarja on vuorotteleva eli termin etumerkki vaihtuu joka välissä; perusteluksi voidaan laskea a k a k+ = ( ) k+ / (k + k) = / (k + k) < kaikilla k =,,... 6

7 . a k+ = k+ < k = a k kaikilla k =,,... eli termin itseisarvo vähenee. Näistä kolmesta ehdosta seuraa, että sarja suppenee. Suppenemisen ehdollisuutta tai itseisyyttä testi ei kerro. Sarja ei suppene itseisesti, koska itseisarvojen kanssa sarja on, kuten oikeassa päätepisteessä x = 4, vakiolla kerrottu harmoninen sarja, joka hajaantuu. Siis sarja suppenee ehdollisesti pisteessä x =. Vastaus: Sarja suppenee itseisesti, kun x ],4[, ja ehdollisesti, kun x =. Pisteytys karkeasti: Tehtävässä annetun sarjan tutkiminen oikein: 6 pistettä. Kirjoitusvirheen havaitseminen antoi yleensä yhden pisteen lisänä allaoleviin. Jokaisesta seuraavista yksi piste: Suppenemissäde laskuineen. (Jos suppenemissädettä ei laskettu erikseen, niin seuraava kohta oli kahden pisteen arvoinen.) Suppenemisväli ],4[ laskuineen. Päätepisteen x = tarkastelu Leibnizin testin kanssa. Päätepisteen x = 4 tarkastelu. Ehdollinen suppeneminen. Itseinen suppeneminen. Nimen Leibniz kirjoittamisesta väärin ei pistevähennyksiä. 7