Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
|
|
- Aili Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on maanantaina 9.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 0 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin.. Olkoon X = {0,, }. Ovatko seuraavat säännöt kuvauksia? (a) f : X X, f(n) = n + n( ) n+ (b) g : X X, x (c) h : R \ {} R, h(x) = + x x (d) ρ : R [0, [, x x x. (a) Huomataan, että f(0) = 0 X, f() = X ja f() = 4 = X. Näin ollen kaikki lähdön alkiot kuvautuvat yksikäsitteisesti maalijoukkoon, joten f on kuvaus. (b) Ei, sillä luku ei kuulu g:n maalijoukkoon. (c) Kyllä. Lauseke + x on hyvinmääritelty kaikilla x R\{} ja se on reaaliluku x eli kuuluu maalijoukkoon R. (d) Ei, sillä = / [0, [.. Perustele, miksi seuraavat säännöt eivät ole kuvauksia. (a) f : Q Q, f(m/n) = (m + n)/(n + ) kaikilla m/n Q. (b) g : [, ] ]0, [, g(t) = 5t + 5t + kaikilla t [, ]. (a) Ei, sillä 0 = 0/ = 0/, mutta f(0/) = (0 + )/( + ) = / ja f(0/) = (0 + )/( + ) = /5. Näin ollen f(0/) f(0/). (b) Ei, sillä g( /) = 5( /) + 5 ( /) + = 5/4 5/ + = /4 / ]0, [. Tarkastellaan kuvausta f : Z Z Z, f(n, m) = n m +. (a) Onko f injektio? Entä surjektio? (b) Olkoon A = {0, } {, }. Määritä kuva fa. (c) Olkoon B = {}. Luettele neljä eri alkiota alkukuvasta f B.
2 (a) Huomataan, että f(0, 0) = = = + = f(, ), joten f ei ole injektio. Oletetaan, että z Z. Tällöin (z, ) Z Z ja f(z, ) = z + = z. Näin ollen f on surjektio. (b) Huomataan, että A = {(0, ), (0, ), (, ), (, )}. Näin ollen fa = {f(n, m) (n, m) A} = {f(0, ), f(0, ), f(, ), f(, )} = {,, 0, } = {,, 0} (c) Huomataan, että f(0, 0) = f(, ) = f(, ) = f(, ) = B, joten (0, 0), (, ), (, ), (, ) f B. 4. Tarkastellaan kuvausta f : Z Z Z, f(n) = (n, n + ). (a) Onko f injektio? Entä surjektio? (b) Olkoon A = {0,, }. Määritä kuva fa. (c) Olkoon B = {0, } {,, }. Määritä alkukuva f B. (a) Oletetaan, että n, m Z ja f(n) = f(m). Näin ollen (n, n + ) = (m, m + ), joten n = m ja n + = m +. Erityisesti siis n = m. Näin ollen f on injektio. Huomataan, että kaikilla n Z pätee (n, n + ) (0, ). Näin ei ole olemassa n Z siten, että f(n) = (0, ), joten f ei ole surjektio. (b) fa = {f(0), f(), f()} = {(0, ), (, ), (, )}. (c) Huomataan, että B = {(0, ), (0, ), (0, ), (, ), (, ), (, )}. Näin ollen f B = {n Z f(n) B} = {n Z (n, n + ) B} = {0, }. Tehtäväsarja II Seuraavassa tehtävässä kerrataan induktiotodistusta 5. (Bernoullin epäyhtälö) Oletetaan, että x R ja x >. Osoita induktiolla, että tällöin ( + x) n + nx kaikilla n N. Missä tarvitset oletusta x >? Alkuaskel: olkoon n = 0. Tällöin ( + x) n = ( + x) 0 = + 0 = + nx joten väite pätee kun n = 0. Induktioaskel: oletetaan, että ( + x) k + kx jollakin k N. Tällöin (+x) k+ = (+x)(+x) k ( ) (+x)(+kx) = +kx+x+kx +kx+x = +(k+)x, joten väite pätee luvulle k +. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. ( ): koska x >, niin + x > 0 joten induktio-oletuksen ( + x) k + kx nojalla myös ( + x)( + x) k ( + x)( + kx) pätee.
3 Tehtäväsarja III Seuraavat tehtävä liittyy käänteiskuvauksen käsitteeseen. Luentokalvoista 5 64 voi olla apua 6. Osoita, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus, jos f : R R ja g : R R on määritelty asettamalla f(x) = x 4 ja g(x) = 4x + kaikilla x R. Oletetaan, että x R. Tällöin ( ) x (g f)(x) = g(f(x)) = g 4 = 4 x 4 + = x + = x = id R (x). Näin ollen kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi (f g)(x) = f(g(x)) = f(4x + ) = (4x + ) 4 Siten kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. = 4x 4 = x = id R(x). Koska g f = id R ja f g = id R, niin kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. 7. Määritä kuvauksen f käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa jos (a) f : N N on kuvaus, jolle f(n) = n. (b) f : [, [ [0, [ on kuvaus, jolle x x. (a) Huomataan, että f() = = = = f(), joten f ei ole injektio. Näin ollen f ei ole bijektio, joten sillä ei ole käänteiskuvausta. (b) Ratkaistaan yhtälö f(x) = y x:n suhteen: x = y x = y x = y + x = y + Määritellään kuvaus g : [0, [ [, [, g(y) = y +. Kuvaus on hyvinmääritelty, sillä y + 0+ = kaikilla y [0, [. Näin ollen g(y) = y + [, [ kaikilla y [0, [. Nyt (g f)(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x ) + = x = x = x +
4 kaikilla x [, [ ja (f g)(y) = f(g(y)) = f( y + ) = ( y + ) = y + = y = y kaikilla y [0, [. Näin ollen g f = id ja f g = id, joten g on f :n käänteiskuvaus. 8. Määritä kuvauksen f käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa, jos (a) f : R R on kuvaus, jolle x x 9. (b) f : Z Z on kuvaus, jolle z z 5. (a) Olkoon g : R R kuvaus, jolle x (x+9). Tarkistetaan, että näin määritelty g todella on kuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin kuva-alkio (x + 9) on määritelty kuva-alkio on yksikäsitteinen kuva-alkio kuuluu maaliin R. Osoitetaan sitten, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Olkoon x R. Tällöin ( ) (f g)(x) = f(g(x)) = f (x + 9) = (x + 9) 9 = x = x = id R(x). Näin ollen kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 9) = ((x 9) + 9) = x = x = id R(x). Siten kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Koska g f = id R ja f g = id R, niin kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. (b) Kuvaus f ei ole surjektio, sillä jokainen kuva-alkio on pariton luku. Näin ollen esimerkiksi f(z) 4 kaikilla z Z. Osoitetaan tämä vielä tarkasti: Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa z Z, jolla f(z) = 4 eli z 5 = 4. Tällöin z = 9, joten z = 4,5. Tämä on ristiriidassa oletuksen z Z kanssa. Näin ollen f ei ole bijektio. Tästä seuraa, että kuvauksella f ei ole käänteiskuvausta. 9. Määritä kuvauksen g käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa, jos (a) g : R R on kuvaus, jolle x 8x x. (b) g : [, [ [, [ on kuvaus, jolle x x +.
5 (a) Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi g(0) = 0 = g(/), mutta 0 /. Siten g ei ole bijektio. Tästä seuraa, että kuvauksella g ei ole käänteiskuvausta. (b) Määritellään f : [, [ [, [ asettamalla f(x) = (x ) +. Tarkistetaan, että näin määritelty f todella on kuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin Tehtäväsarja IV kuva-alkio (x ) + on määritelty kuva-alkio on yksikäsitteinen kuva-alkio kuuluu maaliin [, [. Jos nimittäin olisi f(x) <, niin (x ) + < eli (x ) < 0, mikä on mahdotonta. Osoitetaan sitten, että kuvaus f on kuvauksen g käänteiskuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + ) = ( x + ) + = x + = x = id(x). Näin ollen kuvaukset f g : [, [ [, [ ja id: [, [ [, [ ovat sama kuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin (g f)(x) = g(f(x)) = g((x ) + ) = = x + = x + = x = id(x). (x ) + + Näin ollen kuvaukset g f : [, [ [, [ ja id: [, [ [, [ ovat sama kuvaus. Koska f g = id [, [ ja g f = id [, [, niin kuvaus f on kuvauksen g käänteiskuvaus. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia relaatioita. Luentokalvoista voi olla apua. 0. Olkoon A = {,,, 4} ja B = {, 5, 7}. Määritellään joukkojen A ja B välinen relaation R asettamalla R = { (a, b) A B a + b 9}. Esitä relaatio R luettamalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. R = {(, 7), (, 7), (4, 5), (4, 7)}.. Merkitään K = { a, e, i, t, v } ja S = { tie, vie, iva }. Määritellään joukkojen K ja S välinen relaatio R asettamalla R = { (k, s) K S kirjain k esiintyy sanassa s }. Esitä relaatio R luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. R = {(a, iva), (e, tie), (e, vie), (i, tie), (i, vie), (i, iva), (t, tie), (v, vie), (v, iva)}.
6 . Merkitään A = {avain, nyckel, key, Schlüssel }. Määritellään relaatio T asettamalla T = {(x, y) A A sama kirjain esiintyy sekä sanassa x että sanassa y}. Esitä relaatio T luettamalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit.. Onko T refleksiivinen? Entä symmetrinen? Entä transitiivinen? T = {(avain,avain),(avain, nyckel),(nyckel,avain),(nyckel,nyckel),(nyckel,key),(nyckel, Schlüssel),(key,nyckel),(key,key), (key, Schlüssel),(Schlüssel, nyckel),(schlüssel,key),(schlüssel,schlüssel) }. Relaatio on refleksiivinen ja symmetrinen, mutta ei refleksiivinen, sillä (avain, nyckel) T ja (nyckel, key) T, mutta (avain, key) / T. Kompleksiluvut. (a) Muodosta tulon nollasäännön avulla reaalilukukertoiminen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat (i) 0 ja (ii) i ja + i. (b) Määritä reaaliluvut a ja b, joilla yhtälön ax + bx + = 0 yksi ratkaisu on + i. (a) (i) Yhtälön x(x ) = 0 ratkaisut ovat 0 ja. Eli x x = 0. (ii) Yhtälön (x ( i))(x ( + i)) = 0 ratkaisut ovat i ja + i. Sievennetään: x ( i))(x ( + i)) = x ( + i)x ( i)x + ( i)( + i) Eli yhtälö on x x + = 0. (b) Sijoitetaan x:n paikalle +i: = x ( + i + i)x + i = x x + a( + i) + b( + i) + = 0 a( + 4i + 4i ) + b + bi + = 0 Saadaan ratkaisu a = /5 ja b = /5. 4. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö Vihje Tutki lauseketta (a + b) kun a = x ja b = x + a( + 4i) + b + bi + = 0 a + b + + i(4a + b) = 0 a + b + = 0 ja 4a + b = 0 b = + a ja b = a x 4 + x + x + x + = 0.
7 Vihjettä käyttäen huomataan, että (x + x+) = x 4 + x + x + x+. Näin ollen x 4 + x + x + x + = 0 jos ja vain jos (x + x + ) = 0, eli jos ja vain jos x + x + = 0. Tämän yhtälön ratkaisut saadaan ratkaisukaavalla: Ratkaisut ovat siis + i ja i. x = ± i 4 = ± i 5. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) z 4 = 8i (b) ( i)z 5 = z ja merkitse löytämäsi ratkaisut kompleksitasoon. (a) Luvun 8i eksponenttiesitys on 8e π i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e π i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 8 4ϕ = π + k π r = 4 8 ϕ = π 4 + k π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: e π 8 i, e 5π 8 i, e 9π 8 i ja e π 8 i. r = ϕ = π 8 + k π, (b) Yhtälön ( i)z 5 = z kanssa ekvivalentti yhtälö on ( i)z 5 z = 0 eli z (( i)z ) = 0. Tulon nollasäännön nojalla tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos z = 0 tai ( i)z = 0. Ratkaistaan vielä yhtälö ( i)z = 0. Sen kanssa ekvivalentti yhtälö on z = /( i). Luvun i eksponenttiesitys on e π 4 i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z = (re iϕ ) = ( e π 4 i ) r e iϕ = π e 4 i. i Tämän yhtälön kanssa ekvivalentti yhtälöpari on r = ϕ = π 4 + k π r = ( ) ϕ = π 4 + k π r = 6 ϕ = π + k π,
8 missä k Z. Ratkaisuja saadaan kolme erilaista: e π i, e π 4 i ja 6 e 7π i. Yhtälöllä ( i)z 5 = z on siis tasan neljä ratkaisua: 0, e π i, e π 4 i, e 7π i. 6. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (x x + 0)(x 4 8) = 0. Tulon nollasäännön nojalla yhtälö (x x+0)(x 4 8) = 0 pätee, jos ja vain jos x x+0 = 0 tai x 4 8 = 0. Ratkaistaan ensin yhtälö x x+0 = 0. Koska diskriminantti on < 0, niin yhtälön ratkaisut ovat x = ( ) ± i = ± i. Ratkaistaan sitten yhtälö x 4 8 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 4 = 8 kanssa. Luvun 8 eksponenttiesitys on 8e 0i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e 0i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on { r 4 = 8 4ϕ = 0 + k π r = 4 8 ϕ = k π 4 r = ϕ = k π missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista:,, i ja i. Yhtälöllä (x x + 0)(x 4 8) = 0 on siis ratkaisut ±i, ± ja ±i. Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 7. Laske ja kirjoita perusteluksi vastaava jakoyhtälö: (i) 0 mod (ii) 40 mod (iii) 49 mod 48 (iv) 99 mod
9 8. Todista lauseen 40 ensimmäinen implikaatio. Oletetaan, että a, b Z ja n N {0} ja lisäksi, että a b (mod n). Osoitetaan, että n (a b). Nyt luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa a = qn + r ja b = pn + r, missä q, p, r Z ja 0 r < n. Tutkimalla lukujen a ja b erotusta saamme a b = (qn + r) (pn + r) = qn + r pn r = qn pn = n(q p), missä q p Z, sillä kokonaislukujen erotus on kokonaisluku. Siis n jakaa luvun (a b) eli n (a b). 9. Todista lauseen 4 (b)-osa (vihje: lause 40). Oletetaan, että a, b, c, d Z ja n N {0} ja lisäksi että a b (mod n) ja c d (mod n). Osoitetaan, että ac bd (mod n). Nyt luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa a = q n + r ja b = q n + r, missä q, q, r Z ja 0 r < n. Vastaavasti luvut c ja d voidaan kirjoittaa muodossa c = p n+s ja d = p n+s, missä p, p, s Z ja 0 s < n. Tästä seuraa, että ja Näiden erotus on ac = (q n + r)(p n + s) = (q p n + q s + p r)n + rs bd = (q n + r)(p n + s) = (q p n + q s + p r)n + rs. ac bd = (q p n + q s + p r q p n q s p r)n, missä q p n + q s + p r q p n q s p r Z, sillä kokonaislukujen tulot, summat ja erotukset ovat kokonaislukuja. Näin ollen luku n jakaa erotuksen ac bd, joten lauseen 40 mukaan ac bd (mod n). 0. (a) Laske 005 mod 0 (b) Laske mod (c) Laske 6 05 mod (a) 005 mod 0 = 5, sillä 005 = (b) 4 (mod ), joten = (mod ). Vastaavasti 5 (mod ), joten ( ) 000 = (mod ). Näin ollen = (mod ). Koska 0 <, niin mod =. (c) Lauseen 4 avulla saadaan 6 05 = ( ) 05 = = ( 5 ) 40 ( 5 ) 40 = () ( ) = = () 0 (mod ) Nyt 0 0 <, joten 6 05 mod = 0. Selityksiä: () (mod ), sillä ( ) = = ja 4 (mod ), sillä 4 = 4 = () 0 (mod ), sillä 0 = =
Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotSanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 3: Funktiot 4.3 Funktiot Olkoot A ja B joukkoja. Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää yksikäsitteisesti määrätyn
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotHuom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotDISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.
Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot