a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu) relaatio R (N N) (N N), missä (a, b)r(c, d) a + d = b + c, a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon [3, 8] = R((3, 8)): (8, 3), (3, 3), (, 3), (4, 9), (, 6), (0, 5)? b) Sievennä ([a, b] [c, d]) [e, f] ja [a, b] ([c, d] [e, f]). Mitä siis teitkään? Ratkaisut. a) Ekvivalenssiluokka [3, 8] koostuu kaikista järjestetyistä pareista (a, a+5) N N, koska juuri näille on totta 3 + (a + 5) = 8 + a. Siispä luokassa [3, 8] ovat vain parit (4, 9) ja (, 6) (luvut ja 0 eivät ole luonnollisia lukuja!). b) Molemmista tulee ottaen huomioon luonnollisten lukujen yhteenlaskun liitännäisyys ekvivalenssiluokka [a+c+e, b+d+f]. Todistit näiden juuri konstruoitujen kokonaislukujen (siis ekvivalenssiluokkien) yhteenlaskun liitännäisyyden eli assosiatiivisuuden.. Jatkoa Tehtävään : Ratkaise x yhtälöstä [a, b] x = [c, d]. Ratkaisu. Koska tässä yhteydessä on lukuparien ekvivalenssiluokkien välinen laskutoimitus, voidaan merkitä x := [x, x ]. Lasketaan nyt yhtälö muotoon [a, b] [x, x ] = [a + x, b + x ] = [c, d], mikä on relaation R määrittelyn takia yhtäpitävää sen kanssa, että a+x +d = b+x +c. Helposti hoksataan, että tämän toteuttavat esimerkiksi x = b + c ja x = a + d. Näin ollen ainakin yksi ratkaisu on x := [x, x ] = [b + c, a + d]. Tarkasta! Olemme siis jo todistaneet, että ratkaisuja on. Mutta onkohan muita ratkaisuja? Oletetaan, että eräs ratkaisu on x = [u, v]. Jännitys tiivistyy: onko (u, v)r(b + c, a + d) tosi? Mutta yhtälön oletettuna ratkaisuna x toteuttaa sen: [a, b] [u, v] = [a+u, b+v] = [c, d], ja siten (a + u) + d = (b + v) + c. Yhteenlaskun vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden nojalla u + (a + d) = v + (b + c), ja siten (u, v)r(b + c, a + d) eli [u, v] = [b + c, a + d]. Yhtälöllä on siis tasan yksi ratkaisu x = [b+c, a+d] (joka toki voidaan esittää muidenkin tuohon ekvivalenssiluokkaan kuuluvien alkioparien avulla!). 3. Oletetaan kokonaislukujen kertolasku tunnetuksi. Osoita, että rationaaliluvut määrittelevä relaatio R, (a, b)r(c, d) ad = bc, on ekvivalenssirelaatio joukossa Z N (ks. luennot). Ratkaisu. Olkoot (a, b), (c, d) Z N. Tällöin rationaaliluvut määrittelevä relaatio R on (a, b)r(c, d) ad = bc. Tutkitaan onko R ekvivalenssirelaatio:

2 E) (refleksiivisyys) Kaikilla (a, b) Z N on (a, b)r(a, b), sillä kertolasku on vaihdannainen: ab = ba. E) (symmetrisyys) Olkoon (a, b)r(c, d), eli ad = bc. Silloin edelleen vaihdannaisuuden avulla cb = da eli (c, d)r(a, b). E3) (transitiivisuus) Olkoot (a, b)r(c, d) ja (c, d)r(e, f). Silloin ad = bc ja cf = de. Riittää osoittaa, että af = be, jolloin on totta (a, b)r(e, f). Kertomalla edellä olevat yhtälöt puolittain keskenään saadaan adcf = bcde. Koska jakolaskua ei vielä ole, pitää tyytyä kokonaislukujen aritmetiikkaan ilman sitä. Muunnetaan osittelulain (ja muiden, minkä?) mukaan yhtälö muotoon cd(af be) = 0, josta saadaan c = 0 tai d = 0 tai af be = 0. Mutta d N, joten on vain kaksi mahdollisuutta: ) Jos af be = 0, on asia selvä. ) Jos c = 0, niin koska b, d, f 0, yhtälöstä ad = bc seuraa a = 0 ja yhtälöstä cf = de seuraa e = 0. Siis af = 0 = be. Molemmissa tapauksissa af = be eli (a, b)r(e, f). Kaikki ehdot ovat voimassa, joten R on ekvivalenssirelaatio. Huomautus: Tapauksessa c 0, olisi ollut cd 0 ja yhtälöstä adcf = bcde voisi supistaa käyttäen vähennyslaskua, ja taas saadaan af = be. Supistaminen onnistuu myös kertolaskussa, onhan kokonaislukujen kertolasku oikeastaan yhteenlaskua nipuittain. 4. Palautetaan mieleen määritelmät: Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m, missä m Z ja n N. n Reaaliluku x on irrationaaliluku, jos se ei ole rationaaliluku. Todista: a) Kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku. b) Rationaaliluvun ja irrationaaliluvun summa on irrationaaliluku. Ratkaisut. a) Väitetään siis että jos x, y Q, niin x+y Q. Todistetaan väite suoralla todistuksella. Koska x, y Q, on x = m n ja y = p q joillakin m, p Z ja n, q N. Tällöin x + y = m n + p q mq + np =. nq Koska mq+np Z ja nq N, on x + y Q. b) Väitetään siis, että jos x Q ja y R \ Q, niin x+y R \ Q. Todistetaan väite epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: x+y Q. Tällöin x+y = m, missä m Z ja n N. Koska x Q, n on x = p joillakin p Z ja q N. Silloin q y = x + y x = m n p q mq np =, nq missä mq np Z ja nq N. Siis y Q, mikä on ristiriita. Väite on siis tosi.

3 5. Osoita oikeaksi tai vääräksi: a) Kahden irrationaaliluvun summa on aina irrationaliluku. b) Kahden irrationaaliluvun tulo on aina irrationaaliluku. c) Rationaaliluvun ja irrationaaliluvun tulo on aina irrationaaliluku. Ratkaisut. a) Valitaan irrationaaliluvut x := ja y :=. Silloin x+y = = 0 Q. Irrationaalilukujen summa ei siis aina ole irrationaaliluku. b) Valitaan irrationaaliluvut x := ja y :=. Tällöin x y = = Q. Siis irrationaalilukujen tulo ei ole aina irrationaaliluku. c) Olkoot x := 0 Q ja y := / Q. Silloin x y = 0 = 0 Q. Tämä osoittaa, että rationaaliluvun ja irrationaaliluvun tulo ei aina ole irrationaalinen. 6. Osoita: Jos α on irrationaaliluku ja luvut a ja b 0 ovat rationaalilukuja, niin luku a + αb on irrationaaliluku. Ratkaisu. Oletetaan, että α / Q, a, b Q ja b 0. Todistetaan väite epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: a+αb Q. Tällöin a+αb = m, missä m Z ja n N. Koska a, b Q, niin a = p n q ja b = p q joillakin arvoilla q, q N, p, p Z ja p 0. Tällöin α = m a n b = m p n q p = mq p q = mq q np q Q, q np q p np q mikä on ristiriita. Siis vastaoletus ei ole voimassa, ja a+αb / Q. 7. a) Muuta desimaaliluku 0, murtolukumuotoon. b) Muuta desimaaliluku,... murtolukumuotoon geometrisen sarjan summan avulla. Ratkaisu. a) Merkitään x := 0, Tällöin 000x = 047, x = 0, x = 007,8 mistä seuraa x = =

4 b) Esitetään luku,... desimaalisarjojen avulla:,... = ( = + + ( ) ) 0 = Osoita, että 5 ( + 3) on algebrallinen luku. = = 9. Ratkaisu. Luku on algebrallinen, jos se on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomiyhtälön ratkaisu (eli polynomin juuri). On useita tapoja keksiä sopiva vaikkapa toisen asteen polynomi. Ottaen huomioon, että luku on irrationaalinen, ei ensimmäisen asteen polynomi tule kyseeseen. Koska luku on selvästi samaa tyyppiä, kuin mitä ovat toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisut, voidaan yksinkertaisesti verrata sitä ratkaisukaavaan ja keksiä polynomille ax + bx + c sopivat kertoimet a, b ja c, jotta saadaan toiseksi ratkaisuksi juuri annettu luku. Toinen tapa: Merkitään x := 5 ( + 3), jolloin saadaan x = x = + 3 5x = 3 (5x ) = 3 5x 0x + = 3 5x 0x = 0. Nyt vielä tarkasta, että 5 (+ 3) todella on polynomiyhtälön 5x 0x = 0 ratkaisu! Jos on, se on algebrallinen luku. Kolmas tapa: arvataan, että luvun kaveriksi käy 5 ( 3), jolloin kokeillaan 0 = (x 5 ( + 3))(x 5 ( 3)) = x 5 x 5 Yhtälö x 5 x 5 = 0 tarvitsee nyt vain kertomisen luvulla a) Osoita kahden numeroituvan joukon tulojoukko numeroituvaksi. b) Onko numeroituvan monen numeroituvan joukon yhdiste numeroituva? Ratkaisut. a) Tämä on helpohko, koska numeroituvat joukot voidaan indeksoida luonnollisilla luvuilla. Olkoot joukot A ja B numeroituvia. Silloin näillä meidän määritelmämme mukaan äärettömillä joukoilla on esitykset A = {a, a, a 3,...} B = {b, b, b 3,...} 4

5 Niiden tulojoukko A B voidaan esittää taulukon avulla: b b b 3 b 4 b 5 a (a, b ) (a, b ) (a, b 3 ) (a, b 4 ) (a, b 5 ) a (a, b ) (a, b ) (a, b 3 ) (a, b 4 ) (a, b 5 ) a 3 (a 3, b ) (a 3, b ) (a 3, b 3 ) (a 3, b 4 ) (a 3, b 5 ) a 4 (a 4, b ) (a 4, b ) (a 4, b 3 ) (a 4, b 4 ) (a 4, b 5 ) a 5 (a 5, b ) (a 5, b ) (a 5, b 3 ) (a 5, b 4 ) (a 5, b 5 ) Nyt tulojoukon A B = {(a i, b j ) a i A, b j B} alkiot voidaan luetella sivulävistäjiä myöten aivan kuten positiivisten rationaalilukujen joukko Cantorin ensimmäisessä diagonaalimenetelmässä (ks. luentomoniste): A B = {(a, b ), (a, b ), (a, b ), (a 3, b ), (a, b ), (a, b 3 ), (a, b 4 ), (a, b 3 ),...}. Huomautus. Tulos voidaan yleistää äärellisen monen numeroituvan joukon tulojoukolle, muttei numeroituvan monen (ylinumeroituvasta puhumattakaan), ks. Kertaustehtävät. b) Olkoot A, A, A 3,... numeroituvia jonkin saman perusjoukon osajoukkoja. Taaskin voidaan toimia kuin Cantorin ensimmäisessä diagonaalimenetelmässä: Olkoot A = {a, a, a 3, a 4, a 5, } A = {a, a, a 3, a 4, a 5, } A 3 = {a 3, a 3, a 33, a 34, a 35, } A 4 = {a 4, a 4, a 43, a 44, a 45, } A 5 = {a 5, a 5, a 53, a 54, a 55, } Nyt yhdiste n=a n koostuu kaikista taulukon alkioista ja vain niistä, ja nämä voidaan luetella kuten kohdassa a) sivulävistäjiä pitkin! Näin lueteltuna yhdisteessä voi olla toistoja, jotka voidaan karsia pois. Kuitenkin, koska jo A oli ääretön, myös yhdiste on ääretön. Siis yhdiste on numeroituva. 5