802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II"

Transkriptio

1 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94

2 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä 1 0! = 1, (1.1) n! = (n 1)! n, n Z +. (1.2) Yleisesti tapauksessa n 1 kirjoitetaan löyhästi n! = (n 1) n, (1.3) missä on eräänlainen lyhennysmerkintä tarkasta määritelmästä (1.2). LUKUTEORIA 2 / 94

3 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, saadaan seuraavasti. Määritelmä 2 Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (1.4) (a) n = (a) n 1 (a + n 1), n Z +. (1.5) Nytkin tapauksessa n 1 kirjoitetaan (a) n = a (a + 1) (a + n 2) (a + n 1). (1.6) Erityisesti (1) n = n!. (1.7) LUKUTEORIA 3 / 94

4 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Määritelmä 3 Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a = (a k + 1) k k k! (1.8) ovat binomikertoimia a yli k:n. Huomautus 1 Aikaisempi Määritelmä ja Määäritelmä 3 ovat ekvivalentit eli ( ) a = (a k + 1) k = ( 1) k ( a) k. (1.9) k k! k! LUKUTEORIA 4 / 94

5 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomikertoimen Määritelmä 3 esitetään usein (epätarkemmin) muodossa Määritelmä 4 Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) { a 1, jos k = 0; = (a k+1) (a k+2) (a 1) a k k!, jos k Z + (1.10) ovat binomikertoimia a yli k:n. LUKUTEORIA 5 / 94

6 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Perustelu. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) ( ) a a = = (a + 1) 0 k 0 0! = 1 a C. (1.11) Kun k Z +, niin ( ) a = (a k + 1) k = k k! (a k + 1)(a k + 2) (a 1)a k! a C. (1.12) Kuten yleensäkin niin seuraavassakin käytetään enimmäkseen tätä esitystä. LUKUTEORIA 6 / 94

7 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n = k k! = joten (n k)!(n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (1.13) k!(n k)! ( ) n = k n! k!(n k)! 0 k n. (1.14) LUKUTEORIA 7 / 94

8 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), (1.15) k k! missä 0 j k 1 n. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (1.16) k LUKUTEORIA 8 / 94

9 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) = k k! joten ( ) n k k (n + k 1)! ( 1) k!(n 1)!, (1.17) ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (1.18) LUKUTEORIA 9 / 94

10 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 1 Olkoon a C. Tällöin ( ) a + 1 k + 1 = ( ) a + k + 1 ( ) a k k N. (1.19) Erikoistapauksena saadaan Pascalin kolmion sääntö Lause 2 ( ) ( ) n + 1 n = + k + 1 k + 1 ( ) n k k, n N. (1.20) LUKUTEORIA 10 / 94

11 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (1.12), jolloin ( ) ( ) a a + = k + 1 k a(a 1) (a (k + 1) + 1) (k + 1)! a(a 1) (a k + 1)(a k) k!(k + 1) + a(a 1) (a k + 1) k! (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. a(a 1) (a k + 1) k! = a(a 1) (a k + 1) + = k! ( ) a k k = = ( ) a + 1. (1.21) k + 1 LUKUTEORIA 11 / 94

12 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Pascalin kolmion säännöllä voidaan todistaa Lause 3 Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. ( ) 0 = 0 ( ) n Z + 0 k n N. (1.22) k ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 1. (1.23) 1 LUKUTEORIA 12 / 94

13 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) ( ) ( ) l + 1 l l = + k + 1 k + 1 k 1 k + 1 l, (1.24) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 Z + 1 k + 1 l. (1.25) k + 1 Lisäksi ( ) l + 1 = l + 1 ( ) l + 1 = 1. (1.26) 0 LUKUTEORIA 13 / 94

14 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Tuloksen (1.22) nojalla joten mistä saadaan. Lause 4 (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (1.27) k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (1.28) k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (1.29) LUKUTEORIA 14 / 94

15 Edelleen Lause 5 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Olkoon p P, tällöin ( ) p p k 1 k p 1. (1.30) Todistus. Tuloksen (1.28) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (1.31) Koska p k!, niin (1.31) johtaa relaatioon jollakin l Z. Siten ( ) p = k k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (1.32) (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p k! = (1.33) l p 0 (mod p). (1.34) LUKUTEORIA 15 / 94

16 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = k=0 sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = ( ) a t k, a C (1.35) k n k=0 ( ) n t k. (1.36) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (1.36) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = k+l=n 0 k,l n n k=0 ( ) n A k B n k = (1.37) k n! k!l! Ak B l. (1.38) LUKUTEORIA 16 / 94

17 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomisarja, Binomikehitelmä Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = x k. (1.39) k=0 Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin identiteetin (1.18) nojalla. 1 (1 x) n = k=0 ( n + k 1 k ) x k (1.40) LUKUTEORIA 17 / 94

18 p-valuaatio Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 5 Olkoot p P, k Z \ {0}, r N ja p r k. (2.1) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (2.2) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z \ {0}. (2.3) LUKUTEORIA 18 / 94

19 p-valuaatio Lause 6 Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z \ {0}, tällöin v p (1) = 0; (2.4) v p (n) 0; (2.5) v p (nm) = v p (n) + v p (m); (2.6) v p (n!) = v p (1) + v p (2) v p (n), n 1; (2.7) n = p vp(n) = p vp(n) = p vp(n), p n p n p P n 1. (2.8) LUKUTEORIA 19 / 94

20 p-valuaatio Määritelmä 6 Olkoot p P, k Z \ {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l (k) = 1 jos p l k; (2.9) w p l (k) = 0 jos p l k. (2.10) Lause 7 Olkoot p P, k Z \ {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = r w p i (k) = i=1 w p i (k). (2.11) i=1 LUKUTEORIA 20 / 94

21 p-valuaatio Lause 8 Olkoot n Z + ja Tällöin A p = i=1 n p i, p P. (2.12) v p (n!) = A p. (2.13) p Ap n! p n!. (2.14) n! = p n p Ap. (2.15) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä/the sums are finite. LUKUTEORIA 21 / 94

22 p-valuaatio Todistus. I osan tuloksen (4.26) nojalla välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= n #{k Z + 1 k n, p i k} = p i. (2.16) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i (1) + w p i (2) w p i (n). (2.17) Esimerkiksi missä pätee 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n (2.18) p w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p + 1) =... = 0 (2.19) ( ) n w p (p) = w p (2p) =... = w p p = 1. p (2.20) LUKUTEORIA 22 / 94

23 p-valuaatio Olkoon Siten... p r n < p r+1, n w p (1) + w p (2) w p (n) = p n w p 2(1) + w p 2(2) w p 2(n) = w p r (1) + w p r (2) w p r (n) = n p r+1 = 0. (2.21) ; (2.22) p 2 n p r ; (2.23), (2.24) Lasketaan yhtälöt ( ) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p (1) + v p (2) v p (n) = + p p p r. (2.25) LUKUTEORIA 23 / 94

24 p-valuaatio Siten Edelleen v p (n!) = i=1 n p i = A p, p P. (2.26) n! = p n p vp(n!). (2.27) Huomautus 2 Alkuluvulle p pätee p n! p n. (2.28) LUKUTEORIA 24 / 94

25 p-valuaatio Esimerkki 1 v 2 (11!): k w 2 1(k) w 2 2(k) w 2 3(k) v 2 (k) Toisaalta, < 2 4, joten r = 3 ja v 2 (11!) = i= i = = = 8. LUKUTEORIA 25 / 94

26 p-valuaatio Lauseen 4.3 todistus/2. tapa: Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p Bp, (2.29) missä B p = i=1 n k p i p i n k p i. (2.30) LUKUTEORIA 26 / 94

27 p-valuaatio Tuloksen (??) avulla saadaan k p i + Siten B p N ja a + b a + b (2.31) n k p i k p i + n p i k n p i = p i. (2.32) p Bp Z +, (2.33) p n joka identiteetin (2.29) kanssa todistaa, että ( ) n Z + 0 k n N. k LUKUTEORIA 27 / 94

28 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 7 Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa/reduced form, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä/denominator. Määritelmä 8 Olkoon p P, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a p b ja sanotaan, että p jakaa rationaaliluvun a/b. Q p a (3.1) Z LUKUTEORIA 28 / 94

29 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Huomautus 3 Käytetään myös merkintää p a b. (3.2) Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys Tällöin saadaan Lause 9 a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. (3.3) a p b Q r 1. (3.4) LUKUTEORIA 29 / 94

30 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 9 Olkoon p P, a, b Z ja a b 0. Silloin asetetaan a b 0 (mod p) p a b (3.5) Esimerkki (mod 5). (3.6) Esimerkki = 50 4! 0 (mod 5). (3.7) LUKUTEORIA 30 / 94

31 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Laajennetaan Määritelmä 8 vapaasti valittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 10 Olkoon n Z 2, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a n n a n a (3.8) Qb b Z ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b. Huomautus 4 a n b Q n b. (3.9) LUKUTEORIA 31 / 94

32 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 10 Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys a b = ±pr 1 1 pr k k qv 1 1 qv l l ; (3.10) missä q j / {p 1,..., p k }. Jos p i, q j P r i Z +, v i Z, (3.11) n = p s 1 1 ps k k, s i N, (3.12) ja niin 0 s i r i i = 1,..., k, (3.13) a n b. (3.14) Q LUKUTEORIA 32 / 94

33 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 11 Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, (3.15) niin asetetaan a b c (mod n) (3.16) d ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). Huomautus 5 a b 0 (mod n) a 0 (mod n), b n. (3.17) LUKUTEORIA 33 / 94

34 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 11 Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä polynomi P(x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (3.18) niin P( a b ) P( c ) (mod n), (3.19) d mikäli kongruenssi (3.19) on määritelty. LUKUTEORIA 34 / 94

35 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 12 Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä rationaalifunktio R(x) Q(x). Tällöin, jos a b c (mod n), (3.20) d niin mikäli kongruenssi (3.21) on määritelty. R( a b ) R( c ) (mod n), (3.21) d LUKUTEORIA 35 / 94

36 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki = (mod 2 5); (3.22) 20 0 (mod 20), (3.23) 3 missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki = 50 4! 0 (mod 52 ). (3.24) LUKUTEORIA 36 / 94

37 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki (mod 5 3 ). (3.25) Esimerkki 7 Olkoon p P, p 5, tällöin 1 p (mod p). (3.26) Huomaa, että kongruenssi (3.26) ei ole määritelty (mod 5). LUKUTEORIA 37 / 94

38 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki 8 Olkoon p P, tällöin joten ( ) 2p p Lause 13 (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), (3.27) (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = 2 2 (mod p). (3.28) (p 1)! Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa { c d Q d n}. LUKUTEORIA 38 / 94

39 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Määritelmä 12 Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (3.29) on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (3.30) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) { x + y = x + y, x y = xy (3.31) aina, kun x, y Q n. LUKUTEORIA 39 / 94

40 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Lause 14 a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (3.32) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = { ln l, d Z, d n} (3.33) d ja vasta-alkio x = x x Q n. (3.34) LUKUTEORIA 40 / 94

41 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n c). Ykkösalkio (unity) ja käänteisalkio (inverse) 1 = { d + ln l, d Z, d n} (3.35) d x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (3.36) d) Kolmikko (Q n, +, ) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan. LUKUTEORIA 41 / 94

42 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Lause 15 Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus F (a/b) = a ( b ) 1 F : Q n Z n on rengasisomorfia eli Q n = Zn. (3.37) Todistusta EI kysytä kokeessa. LUKUTEORIA 42 / 94

43 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Todistus: Laskemalla saadaan 1) ( a F b + c ) ( ) ad + bc = F = d bd ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 ( ) 1 + c d = ( ) ( ) a c F + F, (3.38) b d joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. LUKUTEORIA 43 / 94

44 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 2) F ( a b c ) ( ) ac = F = d bd 3) ac ( bd ) 1 ( ) 1 ( ) 1 = a b c d = ( ) ( ) a c F F. (3.39) b d F ( 1 ) = F ( ) 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (3.40) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. LUKUTEORIA 44 / 94

45 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 4) Asetetaan nyt missä b n, joten F ( ) a = 0, (3.41) b a ( b ) 1 = 0. (3.42) Kerrotaan 3.42 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 b = 0 b a = 0 a 0 (mod n) a b = 0. (3.43) Siten F : Q n Z n on injektio. LUKUTEORIA 45 / 94

46 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a = F b Siispä F : Q n Z n on surjektio. Kohtien 4) ja 5) nojalla F : Q n Z n on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. ( ) k = k ( 1 ) 1 = k. (3.44) 1 LUKUTEORIA 46 / 94

47 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa/can be identified, jolloin merkitään Q n a/b = a(b) 1 Z n. (3.45) ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan Valitaan l = 4, jolloin l 7 3 (mod 7) l Z. (3.46) Täten Toisaalta Z 7 :ssa = 10 3 (mod 7). (3.47) 3 2/3 = 3. (3.48) = 2 5 = 10 = 3. (3.49) LUKUTEORIA 47 / 94

48 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Lemma 1 Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (3.50) ja ovat bijektioita. τ : G G, τ(x) = ax (3.51) Todistus. Kohta (3.50): Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (3.52) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (3.53) LUKUTEORIA 48 / 94

49 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Seuraus 1 Olkoon äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli H = {a 1,..., a m } (3.54) {a1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (3.55) Edelleen, olkoon a H annettu. Tällöin τ(h) = H eli {a a 1,..., a a m } = {a 1,..., a m }. (3.56) LUKUTEORIA 49 / 94

50 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Wilsonin lause Lause 16 WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin Esimerkki 9 Olkoon H = Z 11, missä (p 1)! 1 (mod p). (3.57) 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (3.58) Siten = = 1. (3.59) LUKUTEORIA 50 / 94

51 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Lause 17 Olkoon p P 3. Tällöin (mod p). (3.60) p 1 Todistus. Lemman 3.50 nojalla ι(z p) = Z p eli Täten {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (3.61) p 1 a 1 = b, (3.62) a=1 p 1 b=1 Seuraavassa käytetään samaistusta (3.45). LUKUTEORIA 51 / 94

52 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/ /p 1 = 1 + 1/ /(p 1) = 1 + 1/ /(p 1). (3.63) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= p 1 = p 1 = p(p 1)/2 = 0, (3.64) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (3.63) ja (3.64) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (3.60). LUKUTEORIA 52 / 94

53 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Euler-Fermat Lause 18 Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin Seurauksena saadaan Lause 19 a ϕ(m) 1 (mod m). (3.65) FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (3.66) LUKUTEORIA 53 / 94

54 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Euler-Fermat n todistus Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 3.50 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a ϕ(m) } = {a 1,..., a ϕ(m) }. (3.67) Siten a a 1 a a ϕ(m) = a 1 a ϕ(m) (3.68) a ϕ(m) a 1 a ϕ(m) = a 1 a ϕ(m), (3.69) josta a ϕ(m) = 1. (3.70) LUKUTEORIA 54 / 94

55 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 20 Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Olkoon a Z p r p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (3.71) oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (3.72) LUKUTEORIA 55 / 94

56 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Siten a 2 1 = 0, (3.73) josta (a 1)(a + 1) = l p r, (3.74) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (3.75) Jos p a 1 ja p a + 1, (3.76) niin p 2a p a. (3.77) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. LUKUTEORIA 56 / 94

57 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Tarkastellaan siis tapaukset ja Tapaus 1. Yhtälön (3.74) nojalla Tapaus 2. Yhtälön (3.74) nojalla 1.) p a 1 ja p a + 1 (3.78) 2.) p a 1 ja p a + 1. (3.79) p r a 1 a = 1. (3.80) p r a + 1 a = 1. (3.81) Siten a Z pr on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. LUKUTEORIA 57 / 94

58 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Edelleen missä joukon alkioille pätee Täten Z pr = {1, 1} B, (3.82) B = {b 1,..., b m }, m = ϕ(p r ) 2, (3.83) b i 1 bi, i = 1,..., m. (3.84) B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } (3.85) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (3.86) LUKUTEORIA 58 / 94

59 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Esimerkki = p r. Jolloin (mod 3 2 ). (3.87) LUKUTEORIA 59 / 94

60 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Wolstenholmen lause WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin Todistetaan myöhemmin p 1 0 (mod p2 ). (3.88) LUKUTEORIA 60 / 94

61 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Tiedetään, että kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja (p 1)! 1 (mod p 2 ), (3.89) a p 1 1 (mod p 2 ), (3.90) kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (3.89) ja (3.90) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. LUKUTEORIA 61 / 94

62 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Ehdon (3.90) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja niin 2 p 1 1 (mod p 2 ), (3.91) x p + y p z p x, y, z Z +. (3.92) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (3.92) pätee ilman lisäoletusta (3.91). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. LUKUTEORIA 62 / 94

63 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 = l p, (3.93) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä Lause 21 Olkoon p P 3. Tällöin q p (2) = 2p 1 1 p Z. (3.94) q p (2) = 2p 1 1 p p 2 (mod p). (3.95) Huomaa, että (3.95) on yhtäpitävää ehdon ( 2 p p ) p 2 kanssa. (mod p 2 ) (3.96) LUKUTEORIA 63 / 94

64 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan p ( ) p p 1 ( ) p 2 p = = 2 +, (3.97) i i jossa tuloksen (1.30) nojalla i=0 i=1 jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen eli h i = ( ) p = ph i, (3.98) i (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! = ( 1)i 1 i (mod p) (3.99) h i = ( 1)i 1 + m i p, (3.100) i jollakin m i = a/b Q, p b. LUKUTEORIA 64 / 94

65 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Siten (3.98) ja (3.100) antavat ( ) ( ) p ( 1) i 1 = p + m i p ( 1) i 1 p i i i Yhtälöiden (3.97) ja (3.101) nojalla ( 2 p 2 + p p 2 1 ) p 1 Toisaalta tuloksen (3.88) nojalla. (mod p 2 ). (3.101) (mod p 2 ). (3.102) p 2 1 p 1 = ( ) p 2 ( p ) p 1 ( ) (mod p 2 ) (3.103) p 2 LUKUTEORIA 65 / 94

66 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Yhdistämällä (3.102) ja (3.103) saadaan ( 2 p 2 + 2p ) p 2 missä p 2, joten (3.96) seuraa. Esimerkki 11 Olkoon p = 7. Nyt (mod p 2 ), (3.104) 2 p 1 = 2 6 = = (3.105) ( ) (mod 7 2 ). (3.106) 5 Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). LUKUTEORIA 66 / 94

67 Polynomien kongruenssi Määritelmä 13 Olkoot n Z 2 ja jolloin asetetaan P(x) = Q(x) = n p k x k Q[x], k=0 n q k x k Q[x], k=0 P(x) Q(x) (mod n) p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (4.1) Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. LUKUTEORIA 67 / 94

68 Polynomien kongruenssi Määritelmä 14 Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x a d x d ) = a 0 + a 1 x a d x d (4.2) on reduktio Lause 22 (mod n). r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), Reduktio on rengasmorfismi. r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), LUKUTEORIA 68 / 94

69 Polynomien kongruenssi Lause 23 a a d x d = b b d x d (4.3) a a d x d b b d x d (mod n) (4.4) Lause 24 WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin p 1 0 (mod p2 ). (4.5) II Todistus. Tämä todistus nojautuu Fermat n pikkulauseeseen 19. LUKUTEORIA 69 / 94

70 Tarkastellaan polynomeja Polynomien kongruenssi G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]; (4.6) ja niiden reduktioita (mod p) Välittömästi Fermat n pikkulauseeseen 19 nojalla F (x) = x p 1 1 Z[x] (4.7) G(x), F (x) Z p [x]. (4.8) F (j) 19 = 0, j = 1, 2,..., p 1. (4.9) Täten F (x) jakaantuu polynomirenkaassa Z p [x] tekijöihin seuraavasti F (x) = (x 1)(x 2) (x p 1) = G(x) (4.10) polynomialgebran tulosten nojalla (Katso: Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita). LUKUTEORIA 70 / 94

71 Polynomien kongruenssi Kirjoitetaan G(x) auki polynomiksi p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i = (4.11) j=1 i=0 x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + W 0, W p 1 = 1. Tuloksen (4.10) nojalla x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 (mod p). (4.12) eli W k 0 (mod p), k = 1, 2,..., p 2, W 0 1 (mod p). (4.13) LUKUTEORIA 71 / 94

72 Polynomien kongruenssi Siirrytään takaisin polynomirenkaaseen Z[x] ja aukaistaan (4.11): (x 1)(x 2) (x (p 2))(x (p 1)) = (4.14) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + (p 1)!. Sijoitetaan x = p yhtälöön (4.14), jolloin (p 1)! = p p 1 W p 2 p p 2 + W p 3 p p W 2 p 2 W 1 p + (p 1)!. (4.15) Tällöin saadaan W 1 = W 2 p W 3 p W p 2 p p 3 + p p 2. (4.16) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (4.17) LUKUTEORIA 72 / 94

73 Polynomien kongruenssi Toisaalta Siten W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i j i = 2 3 (p 1) (p 1) (p 3) (p 1) (p 2) = ( (p 1)! ). (4.18) p 1 p p 1 (4.19) LUKUTEORIA 73 / 94

74 Polynomien kongruenssi Esimerkki 12 p = 5. 4 G(x) = (x j) = j=1 x 4 W 3 x 3 + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W 3 = , W 2 = , W 1 = , W 0 = 4!. (4.20) LUKUTEORIA 74 / 94

75 Polynomien kongruenssi ja ( W 1 = 50 = 4! ), 5 2 4! 4 ( ). (4.21) 4 Esimerkki 13 Tapauksessa p = 3 lauseen väite ei päde kuten nähdään seuraavasta: G(x) = 2 (x j) = x 2 W 1 x + W 0 = x 2 3x + 2, j=1 ( W 1 = 3 = 2! ) (, ). (4.22) 2 LUKUTEORIA 75 / 94

76 Polynomien kongruenssi Terävöitetään Esimerkin 8 tulosta. Esimerkki 14 Olkoon p P p 5, tällöin ( ) 2p (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = 2 2 (mod p 3 ). (4.23) p (p 1)! Todistus. Kerrataan aluksi, että W 1 = v 1 p 2 ja W k = v k p, missä v k Z aina, kun k = 1,..., k 2. Sijoitetaan nyt x = 2p yhtälöön (4.14), jolloin (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = (2p) p 1 W p 2 (2p) p W 2 (2p) 2 W 1 2p + (p 1)! = (2p) p 1 v p 2 (2) p 2 p p v 2 (2) 2 p 3 v 1 2p 3 + (p 1)! (p 1)! (mod p 3 ). (4.24) LUKUTEORIA 76 / 94

77 Polynomien kongruenssi Lause 25 Olkoon p P, tällöin polynomirenkaassa Q[x]. (x + 1) p x p + 1 (mod p). (4.25) Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla (x + 1) p = p k=0 ( ) p x k (4.26) k x p + 0 x p x p x + 1 = x p + 1 (mod p). LUKUTEORIA 77 / 94

78 Polynomien kongruenssi Lause 26 Olkoot n Z 2 ja f (x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (4.27) Tällöin f (g(x)) f (h(x)) (mod n). (4.28) LUKUTEORIA 78 / 94

79 Polynomien kongruenssi Lause 27 Olkoot p P ja r N. Tällöin polynomirenkaassa Q[x]. (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (4.29) Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 25. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (4.30) (x pr ) p + 1 = x pr (mod p) (4.31) =O.P. Kohdassa (4.30) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 26 sekä kohdassa (4.30) Lausetta 25. LUKUTEORIA 79 / 94

80 Polynomien kongruenssi Seurauksena saadaan Lause 28 Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 (mod p) k = 1,..., p r 1. (4.32) k Lause 27 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 29 Olkoot p P ja r N. Tällöin polynomirenkaassa Q[x, y]. (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (4.33) LUKUTEORIA 80 / 94

81 Polynomien kongruenssi Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 30 Olkoot p P ja r N. Tällöin (x x m ) pr x pr x pr m (mod p) (4.34) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. LUKUTEORIA 81 / 94

82 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 15 Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (4.35) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (4.36) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. LUKUTEORIA 82 / 94

83 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Sovelletaan Lausetta 30 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause 31 Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A A m ) pr A pr Apr m (mod p). (4.37) Huomaa, että (4.37) on Pikku-Fermat n yleistys. LUKUTEORIA 83 / 94

84 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Lucasin binomikerroinlause Lause 32 Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. (4.38) Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (4.39) LUKUTEORIA 84 / 94

85 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Lucasin binomikerroinlauseen todistus Huomautus 6 Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 n i p i, 0 n i p 1 (4.40) on yksikäsitteinen. Lauseen 32 Todistus: Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n2 (mod p) (4.41) Lauseen 27 nojalla. Sama binomikehitelmillä LUKUTEORIA 85 / 94

86 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin n 0 ( n0 i 0 i 0 =0 p 1 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n k=0 n 1 ( n1 i 1 i 1 =0 p 1 ( n1 ( ) n x k k ) x pi 1 ) x pi 1 n 2 ( n2 i 2 i 2 =0 p 1 ( n2 i 1 i 1 =0 i 2 =0 ( )( )( n0 n1 n2 i 0 i 1 i 2 i 2 ) x p2 i2 = ) x p2 i2 = ) x i 0+i 1 p+i 2 p (mod p). (4.42) LUKUTEORIA 86 / 94

87 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p , joka saadaan, kun k = k 0 + k 1 p + k 2 p = i 0 + i 1 p + i 2 p (4.43) Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (4.42) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n ( ) ni (mod p). (4.44) k k i i 0 LUKUTEORIA 87 / 94

88 Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Esimerkki 15 p = 7, n = 11 = , k = 5 = , joten ( ) ( )( ) ( )( ) 11 n0 n1 4 1 = = 0 1 = (mod 7). (4.45) Esimerkki 16 k 0 k 1 ( ) (mod 3) (4.46) + 2 LUKUTEORIA 88 / 94

89 Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia Esimerkki 17 Lähdetään identiteetistä joka kirjoitetaan muotoon n j=0 (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (5.1) ( ) n x j j m l=0 Nyt Caychyn kertosäännöllä n+m ( )( n m j l k=0 j+l=k ( ) m x l = l ) x k = n+m k=0 ( n + m n+m k=0 k ( n + m k ) x k. (5.2) ) x k, (5.3) LUKUTEORIA 89 / 94

90 Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia josta j+l=k,0 j,l k Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( ) ( ) n m n + m = j l k ( )( ) n m = j m j ( ) 2m m (5.4) (5.5) eli m j=0 ( ) m 2 = j ( ) 2m. (5.6) m LUKUTEORIA 90 / 94

91 Teleskooppisumma ja teleskooppitulo Summausmenetelmiä Teleskoopit n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (5.7) i=0 n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (5.8) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = k=0 n k 2 = k=0 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 (5.9) (5.10) n ( ) n(n + 1) 2 k 3 = (5.11) 2 k=0 LUKUTEORIA 91 / 94

92 Summausmenetelmiä Teleskoopit k=0 k=0 n (2k + 1) = (n + 1) 2 (5.12) k=0 Johdetaan (5.12) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (5.13) Otetaan summat (5.13) molemminpuolin, jolloin n n (2k + 1) = (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n + 1) 2. (5.14) Edelleen josta saadaan (5.9). n n 2 k + 1 = (n + 1) 2, (5.15) k=0 k=0 LUKUTEORIA 92 / 94

93 Summausmenetelmiä Teleskoopit Valitsemalla a k = k 3 ja teleskopoimalla identiteettiä a k+1 a k = (k + 1) 3 k 3 = 3k 2 + 3k + 1 (5.16) päästään tulokseen (5.10). JNE. LUKUTEORIA 93 / 94

94 Summausmenetelmiä Teleskoopit LUKUTEORIA 94 / 94

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot