pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...
|
|
- Heikki Kokkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja Kokonaislukurengas Z Jaollisuus, alkuluvut Jakoalgoritmi Eukleideen algoritmi Kongruenssi Euler-Fermat Eräs kongruenssiryhmä Kiinalainen jäännöslause
2 4 Kertomat, binomikertoimet Palautuskaava, Pascalin kolmio p-valuaatio kokonaisluvuille Binomisarja, Binomikehitelmä Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Wolstenholmen lause (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia Teleskoopit Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava
3 8.2 Matriisiesitys Generoiva sarja Laajennus negatiivisiin indekseihin/todistuksia EI kysytä kokeessa Jaollisuustuloksia f n (mod k) f n (mod p) Lucasin jonot/ei kysytä kokeessa Rekursio ja ratkaisu yritteellä Antiikin lukuja Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut Pythagoraan luvut Geometrinen ratkaisu/ei tule kokeeseen Heronin luvut/ei tule kokeeseen Irrationaaliluvuista
4 12 Ketjumurtoluvut/EI kysytä kokeessa Bernoullin luvut/ei tule kokeeseen Generoiva funktio ja sarja Palautuskaava Potenssisummia p-valuaatio/todistuksia EI kysytä kokeessa Bernoullin lukujen jaollisuudesta/ei tule kokeeseen Työkaluja Hieman polynomialgebraa Lisää polynomialgebraa Symmetriset peruspolynomit Formaaleista potenssisarjoista Osamääräkunta/EI kysytä kokeessa
5 KORJAUKSIA JA MUUTOKSIA: Kaavaan (3.142) tehty muutos Kohtaan (5.136) tehty korjaus Lisätty määritelmä 6.2, Lisätty lauseet 6.1,6.2 ja Wolstenhomeen lauseen II todistus Lauseeseen 8.5 tehty muutoksia Lisätty Lause Huomaa Luvun 8 uusi kappalejako 8.5 (tulee kokeeseen) Lisätty Lause 8.16 (aikaisempi tulos ja todistus on nyt esitetty teoreeman muodossa) Huomaa, että Luvun 8 kaava- ja lausenumeroinnit ovat muuttuneet. Voit ilmoittaa löytämäsi painovirheet ja muut töpeksinnät osoitteeseen: etunimi.sukunimi@oulu.fi Tapani Matala-aho 0-4
6 LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)] Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron, Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja teleskoopit. 0-5
7 Pohjatietoina oletetaan 1. vuoden kurssit, erityisesti Lukuteoria ja ryhmät. Aluksi tosin kerrataan nopesti ilman todistuksia kurssin Lukuteoria ja ryhmät jaollisuuteen ja kongruenssiin liittyviä tuloksia, kappaleessa
8 1 Johdanto Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä. 0-7
9 LÄHTEITÄ: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly 0-8
10 2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaislu P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvu Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 0-9
11 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. 0-10
12 Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) f(a m ), a A a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n f(p). p n,p P f(p). p n,p P 0-11
13 2.3 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla aina, kun x R. x = min{n Z x n} 0-12
14 Lause 2.1. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.1) Tällöin k = x. (2.2) Edelleen x = x x R, (2.3) x x < x + 1 x R (2.4) x + k = x + k x R, k Z, (2.5) x + y x + y x, y R, (2.6) x y xy x, y R 0. (2.7) 0-13
15 Todistus: Luennolla (2.2), loput laskareissa. Merkintä: {x} = x x. (2.8) Huomataan, että 0 {x} < 1 (2.9) ja että {x} antaa positiivisen luvun x R + desimaaliosan. Esimerkki 2. {1.2} = 0.2 (2.10) mutta { 1.2} = 0.8 (2.11) 0-14
16 2.4 Tärkeitä kaavoja n k = k=0 n(n + 1) ; (2.12) 2 n k=0 n k=0 a k = an+1 1, a = 1; (2.13) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.14) k a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). (2.15) a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1), 2 n. (2.16) A n B n = (A B)(A n 1 +A n 2 B+ +AB n 2 +B n 1 ). (2.17) 0-15
17 3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Käytetään merkintää b a, kun b ei jaa a:ta. Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä. Olkoot k, m, n, r, s Z. Tällöin ±1 k, ±k k; (3.2) 0 k k = 0; (3.3) k 0; (3.4) 0-16
18 k 1 k = ±1; (3.5) m n, n m n = ±m; (3.6) k m, m n k n; (3.7) k m, k n k rm + sn; (3.8) k m, k n k m ± n; (3.9) k m, k n k 2 mn; (3.10) k m k m h, k h m h, h Z + (3.11) 0-17
19 Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä. Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista m n m saadaan n = hm = hln h, l Z. (3.12) Tapaus n = 0. Tällöin (1 hl)n = 0 hl = 1 h = l = ±1 (3.13) Tapaus n = 0. Tällöin n = ±m. (3.14) m 0 m = 0 n = ±m. (3.15) Esimerkki , 0 a = 0. (3.16) 0-18
20 Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.17) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.18) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki , 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.19) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. 0-19
21 Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 pr t t, p i P, r i Z + (3.20) 0-20
22 on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin m n = pr 0 0 pr 1 1 pr t t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.21) Esimerkki 6. 1 = ( 1) , = = (3.22) 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.2. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.23) 0-21
23 Kun b Z +, niin q = a b. (3.24) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a b = 5 (3.25) a = 13 = , q = 4, r = 1, a b = 4 (3.26) Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common 0-22
24 divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; [Y T ] c a ja c b c d. [S] Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. Esimerkki 8. a) (23, 32) = 1 (3.27) b) (0, a) = a a Z, (3.28) erityisesti (0, 0) = 0. (3.29) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, 0-23
25 että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; [Y J] a g ja b g f g. [P ] Esimerkki 9. [0, 0] = 0 (3.30) Lause 3.3. Olkoot a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.31) 0-24
26 pyj(a, b) = m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.32) Esimerkki 10. Olkoot a = , b = , nyt syt(a, b)pyj(a, b) = = ab. (3.33) Lause 3.4. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.34) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.35) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. 0-25
27 E.A. Olkoot a, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.36) Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.37) 0-26
28 Asetetaan nyt R k = r k r k+1, Q k = q k 1, k N, (3.38) 1 0 jolloin det Q k = 1, Q k 1 = 0 1. (3.39) 1 q k Nähdään, että E.A. R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.40) jolloin pätee R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.41) Merkitään S 0 = s 0 t 0 = s 1 t (3.42) 0-27
29 ja S k = jolloin s k s k+1 t k t k+1 = Q 1 k Q 1 2 Q 1 1, (3.43) R k = S k R 0. (3.44) Nyt S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.45) eli s k+1 t k+1 s k+2 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.46) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.47) 0-28
30 Yhtälöstä (3.44) saadaan r n = s n a + t n b, (3.48) josta edelleen saadaan Lause 3.5. syt(a, b) = s n a + t n b, (3.49) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.50) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.51) 0-29
31 Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.52) niin a b. (3.53) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.54) niin ab c. (3.55) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.56) niin p a tai p b. (3.57) 0-30
32 Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.58) p k a n p a n. (3.59) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 2. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.60) 0-31
33 Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.61) Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.62) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. Lause 3.6. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a l m a m. (3.63) 0-32
34 Todistus: Induktiolla. Perusaskel: m = 2 (3.49). Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k. Induktioaskel: Olkoon m = k Osoitetaan ensin, että d k+1 = (d k, a k+1 ). (3.64) a.) Koska d k+1 a 1,..., a k, a k+1, (3.65) niin d k+1 d k, d k+1 a k+1 (3.66) eli on yhteinen tekijä. b.) Jos c d k, a k+1, (3.67) niin c a 1,..., a k, a k+1. (3.68) 0-33
35 Siten c d k+1, (3.69) joten on suurin tekijä. a.)+b.) d k+1 = (d k, a k+1 ). 2. Induktio-oletuksesta saadaan, että h i Z : d k = h 1 a h k a k (3.70) ja j i Z : (d k, a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1. (3.71) Siten d k+1 = (d k, a k+1 ) = j 1 (h 1 a h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a l k+1 a k+1. (3.72) Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen lauseen väite on tosi. 0-34
36 3.4 Kongruenssi Esimerkki 12. Huomataan, että 17 = 3 5+2, 12 = 2 5+2, 7 = 1 5+2,..., (3.73) jolloin on sovittu merkinnästä 17 2 (mod 5), (mod 5). (3.74) Määritelmä Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.75) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.76) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (3.76) modulus. Merkitään a b (mod n), (3.77) kun a ei ole kongruentti b:n kanssa modulo n. 0-35
37 Huom 4. Työkaluja: a b (mod n) a b 0 (mod n); (3.78) a 0 (mod n) n a. (3.79) Lause 3.7. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Olkoon n Z +, a, b, c Z. Tällöin pätee a a; (3.80) a b b a; (3.81) a b, b c a c; (3.82) kaikki kongruenssit (mod n). Lause 3.8. Kongruenssin laskusääntöjä. Olkoon n Z +, a, b, c, d, r, s Z, h N ja P (x) Z[x]. 0-36
38 Jos a b, c d, (3.83) niin ra + sc rb + sd; (3.84) a ± c b ± d; (3.85) ac bd; (3.86) a h b h ; (3.87) P (a) P (b); (3.88) kaikki kongruenssit (mod n). Todistus. Käytetään työkaluja (3.78) ja (3.79) sekä jaollisuuden laskusääntöjä. 0-37
39 Kohta (3.84): Oletuksista (3.83) seuraa n a b, n c d (3.89) ra+sc (rb+sd) = r(a b)+s(c d) 0 (mod n), (3.90) jolloin tuloksen (3.78) nojalla saadaan väite. Esimerkki 13. a a + ln (mod n) l Z. (3.91) Lause 3.9. Muita tuloksia. Olkoon n Z +, a, b, m Z. Tällöin pätee ma mb (mod n), m n (3.92) a b (mod n). (3.93) 0-38
40 a b (mod mn) (3.94) a b (mod n). (3.95) Huom 5. a b (mod n) (3.96) n a b a = b + l n, jollakin l Z (3.97) a b + nz = b, (3.98) missä b on edustajan b määräämä jakojäännösluokka (mod n). Lause A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (3.99) 0-39
41 Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.100) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.101) ab = ab. (3.102) Huom 6. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki = n 1+1 = n = 0, ( 1) 1 = 1 (mod n), (3.103) 0-40
42 2 1 = 1 2 = p (mod p), p P p 3. (3.104) Määritelmä Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.105) on renkaan R yksikköryhmä. Esimerkki 15. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (3.106) Lause Joukko Z = {±1}. (3.107) {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.108) 0-41
43 Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.109) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.110) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.111) Määritelmä Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 0-42
44 Määritelmä Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.112) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (3.113) Lemma 3.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.114) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (3.115) p niin saadaan 0-43
45 Lemma 3.2. Olkoon n = p a pa k φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... k, p i P. Tällöin ) (1 1pk (3.116) eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.117) p 3.5 Euler-Fermat Lause EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (3.118) Lause FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (3.119) a p a (mod p), a Z. (3.120) 0-44
46 Olettaen (3.119) todistetaan (3.120): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (3.119) nojalla a p a (mod p). (3.121) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (3.122) a p a (mod p). (3.123) 0-45
47 3.6 Eräs kongruenssiryhmä Lause A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) seuraa a b (mod q) (3.124) a b (mod pq). (3.125) B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (3.126) seuraa a b (mod m 1 m r ). (3.127) Todistus. A) kohta: Oletuksista (3.124) seuraa p a b, q a b. (3.128) 0-46
48 Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla pq a b a b (mod pq). (3.129) B) kohta induktiolla. Esimerkki 16. Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin p q 1 + q p 1 1 (mod pq). (3.130) 3.7 Kiinalainen jäännöslause Lause KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (3.131) 0-47
49 ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, missä (3.132) x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (3.133) n k M k 1 (mod m k ). (3.134) Tod: Aluksi huomataan, että M k m k, (3.135) sillä, jos olisi 1 < d = (M k, m k ) p P : p d (3.136) 0-48
50 p m k, p M k = i =k m i p m i, i = k (3.137) p (m k, m i ) Ristiriita. (3.138) Niinpä M k Z m k M k 1 := nk Z m k (3.139) n k M k = 1 Z m k (3.140) n k M k 1 (mod m k ). (3.141) Seuraavaksi huomataan, että M j = i =j m i 0 (mod m k ) j = k, (3.142) 0-49
51 joten laskemalla saadaan x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r (3.143) n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (3.144) ja siten x 0 on eräs ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (3.145) Koska m i m j i = j, niin Lauseen 3.14 kohdan B) nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (3.146) eli x x 0 (mod M). (3.147) 0-50
52 4 Kertomat, binomikertoimet Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä ! = 1, (4.1) n! = n (n 1)!, n Z +. (4.2) Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, seuraavasti. Määritelmä 4.2. Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (4.3) (a) n = (a + n 1) (a) n 1, n Z +. (4.4) 0-51
53 Erityisesti (1) n = n!. (4.5) Määritelmä 4.3. Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a k = ( 1) k ( a) k k! (4.6) ovat binomikertoimia "a yli k:n". Tutkitaan erikoistapauksia. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) a k = ( ) a 0 = ( a) 0 0! = 1 a C. (4.7) Kun k Z +, niin ( ) a k k ( a)( a + 1) ( a + k 1) = ( 1) k! = a(a 1) (a k + 1) k! a C. (4.8) 0-52
54 Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n n(n 1) (n k + 1) = k k! = n(n 1) (n k + 1)(n k)!, (4.9) k!(n k)! joten ( ) n k = n! k!(n k)! 0 k n. (4.10) Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), k k! (4.11) missä 0 j k 1. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (4.12) k Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) k k! = 0-53
55 k (n + k 1)! ( 1) k!(n 1)!, (4.13) joten ( ) n k ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (4.14) 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 4.1. Olkoon a C. Tällöin ( ) ( ) ( ) a + 1 a a = + k + 1 k + 1 k k N. (4.15) Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8), jolloin ( a ) k ( ) a k = a(a 1) (a (k + 1) + 1) a(a 1) (a k + 1) + (k + 1)! k! a(a 1) (a k + 1)(a k) a(a 1) (a k + 1) + k!(k + 1) k! = = 0-54
56 a(a 1) (a k + 1) k! ( ) a k k = (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. Erikoistapauksena saadaan = ( ) a + 1. k + 1 (4.16) Lause 4.2. ( ) n + 1 k + 1 = ( n ) k ( ) n k k, n N. (4.17) Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa. Lause 4.3. ( ) n k Z + 0 k n N. (4.18) Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. (0 ) 0 = ( ) 1 0 = ( ) 1 1 = 1. (4.19) 0-55
57 Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) l + 1 k + 1 = ( ) ( ) l l + k + 1 k 1 k+1 l, (4.20) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 k + 1 Z + 1 k + 1 l. (4.21) Lisäksi ( ) l + 1 l + 1 = Tuloksen (4.18) nojalla ( ) l = 1. (4.22) (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (4.23) joten k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (4.24) mistä saadaan. 0-56
58 Lause 4.4. k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (4.25) Edelleen Lause 4.5. Olkoon p P, tällöin ( ) p p 1 k p 1. (4.26) k Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (4.27) Koska p k!, niin (4.27) johtaa relaatioon k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (4.28) jollakin l Z. Siten ( ) p (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p = k k! = (4.29) l p 0 (mod p). (4.30) 0-57
59 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 4.4. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja p r k. (4.31) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (4.32) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z {0}. (4.33) Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z {0}, tällöin v p (1) = 0; (4.34) v p (n) 0; (4.35) 0-58
60 v p (nm) = v p (n) + v p (m); (4.36) v p (n!) = v p (1) + v p (2) v p (n), n 1; (4.37) n = p n p v p(n) = p n p v p(n) = p P p v p(n), n 1. (4.38) Määritelmä 4.5. Olkoot p P, k Z {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l(k) = 1 jos p l k; (4.39) w p l(k) = 0 jos p l k. (4.40) 0-59
61 Lause 4.7. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = r w p i(k) = i=1 w p i(k). (4.41) i=1 Lause 4.8. Olkoot n Z + ja Tällöin A p = i=1 n p i, p P. (4.42) v p (n!) = A p. (4.43) p A p n! p n!. (4.44) n! = p n p A p. (4.45) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä. 0-60
62 Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= #{k Z + 1 k n, p i k} = n p i. (4.46) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i(1)+w p i(2)+...+w p i(n). Esimerkiksi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., missä pätee (4.47) n p,..., n (4.48) p w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p+1) =... = 0 (4.49) w p (p) = w p (2p) =... = w p ( n p ) p = 1. (4.50) 0-61
63 Siten w p (1) + w p (2) w p (n) = n ; (4.51) p... w p 2(1) + w p 2(2) w p 2(n) = w p r(1) + w p r(2) w p r(n) = n p 2 ; (4.52) n p r, (4.53) missä p r n < p r+1, n p r+1 = 0. (4.54) Lasketaan yhtälöt ( ) puolittain yhteen, jolloin saadaan v p (1)+v p (2)+...+v p (n) = n n n + p p p r. (4.55) 0-62
64 Siten Edelleen v p (n!) = i=1 n p i = A p, p P. (4.56) n! = p n p v p(n!). (4.57) Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p B p, (4.58) missä B p = Tuloksen (2.6) i=1 n p i k p i n k p i. (4.59) a + b a + b (4.60) avulla saadaan k p i + n k p i k p i + n p i k p i = n p i. (4.61) 0-63
65 Siten B p N ja p n p B p Z +, (4.62) joka identiteetin (4.58) kanssa todistaa, että ( ) n k Z + 0 k n N. 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = k=0 ( ) a t k, a C (4.63) k sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = n k=0 ( ) n t k. (4.64) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.64) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = n k=0 ( ) n A k B n k = (4.65) k 0-64
66 k+l=n 0 k,l n n! k!l! Ak B l. (4.66) Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = k=0 x k. (4.67) Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin 1 (1 x) n = identiteetin (4.14) nojalla. k=0 ( n + k 1 k ) x k (4.68) 0-65
67 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 5.1 Perusteita Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. Asetetaan nyt (5.1) Määritelmä 5.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli p a b r 1. (5.2) Edelleen a b 0 (mod p) p a b (5.3) Esimerkki (mod 5). (5.4) 0-66
68 Esimerkki = 50 4! 0 (mod 5). (5.5) Laajennetaan Määritelmä 5.1 vapaastivalittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 5.2. Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys a b = ±pr 1 1 pr k k q v 1 1 qv l l ; (5.6) p i, q j P r i Z +, v i Z, (5.7) missä q j / {p 1,..., p k }. Jos n = p s 1 1 ps k k, s i N, (5.8) ja 0 s i r i i = 1,..., k, (5.9) 0-67
69 niin n a b (5.10) ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan). Huom 8. Käytetään myös merkintää a n Q b, (5.11) jolloin a n Q b n b, n a. (5.12) Z Määritelmä 5.3. Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, (5.13) niin a b c d (mod n) (5.14) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). 0-68
70 Huom 9. a b 0 (mod n) a 0 (mod n), b 0 (mod n). (5.15) Lause 5.1. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä polynomi P (x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.16) niin P ( a b ) P ( c ) (mod n), (5.17) d mikäli kongruenssi (5.17) on määritelty. Lause 5.2. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä rationaalifunktio R(x) Q(x). Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.18) niin R( a b ) R( c ) (mod n), (5.19) d 0-69
71 mikäli kongruenssi (5.19) on määritelty. Todistus. Esimerkki = (mod 2 5); (5.20) (mod 20), (5.21) missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki = 50 4! 0 (mod 52 ). (5.22) Esimerkki (mod 5 3 ). (5.23) Esimerkki 22. Olkoon p P, p = 5, tällöin 1 p (mod p). (5.24) 0-70
72 Huomaa, että kongruenssi (5.24) ei ole määritelty (mod 5). Esimerkki 23. Olkoon p P, tällöin (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), (5.25) joten ( ) 2p p 2 (mod p). (5.26) Lause 5.3. Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa { c d Q d n}. Määritelmä 5.4. Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (5.27) 0-71
73 on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (5.28) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) x + y = x + y, x y = xy (5.29) aina, kun x, y Q n. Lause 5.4. a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (5.30) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = { ln d l, d Z, d n} (5.31) 0-72
74 ja vasta-alkio x = x x Q n. (5.32) c). Ykkösalkio (unity) 1 = { ja käänteisalkio (inverse) d + ln l, d Z, d n} (5.33) d x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (5.34) d) Kolmikko (Q n, +, ) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan. Lause 5.5. Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus F (a/b) = a ( b ) 1 (5.35) on rengasisomorfia eli Q n = Z n. F : Q n Z n (5.36) 0-73
75 Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Laskemalla saadaan 1) F ( a b + c ) d = F ( ) ad + bc bd = ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 + c ( d ) 1 = F ( ) a b + F ( ) c, (5.37) d joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. 2) F ( a b c ) d = F ( ) ac bd = ac ( bd ) 1 = a ( b ) 1 c ( d ) 1 = F ( ) a F b ( ) c. (5.38) d 0-74
76 3) Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. F ( 1 ) = F ( ) 1 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (5.39) joten 4) Asetetaan nyt F ( ) a b = 0, (5.40) a ( b ) 1 = 0. (5.41) Kerrotaan 5.41 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 b = 0 b a = 0. (5.42) Siten F : Q n Z n on injektio. 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a b = F ( ) k 1 = k ( 1 ) 1 = k. (5.43) 0-75
77 Siispä F : Q n Z n on surjektio. Kohtien 4) ja 5) nojalla F : Q n Z n on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään Q n a/b = ab 1 Z n. (5.44) ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan l 7 3 (mod 7) l Z. (5.45) Valitaan l = 4, jolloin = 10 3 (mod 7). (5.46) Täten 2/3 = 3. (5.47) 0-76
78 Toisaalta Z 7 :ssa = 2 5 = 10 = 3. (5.48) Lemma 5.1. Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (5.49) ja τ : G G, τ(x) = ax (5.50) ovat bijektioita. Todistus: Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (5.51) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (5.52) 0-77
79 Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. Seuraus: Olkoon äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli H = {a 1,..., a m } (5.53) {a 1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (5.54) ESIM: Olkoon H = Z 11, missä 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (5.55) Tällöin = = 1. (5.56) 0-78
80 Lause 5.6. WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin (p 1)! 1 (mod p). (5.57) 1. Välikokeen alue tähän asti. Lause 5.7. Olkoot p P 3. Tällöin p 1 0 (mod p). (5.58) Todistus. Lemman 5.1 nojalla ι(z p) = Z p eli {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (5.59) Täten p 1 a=1 a 1 = p 1 b=1 b, (5.60) Seuraavassa käytetään samaistusta (5.44). Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/ /p 1 = 0-79
81 1 + 1/ /(p 1) = 1 + 1/ /(p 1). (5.61) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= p 1 = p 1 = p(p 1)/2 = 0, (5.62) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (5.61) ja (5.62) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.58). Lause 5.8. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a φ(m) 1 (mod m). (5.63) Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 5.1 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a φ(m) } = {a 1,..., a φ(m) }. (5.64) 0-80
82 Siten a a 1 a a φ(m) = a 1 a φ(m) (5.65) eli a φ(m) a 1 a φ(m) = a 1 a φ(m), (5.66) josta a φ(m) = 1. (5.67) SEURAUS: Lause 5.9. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (5.68) Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (5.69) 0-81
83 Todistus. Olkoon a Z pr oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (5.70) Siten josta a 2 1 = 0, (5.71) (a 1)(a + 1) = l p r, (5.72) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (5.73) Jos niin p a 1 ja p a + 1, (5.74) p 2a p a. (5.75) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset 1.) p a 1 ja p a + 1 (5.76) 0-82
84 ja 2.) p a 1 ja p a + 1. (5.77) Tapaus 1. Yhtälön (5.72) nojalla p r a 1 a = 1. (5.78) Tapaus 2. Yhtälön (5.72) nojalla p r a + 1 a = 1. (5.79) Siten a Z pr on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen Z pr = {1, 1} B, (5.80) missä joukon B = {b 1,..., b m }, m = φ(p r ) 2, (5.81) alkioille pätee b i 1 = bi, i = 1,..., m. (5.82) 0-83
85 Täten B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } (5.83) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (5.84) ESIM: 3 2 = p r. Jolloin (mod 3 2 ). (5.85) 5.2 Wolstenholmen lause Lause WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin p 1 0 (mod p2 ). (5.86) (Tätä todistusta EI kysytä kokeessa.) Todistus, I tapa: 0-84
86 Tarkastellaan polynomia G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]. (5.87) Aukaistaan tulo, jolloin G(x) = x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + W 0, (5.88) missä W i Z. Välittömästi saadaan x(x 1)(x 2) (x (p 1)) = x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, (5.89) johon sijoitetaan x = y 1 ja siten (y 1)(y 2) (y (p 1))(y p) = (y 1) p 0-85
87 W p 2 (y 1) p 1 +W p 3 (y 1) p 2 W p 4 (y 1) p W 2 (y 1) 3 W 1 (y 1) 2 + W 0 (y 1). (5.90) Yhtälössä (5.90) V.P.= (y p)g(y) = (y p)(y p 1 W p 2 y p 2 +W p 3 y p W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) = y p (p + W p 2 )y p 1 + (pw p 2 + W p 3 )y p 2 (pw p 3 + W p 4 )y p (pw 2 + W 1 )y 2 + (pw 1 + W 0 )y pw 0. (5.91) Toisaalta yhtälön (5.90) O.P.= ( ) ( ) ( ) p p p 1 y p ( +W p 2 )y p 1 +( +W p 2 +W p 3 )y p
88 ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 ( +W p 2 +W p 3 +W p 4 )y p ( ) ( ) ( ) p p ( +W p W 1 +W 0 )y p 1 p 2 1 (1 + W p W 1 + W 0 ). (5.92) Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.91) ja (5.92), jolloin y p : 1 = 1, (5.93) y p 1 : p + W p 2 = ( ) p 1 + W p 2, (5.94) y p 2 : pw p 2 + W p 3 = (5.95) ( ) ( ) p p 1 + W p 2 + W p 3,
89 ( ) p 3 y p 3 : pw p 3 + W p 4 = (5.96) ( ) ( ) p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, ( p ) p 1 y 1 : pw 1 + W 0 = (5.97) ( ) ( ) p W p W 1 + W 0, p 2 1 y 0 : pw 0 = 1 + W p W 1 + W 0. (5.98) Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat: W p 2 = ( ) p 2, (5.99) 2W p 3 = ( ) p 3 + ( ) p 1 W p 2, (5.100)
90 3W p 4 = ( ) p 4 + ( p 1 3 ) W p 2 + ( p 2 2 ) W p 3,... (5.101) (p 2)W 1 = ( ) ( ) ( ) p p W p W 2, p 1 p 2 2 (5.102) (p 1)W 0 = 1 + W p W 1. (5.103) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa jw p j 1 = ( p ) j j p 1. (5.104) Käytetään tulosta (4.26), jolloin ( ) p p 2 (5.105) ja siten j = 1. p W p 2. (5.106) 0-89
91 Seuraavaksi joten ( ) p p 3 ja p W p 2, (5.107) j = 2. p W p 3. (5.108) Edelleen ( ) p p, p W p 2 ja p W p 3, (5.109) 4 joten j = 3. p W p 4. (5.110)... j = p 2. p W 1. (5.111) Siten p W 1, W 2,..., W p 2, (5.112) josta tuloksen (5.103) kanssa seuraa j = p 1. (p 1)W 0 1 (mod p) (5.113) 0-90
92 eli W 0 1 (mod p). (5.114) Mutta W 0 = (p 1)!, (5.115) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön G(x) = p 1 (x j) = j=1 p 1 ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, i=0 (5.116) josta saadaan W 1 = W 2 p W 3 p p p 2. (5.117) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (5.118) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 0-91
93 Siten 2 3 (p 1) (p 1) (p 3) (p 1) (p 2) = (p 1)! ( ). (5.119) p 1 p p 1 (5.120) II todistus Fermat n pikkulauseelle. Olkoot p P, a Z ja p a. Tällöin a j (mod p), (5.121) jollakin j = 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (5.116), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 +W p 3 a p 3...+W 2 a 2 W 1 a+w 0 0 (mod p), (5.122) 0-92
94 missä W p 2,..., W 1 0 (mod p). (5.123) Siten a p 1 W 0 (p 1)! 1 (mod p). (5.124) 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Tiedetään, että (p 1)! 1 (mod p 2 ), (5.125) kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja a p 1 1 (mod p 2 ), (5.126) kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.125) ja (5.126) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. Ehdon (5.126) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 (mod p 2 ), (5.127) 0-93
95 niin x p + y p = z p x, y, z Z +. (5.128) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.128) pätee ilman lisäoletusta (5.127). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. että Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, 2 p 1 1 = l p, (5.129) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä q p (2) = 2p 1 1 p Z. (5.130) Lause Olkoon p P 3. Tällöin q p (2) = 2p 1 1 p p 2 (mod p). (5.131) 0-94
96 Huomaa, että (5.131) on yhtäpitävää ehdon 2 p p ( p 2 ) (mod p 2 ) (5.132) kanssa. Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan 2 p = p i=0 ( ) p i = 2 + p 1 i=1 ( ) p, (5.133) i jossa tuloksen (4.26) nojalla ( ) p i = ph i, (5.134) jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen h i = (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! = ( 1)i 1 i (5.135) (mod p) eli h i = ( 1)i 1 i m i p, (5.136)
97 jollakin m i = a/b Q, p b. Siten (5.134) ja (5.136) antavat ( ) p i ( ( 1) i 1 = p i ) + m i p ( 1) i 1 p i (mod p 2 ). (5.137) Yhtälöiden (5.133) ja (5.137) nojalla 2 p 2+p ( p 2 1 p 1 ) (mod p 2 ). (5.138) Toisaalta p ( p 2 p 1 = ) ( p p 1 ) 2 ( ) p 2 (mod p 2 ) (5.139) 0-96
98 tuloksen (5.86) nojalla. Yhdistämällä (5.138) ja (5.139) saadaan 2 p 2 + 2p ( ) p 2 (mod p 2 ), (5.140) missä p 2, joten (5.132) seuraa. Esimerkki 24. Olkoon p = 7. Nyt 2 p 1 = 2 6 = = (5.141) ( ) 5 (mod 7 2 ). (5.142) Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). 0-97
99 6 Polynomien kongruenssi Määritelmä 6.1. Olkoot n Z 2 ja n P (x) = p k x k Q[x], jolloin asetetaan k=0 n Q(x) = q k x k Q[x], k=0 P (x) Q(x) (mod n) p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (6.1) Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 6.2. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 +a 1 x+...+a d x d ) = a 0 +a 1 x+...+a d x d (6.2) 0-98
100 r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). Lause 6.1. Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Lause 6.2. a a d x d = b b d x d (6.3) a a d x d b b d x d (mod n) (6.4) Lause 6.3. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin p 1 0 (mod p2 ). (6.5) 0-99
101 Todistus. II tapa. Nojautuu Fermat n pikkulauseeseen 5.9. Tarkastellaan polynomeja G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]; (6.6) F (x) = x p 1 1 Z[x] (6.7) ja niiden reduktioita (mod p) G(x), F (x) Z p [x]. (6.8) Välittömästi G(j) = 0, j = 1, 2,..., p 1; (6.9) F (j) 5.9 = 0, j = 1, 2,..., p 1. (6.10) Koska polynomirenkaassa Z p [x] ei-vakiopolynomilla on korkeintaan asteen verran nollakohtia, niin Lauseen 16.4 nojalla 0-100
102 saadaan polynomien identtisyys G(x) = F (x). (6.11) Kirjoitetaan G(x) = jolloin p 1 (x j) = j=1 p 1 ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, i=0 (6.12) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 (mod p). (6.13) eli W k 0 (mod p), k = 1, 2,..., p 2, W 0 1 (mod p). (6.14) 0-101
103 Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön (6.12), jolloin p 1 (p j) = j=1 p 1 ( 1) i W i p i. (6.15) i=0 Tällöin saadaan W 1 = W 2 p W 3 p p p 2. (6.16) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (6.17) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 2 3 (p 1) (p 1) (p 3) (p 1) (p 2) = (p 1)! ( ). (6.18) p
104 Siten p p 1 (6.19) Lause 6.4. Olkoon p P, tällöin (x + 1) p x p + 1 (mod p). (6.20) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla (x + 1) p = p k=0 ( ) p x k (6.21) k x p +0 x p 1 +0 x p x+1 = x p +1 (mod p). Lause 6.5. Olkoot n Z 2 ja f(x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (6.22) Tällöin f(g(x)) f(h(x)) (mod n). (6.23) 0-103
105 Lause 6.6. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (6.24) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 6.4. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (6.25) (x pr ) p + 1 = x pr (mod p) (6.26) =O.P. Kohdassa (6.25) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 6.5 sekä kohdassa (6.25) Lausetta 6.4. Seurauksena saadaan Lause 6.7. Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 (mod p) k = 1,..., p r 1. (6.27) k 0-104
106 Lause 6.6 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 6.8. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (6.28) polynomirenkaassa Q[x, y]. Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 6.9. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x x m ) pr x pr xpr m (mod p) (6.29) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. 6.1 Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 6.3. Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä
107 Määritelmä 6.4. Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (6.30) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (6.31) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. Sovelletaan Lausetta 6.9 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A A m ) pr A pr Apr m (mod p). (6.32) Huomaa, että (6.32) on Pikku-Fermat n yleistys. Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 n i p i, 0 n i p 1 (6.33) 0-106
108 on yksikäsitteinen. Lause LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (6.34) (mod p). (6.35) Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n 2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n 2 (mod p) (6.36) Lauseen 6.6 nojalla. Sama binomikehitelmillä n k=0 ( ) n x k k 0-107
109 n 0 ( n0 i i 0 =0 0 p 1 ( n0 i 0 =0 0 j i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 i j p 1 n 1 ( n1 i i 1 =0 1 p 1 ( n1 ) x pi 1 ) x pi 1 n 2 i i 1 =0 1 i 2 =0 ( )( )( ) n0 n1 n2 i 0 i 1 i 2 ( n2 i i 2 =0 2 p 1 ( n2 i 2 ) x p2 i 2 = ) x p2 i 2 = x i 0+i 1 p+i 2 p (mod p). (6.37) Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p , joka saadaan, kun k = k 0 +k 1 p+k 2 p = i 0 +i 1 p+i 2 p (6.38) Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (6.37) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (6.39) 0-108
110 Esimerkki 25. p = 7, n = 11 = 4+1 7, k = 5 = 5+0 7, joten ( ) 11 5 ( )( n0 n1 k 0 k 1 ) = ( )( ) = 0 1 = 0 (mod 7). (6.40) Esimerkki 26. ( ) (mod 3) (6.41) 7 Summausmenetelmiä 7.1 Polynomialgebran sovelluksia ESIM: Lähdetään identiteetistä (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (7.1) josta n j=0 ( ) n x j j m l=0 ( ) m x l = l n+m k=0 ( ) n + m x k. (7.2) k 0-109
111 Caychyn kertosäännöllä n+m k=0 j+l=k ( n j )( ) m x k = l n+m k=0 ( ) n + m x k, k (7.3) josta j+l=k,0 j,l k ( n j )( ) m l = ( ) n + m k (7.4) Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( n m ) j m j = ( ) 2m ; m m ( ) 2 m = j j=0 ( ) 2m. m (7.5) 7.2 Teleskoopit Teleskooppisumma n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (7.6) i=
112 ja teleskooppitulo n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (7.7) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = k=0 n(n + 1) 2 (7.8) n k 2 = k=0 n(n + 1)(2n + 1) 6 (7.9) n k 3 = k=0 ( n(n + 1) 2 ) 2 (7.10) n (2k + 1) = (n + 1) 2 (7.11) k=0 Johdetaan (7.11) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (7.12) 0-111
113 Otetaan summat (7.12) molemminpuolin, jolloin n (2k +1) = k=0 n (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n+1) 2. k=0 (7.13) Johdetaan vielä j=0 j 1 j! = 0 (7.14) lähtemällä erotuksesta 1 k! 1 (k + 1)! = k (k + 1)!. (7.15) Summataan (7.15) puolittain, jolloin saadaan n k=0 ( ) 1 k! 1 (k + 1)! = n k=0 k (k + 1)!. (7.16) Yhtälön (7.16)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten n k=0 k (k + 1)! = 1 1 (n + 1)!, (7.17) 0-112
114 josta raja-arvona saadaan eli (7.14). k=0 k (k + 1)! = 1 (7.18) 8 Fibonaccin ja Lucasin luvut 8.1 Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 8.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (8.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (8.2) muodostavat Lucasin luvut
115 Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 1 (8.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29, (8.4) Ratkaistaan rekursio v n+2 = v n+1 + v n, n N, (8.5) yritteellä Rekursiosta (8.5) saadaan v n = x n, x C. (8.6) x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (8.7) jonka ratkaisut ovat α = , β = 1 5. (8.8)
116 Lause 8.1. Olkoot a, b C. Tällöin F n = aα n + bβ n (8.9) on rekursion (8.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan F n+2 = aα n+2 +bβ n+2 = a(α n+1 +α n )+b(β n+1 +β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (8.10) Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa f n = aα n + bβ n, (8.11) mistä saadaan f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (8.12) 0-115
117 Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (8.12), josta a + b = 0, a b = 1 (8.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. Lause 8.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla f n = 1 5 (( 1 + ) n ( ) n ) 5, (8.14) 2 l n = ( 1 + ) n ( ) n 5. (8.15) 2 Siis f n = 1 5 (α n β n ), (8.16) l n = (α n + β n ), (8.17) 0-116
118 missä α = , β = 1 5. (8.18) 2 Huomaa, että αβ = 1, α + β = 1, α β = 5. (8.19) Lause 8.3. l n = f 2n f n. (8.20) Todistus. Suoraan laskemalla f 2n f n = α2n β 2n α n β n = αn + β n = l n. (8.21) HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (8.14) ja (8.15) saadaan likiarvo nopeasti. Lause 8.4. f 2k = α 2k 5 k N, (8.22) 0-117
119 f 2k+1 = α 2k+1 5 k N. (8.23) Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska α = = , (8.24) ja α 1 = α 1 = , niin β = = 1 α = (8.25) Siten β n / 5 < 1 n N. (8.26) Tarkemmin laskareissa. 8.2 Matriisiesitys Olkoon F = 1 1 = 1 0 f 2 f 1. (8.27) f 1 f
120 Lasketaan potensseja F 2 = 2 1 = 1 1 f 3 f 2, (8.28) f 2 f 1 F 3 = 3 2 = 2 1 f 4 f 3. (8.29) f 3 f 2 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (8.30) Nyt F 0 = I = 1 0 = 0 1 f 1 f 0 f 0 f 1. (8.31) Lause 8.5. Olkoon F n = f n+1 f n f n f n 1. (8.32) 0-119
121 Tällöin F n = F n n N. (8.33) Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (8.27) ja (8.31). Induktio-oletus: Identiteetti (8.33) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan F k+1 = F 1 F k = 1 1 f k f k f k f k 1 = (8.34) f k+1 + f k f k + f k 1 = f k+2 f k+1 = F k+1. f k+1 f k f k+1 f k (8.35) Lause 8.6. Olkoot n, m N, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (8.36) f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (8.37) 0-120
122 f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (8.38) Todistus. Sovelletaan identiteettiä F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (8.39) jolloin f n+1 f n f n+m+1 f n+m f n+m f n+m 1 f n f m+1 f n 1 f m f m 1 = (8.40) f m = (8.41) f n+1f m+1 + f n f m f n f m+1 + f n 1 f m f n+1 f m + f n f m 1. (8.42) f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (8.40) ja (8.42) vastinalkioita saadaan (8.36), josta edelleen saadaan (8.37) ja (8.38)
123 Lause 8.7. Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (8.43) Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (8.33), jolloin f n+1 f n f n f n 1 = n. (8.44) Lause 8.8. Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (8.45) 0-122
124 Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+ sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 siten r n = syt(a, b) = 1. (8.46) 0-123
125 Edelleen saadaan r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (8.47) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (8.48) t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 (8.49) lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) = f 5 f 6 f 4 f 7. (8.50) Lause 8.9. Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen al
126 goritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (8.51) Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n < r k+2 < r k+1 0 < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. Täten r n 1 = f 2, (8.52) r n 1 2 = f 3, (8.53) 0-125
127 r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. (8.54) Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (8.55) ja siten a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (8.56) Epäyhtälön (8.56) todistus laskareissa. 8.3 Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k (8.57) k=0 sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (8.58) n=
128 Seuraavaksi käytetään rekursiota (8.1), jolloin F (z) = z f n+1 z n+1 + z 2 n=0 n=0 f n z n + f 1 z + f 0 = z f k z k + z 2 k=1 k=0 f k z k + f 1 z + f 0 = z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (8.59) Yhtälöstä (8.59) saadaan ratkaisu F (z) = z 1 z z 2. (8.60) Lause Sarjalla F (z) = f k z k (8.61) k=0 on esitys rationaalifunktiona F (z) = z 1 z z 2. (8.62) 0-127
129 Määritelmä 8.2. Sarja F (z) = f k z k (8.63) k=0 on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = z 1 z z 2 (8.64) on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. Määritelmä 8.3. Polynomi K(x) = K f (x) = x 2 x 1 (8.65) on rekursion (8.1) karakteristinen polynomi. Huomaa, että K f (x) = (x α)(x β), (8.66) joten F (z) = 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = 0-128
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 22. marraskuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Sekalaisia merkintöjä......................... 6 2.3 Porrasfunktiot.............................
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 83 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 ABSTRACT 2 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2 2.1 LUKUJA SEKÄ TYÖKALUJA...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2018 LUKUTEORIA 1 / 86 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotJäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista
Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotLUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN
LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )
Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä
LisätiedotMultiplikatiiviset funktiot
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedot11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotALKULUVUISTA (mod 6)
Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen
LisätiedotMultiplikatiivisista funktioista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot