LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho"

Transkriptio

1 LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 22. marraskuuta 2011

2 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja Kokonaislukurengas Z Jaollisuus, alkuluvut Jakoalgoritmi Eukleideen algoritmi Kongruenssi Kertomat, binomikertoimet Palautuskaava, Pascalin kolmio p-valuaatio kokonaisluvuille Binomisarja, Binomikehitelmä Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Wolstenholmen lause (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia

3 6.2 Teleskoopit Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Matriisiesitys Generoiva sarja Laajennus negatiivisiin indekseihin f n (mod k) f n (mod p) Lucasin jonot Rekursio ja ratkaisu yritteellä Bernoullin luvut Generoiva funktio ja sarja Palautuskaava Potenssisummia p-valuaatio Bernoullin lukujen jaollisuudesta Antiikin lukuja Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut Pythagoraan luvut Heronin luvut Irrationaaliluvuista Ketjumurtoluvut 95 2

4 15 Työkaluja Hieman polynomialgebraa Lisää polynomialgebraa Symmetriset peruspolynomit Formaaleista potenssisarjoista Osamääräkunta 110 3

5 Luennot: Ti BF119, To BK Luento Ti klo sali BF Välikoe: Ma klo salissa L6. 1. Välikokeen alue: Luvut 1 6 ja laskarit 1 4. HUOM: Teleskoopit ja Luvun 6 asiat siirtyvät 2. välikokeeseen. 2. Välikoe: KORJAUKSIA JA MUUTOKSIA: Seuraus 4 korjattu. Seuraus 4 lisäys kaavaan (3.44) Esimerkki 11 korjattu Kaavaan (4.46) tehty muutos Kaavaan (4.65) tehty muutos Luvun 5 alkuun on tehty useita muutoksia HUOM: Kappaleiden 5.4, 5.5, 6.1, 6.2 numerointi on korjattu Kappale 2.4 lisätty (16:00) 4

6 LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)] Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron, Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja teleskoopit. 5

7 1 Johdanto Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä. 6

8 LÄHTEITÄ: G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly 7

9 2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, 8

10 joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) f(a m ), a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). a A Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P 9

11 2.3 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla x = min{n Z x n} aina, kun x R. Apulause. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.1) Tällöin Edelleen k = x. (2.2) x = x x R, (2.3) x x < x + 1 x R (2.4) 10

12 x + k = x + k x R, k Z, (2.5) x + y x + y x, y R, (2.6) Merkintä: Luvun x R desimaaliosa x y xy x, y R 0. (2.7) {x} = x x. (2.8) Esimerkki 2. 0 {x} < 1. (2.9) 2.4 Tärkeitä kaavoja n k = n(n + 1) ; (2.10) 2 n n a k = an+1 1, a = 1; (2.11) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.12) k 11

13 3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Merkitään: b a, kun b ei jaa a:ta. Asetetaan "aksiomi": Jos b 1, niin b = ±1. (3.2) 3.2 Voidaan todistaa itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksilla. Esimerkki , 0 a = 0. (3.3) Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.4) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.5) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki , 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.6) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. 12

14 Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 p rt t, p i P, r i Z + (3.7) on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin Esimerkki 6. m n = pr 0 0 p r 1 1 p rt t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.8) 1 = ( 1) , = = (3.9) 13

15 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.1. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.10) Kun b Z +, niin q = a b. (3.11) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a = 5 (3.12) b a = 13 = , q = 4, r = 1, a = 4 (3.13) b Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli a) d a ja d b; b) c a ja c b c d. Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. 14

16 Esimerkki 8. a) (23, 32) = 1 (3.14) b) (0, a) = a a Z, (3.15) erityisesti (0, 0) = 0. (3.16) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a) a f ja b f; b) a g ja b g f g. Esimerkki 9. Lause 3.2. Olkoot [0, 0] = 0 (3.17) a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.18) pyj(a, b) = Esimerkki 10. Olkoot a = , m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.19) b = , nyt syt(a, b)pyj(a, b) = = ab. (3.20) 15

17 Lause 3.3. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.21) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.22) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. E.A. Olkoot a Z, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.23) Asetetaan nyt R k = r k, Q k = q k 1, k N, (3.24) 1 0 r k+1 16

18 jolloin Nähdään, että det Q k = 1, Q 1 k = 0 1. (3.25) 1 q k (E.A.) R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.26) jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt S k = s k 1) R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.27) S 0 = s 0 t 0 = 1 0 (3.28) s 1 t s k+1 t k t k+1 = Q k 1 Q 2 1 Q 1 1, (3.29) 2) R k = S k R 0. (3.30) 3) S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.31) eli s k+1 s k+2 t k+1 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.32) 4) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.33) 17

19 Yhtälöstä 2) saadaan r n = s n a + t n b, (3.34) josta edelleen saadaan Lause 3.4. : 5) syt(a, b) = s n a + t n b, (3.35) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.36) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.33) lähtien alkuarvoista (3.28). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.37) Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.38) niin a b. (3.39) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.40) niin ab c. (3.41) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.42) niin p a tai p b. (3.43) 18

20 Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.44) p k a n p a n. (3.45) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 1. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.46) Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.47) Huom 2. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.48) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. 19

21 Lause 3.5. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a l m a m. (3.49) Todistus: Induktiolla. Perusaskel: m = 2 5). Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k. Induktioaskel: Olkoon m = k Osoitetaan ensin, että a.) Koska niin eli on yhteinen tekijä. b.) Jos niin Siten d k+1 = (d k, a k+1 ). (3.50) d k+1 a 1,..., a k, a k+1, (3.51) d k+1 d k, d k+1 a k+1 (3.52) c d k, a k+1, (3.53) c a 1,..., a k, a k+1. (3.54) c d k+1, (3.55) joten on suurin tekijä. a.)+b.) d k+1 = (d k, a k+1 ). 2. Induktio-oletuksesta saadaan, että h i Z : d k = h 1 a h k a k (3.56) 20

22 ja Siten j i Z : (d k, a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1. (3.57) d k+1 = (d k, a k+1 ) = j 1 (h 1 a h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a l k+1 a k+1. (3.58) Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen lauseen väite on tosi. 3.4 Kongruenssi Määritelmä Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.59) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.60) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (3.60) modulus. Huomaa, että n a b a = b + l n, jollakin l Z a b + nz = b. (3.61) Lemma 3.1. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (3.62) 21

23 Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.63) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.64) ab = ab. (3.65) Huom 3. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 4. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki = n = n = 0, ( 1) 1 = 1, (3.66) 2 1 = 1 2 = p + 1 2, p P p 3. (3.67) Määritelmä Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko on renkaan R yksikköryhmä. R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.68) Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. Lemma 3.2. Joukko {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.69) 22

24 Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.70) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.71) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.72) Määritelmä Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). Määritelmä Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.73) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n). Lemma 3.3. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.74) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (3.75) p niin saadaan Lemma 3.4. Olkoon n = p a p a k k, p i P. Tällöin ) (1 1pk φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... (3.76) 23

25 eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.77) p Lause 3.6. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE: Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. (3.78) x a r (mod m r ) ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (3.79) missä x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (3.80) n k M k 1 (mod m k ). (3.81) "Ratkaisu on yksikäsitteinen (solution is unique) (mod M)". Tod: Lasketaan M k = i =k m i 0 (mod m j ) j = k. (3.82) Joten x 0 n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (3.83) ja siten x 0 on ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (3.84) 24

26 Koska m i m j i = j, niin Harjoitustehtävän 14 nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (3.85) eli x x 0 (mod M). (3.86) 4 Kertomat, binomikertoimet Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä ! = 1, (4.1) n! = n (n 1)!, n Z +. (4.2) Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, seuraavasti. Määritelmä 4.2. Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (4.3) (a) n = (a + n 1) (a) n 1, n Z +. (4.4) Erityisesti (1) n = n!. (4.5) Määritelmä 4.3. Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a = ( 1) k ( a) k k k! (4.6) ovat binomikertoimia "a yli k:n". 25

27 Tutkitaan erikoistapauksia. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) ( ) a a = = ( a) 0 k 0 0! Kun k Z +, niin (a ) k k ( a)( a + 1) ( a + k 1) = ( 1) k! a(a 1) (a k + 1) k! Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n n(n 1) (n k + 1) = k k! joten = 1 a C. (4.7) = a C. (4.8) n(n 1) (n k + 1)(n k)!, (4.9) k!(n k)! ( ) n = k n! k!(n k)! = 0 k n. (4.10) Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), (4.11) k k! missä 0 j k 1. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (4.12) k Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) = k k! joten ( ) n k k (n + k 1)! ( 1), (4.13) k!(n 1)! ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (4.14) 26

28 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 4.1. Olkoon a C. Tällöin ( ) ( ) a + 1 a = + k + 1 k + 1 ( ) a k k N. (4.15) Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8), jolloin ( ) a + k + 1 a(a 1) (a (k + 1) + 1) (k + 1)! a(a 1) (a k + 1)(a k) k!(k + 1) + a(a 1) (a k + 1) k! ( ) a = k a(a 1) (a k + 1) k! = a(a 1) (a k + 1) + = k! ( ) a k k = (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. = ( ) a + 1. (4.16) k + 1 Erikoistapauksena saadaan Lause 4.2. ( ) ( ) n + 1 n = + k + 1 k + 1 ( ) n k k, n N. (4.17) Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa. Lause 4.3. ( ) n Z + 0 k n N. (4.18) k Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. ( ) 0 = 0 ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 1. (4.19) 1 27

29 Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) ( ) ( ) l + 1 l l = + k + 1 k + 1 k 1 k + 1 l, (4.20) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 Z + 1 k + 1 l. (4.21) k + 1 Lisäksi ( ) l + 1 = l + 1 ( ) l + 1 = 1. (4.22) 0 Tuloksen (4.18) nojalla (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (4.23) joten k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (4.24) mistä saadaan. Lause 4.4. k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (4.25) Edelleen Lause 4.5. Olkoon p P, tällöin ( ) p p k 1 k p 1. (4.26) Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (4.27) Koska p k!, niin (4.27) johtaa relaatioon k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (4.28) 28

30 jollakin l Z. Siten ( ) p = k (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p k! = l p 0 (mod p). (4.29) 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 4.4. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja p r k. (4.30) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (4.31) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z {0}. (4.32) Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z {0}, tällöin v p (1) = 0; (4.33) v p (n) 0; (4.34) v p (nm) = v p (n) + v p (m); (4.35) v p (n!) = v p (1) + v p (2) v p (n), n 1; (4.36) 29

31 n = p vp(n) = p vp(n) = p vp(n), n 1. (4.37) p n p n p P Määritelmä 4.5. Olkoot p P, k Z {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l(k) = 1 jos p l k; (4.38) w p l(k) = 0 jos p l k. (4.39) Lause 4.7. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = Lause 4.8. Olkoot n Z + ja Tällöin A p = r w p i(k) = i=1 n i=1 p i w p i(k). (4.40) i=1, p P. (4.41) a) v p (n!) = A p. (4.42) b). p Ap n! p n!. (4.43) c). n! = p n p Ap. (4.44) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä. Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= n #{k Z + 1 k n, p i k} =. (4.45) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i(1) + w p i(2) w p i(n). (4.46) p i 30

32 Esimerkiksi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n (4.47) p missä pätee w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p + 1) =... = 0 (4.48) w p (p) = w p (2p) =... = w p ( n p ) p = 1. (4.49) Siten w p (1) + w p (2) w p (n) = n ; (4.50) p... missä n w p 2(1) + w p 2(2) w p 2(n) = p 2 n w p r(1) + w p r(2) w p r(n) = p r n < p r+1, p r ; (4.51), (4.52) n = 0. (4.53) p r+1 Lasketaan yhtälöt ( ) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p (1) + v p (2) v p (n) = (4.54) p p 2 p r Siten Edelleen v p (n!) = n = A p, p P. (4.55) i=1 p i n! = p n p vp(n!). (4.56) Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p Bp, (4.57) 31

33 missä Tuloksen (2.6) B p = n k n k. (4.58) i=1 p i p i p i a + b a + b (4.59) avulla saadaan k n k + p i p i k p + n i p k = i p i n p i. (4.60) Siten B p N ja p Bp Z +, (4.61) p n joka identiteetin (4.57) kanssa todistaa, että ( ) n Z + 0 k n N. k 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = ( ) a t k, a C (4.62) k n ( ) n t k. (4.63) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.63) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = k+l=n 0 k,l n n ( ) n A k B n k = (4.64) k n! k!l! Ak B l. (4.65) 32

34 Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = x k. (4.66) Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin identiteetin (4.14) nojalla. 1 (1 x) = n ( n + k 1 k ) x k (4.67) 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 5.1 Perusteita Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys Asetetaan nyt a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. (5.1) Määritelmä 5.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli p a b r 1. (5.2) Edelleen Esimerkki 13. Esimerkki 14. a b 0 (mod p) p a b = 50 4! (5.3) 0 (mod 5). (5.4) 0 (mod 5). (5.5) 33

35 Laajennetaan Määritelmä 5.1 vapaastivalittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 5.2. Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys missä q j / {p 1,..., p k }. Jos a b = ±pr 1 1 p r k k q v 1 1 q v l l ; (5.6) p i, q j P r i Z +, v i Z, n = p s 1 1 p s k k, s i N, ja 0 s i r i i = 1,..., k, (5.7) niin n a b (5.8) ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan). Huom 5. Jos, n a/b, niin n b ja n a. Määritelmä 5.3. Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos niin n a b c d, (5.9) a b c d (mod n) (5.10) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). Lause 5.1. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä P (x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.11) niin P ( a b ) P ( c ) (mod n), (5.12) d 34

36 Esimerkki = (mod 2 5). (5.13) missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki 16. Esimerkki Esimerkki 18. Olkoon p P, tällöin 0 (mod 20), (5.14) = 50 4! 0 (mod 52 ). (5.15) (mod 53 ). (5.16) (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (5.17) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), joten ( ) 2p 2 (mod p). (5.18) p Lause 5.2. Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa Q. Määritelmä 5.4. Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (5.19) on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (5.20) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) x + y = x + y, x y = xy (5.21) aina, kun x, y Q n. 35

37 Lause 5.3. a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (5.22) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = na b a, b, b n (5.23) ja vasta-alkio x = x x Q n. (5.24) c). Ykkösalkio (unity) 1 = b + ln b l, b, b n (5.25) ja käänteisalkio (inverse) Lause 5.4. Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (5.26) F (a/b) = a ( b ) 1 (5.27) F : Q n Z n (5.28) on rengasisomorfia eli Q n = Zn. Todistus: Laskemalla saadaan 1) F ( a b + c ) = F d ( ) ad + bc = bd ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 + c ( d ) 1 = 36

38 F ( ) a + F b joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. ( ) c, (5.29) d 2) F ( a b c ) = F d ( ) ac = bd ac ( bd ) 1 = a ( b ) 1 c ( d ) 1 = F ( ) a F b ( ) c. (5.30) d 3) F ( 1 ) = F ( ) 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (5.31) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. 4) Asetetaan nyt joten F ( ) a = 0, (5.32) b Kerrotaan 5.33 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 = 0. (5.33) a ( b ) 1 b = 0 b a = 0. (5.34) Siten F : Q n Z n on injektio. 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a = F b Siispä F : Q n Z n on surjektio. ( ) k = k ( 1 ) 1 = k. (5.35) 1 37

39 Kohtien 4) ja 5) nojalla on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. F : Q n Z n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan Valitaan l = 4, jolloin Täten Q n a/b = ab 1 Z n. (5.36) l (mod 7) l Z. (5.37) = 10 3 (mod 7). (5.38) 2/3 = 3. (5.39) Toisaalta Z 7 :ssa = 2 5 = 10 = 3. (5.40) Lemma 5.1. Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (5.41) ja τ : G G, τ(x) = ax (5.42) ovat bijektioita. Todistus: Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (5.43) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (5.44) 38

40 Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. Seuraus: Olkoon H = {a 1,..., a m } (5.45) äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli {a 1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (5.46) ESIM: Olkoon H =Z 11, missä 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (5.47) Tällöin = = 1. (5.48) Lause 5.5. WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin Lause 5.6. Olkoot p P 3. Tällöin (p 1)! 1 (mod p). (5.49) p 1 Todistus. Lemman 5.1 nojalla ι(z p) = Z p eli 0 (mod p). (5.50) {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (5.51) Täten p 1 p 1 a 1 = b, (5.52) a=1 b=1 39

41 Seuraavassa käytetään samaistusta (5.36). Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/ /p 1 = 1 + 1/ /(p 1) = 1 + 1/ /(p 1). (5.53) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= p 1 = p 1 = p(p 1)/2 = 0, (5.54) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (5.53) ja (5.54) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.50). Lause 5.7. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a φ(m) 1 (mod m). (5.55) Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 5.1 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a φ(m) } = {a 1,..., a φ(m) }. (5.56) Siten eli josta a a 1 a a φ(m) = a 1 a φ(m) (5.57) a φ(m) a 1 a φ(m) = a 1 a φ(m), (5.58) a φ(m) = 1. (5.59) SEURAUS: Lause 5.8. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (5.60) 40

42 Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 5.9. Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Olkoon a Z p r p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (5.61) oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (5.62) Siten josta a 2 1 = 0, (5.63) (a 1)(a + 1) = l p r, (5.64) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (5.65) Jos niin p a 1 ja p a + 1, (5.66) p 2a p a. (5.67) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset 1.) p a 1 ja p a + 1 (5.68) ja 2.) p a 1 ja p a + 1. (5.69) Tapaus 1. Yhtälön (5.64) nojalla p r a 1 a = 1. (5.70) 41

43 Tapaus 2. Yhtälön (5.64) nojalla p r a + 1 a = 1. (5.71) Siten a Z p r on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen Z pr = {1, 1} B, (5.72) missä joukon B = {b 1,..., b m }, m = φ(p r ) 2, (5.73) alkioille pätee 1 b i = bi, i = 1,..., m. (5.74) Täten B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c 1 m/2 } (5.75) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (5.76) ESIM: 3 2 = p r. Jolloin (mod 3 2 ). (5.77) 5.2 Wolstenholmen lause Lause WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin Todistus. Tarkastellaan polynomia p 1 0 (mod p2 ). (5.78) G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]. (5.79) 42

44 Aukaistaan tulo, jolloin G(x) = x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... missä W i Z. Välittömästi saadaan +W 2 x 2 W 1 x + W 0, (5.80) x(x 1)(x 2) (x (p 1)) = x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p johon sijoitetaan x = y 1 ja siten +W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, (5.81) (y 1)(y 2) (y (p 1))(y p) = (y 1) p W p 2 (y 1) p 1 + W p 3 (y 1) p 2 W p 4 (y 1) p Yhtälössä (5.82) V.P.= +W 2 (y 1) 3 W 1 (y 1) 2 + W 0 (y 1). (5.82) (y p)g(y) = (y p)(y p 1 W p 2 y p 2 + W p 3 y p W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) = y p (p + W p 2 )y p 1 + (pw p 2 + W p 3 )y p 2 (pw p 3 + W p 4 )y p (pw 2 + W 1 )y 2 + (pw 1 + W 0 )y pw 0. (5.83) 43

45 Toisaalta yhtälön (5.82) O.P.= ( ) ( ) ( ) p p p 1 y p ( + W p 2 )y p 1 + ( + W p 2 + W p 3 )y p ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 ( + W p 2 + W p 3 + W p 4 )y p ( ) ( ) ( ) p p ( + W p W 1 + W 0 )y p 1 p 2 1 (1 + W p W 1 + W 0 ). (5.84) Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.83) ja (5.84), jolloin y p : 1 = 1, (5.85) y p 1 : p + W p 2 = ( ) p + W p 2, (5.86) 1 y p 2 : pw p 2 + W p 3 = (5.87) ( ) ( ) p p 1 + W p 2 + W p 3, y p 3 : pw p 3 + W p 4 = (5.88) ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, y 1 : pw 1 + W 0 = (5.89) ( ) ( ) ( ) p p W p W 1 + W 0, p 1 p

46 y 0 : pw 0 = 1 + W p W 1 + W 0. (5.90) Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat: 3W p 4 = (p 2)W 1 = 2W p 3 = ( ) p + 4 W p 2 = ( ) p + 3 ( p 1 3 ( ) p + p 1 ( ) p, (5.91) 2 ( p 1 2 ) W p 2 + ) W p 2, (5.92) ( p 2 2 ( ) p 1 W p p 2 ) W p 3,... (5.93) ( ) 3 W 2, (5.94) 2 (p 1)W 0 = 1 + W p W 1. (5.95) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa ( ) p jw p j 1 = +... j j p 1. (5.96) Käytetään tulosta (4.26), jolloin ( ) p p 2 (5.97) ja siten Seuraavaksi joten j = 1. p W p 2. (5.98) ( ) p p 3 ja p W p 2, (5.99) j = 2. p W p 3. (5.100) 45

47 Edelleen joten... Siten ( ) p p, 4 p W p 2 ja p W p 3, (5.101) j = 3. p W p 4. (5.102) j = p 2. p W 1. (5.103) p W 1, W 2,..., W p 2, (5.104) josta tuloksen (5.95) kanssa seuraa j = p 1. (p 1)W 0 1 (mod p) (5.105) eli Mutta W 0 1 (mod p). (5.106) W 0 = (p 1)!, (5.107) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön josta saadaan p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, (5.108) j=1 i=0 W 1 = W 2 p W 3 p p p 2. (5.109) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (5.110) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 46

48 2 3 (p 1) (p 1) (p 3) (p 1) (p 2) = Siten ( (p 1)! ). (5.111) p 1 p p 1 (5.112) II todistus Fermat n pikkulauseelle. Olkoot p P, a Z ja p a. Tällöin a j (mod p), (5.113) jollakin j = 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (5.108), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 + W p 3 a p W 2 a 2 W 1 a + W 0 0 (mod p), (5.114) missä Siten W p 2,..., W 1 0 (mod p). (5.115) a p 1 W 0 (p 1)! 1 (mod p). (5.116) 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Tiedetään, että (p 1)! 1 (mod p 2 ), (5.117) kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja a p 1 1 (mod p 2 ), (5.118) 47

49 kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.117) ja (5.118) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. Ehdon (5.118) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 (mod p 2 ), (5.119) niin x p + y p = z p x, y, z Z +. (5.120) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.120) pätee ilman lisäoletusta (5.119). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 = l p, (5.121) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä q p (2) = 2p 1 1 p Lause Olkoon p P 3. Tällöin Z. (5.122) q p (2) = 2p 1 1 p p 2 (mod p) (5.123) Huomaa, että (5.123) on yhtäpitävää ehdon ( 2 p p ) p 2 kanssa. i=0 i=1 (mod p 2 ) (5.124) Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan p ( ) p 1 p ( ) p 2 p = = 2 +, (5.125) i i 48

50 jossa tuloksen (4.26) nojalla jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen eli h i = ( ) p = ph i, (5.126) i (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! h i = ( 1)i 1 i = ( 1)i 1 i jollakin m i Z. Siten (5.126) ja (5.128) antavat ( ) ( ) p ( 1) i 1 = p + m i p ( 1) i 1 p i i i (mod p) (5.127) + m i p, (5.128) (mod p 2 ). (5.129) Yhtälöiden (5.125) ja (5.129) nojalla ( 2 p 2 + p p 2 1 ) p 1 (mod p 2 ). (5.130) Toisaalta p 2 1 p 1 = ( ) p 2 ( p ) p 1 ( ) p 2 (mod p 2 ) (5.131) tuloksen (5.78) nojalla. Yhdistämällä (5.130) ja (5.131) saadaan ( 2 p 2 + 2p ) (mod p 2 ), (5.132) p 2 49

51 missä p 2, joten (5.124) seuraa. ESIM: Olkoon p = 7. Nyt 2 p 1 = 2 6 = = (5.133) ( ) 5 (mod 7 2 ). (5.134) Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). 5.4 Polynomien kongruenssi Määritelmä 5.5. Olkoot n Z 2 ja jolloin asetetaan P (x) = Q(x) = n p k x k Q[x], n q k x k Q[x], P (x) Q(x) (mod n) Lause Olkoon p P, tällöin polynomirenkaassa Q[x]. p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (5.135) (x + 1) p x p + 1 (mod p). (5.136) Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla p ( ) p (x + 1) p = x k (5.137) k x p + 0 x p x p x + 1 = x p + 1 (mod p). 50

52 Lause Olkoot n Z 2 ja f(x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (5.138) Tällöin f(g(x)) f(h(x)) (mod n). (5.139) Lause Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (5.140) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (5.141) (x pr ) p + 1 = x pr (mod p) (5.142) =O.P. Kohdassa (5.141) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 5.13 sekä kohdassa (5.141) Lausetta Seurauksena saadaan Lause Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 k (mod p) k = 1,..., p r 1. (5.143) Lause 5.14 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (5.144) polynomirenkaassa Q[x, y]. 51

53 Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause Olkoot p P ja r N. Tällöin (x x m ) pr x pr x pr m (mod p) (5.145) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. 5.5 Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 5.6. Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä. Määritelmä 5.7. Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (5.146) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (5.147) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. Sovelletaan Lausetta 5.17 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A A m ) pr Huomaa, että (5.148) on Pikku-Fermat n yleistys. Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 A pr A pr m (mod p). (5.148) n i p i, 0 n i p 1 (5.149) on yksikäsitteinen. 52

54 Lause LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. (5.150) Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (5.151) Todistus. Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n 2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n 2 (mod p) (5.152) Lauseen 5.14 nojalla. Sama binomikehitelmillä n 0 ( n0 i i 0 =0 0 p 1 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n n 1 ( n1 i i 1 =0 1 p 1 ( n1 ( ) n x k k ) x pi 1 ) x pi 1 i i 1 =0 1 i 2 =0 ( )( )( n0 n1 n2 i 0 i 1 n 2 ( n2 i i 2 =0 2 p 1 ( n2 i 2 i 2 ) x p2 i 2 = ) x p2 i 2 = ) x i 0+i 1 p+i 2 p (mod p). (5.153) Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p , joka saadaan, kun k = k 0 + k 1 p + k 2 p = i 0 + i 1 p + i 2 p (5.154) 53

55 Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (5.153) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (5.155) Esim: p = 7, n = 11 = , k = 5 = , joten ( ) ( )( ) ( )( ) 11 n0 n1 4 1 = = 0 1 = (mod 7). (5.156) k 0 k 1 6 Summausmenetelmiä 6.1 Polynomialgebran sovelluksia ESIM: Lähdetään identiteetistä (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (6.1) josta n j=0 ( ) n x j j Caychyn kertosäännöllä ( n+m josta j+l=k m l=0 ( )( n m j l j+l=k,0 j,l k ( ) m x l = l ) ) x k = ( )( ) n m j l Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( ) n m = j m j ( ) 2m ; m n+m n+m ( n + m k ( n + m k ( ) n + m = k m j=0 ( ) 2 m = j ) x k. (6.2) ) x k, (6.3) (6.4) ( ) 2m. (6.5) m 54

56 6.2 Teleskoopit Teleskooppisumma ja teleskooppitulo n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (6.6) i=0 n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (6.7) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = n(n + 1) 2 (6.8) n k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (6.9) n ( ) 2 n(n + 1) k 3 = (6.10) 2 n (2k + 1) = (n + 1) 2 (6.11) Johdetaan (6.11) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (6.12) Otetaan summat (6.12) molemminpuolin, jolloin n (2k + 1) = Johdetaan vielä lähtemällä erotuksesta n (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n + 1) 2. (6.13) j=0 j 1 j! = 0 (6.14) 1 k! 1 (k + 1)! = k (k + 1)!. (6.15) 55

57 Summataan (6.15) puolittain, jolloin saadaan n ( ) 1 k! 1 = (k + 1)! n k (k + 1)!. (6.16) Yhtälön (6.16)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten n k (k + 1)! = 1 1 (n + 1)!, (6.17) josta raja-arvona saadaan eli (6.14). k (k + 1)! = 1 (6.18) 7 Fibonaccin ja Lucasin luvut 7.1 Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 7.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (9.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (9.2) muodostavat Lucasin luvut. Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13,... (9.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29,... (9.4) 56

58 Ratkaistaan rekursio v n+2 = v n+1 + v n, n N, (9.5) yritteellä v n = x n, x C. (9.6) Rekursiosta (9.5) saadaan jonka ratkaisut ovat x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (9.7) α = Lause 7.1. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (9.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan, β = 1 5. (9.8) 2 F n = aα n + bβ n (9.9) F n+2 = aα n+2 + bβ n+2 = a(α n+1 + α n ) + b(β n+1 + β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (9.10) Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa mistä saadaan f n = aα n + bβ n (9.11) f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (9.12) Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (9.12), josta a + b = 0, a b = 1 (9.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. 57

59 Lause 7.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla (( ) f n = 1 n ( ) n ), (9.14) 5 l n = ( ) n ( 5 1 ) n 5 +. (9.15) 2 2 HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (9.14) ja (9.15) saadaan likiarvo nopeasti. Lause 7.3. f 2k = f 2k+1 = α 2k 5 α 2k+1 5 k N, (9.16) k N. (9.17) Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska α = = , (9.18) ja α 1 = α 1 = , niin β = = 1 α = (9.19) Siten β n / 5 < 1 n N. Tarkemmin laskareissa. 7.2 Matriisiesitys Olkoon F = 1 1 = f 2 f 1. (9.20) 1 0 f 1 f 0 58

60 Lasketaan potensseja F 2 = 2 1 = f 3 f 2, 1 1 f 2 f 1 F 3 = 3 2 = f 4 f 3. (9.21), f 3 f 2 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (9.22) Nyt Lause 7.4. Olkoon F 0 = I = 1 0 = f 1 f 0. (9.23) 0 1 f 0 f 1 F n = F n n N. (9.24) Tällöin F n = f n+1 f n f n f n 1. (9.25) Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (9.20) ja (9.23). Induktio-oletus: Identiteetti (9.24) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan F k+1 = F 1 F k = 1 1 f k+1 f k = 1 0 f k+1 + f k f k + f k 1 = f k+2 f k+1 f k+1 f k f k+1 f k f k f k 1 = F k+1. (9.26) Lause 7.5. Olkoot n, m N, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (9.27) 59

61 Todistus. Sovelletaan identiteettiä f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (9.28) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (9.29) F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (9.30) jolloin f n+m+1 f n+m f n+m = f n+1 f n f n+m 1 f n f n 1 f n+1f m+1 + f n f m f n f m+1 + f n 1 f m f m+1 f m f m f m 1 = f n+1 f m + f n f m 1. (9.31) f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (9.31) alkioita saadaan (9.27), josta edelleen saadaan (9.28) ja (9.29). Lause 7.6. Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (9.32) Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (9.24), jolloin n f n+1 f n = 1 1. (9.33) 1 0 f n f n 1 Lause 7.7. Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (9.34) 60

62 Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+1 sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 = 2 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 siten r n = syt(a, b) = 1. (9.35) Edelleen saadaan r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (9.36) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (9.37) t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) = f 5 f 6 f 4 f 7. (9.38) 61

63 Lause 7.8. Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (9.39) Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n < r k+2 < r k+1 0 < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. Täten r n 1 = f 2, r n 1 2 = f 3, r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (9.40) ja siten a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (9.41) Epäyhtälön (9.41) todistus laskareissa. 7.3 Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k 62

64 sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (9.42) n=0 Seuraavaksi käytetään rekursiota (9.1), jolloin F (z) = z f n+1 z n+1 + z 2 n=0 n=0 z f k z k + z 2 k=1 f n z n + f 1 z + f 0 = f k z k + f 1 z + f 0 = z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (9.43) Yhtälöstä (9.43) saadaan ratkaisu Lause 7.9. Sarjalla on esitys rationaalifunktiona Määritelmä 7.2. Sarja F (z) = F (z) = F (z) = z 1 z z 2. f k z k z 1 z z 2. F (z) = f k z k (9.44) on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. z 1 z z 2 (9.45) 63

65 Määritelmä 7.3. Polynomi K(x) = K f (x) = x 2 x 1 on rekursion (9.1) karakteristinen polynomi. Huomaa, että K f (x) = (x α)(x β), (9.46) joten F (z) = 1/z (1/z α)(1/z β) = 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = z (1 αz)(1 βz). (9.47) Jaetaan (9.47) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin F (z) = 1 ( αz 1 ) = 1 βz 1 ( α k β k) z k = f k z k. (9.48) 5 Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet n esitys (9.14). 7.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa f k+2 = f k+1 + f k (9.49) negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla k = 1, 2,..., saadaan f 1 = f 0 + f 1 f 1 = 1, (9.50) f 0 = f 1 + f 2 f 2 = 1, (9.51) f 1 = f 2 + f 3 f 3 = 2,... (9.52) 64

66 Sijoitetaan k = n rekursioon (9.49), jolloin f n = f (n 1) + f (n 2). (9.53) Lause f n = ( 1) n+1 f n n N. (9.54) Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (9.53). Äskeisen tuloksen nojalla Lause 9.4 laajenee myös negatiiviselle puolelle. Lause Olkoon ja F = F n = F n n Z. (9.55) Tällöin F n = f n+1 f n f n f n 1. (9.57) Todistus. n 0 kts. Lause 9.4. n 0. Alkuaskel: n = 1. Aluksi määrätään käänteismatriisi F 1 = 0 1 (9.58) 1 1 ja toisaalta F 1 = f 0 f 1 f 1 f 2 = 0 1. (9.59) 1 1 Laskareissa loput. Edelleen Lauseet 9.5 ja 9.6 laaajenevat negatiivisiin indekseihin. 65

67 Lause Olkoot n, m Z, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (9.60) f 2m+1 = fm fm, 2 (9.61) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (9.62) Huomaa, että (9.60) on yhtäpitävä kaavan f n+m = f n+1 f m + f n f m 1 (9.63) kanssa. Lause Olkoon n Z, tällöin f n+1 f n 1 fn 2 = ( 1) n. (9.64) Lause Olkoot n, r, N, M Z, tällöin f n f rn, (9.65) ja jos (M, N) = d, niin ja jos M N, niin (f M, f N ) = f d (9.66) f M f N f MN. (9.67) Todistus. Kohta (9.65). Relaatiosta (9.62) saadaan f 2n = f n (f n+1 + f n 1 ), (9.68) joten saadaan induktion alkuaskel f n f 2n. (9.69) Sijoitetaan m = rn yhtälöön (9.63), jolloin f (r+1)n = f n+1 f rn + f n f rn 1, (9.70) 66

68 jonka avulla saadaan induktioaskel ja siten (9.65) todistettua arvoilla r 1. Koska f 0 = 0, niin f n f 0 aina, kun n Z. Tapaus r 0 pienin säädöin vastaavasti. Kohta (9.66). Nyt M = dm ja N = dk, joillakin m, k Z. siten kohdan (9.65) nojalla f d f M, f d f N. (9.71) Lauseen 3.4 nojalla on olemassa sellaiset r, s Z, että d = rn + sm, joten jälleen kaavan (9.63) nojalla f d = f rn+sm = f rn+1 f sm + f rn f sm 1. (9.72) Jos, nyt c f M, c f N, (9.73) niin kohdan (9.65) nojalla c f sm, c f rn. (9.74) Täten kohdan (9.72) nojalla saadaan c f d. (9.75) Kohdan (9.71) nojalla f d on yhteinen tekijä ja kohdan (9.75) nojalla suurin tekijä. Kohta (9.67) laskarit. 7.5 f n (mod k) Tarkastellaan Fibonaccin jonoa (f n ) = (f n ) n=0 (mod k). ESIM: (f n ) (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,...) (mod 2). (9.76) 67

69 (f n ) (0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,...) (mod 3). (9.77) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1,...) (mod 5). (9.78) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 3, 3...) (mod 10), (9.79) f 15 = f 30 = f 45 = f 60 0, f 61 = f 62 1 (mod 10). (9.80) Siten f 3+l f l (mod 2), l N. (9.81) f 8+l f l (mod 3), l N. (9.82) f 20+l f l (mod 5), l N. (9.83) f 60+l f l (mod 10), l N. (9.84) Määritelmä 7.4. Jonon (a l ) jakso on luku J = J a Z +, jolle pätee a l+j = a l l N. Minimijakso=MJ a =min{j Z + J = jakso}. Tarkastellaan jonoa (f n ) Z k = {0,..., k 1} ja olkoon J f = J f (k). ESIM: MJ f (2) = 3, MJ f (3) = 8, MJ f (5) = 20, MJ f (10) = 60. (9.85) Koska niin joukossa #Z 2 k = #{(a, b) a, b Z k } = k 2, (9.86) {(f l, f l+1 ) l = 0, 1,..., k 2 } (9.87) on sellaiset alkiot, että (f l, f l+1 ) = (f h, f h+1 ) (9.88) 68

70 ja 0 l < h k 2. Olkoon J = h l, tällöin f l+j = f l, f l+j+1 = f l+1 (9.89) ja siten rekursion nojalla f n+j = f n n N, (9.90) misså 1 J k 2. Esim: J f (10) = 60 < f n (mod p) Binet n kaavan (9.14) avulla josta 1 2 n 5 (( ) n f n = 1 2 n 5 ( n ( 1 n 2 n 5 i i=0 ( ) n n 1 f n = Lause Olkoon p P 7. 1.) Jos, (( 1 + ) n ( 5 1 ) n ) 5 = n 1 2 j=0 ) ( 5 i ( 5 ( ) n ) ) i = ( ) n 2 ) , (9.91) 3 ( ) n 5 j. (9.92) 2j p (mod p), (9.93) niin 2.) Jos, f p 1 0 (mod p) ja MJ f (p) p 1. (9.94) 5 p (mod p), (9.95) 69

71 niin f p+1 0 (mod p) ja MJ f (p) 2p + 2. (9.96) Myöhemmin neliöjäännösteorian avulla osoitetaan, että 1.) (9.93) p = 5m ± 1. 2.) (9.95) p = 5m ± 2. Todistus. Yhtälöstä (9.92) saadaan 2 p 1 f p = 2 p 1 j=0 ( ) p 5 j = 2j + 1 josta Lauseiden 4.5 ja 6.7 nojalla ( ) p + 1 ( ) p f p 5 p 1 2 (mod p). (9.98) Edelleen asettamalla n = p + 1 yhtälöön (9.92) saadaan Tässä ( ) p 5 p 1 2, (9.97) p p 2 ( ) ( ) ( ) p + 1 p + 1 p p f p+1 = 5 j = j j=0 ( ) p p 1 2. (9.99) p ( ) p + 1 = 3 (p + 1)p(p 1) (mod p) (9.100) ja yleisemminkin pätee ( ) p k (mod p) 2 k p 1. (9.101) Siten yhtälön (9.99) nojalla 2f p p 1 2 (mod p). (9.102) Merkitään a = 5 p 1 2, jolloin a 2 1 (mod p). Nyt Lauseen 6.8 todistuksen nojalla a ±1 (mod p). 1.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla f p 1, f p+1 1 (mod p). (9.103) 70

72 Täten, ensin rekursion avulla f p 1 0 (mod p) (9.104) ja edelleen rekursion nojalla f p 1+l f l (mod p) l N, (9.105) joten J f (p) = p 1. 2.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla f p 1, f p+1 0 = f 0 (mod p). (9.106) Täten f p+2 1 = f 1 (mod p), (9.107) f p+3 1 = f 2 (mod p) (9.108) ja edelleen sekä f 2p+1 f p 1 (mod p) (9.109) f 2p+2 f p+1 0, (mod p) (9.110) joten J f (p) = 2p + 2. ESIM: 1.) p = 11 ja 5 p 1 2 = (mod 11). Nyt 11 f 10 ja MJ f (11) = 10 = p 1. p = 29 ja 5 p 1 2 = (mod 29). Nyt 29 f 28 mutta MJ f (29) = 14 = (p 1)/2. 2.) p = 7 ja Nyt 7 f 8 ja MJ f (7) = 16 = 2p p 1 2 = (mod 7). 71

73 8 Lucasin jonot 8.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 8.1. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (10.1) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (10.1) yritteellä w n = x n, x C. (10.2) Kuten pykälässä 9. rekursiosta (10.1) saadaan x 2 rx s = 0, (10.3) jonka ratkaisut ovat α = r + r 2 + 4s 2 Määritelmä 8.2. Polynomi, β = r r 2 + 4s. (10.4) 2 K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (10.5) on rekursion (10.1) karakteristinen polynomi. Lause 8.1. Olkoot a, b C. Tällöin w n = aα n + bβ n (10.6) on rekursion (10.1) ratkaisu. 72

74 1.) Olkoon r 2 + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (10.1) kaikki ratkaisut ovat muotoa (10.4), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Olkoot erityisesti jota sanotaan Fibonaccin muodoksi ja F n = 1 α β (αn β n ), (10.7) L n = α n + β n, (10.8) jota sanotaan Lucasin muodoksi. Huomaa, että αβ = s, α + β = r, α β = r2 + 4s ja F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = r, L 0 = 2, L 1 = r, L 2 = r 2 + 2s. Lause 8.2. L n = F 2n F n. (10.9) Todistus. Suoraan laskemalla ESIM:Rekursion F 2n F n = α2n β 2n α n β n = αn + β n = L n. (10.10) w n+2 = w n+1 w n (10.11) karakteristinen polynomi on K w (x) = x 2 x + 1 = (x α)(x β), (10.12) missä α = 1 + i 3 2, β = 1 i 3. (10.13) 2 Siten rekursion (10.11) yleinen ratkaisu on muotoa (10.6). a). Olkoot alkuarvot w 0 = 2 ja w 1 = 2, tällöin ( w n = 3 i i ) n ( i 3 1 i ) n 3. (10.14)

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28 TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 83 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 ABSTRACT 2 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2 2.1 LUKUJA SEKÄ TYÖKALUJA...................

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2018 LUKUTEORIA 1 / 86 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...

Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,... Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo. 14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot