802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III"

Transkriptio

1 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77

2 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-adisten lukujen kunta.) Esimerkki 1 5 / Q. (1.1) LUKUTEORIA 2 / 77

3 Irrationaaliluvuista I todistus. Jos, olisi niin 5 = m n Q, m n, (1.2) 5n 2 = m 2 5 m 2 5 m (1.3) 5 2 m 2 = 5n 2 5 n 2 5 n. (1.4) Selvästi tulokset (1.3) ja (1.4) ovat ristiriidassa valinnan m n kanssa. LUKUTEORIA 3 / 77

4 Irrationaaliluvuista II todistus. Jos, olisi m 5 = Q, m n, (1.5) n niin sellaiset luvut s, t Z, että 1 = sm + tn. (1.6) Siten 5 = sm 5 + tn 5 = s5n + tm Z (1.7) mutta Ristiriita. 2 < 5 < 3. (1.8) LUKUTEORIA 4 / 77

5 Irrationaaliluvuista Määritelmä 2 Luku m Z on neliövapaa (square-free), jos ehdosta a 2 m, a Z, välttämättä seuraa a 2 = 1. Tulos (1.1) yleistyy tulokseksi (Harjoitustehtävä 46) Lause 1 Olkoon D Z, D 1, neliövapaa. Tällöin D / Q. (1.9) LUKUTEORIA 5 / 77

6 Irrationaaliluvuista Esimerkki 2 Todistus. Jos olisi niin mikä on mahdotonta. log 2 log 3 / Q. (1.10) log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (1.11) 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (1.12) LUKUTEORIA 6 / 77

7 Irrationaaliluvuista Esimerkki 3 log 2 / Q. (1.13) Ei todisteta. Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 2. Lause 2 Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n 1 + r n / Q. (1.14) Todistus perustuu Wilesin tulokseen (??). LUKUTEORIA 7 / 77

8 Irrationaaliluvuista Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim ) n = n n k=0 1 k!. (1.15) Lause 3 Neperin luku e on irrationaalinen. I Todistus. Olkoon siis vastaoletuksena e = a b Q, a, b Z+, a b. (1.16) LUKUTEORIA 8 / 77

9 Irrationaaliluvuista Valitaan sellainen kokonaisluku m, että m Z +, b m (1.17) ja merkitään Aluksi huomataan, että A = m! ( e m k=0 ) 1. (1.18) k! A = m!a b m! m k=0 1 Z. (1.19) k! Toisaalta A = m! k=m+1 1 k!, (1.20) LUKUTEORIA 9 / 77

10 Irrationaaliluvuista joten saadaan arviot ( ) 1 0 < A = m! (m + 1)! + 1 (m + 2)! + 1 (m + 3)! m (m + 1)(m + 2) + 1 (m + 1)(m + 2)(m + 3) +... = ( ) m (m + 2)(m + 3) +... < ( ) m + 1 m (m + 1) = 1 1. (1.21) m 1 m + 1 Siten A Z ja 0 < A < 1, jotka ovat ristiriidassa. = LUKUTEORIA 10 / 77

11 Irrationaaliluvuista II Todistus. e 1 ( 1) k =. (1.22) k! k=0 Olkoon siis vastaoletuksena e 1 = b a Q, a, b Z+, a b. (1.23) Valitaan sellainen kokonaisluku m, että m Z +, a m (1.24) ja merkitään ( ) m B = m! e 1 ( 1) k. (1.25) k! k=0 LUKUTEORIA 11 / 77

12 Irrationaaliluvuista Aluksi huomataan, että B = m!b a m m! ( 1) k k! k=0 Z. (1.26) Toisaalta B = m! k=m+1 ( 1) k. (1.27) k! LUKUTEORIA 12 / 77

13 Irrationaaliluvuista Käytetään alternoivien sarjojen ominaisuuksia. Olkoon r n > r n+1 > r n+2 >... > 0, r n 0, (1.28) ja s n := r n r n+1 + r n+2 r n (1.29) Tällöin 0 < s n = r n s n+1 < r n. (1.30) Sovelletaan tulosta (1.30), kun r n = 1 n!. LUKUTEORIA 13 / 77

14 Irrationaaliluvuista Nyt esityksestä (1.27) saadaan B = m! k=m+1 ( 1) k k! = m! ( 1) m+1 (r m+1 r m+2 + r m+3 r m ) = m!s m+1 (1.31) Siispä 0 < B = m!s m+1 < m!r m+1 = m! (m + 1)! = 1 m (1.32) Siten B Z ja 0 < B < 1, jotka ovat ristiriidassa. LUKUTEORIA 14 / 77

15 Antiikin lukuja Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut Lukuja T n = n kutsutaan kolmioluvuiksi (triangular numbers). Aritmeettisen sarjan summakaavalla ja binomikertoimen määritelmällä saadaan ( ) n + 1 T n = kaikilla n Z +. 2 Lukuja n = n 2 kutsutaan neliöluvuiksi (square numbers). Lukuja T n = T 1 + T T n kutsutaan tetraedriluvuiksi (tetrahedral numbers). Käyttämällä Pascalin kolmion palautuskaavaa (??) saadaan T n = n ( ) k + 1 = 2 k=1 n (( ) ( )) ( ) k + 2 k + 1 n + 2 =. (2.1) k=1 LUKUTEORIA 15 / 77

16 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Määritelmä 3 Kolmikko (a, b, c) Z 3 1 mikäli syt(a, b, c) = 1 ja on primitiivinen Pythagoraan lukukolmikko, a 2 + b 2 = c 2. (2.2) Tutkitaan ensin pariteettia. Oletetaan aluksi, että mistä saadaan 2 a ja 2 b, 2 c 2 2 c, ristiriita. Muut parit vastaavasti, eli ainakin kaksi luvuista on parittomia. Edelleen, jos olisi a = 2l + 1 ja b = 2k + 1 c 2 = a 2 + b 2 2 (mod 4), ristiriita. LUKUTEORIA 16 / 77

17 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Siis toinen luvuista a ja b on parillinen, muut parittomia. Olkoon vaikka Nyt kaikille alkuluvuille p pätee Vastaavasti muille pareille, joten a = 2l + 1 ja b = 2k. p a ja p b p c 2 p c, ristiriita. syt(a, b) = syt(a, c) = syt(b, c) = 1. Lähdetään yhtälöstä (23.7), joka on yhtäpitäävää yhtälön kanssa Koska 2 a, niin a = r i=1 a 2 = (c b)(c + b) p α i i 2 p i P i = 1, 2,..., r. LUKUTEORIA 17 / 77

18 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Valitaan jolloin Jos p α i i a p 2α i i (c b)(c + b). p i c b ja p i c + b p i 2c ja p i 2b p i c ja p i b, ristiriita. Siis joko p 2α i i c b tai p 2α i i c + b. LUKUTEORIA 18 / 77

19 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut c b = j J ( p 2α j j = c + b = l L p 2α l l = j J ( l L p α j j p α l l ) 2 ja ) 2, missä J L = {1, 2,..., r} J L =. Huomaa, että b on parillinen ja c pariton, eli 2 c b ja 2 c + b, ja että syt(c b, c + b) = 1. Nyt siis on olemassa sellaiset luonnolliset luvut s ja t, syt(s, t) = 1, että LUKUTEORIA 19 / 77

20 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut { c + b = s 2 c b = t 2 {c = s2 +t 2 2 b = s2 t 2 2 a 2 = s 2 t 2 a = st. Osoita vielä laskemalla, että kolmikko ja (a, b, c) = (st, s2 t 2 toteuttaa Pythagoraan yhtälön (2.2). Saadaan siis seuraava 2, s2 + t 2 ) (2.3) 2 LUKUTEORIA 20 / 77

21 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Lause 4 Yhtälön a 2 + b 2 = c 2 (2.4) primitiiviset ratkaisut saadaan parametrimuodossa a = st, b = s2 t 2 2, (2.5) c = s2 +t 2 2, missä s, t 2Z + 1, s > t 1 ja syt(s, t) = 1. LUKUTEORIA 21 / 77

22 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Esimerkki 4 Olkoon t = 1. Annetaan luvulle s parittomia arvoja s = = 5 2 s = = s = 2m + 1 (2m + 1) 2 + (4T m ) 2 =. (2m 2 + 2m + 1) 2. LUKUTEORIA 22 / 77

23 Antiikin lukuja Pythagoraan luvut Esimerkki 5 Olkoon t = 2k 1 ja s = 2k + 1. Nyt a = 4k 2 1, b = 4k, c = 4k Saatiin siis ratkaisu, missä c a = 2. LUKUTEORIA 23 / 77

24 Antiikin lukuja Heronin luvut Määritelmä 4 Neliövapaa luku n Z + on Heronin luku eli kongruentti luku, jos sellaiset rationaaliluvut A, B, C Q +, että { A 2 + B 2 = C 2 ; n = AB 2. (2.6) Lause 5 Neliövapaa luku n Z + on kongruentti luku on olemassa sellaiset kokonaisluvut d, s, t Z +, että { s, t 2Z + 1, s > t 1, s t; 4nd 2 = st(s 2 t 2 ). (2.7) LUKUTEORIA 24 / 77

25 Antiikin lukuja Heronin luvut Todistus. : Siis (2.6) toteutuu. Olkoon d := p.y.j(den A, den B, den C), a := da, b := db, c := dc Z +, (2.8) jolloin { a 2 + b 2 = c 2 ; s.y.t.(a, b, c) = 1. (2.9) LUKUTEORIA 25 / 77

26 Antiikin lukuja Heronin luvut Siten Lauseen 4 nojalla on olemassa sellaiset s, t 2Z + 1, että s > t 1, syt(s, t) = 1 ja a = st, b = s2 t 2 2, (2.10) c = s2 +t 2 Edelleen 2. n = AB 2 = 1 st s 2 t 2 2 d 2d 4nd 2 = st(s 2 t 2 ). (2.11) LUKUTEORIA 26 / 77

27 Antiikin lukuja Heronin luvut : Valitaan A := st d ; B := s2 t 2 2d ; (2.12) C := s2 +t 2 2d. Tällöin saadaan { A 2 + B 2 =... = C 2, n =... = AB 2. (2.13) Joten (2.6) toteutuu. LUKUTEORIA 27 / 77

28 Antiikin lukuja Heronin luvut Esimerkki 6 Olkoot A = 3 2, B = 20 3, C = (2.14) Tällöin { A 2 + B 2 = C 2, AB 2 = 5, (2.15) joten n = 5 on Heronin luku. LUKUTEORIA 28 / 77

29 Antiikin lukuja Heronin luvut Heronin lukuja: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41,... Huomautus 1 Heronin luvut liittyvät elliptisiin käyriin y 2 = x 3 n 2 x. (2.16) LUKUTEORIA 29 / 77

30 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 5 Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (3.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (3.2) muodostavat Lucasin luvut. Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13,... (3.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29,... (3.4) LUKUTEORIA 30 / 77

31 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Ratkaistaan rekursio v n+2 = v n+1 + v n, n N, (3.5) yritteellä Rekursiosta (3.5) saadaan v n = x n, x C. (3.6) jonka ratkaisut ovat x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (3.7) α = , β = 1 5. (3.8) 2 LUKUTEORIA 31 / 77

32 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Lause 6 Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (3.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan F n = aα n + bβ n (3.9) F n+2 = aα n+2 + bβ n+2 = a(α n+1 + α n ) + b(β n+1 + β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (3.10) LUKUTEORIA 32 / 77

33 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa f n = aα n + bβ n, (3.11) mistä saadaan f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (3.12) Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (3.12), josta a + b = 0, a b = 1 (3.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. LUKUTEORIA 33 / 77

34 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Lause 7 Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla (( ) n ( ) n ) f n = 1 5 l n = ( , (3.14) 1 + ) n ( 5 1 ) n 5 +. (3.15) 2 2 Siis missä Huomaa, että f n = 1 5 (α n β n ), l n = (α n + β n ), (3.16) α = , β = 1 5. (3.17) 2 αβ = 1, α + β = 1, α β = 5. (3.18) LUKUTEORIA 34 / 77

35 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Lause 8 l n = f 2n f n. (3.19) Todistus. Suoraan laskemalla f 2n f n = α2n β 2n α n β n = α n + β n = l n. (3.20) LUKUTEORIA 35 / 77

36 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Huomautus 2 Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus). Mutta eksplisiittisistä esityksistä (3.14) ja (3.15) saadaan likiarvo nopeasti, jolloin voi soveltaa seuraavaa tulosta. Lause 9 f 2k = α 2k 5 k N, (3.21) f 2k+1 = α 2k+1 5 k N. (3.22) LUKUTEORIA 36 / 77

37 Fibonaccin ja Lucasin luvut Rekursio ja Binet n kaava Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska α = = , (3.23) ja α 1 = α 1 = , niin Siten Tarkemmin laskareissa. β = = 1 α = (3.24) β n / 5 < 1 n N. (3.25) LUKUTEORIA 37 / 77

38 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Olkoon Lasketaan potensseja F = F 2 = F 3 = ( ) 1 1 = 1 0 ( ) 2 1 = 1 1 ( ) 3 2 = 2 1 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. ( ) f2 f 1. (3.26) f 1 f 0 ( ) f3 f 2, (3.27) f 2 f 1 ( ) f4 f 3. (3.28) f 3 f 2 LUKUTEORIA 38 / 77

39 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (3.29) Nyt F 0 = I = ( ) ( ) 1 0 f1 f = 0. (3.30) 0 1 f 0 f 1 Lause 10 Olkoon Tällöin ( fn+1 f F n = n f n f n 1 ). (3.31) F n = F n n N. (3.32) LUKUTEORIA 39 / 77

40 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (3.26) ja (3.30). Induktio-oletus: Identiteetti (3.32) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan ( ) ( ) F k+1 = F 1 F k 1 1 fk+1 f = k = (3.33) 1 0 f k f k 1 ( ) ( ) fk+1 + f k f k + f k 1 fk+2 f = k+1 = F k+1. (3.34) f k+1 f k f k+1 f k LUKUTEORIA 40 / 77

41 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Lause 11 Olkoot n, m N, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (3.35) f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (3.36) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (3.37) LUKUTEORIA 41 / 77

42 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Todistus. Sovelletaan identiteettiä F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (3.38) jolloin ( fn+m+1 f n+m f n+m ( fn+1 f n f n f n 1 f n+m 1 ) ( fm+1 f m f m ) = (3.39) f m 1 ) = (3.40) ( ) fn+1 f m+1 + f n f m f n+1 f m + f n f m 1. (3.41) f n f m+1 + f n 1 f m f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (3.39) ja (3.41) vastinalkioita saadaan (3.35), josta edelleen saadaan (3.36) ja (3.37). LUKUTEORIA 42 / 77

43 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Lause 12 Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (3.42) Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (3.32), jolloin f n+1 f n = 1 1 n 1 0. (3.43) f n f n 1 LUKUTEORIA 43 / 77

44 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Lause 13 Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (3.44) Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin LUKUTEORIA 44 / 77

45 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+1 sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 = 2 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 LUKUTEORIA 45 / 77

46 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys siten Edelleen saadaan Seuraus 1 r n = syt(a, b) = 1. (3.45) r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (3.46) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (3.47) t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 (3.48) lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. LUKUTEORIA 46 / 77

47 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Esimerkki 7 Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) = f 5 f 6 f 4 f 7. (3.49) Lause 14 Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.50) LUKUTEORIA 47 / 77

48 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 0 < r k+2 < r k+1. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. LUKUTEORIA 48 / 77

49 Fibonaccin ja Lucasin luvut Matriisiesitys Täten r n 1 = f 2, (3.51) r n 1 2 = f 3, (3.52) r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. (3.53) Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (3.54) ja siten a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (3.55) Epäyhtälön (3.55) todistus laskareissa. LUKUTEORIA 49 / 77

50 Fibonaccin ja Lucasin luvut Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k (3.56) sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = k=0 f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (3.57) n=0 Seuraavaksi käytetään rekursiota (3.1), jolloin F (z) = z z f n+1 z n+1 + z 2 f n z n + f 1 z + f 0 = n=0 n=0 f k z k + z 2 f k z k + f 1 z + f 0 = k=1 k=0 z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (3.58) LUKUTEORIA 50 / 77

51 Fibonaccin ja Lucasin luvut Generoiva sarja Yhtälöstä (3.58) saadaan ratkaisu Lause 15 Sarjalla on esitys rationaalifunktiona F (z) = F (z) = F (z) = z 1 z z 2. (3.59) f k z k (3.60) k=0 z 1 z z 2. (3.61) LUKUTEORIA 51 / 77

52 Fibonaccin ja Lucasin luvut Generoiva sarja Määritelmä 6 Sarja F (z) = f k z k (3.62) k=0 on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. Määritelmä 7 Polynomi on rekursion (3.1) karakteristinen polynomi. z 1 z z 2 (3.63) K(x) = K f (x) = x 2 x 1 (3.64) LUKUTEORIA 52 / 77

53 Fibonaccin ja Lucasin luvut Generoiva sarja Huomaa, että joten F (z) = K f (x) = (x α)(x β), (3.65) 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = 1/z (1/z α)(1/z β) = z (1 αz)(1 βz). (3.66) Jaetaan (3.66) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin LUKUTEORIA 53 / 77

54 Fibonaccin ja Lucasin luvut Generoiva sarja F (z) = 1 ( αz 1 ) = 1 βz 1 (α k β k) z k = f k z k. (3.67) 5 k=0 k=0 Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet n esitys (3.14). LUKUTEORIA 54 / 77

55 Fibonaccin ja Lucasin luvut Laajennus negatiivisiin indekseihin Lauseiden 16, 17, 18 ja 19 todistuksia ei vaadita kokeessa. Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa f k+2 = f k+1 + f k (3.68) negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla k = 1, 2,..., saadaan f 1 = f 0 + f 1 f 1 = 1, (3.69) f 0 = f 1 + f 2 f 2 = 1, (3.70) f 1 = f 2 + f 3 f 3 = 2,... (3.71) Sijoitetaan k = n rekursioon (3.68), jolloin f n = f (n 1) + f (n 2). (3.72) LUKUTEORIA 55 / 77

56 Fibonaccin ja Lucasin luvut Laajennus negatiivisiin indekseihin Lause 16 f n = ( 1) n+1 f n n N. (3.73) Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (3.72). Äskeisen tuloksen nojalla Lause 10 laajenee myös negatiiviselle puolelle. Lause 17 Olkoon Tällöin ( fn+1 f F n = n f n f n 1 ). (3.74) F n = F n n Z. (3.75) LUKUTEORIA 56 / 77

57 Fibonaccin ja Lucasin luvut Laajennus negatiivisiin indekseihin Todistus. n 0 kts. Lause 10. n 0. Alkuaskel: n = 1. Aluksi määrätään käänteismatriisi ( ) F = 1 1 (3.76) ja toisaalta Sitten induktio. ( ) f0 f F 1 = 1 = f 1 f 2 ( ) 0 1. (3.77) 1 1 LUKUTEORIA 57 / 77

58 Fibonaccin ja Lucasin luvut Laajennus negatiivisiin indekseihin Edelleen, Lauseet 11 ja 12 laaajenevat negatiivisiin indekseihin. Lause 18 Olkoot n, m Z, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (3.78) f 2m+1 = fm fm, 2 (3.79) f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (3.80) Huomaa, että (3.78) on yhtäpitävä kaavan f n+m = f n+1 f m + f n f m 1 (3.81) kanssa. LUKUTEORIA 58 / 77

59 Fibonaccin ja Lucasin luvut Laajennus negatiivisiin indekseihin Lause 19 Olkoon n Z, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (3.82) LUKUTEORIA 59 / 77

60 Fibonaccin ja Lucasin luvut Jaollisuustuloksia Lause 20 Olkoot n, r, N, M Z, tällöin ja jos (M, N) = d, niin ja jos M N, niin f n f rn, (3.83) (f M, f N ) = f d (3.84) f M f N f MN. (3.85) LUKUTEORIA 60 / 77

61 Fibonaccin ja Lucasin luvut Jaollisuustuloksia Todistus. Kohta (3.83). Relaatiosta (3.80) saadaan joten saadaan induktion alkuaskel Sijoitetaan m = rn yhtälöön (3.81), jolloin f 2n = f n (f n+1 + f n 1 ), (3.86) f n f 2n. (3.87) f (r+1)n = f n+1 f rn + f n f rn 1, (3.88) jonka avulla saadaan induktioaskel ja siten (3.83) todistettua arvoilla r 1. Koska f 0 = 0, niin f n f 0 aina, kun n Z. Tapaus r 0 pienin säädöin vastaavasti. LUKUTEORIA 61 / 77

62 Fibonaccin ja Lucasin luvut Jaollisuustuloksia Kohta (3.84). Nyt M = dm ja N = dk, joillakin m, k Z. siten kohdan (3.83) nojalla f d f M, f d f N. (3.89) Lauseen?? nojalla on olemassa sellaiset r, s Z, että joten jälleen kaavan (3.81) nojalla d = rn + sm, (3.90) f d = f rn+sm = f rn+1 f sm + f rn f sm 1. (3.91) LUKUTEORIA 62 / 77

63 Fibonaccin ja Lucasin luvut Jaollisuustuloksia Jos, nyt niin kohdan (3.83) nojalla Täten kohdan (3.91) nojalla saadaan c f M, c f N, (3.92) c f sm, c f rn. (3.93) c f d. (3.94) Kohdan (3.89) nojalla f d on yhteinen tekijä ja kohdan (3.94) nojalla suurin tekijä. Kohta (3.85) laskarit. LUKUTEORIA 63 / 77

64 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod k) Tarkastellaan Fibonaccin jonoa (f n ) = (f n ) n=0 (mod k). Esimerkki 8 (f n ) (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,...) (mod 2). (3.95) (f n ) (0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1,...) (mod 3). (3.96) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1,...) (mod 5). (3.97) (f n ) (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7,...) (mod 10), (3.98) LUKUTEORIA 64 / 77

65 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod k) f 15 = f 30 = f 45 = f 60 0, f 61 = f 62 1 (mod 10). (3.99) Siten f 3+l f l (mod 2), l N. (3.100) f 8+l f l (mod 3), l N. (3.101) f 20+l f l (mod 5), l N. (3.102) f 60+l f l (mod 10), l N. (3.103) LUKUTEORIA 65 / 77

66 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod k) Määritelmä 8 Jonon (a l ) jakso on luku J = J a Z +, jolle pätee a l+j = a l l N. (3.104) Minimijakso= MJ a = min{j Z + J = jakso}. Olkoon J f = J f (k) Fibonaccin jonon jakso (mod k). Esimerkki 9 MJ f (2) = 3, MJ f (3) = 8, MJ f (5) = 20, MJ f (10) = 60. (3.105) LUKUTEORIA 66 / 77

67 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod k) Lause 21 Todistus. Tarkastellaan jonoa MJ f (k) k 2 k Z 2. (3.106) (f n ) Z k = {0,..., k 1} (3.107) Koska niin joukossa #Z 2 k = #{(a, b) a, b Z k} = k 2, (3.108) {(f l, f l+1 ) l = 0, 1,..., k 2 } (3.109) LUKUTEORIA 67 / 77

68 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod k) on sellaiset alkiot, että (f l, f l+1 ) = (f h, f h+1 ) (3.110) ja 0 l < h k 2. Olkoon J = h l, tällöin f l+j = f l, f l+j+1 = f l+1 (3.111) ja siten rekursion nojalla f n+j = f n n N, (3.112) missä 1 J k 2. Esimerkki 10 J f (10) = 60 < (3.113) LUKUTEORIA 68 / 77

69 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Binet n kaavan (3.14) avulla josta 1 2 n 5 (( ) n f n = 1 (( 2 n 1 + ) n ( 5 1 ) n ) 5 = 5 1 n 2 n 5 i=0 ( ) n n 1 f n = ( ) ( n 5 ( i ) ) i 5 = i ( ) n n 1 2 j=0 ( ) n 2 ) , (3.114) 3 ( ) n 5 j. (3.115) 2j + 1 LUKUTEORIA 69 / 77

70 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Lause 22 Olkoon p P 7. 1.) Jos, niin 2.) Jos, niin 5 p (mod p), (3.116) f p 1 0 (mod p) ja MJ f (p) p 1. (3.117) 5 p (mod p), (3.118) f p+1 0 (mod p) ja MJ f (p) 2p + 2. (3.119) Huomautus 3 Kurssilla Lukuteoria A osoitetaan neliöjäännösteorian avulla, että 1.) (3.116) p = 5m ± 1. 2.) (3.118) p = 5m ± 2. LUKUTEORIA 70 / 77

71 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Todistus. Yhtälöstä (3.115) saadaan 2 p 1 f p = p 1 2 j=0 ( ) p 5 j = 2j + 1 ( ) p + 1 ( ) p ( ) p 5 p 1 2, (3.120) p josta Lauseiden?? ja?? nojalla f p 5 p 1 2 (mod p). (3.121) Edelleen, asettamalla n = p + 1 yhtälöön (3.115) saadaan LUKUTEORIA 71 / 77

72 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) p 2 ( ) p p f p+1 = 5 j = 2j + 1 j=0 ( p ) + ( p ) ( ) p p 1 2. (3.122) p Tässä ( ) p + 1 (p + 1)p(p 1) = 0 (mod p) (3.123) ja yleisemminkin pätee ( ) p k (mod p) 2 k p 1. (3.124) Siten yhtälön (3.122) nojalla 2f p p 1 2 (mod p). (3.125) LUKUTEORIA 72 / 77

73 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Merkitään a = 5 p 1 2, jolloin a 2 1 (mod p). Nyt Lauseen?? todistuksen nojalla a ±1 (mod p). 1.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (3.121) ja (3.125) nojalla Täten, ensin rekursion avulla ja edelleen rekursion nojalla joten J f (p) = p 1. f p 1, f p+1 1 (mod p). (3.126) f p 1 0 (mod p) (3.127) f p 1+l f l (mod p) l N, (3.128) LUKUTEORIA 73 / 77

74 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) 2.) Olkoon a 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (3.121) ja (3.125) nojalla f p 1, f p+1 0 = f 0 (mod p). (3.129) Täten ja edelleen sekä joten J f (p) = 2p + 2. f p+2 1 = f 1 (mod p), (3.130) f p+3 1 = f 2 (mod p) (3.131) f 2p+1 f p 1 (mod p) (3.132) f 2p+2 f p+1 0, (mod p) (3.133) LUKUTEORIA 74 / 77

75 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Esimerkki 11 p = 11 1 (mod 5), jolloin Nyt 11 f 10 ja MJ f (11) = 10 = p 1. Esimerkki 12 p = 29 1 (mod 5) ja Nyt 29 f 28 mutta MJ f (29) = 14 = (p 1)/2. 5 p 1 2 = (mod 11). (3.134) 5 p 1 2 = (mod 29). (3.135) LUKUTEORIA 75 / 77

76 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) Esimerkki 13 p = 7 2 (mod 5) ja Nyt 7 f 8 ja MJ f (7) = 16 = 2p p 1 2 = (mod 7). (3.136) LUKUTEORIA 76 / 77

77 Fibonaccin ja Lucasin luvut f n (mod p) LUKUTEORIA 77 / 77

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä

Lisätiedot

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö

Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

Fibonaccin luvuista ja matriiseista

Fibonaccin luvuista ja matriiseista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Jännes Fibonaccin luvuista ja matriiseista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 01 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MARIA, JÄNNES:

Lisätiedot

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1

Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOUNI PARKKONEN 0. Lukijalle Tämä on syksyn 01 Johdatus matematiikkaan -kurssin teksti. Joitain asioita käsiteltiin luennolla enemmän kuin tässä tekstissä, samoin joistain asioista

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun

Lisätiedot