pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

Transkriptio

1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Tärkeitä kaavoja Porrasfunktiot Kokonaislukurengas Z Jaollisuus, alkuluvut Jakoalgoritmi Eukleideen algoritmi Kongruenssi Eräs kongruenssiryhmä Euler-Fermat Kiinalainen jäännöslause

2 5 Tuloksia ryhmistä Syklisten ryhmien perusteita Nopeaa potenssilaskentaa Diskreetti logaritmi Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Ryhmät Z n Primitiivijuuret Diskreetin logaritmin ongelma Funktioista

3 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALU- JA SALAUKSEEN LÄHTEITÄ: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly Linkkejä: Johdatus matemaattiseen päättelyyn 0-2

4 2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaislu P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvu Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 0-3

5 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. 0-4

6 Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) f(a m ), a A a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n f(p). p n,p P f(p). p n,p P 0-5

7 2.3 Tärkeitä kaavoja n k = k=0 n(n + 1) ; (2.1) 2 n k=0 n k=0 a k = an+1 1, a = 1; (2.2) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.3) k a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). (2.4) a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1), 2 n. (2.5) A n B n = (A B)(A n 1 +A n 2 B+ +AB n 2 +B n 1 ). (2.6) 0-6

8 2.4 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla aina, kun x R. x = min{n Z x n} 0-7

9 Lause 2.1. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.7) Tällöin k = x. (2.8) Edelleen x = x x R, (2.9) x x < x + 1 x R (2.10) x + k = x + k x R, k Z, (2.11) x + y x + y x, y R, (2.12) x y xy x, y R 0. (2.13) 0-8

10 Todistus: Luennolla (2.8), loput laskareissa. Merkintä: {x} = x x. (2.14) Huomataan, että 0 {x} < 1 (2.15) ja että {x} antaa positiivisen luvun x R + desimaaliosan. Esimerkki 2. {1.2} = 0.2 (2.16) mutta { 1.2} = 0.8 (2.17) 0-9

11 3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Käytetään merkintää b a, kun b ei jaa a:ta. Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä. Olkoot k, m, n, r, s Z. Tällöin ±1 k, ±k k; (3.2) 0 k k = 0; (3.3) k 0; (3.4) 0-10

12 k 1 k = ±1; (3.5) m n, n m n = ±m; (3.6) k m, m n k n; (3.7) k m, k n k rm + sn; (3.8) k m, k n k m ± n; (3.9) k m, k n k 2 mn; (3.10) k m k m h, k h m h, h Z + (3.11) 0-11

13 Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä. Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista m n m saadaan n = hm = hln h, l Z. (3.12) Tapaus n = 0. Tällöin (1 hl)n = 0 hl = 1 h = l = ±1 (3.13) Tapaus n = 0. Tällöin n = ±m. (3.14) m 0 m = 0 n = ±m. (3.15) Esimerkki , 0 a = 0. (3.16) 0-12

14 Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.17) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.18) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki , 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.19) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. 0-13

15 Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 pr t t, p i P, r i Z + (3.20) 0-14

16 on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin m n = pr 0 0 pr 1 1 pr t t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.21) Esimerkki 6. 1 = ( 1) , = = (3.22) 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.2. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.23) 0-15

17 Kun b Z +, niin q = a b. (3.24) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a b = 5 (3.25) a = 13 = , q = 4, r = 1, a b = 4 (3.26) Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common 0-16

18 divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; [Y T ] c a ja c b c d. [S] Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. Esimerkki 8. a) (23, 32) = 1 (3.27) b) (0, a) = a a Z, (3.28) erityisesti (0, 0) = 0. (3.29) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, 0-17

19 että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; [Y J] a g ja b g f g. [P ] Esimerkki 9. [0, 0] = 0 (3.30) Lause 3.3. Olkoot a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.31) 0-18

20 pyj(a, b) = m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.32) Esimerkki 10. Olkoot a = , b = , nyt syt(a, b)pyj(a, b) = = ab. (3.33) Lause 3.4. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.34) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.35) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. 0-19

21 E.A. Olkoot a, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.36) Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.37) 0-20

22 Asetetaan nyt R k = r k r k+1, Q k = q k 1, k N, (3.38) 1 0 jolloin det Q k = 1, Q k 1 = 0 1. (3.39) 1 q k Nähdään, että E.A. R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.40) jolloin pätee R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.41) Merkitään S 0 = s 0 t 0 = s 1 t (3.42) 0-21

23 ja S k = jolloin s k s k+1 t k t k+1 = Q 1 k Q 1 2 Q 1 1, (3.43) R k = S k R 0. (3.44) Nyt S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.45) eli s k+1 t k+1 s k+2 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.46) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.47) 0-22

24 Yhtälöstä (3.44) saadaan r n = s n a + t n b, (3.48) josta edelleen saadaan Lause 3.5. syt(a, b) = s n a + t n b, (3.49) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.50) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.51) 0-23

25 Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.52) niin a b. (3.53) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.54) niin ab c. (3.55) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.56) niin p a tai p b. (3.57) 0-24

26 Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.58) p k a n p a n. (3.59) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 2. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.60) 0-25

27 Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.61) Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.62) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. Lause 3.6. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a l m a m. (3.63) 0-26

28 4 Kongruenssi Esimerkki 12. Huomataan, että 17 = , 12 = , 7 = ,..., (4.1) jolloin on sovittu merkinnästä 17 2 (mod 5), (mod 5). (4.2) Määritelmä 4.1. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (4.3) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (4.4) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (4.4) modulus. Merkitään a b (mod n), (4.5) kun a ei ole kongruentti b:n kanssa modulo n. 0-27

29 Huom 4. Työkaluja: a b (mod n) a b 0 (mod n); (4.6) a 0 (mod n) n a. (4.7) Lause 4.1. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Olkoon n Z +, a, b, c Z. Tällöin pätee a a; (4.8) a b b a; (4.9) a b, b c a c; (4.10) kaikki kongruenssit (mod n). Lause 4.2. Kongruenssin laskusääntöjä. Olkoon n Z +, a, b, c, d, r, s Z, h N ja P (x) Z[x]. 0-28

30 Jos a b, c d, (4.11) niin ra + sc rb + sd; (4.12) a ± c b ± d; (4.13) ac bd; (4.14) a h b h ; (4.15) P (a) P (b); (4.16) kaikki kongruenssit (mod n). Todistus. Käytetään työkaluja (4.6) ja (4.7) sekä jaollisuuden laskusääntöjä. 0-29

31 Kohta (4.12): Oletuksista (4.11) seuraa n a b, n c d (4.17) ra+sc (rb+sd) = r(a b)+s(c d) 0 (mod n), (4.18) jolloin tuloksen (4.6) nojalla saadaan väite. Esimerkki 13. a a + ln (mod n) l Z. (4.19) Lause 4.3. Muita tuloksia. Olkoon n Z +, a, b, m Z. Tällöin pätee ma mb (mod n), m n (4.20) a b (mod n). (4.21) 0-30

32 a b (mod mn) (4.22) a b (mod n). (4.23) Huom 5. a b (mod n) (4.24) n a b a = b + l n, jollakin l Z (4.25) a b + nz = b, (4.26) missä b on edustajan b määräämä jakojäännösluokka (mod n). Lause 4.4. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (4.27) 0-31

33 Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (4.28) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (4.29) ab = ab. (4.30) Huom 6. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki = n 1+1 = n = 0, ( 1) 1 = 1 (mod n), (4.31) 0-32

34 2 1 = 1 2 = p (mod p), p P p 3. (4.32) Määritelmä 4.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (4.33) on renkaan R yksikköryhmä. Esimerkki 15. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (4.34) Lause 4.5. Joukko Z = {±1}. (4.35) {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (4.36) 0-33

35 Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin seurauksen (3.49) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (4.37) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (4.38) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (4.39) Määritelmä 4.3. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 0-34

36 Määritelmä 4.4. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (4.40) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (4.41) Lemma 4.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (4.42) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska φ(p m ) = p m ( 1 1 p ), p P, m Z +, (4.43) niin saadaan Lemma 4.2. Olkoon n = p a pa k φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... k, p i P. Tällöin ) (1 1pk (4.44) 0-35

37 eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (4.45) p 4.1 Eräs kongruenssiryhmä Lause 4.6. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) seuraa a b (mod q) (4.46) a b (mod pq). (4.47) B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (4.48) seuraa a b (mod m 1 m r ). (4.49) 0-36

38 Todistus. A) kohta: Oletuksista (4.46) seuraa Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla p a b, q a b. (4.50) pq a b a b (mod pq). (4.51) 4.2 Euler-Fermat Lause 4.7. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (4.52) Lause 4.8. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (4.53) a p a (mod p), a Z. (4.54) 0-37

39 Olettaen (4.53) todistetaan (4.54): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (4.53) nojalla a p a (mod p). (4.55) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (4.56) a p a (mod p). (4.57) Lause 4.9. Olkoon n = pq, missä p, q P, p = q. Tällöin a lφ(n)+1 a (mod n), a Z, l N. (4.58) nojalla Todistus: 1) Jos syt(a, n) = 1, niin Euler-Fermat n (4.52) a φ(n) 1 (mod n) a lφ(n) 1 (mod n) (4.59) 0-38

40 a lφ(n)+1 a (mod n). (4.60) 2) Jos syt(a, n) = 1, niin meillä on kolme tapausta: a 0 (mod n); (4.61) a 0 (mod p), a 0 (mod q); (4.62) a 0 (mod p), a 0 (mod q). (4.63) Tapaus (4.61): a 0 (mod n) a lφ(n)+1 0 (mod n). Tapaus (4.62): Nyt a 0 (mod p) a lφ(n)+1 0 (mod p) 0-39

41 a lφ(n)+1 a (mod p). (4.64) Toisaalta Pikku Fermat n (4.53) nojalla a q 1 1 (mod q) a (q 1)(p 1) 1 (mod q). (4.65) Koska φ(n) = φ(pq) = (q 1)(p 1), (4.66) niin a lφ(n)+1 a (mod q). (4.67) Soveltamalla Lausetta 4.6 tuloksiin (4.64) ja (4.67) saadaan a lφ(n)+1 a (mod pq). (4.68) Tapaus (4.63) kuten (4.62). 0-40

42 4.3 Kiinalainen jäännöslause Lause KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (4.69) ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (4.70) missä x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (4.71) n k M k 1 (mod m k ). (4.72) 0-41

43 5 Tuloksia ryhmistä Merkintää D H käytetään, kun ryhmä D on ryhmän H aliryhmä. Lemma 5.1. Aliryhmäkriteeri I. Olkoon H ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab 1 D, niin D on H:n aliryhmä. Lemma 5.2. Aliryhmäkriteeri II. Olkoon H äärellinen ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab D, niin D on H:n aliryhmä. 0-42

44 Olkoon A H. Joukkoa A = D A D H sanotaan joukon A generoimaksi aliryhmäksi. Käytetään myös merkintää a, b,..., c = {a, b,..., c}. Erityisesti a = {a k k Z} = a Z. Jos H on Abelin ryhmä, niin a, b = {a k b l k, l Z} = a Z b Z. 0-43

45 5.1 Syklisten ryhmien perusteita Lause 5.1. Olkoon (H, ) kertolaskuryhmä ryhmä, e = 1, α H. Ryhmän H osajoukko α = α Z = {α k k Z} H (5.1) on H:n aliryhmä. Määritelmä 5.1. Aliryhmä α = {α k k Z} on α:n generoima syklinen aliryhmä. Jos H = α, niin H on syklinen ryhmä ja α on H:n generaattori. Määritelmä 5.2. Ryhmän H kertaluku = #H ja alkion α kertaluku eli ord α = # α. (5.2) Lause 5.2. Lagrangen lause. Olkoot #D = d, #H = h <. Tällöin D H d h. (5.3) 0-44

46 Lause 5.3. Olkoon #H = h < ja α H. Tällöin ord α h. (5.4) Todistus: Lause 5.4. Olkoon H äärellinen ryhmä ja h = #H, tällöin a h = 1 a H. (5.5) Seuraus 5. Olkoon n Z +, jolloin Z n on ryhmä ja #Z n = φ(n). Siten a φ(n) = 1 a n, (5.6) josta edelleen saadaan Euler-Fermat n lause a φ(n) 1 (mod n) a n. (5.7) 0-45

47 Erikoistapauksena, jos p P, niin Z p on ryhmä ja #Z p = p 1. Siten a p 1 = 1 a p, (5.8) josta edelleen saadaan Fermat n pieni lause a p 1 1 (mod p) a p. (5.9) Lause 5.5. A. Jos ord α = n Z +, niin α = {1, α, α 2,..., α n 1 } ja α n = 1, (5.10) missä n Z + on pienin eksponentti k Z +, jolla α k = 1. B. Vice Versa. Lause 5.6. Olkoon α H, m Z +. Tällöin α m = 1 ord α m. (5.11) Esimerkki 16. Määrätään ryhmän H = Z 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, #H = 6 = φ(7). (5.12) 0-46

48 aliryhmät ja sykliset aliryhmät. mutta α 6 = 1, α Z 7 (5.13) 1 1 = 1, 2 3 = 1, 3 6 = 1, 4 3 = 1, 5 6 = 1, 6 2 = 1. (5.14) 1 = {1}, 2 = 4 = {2, 4, 1}, 6 = {1, 6}, (5.15) 3 = 5 = {3, 2, 6, 4, 5, 1} = Z 7. (5.16) Täten 3 ja 5 ovat Z 7 :n generaattorit. ord 1 = 1, ord 2 = ord 4 = 3, ord 3 = ord 5 = 6, ord 6 = 2, d = 1, 2, 3, 6 6 = h. (5.17) 0-47

49 Esimerkki 17. H = Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. (5.18) 4 = {1, 4}, 14 = {1, 14}. (5.19) 4, 14 = {1, 4, 14, 11}, (5.20) joka ei ole syklinen ja siten Z 15 ei ole syklinen. Lause 5.7. Olkoon H on ryhmä ja #H = p P. Tällöin τ = H τ H {1}. (5.21) Lause 5.8. Olkoon H ryhmä, τ H ja τ = 1. Tällöin ord τ = h (5.22) τ h = 1 ja τ h p i = 1, p i h, p i P. (5.23) 0-48

50 Esimerkki 18. G = Z 71, #G = 70 = Valitaan τ = 7 G, jolle pätee 7 70 = 1, = 7 35 =... = 70 = 1, = 7 14 =... = 1, = 7 10 = 1, (käytä nopeaa potenssilaskentaa.) Siten ord 7 = 70 7 = Z 71. (5.24) 0-49

51 6 Nopeaa potenssilaskentaa Lasketaan ryhmässä H alkion a H potenssi: a r, r Z +, r h = #H, r = e t 1 2 t e 0, e i {0, 1}, e t 1 = 1. (6.1) Aluksi: a 1 = a a 2 = a 2 1 = a 21 a 3 = a 2 2 = a 22 (6.2) Yhteensä t 1 kertolaskua. Seuraavaksi:. a t = a 2 t 1 = a 2t 1. a r = a e t 1 t a e t 2 t 1... ae 0 1, (6.3) 0-50

52 missä korkeintaan t 1 kertolaskua. Siten Lemma 6.1. Olkoon 1 r h = #H. Tällöin Potenssin a r laskemiseen tarvitaan 2t 2 2 log 2 r 2 log 2 h (6.4) ryhmän H laskutoimitusta. Esimerkki 19. a Z p, #Z p = p 1 = h. (6.5) r p t (6.6) 0-51

53 7 Diskreetti logaritmi 7.1 Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Olkoon H äärellinen syklinen kertalukua h = #H oleva ryhmä eli H = β = {β j j = 0, 1,..., h 1} = {1, β, β 2,..., β h 1 }. (7.1) Huomaa, että β 0 = β h = β 2h =... = 1. (7.2) Määritelmä 7.1. Alkion y H diskreetti logaritmi kannan β suhteen on eksponentti k {0, 1,..., h 1}, jolle pätee y = β k. Tällöin käytetään merkintää k = log β y. (7.3) 0-52

54 Lemma ) log β 1 = 0; 2) log β xy log β x + log β y (mod h); 3) log β x k k log β x (mod h). Esimerkki 20. H = Z 71 = 7 on syklinen ja h = φ(71) = 70. Lasketaan siis (mod 71) ja eksponentit (mod 70). 7 2 = 49 log 7 49 = = 59 log 7 59 = = 2 log 7 2 = 6. 7? = 33 log 7 33 =? 7 35 = 70 = 1 log 7 70 = log 7 1 = = 61 log 7 61 = = 1 = 7 0 log 7 1 =

55 7.2 Ryhmät Z n Primitiivijuuret Määritelmä 7.2. Olkoon n Z 2. Luku b {1, 2,..., n 1} on primitiivijuuri (mod n), jos Z n = b eli b generoi ryhmän Z n. Käytetään myös merkintää ind b y = log b y. Lause 7.1. Z n on syklinen n = 2, 4, p l, 2p l, l Z +, p P 3. (7.4) Todistus: Lukuteoria A Siten Primitiivijuuri (mod n) n {2, 4} P Z+ 3 2PZ+ 3. Huomaa, että Z n = b ord b = φ(n). (7.5) 0-54

56 Esimerkki 21. α Z 25, #Z 25 = 20 = h. (7.6) ord α {1, 2, 4, 5, 10, 20}. (7.7) Lemma 7.2. Olkoon p l P Z+ 3. Tällöin pätee x 2 = 1, x Z p l x = ±1. (7.8) 7.3 Diskreetin logaritmin ongelma D.L=Diskreetin logaritmin ongelma. Olkoon H = β, #H = h, missä β ja h tunnetaan. Valitaan y H vapaasti. Määritä tällöin log β y, kun h=iso. ESIM: Valitaan h , 1 r h 1. Tällöin r = e t 1 2 t e 0, t

57 Potenssin a r laskemiseen tarvitaan ainoastaan 2000 laskutoimitusta (Lemma 6.1), kun taas diskreetin logaritmin log β y määrääminen vaatii jopa laskua H:ssa. Eli D.L sanoo sen, että käytännössä potenssiinkorotus on nopeaa ja logaritmin määrittäminen :n hidasta. Huom = 1024 = 10 3 log 2 log 10 = = 3 10 = log = 10 log 10 = Huom 9. D.L ongelman vaikeus riippuu valitusta ryhmästä: (a) (H, ) = (Z n, +), missä Z n = β = {k1 k Z} = {0, 1, 2,..., n 1}. Tässä D.L on HELPPO. (b) (H, ) = (Z n, ), n = p l, 2p l, p P 3. Tässä D.L on yleensä VAIKEA. 0-56

58 (c) (H, ) = (F q, ) eli äärellisen kunnan kertolaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. (d) (H, ) = (E, +) eli elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. 8 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Lemma 8.1. Olkoon #A = #B (8.1) ja injektio. Tällöin f : A B on bijektio. f : A B (8.2) 0-57