pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä..."

Transkriptio

1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Tärkeitä kaavoja Porrasfunktiot Kokonaislukurengas Z Jaollisuus, alkuluvut Jakoalgoritmi Eukleideen algoritmi Kongruenssi Eräs kongruenssiryhmä Euler-Fermat Kiinalainen jäännöslause

2 5 Tuloksia ryhmistä Syklisten ryhmien perusteita Nopeaa potenssilaskentaa Diskreetti logaritmi Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Ryhmät Z n Primitiivijuuret Diskreetin logaritmin ongelma Funktioista

3 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALU- JA SALAUKSEEN LÄHTEITÄ: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly Linkkejä: Johdatus matemaattiseen päättelyyn 0-2

4 2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaislu P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvu Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 0-3

5 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. 0-4

6 Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) f(a m ), a A a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n f(p). p n,p P f(p). p n,p P 0-5

7 2.3 Tärkeitä kaavoja n k = k=0 n(n + 1) ; (2.1) 2 n k=0 n k=0 a k = an+1 1, a = 1; (2.2) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.3) k a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). (2.4) a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1), 2 n. (2.5) A n B n = (A B)(A n 1 +A n 2 B+ +AB n 2 +B n 1 ). (2.6) 0-6

8 2.4 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla aina, kun x R. x = min{n Z x n} 0-7

9 Lause 2.1. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.7) Tällöin k = x. (2.8) Edelleen x = x x R, (2.9) x x < x + 1 x R (2.10) x + k = x + k x R, k Z, (2.11) x + y x + y x, y R, (2.12) x y xy x, y R 0. (2.13) 0-8

10 Todistus: Luennolla (2.8), loput laskareissa. Merkintä: {x} = x x. (2.14) Huomataan, että 0 {x} < 1 (2.15) ja että {x} antaa positiivisen luvun x R + desimaaliosan. Esimerkki 2. {1.2} = 0.2 (2.16) mutta { 1.2} = 0.8 (2.17) 0-9

11 3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Käytetään merkintää b a, kun b ei jaa a:ta. Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä. Olkoot k, m, n, r, s Z. Tällöin ±1 k, ±k k; (3.2) 0 k k = 0; (3.3) k 0; (3.4) 0-10

12 k 1 k = ±1; (3.5) m n, n m n = ±m; (3.6) k m, m n k n; (3.7) k m, k n k rm + sn; (3.8) k m, k n k m ± n; (3.9) k m, k n k 2 mn; (3.10) k m k m h, k h m h, h Z + (3.11) 0-11

13 Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä. Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista m n m saadaan n = hm = hln h, l Z. (3.12) Tapaus n = 0. Tällöin (1 hl)n = 0 hl = 1 h = l = ±1 (3.13) Tapaus n = 0. Tällöin n = ±m. (3.14) m 0 m = 0 n = ±m. (3.15) Esimerkki , 0 a = 0. (3.16) 0-12

14 Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.17) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.18) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki , 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.19) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. 0-13

15 Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 pr t t, p i P, r i Z + (3.20) 0-14

16 on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin m n = pr 0 0 pr 1 1 pr t t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.21) Esimerkki 6. 1 = ( 1) , = = (3.22) 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.2. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.23) 0-15

17 Kun b Z +, niin q = a b. (3.24) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a b = 5 (3.25) a = 13 = , q = 4, r = 1, a b = 4 (3.26) Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common 0-16

18 divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; [Y T ] c a ja c b c d. [S] Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. Esimerkki 8. a) (23, 32) = 1 (3.27) b) (0, a) = a a Z, (3.28) erityisesti (0, 0) = 0. (3.29) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, 0-17

19 että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; [Y J] a g ja b g f g. [P ] Esimerkki 9. [0, 0] = 0 (3.30) Lause 3.3. Olkoot a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.31) 0-18

20 pyj(a, b) = m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.32) Esimerkki 10. Olkoot a = , b = , nyt syt(a, b)pyj(a, b) = = ab. (3.33) Lause 3.4. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.34) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.35) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. 0-19

21 E.A. Olkoot a, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.36) Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.37) 0-20

22 Asetetaan nyt R k = r k r k+1, Q k = q k 1, k N, (3.38) 1 0 jolloin det Q k = 1, Q k 1 = 0 1. (3.39) 1 q k Nähdään, että E.A. R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.40) jolloin pätee R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.41) Merkitään S 0 = s 0 t 0 = s 1 t (3.42) 0-21

23 ja S k = jolloin s k s k+1 t k t k+1 = Q 1 k Q 1 2 Q 1 1, (3.43) R k = S k R 0. (3.44) Nyt S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.45) eli s k+1 t k+1 s k+2 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.46) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.47) 0-22

24 Yhtälöstä (3.44) saadaan r n = s n a + t n b, (3.48) josta edelleen saadaan Lause 3.5. syt(a, b) = s n a + t n b, (3.49) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.50) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.51) 0-23

25 Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.52) niin a b. (3.53) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.54) niin ab c. (3.55) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.56) niin p a tai p b. (3.57) 0-24

26 Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.58) p k a n p a n. (3.59) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 2. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.60) 0-25

27 Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.61) Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.62) Määritelmä Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. Lause 3.6. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a l m a m. (3.63) 0-26

28 4 Kongruenssi Esimerkki 12. Huomataan, että 17 = , 12 = , 7 = ,..., (4.1) jolloin on sovittu merkinnästä 17 2 (mod 5), (mod 5). (4.2) Määritelmä 4.1. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (4.3) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (4.4) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (4.4) modulus. Merkitään a b (mod n), (4.5) kun a ei ole kongruentti b:n kanssa modulo n. 0-27

29 Huom 4. Työkaluja: a b (mod n) a b 0 (mod n); (4.6) a 0 (mod n) n a. (4.7) Lause 4.1. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Olkoon n Z +, a, b, c Z. Tällöin pätee a a; (4.8) a b b a; (4.9) a b, b c a c; (4.10) kaikki kongruenssit (mod n). Lause 4.2. Kongruenssin laskusääntöjä. Olkoon n Z +, a, b, c, d, r, s Z, h N ja P (x) Z[x]. 0-28

30 Jos a b, c d, (4.11) niin ra + sc rb + sd; (4.12) a ± c b ± d; (4.13) ac bd; (4.14) a h b h ; (4.15) P (a) P (b); (4.16) kaikki kongruenssit (mod n). Todistus. Käytetään työkaluja (4.6) ja (4.7) sekä jaollisuuden laskusääntöjä. 0-29

31 Kohta (4.12): Oletuksista (4.11) seuraa n a b, n c d (4.17) ra+sc (rb+sd) = r(a b)+s(c d) 0 (mod n), (4.18) jolloin tuloksen (4.6) nojalla saadaan väite. Esimerkki 13. a a + ln (mod n) l Z. (4.19) Lause 4.3. Muita tuloksia. Olkoon n Z +, a, b, m Z. Tällöin pätee ma mb (mod n), m n (4.20) a b (mod n). (4.21) 0-30

32 a b (mod mn) (4.22) a b (mod n). (4.23) Huom 5. a b (mod n) (4.24) n a b a = b + l n, jollakin l Z (4.25) a b + nz = b, (4.26) missä b on edustajan b määräämä jakojäännösluokka (mod n). Lause 4.4. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (4.27) 0-31

33 Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (4.28) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (4.29) ab = ab. (4.30) Huom 6. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki = n 1+1 = n = 0, ( 1) 1 = 1 (mod n), (4.31) 0-32

34 2 1 = 1 2 = p (mod p), p P p 3. (4.32) Määritelmä 4.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (4.33) on renkaan R yksikköryhmä. Esimerkki 15. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (4.34) Lause 4.5. Joukko Z = {±1}. (4.35) {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (4.36) 0-33

35 Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin seurauksen (3.49) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (4.37) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (4.38) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (4.39) Määritelmä 4.3. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 0-34

36 Määritelmä 4.4. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (4.40) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (4.41) Lemma 4.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (4.42) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska φ(p m ) = p m ( 1 1 p ), p P, m Z +, (4.43) niin saadaan Lemma 4.2. Olkoon n = p a pa k φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... k, p i P. Tällöin ) (1 1pk (4.44) 0-35

37 eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (4.45) p 4.1 Eräs kongruenssiryhmä Lause 4.6. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) seuraa a b (mod q) (4.46) a b (mod pq). (4.47) B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (4.48) seuraa a b (mod m 1 m r ). (4.49) 0-36

38 Todistus. A) kohta: Oletuksista (4.46) seuraa Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla p a b, q a b. (4.50) pq a b a b (mod pq). (4.51) 4.2 Euler-Fermat Lause 4.7. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (4.52) Lause 4.8. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (4.53) a p a (mod p), a Z. (4.54) 0-37

39 Olettaen (4.53) todistetaan (4.54): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (4.53) nojalla a p a (mod p). (4.55) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (4.56) a p a (mod p). (4.57) Lause 4.9. Olkoon n = pq, missä p, q P, p = q. Tällöin a lφ(n)+1 a (mod n), a Z, l N. (4.58) nojalla Todistus: 1) Jos syt(a, n) = 1, niin Euler-Fermat n (4.52) a φ(n) 1 (mod n) a lφ(n) 1 (mod n) (4.59) 0-38

40 a lφ(n)+1 a (mod n). (4.60) 2) Jos syt(a, n) = 1, niin meillä on kolme tapausta: a 0 (mod n); (4.61) a 0 (mod p), a 0 (mod q); (4.62) a 0 (mod p), a 0 (mod q). (4.63) Tapaus (4.61): a 0 (mod n) a lφ(n)+1 0 (mod n). Tapaus (4.62): Nyt a 0 (mod p) a lφ(n)+1 0 (mod p) 0-39

41 a lφ(n)+1 a (mod p). (4.64) Toisaalta Pikku Fermat n (4.53) nojalla a q 1 1 (mod q) a (q 1)(p 1) 1 (mod q). (4.65) Koska φ(n) = φ(pq) = (q 1)(p 1), (4.66) niin a lφ(n)+1 a (mod q). (4.67) Soveltamalla Lausetta 4.6 tuloksiin (4.64) ja (4.67) saadaan a lφ(n)+1 a (mod pq). (4.68) Tapaus (4.63) kuten (4.62). 0-40

42 4.3 Kiinalainen jäännöslause Lause KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (4.69) ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (4.70) missä x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (4.71) n k M k 1 (mod m k ). (4.72) 0-41

43 5 Tuloksia ryhmistä Merkintää D H käytetään, kun ryhmä D on ryhmän H aliryhmä. Lemma 5.1. Aliryhmäkriteeri I. Olkoon H ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab 1 D, niin D on H:n aliryhmä. Lemma 5.2. Aliryhmäkriteeri II. Olkoon H äärellinen ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab D, niin D on H:n aliryhmä. 0-42

44 Olkoon A H. Joukkoa A = D A D H sanotaan joukon A generoimaksi aliryhmäksi. Käytetään myös merkintää a, b,..., c = {a, b,..., c}. Erityisesti a = {a k k Z} = a Z. Jos H on Abelin ryhmä, niin a, b = {a k b l k, l Z} = a Z b Z. 0-43

45 5.1 Syklisten ryhmien perusteita Lause 5.1. Olkoon (H, ) kertolaskuryhmä ryhmä, e = 1, α H. Ryhmän H osajoukko α = α Z = {α k k Z} H (5.1) on H:n aliryhmä. Määritelmä 5.1. Aliryhmä α = {α k k Z} on α:n generoima syklinen aliryhmä. Jos H = α, niin H on syklinen ryhmä ja α on H:n generaattori. Määritelmä 5.2. Ryhmän H kertaluku = #H ja alkion α kertaluku eli ord α = # α. (5.2) Lause 5.2. Lagrangen lause. Olkoot #D = d, #H = h <. Tällöin D H d h. (5.3) 0-44

46 Lause 5.3. Olkoon #H = h < ja α H. Tällöin ord α h. (5.4) Todistus: Lause 5.4. Olkoon H äärellinen ryhmä ja h = #H, tällöin a h = 1 a H. (5.5) Seuraus 5. Olkoon n Z +, jolloin Z n on ryhmä ja #Z n = φ(n). Siten a φ(n) = 1 a n, (5.6) josta edelleen saadaan Euler-Fermat n lause a φ(n) 1 (mod n) a n. (5.7) 0-45

47 Erikoistapauksena, jos p P, niin Z p on ryhmä ja #Z p = p 1. Siten a p 1 = 1 a p, (5.8) josta edelleen saadaan Fermat n pieni lause a p 1 1 (mod p) a p. (5.9) Lause 5.5. A. Jos ord α = n Z +, niin α = {1, α, α 2,..., α n 1 } ja α n = 1, (5.10) missä n Z + on pienin eksponentti k Z +, jolla α k = 1. B. Vice Versa. Lause 5.6. Olkoon α H, m Z +. Tällöin α m = 1 ord α m. (5.11) Esimerkki 16. Määrätään ryhmän H = Z 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, #H = 6 = φ(7). (5.12) 0-46

48 aliryhmät ja sykliset aliryhmät. mutta α 6 = 1, α Z 7 (5.13) 1 1 = 1, 2 3 = 1, 3 6 = 1, 4 3 = 1, 5 6 = 1, 6 2 = 1. (5.14) 1 = {1}, 2 = 4 = {2, 4, 1}, 6 = {1, 6}, (5.15) 3 = 5 = {3, 2, 6, 4, 5, 1} = Z 7. (5.16) Täten 3 ja 5 ovat Z 7 :n generaattorit. ord 1 = 1, ord 2 = ord 4 = 3, ord 3 = ord 5 = 6, ord 6 = 2, d = 1, 2, 3, 6 6 = h. (5.17) 0-47

49 Esimerkki 17. H = Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. (5.18) 4 = {1, 4}, 14 = {1, 14}. (5.19) 4, 14 = {1, 4, 14, 11}, (5.20) joka ei ole syklinen ja siten Z 15 ei ole syklinen. Lause 5.7. Olkoon H on ryhmä ja #H = p P. Tällöin τ = H τ H {1}. (5.21) Lause 5.8. Olkoon H ryhmä, τ H ja τ = 1. Tällöin ord τ = h (5.22) τ h = 1 ja τ h p i = 1, p i h, p i P. (5.23) 0-48

50 Esimerkki 18. G = Z 71, #G = 70 = Valitaan τ = 7 G, jolle pätee 7 70 = 1, = 7 35 =... = 70 = 1, = 7 14 =... = 1, = 7 10 = 1, (käytä nopeaa potenssilaskentaa.) Siten ord 7 = 70 7 = Z 71. (5.24) 0-49

51 6 Nopeaa potenssilaskentaa Lasketaan ryhmässä H alkion a H potenssi: a r, r Z +, r h = #H, r = e t 1 2 t e 0, e i {0, 1}, e t 1 = 1. (6.1) Aluksi: a 1 = a a 2 = a 2 1 = a 21 a 3 = a 2 2 = a 22 (6.2) Yhteensä t 1 kertolaskua. Seuraavaksi:. a t = a 2 t 1 = a 2t 1. a r = a e t 1 t a e t 2 t 1... ae 0 1, (6.3) 0-50

52 missä korkeintaan t 1 kertolaskua. Siten Lemma 6.1. Olkoon 1 r h = #H. Tällöin Potenssin a r laskemiseen tarvitaan 2t 2 2 log 2 r 2 log 2 h (6.4) ryhmän H laskutoimitusta. Esimerkki 19. a Z p, #Z p = p 1 = h. (6.5) r p t (6.6) 0-51

53 7 Diskreetti logaritmi 7.1 Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Olkoon H äärellinen syklinen kertalukua h = #H oleva ryhmä eli H = β = {β j j = 0, 1,..., h 1} = {1, β, β 2,..., β h 1 }. (7.1) Huomaa, että β 0 = β h = β 2h =... = 1. (7.2) Määritelmä 7.1. Alkion y H diskreetti logaritmi kannan β suhteen on eksponentti k {0, 1,..., h 1}, jolle pätee y = β k. Tällöin käytetään merkintää k = log β y. (7.3) 0-52

54 Lemma ) log β 1 = 0; 2) log β xy log β x + log β y (mod h); 3) log β x k k log β x (mod h). Esimerkki 20. H = Z 71 = 7 on syklinen ja h = φ(71) = 70. Lasketaan siis (mod 71) ja eksponentit (mod 70). 7 2 = 49 log 7 49 = = 59 log 7 59 = = 2 log 7 2 = 6. 7? = 33 log 7 33 =? 7 35 = 70 = 1 log 7 70 = log 7 1 = = 61 log 7 61 = = 1 = 7 0 log 7 1 =

55 7.2 Ryhmät Z n Primitiivijuuret Määritelmä 7.2. Olkoon n Z 2. Luku b {1, 2,..., n 1} on primitiivijuuri (mod n), jos Z n = b eli b generoi ryhmän Z n. Käytetään myös merkintää ind b y = log b y. Lause 7.1. Z n on syklinen n = 2, 4, p l, 2p l, l Z +, p P 3. (7.4) Todistus: Lukuteoria A Siten Primitiivijuuri (mod n) n {2, 4} P Z+ 3 2PZ+ 3. Huomaa, että Z n = b ord b = φ(n). (7.5) 0-54

56 Esimerkki 21. α Z 25, #Z 25 = 20 = h. (7.6) ord α {1, 2, 4, 5, 10, 20}. (7.7) Lemma 7.2. Olkoon p l P Z+ 3. Tällöin pätee x 2 = 1, x Z p l x = ±1. (7.8) 7.3 Diskreetin logaritmin ongelma D.L=Diskreetin logaritmin ongelma. Olkoon H = β, #H = h, missä β ja h tunnetaan. Valitaan y H vapaasti. Määritä tällöin log β y, kun h=iso. ESIM: Valitaan h , 1 r h 1. Tällöin r = e t 1 2 t e 0, t

57 Potenssin a r laskemiseen tarvitaan ainoastaan 2000 laskutoimitusta (Lemma 6.1), kun taas diskreetin logaritmin log β y määrääminen vaatii jopa laskua H:ssa. Eli D.L sanoo sen, että käytännössä potenssiinkorotus on nopeaa ja logaritmin määrittäminen :n hidasta. Huom = 1024 = 10 3 log 2 log 10 = = 3 10 = log = 10 log 10 = Huom 9. D.L ongelman vaikeus riippuu valitusta ryhmästä: (a) (H, ) = (Z n, +), missä Z n = β = {k1 k Z} = {0, 1, 2,..., n 1}. Tässä D.L on HELPPO. (b) (H, ) = (Z n, ), n = p l, 2p l, p P 3. Tässä D.L on yleensä VAIKEA. 0-56

58 (c) (H, ) = (F q, ) eli äärellisen kunnan kertolaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. (d) (H, ) = (E, +) eli elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. 8 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Lemma 8.1. Olkoon #A = #B (8.1) ja injektio. Tällöin f : A B on bijektio. f : A B (8.2) 0-57

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 83 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 ABSTRACT 2 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2 2.1 LUKUJA SEKÄ TYÖKALUJA...................

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin 3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Työkaluja Asymptoottisesti sama ISO OO Kongruenssi 0-14

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Työkaluja Asymptoottisesti sama ISO OO Kongruenssi 0-14 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä 0-6 2 Työkaluja 0-8 2.1 Asymptoottisesti sama............. 0-8 2.2 ISO OO.................... 0-10 3 Kongruenssi 0-14 3.1 Yksikköryhmä.................

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Työkaluja 0-10

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Työkaluja 0-10 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä 0-5 1.1 Merkintöjä................... 0-7 1.1.1 Lukujoukot............... 0-7 1.1.2 Sekalaisia merkintöjä.......... 0-8 2 Työkaluja 0-10 2.1 Porrasfunktiot.................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat 4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. huhtikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 2.

Lisätiedot

Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia

Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia Helinä Anttila Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 206 Tiivistelmä: Helinä Anttila, Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia,

Lisätiedot

RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017

RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro. 1976269 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Salausmenetelmien yleisiä periaatteita 3 2 Määritelmiä ja

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot