(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

Transkriptio

1 Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c) A n B n = (A B)(A n 1 + A n 2 B + + AB n 2 + B n 1 ). (d) a = (a + 1)(a 2 a + 1). (e) a = (a 2 2a + 2)(a 2 + 2a + 2). 2. Osoita, että x = x x R, x x < x + 1 x R, (c) x + = x + x R, Z, (d) x + y x + y x, y R, (e) x y xy x, y R Let/Oloon x R 1 be given/annettu ja ω d (x) = #{ Z 1 x, d }. Näytä, että ω d (x) = x/d. Compute/Lase ω d (1000), un d = 5, 25, 125, 625. (c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten oonaisluujen luumäärä/ number of integers divisible by Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r < b. Näytä, että a a q =, r = a b b b jos b Z Oloot a, b Z + annettu. Show that there exist unigue/näytä, että on olemassa ysiäsitteiset q, r Z such/siten, that/että a = bq + r, b/2 < r b/2.

2 6. Investigate/Tuti for which/millä numbers/luvuilla n N hold/pätee n P, n P, (c) n P. 7. Oloot/let p, p + 2, p + 4 P. Show that/näytä, että p = Oloot a Z, a 2, m Z +. Osoita, että jos a m + 1 P, niin 2 a ja m = 2 n, n N. jos a m 1 P, m 2, niin a = 2 ja m = p P. 9. Oloot a Z, a 2. Osoita, että syt(a n 1, a m 1) = a syt(n,m) 1 m, n Z Oloot a, b, q, r Z +. Osoita, että (c) (d) 11. Osoita, että 12. Prove that/todista, että ab = syt(a, b)pyj(a, b). pyj(a, b) = ab a b. a b (a + b, a 2 + b 2 ) 2. a = qb + r (a, b) = (b, r). 2 (2 + 3) n n Z +. n n P n = Oloon Q = ( ) q Määrää/Determine detq ja Q 1. Todista palautusaavat/prove the recurrences (3.47). (c) Todista (3.48). (d) Osoita, että syt(a, b) = s n a + t n b. (e) Oloot a = 909 ja b = 309. Etsi/Find s n ja t n äyttämällä palautusaavoja/by using the recurrences. 14. Kertaa ryhmän, renaan, oonaisalueen, unnan seä arateristian määritelmät.

3 15. Määrää 3 1 ryhmässä/in the group Z p, p P ryhmässä Z p, p P 5. (c) 13 1 ryhmässä Z (d) 17 1 ryhmässä Z Määrää ryhmän Z n ertaluu/order, un n = p P, n = 24, (c) n = 13!. 17. Muodosta Pascalin olmio (mod p) riville n = 12 asti, un p = 2, 3, Oloot n, m Z + ja a, b, c, d Z. Todista, että jos a b (mod n), c d (mod n), niin Todista, että jos niin ac bd a b a b (mod n). (mod mn), (mod n). 19. Rataise yhtälöryhmä 3x 2 (mod 5) 4x 2 (mod 7) 2x 4 (mod 9). 20. Oloot, n, r N. Näytä, että 21. Oloot n, r N. Osoita, että ( )( ) n r = ( n r )( n r r ) ; ( ) n = n + 1 ( ) n. 1

4 22. Osoita, että 23. Osoita, että ( ) ( ) n n < 0 r < 1 (n 1). r r ( ) ( ) n n = 2 n, r = 1 (n 1). r r =0 ( ) n = 2 n. ( ) n ( 1) = 0, n 1. =0 =0 ( 1) + 1 ( ) n = 1 n Oloon r N. Määrää summa =1 ( ) + r. r Oloon p P ja n = n i p i, 0 n i p 1 luvun n Z + p-antaesitys seä asetetaan s p (n) = n i. Osoita, että v p (n!) = n s p(n). p Todista Wilsonin lause: Jos p on aluluu, niin (p 1)! 1 (mod p). Jos n Z + ei ole aluluu, niin määrää (n 1)! (mod n). 27. Oloot a/b Q, a b, n Z 2 ja n a/b. Näytä, että n b.

5 28. Ono luu , jaollinen luvulla n, un n = 2, 3, 4, 5, 6, 7. Millä luvuilla n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 pätee (mod n). (c) Määrää sellainen luu {0, 1, 2,..., n 1}, että un n = 2, 3, 4, 5, 6, (mod n), 29. Määrää ( ) 1/2 5 (mod 7). 30. Näytä, että 31. Määrää luujen (mod 5 3 ) p p 2 osoittajien aluteijähajoitelmat, un p = 7, 11, 13. Mitä huomaat? 32. Suoraan lasemalla näytä, että ( 2 p p ) p 2 (mod p 2 ), un p = 11, Määrää sellainen Z, 0 6, että Määrää sellainen h Z, että 5 4 (mod 11). 4/5 1 = h (mod 11). 34. Oloon p P 5, p 1 (mod 3) ja m = (2p 2)/3. Osoita, että m 0 (mod p). Tarat perustelut.

6 35. Osoita aavojen (5.131) ja (5.132) yhtäpitävyys. Todista (5.137). (c) Todista (5.139). 36. Määrää ( ) ( ) (mod 7); (mod 11); (c) ( ) p p (mod p), p P. p Oloon p P 3. Näytä, että ( ) p (mod p) j aina, un 2 j p Johda ja todista aava m! = (m + 1)! 1. =0 39. Johda summaaavat = n(n+1) 2 =1 =1 2 = n(n+1)(2n+1) 6 (c) 3 = n2 (n+1) Näytä, että lim n f n+1 f n = = α. f n+2 > α n n 2. (c) f 2 n+1 f 2 n 1 = f 2n. (d) f 2 = α2 5 ; f 2+1 = α2+1 5 N (e) f n+1 = ( n ) 0

7 (f) f 2n = n =0 ( n ) f (g) 2f n+m = f n l m + f m l n (h) 2l n+m = l n l m + 5f n f m 41. Osoita, että ( ) n ( ) 1 1 fn+1 f = n 1 0 f n f n 1 n Z. 42. Johda generoivasta sarjasta Binet n esitys Lucasin luvuille l. L(z) = l z =0 43. Oloot d, n, M, N Z. Osoita d n f d f n. jos M N, niin f M f N f MN. (c) f n P 5 n P. (d) n 4 f n + 1 / P. 44. Näytä, että 2 n 1 f n n (mod 5). 45. Johda telesooppiperiaatteella summan m arvo. =1 f 46. Oloon D Z, D 1, neliövapaa. Osoita, että D / Q. 47. Näytä, että 6! / Q. Päteeö n! / Q, aina un n Z 2? 48. Oloot n Z 3 ja r Q +. Osoita (Fermat n suuren lauseen nojalla), että n 1 + rn / Q. 49. Osoita Neperin luvun e irrationaalisuus äyttäen luvun e 1 sarjaesitystä. Osoita, että ehdosta ae 2 + be + c = 0, a, b, c Z, seuraa, että a = b = c = Osoita, että formaalille esponenttisarjalle e T = EXP(T ) pätee

8 e 0 T = 1. e T = 1 e T. (c) e nt = (e T ) n n Z. (d) e it = cos T + i sin T ; i 2 = Määrää 10 ensimmäistä Bernoullin luua. 52. Osoita generoivan sarjan avulla tehtävän 40 ohtien e) ja f) tuloset. 53. Määrää Bernoullin luujen avulla summat un m = 1,, Oloon m 2Z +. Osoita, että 55. Oloon p P. S m (n) = 1 m + 2 m + + n m, 2n + 1 S m (n). Q[n] Osoita valuaation v p ominaisuudet 1-4. Oloon A Q ja v p (A) 0 p P. Näytä, että A Z. (c) Osoita, että Z (p) on rengas ja että sen ysiöryhmä Z (p) on Z (p) = {A Q v p (A) = 0}. 56. Oloot p P, Z + ja A = p /( + 1). Osoita, että v p (A) 0. jos 2, niin v p (A) 1. (c) jos 3 ja p 5, niin v p (A/p 2 ) Määrää Määrää ( ) 1/2 v 2. ( ) 1/p v p p P. 58. Oloot a Z, m Z +. Osoita, että

9 a(a m 1)B m Z. a m (a m 1)B m /m Z. 59. Oloon p P, näytä, että pb (p 1) 2 (mod p). 60. Oloon p P, p 1(mod 3). Näytä, että missä A 2p Z. B 2p = A 2p, Tarastele luujen B 2 nimittäjiä D 2, un = 0, 1,, 13, 19. (c) Osoita, että aluluvut 5, 7, 11, 13, 17 ovat säännöllisiä. B 0 = 1, B 1 = 1/2, B 2 = 1/6, B 4 = 1/30, B 6 = 1/42, B 8 = 1/30, B 10 = 5/66, B 12 = 691/2730, B 14 = 7/ Osoita, että n(n + 1) S m (n) m Z +, Q[n] n 2 (n + 1) 2 S m (n) m 2Z Q[n] 62. Oloon n Z +. Osoita, että (c) (d) 63. Oloot n, r N. Osoita, että (c) ( ) 2n < r ( ) 2n 2n (2n 1) = 2. n n (2n)! n! (2n)! 2 n n! ( ) 2n n 2 n < 2 2n 2n < = (4n 2); = (2n 1); 2 n n! (2n)!. r n, 0 r 2n 2. ( ) 2n < 2 2n n 2. n ( ) 2n < 22n n 3 n 3.