Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Transkriptio

1 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio Jaaumien tunnusluvut Disreetit jaaumat Jatuvat jaaumat Moniulotteiset jaaumat ja todennäöisyysjaaumat Binomijaauma, Disreetti jaauma, Disreetti satunnaismuuttuja, Esponenttijaauma, Jatuva jaauma, Jatuva satunnaismuuttuja, Kertymäfuntio, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäöisyysfuntio, Poissonin jaauma, Reunajaauma, Riippumattomuus, Satunnaismuuttuja, Satunnaismuuttujien erotus, Satunnaismuuttujien lineaariombinaatio, Satunnaismuuttujien summa, Tiheysfuntio, Todennäöisyys, Todennäöisyysjaauma, Vaio, Varianssi, hteisjaauma Tehtävä.. Oloot ja riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja ovarianssi ovat E( ) µ E( ) µ Var( ) σ Var( ) σ Cov(, ) σ Oloot lisäsi a ja b vaioita. Määrää E(a) E( + ), E( ) E(a + b) Var(a) Var( + ), Var( ) Var(a + b) Miten aavat muuttuvat, jos ja eivät ole riippumattomia? Tehtävä.. Mitä opimme? Tehtävässä tarastellaan satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin ominaisuusia. Tehtävä.. Rataisu: Tarastelemme ensin joitain odotusarvon yleisiä ominaisuusia. Rajoitumme pelästään jatuviin satunnaismuuttujiin. Oloon f () jatuvan satunnaismuuttujan tiheysfuntio ja oloon g( ) join jatuva funtio. Tällöin satunnaismuuttujan g() odotusarvo on + E( g( )) g( ) f ( ) d Ila Mellin (5) /6

2 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Jos g on identtinen funtio eli g( ) niin saadaan satunnaismuuttujan odotusarvo: + E( ) f ( ) d µ Jos g( ) ( µ ) niin saadaan satunnaismuuttujan varianssi: + Var( ) D ( ) E[( ) ] ( ) ( ) µ µ f d σ Määrätyn integraalin yleisten ominaisuusien perusteella: + + E( a ) af ( ) d a f ( ) d a E( ) aµ Satunnaismuuttujien ja summan + odotusarvon johtaminen vaatii niiden yhteisjaauman tarastelemista. Oloon siis f (, y) satunnaismuuttujien ja yhteisjaauman tiheysfuntio. Tällöin satunnaismuuttujien ja reunajaaumien tiheysfuntiot f () ja f (y) saadaan seuraavilla aavoilla: Siten f ( ) f (, y) dy f ( y) f (, y) d E( + ) ( + y) f (, y) ddy f (, y) ddy + yf (, y) ddy f (, y) dy d+ y f (, y) d d y + + f ( ) d + yf ( y) dy Vastaavalla tavalla nähdään, että E( ) + E( ) µ + µ E( ) E() E() µ µ Ila Mellin (5) /6

3 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset hdistämällä edellä esitetyt odotusarvoa osevat tuloset saadaan vihdoin aava () E(a + b) ae() + be() aµ + bµ Kaavan () olennaisena sisältönä on se, että odotusarvo on lineaarinen operaattori. Huomaa, että aava () pätee olivatpa satunnaismuuttujat ja riippumattomia tai ei. Määrätyn integraalin yleisten ominaisuusien perusteella: + Var( ) ( E( )) ( ) a a a f d + µ a ( ) f ( ) d a a σ Var( ) Satunnaismuuttujan varianssi voidaan esittää myös seuraavassa muodossa: jossa Var( ) E[( µ ) ] + E( µ µ ) + E( ) µ E( ) E( µ ) E( ) µ µ + µ E( ) µ α α α E( ) Satunnaismuuttujan. origomomentti α E( ) Satunnaismuuttujan. origomomentti µ Tavallisesti satunnaismuuttujan varianssi annattaa lasea tätä aavaa äyttämällä. Satunnaismuuttujien ja ovarianssi on Cov(, ) σ E[( µ )( µ )] E[( E( ))( E( ))] Ila Mellin (5) 3/6

4 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Satunnaismuuttujien ja ovarianssi voidaan esittää myös seuraavassa muodossa: Cov(, ) E[( E( ))( E( ))] E[( µ )( µ )] E( µ µ + µ µ ) E( ) E( µ ) E( µ ) + E( µ µ ) E( ) µ E( ) µ E( ) + µ µ E( ) µ µ µ µ + µ µ E( ) µ µ E( ) E( )E( ) Satunnaismuuttujien ovarianssi annattaa yleensä lasea tätä aavaa äyttämällä. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cov(,) Ennen tämän tulosen todistamista palautetaan mieleen, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden yhteisjaauman tiheysfuntio f (, y) voidaan esittää satunnaismuuttujien ja reunajaaumien tiheysfuntioiden f () ja f (y) tulona: f (, y) f ()f (y) Jos siis satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin E( ) yf (, y) ddy yf ( ) f ( y) ddy yf ( y) f ( ) ddy yf ( y)e( ) dy E( ) yf ( y) dy E( )E( ) µ µ Tästä seuraa, että riippumattomien satunnaismuuttujien ja tapausessa Cov(, ) E( ) E( )E( ) E( )E( ) E( )E( ) Ila Mellin (5) 4/6

5 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Huomautusia: () Siitä, että Cov(, ) ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Satunnaismuuttujien ja välillä saattaa olla jopa esati (epälineaarinen) riippuvuus ja uitenin Cov(, ). () Jos satunnaismuuttujien ja pari (, ) noudattaa asiulotteista normaalijaaumaa, niin ehdosta Cov(, ) seuraa satunnaismuuttujien ja riippumattomuus. Edellä esitetyn nojalla riippumattomien satunnaismuuttujien ja summan + varianssisi saadaan Var( + ) E[( + ) ( µ + µ )] E[( µ ) + ( µ )] E[( µ ) ] E[( µ ) ] E[( µ )( µ )] Var( ) + Var( ) + Cov(, ) Var( ) + Var( ) σ + σ + + Vastaavasti riippumattomien satunnaismuuttujien ja erotusen varianssi on Var( ) E[( ) ( µ µ )] E[( µ ) ( µ )] E[( µ ) ] E[( µ ) ] E[( µ )( µ )] Var( ) + Var( ) Cov(, ) Var( ) + Var( ) σ + σ + Huomaa, että riippumattomien satunnaismuuttujien ja tapausessa satunnaismuuttujien ja summa ja erotus vaihtelevat yhtä paljon. Voidaan helposti osoittaa, että Cov(a, b) abcov(,) abσ Ila Mellin (5) 5/6

6 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Siten yleisesi aavasi satunnaismuuttujien ja painotetun summan a + b varianssille saadaan Var( a + b ) E[( a + b ) E( a + b )] E[( a E( a )) + ( b E( b ))] E[( a a E( )) + ( b be( ))] E( a a E( )) + E( b be( )) + E( a a E( ))( b be( )) a E( E( )) + b E( E( )) + abe( E( ))( E( )) a Var( ) + b Var( ) + abcov(, ) a σ + b σ + abσ josta erioistapausena saadaan satunnaismuuttujien ja summan varianssin yleisesi aavasi Var( + ) Var( ) + Var( ) + Cov(, ) o. tulosista nähdään, että satunnaismuuttujien ja summan varianssi voi olla suurempi, yhtä suuri tai pienempi uin satunnaismuuttujien varianssien summa. Vastaavasti satunnaismuuttujien ja erotusen varianssi on Var( ) Var( ) + Var( ) Cov(, ) Ila Mellin (5) 6/6

7 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Tehtävä.. Oloon disreetin satunnaismuuttujan pistetodennäöisyysfuntio muotoa (a) 3 f( ) Pr( ),,, 4 4 Näytä, että (b) (c) f( ) Lase satunnaismuuttujan odotusarvo. Lase satunnaismuuttujan varianssi. Huomautus: Satunnaismuuttuja noudattaa binomijaaumaa parametrein n, p /4: Tehtävä.. Mitä opimme? Bin ( n, p), n, p 4 Tehtävässä tarastellaan disreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määräämistä, un satunnaismuuttuja noudattaa binomijaaumaa. Tehtävä.. Rataisu: Esitetään ensin joitain binomiertoimeen n n!!( n )! liittyviä hyödyllisiä aavoja: n n! n! n!( n )! ( n )!( n ( n ))! n Kosa on tapana asettaa niin Kosa niin! n n! n!!( n )! n! n n! n! n n!( n n)! n! n! n (n )! n n! n! n!( n )! ( n )! Ila Mellin (5) 7/6

8 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset (a) Näytetään, että f( ) : f( ) (b) Lasetaan satunnaismuuttujan odotusarvo: E( ) f( ) (c) Lasetaan ensin satunnaismuuttujan neliön odotusarvo (. origomomentti): E( ) f( ) Satunnaismuuttujan varianssisi saadaan nyt: Var( ) E( ) [E( )] Ila Mellin (5) 8/6

9 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Huomautus: Jos Bin( np, ) niin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin yleiset lauseeet ovat E() np Var() np( p) Kosa tehtävässä n, p /4 saadaan näistä yleisistä aavoista uten pitääin samat tuloset uin edellä suorilla lasutoimitusilla. Ila Mellin (5) 9/6

10 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Tehtävä.3. Oloon disreetin satunnaismuuttujan pistetodennäöisyysfuntio muotoa (a) Näytä, että f( ) Pr( ) e,,,,! (b) (c) f( ) Määrää satunnaismuuttujan odotusarvo Määrää satunnaismuuttujan varianssi. Huomautus: Satunnaismuuttuja noudattaa Poissonin jaaumaa parametrilla : Poisson( ) Tehtävä.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarastellaan disreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määräämistä, un satunnaismuuttuja noudattaa Poisson-jaaumaa. Tehtävä.3. Rataisu: (a) Näytetään, että f( ) : Esponenttifuntion Taylorin sarjaehitelmän muaan: f ( ) e e!! e e (b) Määrätään satunnaismuuttujan odotusarvo: E( ) f( ) e e e! e! e ( )! Ila Mellin (5) /6

11 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset (c) Määrätään ensin satunnaismuuttujan neliön odotusarvo (. origomomentti): E( ) f( ) e + e! e! ( )! e ( + )! e +!! e e + e Satunnaismuuttujan varianssisi saadaan nyt: Var( ) E( ) [E( )] ( + ) Ila Mellin (5) /6

12 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Tehtävä.4. Oloon jatuvan satunnaismuuttujan tiheysfuntio muotoa (a) (b) (c) Näytä, että f ( ) 6 ( ),< < + f ( d ) Määrää satunnaismuuttujan odotusarvo. Määrää satunnaismuuttujan varianssi. Huomautus: Satunnaismuuttuja noudattaa ns. beta-jaaumaa. Tehtävä.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarastellaan jatuvan satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määräämistä, un satunnaismuuttuja noudattaa ns. beta-jaaumaa. Tehtävä.4. Rataisu: + (a) Näytetään, että f ( d ) : + f ( d ) 6 ( d ) (6 6 ) d (b) Määrätään satunnaismuuttujan odotusarvo: + E( ) f( ) d 6 ( ) d 3 (6 6 ) d Ila Mellin (5) /6

13 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset (c) Määrätään ensin satunnaismuuttujan neliön odotusarvo (. origomomentti): + E( ) ( ) 6 ( ) d 3 4 (6 6 ) f d d Satunnaismuuttujan varianssisi saadaan nyt: Var( ) E( ) [E( )] 3 Ila Mellin (5) 3/6

14 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Tehtävä.5. Oloon jatuvan satunnaismuuttujan tiheysfuntio muotoa f( ) e, >, (a) Näytä, että + f ( d ) (b) (c) (d) Määrää satunnaismuuttujan odotusarvo. Määrää satunnaismuuttujan varianssi. Johda satunnaismuuttujan ertymäfuntio F( ) Pr( ) f( t) dt ja lase sen avulla todennäöisyydet un. Pr( ) ja Pr( > ) Huomautus: Satunnaismuuttuja noudattaa esponenttijaaumaa parametrilla. Tehtävä.5. Mitä opimme? Tehtävässä tarastellaan disreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määräämistä, un satunnaismuuttuja noudattaa esponenttijaaumaa. Lisäsi tehtävässä tarastellaan esponenttijaauman ertymäfuntiota seä todennäöisyysien määräämistä ertymäfuntion avulla. Tehtävä.5. Rataisu: + (a) Näytetään, että f ( d ). + f ( d ) e d e d e + Ila Mellin (5) 4/6

15 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset (b) Määrätään satunnaismuuttujan odotusarvo. Osittaisintegroinnilla saadaan: + E( ) f( ) d e d e e ( ) e d (c) Määrätään ensin satunnaismuuttujan neliön odotusarvo (. origomomentti). Osittaisintegroinnilla saadaan: + E( ) ( ) e d e e f d e e d d E( ) d Satunnaismuuttujan varianssisi saadaan nyt: Var( ) E( ) [E( )] Ila Mellin (5) 5/6

16 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset (d) Satunnaismuuttujan ertymäfuntiosi saadaan: F( ) f( t) dt e e e t t dt Oloon. Tällöin Pr( ) F() e e.63 Soveltamalla omplementtitapahtuman todennäöisyyden aavaa saadaan Pr( ) Pr( ) F() ( e > ) e e.35 Huomautus: Kohdissa (b) ja (c) on sovellettu osittaisintegroinnin aavaa u v uv uv Ila Mellin (5) 6/6