Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...

Transkriptio

1 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k + 1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n = 0,1,2,..., sillä kohdan (i) perusteella väite on totta, kun n = 0, joten kohdan (ii) perusteella väite on totta, kun n = 1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n = 2 jne. 1 / 13

2 Induktiotodistus Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n = 0: induktion avulla voidaan todistaa myös muotoa väite P(n) on totta kaikille n = n 0,n 0 + 1,n 0 + 2,... oleva väite, kun n 0 N. 2 / 13

3 Induktiotodistus Esimerkki 1 Osoita, että kaikilla n = 1,2, (2n 1) = n 2 Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 = 1. Siis väite pätee kun n = 1. (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: (2k 1) = k 2. Induktioväite: (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. 3 / 13

4 Esimerkki 1 jatkuu Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikille n = 1,2, / 13

5 Summamerkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a a n. j=1 Esimerkki i = i=1 l 2 a k = a + a a l k=1 5 / 13

6 Summamerkintä Esimerkki 3 m 1 a2 k = a m 2 k = a( m ) 2 k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. p (αx j + βjy j+1 ) = α p x j + β p jy j+1 j=1 j=1 j=1 = α(x + x x p ) + β(y 2 + 2y py p+1 ) 3 n (2j 1)= (2n 1) j=1 6 / 13

7 Induktiotodistus Esimerkki 4 Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 0 ja b 1. Merkitään n S n = b j. j=0 Osoita, että kaikilla n = 0,1,2,.... S n = bn+1 1 b 1 7 / 13

8 Esimerkki 4 jatkuu Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite pätee, kun n = 0: Vasen puoli: S 0 = 0 b j = 1 j=0 Oikea puoli: b1 1 b 1 = b 1 b 1 = 1 Siis väite on tosi, kun n = 0. (ii) Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, ts. S k = bk+1 1 b 1. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k + 1, ts. S k+1 = bk+2 1 b 1. 8 / 13

9 Esimerkki 4 jatkuu Induktioväitteen todistus. Induktio-oletuksen perusteella S k+1 = k+1 b j = k b j + b k+1 j=0 j=0 induktio-oletus = b k+1 1 b 1 + b k+1 = bk+1 1 b 1 + (b 1)bk+1 b 1 = bk b k+2 b k+1 b 1 = bk+2 1 b 1. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n = 0,1,2, / 13

10 Induktiotodistus Esimerkki 5 Osoita, että kaikilla n = 1,2, n > 2n Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 1: Vasen puoli: 3 1 = 3 Oikea puoli: 2 1 = 2 Koska 3 > 2, niin väite on totta, kun n = 1. (ii) Induktio-oletus: 3 k > 2k Induktioväite: 3 k+1 > 2(k + 1) 10 / 13

11 Esimerkki 5 jatkuu Induktioväitteen todistus. Induktio-oletusta käyttäen saadaan 3 k+1 = 3 k 3 induktio-oletus > 2k 3= 2k + 4k k 1 2k + 4> 2k + 2= 2(k + 1). Näin ollen induktioväite on totta, ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n = 1,2, / 13

12 Induktiotodistus Esimerkki 6 Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1,q 2,...,q n summa q 1 + q q n on rationaaliluku. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 2, ts. kahden rationaaliluvun q 1 ja q 2 summa q 1 + q 2 on rationaaliluku. Olkoot q 1 = m 1 n 1 ja q 2 = m 2 n 2, missä m 1,m 2 Z ja n 1,n 2 Z +. Tällöin q 1 + q 2 = m 1 + m 2 = m 1n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 on rationaaliluku, sillä m 1 n 2 + m 2 n 1 Z ja n 1 n 2 Z / 13

13 Esimerkki 6 jatkuu (ii) Induktio-oletus: Kun k kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Induktioväite: Kun k + 1 kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Ts. jos q 1, q 2,..., q k+1 Q, niin q q k+1 Q. Induktioväitteen todistus. Olkoot q 1, q 2,..., q k+1 Q. Koska q q k + q k+1 = (q q k ) + q k+1, missä q q k Q induktio-oletuksen nojalla ja q k+1 Q, niin kohdan (i) perusteella näiden kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku. Siis induktioväite on totta. Induktioperiaatteen nojalla äärellisen monen rationaaliluvun summa on rationaaliluku. 13 / 13