Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i"

Katariina Leppänen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun u. Koska (u, v) =, niin (p i, v) =, ja siten p l i uv, jos ja vain jos p l i u. Koska uv on neliöluku, niin uv = tp j i i joillain luvuilla j i ja t niin, että (p i, t) =. Siten u = p j i i t, (p, t ) =. Luku u voidaan siis kirjoittaa muodossa u = n i= p j i i = ( n i= p j i i ), eli u on neliöluku. Vastaavalla päättelyllä myös v on neliöluku. Tehtävä. Etsi kaikki suorakulmaiset kolmiot, joiden sivujen pituudet ovat kokonaislukuja ja joiden piiri (sivujen pituuksien summa) on 00. Ratkaisu. On löydettävä positiiviset kokonaislukukolmikot (a, b, c), joille a + b = c ja a + b + c = 00. Tiedetään, että tällaisille kolmikoille löytyy positiiviset kokonaisluvut m, n ja t, joille tarvittaessa vaihtamalla luvut a ja b pätee a = t(m n ), b = tmn, c = t(m + n ). Lisäksi pätee (m, n) =, m > n ja toinen luvuista m ja n on parillinen. Nyt a + b + c = tm(m + n) = 00, eli tm(m + n) = 50. Luvun m on siis oltava luvun 50 tekijä. Jos olisi m 0, niin olisi tm(m+n) m(m+n) m(m+) 0 = 0 > 50. Siten < m < 0, eli m = tai m = 5. Jos m =, niin silloin olisi n =, mutta tästä seuraisi 6t = 50, mikä on mahdotonta, sillä t on kokonaisluku. Jos taas m = 5, niin yhtälö saa muodon 5t(n+5) = 50, eli t(n+5) = 0. Koska n + 5 > 5, ja (n + 5) olisi kuitenkin luvun 0 tekijä, olisi oltava n + 5 = 0 eli n = 5, mikä on vastoin oletusta n < m. Kysyttyjä suorakulmaisia kolmioita ei siis ole olemassa. Tehtävä 3. Etsi ketjumurtolukukehitelmät luvuille (i), (ii) 3. Ratkaisu 3. Muistetaan, että luvun α ketjumurtolukukehitelmän muodostamiseksi määritellään jono (α k ) asettamalla α 0 = α, α k+ = /(α k α k ), jolloin λ k = α k.

2 (i) α 0 =, λ 0 = = α = =, λ = = 3 3 α = 3 = + 3, λ = + 3 = 6 α 3 = 3 = α, λ 3 = λ Siispä = {3; 3, 6, 3, 6,...}. (ii) α 0 = 3, λ 0 = 3 = α = =, λ = = α = =, λ = = α 3 = =, λ 3 = = α = =, λ = = 3 α 5 = 3 3 = 3 + 3, λ 5 = = 6 α 6 = 3 3 = α, λ 6 = λ Siispä 3 = {3;,,,, 6,,,,, 6,...}. Tehtävä. Sovella edellisen tehtävän ratkaisuja ja etsi seuraavien Pellin yhtälöiden fundamentaaliratkaisut: (i) x y =, (ii) x 3y =. Ratkaisu. Tiedetään, että Pellin yhtälön x Dy = positiivisella ratkaisulla (x, y) luku x on luvun D konvergentti. Lasketaan siis konvergentit rekursiolla. Muistetaan, että y konvergenteille pn pätee p 0 = λ 0, p = λ 0 λ +, p n = λ n p n + p n, q 0 =, q = λ ja = λ n +. (i)

3 n p n p n q n Yhtälön x y = perusratkaisu on siis (x, y) = (0, 3). (ii) n p n p n 3qn Yhtälön x 3y = perusratkaisu on siis (x, y) = (69, 80). Tehtävä 5. Kehitä kultaisen leikkauksen luku α = ( + 5)/ ketjumurtoluvuksi. Osoita, että n:s konvergentti on F n+ /F n+, missä Fibonaccin luvut F n määritellään palautuskaavalla F 0 = 0, F = ja F k+ = F k+ + F k kun k 0. Yritä perustella (kenties heuristisesti) väitettä jonka mukaan kultaisen leikkauksen luku on kaikkein vaikein luku approksimoitavaksi rationaaliluvuilla! Ratkaisu 5. Kehitetään ketjumurtoluku. α = Siten α = {;,,,,...}. α 0 = α = + 5, λ 0 = = = α 0, λ = λ = Näytetään induktiolla, että konvergentit ovat peräkkäisten Fibonaccin lukujen osamääriä. 0:s konvergentti on / = F /F, ja seuraava konvergentti on / = F 3 /F. Oletetaan, että k:s ja (k + ):s konvergentti ovat F k+ /F k+ ja F k+3 /F k+. Silloin konvergenttien rekursiokaavan perusteella (k + ):s konvergentti on p k+ q k+ = λ k+p k+ + p k λ k+ q k+ + q k = F k+3 + F k+ F k+ + F k+ = F k+ F k+3 Induktioperiaatteen nojalla siis n:s konvergentti on F n+ /F n+. 3

4 Muistetaan, että millä tahansa irrationaaliluvulla β sen konvergenteille pätee β p n <. + Koska + = λ n+ + > λ n+, niin β p n < <. + λ n+ qn Heuristisesti siis jos jonossa (λ n ) on suuria termejä, niitä edeltää konvergenttien jonossa tarkempi arvio. Koska luvulla α jono (λ n ) on vakiojono, approksimaatio on epätarkin mahdollinen. Lisätietoa. Kuinka tarkasti lukua α voi arvioida? Näytetään, että jos K > 5, niin epäyhtälö α p q Kq on voimassa vain äärellisen monella rationaaliluvulla p/q. Luku α toteuttaa yhtälön α α = 0. Arvioidaan siis lauseketta ( ) p p q q = p q α p q + α. Koska α+ = 5, niin riittävän tarkoilla approksimaatioilla α p + q α p + α q 5 < K. Silloin ( ) p 0 < p q q < K p q α, eli 0 < p pq q < Kq p q α. Koska p pq q on aina kokonaisluku, luku p α q ei siis voi olla riittävän tarkoilla approksimaatioilla alle Kq. Huomautus. Joku voisi sanoa, että kultaisen leikkauksen luvun konvergentit on kuitenkin helppo löytää ja sen approksimointi rationaaliluvuilla ei ole erityisen vaikeaa - itse asiassa näytimme, että sitä voi approksimoida rationaaliluvuilla F n+ /F n+. Esimerkiksi luvun π osanimittäjät näyttävät satunnaisilta, joten uusien approksimaatioiden laskeminen on vaikeampaa. Tehtävä 6. Osoita että osanimittäjät λ n annetun irrationaaliluvun x ketjumurtolukuhajoitelmassa ovat rajoitettuja jos ja vain jos on olemassa vakio c > 0 niin että kaikille rationaaliluvuille p/q pätee x p q c q.

5 Ratkaisu 6. : Oletetaan, että luvun x ketjumurtolukuhajoitelman osanimittäjät ovat rajoitettuja, eli jollakin luvulla M pätee λ n M kaikilla n. Tiedetään, että jos x p q q, niin p on luvun x ketjumurtolukuhajoitelman konvergentti. q Konvergenteista pn tiedetään, että x p n >. (+ + ) Käyttämällä rekursiokaavaa luvuille n saadaan, että + = λ n+ + M + (M + ), joten x p n >. (+ + ) (M + )qn Valitsemalla siis c = min(, M+, x λ 0 ) saadaan väite. : Oletetaan, että kaikilla rationaaliluvuilla p/q pätee x p q c q. Tällöin tämä epäyhtälö pätee erityisesti konvergenteille, joilla n. Niille c qn x p n < <. + λ n+ qn Tästä seuraa, että λ n+ < /c. Siten osanimittäjät ovat rajoitettuja. Tehtävä 7. Onko olemassa tasasivuista kolmiota jonka kaikki kärkipisteet ovat tason kokonaislukupisteitä? Ratkaisu 7. Näytetään, etteivät tasasivuisen kolmion kärkipisteet voi kaikki olla tason kokonaislukupisteitä. Tehdään vastaoletus: pisteet (x, y ), (x, y ) ja (x 3, y 3 ) ovat tasasivuisen kolmion kärkipisteet, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja. Vähentämällä x-koordinaateista x 3 voidaan olettaa, että x 3 = 0. Vastaavasti voidaan olettaa, että y 3 = 0. Koska kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä, Pythagoraan lauseesta saadaan, että Tästä seuraa, että x + y = x + y = (x x ) + (y y ). (x x ) + (y y ) = x x x + x + y y y + y = (x + y ) (x x + y y ). 5

6 Nyt voidaan kirjoittaa Käytetään identiteettiä x + y = x + y = (x x + y y ). Tämän voi kirjoittaa nyt muotoon eli (x + y )(x + y ) = (x x + y y ) + (x y y x ). ((x x + y y )) = (x x + y y ) + (x y y x ) 3(x x + y y ) = (x y y x ). Jos x x + y y = 0, kolmion sivun pituus olisi 0, mikä on mahdotonta. Siispä ( ) x y y x 3 =, x x + y y mutta tämä on mahdotonta, sillä 3 Q. Tämä on ristiriita, joten tasasivuisen kolmion kärkipisteet eivät voi kaikki olla tason kokonaislukupisteitä. Vaihtoehtoinen ratkaisu. Olkoot z, z ja z 3 tason kokonaislukupisteitä, ja oletetaan, että z z = z 3 z ja olkoon θ kulma, jonka kärki on z ja jonka vasen ja oikea kylki kulkevat pisteiden z ja z 3 kautta. Silloin z z z 3 z =. Siten z z z 3 z = cos θ + i sin θ. Toisaalta z z = a + bi Z [i], ja z 3 z = c + di Z [i]. Siten z z = a + bi z 3 z c + di = (a + bi)(c di) c + d = ac + bd ad + ibc c + d c + d. Tästä nähdään, että sin θ Q. Koska sin π = 3 Q, tästä seuraa, että θ π 3 3 z, z ja z 3 eivät muodosta tasasivuista kolmiota. ja pisteet 6

Samankaltaiset tiedostot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia