ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö"

Transkriptio

1 ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò À Ð Ò ½ º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ

2 ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö Ó Ô Ì Ú Ø ÐÑ Ê Ö Ø ØÖ Ø ½ º º¾¼¼ ÚÙ ½ Ð Ø ÚÙ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÝØ ËÙÓÑ Ó ÓÒ Ò Ñ Ö ¹ ÀË̹ ÓÖØ ÐÐ Ó ÓÒ Î Ø Ö Ø Ö Ù Ò ÑÝ ÒØÑ Ò Ð Ú ÖÑ ÒÒ º Ã Ò Ð Ú ÖÑ ÒØ ÐÐ ÚÓ Ò Ø ÑѺ Ð ÐÐ Ø ØÓÚ Ø Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ ¹ Ð Ø ÔÓ Ø º Î Ñ Ó Ò ÑÝ Ö Ñ Ø ÔÙ Ð ÒÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð¹ Ò Ø Ø Ö ÓØ ÑÓ Ð Ò Ð Ú ÖÑ ÒÒ ØØ Ó Ð Ò Ò Ú Ò ÓÒ Ó Ø ØØÙ Ñ Ø¹ ÔÙ Ð Ñ Ò ËÁŹ ÓÖØ ÐÐ º Ì ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÝ ÙÚ Ø Ò Ò Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ýع Ø Ð٠غ Ä Ñ Ò Ø Ò ÑÙÙØ Ñ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙÐ Ò Ú ¹ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ð ØØÝÚ ÓÒ ÐÑ º ÌÑÒ Ð Ò ÙÚ Ø Ò ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ º ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÙÚ Ô ÐÚ ÐÙÒ Ö Ô ÒÒ Ò Ó ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐØ ÔÝÝ ØÒ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ º ÄÓÔÙ ÙÚ Ø Ò Î Ð ÑÓ Ï Ö Ð ÇÝ Ò ØÓØ ÙØÙ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ Øº Å ÓÑÔÙØ Ò Ð Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ëµ º Ø ÒÖÝÔØ ÓÒ º¾º ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ú Ò Ò Ø ÆÝ ÐÓÖ Ã ÝÛÓÖ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ú ÖÑ ÒÒ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ ÌËÁ ÅËË Ë ÐÝØÝ Ô ÖÚ Ö Ò ØÐÐ Ï Ö ÔÓ Ø ÅÙ Ø Ø ØÓ ÚÖ ÙÔÔ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù ½ ¾º½ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÊË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ð Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ¹À ÐÐÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Î ÖÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º½ ÄÙÓØØ ÑÙ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÝÚÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ½ º½ ÅÓ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Î Ø Ò ÓÖÑ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÅÙÙØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÅËË¹Ø ØÓØÝÝÔÔ Ò ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÇ È¹ Ð Ú Ö ÓÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅËË¹Ô ÐÙÙ ÓÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌËÁ Ò ÅË˹ Ø Ò Ö Ò ØÓØ ÙØÙ º½ Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò ØÓØ ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º½ ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º¾ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ º º º º º º º º º º º º º ¾

4 º¾ Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÐÑ Ò Ò Ó ÔÙÓÐØ Ò Ö ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÙÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÙÐ ¹ÐÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓÚ Ö Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º ÐÐ Ò Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒ ÖÑ Ö¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º À ÖÒ Ø ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ ÂÅ˹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ ÂÅ ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¾ Ä È¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½ Ë Ã¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ËÙÓÖ ØÙ ÝÚÝ Ø ¼ Ø ÒÚ ØÓ ½ Ä Ø Ø ¾ Ä ØØ Ø ½ ÅĹ Ñ ¹ÑÖ ØÝ Ø ÅËË¹Ú Ø Ò ÅĹ Ñ ¹ÑÖ ØØ ÐÝØ ½ º½ ÅĹ Ñ ¹Ò Ñ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Å ØÖ ØÌÝÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

5 Ú º ÅËË ÈÖÓ Ð ÉÙ ÖÝ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅËË Ê ØÖ Ø ÓÒ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅËË Ê ÔØ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅËË À Ò ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅËË ÆÓØ Ø ÓÒ¹Ô ÐÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾

6 ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÝØ Ó Ô Ø Ò ËËĹ ÌÄË ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ë ÙÖ Ë ÐÐ¹Ô ÐÚ ÐÙ ËËÀµ ļ ÑÙØØ ÑÙÙØ Ò Ò ÝØØ ¹ Ñ Ö ÔÓ Ø Ò Ð Ñ ¹ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ú Øº ËÙÓÑ Î ¹ Ø Ö Ø Ö Ù ÎÊõ ÓÒ Ó ÓÒ Ò ÑÝ ÒØÒÝØ ÀË̹ÐÝ ÓÖØ ÐÐ À Ò Ð Ò Ë Ò Ò ÌÙÒÒ Ø Ñ Ò Òµ Ò º Ò Ð Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ö¹ Ð ÐÐ Ø ØÓÚ Ò Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÔÓ Ø Ò Ð Ù ¹ Òº ÃÓÖØØ Ò Ñ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÓÐÐÙØ ØÓ ÚÓØØÙ ÐÐ ÀË̹ ÓÖØ ÐÐ ÝØ Ø¹ ØÚ Ô ÐÚ ÐÙ Ø ÓÐ ÙÙÖ Ò ÓÐÐÙØ ÓÖØ ÒÐÙ Ó Ò Ø ÚÙÙ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ó º ÃÝ ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ò Ò ÑÙÒ ¹ Ò ¹ÓÒ ÐÑ º Ê Ø Ù Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÑÓ Ð Ò Ð Ú ÖÑ ÒÒ ØØ Ó Ð ¹ Ò Ò Ú Ò ÓÒ Ó Ø ØØÙ Ñ Ø ÔÙ Ð Ñ Ò ËÁŹ ÓÖØ ÐÐ º ÌÑÒ Ö Ø ÙÒ ÓÒ ØÓ ÚÓØØÙ ØÙÓÚ Ò Ð ÒÒÓ ØÙ Ø Ò Ð Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐÐ Ø Ø Ô Ù Ñ Ø ÔÙ ¹ Ð Ò ØÓ Ñ ÓÖØ ÒÐÙ Ò Ñ Ø ÔÙ Ð Ò ÓÒ Ò Ð Ó Ø Ò Ò Ñ Ð Ò Ò ÝØع Ò ÑÙ Ò º ËÙÓÑ ØÐÐ ³ÈÃÁ¹ËÁų¹ ÓÖØØ ÑÝ ÒØÚØ Ñ Ö Ì Ð ËÓ¹ Ò Ö Ð º ÌËÁ ÙÖÓÔ Ò Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËØ Ò Ö ÁÒ Ø ØÙØ µ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ËÇ È Ò ÀÅ + ¼ Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ Ò ÅÓ Ð Ë Ò ØÙÖ Ë ÖÚ µ Ó ÑÖ ØØ ¹ Ð Ö Ô ÒÒ Ò Ô ÐÚ ÐÙÒØ Ö Ó Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓÚ Ö Èµ Ñ Ø ÔÙ Ð ÒÓÔ ¹ Ö ØØÓÖ Ò Ø Ö Ó Ñ Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÅËË ÈÖÓÚ Ö ÅËËȵ ÚÐ ÐÐ º ÅËË¹Ö Ô ÒÒ Ò ØÓØ ÙØÙ Ñ ÓÐÐ Ø ÑѺ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÔÝÝØÑ Ò ÐÓÔÔÙ Ýع Ø ÐØ Ô ÐÚ ÐÙÒØ Ö Ó ÐÐ º ÅË˹ÑÖ ØÝ ÙÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Òº Ä ÙÚ Ø Ò ÖÒ ÅË˹ØÓØ ÙØÙ Ò Ö Ø ØÙÙÖ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÙÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Òº ¾ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù ÂÓØØ Ø ÓÒÚÐ ØÝ ÚÓ Ñ Ø ØÓÚ Ö Ó ÓÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÐ Ø ÓÒ ÒØ Ð Øݵ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ù Ø ÒÖÝÔØ ÓÒµº Ë Ð Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ó Ø ÙØ Ù¹ Ø Ò ÑÝ ÝÑÑ ØÖ Ð Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÑÑÙÒ Ó Ú ÐÐ Ó ÔÙÓÐ ÐÐ ÐÐÙ ¹ Ò Ð Ò Ò Ú Ò Kº Ä Ø ØØÚ Ø ØÓ Ð ÐÚØ Ø P Ð Ø Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ f Ò Ð Ø Ø C = f K (P)º Î Ø ÒÓØØ Ð Ø Ø Ò ÐØÙÙÒ ÔÙÖ¹ Ò Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ K Ò ÐÚØ Ø Ò P = f 1 K (f K (P)) = f 1 K (C)º Å Ò ¹ Ø ÐÑÒ ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ð Ø Ø Ø C ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú

7 ¾ ½ ÐÚ ÐÐ ÐÚØ Ø P º Ú Ò K ÓÒ Ô ØØÚ Ð ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÐÐÙ Ò ÚÓ ÙÙÒÒ ÐÐ Ó ÔÙÓÐØ Ò ÚÐ Ø ÓÑÑÙÒ Ó ÒØ º ÇÒ ÐÑ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÙÙÖ Ø ÖÚ Ø¹ Ø Ú Ò Ú ÒØ Ò ÑÖº ÂÓ n Ó ÔÙÓÐØ ÐÙ ÓÑÑÙÒ Ó ÒÒ Ø ÖÚ Ø Ò n 2 n Ú ÒØ º Æ Ò Ú ÒØ Ò ÐÙÒ ÐÐ ÒÒÓ ÒÒ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ý ØÖ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñµ À ÐÐÑ Ò ØØ ÚØ Ö Ø Ù Ð Ó ÖØ Ð Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ À Ô Ö ØØ Øº ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ð Ò Ú Ñ Ò Ò Ó ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ú ÒØ Ð Ò Ò Ú Ò K pr ÙÐ Ò Ò Ú Ò K pu º ÆÑ Ú Ñ Ø ÓÚ Ø ¹ ÒÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÐÐ Ù Ø ØØ ØÓ Ò Ð Ñ Ò Ò ØÓ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú º Ò À ÐÐÑ Ò Ò Ú ÒØ ÒÚ Ó Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ú ¹ Ù ÓÒ Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ð Ñ ÊË Ø ÓÒ Ý Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ò ÓÒ Ú Ù Ø ¾ º ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÐ ÙÙ ÚÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø º Ä Ø¹ Ø Ò Ú Ø ÒÓØØ Ò B ÙÐ Ò Ú Ñ Ò K pub ÑÙÓ Ó Ø Ð Ø Ø Ò C = f KpuB (M)º Î Ø ÒÓØØ ÔÙÖ Ð Ø Ø Ò C ÓÑ ÐÐ Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ Ò K prb Ò ÐÚØ Ø Ò P = f 1 K prb (f KpuB (M)) = f 1 K prb (C)º ÃÝØÒÒ Ô Ø¹Ô Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÐÐ ÙÙ Ò ÔÓ ÒعØÓ¹ÔÓ ÒØ ÒÖÝÔØ ÓÒµ ¹ ÚÙØØ Ñ ÝØ ØÒ ØÙÒØÓ Ú ÒØ ÓÒ Ýµ ÝÑÑ ØÖ Ð Ù Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÐÐ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÑÓÒØ ÖØ ÐÙÓ Ø Ñ¹ Ô ËØ º ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÙØ Ò ÊË Ø ¹À ÐÐÑ Ò ÝØ ØÒ Ú Ò ØÙÒØÓ Ú Ñ Ò ÚÐ ØØÑ Ò Ó ÔÙÓÐØ Ò ÚÐ ÐÐ Ý Ü Ò µº ÌÓ ÒØ Ñ Ò Ò ÙØ ÒØ Ø ÓÒµ Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ ØÓ ÒÒ ØØ Ú Ó ÔÙÓÐ A Ð ØÓ ÒØ Ñ Ø ÐÙ Ú ÐØ Ó ÔÙÓÐ ÐØ B Ñ Ò Ø Ú Ø Ò ÐÐ Ò Ø Üص M Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ Ò K pra Ò Ð Ø Ø Ò C = f 1 K pra (M)º Î Ø ÒÓØØ B ÔÙÖ¹ Ð Ø Ø Ò A Ò ÙÐ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ K pua Ò ÐÚØ Ø Ò M = f KpuA (f 1 K pra (M)) = f KpuA (C)º ÂÓ M = M Ò Ò Ó ÔÙÓÐ A ÓÒ ØÓ ÒÒ ØØÙ ÚÓ Ò ÒÓ A Ò ÓÐ Ú Ò Ù Ò Ú ØØ Ò ÓÐ Ú Ò º ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ó ÔÙÓÐ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò K pu º ÎÓ ¹ Ò Ó ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ø ÙÙÐÙÙ Ó K pu ØÓ ÐÐ Ò ÐÐ ÒØ Ø Ø ÐÐ Ó Ú ØØ ½ ÅÙÖØ Ñ Ò Ú Ù Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò ÖÙØ ÓÖ µ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ ÐÙÓ O(2 n ) Ñ n ÓÒ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ º ¾ Ì Ò ÓÒ Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ú ÓÒ ÐÑ ÑÙØØ Ú ÖÑÙÙØØ Ø Ú Ð ÓÐ º

8 ÓÑ Ø Ú Ò K pu Ò Ì Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÒ ÐÙÓØ ØØÙ ÓÐÑ Ó ÔÙÓÐ Ú Ö¹ Ñ ÒØ ÖØ Ø ÙØ ÓÖ ØÝ µ Ó Ø ÑÝ ÑÑ Ò Ð º ÂÖ Ø ÐÑ Ó ÓÒ ÑÙ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐØÚØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ú ÖÑ ÒØ Ø ÙØ ÙØ Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ÈÙ Ð Ã Ý ÁÒ Ö ØÖÙØÙÖ ÈÃÁµº ¾º½ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ó ÙÑ ÒØØ D ÚÓ Ò Ø Ð Ø ÐÐ Ö Ó ØØ Ð Ñ ÐÐ ÐÐ Ö Ó ØØ Ò A Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ DS = f KprA (D)º Æ Ò Ò Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ DSº ÇÒ Ú Ð Ñ Ò ØØ Ú ØØ ØÑ Ú Ø Ð Ù ÙÒ Ø ÓÐØ f Ò ØØ D = f KprA (f KpuA (D)) = f KpuA (f KprA (D))º Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ØØ Ó ÙÑ ÒØØ D ÑÙÙØØÙÒÙØ Ñ Ø ÐÐ ÔÝÝØ ÐØ B ÐÐ Ö Ó ØØ ÐÐ A ÒØ Ö Øݵ ØØ Ò ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ö Ó ØØ ÒÙØ A Ó B ÐÙÓØØ A Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ú ÖÑ ÒØ Òµ ÙØ ÒØ Ø ÓÒµº à ØÑØØ ÑÝÝ ÒÓÒ¹Ö ÔÙ Ø ÓÒµ ÚÙØ Ø Ò Ø Ò ØØ ÐÙÓØ ØØÙ Ó ÔÙÓÐ Ø ÐÐ ØØ DS Òº ÌÐÐ Ò ÐÐ Ö Ó ØØ A ÚÓ Ø ÐÙÓÒ Ò DS º ÃÓ Ó ÙÑ ÒØØ D Ò ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÙÙÖ Ð Ø Ò Ù Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø D Ð ØØÙ ÖÝÔØÓ Ö Ò Ò Ø Ú Ø Ñ Ø Ó µ MD = H(D) ÓØØ DS Ø Ò ØÙÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÙÙÖØ º MD ÓÒ ÓÓÐØ Ò Ú Ó ÓÒ Ó ÙÑ ÒØ Ò D Ø Ð Ò Ò ³ ÓÖÑ Ò Ð ³º ÌÐÐ Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ñ Ö Å Ê Ú ¾ ËÀ ¹½ ÆÁË º Æ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ù Ø Ò Ò ÙÓ Ø ÐÐ ÝØ ØØÚ ÙÙ ¹ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ò Ø Ð Ý ØØÝ Ò ÓÙ Ò ÚÙÓ Ê Ò¼ ËÞݼ º ÆÝØ DS = f KprA (H(D)) ÚÓ Ò Ð ØØ Ó ÔÙÓÐ ÐÐ B Ó ÚÓ Ø Ö Ø Ø ¹ Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ØÓÙ Òº Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ DS ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÙÖ Ú Ø ÝØØ B ÔÙÖ DS Ò Ó H(D) = f KpuA (DS) ÓÒ DS Ø Ö Ø ØØÙ Ó Òº ÃÙØ Ò Ó ÑÑ Ò Ñ Ò ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÚÓ Ò Ó ÐÙÓØØ Ò ØØ A Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò K pua ØÓ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ò Ì Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÚ Ø Ò Ö Ø Ù ÑÝ ¹ ÑÑ Òº

9 ¾º¾ ÊË ÊË ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ú ÒÔ Ö ØÙÓØ Ø Ò ÙÖ Ú Ò ÔÔ Ð Ò Ø ÚÓ Ò Ë º Î Ð ¹ Ø Ò Ð Ø Ð ÙÐÙ Ù p q p qº ÌÑÒ Ð Ò Ð Ø Ò n = p qº ÄÙ Ù n ÙØ ÙØ Ò ÙÐ µ ÑÓ ÙÐÙ p q Ú Ø ØÒº ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ø Ó φ(n) ÓÒ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÖ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò n n Ò Ò Ù Ø ÐÐ Ø ÓØØÓÑ Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÔÖ Ñ µº ÂÓ p q ÓÚ Ø Ð ÙÐÙ Ù Ò Ò φ(p q) = (p 1)(q 1) ÓØ Ò φ(n) ÓÒ ÐÔÓ Ø Ð ØØ Ú º ÂÙÐ Ò Ò ÔÓÒ ÒØØ e Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ syt(φ(n), e) = 1 1 < e < φ(n)º ÂÙй Ò Ò Ú Ò ÓÒ ÒÝØ K pu = (e, n)º Ë Ð Ò Ò Ú Ò ÓÒ K pr = (d, n) Ñ d e 1 (mod φ(n))º ÇÐ ÓÓÒ M Ð ØØ Ú ÐÚØ Ø º ÌÐÐ Ò Ð Ø Ø C ÓÒ C = M e (mod n)º Ë Ð ¹ Ø Ø C ÔÙÖ Ø Ò ÐÚØ Ø M Ð Ñ ÐÐ M = C d = (M e ) d = M ed = M 1 (mod n)º Ë Ð Ù Ò Ò ÔÙÖÙÒ ÙÓÖ ØÙ Ý Ý Ö Ó ØØ ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØØ Ñ Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ nº Ä ØØ Ú Ò ÓÒ a b (mod n)º ÈÓØ Ò Ò a b (mod n) Ò Ð Ñ Ò Ò a... a (mod n) Ú Ø Ú ÐØ Ú ÚÐ ØÙÐÓ ÑÙØØ ÓÒÒ ÑÓ ÙÐÓ n ÚÓ Ò ÙÓÖ Ø¹ Ø Ó Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ((a (mod n)) (b (mod n))) (mod n) = (a b) (mod n)º Ë ÙÖ Ú ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÙÓÖ ØØ ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ Ò a b ÔÓÒ ÒØØ b ÓÒ ÐÑ ØÙ ÒÖ ÐÙ ÙÒ b k, b k 1,..., b 0 º (mod n) ËØ º ½ ÓÖ ÓÛÒØÓ ¼ Ó µ ÑÓ Ò Ø Ø Ò Ø Ò µ ÑÓ Ò ÃÙØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø ÚÓ Ò Ò ØÓ Ñ O(k) ÓÐ ØØ Ò ØØ ÑÓ ÙÐÓ n Ò Ð Ñ Ò Ò Ú Ú Ó Ò O(1)µ Ñ k ÓÒ ÔÓÒ ÒØ Ò Ý ØØ Ò ÑÖº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÔÓÒ ÒØ ÒÒ ØØ Ú Ð Ø ÐÙ Ù Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò Ý ¹ ØØ Ù Ò e Ú Ð Ø Ò = º ÌÐÐ Ò ÙÐ Ò Ú ¹ Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ Ð Ø ÓÒ Ð Ù Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ø Ô ØÙ¹ Ú Ø ÒÓÔ Ø ÑÙØØ Ú Ø Ú Ø Ð Ò Ú Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙØ Ò Ð Ù Ò ÔÙÖ Ù Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÐÙÓÒØ Ú ÚØ Ò ÑÑÒ º Î Ø Ú Ø Ð Ò

10 Ú Ñ Ò ÔÓÒ ÒØ d ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÙ Ù Ó ÐØ Ú Ò Ý ØØ ÓÐÐÓ Ò ÐÐÑ Ò ØÙØ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÒÓÔ ÙØÙÚ Ø ØÓ Ø Ú Ø Ú Ø ØÙÚ Ø Ï º Ê Ô¹ ÔÙÙ ÝØØ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ú Ð Ø Ò Ó e Ú d Ú Ò Ý ØØ ÐØÚ ÔÓÒ ÒØØ º ÊË Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ò Ù ÓØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ø Ò ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò Ë Ó ÓÒ ØÙÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÓ Ñ Ú Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÂÓ Ý ØØÙ n Ò Ø Ò p q ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø Ð ÖÚÓÒ φ(n) = (p 1)(q 1) Ð Ò Ú Ñ Ò ÐØÙÙÒ d e 1 (mod φ(n))º ÀÝ ÚÓ ÑÝ ÝÖ ØØ ÐÚ ØØ Ð Ø ÔÓÒ ÒØØ d ÙÓÖ Ò ÙÐ Ø Ú ¹ Ñ Ø (e, n) ÑÙØØ ØÑÒ Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ø Ú Ù Ò Ø Ò Ó ÃÊ º ÌÓ ÐØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒ ÒÐ Ø ÒÝØØ Ø ØØ ÊË Ò ÑÙÖØ Ñ Ò Ò ÚÓ ÓÐÐ ÐÔÓÑÔ Ù Ò Ø Ò Ó ÐÐÓ Ò ÙÒ d e 1 (mod φ(n)) ÓÒ Ô Ò º ÁØ Ò Ò ÓÒ ÐÐÓ Ò ÙÒ d < n º ÄÝ Ý Ø ÐÚØ Ø ÝØ ØØ ÊË ÓÒ ÓÒ ÐÑ º ÇÐ ÓÓÒ Ð ØØ Ú ÐÚØ Ø m ¹ ØØ Ò Ò Ë¹ Ú Ò ÓÒ ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÐÙÓ ÒÙÑ ÖÓ º ÌÑ Ð Ø Ò ÙÐ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ (e, n) Ò Ð Ø Ø c m e (mod n)º ÆÝØ Ý Ø Ð Ø ½º cx e (mod n) ÐÐ 0 x 10 9 ¾º y e (mod n) ÐÐ 0 y 10 9 ÌÑÒ Ð Ò Ý Ø Ô Ö Ò Ø Ò ØØ cx e y e (mod n) ÓÐÐ Ò x, yº ÌÑ ÓÒ Ñ Ù Ò c (xy) e (mod n) m xy (mod n) ÓØ Ò Ý ÓÒ ÒÙØ ÐÚØ Ø Ò m ÐÚ ÐÐ ÓÐ ØØ Ò ØØ x y ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ô Ò ÑÔ Ù Ò 10 9 º ÅÓÒ ÐÚØ Ø m ÓÒ Ò ØÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓº ÌÑ Ý Ý ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ó ÑÔ Ù Ò Ý ÐÔ m Ò ÖÚÓ º ̹ ÑÒ Ý Ý Ò ØÓ ÓÒ ÐÔÔÓ º Ä ØÒ ØÙÒÒ ØØ m Ò Ð ÙÙÒ ÐÓÔ¹ ÔÙÙÒº Ë Ð Ø Ø Ò c Ú Ø ÒÓØØ Ø Ø ØÑÒ Ó ÔÓ Ø ÒÑ ÝÐ ÑÖ Ø Ø Øº À Ñ Ò Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ø º ÎÙÓÒÒ ¾¼¼ Ú ÒØÒ 73 ØØ Ô Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò Ú Ò ØÙÓ ØÙÖÚ Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ý Ý Ø Ú Ø Ò Äμ½ º Ê ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ð ÒØ ÚÓ Ñ ÓÒ ÖÚ Ó ØÙ 3, ÅÁÈ˹ÚÙÓØØ º ÊË Ò Ø Ô Ù Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ø Ö Ó ØØ ÙÐ Ò ÑÓ ÙÐÙ Ò n Ô ØÙÙØØ º ÎÙÓÒ¹ Ò ¾¼¼ Ú ÒØÒ 1068 ØØ Ô Ø Ò n Ù ÓØ Ò ØÙÓÚ Ò ØÙÖÚ Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ý ¹

11 Ý Ø Ú Ø Òº ÌÑ Ó Ó ØØ ÐÚ Ø Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑØ 1068 Ú º 73 ØØ µ ÙØ Ò ÊË Ú Ø Ú Ø Ú ÖÖ ØØÙÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ñ Ò Ø ÐÑ Òº ¾º Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÇÐ ÓÓÒ G Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñ Ó ÓÒ n Ð ÓØ º ÇÐ ÓÓÒ b ÖÝ ÑÒ G Ú Ö ØØ º ÌÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø ØØ Ó Ò Ò ÖÝ ÑÒ G Ð Ó x G ÚÓ Ò ÐÑ Ø Ú Ö ØØ Ò ÔÓØ Ò Ò x = b k, k Nº Ö ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÒÒ ÐÐ b ÓÒ ÙÒ Ø Ó log b : G Z n º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ Ù y G ÑÙÓØÓ y = b x º ÌÐÐ Ò Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ð ÐÙ Ù x = log b (y), x Z n º Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ð ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò ÄÈ Òµ Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ú Ó ÐÐ Ò ÖÝ Ñ ÐÐ G ÑÙØØ ÒØ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ð Ö ØØ ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ ÓÒ ÐÔ¹ ÔÓº ÌØ ÝÑÑ ØÖ Ý ÝÒÒ ØÒ Ñ Ö Ð Ñ Ð¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò À ÐÐÑ Ò Ò Ú ÒØ ÒÚ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ º Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ ØÑ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ø Ö Ó ØØ p Ò Ô ØÙÙØØ ÖÝ ÑÒ G ÓÐÐ Z p = {1, 2,..., p 1}º ÃÓ ÄÈ Ò Ø Ò Ó ¹ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ø Ú Ø Ú Ò¹ ØÒ 1068 Ô Ø Ò p Ò Ù ÓØ Ò ÙÓ Ú Ò Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ý Ý ÐØ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Äμ½ º ¾º º½ Ð Ñ Ð Ú ÒÔ Ö Ò Ò ÖÓ ÒØ Ø Ô ØÙÙ ÙÖ Ú Ø º Î Ð Ø Ò ÙÙÖ Ð ÙÐÙ Ù p Ø Ò ØØ Ö ØØ ÐÓ Ö ØÑ ¹ÓÒ ÐÑ Ý Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÝ Ñ Z p ÓÒ Ú Ï º Ë ÙÖ Ú Ú Ð Ø Ò ÖÝ ÑÒ Z p Ú Ö ØØ g Ó ÓÖÓØ Ø Ò ØÙÒÒ Ò ÔÓØ Ò Ò k h = g k (mod p), 1 < k < p 1º ÆÝØ ÙÐ Ò Ò Ú Ò K pu ÓÒ ÓÐÑ Ó (p, g, h) Ð Ò Ò Ú Ò K pr ÓÒ ÓÐÑ Ó (p, g, k)º Î Ø Ò M Ð Ù Ø Ô ØÙÙ ÙÖ Ú Ø º Î Ø M ÓÓ Ø Ò ÐÙ ÙÒ m, 1 m p 1º ÌÑÒ Ð Ò Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ ÐÙ Ù 1 < s < p 1º Ë Ð ØØÙ Ú Ø C ÓÒ ÒÝØ Ô Ö C = (c 1, c 2 ) Ñ c 1 = g s (mod p) c 2 = m h s (mod p)º Ë Ð Ø Ø Ò C = (c 1, c 2 ) ÔÙÖ Ù Ø Ô ØÙÙ Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ K pr = (p, g, k) ÙÖ ¹ Ú Ø c k 1 c 2 = (g s ) k m h s = (g k ) s m h s = h s m h s = m (mod p)º

12 Ð Ñ Ð¹Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÚÓ Ò ÑÝ ÐÙÓ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ º Î Ø Ø M Ó ÓÒ ÓÓ ØØÙ ÒÙÑ ÖÓ m ØÙÓØ Ø Ò Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð ÐÐ Ú ¹ Ñ ÐÐ K pr = (p, g, k) ÙÖ Ú Ø º Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ò Ò 1 < s < p 1 Ø Ò ØØ s p 1 ÓÚ Ø ÒÒ ÓØØÓÑ Øº ÌÑÒ Ð Ò Ð Ø Ò s 1 = g s (mod p) s 2 = (m k s 1 )s 1 (mod p 1)º Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ DS ÓÒ ÒÝØ Ô Ö (s 1, s 2 )º ¾º º¾ ¹À ÐÐÑ Ò Ò À ÐÐÑ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ À ÚÓ Ò Ò Ó ÔÙÓÐ Ò ÚÐ ÐÐ ØÙÖÚ Ø¹ ØÓÑ Ø ØÓÚ Ö Ó Ú Ø Ó Ò Ð ÙÙ Ó Ù Ò ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ñ ¹ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÒØÓ Ú Òº Ò Ò Ú Ð Ø Ò Ð ÙÐÙ Ù p Ó ÓÒ ÐÙ Ù α Ø Ò ØØ α ÓÒ p Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÙÖ α < pº ÌÐÐ Ò p Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÙÖ Ò ÖÓ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ 1,..., p 1 ÔÓØ Ò Ò ÙØØ º ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÙÖ Ò α ÔÓØ Ò Ø α (mod p), α 2 (mod p), α 3 (mod p),..., α p 1 (mod p) ØÙÓØØ Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ 1,..., p 1 Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓØ Ò α ÓÒ Z p Ò Ú Ö Ø¹ Ø º ÇÐ ÓÓØ p α ÙÐ º ÂÓ A B ÐÙ Ú Ø Ú Ø Ð ÙÙ Ò K A Ú Ð Ø Ð Ò ØÙÒÒ ÐÙÚÙÒ X A < p Ð Y A = α X A (mod p)º Ë Ñ Ò Ø Ô Ò B Ú Ð Ø Ð Ò ØÙÒÒ ÐÙÚÙÒ X B < p Ð Y B = α X B (mod p)º Ë ÙÖ Ú A B Ú Ø Ú Ø ÙÐ Ø ÐÙÚÙØ Y A Y B ÒÒº Ë ØØ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ó ÔÙÓÐ Ø ÓÖÓØØ Ú Ø ØÓ Ò Ó ÔÙÓÐ Ò ÙÐ Ò Y Ò Ð Ò ÔÓØ Ò Ò X Ò Ð ÙÙ Ò K K = Y X A B (mod p) = (α X B (mod p)) X A (mod p) = (α X B ) X A (mod p) = α X B X A (mod p) = (α X A ) X B (mod p) = (α X A (mod p)) X B (mod p) = Y X B A (mod p)º ÀÝ ÐÐ Ó ÐÙ ÐÚ ØØ K Ò ÓÐ ÑÙÙØ ÙÐ Ø Ø ØÓ Ø Ú ÐÐ Ù Ò (q, α, Y A, Y B )º ÀÒ Ò ØÝØÝÝ Ð Ö ØØ ÐÓ Ö ØÑ X A = log α (Y A ) Ó ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ø Ú Ø ØÝ ÐÐ ÖÝ Ñ ÐÐ ÅÏ ÐÐ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ ØÙÒÒ Ø º

13 ¹À ÐÐÑ Ò ÓÒ ÑÝ ÐØ ÚÐ Ñ Ý Ý ÐÐ Ñ Ò Ò Ø Ñ Ð ØØ µº ÀÝ Ú Ó ÔÙÓÐ ÚÓ Ô Ø A Ò B ÐÐ Ð ØØÑÐÐ ÙÐ Ò ÐÙÚÙÒ Y A Ð ØØÑÐÐ B ÐÐ ÓÑ Ò ÙÐ Ò ÐÙÚÙÒ Y C ØØ B Ò A ÐÐ Ð ØØÑÒ ÙÐ Ò ÐÙÚÙÒ Y B Ð ØØÑÐÐ A ÐÐ ÓÑ Ò ÙÐ Ò ÐÙÚÙÒ Y Cº Æ Ò Ý ÚÓ Ð ÙÙÒÒ ÐÐ A Ò B Ò ÚÐ Ø Ù Ø ÐÙ ÔÔ Ñ ÐÐ A Ò B ÐÐ Ð ØØÑÒ Ú Ø Ò ÔÙÖ ¹ Ñ ÐÐ Ò A Ò Ý Ò Ò ÐÙÓ ÙÒ Ð Ò Ú Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò Ý ÙÙ ÐÐ Ò Ð Ú Ø Ò B Ò Ý Ò Ò ÐÙÓ ÙÐÐ Ð ÐÐ Ú ¹ Ñ ÐÐ º A B ÚØ ÙÓÑ ØØ ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ø Ò Òº ÌÑ ÚÐ Ñ Ý Ý ÓÒ Ø ØØÚ ØÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø A B ÒÒ Ò ØÙÒØÓ Ú Ñ Ò Ú ØÓ Ñ Ö¹ Ø Ð ÐÐ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ º ÌÑ ÚÐ Ñ Ý Ý ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½º A C B Y_A Y_C Y_B Y_C ÃÙÚ ½ ¹À ÐÐÑ Ò ÚÐ Ñ Ý Ý ¾º º Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ð Ñ ¹ Ò Ú ÙØ Ò ËØ º Ë ÙÙÒÒ Ø ÐØ Ò Ô Ð ØÒ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ð ¹ Ñ Ò Ð Ù Ò Ø Ú ÒØ Ò Ú ØÓÓÒº Ò Ò Ò ÖÓ Ò Ú ÒÔ Ö º Î Ð Ø Ò Ä¹ ØØ Ò Ò Ð ÙÐÙ Ù p 512 L 1024º Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò 160¹ ØØ Ò Ò Ð ÙÐÙ Ù q Ø Ò ØØ p 1 = qz, z Zº ÌÑÒ Ð Ò Ú Ð Ø Ò h 1 < h < p 1 Ø Ò ØØ g = h z (mod p) ØØ ØÙÒÒ Ò Ò 0 < x < qº ÂÙÐ Ò Ò Ú Ò ÓÒ ÒÝØ K pu = (p, q, g, y) Ñ y = g x (mod p)º Ë Ð Ò Ò Ú Ò ÓÒ K pr = xº Î Ø Ø M Ð Ø Ò Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ ÙÖ Ú Ø º Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ ÐÙ Ù s 1 < s < qº Ë ØØ Ò Ð Ø Ò s 1 = (g s (mod p)) (mod q) s 2 = (H(M) s 1 x) s 1 (mod q) Ñ H ÓÒ ËÀ ¹½ ¹Ø Ú Ø ÙÒ Ø Óº Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ DS ÓÒ ÒÝØ Ô Ö (s 1, s 2 )º DS Ø Ö Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ø

14 ½º w = s 1 2 (mod q) ¾º u 1 = H(M) w (mod q) º u 2 = s 1 w (mod q) º s 1 = ((g u 1 y u 2 ) (mod p)) (mod q) Ì Ö ØÙ ÓÒ ÓÒÒ ØÙÒÙØ Ó s 1 = s 1º ¾º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ Ê Ð Ø ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÓØÓ y 2 +axy+by = x 3 +cx 2 +dx+e ÓÐ Ú Ò Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ñ a, b, c, d, e Rº ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÑÝ Ô Ø O Ð Ô Ø Ö ØØ ÑÝÝ ÔÓ ÒØ Ø Ò Ò Øݵ Ø ÒÓÐÐ Ô Ø Þ ÖÓ ÔÓ Òصº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ý Ø ÒÐ Ù Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ËØ ÃÙÚ ¾ Ñ Ö ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ Ø ½º È Ø O ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÒØ Ø ØØ Ð O = Oº ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ P E ÔØ P + 0 = 0 + P = P, P Eº ¾º ÈÝ ØÝ ÙÓÖ ÙÓÖ Ð ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ü¹ ÓÓÖ Ò ØØ º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ø P 1 = (x, y) P 2 = (x, y)º ËÙÓÖ Ð ÑÝ ÒÓÐÐ Ô Ø Òº ÌØ Ò P 1 + P 2 + O = O P 1 = P 2 º ÌÐÐ Ò Ô Ø Ò P = (x, y) ³Ò Ø Ó³ P ÓÒ Ô Ø (x, y) ØÑ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾ º

15 ½¼ º Ã Ò Ô Ø Ò Q R Ó ÐÐ ÓÒ Ö Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ý Ø ÒÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ø º È ÖÖ ØÒ Ò Ò ÚÐ ÐÐ ÙÓÖ Ø Ò ÓÐÑ Ð Ù µô Ø P 1 º ÌØ Ò Q+R+P 1 = 0 ÓØ Ò Q+R = P 1 ØÑ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾ º º È Ø Ò Q ØÙÔÐ Ô Ø Ò Ô ÖØÑÐÐ Ô Ø Ò Q Ø Ò ÒØØ Ñ ÐÐ Ð Ù Ô Ø S ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÐк ÌÐÐ Ò Q + Q = 2Q = Sº ÐÐ Ø ØÝØ Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÒÒ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÙØ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙØØ Ó Ø Ú ÙÙØØ º È Ø Ò P E ÖØÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ k N ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ø 2P = P + P 3P = P + P + P,...º ÃÙÚ Ñ Ö ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ Ø ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÖÝÔØÓ Ö µ ÝØ ØÒ ÐÐ ÔØ ÝÖ ÓØ ÓÚ Ø Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ù Ø Òº Ê ØØ ÑÝ Ö Ó ØØÙ Ú Ò Ø ØÝÒ ÑÙÓØÓ Ò Ý¹ Ö Òº Í ÑÑ Ø Ò ÙÒØ Ò ÝØ ØÒ ÙÒØ Z p Ñ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÐÐ Ô¹ Ø Ò Ò ÝØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ý ØÐ Ò y 2 x 3 + ax + b (mod p) ÚÙÐÐ Ñ 0 < a < p 0 < b < p 4a b 2 (mod p) 0º Å Ö ØÒ ØÐÐ Ø ÝÖ ÝÑ ÓÐ ÐÐ E p (a, b)º Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ú Ø ÊË Ò ÖØÓÐ Ù ÑÓ ÙÐÓ nº ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ø Ú Ø ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ ÑÓ ÙÐÓ nº ÇÐ ÓÓÒ Q = kp, P, Q E, 0 < k < pº Q Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÙÒ k p ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙØØ k Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ú ÙÒ P Q ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÌØ ÓÒ ÐÑ ÙØ ÙØ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÄÈ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ Ö Ø ÄÓ Ö Ø Ñ ÈÖÓ Ð Ñµº

16 ½½ Ò À ÐÐÑ Ò Ò Ú ÒØ ÒÚ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ ÝØØÑÒ ÐÐ ÔØ ÝÖ À ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ¹À ÐÐÑ Òµ ÙÖ Ú Ø º Ò Ò Ú Ð Ø Ò Ð ÙÐÙ Ù p Ø Ò ØØ p Ò Ô ØÙÙ ÓÒ ØÓ ÚÓØÙÒ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ º Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò ÖÝ ÑÐÐ E p (a, b) Ô Ö Ñ ØÖ Ø a bº ÌÑÒ Ð Ò Ú Ð Ø Ò Ú Ö ØØ Ô ¹ Ø G(x 1, y 1 ) E p (a, b) ØÑ Ú Ø Ú Ö ØØ α ÒÓÖÑ Ð ¹À ÐÐÑ Ò º G(x 1, y 1 ) E p (a, b) ÓÚ Ø ÙÐ º Ú ÒØ ÒÚ ØÓ ÝØØ Ò A B ÚÐ ÐÐ Ø Ô ØÙÙ ÙÖ Ú Ø ½º ÃÝØØ A Ú Ð Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ n A ØÑ ÓÒ A Ò Ð Ò Ò Ú Òº Ë ÙÖ Ú A Ð ÙÐ Ò Ú Ñ Ò P A = n A G E p (a, b)º ¾º ÃÝØØ B Ú Ð Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ n B ØÑ ÓÒ B Ò Ð Ò Ò Ú Òº Ë ÙÖ ¹ Ú B Ð ÙÐ Ò Ú Ñ Ò P B = n B G E p (a, b)º º A B Ú Ø Ú Ø ÙÐ Ø Ú Ñ Ø P A P B ÒÒº º A Ð Ð ÙÙ Ò K = n A P B B Ð Ð ÙÙ Ò K = n B P A º ÀÝ Ò ØÝØÝ Ð k ÙÒ Ø Ó ÓÒ G kg Ð Ý ÓÒ ÄÈ Øº Í ÓØ Ò ØØ ÚØ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÝ Ñ ¹ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ÝÐ ÄÈ ÓÐ ÑÓ ÓÒ ÐÑ º Ä Ù ÓØ Ò ØØ ÄÈ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ú ÑÔ ÓÒ ÐÑ Ù Ò ÄÈ ËØ º ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ó Ó ÓÒ ÝÐ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØݺ ÎÙÓÒÒ ¾¼¼ ÓÒ ÖÚ Ó ØÙ ØØ Ð ÙÐÙ Ù p ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ú ÒØÒ 136¹140 ØØ ØÙÓ Ú Ø Ú Ò ØÙÖÚ Ò ÙÒ 83 ØØ ÝÑÑ ØÖ Ö Ø ÐÑ Äμ½ º ÌØ Ò Ø Ö Ó Ñ Ò Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ø ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÑÐÐ Ú Ñ Ò ÓÓÐÐ Ù Ò ÊË Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑغ ÌÑ Ø Ø ÓÔ Ú Ò ÓÚ ÐÐÙ Ò Ó ÔÖÓ ÓÖ Ø Ó»Ø ÑÙ Ø ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ö ÙÖ Ï º ÃÝØØ Ù Ø Ò Ò Ö Ó ØØ ÖØ Óѹ Ý Ø Ò Ð Ò ÔÓÐ Ø º Ø ÐÐ ÓÒ ÝÐ ½ ¼ Ô Ø ÒØØ Ð ØØÝ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖ Òº ¾º Î ÖÑ ÒØ Ø Î ÖÑ ÒÒ Ø Ð ÖØ Ø µ ÓÒ ÐØ Ò Ø Ð Ò Ò ³ Ò Ð ÓÖØØ ³º Î ÖÑ ÒØ ¹ Ò ÑÝ ÒØÑ Ú ÖÑ ÒØ ÓÒ ÐØ Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð ÑÙÙÒ ÑÙ ¹ Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÙØ Ò Ë ÚÓ Ò Ñ Ò Ø Ô Ò ÑÙÙÒØ ÝØØÑÒ ÐÐ ÔØ ÝÖ ÓÐÐÓ Ò Ý ÓÒ Ë Ø ÐÐ ÔØ ÙÖÚ Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Ð Ó¹ Ö Ø Ñµ

17 ½¾ Ø ØÓ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐØ Ø Ú ÖÑ ÒØ Ò ÚÓ Ñ ÓÐÓ Ø º Î ÖÑ ÒÒ ÐØ ÑÝ ÑÝ ÒØ Ò Ð Ú ÖÑ ÒØ Ò ØÙÒÒ Ø Òº ÌÖ ÑÔÒ Ú ÖÑ ÒÒ ÐØ Ú Ð Ú ÖÑ ÒØ Ò Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÓÐÐ Ú ÖÑ ÒØ Ø ÝØØ Ò Ú ÖÑ Ò¹ Ø Ò Ó ÐÐ ÙÙ Òº Ð Ø ÝØ ÓÐ Ú Ú ÖÑ ÒØ Ò ÓÖÑ ØØ ÓÒ º ¼ ¹Ú ÖÑ ÒÒ º Ë Ò Ëƺ½¹ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ÒÒ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú º Certificate¹Ö ÒØ ÓÒ Ø Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐØ tbscertificate Ú ÖÑ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ signature Ð ÓÖ ØÑ signaturealgoritm ÓÐÐ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ËØ º ÖØ Ø Ë ÉÍ Æ ß Ø ÖØ Ø Ì Ë ÖØ Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø ÑÁ ÒØ Ö Ò ØÙÖ ÁÌ ËÌÊÁÆ Ð Î ÖÑ ÒÒ ÓÓ ØÙÙ ÓÐ ÐÐ ÐØ Ó ÐØ Ò ÙÖ Ú Ø serialnumber ÓÒ Ý ØØ ¹ Ò Ò Ö ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖÑ ÒØ Ò Ðк Î ÖÑ ÒØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐØ Ò ³Ò Ñ Ø³ ÐÑÓ Ø Ø Ò issuer¹ subject¹ ÒØ º ÆÑ Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Æ¹Ò Ñ Ø Ò Ù Æ Ñ µ ź º Ñ Ö Ò Æ¹Ò Ñ Ø ÚÓ ÓÐÐ ³ Æ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÇÍ Ê² Ç Î Ð ÑÓ Ï Ö Ð ÇÝ Á³º Ä Ú ÖÑ ÒØ Ø Ð ÝØÝÝ ÚÓ Ñ ÓÐÓ validity Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò subjectpublickeyinfoº Ë ÙÖ Ú tbscertificate Ò Ëƺ½¹ÑÖ ØØ ÐÝ Ì Ë ÖØ Ø Ë ÉÍ Æ ß Ú Ö ÓÒ ¼ ÈÄÁ ÁÌ Î Ö ÓÒ ÍÄÌ Ú½ Ö ÐÆÙÑ Ö ÖØ Ø Ë Ö ÐÆÙÑ Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø ÑÁ ÒØ Ö Ù Ö Æ Ñ Ú Ð ØÝ Î Ð ØÝ Ù Ø Æ Ñ Ù ØÈÙ Ð Ã ÝÁÒ Ó ËÙ ØÈÙ Ð Ã ÝÁÒ Ó Ù ÖÍÒ ÕÙ Á ½ ÁÅÈÄÁ ÁÌ ÍÒ ÕÙ Á ÒØ Ö ÇÈÌÁÇÆ Ä ¹¹ Á ÔÖ ÒØ Ú Ö ÓÒ ÑÙ Ø Ú¾ ÓÖ Ú Ù ØÍÒ ÕÙ Á ¾ ÁÅÈÄÁ ÁÌ ÍÒ ÕÙ Á ÒØ Ö ÇÈÌÁÇÆ Ä ¹¹ Á ÔÖ ÒØ Ú Ö ÓÒ ÑÙ Ø Ú¾ ÓÖ Ú ÜØ Ò ÓÒ ÈÄÁ ÁÌ ÜØ Ò ÓÒ ÇÈÌÁÇÆ Ä ¹¹ Á ÔÖ ÒØ Ú Ö ÓÒ ÑÙ Ø Ú Ð Î ÖÑ ÒØ Ø ÑÝ ÒØ Ú ÖÑ ÒØ ÖØ Ø ÙØ ÓÖ Øݵ Ó ÓÑ ÐÐ Ð ¹ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ Ò Ø Ð Ø ÐÐ Ö Ó ØØ ÑÝ ÒØÑÒ Ú ÖÑ ÒØ Øº Ð Ó ÐÙÓع Ø Ø ØØÝÝÒ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÚÓ ÑÝ Ò ÐÙÓØØ ØÑÒ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÑÝ ÒØÑ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ØØ ÙØØ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Òº

18 ½ Ë ÙÖ Ú Ú Ð Ñ Ö Ò Ö Ó ØØ Ò ÑÓ Ð Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐØ Ó ÓÒ Ð Ò ÒØ Ò Ò Ê ÓÐ Ò µ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÑÝ ÒØÑ ÖØ Ø Ø Î Ö ÓÒ ¼Ü¾µ Ë Ö Ð ÆÙÑ Ö ½¼ ¾ ¼Ü ¼ µ Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ½Ï Ø ÊË ÒÖÝÔØ ÓÒ Á Ù Ö Á Ç Ê ÓÐ Ò ÖØ Ø ÓÒ ÙØ ÓÖ Ø Æ Ê ÓÐ Ò ½ Î Ð ØÝ ÆÓØ ÓÖ Ë Ô ¼ ¼ ¾¼¼¾ ÅÌ ÆÓØ Ø Ö Ë Ô ¼ ¼ ¾¼¼ ÅÌ ËÙ Ø Á Ç Ê ÓÐ Ò Ù ØÓÑ Ö ÖØ Ø ËÆ ½ ¼ ¾ Æ ¼¾ ¼¾¼¾½¾¼¼½½ ¹ ¼ Ë Ë ÊÁÆ Æ Â ÊÃÁ ËÙ Ø ÈÙ Ð Ã Ý ÁÒ Ó ÈÙ Ð Ã Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÒÖÝÔØ ÓÒ ÊË ÈÙ Ð Ã Ý ½¼¾ ص ÅÓ ÙÐÙ ½¼¾ ص ¼¼ ¾ ½ ¼ ½ ¾¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ½ ¼ ½¼ ½ ½ ½¾ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¼ ¾ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¼ ¾½ ¾ ¾ ¼¼ ½ ½ ¼ ÜÔÓÒ ÒØ ¼Ü½¼¼¼½µ ¼ Ú ÜØ Ò ÓÒ ¼ Ú Ã Ý Í Ö Ø Ð Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Ã Ý Ò Ô ÖÑ ÒØ ¼ Ú ÊÄ ØÖ ÙØ ÓÒ ÈÓ ÒØ ÍÊÁ Ð Ô»»Ð ÔºÖ ÓÐ Ò º»Ò Ö ÓÐ Ò ±¾¼ ±¾¼½ Ó Ö ÓÐ Ò ±¾¼ ÖØ Ø ÓÒ±¾¼ ÙØ ÓÖ Ø ÖØ Ø Ö ÚÓ Ø ÓÒÐ Ø Ò ÖÝ ¼ Ú ÖØ Ø ÈÓÐ ÈÓÐ Ý ½º¾º¾ º¾ º¾º½½º½º¾ Í Ö ÆÓØ ÜÔÐ Ø Ì ÜØ Ê ÓÐ Ò Ò ÑÓ Ð Ú ÖÑ ÒÒ º Î ÖÑ ÒØ Ò ÐÙÓØØ Ú Ø Ó ÓÒ Ú ÐÚÓÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Î ÖÑ ÒÒ ÔÓÐ Ø Ò Èµ Ò ÌÓ Ñ ÒØ Ñ ÐÐ Ò È˵ ØØÔ»»ÛÔ ºÖ ÓÐ Ò º» ÒÒ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÐÙÓØØ Ñ Ø º ÈË ØØÔ»»ÛÔ ºÖ ÓÐ Ò º Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ½Ï Ø ÊË ÒÖÝÔØ ÓÒ ¼ ½ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼¾ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½½ ½ ¾ ½ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ½ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¼ ½½ ¾ ¾

19 ½ ¾ ½ ¼ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¼¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾º º½ ÄÙÓØØ ÑÙ Ö Ö ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÑÙ Ò ÓÐ Ý ÙÙÖ µú ÖÑ ÒØ Ó ÑÝ ÒØ ÝØØ Ú Ö¹ Ñ ÒØ Ø º Î ÖÑ ÒØ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ö Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÚÐØØÑØØ Ø ¹ Ó Ò Òº ÎÓ ÓÐÐ ØØ ÙÙÖ Ú ÖÑ ÒØ ÐÐ ÓÒ Ð Ú ÖÑ ÒØ º Ñ Ö ËÙÓÑ Î Ø Ö Ø Ö Ù ÎÊõ ÚÓ ØÓ Ñ ÙÙÖ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÙÔ ÐÐ Ø ÝÖ ØÝ ¹ Ø Ø Ý Ø Ø ÙØ Ò Ñ Ø ÔÙ Ð ÒÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ø À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ìù Ù ÚÓ Ú Ø ØÓ Ñ ÎÊÃ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ñ Ò Ð µú ÖÑ ÒØ Ò º ÌÑ ÙÚ ØØ ÐÐ Ò Ò Ö Ö¹ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÚ º VRK CA HY CA TKTL CA ÃÙÚ ÄÙÓØØ ÑÙ Ö Ö Ò Ñ Ö ÃÙÚ ÎÊÃ Ò Ú ÖÑ ÒØ ÓÒ ÑÝ ÒØÒÝØ ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÝØØ Ú ÖÑ ÒØ Ò ÝØÒÒ ÙÙÖ Ú ÖÑ ÒØ Ø ÚØ ÝÐ Ò ÑÝ ÒÒ ÝØØ Ú ÖÑ ÒØ Ø µº ÎÊÃ Ò Ú ÖÑ ÒØ ÓÒ ÑÝ ÑÝ ÒØÒÝØ Ú ÖÑ ÒØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ìù Ù ÐÐ Ó Ø ÓÒ ÑÝ ÒØÒÝØ Ú ÖÑ ÒØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ò

20 ½ Ú ÖÑ ÒØ ÐÐ Ý Ò ÝØØ Ú ÖÑ ÒØ Òº ¾º Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÝÚÝ Ø ÃÙÚ Ú ÖØ ÐÐ Ò ÊË Ò Ð Ñ Ð ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ý Ý Ú Ò¹ Ø Ò Ò ÖÓ ÒÒ Ð Ù Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö Ø Ñ µ Ð Ù Ò ÔÙÖÙ Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ µº Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ Ø Ö Ó ØØ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Â Ú ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ðк Å Ð Ú ÐØ Ø Ò ÙÙ¹ Ö Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ØØ ÐÝÝÒ ÝØ ØØ Ò Â Ú Ò Ø Ò Ö Ö ØÓ Ø Ð ÝØÝÚ ¹ Ú ºÑ Ø º ÁÒØ Ö¹ÐÙÓ º Ì Ø Ø ØØ Ò Å È ½ ¼¼ È ÐÐ Ó ÓÐ Ä ÒÙܹ ÝØØ Ö Ø ÐÑ ËÙÒ Ò Â Ú ¹Ú ÖØÙ Ð ÓÒ º Î ÖØÙ Ð ÓÒ Ò Ú Ö Ó ÓÐ ½º º¾ ¼½ ÀÓØËÔÓØ ÖÚ Ö ÂÁÌ ¹ ÒØ ÓÐ ÝØ ÂÎÅ Ò ¹ ÖÚ Ö ¹ÓÔØ Óµ ËÙÒ¼¾ º Ð ÓÖ ØÑ Ø ØÓØ ÙØ ØØ Ò ÙØ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÝ ÓÒ ÙÚ ØØÙº Ì Ø Ú ÖØ ÐÐ Ò ÓÐÑ Ð ÓÖ ØÑ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ò ÓÐÐ 512 Ø Ø 2048 ØØ Ò Ð ØØ Ú Ò Ø Ò ÑÖ ÓÐ 64 Ø ÚÙ º Ò ÑÑ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÊË Ó e Ú Ð ØØ Ò ØÙÒÒ Ø º ÌÓ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÑÝ ÊË ÑÙØØ Ó e ÓÒ Ø ØØÙ = º ÃÓÐÑ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ð Ñ Ð Ó ÔÓÒ ÒØØ k ÓÒ ØÙÒÒ Ò Ò Ø Ò ØØ 1 < k < p 1º ÃÙÚ ÓÒ Ú ÒÔ Ö Ò ÐÙÓÒÒ Ò Ú ÖØ ÐÙ º ÊË ÒØ ÐÐ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ e ÓÒ ÐÚ Ø ÒÓÔ Òº ÃÙÚ Ú ÖØ ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ò ÒÓÔ Ùع Ø º Ì ÙÚ Ò ÝÝ ÐÚ Ø ÊË Ò ØÙ Ú Ò ½¹ ØØ ÐØÚÐÐ ÔÓÒ Ò¹ Ø ÐÐ e ÙÓÖ ØÙ Ý Ý ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ô Ö ÑÔ Ù Ò ÑÙ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º ÌØ Ò ÊË Ú Ò ½¹ ØØ ÐØÚÐÐ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ e ÓÒ ÝÚ Ú Ð ÒØ ÓÚ ÐÐÙ Ò Ó Ø ¹ Ò Ô Ð ÓÒ Ð Ù Ø Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÚ Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ø µ Ñ Ö Ú ÖÑ ÒÒ ÔÓ Ö Ø ÐÑ Ï º Ë Ð Ù Ò ÔÙÖ Ù Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ò ÖÓ ÒØ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ú Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ø µ ÙÓÖ ØÙ Ý Ý Ò ÝÝ ÙÚ º Ð Ñ Ð¹ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ñ Ò ÊË Ø ÙÓÖ ØÙ Ý Ý ÑÔ º ÊË ÓÒ Ø ÑÔ Ð ÐÐ Ú Ñ ÐÐ ÓÔ ÖÓ ÐÐ Ö Ó ØØ Ø Ð Ù Ò ÔÙ¹ ÖÙ µ Ù Ò Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ö Ø ÐÑغ ÌÓ ÐØ ÊË Ú Ò

21 ½ Key generation times RSA RSA[e=65537] ElGamal Key generation time (ms) Key length in bits ÃÙÚ Ã Ý Ò Ö Ø ÓÒ Ô ½¹ ØØ ÐØÚÐÐ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ e ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÒÓÔ ÑÔ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ø Ð Ù µ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ö ØØ Ò ÐÓ Ö Ø¹ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ï º Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ Ï ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÒØ Ö Ó ØØ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ò ÊË ÓÒ Ö ØØ Ò ÒÓÔ ÙÒ e = 3 Ø Ö Ø Ø Ò Ø Ð Ø ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Ø Ø Ð Ø Òº ÌÓ ÐØ Ö ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÒÓÔ ÑÔ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ º ÊË ¹½¼¾ Ë ¹½¼¾ Ë ¹½ µ ÓÚ Ö Ôµµ Ò Ú Ö Ý ¼º ¾ ½ Ý Òº ½½¼¼ Ô Ö Ñº Òº ÒÓÒ ¼¼ Ð Ö Ö Ö Ö µ

22 ½ Encryption performance RSA RSA[e=65537] ElGamal 12 Kilobytes per second Key length in bits ÃÙÚ ÈÙ Ð Ý ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ Ì˼ ÑÖ ØØ Ð ËÇ È Ò ÀÅ + ¼ Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ö Ô Ò¹ Ò Ò ÓÐÐ ÚÓ Ò ÑѺ ÔÝÝØ ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐØ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ º Ê Ô ÒØ Ø Ö Ó ÑÝ ÑÙ Ø Ò Ô ÐÚ ÐÙ Ø ÙØ Ò Ù ØØ Ù Ò Ð ØØÑ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐÐ ÑÙØØ ÓÐ ÐÐ Ò Ô ÐÚ ÐÙ ÓÒ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÔÝÝØÑ Ò Òº Ã Ô ÐÚ ÐÙØ ÙÚ Ø Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÑÝ ÑÑ Òº À Ñ Ò ËÇ È Ø ËÇ È ÓÒ ÅÄ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð Ù Ò ÚÝØ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ú ¹ Ø Ò Ú ØÓÓÒ ÙØ ØÙ ÝÑÔÖ Ø Ò ¼¾ º ËÇ È ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ ÓÐ Ñ Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø ÑÙ Ø ØÓØ ÙØÙ Ò Ð ØØÝÚ Ø Ý ØÝ Ó Ø ÓØØ ÓÚ ÐØÙ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ò ÝÑÔÖ Ø Òº Ä Ð Ò Ù ÛÛÛºÛ ºÓÖ Ø ËÇ È Î Ö ÓÒ ½º¾ ËÇ Èµ Ð ØÛ Ø ÔÖÓØÓÓÐ ÒØ Ò ÓÖ Ü Ò Ò ØÖÙ¹ ØÙÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÒØÖ Ð Þ ØÖ ÙØ ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ ÁØ Ù ÅÄ Ø ÒÓ¹

23 ½ Decryption performance RSA RSA[e=65537] ElGamal 1 Kilobytes per second Key length in bits ÃÙÚ ÈÖ Ú Ø Ý ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÐÓ ØÓ Ò Ò ÜØ Ò Ð Ñ Ò Ö Ñ ÛÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ñ ÓÒ ØÖÙØ Ø Ø Ò Ü Ò ÓÚ Ö Ú Ö ØÝ Ó ÙÒ ÖÐÝ Ò ÔÖÓØÓÓÐ º Ì Ö Ñ ÛÓÖ Ò Ò ØÓ Ò Ô Ò ÒØ Ó ÒÝ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓ Ð Ò ÓØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ô Ñ ÒØ º ÅË˹ Ö Ø ÐÑ ÓÓ ØÙÙ ÙÖ Ú Ø Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ø¹ ØÙÒ Ø ØØ Ò ØÓØ ÙØ ØØÙÒ Ý Ø Ò ÑÓÒÓÐ ØØ Ò Ô ÐÚ Ð Ñ Ò º ÕÙ Ö Ò ÒØ ØÝ ¹ Ú Ø ÒÓØØ ÅË˹ÔÝÝÒÒ Òº ÊÓÙØ Ò ÒØ ØÝ ¹ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ØØ ÅË˹ÔÝÝÒÒ Ò ØÓ Ò ÅË˹ Ö Ø ÐÑÒº ÀÓÑ ÅËËÈ ¹ ØØ Ð ÅË˹ÔÝÝÒÒ Òº Ä ÓÒ Ú Ð ÓÐ Ñ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓÚ Ö Èµ Ó Ù Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÝØØ Ð Ø Ð Òصº ÐÐÑ Ò ØØÙ ÖÓÓÐ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º

24 ½ 1. MSS järjestelmä Application Provider Aquiring Entity Routing Entity HomeMSSP 2. MSS järjestelmä Application Provider Aquiring Entity Routing Entity HomeMSSP ÃÙÚ ÅË˹ Ö Ø ÐÑÒ ÖÓÓÐ Ø º½ ÅÓ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ØÝØÝÝ ØÙ ÙÖ Ú ØÓ Ñ ÒÒ ÐÐ ÙÙ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ö Ó Ø ØØÙ ¹ Ø Ò Ö Ø Ö Ó ØÙ Ò ½º ÅÓ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÔÝÝØÑ Ò Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐØ Ø Ò ØØ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Ò Ø Ø Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð ØØ Ò ÒÝØ Ðк ¾º ÅÓ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÔÝÝØÑ Ò Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐØ Ø Ò ØØ ÐÓÔÔÙ ÝØع Ò ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Ò Ø Ø º ÌÑ ÝØØ Ø Ô Ù ØÙÐ Ò Ó Ø Ñ Ö ÐÐÓ Ò ÙÒ Ö Ø Ö ÒØ Ù ØÓÖ Ø ØØ Ê Ê ØÖ Ø ÓÒ ÙØ ÓÖ Øݵ ÐÙ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÐÐ Ö Ó ØØ Ú Ò ÈÃ Ë ½¼¹ÑÙÓØÓ Ò ÊË ¼¼ Ú ÖÑ Ò¹ Ò ÔÝÝÒÒ Òº º¾ Î Ø Ò ÓÖÑ Ø Ø ÂÓ Ò Ò ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÙÚ ØØÙ Ô ÐÚ ÐÙÚ Ø Ô Ö ÝØÝÝ ÙÖ Ú ÒÐ Ø Å ØÖ ØÌÝÔ ¹Ò Ñ Ø Ö ÒØ Ø Ó ÓÒ Ò Ð Ó ½º Å ÓÖÎ Ö ÓÒ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØÐÐ Ø ÐÐ Ò ½ ÓÒ Ô ÓÐÐ Ò Òº

25 ¾¼ ¾º Å ÒÓÖÎ Ö ÓÒ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØÐÐ Ø ÐÐ Ò ½ ÓÒ Ô ÓÐÐ Ò Òº º È ÁÒ Ó ÐØ Ø ØÓ È Ø º ÅËËÈ ÁÒ Ó ÒØ Ó ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ Ì Ö Ø Ú Ø Ò ÅĹ Ñ Ø ÓÒ ÙÚ ØØÙ Ð ØØ ½º È ÁÒ Ó ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò È Á ÒÝÍÊÁ È Ò ØÙÒÒ Ø Ã È ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ È Ò ÐÙÓÑ ØÙÒÒ Ø Ø Ô ØÙÑ ÐÐ Ã È ÈÏ ËØÖ Ò È Ò Ð Ò Ã ÁÒ Ø ÒØ Ø Ì Ñ Ò Ø ÓÐÐÓ Ò È ÐÓ Ú Ø Ò Ã È ÍÊÄ ÒÝÍÊÁ ÍÊÁ Ó Ó ØØ Ò Ó ÓÒ Ø Ò ÙØ Ù Ø Ò Ó Ý Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ Ø ÅËËÈ ÁÒ Ó ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅËËÈ Á Å Å Ñ ÖÌÝÔ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÒØ Ó Ú Ø ØÓ Ã ÁÒ Ø ÒØ Ø Ì Ñ Ò Ø ÓÐÐÓ Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÓ Ú Ø Ò º Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ Ø ÅË˹ÑÖ ØÝ ÑÖ ØØ Ð ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÓÐÑ Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ º Ò¹ ÑÑ Ò Ò ÓÒ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ó ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙ Ó ÓØØ ÐÓ µ ÙÒÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÒ ÔÙÒÙØ ÔÙ Ð Ñ ÐØ Ø Ø Ù ÓÒ Ø Ô ØÙÒÙØ ½º È Ð ØØ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Òº ¾º ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ ÔÙ ¹Ú Ø Òº º ÄÓÔÔÙ ÝØØ ÒÔÔ Ð ÈÁƹ ÓÓ Ò ÔÙ Ð Ò ÐÙÓ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Ò Ó Ô Ð ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ º º Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÐÐÒ ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ È ÐÐ Ú Ø Ø Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÔÓ Ú Ø Ðк ÌÑ ÔÖÓ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º

26 ¾½ ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÔÝÝ ØÒ ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐØ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ º È Ð¹ Ú ÐÙÒ Ú Ø Ù Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐØ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ó Ø Ô ØÙÑ Ñ Ò Ó ÓØ ØÙ Ø º Î Ø Ù Ò ÚÓ Ø ØÝ Ø ÓÐÐ ÑÝ Ó Ò Ú Ö ÓÓ¹ Ñ Ö Ø Ù Ø Ñ ÓÙص Ó ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ö Ó ÒÙØ Ð Ý ØØÒÝØ ÈÁƹ ÓÓ Ò Ó º ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã Ø ÌÓ Ë Ò Ø ÌÝÔ ÐÐ Ö Ó Ø ØØ Ú Ø Ø Ã Ø ÌÓ ÔÐ Ý Ø ÌÝÔ ÆÝØ ØØÚ Ø Ø Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÍÊÁÌÝÔ ÌÓ ÚÓØØÙ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ ÐË ÖÚ Ø ÓÒ ÐË ÖÚ ÌÝÔ Ä Ø Ð ÖÚÓÔ ÐÚ ÐÙ Ø ÅËË ÓÖÑ Ø Ñ ÍÊÁÌÝÔ Å Ø ÐÐ Ö º ÓÖѺ ØÓ ÚÓØ Ò Ã ÝÊ Ö Ò Ã ÝÊ Ö Ò ÌÝÔ Å Ø Ú ÒØ ØÙÐ ÝØØ Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒÌÝÔ Î Ð ØÝ Ø Ø Ì Ñ Ã Ù Ò Ó Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÚÓ Ñ Ì Ñ ÇÙØ ÈÓ Ø Ú ÁÒØ Ö Å Ò ÅÓ Å Ò ÅÓ ÌÝÔ À ÐÙØØÙ Ú Ø ÒØÑÓÓ Ã Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ã Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÍÊÁÌÝÔ Å Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð ÝØ ØØ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÅËËÈ ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÐÙÓÑ Ø Ô ØÙÑ ØÙÒÒÙ Ã ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙ ÚÓ Ò ÝØØ ÓÐÑ ÐÐ Ö Ð ÐÐ Ú Ø ÒØÑÓÓ ÐÐ Óع ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú º ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ØÝØÝÝ ØÙ ÓÐÑ Ö Ú Ø Òع ÑÓÓ º ÌÓ Ò Ò ÑÓÓ ÓÒ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ó ÅË˹ Ý ÝÝ ÔÓÐÐ µ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÙÒÒ ÓÒ Ú ÐÑ ½º È Ð ØØ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Òº ¾º ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ ÔÙ ¹Ú Ø Òº º È Ý ÝÝ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ð ØØÑÐÐ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÑÙØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÐ Ú Ð Ú ÐÑ º Î Ø Ù Ø Ô ØÙÙ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÔÓÒ ¹ Ú Ø Ðк

27 ¾¾ Application Provider MSSP End user 1. MSS_SignatureRequest 2. Siging request 3. Signature 4. MSS_SignatureResponse ÃÙÚ ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ º ÄÓÔÔÙ ÝØØ ÒÔÔ Ð ÈÁƹ ÓÓ Ò ÔÙ Ð Ò ÐÙÓ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Ò Ó Ô Ð ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ º Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÐÐÒ ÅË˹ Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ º º È Ý ÝÝ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ð ØØÑÐÐ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò Ó ÓÒ Ú Ø Ø Ø Ò ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÓÒ Ú ÐÑ º ÌÑ ÔÖÓ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½¼º Application Provider MSSP End user 1. MSS_SignatureRequest 2. Siging request 3. MSS_StatusQuery 5. MSS_StatusQuery 4. Signature ÃÙÚ ½¼ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝ¹Ô ÐÚ ÐÙ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú º

28 ¾ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ Ý ÝØÒ ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð º Î Ø Ù ¹ Ò ÓÒ Ó Ó ½µ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÒ Ô ÐÙÙÚ Ø ÑÙ Ò ¾µ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ò Ø µ ÓÒ Ø Ô ØÙÒÙØ Ó Ò Ú Ö Ñ Ö Ø Ù ÈÁÊ ÌÊ ÆË ÌÁÇƵº ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅËËÈ ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ Å Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ý ÝØÒ Ã ÌÝÝÔÔ Æ Æ Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ø ÀÄ Æ Æ Ñ Ä ØØ Ö µ Æ Æ Ñ Öµ Æ Æ Ñ Ö Ä ØØ Ö Ø º ¹ ÓÑ Ò Ò Ö ÜØ Ò Ö Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ã ÃÓÐÑ ÑÓÓ ÓÒ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ó ÅË˹ ÐÐ Ø ¹ Ò Ø Ò ÙØ Ù ÐÐ µ ÙÒ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÓÒ Ú ÐÑ º ½º È Ð ØØ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Òº ¾º ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ ÔÙ ¹Ú Ø Òº º ÄÓÔÔÙ ÝØØ ÒÔÔ Ð ÈÁƹ ÓÓ Ò ÔÙ Ð Ò ÐÙÓ Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Ò Ó Ô Ð ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ º º Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÐÐÒ ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ È ÐÐ Ú Ø Ø Ò Ø ¹ ÑÐÐ ÅËË ÆÓØ Ø ÓÒÊ ÕÙ Ø¹Ø Ò ÙØ Ù ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÔÓÒ ¹Ú Ø Ðк ÌÑ ÔÖÓ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½½º Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ÝÚØ ÔÙÓÐ Ò º ËÝÒ ÖÓÒ ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ ÑÓÓ È ÙÐÙØØ Ô ÐÚ Ð Ñ Ò Ö ÙÖ ØÑÒ Ø ÐÐ Â Ú Ë ÖÚÐ Ø ÈÁ ÐÐ ÙÐÙÙ Ý Ô Ö ÅË˹ ÙØ Ùµ ÙÒÒ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÙÒ Ø ÝÒ ÖÓÒ ¹ ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ È Ý ÝÝ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÙÓÖÑ ØØ Ò Ô ÐÚ Ð ÒØ º ÌØ Ò ÚÓ ÒÓ ÙÑÔ Ú Ø ÒØÑÓÓ ÓÒ Ô Ö ÑÔ Ö ÔÔÙÙ ØÝ Ò ÝØØ Ø ¹ Ô Ù Ø Ø Ð ÒØ Ø º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÓÒ Ø Ó Ò Ú Ö ØØ Ô Ø Ø Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÑÝ Ò Ø Ó Ù Ù È Ò Ý Ý Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÙØ Ò ÝÒ ÖÓÒ ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ø Ô ØÙÙº

29 ¾ Application Provider MSSP End user 1. MSS_SignatureRequest 2. Siging request 4. MSS_NotificationRequest 3. Signature ÃÙÚ ½½ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ º ÅÙÙØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙØ ÅËË ÈÖÓ Ð ÉÙ ÖÝ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ È Ý ÝÝ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÐØ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ó¹ ÚÓ ÓÐÐ Ö Ð Ò Ò Ö ÔÔÙ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Øº ÖÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ö Ð ÖÝÔØÓ Ö Ø Ò Ó Ø Ì˼ º ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ý ÝØÒ ÒÒ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÝØØ º Î Ø Ù Ò ÓÒ ÍÊÁ Ó ÓÒ Ú ØØ Ù Ø ØØÝÝÒ Ð¹ Ð Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Òº Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË ÈÖÓ Ð ÉÙ ÖÝÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË ÈÖÓ Ð ÉÙ ÖÝÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÍÊÁÌÝÔ Ø Ù ÑÔ ÔÖÓ Ð Ó Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ØÙ ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ã ÅËË Ê ØÖ Ø ÓÒ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ö ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÙÒº Ñ Ö Ö Ø Ö ÒØ Ù ØÓÖ Ø ØØ Ê Ê ØÖ Ø ÓÒ ÙØ ÓÖ Øݵ ÚÓ ÔÝÝØ ÅË˹ Ô ÐÚ ÐÙ Ð Ø Ñ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ñ Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÚ ÐÐÙ ¹ Ò ËÁŹ ÓÖØ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË Ê ØÖ Ø ÓÒÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ

30 ¾ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ÒÖÝÔØ Ø ÒÖÝÔØ ÌÝÔ ÒÖÝÔØÊ ÔÓÒ Ý ÒÝÍÊÁ ÖØ Ø ÍÊÁ ÒÝÍÊÁ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÍÊÁ ¼ ÖØ Ø Ò ÖÝ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒÒ ÒÝ ÒÝ Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË Ê ØÖ Ø ÓÒÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð º ÌÝØÝÝ ÓÐÐ ÓÓ ¼ à ÒÖÝÔØÊ ÔÓÒ Ý ÒÝÍÊÁ ÖØ Ø ÍÊÁ ÒÝÍÊÁ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÍÊÁ ¼ ÖØ Ø Ò ÖÝ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒÒ ÈÙ Ð Ã Ý Ò ÖÝ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò ÅËË Ê ÔØ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÚÓ Ò Ð ØØ Ù ØØ Ù ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ñ Ø ÔÙ ¹ Ð Ñ Òº ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ØØ Ô ÐÚ ÐÙ ÝØ ØÒ ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÐÓÔÙ Ò¹ ÓÖÑÓ Ñ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ø ØØ ÓÒÒ ØÙ Ó ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ô ØÙÑ Ú º Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË Ê ÔØÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Å Ø ÌÝÔ ÆÝØ ØØÚ Ø Ø Ë Ò Ê ÔØ ÅÄË Ò ØÙÖ È Ò ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ Ù ØØ Ù ÅËËÈ ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ ÃÙ ØØ Ù Ò ØÝØÝÝ Ú ØØ Ø Ðк Ø Ô ØÙÑ Ò Ã Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË Ê ÔØÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò ØÑÒ Ø Ò Ò Ø Ð Ã ÅËË À Ò ¹Ô ÐÚ ÐÙ ÝØ ØÒ ÙÒ È ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÙ Ú Ø ØÙÐÐ Ý ¹ Ø ÝÑÑÖÖÝ Ò ÝØ ØØÝ Ò ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø º ÇÒ ÓÐ Ñ ÝØØ Ø Ô Ù Ø ½º È ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÚØ ØÙÒÒ ØÓ Ò ÐÙ Ú Ø ÐÚ ØØ ØÓ Ø Ò ÓÑ ¹ Ò Ù٠غ ¾º È ÐÐ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÓÒ ÓÔ ÑÙ Ù Ò ØÙÒØ Ú Ø ØÓ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ø ÑÙØØ È Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÙ Ø Ô ØÙÑ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ð ¹ ØÙÖÚ Ñ Ö ÝØØÑÐÐ ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ú Ø ÒÒ º

31 ¾ Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË À Ò Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò Ë ÙÖ Å Ø Ó ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Å Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙØ È ÐÙ ØÙÖÚ ØØÙÒ Ã ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ ÖØ Ø ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ È ÒØ Ð Ø Ò Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó Ø ÚÓ Ã ÝØØ ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø ÓÓÒ ÊÓÓØ ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ È ÒØ Ð Ø Ò ¹Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó Ø Ã ÚÓ ÝØØ ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ò Ë Ò ØÙÖ Ð Ä Ø ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ä Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÖÑ Ø Ø Ó Ø È Ã ØÙ Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË À Ò Ê ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅËËÈ ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÐÙÓÑ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÙÒÒ Ø Ã Ë ÙÖ Å Ø Ó ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Å Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÙ Ã ØÙÖÚ ØØÙÒ ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ Å Ø Ò ÅËËÈ ÖØ Ø ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÙÙÖ Ú ÖÑ ÒØ Ø ÓØ Ã ÓÔ Ú Ø È Ò ÔÝÝÒÒ ÒØ Ñ Ò Ð Ø Ò Å Ø Ò È ÖØ Ø ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ È Ò ÔÝÝÒÒ ÒØ Ñ Ø Ú ÖÑ ÒØ Ø Ã Ó Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÚÓ ÐÙÓØØ Ø Ö ØÙ Ò Å Ø Ò Ë Ð Ä Ø ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ä Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÖÑ Ø Ø Ó Ø È Ã ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ØÙ Ú Ø ÅËË ÆÓØ Ø ÓÒ¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ ÐÑÓ Ø Ø Ò È ÐÐ ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ º ̹ Ñ Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ÙØ ÙÒ ÐÐ µ ÓØ Ò È ØÓ Ñ Ø Ø Ð ÒØ Ô ÐÚ Ð ¹ Ñ Ò º Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË ÆÓØ Ø ÓÒÊ ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ã Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÍÊÁÌÝÔ Å Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð ÝØ ØØ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÅËËÈ ÌÖ Ò Á Æ Æ Ñ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÐÙÓÑ Ø Ô ØÙÑ ØÙÒÒÙ Ã Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÅËË ÆÓØ Ø ÓÒÊ ÔÓÒ ¹Ú Ø Ò ÒØØ Æ Ñ ÌÝÝÔÔ ÃÙÚ Ù È ÓÐÐ Ò Ò ÅÓ Ð Í Ö ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÅËÁË Æ Ã ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ËØ ØÙ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ã

32 ¾ º ÅËË¹Ø ØÓØÝÝÔÔ Ò ÑÖ ØØ ÐÝØ Ë ÙÖ Ú ÓÒ Ø ØØÝ ÅËË¹Ò Ñ Ú ÖÙÙ Ò Ø ØÓØÝÝÔÔ Ò ÑÖ ØØ ÐÝØ ÅĹ Ñ Ò ÑÙÓ Ó º ÍÊÁ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÄÅ + ÐÑ Ø Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÙÖ Ú Ó Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓÚ Ö Ø ÁØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÖÑ ØØ Ä Ô ÐÚ ÐÙ Ø ÙØ Ò Ð Ñ Ù Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ø Ø ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Ò Ö ØÓ ÒØ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ÅĹ Ñ Ò Ò Ñ Ú ÖÙÙØØ Å Å Ñ ÖÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÐÑ Ø Ò ÓÒ Ò ÒØ Ø Ø Ò Ó Ó Ø Ñ Ö ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ Ó Ó Ø º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÆËÆ Ñ ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÁÈ Ö ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÍÊÁ ØÝÔ Ü ÒÝÍÊÁ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Á ÒØ ÖËØÖ Ò ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ø Ð Ò Î ÐÙ ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÓÒ Ð ÖÝÔØÓ Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÐРй ÓÖ ØÑ ÐÐ Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÙÓØÙº Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ø Ð Ò Î ÐÙ ÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ØÅ Ø Ó ØÝÔ ØÅ Ø Ó ÌÝÔ

33 ¾ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ØÎ ÐÙ ØÝÔ ØÎ ÐÙ ÌÝÔ»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ñ ÍÊÁÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÐÑ Ø Ò Ñ Ö ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ò ÍÊÁ Ú Ð ÒÒ Ø ÑÙ Ò ÓÒ ÑÝ ÍÊÁ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ò Ò Ø Ú Ø º Ì ØÓØÝÝÔÔ ³ Òݳ Ñ ¹ ÓÐÐ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ø Ò Ø ØÓØÝÝÔÔ Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝݹ Ô Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ñ ÍÊÁÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ ÍÊÁ ØÝÔ Ü ÒÝÍÊÁ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø Ð Ò Î ÐÙ ØÝÔ Ñ Ø Ð Ò Î ÐÙ ÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü ÒÝ Ò Ñ Ô ÓØ Ö ÔÖÓ ÓÒØ ÒØ Ð Ü Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÍÊÁ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÖÑ ØØ ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» ÅÄË Ò ØÙÖ ÑÖ ØØ Ð ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò + ¼¾ º ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» ÈÃ Ë ÑÖ ØØ Ð ÈÃ Ë ¹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÊË º ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» ÅË¹Ë Ò ØÙÖ ÑÖ ØØ Ð Å˹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÀË º ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» Èà ˽¼ ÑÖ ØØ Ð ÈÃ Ë ½¼¹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÊË ¼¼ º ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÑÖ ØØ Ð ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ý ØØ Ø º Ë Ù¹ Ö Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ ÅÓ Ð Í ÖÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Á ÒØ ØÝÁ Ù Ö ØÝÔ Ñ Å Å Ñ ÖÌÝÔ

34 ¾ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Í ÖÁ ÒØ Ö ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÀÓÑ ÅËËÈ ØÝÔ Ñ Å Å Ñ ÖÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÅËÁË Æ ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Å Ò ÅÓ ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ø Ò È ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ Óѹ ÑÙÒ Ó Ú Ø ÒÒº ÃÓÐÑ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÓÓ ÓÚ Ø ½º ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ô Ö ÒØ Ò Ò ÔÝÝÒØ ¹Ú Ø ¹Ú Ø Òغ ¾º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ Ù Ø ÔÝÝÒØ ¹Ú Ø ¹Ú Ø º º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÙÙÒØ Ò Ò Ú Ø Òغ ÐØ Ú Ø Ò Ô ÐÚ Ð ÒÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ Ø Ø Ò ÙØ ÙÒ ¹ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÑÔÐ ÌÝÔ Ò Ñ Å Ò ÅÓ ÌÝÔ Ü Ö ØÖ Ø ÓÒ Ü ØÖ Ò Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ ÝÒ» Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ ÝÒ Ð ÒØË ÖÚ Ö» Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ ÝÒ Ë ÖÚ ÖË ÖÚ Ö»»Ü Ö ØÖ Ø ÓÒ»Ü ÑÔÐ ÌÝÔ Ø ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÝØ ØÒ Ð Ò ÙÒ ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐÐ Ð Ø ØÒ Ú ¹ Ø ÐÐ Ö Ó Ø ØØ Ú Ø ÒÝØ ØØÚ º ÅÁÅ ¹ØÝÝÔÔ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ó ÙÑ ÒØ Á Î ÓÓ Ù ÙÖ Ú Á Î º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ø ÌÝÔ Ü ÑÔÐ ÓÒØ ÒØ Ü ÜØ Ò ÓÒ Ü ØÖ Ò Ü ØØÖ ÙØ Ò Ñ Å Ñ ÌÝÔ ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ù ÓÔØ ÓÒ Ð» Ü ØØÖ ÙØ Ò Ñ ÒÓ Ò ØÝÔ Ü ØÖ Ò

35 ¼ Ù ÓÔØ ÓÒ Ð»»Ü ÜØ Ò ÓÒ»Ü ÑÔÐ ÓÒØ ÒØ»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ã ÝÊ Ö Ò ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÐÑ Ø Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò ÓØ ÐÙØ Ò Ýع Ø ÙÒ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº Ú Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø ÍÊÁ Ó Ó Ó ØØ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÑÝ ÒØ Ò Æ Ø Ò Ù Æ Ñ µ ź Ú Ñ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ò Ò Ø Ú Ø Ø Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÑÝ ÒØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ò Ò Ø Ú Ø Ø Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ Î Ô Ú Ð ÒØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ü Òݹ Ð Ñ ÒØØ µ Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ã ÝÊ Ö Ò ÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÖØ Ø ÍÊÄ ØÝÔ Ü ÒÝÍÊÁ Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÖØ Ø Á Ù Ö Æ ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ À Ç Í Ö ÈÙ Ð Ã Ý ØÝÔ Ñ Ø Ð Ò Î ÐÙ ÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ À Ç ÈÙ Ð Ã Ý ØÝÔ Ñ Ø Ð Ò Î ÐÙ ÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ» Ü ÒÝ Ò Ñ Ô ÓØ Ö ÔÖÓ ÓÒØ ÒØ Ð Ü Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ

36 ½ Ø ÓÒ ÐË ÖÚ ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ È ÐÑ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÐÐ Ñ Ø Ð Ö¹ ÚÓÔ ÐÚ ÐÙ Ø ÐÙ ÙØ Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ø Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ö ¹ ØÓ ÒØ º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ø ÓÒ ÐË ÖÚ ÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ö ÔØ ÓÒ ØÝÔ Ñ Ñ ÍÊÁÌÝÔ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØ ØÝ ØÝÔ Ñ Å Å Ñ ÖÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü ÒÝ Ò Ñ Ô ÓØ Ö ÔÖÓ ÓÒØ ÒØ Ð Ü Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÍÊÁ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð ÖÚÓÔ ÐÚ ÐÙ Ø ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» Ú Ð Ø ÑÖ ØØ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ø Ö ØÙ Ò ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» Ø Ñ Ø ÑÔ ÑÖ ØØ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ð Ñ Ù Ò ØØÔ»»ÙÖ º Ø ºÓÖ»Ì˽¼¾¾¼ Ú½º½º¾» Ö Ú ÑÖ ØØ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ö ØÓ ÒÒ Ò Ë Ò ØÙÖ ÈÖÓ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ø Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÝØØÝØÝÝ ÙÒ ØÐÐ Ò Ø ØÓ Ð ÓÒ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê Õ٠عÔÝÝÒÒ ÂÓ ³ Ü Ø³ Ò Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ ØÝØÝÝ Ð ÝØ Ò Ò Ý ÓÔ Ú ÐÐ Ö Ó ØÙ ¹ ÔÖÓ Ð ÂÓ ³Ñ Ò ÑÙѳ Ò Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÔÝÝ ØÒ ÝØØÑÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ó ÓÒ Ú ÒØÒ Ý Ø ³ ÝÚ³ Ù Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê Õ٠عÔÝÝÒÒ ÔÝÝ ¹ ØÒ ÂÓ ³ ØØ Ö³ Ò Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÔÝÝ ØÒ ÝØØÑÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð Ó¹ ÓÒ ³Ô Ö ³ Ñ Ø ÓÒ Ø Ö Ó ÐÐ º

37 ¾ Ë Ñ Ø ³ ÝÚ³ ³Ô Ö ³ Ø Ö Ó ØØ Ú Ø ÅË˹ÑÖ ØÝ Ò ÙÑÑ ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÑÔÐ ÌÝÔ Ò Ñ Ø ÓÒ ÐË ÖÚ ÌÝÔ Ü Ö ØÖ Ø ÓÒ Ü ØÖ Ò Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ü Ø» Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ñ Ò ÑÙÑ» Ü ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ ØØ Ö»»Ü Ö ØÖ Ø ÓÒ»Ü ÑÔÐ ÌÝÔ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÓÒ Ð ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÐÙÓÑ ÐÐ È ÐÐ Ô Ð Ù¹ Ø ØØ Ú ÐÐ Ø Ð ÐÐ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ º Ë ÐØ Ò ÚÓ ÓÐÐ Ó Ó ÅĹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ µ ÈÃ Ë ¹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ü Ò Öݵ Ø Å˹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ü Ò Öݵº ÌÝÝÔÔ ØÓ Ñ ÑÝ Ð Ò ÑÙÙÐÐ Ø ÐÐ Ü ÒݹØÝÝÔÔ µ ÓØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ Ñ ¹ ÓÐÐ Ø ØÙÓØØ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ý ÙØ Ò Ú Ð Ó ÒØ Ø Ø Ö ¹ ØÙ Ø Ð ÑÓ Ò º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ Ü Ó Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÅÄË Ò ØÙÖ ØÝÔ Ë Ò ØÙÖ ÌÝÔ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ë Ò ØÙÖ ØÝÔ Ü Ò ÖÝ» Ü ÒÝ Ò Ñ Ô ÓØ Ö ÔÖÓ ÓÒØ ÒØ Ð Ü Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ»»Ü Ó»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ ËØ ØÙ ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÐÑÓ ØØ ÅËË¹Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ò ÓØ Ò Ò ÓÒ Ô ÓÐÐ ¹ Ò Ò Ø ØÙ ÓÓ ÒØغ Ä ÑÙ Ò ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ò Ø Ð Ò Ð ØØÝÚ Ú Ø º Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ ËØ ØÙ ÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ËØ ØÙ Ó ØÝÔ Ñ ËØ ØÙ Ó ÌÝÔ» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ËØ ØÙ Å ØÝÔ Ü ØÖ Ò Ñ ÒÇÙÖ ¼» Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ËØ ØÙ Ø Ð

38 ØÝÔ Ñ ËØ ØÙ Ø ÐÌÝÔ Ñ ÒÇÙÖ ¼»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ ËØ ØÙ Ó ÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ ÐØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÐØ Ô Ð ÙØÙÚ Ò Ø ØÙ ÓÓ Òº ÅÖ ØÝ Ñ ÓÐÐ Ø Ø Ø ØÙ ÓÓ Øº Ë ÙÖ Ú Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ Ð ¹ Ú ÅĹ Ñ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ ËØ ØÙ Ó ÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ËØ ØÙ Ó ØÝÔ Ñ ËØ ØÙ Ó ÌÝÔ»»Ü ÕÙ Ò Ü ØØÖ ÙØ Ò Ñ Î ÐÙ ØÝÔ Ü ÒØ Ö Ù Ö ÕÙ Ö»»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ ËØ ØÙ Ø ÐÌÝÔ ¹Ø ØÓØÝÝÔÔ Ø Ö Ó Ð Ø ØÓ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ú Ö Ò Ú Ô ÑÙÓØÓ Ò Ò ÙØ Ò ÙÖ Ú ÅĹ Ñ ¹ÑÖ ØÝ Ó Ó ØØ Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ Ò Ñ ËØ ØÙ Ø ÐÌÝÔ Ü ÕÙ Ò Ü ÒÝ Ò Ñ Ô ÓØ Ö ÔÖÓ ÓÒØ ÒØ Ð Ü Ñ ÒÇÙÖ ¼ Ñ ÜÇÙÖ ÙÒ ÓÙÒ»»Ü ÕÙ Ò»Ü ÓÑÔÐ ÜÌÝÔ º ËÇ È¹ Ð Ú Ö ÓÓ Ø Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ ËÇ È¹ Ð Ú Ö ÓÓ Ø ËÇ È ÙÐØ Ù Ó µ ÀÅ + ¼ Ó Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÚÓ Ô Ð ÙØØ Ú Ø Ò ÅË˹ÔÝÝÒØ Òº

39 ÃÓÓ ËÝÝ Ë Ð ØÝ ½¼½ ÏÊÇÆ È Ê Å Î Ö ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÅË˹ÔÝÝÒÒ ½¼¾ ÅÁËËÁÆ È Ê Å ÈÙÙØØÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ ÅË˹ÔÝÝÒÒ ½¼ ÏÊÇÆ Ì Ä Æ ÌÀ Ø ÌÓ Ë Ò Ð Ò ÙÙÖ ½¼ ÍÆ ÍÌÀÇÊÁ ËË È Ø ØÙÒÒ Ø Ø Ð Ò ÓÒ ÚÖ ½¼ ÍÆÃÆÇÏÆ ÄÁ ÆÌ È Ò ÐÙ Ñ ÐÓÔÔÙ ÝØØ ØÙÒÒ Ø ½¼ À Æ ËÀ Ã Ê ÉÍÁÊ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÐÙ Ø Ò Ò ØØ ÐÝÒ ½¼ ÁÆ ÈÈÊÇÊÁ Ì Ì ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ØÙÒÒ ÅÁÅ ¹ØÝÝÔÔ ½¼ ÁÆ ÇÅÈ ÌÁ Ä ÁÆÌ Ê Å ÒÓÖÎ Ö ÓÒ»Ø Å ÓÖÎ Ö ÓÒ ÚÖ ½¼ ÍÆËÍÈÈÇÊÌ ÈÊÇ ÁÄ È ÝÖ ØØ ÝØØ ÚÖ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÖÓ Ð ¾¼ ÈÁÊ ÌÊ ÆË ÌÁÇÆ Ì Ô ØÙÑ ÐÐ ÓÒ Ø Ô ØÙÒÙØ Ø Ù ¾¼ ÇÌ ÊÊÇÊ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÔÝ ØÝ Ù Ø Ð Ñ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ò ¼½ ÍË Ê Æ Ä ÄÓÔÔÙ ÝØØ ÝÐ Ø Ô ØÙÑ Ò ¼¾ ÈÁÆ ÆÊ ÄÇ Ã Ì Ô ØÙÑ Ò Ò Ø Ô ØÙ Ú Ö ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ¼ Ê ÄÇ Ã ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð ØØ ¼ ÆÇ Ã ÇÍÆ ¼ ÆÇ ÍÊÄ ÇÍÆ ¼ È ËÁ Æ ÌÍÊ ÈÊÇ ËË ¼ Ê ÁËÌÊ ÌÁÇÆ ÆÇà ¾¾ ÆÇ ÊÌ ÇÍÆ ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒÒ ØØ Ð ÝØÝÒÝØ ¾ ÊÄ È Ì Ô ØÙ Ú Ö ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ú Ð Ó ÒÒ Ò ¾ ÊÄ ÈÁÊ Ò ¾ ÊÊÇÊ ÊÌÁ Á Ì ¼¼ ÁÆÌ ÊÆ Ä ÊÊÇÊ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÒ Ò Ò Ú Ö º ÅËË¹Ô ÐÙÙ ÓÓ Ø Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ ÅË˹ Ø ØÙ ÓÓ Ø Ó Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÚÓ Ô Ð ÙØØ Ú Ø Ò ËØ ØÙ Ó ÌÝÔ Ò ØØÖ ÙÙØØ Ò µ ÅË˹ÔÝÝÒØ Òº ÃÓÓ ËÝÝ Ë Ð ØÝ ½¼¼ Ê ÉÍ ËÌ ÇÃ Î Ø ÒÓØØ È Ø ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙµ ÝÚ Ý ÔÝÝÒÒ Ò ¼¼ ÍË Ê ËÁ Æ ÄÓÔÔÙ ÝØØ ÓÒ Ú Ø ÒÓØØ ÒÙØ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒÒ Ò ¼ Ê ÁËÌÊ ÌÁÇÆ Çà ÅËË Ê ØÖ Ø ÓÒ¹Ô ÐÚ ÐÙ ÓÒÒ ØÙ ¼¼ ËÁ Æ ÌÍÊ Î Ø Ú Ø ÐØ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ¼½ Ê ÎÇà ÊÌÁ Á Ì ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒÒ ÓÒ ÙÐ ÙÐ Ø ÐÐ ¼¾ Î ÄÁ ËÁ Æ ÌÍÊ Î Ø Ú Ø ÐØ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ØØÙ Ó Ò ¼ ÁÆÎ ÄÁ ËÁ Æ ÌÍÊ Î Ø Ú Ø ÐØ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÑÙØØ Ò Ø Ö ØÙ ÔÓÒÒ ØÙ ¼ ÇÍÌËÌ Æ ÁÆ ÌÊ ÆË ÌÁÇÆ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ò ¼¼ ÇÃ Û Ø ÈÍËÀ ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ¼½ ÇÃ Û Ø ÓÙØ ÈÍËÀ ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ¼¾ ÆÇÃ Û Ø ÈÍËÀ ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ¼ ÆÇÃ Û Ø ÓÙØ ÈÍËÀ ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ÌËÁ Ò ÅË˹ Ø Ò Ö Ò ØÓØ ÙØÙ Ë ÙÖ Ú ÙÚ Ø Ò Î Ð ÑÓ Ï Ö Ð ÇÝ Ò ØÓØ ÙØÙ ÅË˹ÑÖ ØÝ Ø ÓÒ Ò ¹ Ñ ÓÒ Î Ð ÑÓ Î Ð ØÓÖ ¹ ÅËËȺ Ë ØÓØ ÙØØ Ø ÅË˹ÑÖ ØÝ Ò Ð ÑÝ ÓÑ ÊÝ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ó Ò ¼ º ÌÓØ ÙØ ØÙØ ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙØ ÓÚ Ø

40 ÅËË Ë Ò ØÙÖ ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ ÖÝ ÅËË Ê ÔØ ÃÝ Ò Ò ØÓØ ÙØÙ ÐØ ÅË˹ÑÖ ØÝ Ò ÓÐÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÕÙ Ö Ò ÒØ ØÝ ÊÓÙØ Ò ÒØ ÖÝ ÀÓÑ ÅËËȵ Ý º ÃÙÚ ½¾ ÓÒ ÙÚ ØØÙ Ó Ó Ö ¹ Ø ÐѺ LDAP(S) over TCP LDAP user directory JDBC over proprietary database protocol Transaction relational database SOAP over XML over HTTP(S) over TCP MSS provider (server) HTTP(S) over TCP Wireless Internet Gateway HTTP(S) over TCP MSS Application Provider (client) HTTP(S) over TCP WAP Push Proxy Gateway SMSC protocol over TCP WAP gateway SMSC protocol over TCP Operator s SMS gateway WSP over WTP over WDP GSM End user with mobile ÃÙÚ ½¾ ÅË˹ Ö Ø ÐÑ ÃÝ Ò Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ Ò ØÓØ ÙØÙ ÓÒ Ó ÐÑÓ ØÙ Â Ú ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÐÐ Â¾Ë ½º º¾ Ò Ø Ò Ö Ö ØÓ Ò Ð ØÓØ ÙØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ù Ø ÓÐÑ Ò Ò Ó ¹ ÔÙÓÐ Ò Ú Ô Ø Ø Ú ÐÐ ÓÐ Ú Ö ØÓ º ÃÝ Ò Ò ØÓØ ÙØÙ ÓÒ Ò º ÓÖ Ø ÝØ ØØÚ ÐÝ Ú Ð Ð µ Ð Ù Ø ÅË˹ Ô ÐÚ ÐÙÔÖÓ ÚÓ Ò ÝØØ ØÙÓÑ Ò Ð ÙÓÖ ØÙ Ý Ý»Ø ÒÓ Ø Ñ Ò Ý¹ Ø ØØÚÝÝ Ò Ø Ó º Ã Ò Ø ÒÓÐÓ Ò Ø Ò ÓÒ ÔÖÓ Ò ÚÐ Ò ÓÑÑÙÒ ¹

41 Ó ÒØ Ò Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÂÅË¹Ö Ô ÒØ ËÙÒ º ÃÙÚ ½ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÓÖ Ø ÝØ Øع Ú ÅË˹ Ö Ø ÐÑ Ó ÙÓÖÑ ÒØ ÓÒ ÒØ ÁÈ¹Ó Ó ØØ Ó ÙÓÖÑ ÖÝÔÔÒ ÐÙ Ø Ö Òµ ÅË˹ÔÖÓ ÐÐ º ÅË˹ÔÖÓ Ò Ø Ò ÓÒ ÖÝÚ Ø ØØÝ Ø ØÓ ÒØ º MSS 1 JMS Kuormantasaaja MSS 2 JMS Klusteroitu tietokanta JMS MSS 3 ÃÙÚ ½ ÅË˹ ÐÙ Ø Ö ÃÙÚ ½¾ ØÙ ØØÙ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð ØØ Ø ÓÚ Ø Ï È ½º¾º½ ¹Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ø ÔÙ Ð Ñ Ø ÏÁÅ Ò Ï Ö Ð Á ÒØ ØÝ ÅÓ ÙÐ µ ÐØÚÐÐ ËÁŹ ÓÖØ ÐÐ º Ï È ½º¾º½¹ÑÖ ØÝ Ò ÏÅÄËÖ Ôع Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÖÝÔØÓº ÒÌ ÜØ µ ØÙÓØØ Ë Ò ÓÒØ ÒØ¹Ò Ñ Ò Ê¹ ÓÓ ØÙÒ Ëƺ½¹Ö ÒØ Ò Ó ÐØ ÑѺ ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº ÌÓ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ ÓÚ Ø ËÅ Ô ¾ ¹Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ø ÔÙ Ð Ñ Ø ÝØÒÒ ÔÙ Ð Ñ Øµ Ó ÓÒ ËÑ ÖØÌÖÙ Ø Ò ÏÁ ¹ Ð Ò Ï Ö Ð ÁÒØ ÖÒ Ø ÖÓÛ Öµ ËÑ ÊË ¹Ú ÐÑ Ù ËÑ º ÊË ¹Ú ÐÑ Ù ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙÐÐ ËÁŹ ÓÖØ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÊË ¹ Ô ØÓ Ø ÔÐÙ Òµ È ¹Ô ØÓ È¹Ô ØÓ º È ¹Ô ØÓ ØÙÓØØ Ë Ò ÓÒØ Òع Ö ÒØ Ò ÓØ Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ï È ½º¾º½¹ÑÖ ØÝ Ò Ò º È ¹Ô ØÓ ÒÝØØ ÐÓÔÔÙ ÝØØ ÐÐ ÐÐ Ö Ó Ø ØØ Ú Ò Ø Ø Ò ÙÒ Ø È Ò¹ ÖÈÖ Òص ¹Ô ØÓ ÒÝØ ÐÐ Ö Ó Ø ØØ Ú Ø Ø º È¹Ô ØÓ ØÙÓØØ Ê¹ ÓÓ ØÙÒ Ëƺ½¹Ö ÒØ Ò ÓÒ Ò Ñ ÓÒ ÏÖ ÔÔ ÓÒØ Òغ ÏÖ ÔÔ ÓÒØ ÒØ¹Ö ÒÒ ÐØ ÈÃ Ë ½¹Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº Ë Ò ÓÒØ ÒØ¹Ö ÒÒ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú ÒÙÑ ß ÒÙÐÐ ¼µ Ö Ô ½ ½µ

42 Ô½ ¾µ ¾ µ Ð Ø Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖÙØ ß Ø Ë Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñµ ß ÒÙÐÐ ØÖÙØ ßÐ ÙÐØ ÓÔ ÕÙ Ò ØÙÖ ¼ºº¾ ½ ¹½ Ð Ð Ë Ò ØÙÖ ÒÙÑ ß ÑÔÐ Ø ¼µ Ý ½µ ÛØÐ ÖØ Ø ¾µ Ü ¼ ÖØ Ø µ Ü ÖØ Ø µ ÖØ Ø ÙÖÐ µ ¾ µ Ð Ë Ò ÖÁÒ ÓÌÝÔ ØÖÙØ ß Ë Ò ÖÁÒ ÓÌÝÔ Ò Ö Ò Ó ØÝÔ Û Ø Ò Ö Ò Ó ØÝÔ µ ß ÑÔÐ Ø ØÖÙØ ßÐ Ý ÓÔ ÕÙ ¾¼ ÛØÐ ÖØ Ø ÏÌÄË ÖØ Ø Ü ¼ ÖØ Ø ÓÔ ÕÙ Ü ¼ ÖØ Ø ¼ºº¾ ½ ¹½ Ü ÖØ Ø ÓÔ ÕÙ Ü ÖØ Ø ¼ºº¾ ½ ¹½ ÖØ Ø ÙÖÐ ÓÔ ÕÙ ÙÖÐ ¼ºº¾ Ð Ð Ë Ò ÖÁÒ Ó ÒÙÑ ß Ø ÜØ ½µ Ø ¾µ ¾ µ Ð ÓÒØ ÒØÌÝÔ ÒÙÑ

43 ß Ð ¼µ ØÖÙ ½µ Ð ÓÓÐ Ò ØÖÙØ ß ÓÒØ ÒØÌÝÔ ÓÒØ ÒØ ØÝÔ Ù Òؽ ÓÒØ ÒØ ÒÓ Ò ÓÓÐ Ò ÓÒØ ÒØ ÔÖ ÒØ Û Ø ÓÒØ ÒØ ÔÖ Òص ß Ð ØÖÙØ ßÐ ØÖÙ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ ÒØ ¼ºº¾ ½ ¹½ Ð Ð ÓÒØ ÒØÁÒ Ó ÒÙÑ ß ÑØ ÙØ Ø Ñ ½µ Ò Ö ÒÓÒ ¾µ ¾ µ Ð ØØÖ ÙØ ÌÝÔ ØÖÙØ ß ØØÖ ÙØ ÌÝÔ ØØÖ ÙØ ØÝÔ Û Ø ØØÖ ÙØ ØÝÔ µ ß ÑØ ÙØ Ø Ñ ÙÒ Ø ½¾ Ò Ö ÒÓÒ ÓÔ ÕÙ Ò Ö ÒÓÒ Ð Ð ÙØ ÒØ Ø ØØÖ ÙØ ØÖÙØ ß ÙÒ Ø Ú Ö ÓÒ Ë Ò ØÙÖ Ò ØÙÖ Ë Ò ÖÁÒ Ó Ò Ö Ò Ó ¼ºº¾ ½ ¹½ ÓÒØ ÒØÁÒ Ó ÓÒØ ÒØ Ò Ó ÙØ ÒØ Ø ØØÖ ÙØ ÙØ ÒØ Ø ØØÖ ÙØ ¼ºº¾ Ð Ë Ò ÓÒØ ÒØ ÏÖ ÔÔ ÓÒØ ÒØ¹Ö ÒÒ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÖ Ú ØÖÙØ ß ÓÔ ÕÙ Ò ØÙÖ ¼ºº¾ ½ ¹½ Ð Ë Ò ØÙÖ

44 ÒÙÑ ß ÑÔÐ Ø ¼µ Ý ½µ ÖØ Ø ÙÖÐ µ ½¾ µ Ý Ù ½¾ µ ¾ µ Ð Ë Ò ÖÁÒ ÓÌÝÔ ØÖÙØ ß Ë Ò ÖÁÒ ÓÌÝÔ Ò Ö Ò Ó ØÝÔ Û Ø Ò Ö Ò Ó ØÝÔ µ ß ÑÔÐ Ø ØÖÙØ ßÐ Ý ÓÔ ÕÙ ¾¼ ÖØ Ø ÙÖÐ ÓÔ ÕÙ ÙÖÐ ¼ºº¾ ÓÔ ÕÙ ½¼ Ý Ù Ù ÒØ Ð Ð Ë Ò ÖÁÒ Ó ØÖÙØ ß ÙÒ Ø Ú Ö ÓÒ Ë Ò ØÙÖ Ò ØÙÖ Ë Ò ÖÁÒ Ó Ò Ö Ò Ó ¼ºº¾ ½ ¹½ Ð ÏÖ ÔÔ ÓÒØ ÒØ ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ø Ô ØÙÑ Ð ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÔÝÝØÑ Ò Ò Ñ Ò ÔÔ Ö¹ Ø ØØ Ò ÙÖ Ú Ø ÙØ Ò ÙÚ ½¾ ÓÒ Ø ØØÝ ½º ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓÚ Ö Èµ Ð ÅË˹ Ð ØØ Ô ÐÚ ÐÙÔÝÝÒÒ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê Õ٠صº ¾º ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ Ø ÐÐ ØØ Ø ØÓ ÒØ Ò Ñ Ö ÒÒÒ ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÐÓ Ø ØØÙ Ð ØØ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒÒ Ò ÔÙ ¹Ú Ø Ò Ó Ó ÈÙ ÈÖÓÜÝ Ø Û ÝÒ Ó Ý ÓÒ Ï È ½º¾º½ ¹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð Ø µ Ø Ï Ö Ð ÁÒØ ÖÒ Ø Ø Û ÝÒ Ó Ý ÓÒ ÏÁ ¹ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ð Ø µ ÙØØ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Òº º ÄÓÔÔÙ ÝØØ Ý ØØ ÈÁƹ ÓÓ Ò ÔÙ Ð Ò Ð Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ¹ ØÙ Òº

45 ¼ º ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÙÙ ÔÙ Ð Ñ ÐØ ÅËË¹Ô ÐÚ Ð Ñ ÐÐ Ó Ó Ï È¹Ý Ý ÝØÚÒ Ø ÏÁ ¹Ý Ý ÝØÚÒ ÐÔ º º ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ä È¹ Ñ ØÓ Ø Ú Ð Ó Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÙÐ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ º ÄÓÔÙ Ø ÐÐ ÒÒ ¹ Ø Ò Ø ØÓ ÒØ Ò Ñ Ö ÒØ ÓÒÒ ØÙÒ Ø Ø ÔÓÒÒ ØÙÒ Ø Ø Ô ØÙÑ ¹ Ø º º ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙ Ô Ð ÙØØ Ú Ø Ù Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÔÓÒ µ Ó ÐØ ÑѺ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÅË˹ ÐÐ Ð È ÐÐ º º½ Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò ØÓØ ÙØÙ Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÓÒ Ø ØØÝ ÓÒØÖÓÐÐ Ò ÙÐ Ù Ö Ø ÐÑÒ Ö ÑÓ ÙÐ Ò ÚÐ ÐÐ Ó Ò Ö Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò Ó ÐÐ º º½º½ ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ËÝÒ ÖÓÒ Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ø Ô ØÙÑ Ø Ò ÅË˹ØÓØ ÙØÙ ÙÖ Ú Ø ½º È Ø ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹ ÙØ ÙÒ Ð ØØÑÐÐ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ Òº ¾º ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ ÙØ ÙÙ ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ ÐÙÓ Ò ÙÙ Ò Ö Ú Ò Ø ØÓ ÒØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ú ÖØ Òº º Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ Ò ÚÙ ØÙ ÐÐ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ º º ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ Ñ Ò ÂÅ˹ÑÓ ÙÐ Ò ÒÙ ÙÑ Ò Ó ÓØØ Ñ Ò Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ò Ú ÐÑ ØÙÑ Ø º º ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÙÙÙ ÏÁ»Ï È¹Ý Ý ÝØÚÐØ Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ Ó ÔÙÖ ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº º  ÒÒ ØØÝ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÒÒ Ø Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ º º Ö ¹ÑÓ ÙÐ Ä È¹ÑÓ ÙÐ ÝØØ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Òº

46 ½ º Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ö Ø Ø Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÙÐ ÐÐ Ú ¹ Ñ ÐÐ Ú ÖÑ ÒÒ Ú Ð Ó Ò ÓÒ ÖÑ Ö¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ º º Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÓÒ ÒÝØ Ú ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ø ØÓ ÒØ Ò ½¼º Ä Ø ØÒ ÂÅ˹ Ò Ð ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÐÑ ÓÐÐÓ Ò Ó º ÒÙ ¹ ÙÑ Ò ÒÝØ Ö Ó Ò ÅËË¹Ô ÐÚ ÐÙÔÖÓ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÙÐÓ ÐÙ Ø Ò Ø ØÓ ÒÒ Ø È ÐÐ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÔÓÒ º ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÚ ½ º Confirmer Transaction Data Manager MSS client 1. MSS SOAP Bridge LDAP JMS Signing Gateway 5. WIG / WAP GW Hibernate Logging JMX SNMP Adapter XHTML Adapter ÃÙÚ ½ ËÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ º½º¾ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÝÒ ÖÓÒ Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ø Ô ØÙÑ Ø Ò ÅË˹ØÓØ ÙØÙ ÙÖ Ú Ø ½º È Ø ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹ ÙØ ÙÒ Ð ØØÑÐÐ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ Òº

47 ¾ ¾º ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ ÙØ ÙÙ ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ ÐÙÓ Ò ÙÙ Ò Ö Ú Ò Ø ØÓ ÒØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ú ÖØ Òº º Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ Ò ÚÙ ØÙ ÐÐ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ º º È Ø ÅËË ËØ ØÙ ÉÙ Öݹ Ý ÐÝÒ ÓÐ Ó Ø Ô ØÙÑ Ó Ú ÐÑ ÑÙØØ ÓÐ Ú Ð Ú ÐÑ º º ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÙÙÙ ÏÁ»Ï È¹Ý Ý ÝØÚÐØ Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ Ó ÔÙÖ ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº º  ÒÒ ØØÝ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÒÒ Ø Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ º º Ö ¹ÑÓ ÙÐ Ä È¹ÑÓ ÙÐ ÝØØ Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Òº º Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø Ö Ø Ø Ò ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò ÙÐ ÐÐ Ú ¹ Ñ ÐÐ Ú ÖÑ ÒÒ Ú Ð Ó Ò ÓÒ ÖÑ Ö¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ º º Ì Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÓÒ ÒÝØ Ú ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ø ØÓ ÒØ Ò È ÚÓ Ý Ý ÒÝØ Ø Ô ØÙÑ Ò Ø Ð ÓÐ Ú ÐÑ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÓÐ ÒÓ٠ع Ø Ú º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò ¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÙÚ ½ º º½º ÝÒ ÖÓÒ Ò Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹ÑÓÓ ÝÒ ÖÓÒ Ò Ô ÐÚ Ð Ò¹Ô ÐÚ Ð Ò ¹Ú Ø ÒØÑÓÓ Ò ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹Ø Ô ØÙÑ Ø Ò ÅË˹ØÓØ ÙØÙ ÙÖ Ú Ø ½º È Ø ÅËË Ë Ò ØÙÖ ¹ ÙØ ÙÒ Ð ØØÑÐÐ ÅËË Ë Ò ØÙÖ Ê ÕÙ Ø¹Ú Ø Ò ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ Òº ¾º ÅË˹ËÇ È¹ÑÓ ÙÐ ÙØ ÙÙ ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ø Å Ò Ö ¹ÑÓ ÙÐ ÐÙÓ Ò ÙÙ Ò Ö Ú Ò Ø ØÓ ÒØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ú ÖØ Òº º Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ Ò ÚÙ ØÙ ÐÐ ÐÓÔÔÙ ÝØØ Ò ÔÙ Ð Ñ Ò Ð Ø ØÒ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÝÝÒØ º º ÐÐ Ö Ó ØÙ ÔÙÙÙ ÏÁ»Ï È¹Ý Ý ÝØÚÐØ Ë Ò Ò Ø Û Ý ¹ÑÓ ÙÐ ÐÐ Ó ÔÙÖ ÐÐ Ö Ó ØÙ Òº

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ

Lisätiedot

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C. Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ Å ØØ Î Ò Ó ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å

Lisätiedot

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n. ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÂÙ Ó Ã ÒÒ ÃÓÑÔÓ ØØ Ð Ñ Ò ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ø ØØÝ ÔÐÓÑ ØÝ ÔÓÓ ¾ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì

Lisätiedot

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØغºº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò

Lisätiedot

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹

Lisätiedot

M : S N { }, S : S N.

M : S N { }, S : S N. Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ¹ Ò ÐÝÝ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ËÝ Ý ¾¼½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ

Lisätiedot

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k ̹ º ¾¼½ Ö Ø Ø Ö ÒØ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È ÇÖÔÓÒ Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÄÙ ÐÐ ÌÑÒ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÝÝ ÐÙ Ù Ù Ò ¾¼¼½ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò Ì Ò ÐÐ Ò ÓÖ ÓÙÐÙÒ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ ÙÖ ÐØ

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½

Lisätiedot

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ Ì¹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½ ÄÙ ÒØÓ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½º Ì ÙÐÙÒÒ Ø Ú ÒØØÓÖ ÐÐ ¾º Ì ÙÐÙ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ Ø ÐÑØ º Ç Ø ØÓ ØÙØ Ò Ð Ø Ñ Ò º ËÝØ Ñ ØØ Ò Ò Ø ÙÐÙ º Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÙÓ ÓØ

Lisätiedot

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÀÓÒ Ò Ò ½ ¾ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ¾ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ì Ú Ø ÐÑ Ì ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÑÔ ØÙ¹ ÐÓ Ó Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ø Ò Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ø

Lisätiedot

Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 2.5 2 Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼ Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ

Lisätiedot