Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

2 Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x dx Summan integrointi: f x + g(x) dx = f x dx + g x dx Potenssifunktion integrointi: x n dx = xn+1 ; erikoistapaus n+1 1 dx = ln x x Eksponenttifunktion integrointi: a x dx = ax ln a ; erityisesti ex dx = e x Tällä luennolla opettelemme monimutkaisempien funktioiden integrointia 2

3 Osittaisintegrointi I7: Osittaisintegrointi Tulon derivointisäännön mukaan D f x g(x) = f x g x + g(x)f x Integroimalla saadaan f x g x = න f x g x dx + න g(x)f x dx න f x g x dx = f x g x න g(x)f x dx 3

4 Osittaisintegrointi Esim. Määritä x ln x dx. Edellisen kalvon kaava න f x g x dx = f x g x න g x f x dx Valitaan f x = ln x ja g x = x f x = 1 x ja g(x) = x2 2 Siispä: න x ln x dx = ln x x2 2 න x2 2 1 x dx = x2 ln x x

5 Osittaisintegrointi Esim. Määritä x 2 e x dx. Valitaan kaavaan Siispä: f x = x 2 ja g x = e x f x = 2x ja g(x) = e x න x 2 e x dx = x 2 e x න 2x e x dx Valitaan jälkimmäisen termin integroimiseksi f x = 2x ja g x = e x f x = 2 ja g(x) = e x Siispä: 2x e x dx = 2x e x 2e x dx = 2xe x 2e x න x 2 e x dx = x 2 e x න 2xe x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x = e x (x 2 2x + 2) 5

6 Kuinka valita f ja g? Jos jompikumpi funktioista on sellainen, jota et voi (helposti) integroida, on sen oltava f. Esim. x ln x dx. Funktio x on helppo integroida mutta funktiota ln x ei. Mitä tapahtuu, jos valitset f = x ja g = ln x? Jos osaat integroida kummankin funktion, kannattaa f:ksi valita korkeimman asteen termi polynomitermi. Tällöin saat f:ää derivoimalla pienennettyä termin astetta ja helpotettua tulon integrointia. Esim. x 2 e x dx. Funktiot x 2 ja e x voidaan kumpikin helposti integroida. Mitä tapahtuu, jos valitset f = e x ja g = x 2? Huom! Aina voit kokeilla. 6

7 Presemo-kysymys Määritä xe x dx. 1. e x 2. e x (x 1) 3. e x (x + 1) 7

8 Presemo-kysymys Määritä ln x dx x(ln x 1) 3. (ln x) 2 2 8

9 Harjoittele verkossa! Calculus Integration by parts 9

10 Yhdistetyn funktion derivointisäännön käänteinen käyttö I8: Yhdistetyn funktion derviointisäännön käänteinen käyttö eli sijoitusmenettely Yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan funktion F x = (g f)(x) derivaatta pisteessä x on F x = f x g (f x ) Siispä f x g (f x )dx = F x, missä F x = g f x = g(f x ) 3/7/

11 Yhdistetyn funktion derivointisäännön käänteinen käyttö Esim. Määritä x2 x2 dx Valitaan ulkofunktion derivaataksi g y = 2 y ulkofunktio g y = 2y ln 2 Sisäfunktio on tällöin f x = x 2 sisäfunktion derivaatta f x = 2x Muokataan integroitavaa funktiota sopivasti: න x2 x2 dx = 1 2 න 2x 2x2 dx = f x g f(x) 1 2 2x2 ln 2 g(f x ) = 2x2 2 ln 2 = D g f x 11

12 Sijoitusmenettely Käytännössä tällainen integrointi toteutetaan usein sijoitusmenettelyn avulla: 1. Sisäfunktioksi hahmotettu f(x) korvataan apumuuttujalla y 2. Tämän derivaatasta f x = dy muokataan esitys dx dx = dy f x 3. Integroitavassa funktiossa kaikki x:ää sisältävä termit korvataan vastaavilla termeillä y:n suhteen 12

13 Sijoitusmenettely Esim. Määritä x2 x2 dx 1. Sisäfunktio korvataan apumuuttujalla y = x 2 x = y y < 0 2. Sisäfunktion derivaatta f x = dy dy 2 y dx = 2x, josta muokataan dx = dy 2x = 3. Korvataan alkuperäisestä funktiosta kaikki x:ää sisältävä termit vastaavilla y-termeillä න x2 x2 dx = න y2 y dy 2 y = 1 2 න 2y dy = 1 2 y 2 ln 2 = 1 2 x2 2 ln 2 13

14 Sijoitusmenettely Esim. Määritä 3x x dx o Hahmotetaan sisäfunktioksi f x = x Sisäfunktio korvataan apumuuttujalla y = x x = y 1 y > 1 2. Sisäfunktion derivaatta f x = dy = 2x, josta muokataan dx = dy 2x = dy 2 y1 3. Korvataan alkuperäisestä funktiosta kaikki x:ää sisältävä termit vastaavilla y-termeillä dx න 3x x dx = න 3 y 1 y 2 = 3 y = 1 2 (x2 + 1) 3. dy 2 y 1 = න 3 2 y2 dy 14

15 Presemo-kysymys Määritä 2x x 2 + 1dx x x x x

16 Presemo-kysymys Määritä 3 2x + 1dx x x x

17 Milloin soveltaa osittaisintegrointia, milloin sijoitusmenettelyä? Osittaisintegroinnissa integroitava funktio on kahden funktion f(x) ja g (x) tulo Sijoitusmenettelyssä integroitava funktio on myös kahden funktion f (x) ja g (f x ) tulo Sijoitusmenettelyä voidaan siis soveltaa, kun funktioista toinen on toisen sisäfunktion derivaatta tai muokattavissa sellaiseksi vakiokertoimella Esim. 2x x 2 + 1dx: Funktio 2x on funktion x sisäfunktion x derivaatta Esim. 3x x dx: Funktio 3x on funktion x sisäfunktion x derivaatta, kun se kerrotaan vakiolla 2 3 Esim. x 2 e x dx : Kumpikaan funktioista ei ole yhdistetty funktio; eikä kumpikaan myöskään tällöin ole toisensa sisäfunktion derivaatta 17

18 Harjoittele verkossa! Calculus U-substitution 18