Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
|
|
- Jarkko Haapasalo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä voisivat olla esimerkiksi massa6heys tai varaus6heys paikan funk6ona tai korkeus kar@akoordinaaien funk6ona Esim: funk6o f(x,y) kertoo mus6en pallojen 6heyden kentällä. Pac- Man liikuu käyrää pitkin pisteestä a pisteeseen b ja syö palloja. Kuinka monta palloa Pac- Man syö? Vastaus on (suunnilleen) viivaintegraali f(x,y) ds (ds on ääre@ömän pieni pala käyrää) a y ds b x
2 Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Tämä tulkinta au@aa hahmo@amaan, mistä on kyse, mu@a ei vielä varsinaises6 auta laskemaan integraalia. Kuvasta nähdään kuitenkin suoraan yksi keskeinen asia: Viivaintegraalin arvo (Pac- Manin syömien pallojen lukumäärä) riippuu yleisessä tapauksessa alku- ja loppupisteiden lisäksi myös integroin6rei6stä. f(x,y) ds f(x,y) ds 1 2 a y 2 b 1 x
3 "Perinteisempi" tulkinta: 1D Funk6o f(x):n kuvaaja on käyrä. f(x):n arvo x:n eri pisteissä kuvataan pylväinä oheisessa kuvassa. Integraalin f(x)dx tulkinta: käyrän alle jäävä pinta- ala. Voidaan ajatella alue jaetaan kapeisiin) siivuihin, joiden pinta- ala lasketaan yhteen. f(x)dx
4 2D f(x,y) ds Funk6o f(x,y):n arvo pisteessä x,y kuvataan myös pylvään korkeutena (vasen kuva). Funk6on kuvaaja on siis pinta. Käyrä kulkee x,y tasossa. Jokaisessa :n pisteessä f(x,y):llä on jokin arvo nämäkin voidaan piirtää pylväinä/siivuina siivuina kuten oikeanpuoleisessa kuvassa. Viivaintegraali käyrällä summaa siivujen pinta- alat ("aidan pinta- alan") aivan kuten "tavallinen" integroin6kin Tavallinen integraali on ikään kuin viivaintegraali käyrällä y=0.
5 Viivaintegraalin laskeminen (1) Viivaintegraalin laskeminen yleensä integraalin muuntamista "tavallisten" integraalien mutoon. Tähän on monta vaihtoehtoa. Oppikirjassa esitellään yleinen (joskin käytännössä usein työläs) kikka, jossa ds muunnetaan Pythagoraan lauseen avulla y:n ja x:n funk6oksi (huom: merkinnän kanssa tulee olla varovainen; (dy) 2 /(dx) 2 ei tarkoita toista derivaa:aa): ds 2 = dx 2 + dy 2 ds = dx 2 + dy 2 = dx 2 (1+ (dy)2 (dx) 2 ) = (1+ (dy)2 ) dx= (1+ (dy 2 (dx) dx )2 ) dx
6 Viivaintegraalin laskeminen (1) ds = (1+ ( dy dx )2 ) dx Mikäli käyrä on anne@u muodossa y = y(x), voidaan tästä laskea dy/dx, ja integraalista tulee tavallinen integraali x:n suhteen. Esim: integroi f(x,y)=xy käyrää y=x 2 /2 pitkin pisteestä (x,y)=(0,0) pisteseen (x,y)=(1,0.5). Ratkaisu: y = x2 2 f(x,y)ds = f(x,y) = xy = x3 2 ; dy dx = x x=1 x=0 x ( dy dx )2 dx = x=1 x=0 x x 2 dx
7 Viivaintegraalin laskeminen (1) x=1 x=0 x x 2 dx Tämä voidaan laskea muu@ujanvaihdolla u = 1 + x 2 ; tällöin du = 2x dx dx = du/2x, ja saadaan x=1 x 3 1+ x 2 dx = 2 x=0 = 1 4 = 1 4 u=2 x 2 u=1 u=2 u=1 (u 1 u 2 du = u=2x 3 u=1 u=2 u=1 2 u 2 )du = u 2 du 2x (u -1) 5 2 u2 1 u du u = (1+ 2) 15
8 Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Jos käyrää ei voida ilmaista helpos6 muodossa y=y(x), joudutaan usein t siten, käyrän x=g(t), y=h(t), a t b. Esim jos käyrä on suora viiva pisteestä (2,1) pisteeseen (4,2), niin voidaan kirjoi@aa x = 2t, y = t, ja integroida t:n suhteen arvosta t=1 arvoon t=2. ds è dt muunnos näy@ää tältä: y ds = dx 2 + dy 2 = dt 2 ( dx2 dt 2 + dy2 dt 2 ) = ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt (2,1) (4,2) dx/dt ja dy/dt voidaan laskea, koska x=g(t) ja y=h(t) x
9 Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds x y
10 Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds f(x,y) x y
11 Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds f(x,y) y x Viivaintegraalin arvo on tämä pinta- ala
12 Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds Ratkaisu: x = 2t, y = t dx dy = 2, dt dt =1 f(x,y) = xy = 2t t = 2t 2 f(x,y) ds = 2t 2 t=2 t=2 t=1 ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt = 2t dt = 2 5 t 2 dt t=1 = 2 5 t=2 t=1 2 t = 2 5( ) =
13 Viivaintegraalin laskeminen (3) Usein (etenkin kemiallisissa sovelluksissa) viivaintegraali annetaan "ds - muodon sijaan muodossa, jossa esiintyy jo valmiiksi dx ja dy: Esim: f(x,y) ds = F(x,y)dx + G(x,y)dy ΔV = $ & % R p RT dt p 2 dp ' ) ( [ ] Tämän muodon graafinen hahmo@aminen on joskus vaikeampaa, mu@a laskeminen usein helpompaa: viivaintegraali saadaan usein helpos6 muunne@ua tavallisten integraalien (x:n tai y:n suhteen) summaksi.
14 Viivaintegroin6: esimerkki Esim. laske integraali [ ydx + xydy] kun reii on sellainen e@ä y = 1 x ja x : 1 0. Ratkaisu: dy dx = d(1 x) dx = 1 dy = dx [ ydx + xydy] = (1 x)dx + x(1 x)( dx) x=0 x=0 x=1 [ ] = $ %( 1+x x+x 2 )dx& ' = (x 2 1)dx x=1 x=0 x=1 y (0,1) (1,0) x = x=0 x=1 ( x3 3 x)=0 (13 3 1) = 2 3
15 Esim. laske integraali [ ydx + xydy] kun reii on (1,0) (1,1) (0,1) alku6lanne loppu6lanne Ratkaisu: Käsitellään rei6n osat erikseen. y Osassa 1 pätee: (0,1) x = 1, jolloin dx = 0. y: 0 1 Osassa 2 pätee: y=1, jolloin dy = 0 x: (1,1) 1 (1,0) x
16 Nyt voidaan laskea integraali kahden osan summana: y (0,1) 2 (1,1) [ ydx + xydy] y=1 = ( y 0 +1 y dy)+ ( 1 dx + x 1 0) y=0 y=1 y=0 = ydy + = y=1 1 y=0 2 y2 + x=0 x=1 x=0 x=1 1dx x = ( 1) = 3 2 x=0 x=1 1 (1,0) ReiIosalla 1: x=1, dx = 0 y: 0 1 ReiIosalla 2: y=1, dy = 0 x: 1 0 x
17 Viivaintegraali ja eksak2 differen2aali Otetaan viivaintegraali muotoa f(x,y) ds = F(x,y)dx + G(x,y)dy [ ] Jos F(x,y)dx + G(x,y)dy on eksak6 differen6aali, viivaintegraalin arvo ei riipu käyrän muodosta, vaan ainoastaan sen alku- ja loppupisteistä. Kutsutaan alku- ja loppupisteitä vaikka kirjaimilla a ja b, ts a= (x a,y a ), b = (x b,y b ). y b a x
18 Viivaintegraali ja eksak2 differen2aali Perustelu: jos F(x,y)dx + G(x,y)dy on eksak6, on olemassa funk6o z(x,y) jonka kokonaisdifferen6aali dz = F(x,y)dx + G(x,y)dy jolloin [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = dz = z(b) z(a) Tällöin [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = F(x,y)dx + G(x,y)dy 1 Mille tahansa käyrille 1, 2 joilla on 2 samat alku- ja loppupisteet. b a [ ] 2 y b a 1 x
19 Eksak2 differen2aali ja sulje<u viivaintegraali Jos käyrällä on sama alku- ja loppupiste, nähdään he6 eksak6n differen6aalin viivaintegraali tämän käyrän yli integraali) on nolla: a [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = dz = z(a) z(a) 0 Sulje@ua integraalia merkitään usein integraalimerkissä olevalla pallolla: dz a y Epäeksak6n differen6aalin sulje@u viivaintegraali ei väl@ämä@ä ole nolla. a x
20 Graafinen tulkinta Olkoon z = z(x,y) maaston korkeus paikan x,y funk6ona Esim. y on sijain6 Pohjois Etelä- akselilla ja x sijain6 Itä Länsi- akselilla kuten kartoissa yleensä. z:n kokonaisdifferen6aali: dz = ( z(x,y) x ) y dx + ( z(x,y) ) x dy y Osi@aisderivaatat kertovat maaston jyrkkyyden Itä Länsi ja Pohjois Etelä- suunnissa kussakin maaston pisteessä. Kokonaisdifferen6aalin lauseke siis kertoo, kuinka paljon korkeus z muu@uu, kun kuljetaan pieni matka dx Itä Länsi- suunnassa ja pieni matka dy Pohjois Etelä- suunnassa.
21 Graafinen tulkinta dz = ( z(x,y) x ) y dx + ( z(x,y) ) x dy y dy dx
22 Graafinen tulkinta Korkeuden muutos Δz jollakin pidemmällä matkalla pisteestä a pisteeseen b käyrää pitkin saadaan integroimalla dz: Δz = dz = ( z(x,y) ) y dx + ( z(x,y) ) x dy x y = z(a) z(b) Tulos riippuu ainoastaan alku- ja loppupisteistä, eikä valitusta rei6stä (kuten kartastakin voi päätellä). Huom: Δz on siis korkeuden "ne@omuutos" (lähtö- ja päätepisteen korkeuksien erotus), kiipeilijät (yms) laskevat usein "bru@omuutosta" eli kuinka monta metriä päivässä on noustu tämä saa@aa 6etys6 riippua rei6stä mikäli välillä kävellään alaspäin ja si@en taas ylös.
23 Korkeuden muutos ei riipu rei2stä.
24 Korkeuden differen2aali on eksak2 Korkeuden muutos Δz ei siis riipu valitusta rei6stä, koska korkeuden differen2aali dz on eksak2. Voidaan helpos6 kuvitella myös monia muita paikasta riippuvia differen6aalimuotoisia lausekkeita muotoa F(x,y)dx + G(x,y)dy, jotka eivät ole eksakteja. Esimerkiksi epäeksak6 differen6aali F(x,y)dx + G(x,y)dy voisi olla todennäköisyys, e@ä pienellä matkalla dx, dy paikasta (x,y) tulee vastaan alppitäh6 (kukka). Epäeksak6en differen6aalien viivaintegraalit (esimerkissä siis löyde@yjen alppitäh6en lukumäärä, kun pa6koidaan joku vuoristoreii ) riippuvat rei6stä, aivan kuten arkijärjelläkin voi päätellä.
25 Löytääkö Asterix alppitähden?
26 Löytääkö Asterix kukan? F(x,y)dx + G(x,y)dy = 100% F(x,y)dx + G(x,y)dy = 0%
27 Fysikaalinen esimerkki Aiemmin tarkastel6in differen6aaleja dv = RT p 2 dp + R p dt ja dw = pdv = RT p dp + RdT Molemmat kuvaavat kaasua, jonka paine@a ja lämpö6laa muutetaan jossakin prosessissa. dv on 6lavuuden muutoksen differen6aali, ja dw kaasun tekemän työn differen6aali. Tilavuuden muutos ΔV tai kaasun tekemä työ ΔW saadaan o@amalla dv:n ja dw:n viivaintegraalit p,t avaruudessa kuljetun "polun" yli. Aiemmin näh6in e@ä dv on eksak6 mu@a dw ei. Mitä tämä tarkoi@aa?
28 Ideaalikaasu jonka lämpö2laa ja paine<a nostetaan. p 2 b a 1 Polku 1 : ensin lämmitetään, si@en nostetaan paine@a. Polku 2 : ensin nostetaan paine, si@en lämmitetään. Tilavuuden muutos ei riipu polusta! ΔV 1 = dv = ΔV 2 = dv 1 Tehty työ riippuu polusta! ΔW 1 = dw ΔW 2 = dw T
29 Sulje<u kierto p a 3 T Kuljetaan nyt polkua 3 pitkin, joka johtaa takaisin alkupisteeseensä. Koska dv on eksak6, voidaan päätellä suoraan, e@ä 6lavuus ei muutu prosessissa. Koska dw ei ole eksak6, kaasun tekemä työ prosessissa ei (väl@ämä@ä) ole nolla.
30 Fysikaalinen tulkinta p T Se, e@ä 6lavuuden differen6aali dv on eksak6 tarkoi@aa e@ä on olemassa funk6o V(p,T) joka kertoo V:n arvon jokaisessa p,t pisteessä. Se, e@ä työn differen6aali dw on epäeksak6 kertoo e@ä vastaavaa funk6ota W(p,t) ei (väl@ämä@ä) ole olemassa. On mielekästä puhua kaasun 6lavuudesta 6etyssä paineessa ja lämpö6lasta, mu@a ei ole mielekästä sanoa esimerkiksi e@ä "kaasun työ tässä lämpö6lassa on 3 joulea". Työn suhteen voidaan puhua vain muutoksista (ΔW, dw).
31 Fysiikassa ja kemiassa viivaintegraalilla kuvataan jonkin suureen (esim 6lavuus, työ, varaus...) muutosta, kun kahta (tai useampaa) systeemin muutetaan jotain polkua pitkin. Jos ko. suureen differen6aali on eksak6, polulla ei ole merkitystä, vaan ainoastaan alku- ja loppupisteillä. Jos ko. suureen differen6aali ei ole eksak6, polulla taas on merkitystä. Termodynamiikassa epäeksak6n differen6aalin d- kirjain merkitään usein viivalla (esim dw) paremmin integroin6reii tulokseen. Esimerkiksi systeemin tekemä työ ei siis ole nolla, vaikka se palaisikin takaisin alkupisteeseensä. Arkielämän sovellus: juoksulenkki Kumpulasta Turkuun ja takaisin kyllä kaloreita, vaikka onkin reii...
32 Eksak2uden hyödyntäminen integroitaessa Aiemmin näh6in tapoja, millä viivaintegraaleja voi laskea "hankalas6". Mikäli integroitavana on eksak6 differen6aali, voidaan laskuja usein hyväksi sitä, tulos ei riipu rei6stä. è Valitaan siis laskemisen kannalta mahdollisimman helppo reii! Tyypillises6 helpoin reii on sellainen, missä pidetään aina jompikumpi kerrallaan vakiona. [ Fdx + Gdy] Fdx + Gdy eksakti y a b x y a ' dy=0 b dx=0 x
33 Esimerkki Lasketaan integraali [(4x + y)dx + (x + 6y)dy], missä käyrä on kuvassa näkyvä monimutkainen funk6o, joka kulkee pisteestä 0,0 pisteeseen 2,2. Ratkaisu: Tarkistetaan, onko integroitava differen6aali eksak6. [(4x + y)dx + (x + 6y)dy] (4x + y) (x + 6y) ( ) x =1, ( ) y =1 y x on y 0,0 2,2 x
34 Voidaan siis unohtaa hankalan näköinen käppyrä, ja valita mikä tahansa reii pisteiden 0,0 ja 2,2 välillä. Valitaan kuvassa näkyvä reii. Saadaan siis: [(4x + y)dx + (x + 6y)dy] (Käyrällä 1 : y = 0,dy = 0. Käyrällä 2 : x = 2,dx = 0) x=2 = (4x + 0) dx + (2 + 6y) dy = x=0 2 2x y=2 y=0 2 (2y + 3y 2 ) = (8 0) + ( ) = 24 y 2,2 2 0,0 1 x
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
Lisätiedot7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta
7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun 4lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu 4lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö4lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk4o kolmiulo/eisessa
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotThermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus
Thermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus Termodynamiikka on joukko työkaluja, joiden avulla voidaan tarkastella energiaan ja entropiaan lii2yviä ilmiötä kaikissa luonnonilmiöissä ja lai2eissa Voidaan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedot(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 27 Esimerkki: funktion
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedotπ( f (x)) 2 dx π(x 2 + 1) 2 dx π(x 4 + 2x 2 + 1)dx ) = 1016π 15
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Kevät 7 Vaikka useissa tehtävissä pyydetään vain lauseketta, ratkaisua tehdessäsi hahmottele aina kuva ja merkitse näkyviin myös lausekkeen osien geometriset
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotLisä,etopake3 2: ra,onaalifunk,on integroin,
9/20/ Lisä,etopake 2: ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Esim. x 2 x + 2 tai x5 +6x x- Ra,onaalifunk,o voidaan aina integroida, ja tähän löytyy kajava
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotLuennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
LisätiedotNumeerinen integrointi
Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot