BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016

Transkriptio

1 BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista approksimaatiota, anna likiarvo murtolukuna sille mitä on 19 1/4. 2. Määritä raja-arvo (L Hospital!) (a) x 0+ x 2 sin(x) (sin(3x)) 2 (b) x 0+ x 2 (sin(x)) 2 (sin(3x)) 2 (c) x ln(x)e x (d) x 0 sin(ax) sin(bx) ) ( (e) 1x x 0+ 1 sin(x) Ohje: Kannattanee lavennella termien jakajat samoiksi. (Tämä on klassinen "laskimen kyykyttäjä" lauseke, eli ainakin takavuosina suurin osa laskimista piirsi tämän kuvaajan päin honkia nollan läheisyydessä) (f) t 0 +((ln(t)) 2 ) t (a) Funktio on muotoa 0 0. Käytetään L Hospitalin sääntöä jolloin saamme raja-arvon muotoon x 0+ 2x cos(x) 2(sin(3x)) (cos(3x) 3 = = (b) Funktio on muotoa 0 0. Yrittäkäämme L Hospitalia jolloin saamme muotoon x 0+ 2x 2sin(x)cos(x) 2(sin(3x)) (cos(3x) 3 Huomataan, että vieläkin muotoa 0 0, joten käytetään L Hospitalia vielä. x (cos(x)cos(x) + sin(x)( sin(x))) 2 2(1 0) = = 0 6(cos(3x) 3 cos(3x)) + sin(3x) ( sin(3x) 3) 6(3 + 0) 18 = 0, (c) Muokataan hieman yhtälöä Nyt käyttämällä L Hospitalia saamme ln(x) x ln(x)e x = x e x 1 ln(x) x e x = x x e x = 0

2 (d) sin(ax) x 0 sin(bx) = acos(ax) x 0 bcos(bx) = acos(a 0) vcos(b 0) = a 1 b 1 = a b (e) ( 1 x 0+ x 1 ) ( sin(x) = sin(x) x 0+ xsin(x) x ) xsin(x) ( ) sin(x) x = x 0+ xsin(x) ( ) cos(x) 1 = x 0+ sin(x) + xcos(x) ( ) sin(x) = x 0+ cos(x) + cos(x) xsin(x) = = 0 (f) Tehdään ensin perus "temppu", eli otetaan exp ja ln funktiot peräkkäin, eli ) t = t 0 +((ln(t))2 t 0 exp(ln(((ln(t))2 ) t )) = exp(t + t 0 ln((ln(t))2 )), + ja tutkitaan mitä tapahtuu exp funktion argumentille Kysytty raja arvo on siis exp(0) = 1. t ln((ln(t)) 2 ) t 0 ln((ln(t))2 ) = + t 0 + t 1 = t 0 + = t 0 + 2t ln(t) = = 0 2 t 0 + t 1 1 (ln(t)) 2 2ln(t) 1 t t 2 3. (a) Määritä lineaarista approksimaatiota käyttäen likiarvo luvulle cos(0.01). (b) Määritä lineaarista approksimaatiota käyttäen likiarvo luvulle sin(0.01) (c) Käyttäen apuna edellisiä tuloksia ja lineaarista approksimaatiota (pisteessä a = 0.01 muodostettuna), laske likiarvot luvuille cos(0.02) ja sin(0.01). (d) Edellisiä tuloksia hyväksi käyttäen, laske likiarvo luvulle cos(0.03). (a) Merkitään f (x) = cos(x) ja g(x) = sin(x), ja näiden lineaarisia approksimaatioita L f (x) = f (a) + f (a)(x a) ja L g (x) = g(a) + g (a)(x a). Mitään tarvetta käyttää samaa kehityspistettä a ei tietysti olisi, tässä tehtävässä se vain sattuu olemaan luonnollista. Nyt f (x) =

3 sin(x) ja g (x) = cos(x). Valitaan lisäksi a = 0. Tällöin. L f (x) = f (0) + f (0)(x 0) = cos(0) sin(0)(x 0) = 1 0 = 1 L g (x) = g(0) + g (0)(x 0) = sin0) + cos(0)(x 0) = 0 + 1(x 0) = x f (0.01) = cos(0.01) L f (0.01) = 1 g(0.01) = sin(0.01) L g (0.01) = 0.01 (b) Nyt muuten samanlaiset approksimaatiot, mutta valitaan pisteeksi a = 0.01 ja käytetään edellisiä likiarvoja kosinille ja sinille tässä pisteessä: L f (x) = f (0.01) + f (0.01)(x 0.01) = cos(0.01) sin(0.01)(x 0.01) (x 0.01) L g (x) = g(0.01) + g (0.01)(x 0.01) = sin(0.01) + cos(0.01)(x 0.01) (x 0.01) = x f (0.02) = cos(0.02) L f (0.02) ( ) = g(0.02) = sin(0.02) L g (0.02) 0.02 (c) Nyt sama juoni, mutta valitaan pisteeksi a = L f (x) = f (0.02) + f (0.02)(x 0.02) = cos(0.02) sin(0.02)(x 0.02) (x 0.02) L g (x) = g(0.02) + g (0.02)(x 0.02) = sin(0.02) + cos(0.02)(x 0.02) (x 0.02) f (0.03) = cos(0.03) L f (0.03) ( ) = g(0.03) = sin(0.03) L g (0.03) ( ) = Etsi pistettä (0,4) lähin piste suoralta y = 2x + 1 muodostamalla sopiva funktio f (x), jonka minimi etsitään derivaatan avulla. P L (0,4) 2x + 1

4 Merkitään lähintä pistettä suoralta P = (x, 2x+1). Lähin piste löytyy, kun pisteen P ja (0,4) siis, kun minimoidaan L 2 lauseketta eli L 2 = (0 x) 2 + (4 ( 2x + 1)) 2 = x 2 + (2x + 3) 2 = f (x) Etsitään funktion f (x) derivaattafunktion nollakohdat f (x) = 2x + 2(2x + 3) 2 = 0 10x + 12 = 0 Lähin piste on siis ( 1.2, 2( 1.2) + 1) = ( 1.2, 3.4) x = = Maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys korkeudella h merenpinnasta noudattaa lauseketta ( ) R a(h) = g, R + h missä vakio g 9.2 ja R 6400 (maapallon säde). Arvioi linearisen approksimaation avulla e.m. kiihtyvyyden arvoa kun ollaan merenpinnalta mitaten a) 10 kilometrin korkeutudessa. b) 20 kilometrin korkeudessa c) 100 kilometrin korkeudessa. Huom! Jokaisessa kohdassa virhe oikeaan kiihtyvyyteen muutokseen nähden kasvaa, jopa suhteellisesti, eli, siirryttäessä merenpinnalta, "lineaarisella approksimaatiolla saatu kiihtyvyyden muutos"/"oikea kiihtyvyyden muutos" tuppaa kasvamaan (arvot , ja 1.016). Ja vaikka virheen kasvu alkuun on melko hillittyä niin kyllä se siitä räjähtää, voit kokeilla vaikkapa mitä tulee jos siirrytään merenpinnasta 6400 kilometrin korkeuteen.. 6. Olkoon Tiedetään, että kun x = 2 x = ysin(yx) = x ja y = 1 niin yhtälö toteutuu. Anna arvio sille, mitä y:n arvo on kun Merkitään y = y(x). Lineaarisen approksimaation kaava on muotoa valitaan a = 2. Tällöin saamme L(x) = y(a) + y (a)(x a) y(a) = y( 2 ) = 1 y (a):n selvittämiseksi suoritetaan implisiittinen derivointi. Saamme tällöin 2 (y sin(yx) + ycos(yx)(y x + y)) = 1

5 Kun x = a = 2 on y = y(a) = 1 Sijoittamalla nämä saamme 2 (y sin( 2 ) + cos( 2 )(y 2 + 1) = 1 2 y = 1 y = 2 Nyt voimme laskea likiarvon lineaarisen approksimaation kaavalla 7. Laske (a) x 0 (1 e at )(x 1) sin(t) (b) L = x 0 f (x,y) sin( f (x,y)) f (x,y) y( ) L( ) = ( ) kun f (x,y) = xsin(y) = (a) (1 e at )(x 1) ( 1 e at ) = (x 1) x 0 sin(t) sin(t) x 0 }{{} 1 (1 e at )(x 1) ( 1 e at ) 1 x 0 sin(t) sin(t) (b) Yhtälö on muotoa 0 0, joten käyttäkäämme L Hospitalia. Tällöin saamme yhtälön muotoon sin(y) cos(x sin(y)) sin(y) 1 cos(xsin(y)) = x 0 sin(y) x 0 1 = 1 cos(0 sin(y)) 8. (a) Laske f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) kun f (x,y) = e xy2 + sin(x)y 3 (b) Mitä on g 3 ja x g kun g(x,y,z,t) = atx + z2 yx 3 + b = (a) (b) f 1 (x,y) = e xy2 y 2 + cos(x)y 3 f 2 (x,y) = e xy2 2yx + sin(x) 3y 2 g 3 = z g = 0 + 2zyx3 + 0 x g = g 1 = at + 3z 2 yx 2

6 Vastauksia: Teht.#1: (a) 50 (b) Teht.#2: (a) (b) 0 (c) 0 a (c) b c) 1 Teht.#3: (a) cos(0.01) 1 (b) sin(0.01) 0.01 (c) cos(0.02) , sin(0.02) 0.02 (d) cos(0.03) , sin(0.03) Teht.#4: Lähin piste on ( 1.2,3.4) Teht.#5: (a) g (b) g (c) g Teht.#6: Teht.#7: (a) 1 (b) 0 ( 1 e at sin(t) ) Teht.#8: