3.1 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA

Transkriptio

1 37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves) Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin 31 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa) Johto on täysin analoginen kappaleessa 14 esitetyn johdon kanssa Nesteen tiheys olkoon r ja sylinterin poikkipinta-ala A Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p Hetkellä t 0 mäntään kohdistetaan voima ( D p ) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v

2 38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b) Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla Mäntä on liikkunut matkan v ja piste P matkan v t y t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( D p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( rvta) v y - 0, missä ( rv ta) on nesteosan massa Tulee siis ( D p) At ( rvta) v y Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine D p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus of compression eli puristuvuuskerroin) avulla Aineen tilavuusmoduli B (Pa N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( D p ), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( D V / V ) Se määritellään yhtälöllä ædv ö D p-bç è V ø Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä -( Avyt) vy D p- B B At v v Tulee v y B At ( rvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v (311) r Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä r

3 39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (311), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): v Y r (31) Kannattaa huomata nopeuskaavojen (141), (311) ja (31) samankaltaisuus Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen Kappaleessa 15 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen 1 m F w A, Pav missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja m massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta) Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla m r ja F B : 1 r Bw A, (313) josta kiinteille aineille korvaamalla B Y : 1 I ry w A (314) Esimerkki: Laivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja Laske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä Veden ( 0 C) tilavuusmoduli on B Pa ja tiheys r kg/m3 I

4 Ratkaisu: N/m Nm B 1480 m/s v kg/m kg r v m/s l m 564 m f 6 1/s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin 100 Hz ja intensiteetti noin W/m Laske äänen nopeus ja amplitudi, kun ilman tilavuusmoduli on Pa ja tiheys 10 kg/m3 Ratkaisu: Nopeus: B N/m m m v kg/m 3 s s r Amplitudi yhtälöstä (313): I A r B (p f ) Tässä: I W/m r 10 kg/m3 B N/m f 100 1/s joilla A m 019 m m!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms m m kg kg kg N 1 kg m s m3 m s m 4s

5 41 3 ÄÄNEN NOPEUS IDEAALIKAASUSSA Yhtälö (311) v ( B / r )1/ pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa Tilavuusmodulin B tarkka (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B -V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termofysiikan kurssilla) pv g vakio, (31) missä g C p / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde Derivoimaalla V:n suhteen dp g V + g pv g -1 0, dv josta dp g pv g -1 gp dv Vg V Tilavuusmodulille saamme B g p ja äänen nopeudeksi tulee v gp r Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä saamme tiheydelle pv nrt r m RT M m pm, V RT (3)

6 jonka avulla päädytään yhtälöön 4 g RT, (33) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila Esimerkki: Laske äänen nopeus ilmassa ( 0 C), kun ilman moolimassa on 88 g/mol ja g 140 Ratkaisu: g RT v M missä g 140 R 8315 J mol-1 K-1 T 93 K (0 C) M kg/mol J tulee v m/s kg v 33 ÄÄNIAALLOT Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella 0 Hz 0000 Hz Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range) Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic) Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltofunktio muodossa

7 43 y( x, t) Asin( kx- w t) (331) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa Kaavassa (331) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (331) niiden avulla Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts kokonaispaine on pa + pxt (,) Sitä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S Tasapainotilassa sylinterin pituus on D x Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y 1 ja oikean pään paikasta x+d x paikkaan y Sylinterin tilavuus V SD x muuttuu määrän V D V Sy ( - y1) [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)], Dx josta D V [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)] V Dx Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun D x 0, saamme dv yx ( +Dxt,)- yxt (,) yxt (,) lim (33) V D x 0 D x x

8 44 Seuraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 41) B - dp /( dv / V ) Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,) Saamme siten dv yxt (,) p(,) x t - B -B (333) V x Kun tähän sijoitetaan (331) y( x, t) Asin( kx- w t), tulee p( x, t) -BkAcos( kx - w t) Käyttämällä identiteettiä sin( a - p / ) -cosa tulos saadaan muotoon p( x, t) BkAsin( kx -wt - p / ) (334) Seuraavassa kuvassa ilmaosasten poikkeamat yxt (,) ja paineen vaihtelut pxt (,) äänessä on piirretty samaan kuvaan (ajan hetki kiinnitetty) Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on 1/4 aallonpituudesta Kun poikkeamalla on maksimi, paine on nollassa (tasapainoarvossaan p a ) ja päinvastoin, ts kun paine on maksimissa, poikkeama on nollassa Tuloksesta (334) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax BkA (335) Tämä on ns paineamplitudi (pressure amplitude)

9 Esimerkki: Sivulla 40 laskimme tavallisen puheäänen amplitudiksi 019 m m Laske vastaava paineamplitudi Ratkaisu: Tunnetaan: B N/m A m v 344 m/s f 100 1/s Lasketaan: w BfA pmax BkA B A p N/m 0050 Pa v v Korva on herkkä paineen vaihteluille Vertaa tulosta ilman paineen tasapainoarvoon pa Pa (1013 bar) ÄÄNEN INTENSITEETTI Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s) Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m Ääniallon intensiteetille ilmassa pätee sama yhtälö (313) mikä muillekin kaasuille tai nesteille, ts 1 r Bw A, (341) I missä r on tiheys Korva havaitsee paineen vaihtelut, joten käyttökelpoisempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin pmax avulla Koska w v k, A pmax /( Bk ) ja v B / r, intensiteetille (341) saadaan B pmax pmax 1 1 æ pmax ö I r B (kv ) ç rb (34) r B rb è Bk ø

10 46 Lisäksi voidaan osoittaa, että pistemäisestä äänilähteestä lähtevän äänen intensiteetti on kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön Tämä on seurausta energian säilymislaista seuraavasti: Olkoon tasaisesti kaikkiin suuntiin lähettävän pistelähteen ääniteho P Etäisyydellä r1 teho on jakautunut kuvitellun r1 - säteisen pallon pintaalalle 4p r1 Intensiteetti etäisyydellä r1 on siten I1 teho P pinta-ala 4p r1 Vastaavalla tavalla todetaan, että intensiteetti etäisyydellä r on I P /(4p r ) Molemmissa tapauksissa teho P on sama, joten Tästä seuraa 4p r1 I1 4p r I I1 r I r1 (343) Intensiteetti I millä tahansa etäisyydellä r on kääntäen verrannollinen r :een Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta 10-1 W/m :stä valtavaan yhteen W/m:iin Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa Äänen intensiteettitaso b (sound intensity level) määritellään

11 47 b (10dB)log I, I0 (344) missä vertailuintensiteetiksi I 0 on valittu 10-1 W/m, joka vastaa suurinpiirtein ihmisen kuulokynnystä (threshold of hearing) taajuudella 1000 Hz Kaavassa I on tutkittavan äänen intensiteetti ja log tarkoittaa 10-kantaista logaritmia Desibeli (db) on (1/10)-osa yksiköstä beli, joka on nimetty puhelimen keksijän Aleksander Graham Bell in mukaan Kuulokynnystä (1000 Hz) vastaavan äänen intensiteetti on 10-1 W/m ja se vastaa intensiteettitasoa on 0 db Intensiteetti 1 W/m vastaa intensiteettitasoa 10 db, joka on kuulemisen kipukynnys (threshold of pain) Esimerkki: Sivulla 45 laskimme, että tavallisessa puheäänessä paineen vaihtelu on luokkaa 0050 Pa Laske intensiteetti, kun ilman tiheys on 10 kg/m3 ja tilavuusmoduli Pa Mikä on vastaava intensiteettitaso? Ratkaisu: pmax Intensiteettiyhtälöön (34) I rb sijoitetaan pmax 0050 Pa B N/m r 10 kg/m3 ja lasketaan: I N m W/m 4 m kgn Intensiteettitaso (344):stä I db b (10dB)log (10dB) log -1 I

12 Esimerkki: Kuinka paljon intensiteettitaso muuttuu, kun etäisyys pistelähteestä kaksinkertaistuu? Ratkaisu: Olkoot etäisyydet r1 ja r r1, joten (343):sta I æ r1 ö 1 ç I1 è r ø 4 ja intensiteettitason muutos on é é I I ù I /I ù Db b - b1 (10dB) ê log - log 1 ú (10dB) êlog 0 ú I0 I0 û I1 / I 0 û ë ë é I ù (10dB) ê log ú (10dB) éëlog(4-1 ) ùû I1 û ë -(10dB)log 4 -(10dB) db SEISOVAT ÄÄNIAALLOT JA NORMAALIMUODOT PILLISSÄ Kaasussa (nesteessä) etenevää pitkittäistä aaltoa voidaan kuvata joko paineen vaihteluina tai kaasuhiukkasten (osasten) poikkeamana tasapainosta Kappaleessa 33 osoitimme, että kun paineella on maksimi, niin poikkeama on nollassa ja päinvastoin Tämän perusteella on ilmeistä, että seisovan ääniaallon tapauksessa käy niin, että kun paineella on kupukohta niin poikkeamalla on solmukohta ja päinvastoin, ts paineen solmukohdassa poikkeamalla on kupu Pohditaan seisovan aallon olemusta putkessa olevassa kaasussa Putken päät voivat olla avoimia tai suljettuja Putken sisällä putken päähän saapuva ääniaalto heijastuu takaisin putkeen ja muodostaa siellä jo olevan aallon kanssa seisovan aallon (vrt kappale 3) On kaksi mahdollisuutta:

13 49 1 Jos heijastuminen tapahtuu suljetusta putken päästä, hiukkasten poikkeamat ovat (pakostakin) nollia ja putken päässä on poikkeaman solmukohta ja paineen kupukohta Jos heijastuminen tapahtuu avoimesta putken päästä, paine on ulkoilman paine, ts putken päässä paineella on solmukohta ja poikkeamalla kupukohta Lisäksi muistetaan, että seisovassa aallossa kuvut ja solmut esiintyvät l / :n välein Esimerkki: Kovaääninen (speaker) on suunnattu kohti seinää (ks kuva) Millä etäisyyksillä seinästä kovaäänisen ja seinän välissä ääntä ei kuulla? Kovaäänisen lähettämän äänen taajuus on 00 Hz ja äänen nopeus ilmassa 344 m/s Ratkaisu: Korva kuulee paineen vaihtelun, ei ilmaosasten poikkeamia On siis etsittävä kovaäänisen ja seinän välissä olevassa ilmapatsaassa (ks kuva) esiintyvän seisovan aallon paineen solmukohdat Näissä kohdissa paine ei vaihtele, joten ääntä ei kuulla Huomaa, että kuvassa yllä symbolit N (solmu) ja A (kupu) viittaavat ilmaosasten poikkeamiin, ei paineen vaihteluihin Paine käyttäytyy viereisen kuvan mukaisesti Suljetussa päässä (siis seinässä) paineella on kupu Tässä aallonpituus on v 344 m/s l 17 m, f 00 1/s joten kuvan perusteella ääntä ei kuulu kohdissa: 1 solmu l / m seinästä, solmu 3l / 4 19 m seinästä, 3 solmu 5l / 4 15 m seinästä, jne

14 50 Urkupillit ja puhallinsoittimet Pitkittäisten seisovien aaltojen tärkeä sovellutusalue on puhallinsoittimet ja erilaiset (urku)pillit Urkupillejä on periaatteessa kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja Vasemmanpuoleinen kuvasarja alla esittää avoimia pillejä ja oikeanpuoleinen suljettuja Avoimessa pillissä molemmat päät (huomaa myös vasen pää) ovat avoimia Suljetussa pillissä toinen pää on suljettu ja toinen on avoin Kuvissa punaiset käyrät esittävät ilmahiukkasten poikkeamia Kuten edellä todettiin pillin avoimessa päässä poikkeamalla on kupu ja suljetussa päässä solmu On huomattava, että käyrät ovat puhtaasti matemaattisia esityksiä Todellisuudessa ilmaosasten poikkeamat ovat pitkittäisesti pillin suunnassa, ei poikittain niin kuin käyrät on piirretty Seisovassa aaltoliikkeessä solmukohdan etäisyys viereisestä kupukohdasta on l / 4 Suljetun pillin pisin mahdollinen aallonpituus, kuva (a) oikealla, on siten l 4L, missä L on pillin pituus Vastaavaksi taajuudeksi laskemme f1 v / l v /(4 L )

15 51 Vastaavat tarkastelut johtavat tuloksiin: Avoin pilli: L (351) ln, ( n 1,, 3,K ) n v f n n ( n 1,, 3,K ) (35) L Suljettu pilli: 4L (353) ln, ( n 1, 3, 5,K ) n v fn n ( n 1, 3, 5,K ) (354) 4L Avoimella pillillä arvo n 1 vastaa perustaajuutta, n toista harmonista (ensimmäistä yliääntä) jne Myös suljetulla pillillä n 1 vastaa perustaajuutta, mutta nyt parilliset harmoniset puuttuvat Vain parittomat harmoniset 3 f 1, 5 f 1 jne ovat mahdollisia Esimerkki: Suljetun urkupillin perustaajuus on 0 Hz Pillin toisen yliäänen taajuus on sama kuin erään avoimen pillin toisen yliäänen taajuus Kuinka pitkiä pillit ovat? Äänen nopeus ilmassa on 344 m/s Ratkaisu: Suljetun pillin pituus LS : v 344 m/s v n 1 : f1 1 Þ LS m 39 cm 4 f /s 4 LS 5v (n 5) Suljetun toinen yliääni: f5 4 LS 3v Avoimen toinen yliääni: f3 (n 3) LA Yhtä suuret, joten 5v 3v Þ LA LS LS m 47 cm 4 LS LA