Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Mekaniikan jatkokurssi Fys102"

Jarmo Auvinen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1

poikittaissuunnassa on v y dy dt Acos( kx t ) 0 df ( g( x)) dx df dg dg dx

2 Aalto köydessä Kohdassa x olevan ainehiukkasen poikkeama tasapainosta y ajan funktiona on y( x, t) Asin( kx t 0) Ketjusääntö: Ainehiukkasen nopeus poikittaissuunnassa on v y dy dt Acos( kx t ) 0 df ( g( x)) dx df dg dg dx (Huom. Tämä ei ole aallonnopeus!) Kiihtyvyys a y dv dt y Asin( kx t 0) Ainehiukkasten nopeudet

3 Pala köyttä huipun kohdalla: Köyden jännitys (>> köyden paino) aiheuttaa nettovoiman (F netto ) y. Newtonin toinen laki: ( F netto ) y ma y xa y (1) Huipun kohdalla sin( ) = 1 eli a y Mitä on (F netto ) y? A ( vk) A. ( F netto ) T sin T tan y s s () (3) Kun Dx on pieni, on pieni. Silloin sin tan. tan on köyden tangentin kulmakerroin pisteessä x = Dx/

4 Oletettiin, että köydellä on maksimi kohdassa x = 0 eli y(0, t) A Asin( t 0) t 0. Silloin pisteen x ympärillä poikkeamaa kuvaa funktio y( x, t) Asin( kx ) Acos( kx). Siten tan dy dx x x kx kasin. Koska Dx << l, on ja sin( ) ( ) kasin( kx) kx tan ka x x x x k 1 k Ax. (4) Yhtälön (3) mukaan on siten Sijoitetaan Newtonin yhtälöön (1) eli ( F netto k ) y (T AT x. s s k ) Ax k ATs x ( x)( v k A) m a y v T s Aallon etenemisnopeus määräytyy siis köyden (väliaineen) ominaisuuksista, jännityksestä ja tiheydestä. Yht ()

5 Pitkittäisen aallon nopeus Tarkastellaan kaasua/nestettä putkessa ja johdetaan siinä kulkevan pitkittäisen aallon nopeus. Esimerkkejä: puhallinsoittimet, kuulo, ääntely, Tasapaino Osa fluidista liikkeessä Ajassa t mäntä on liikkunut matkan v y t ja liikkuvan fluidin rintama (häiriö) matkan vt (kohdalle P). v y on männän nopeus ja v on häiriön etenemisnopeus.

6 Kun mäntää työnnetään, sen aiheuttama paine kasvaa jollakin määrällä Dp. Samalla liikkeessä olevan fluidinosan tilavuus pienentyy: V Avt V v y At. A( v v y ) t V V, Paineen muutoksen ja siitä johtuvan aineen tilavuuden muutoksen suhde toisiinsa on aineen luonteesta riippuvainen. Sitä kuvaa puristusmoduli (puristuskerroin) B: B - paineen muutos tilavuuden suhteellinen muutos p V / V. Huom. k=1/b on kokoonpuristuvuus. Vesi k = 45.8 ÿ10-11 Pa -1, elohopea k = 3.7 ÿ10-11 Pa -1.

7 Nyt B Paine antaa liikkuvan fluidin osaan ajassa t impulssin (putken suunnassa) (Palautetaan mieleen: J = voima μ vaikutusaika = liikemäärän muutos.) Koska p Av t / Avt y v v p. liikemäärän muutos on (vta)v y. Siis y vy J ( p p) At pat Atp B At. v liikkuvan fluidin massa V vta " nopeus, v y vy B v At vtav y v B Pitkittäisen aallon nopeus fluidissa. B on puristusmoduli.

8 Kiinteästä aineesta valmistetussa tangossa etenevän pitkittäisen aallon nopeudeksi saadaan vastaavalla tavalla v Y Y on Youngin moduli Y F A l l Y 0 Pa Tyypillisesti Y = Pa.

9 Tätä ja seuraavaa kalvoa ei kysytä kokeessa. Lukekaa jos kiinnostaa. F

aallot. Nämä ovat kaksiulotteisia aaltoja Kaikkiin suuntiin etenevät pallomaiset aallot, esim sumusireenin ulvonta.

11 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat esim Pinnalla kaikkiin suuntaan etenevät rengasmaiset aallot, esim veteen heitetyn kiven aiheuttamat aallot. Nämä ovat kaksiulotteisia aaltoja Kaikkiin suuntiin etenevät pallomaiset aallot, esim sumusireenin ulvonta. Palloaallot ovat kolmiulotteisia aaltoja. Näissä aallonharjat muodostavat samankeskisiä renkaita tai pallopintoja, jotka loittonevat niiden keskuksena toimivasta aaltolähteestä.

Peräkkäiset aallonharjat ovat aallonpituuden l etäisyydellä toisistaan

Kun ollaan kaukana rengasmaisen tai pallomaisen aallon lähteestä,

kohti, riippuu ilman molekyylien poikkeama kaukana sireenistä vain

12 Peräkkäiset aallonharjat ovat aallonpituuden l etäisyydellä toisistaan ja etääntyvät lähteestä aallonnopeudella v. Kun ollaan kaukana rengasmaisen tai pallomaisen aallon lähteestä, aaltorintamat näyttävät paikallisesti vain vähän kaareutuneilta, lähes tasoaalloilta. vrt Jos esim ääniaalto tulee sumusireenistä x-akselia pitkin kuulijaa kohti, riippuu ilman molekyylien poikkeama kaukana sireenistä vain x:stä ja t:stä, mutta ei y:stä ja z:sta. Ts. D = D(x,t), aivan kuten yksiulotteisen aallon tapauksessa. Tässä yz-tasossa kaikilla molekyyleillä sama poikkeama.

13 Poikkeama riippuu siis vain yhdestä paikkamuuttujasta, etäisyydestä lähteeseen r. Siniaalto on silloin muotoa D( r, t) A( r)sin( kr t 0) r r Vaihe-ero Kuvassa on merkitty kaksi siniaallon pistettä jollain hetkellä t. Niitä vastaavien vaihekulmien välillä on vaihe-ero Df r 1 ( kx t 0) ( kx x k( x x1 ) kx 1 t ) 0 Kahden aallonharjan välinen vaihe-ero on siten p ja aallonharjan ja pohjan välinen vaihe-ero on p.

Ääniaallot ja valo Ääniaallot ovat pitkittäisiä aaltoja. Niitä voi esiintyä kaikkialla siellä, missä on molekyylejä (atomeja) eli kaasuissa, nesteissä, kiinteässä aineessa ja plasmassa.

14 Ääniaallot ja valo Ääniaallot ovat pitkittäisiä aaltoja. Niitä voi esiintyä kaikkialla siellä, missä on molekyylejä (atomeja) eli kaasuissa, nesteissä, kiinteässä aineessa ja plasmassa. Ääniaalto on aineessa etenevä tiheyshäiriö. Se koostuu aineen tihentymisistä ja harventumisista. Kiinteässä aineessa ääniaallot voivat olla myös poikittaisia (shear wave): aallon etenemistä vastaan kohtisuorassa tasossa tapahtuvat molekyylien heilahtelut voivat välittyä molekyylien välisten sidosten takia seuraavaan tasoon jne. Äänen nopeus riippuu väliaineen ominaisuuksista (molekyylimassasta) ja lämpötilasta. Äänen nopeus ilmassa huoneen lämpötilassa (0 C) on v ääni 343 m/s

15 Äänen nopeuden, taajuuden ja aallonpituuden välillä on yhteys v f Ihmisen kuuloalue on Hz. Se vastaa aallonpituusaluetta 17 m 1,7 cm: Ihmisäänen taajuus on luokkaa 500 Hz. Se vastaa aallonpituutta 0.69 m. Ei ole sattuma, että aallonpituus on samassa kokoluokassa kuin ihmisen pituus. (Syy selviää seuraavalla luennolla.)

16 Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä. Sen keksi Maxwell 1860-luvulla ja todisti kokeellisesti Heinrich Herz 1880-luvulla. Etenee ilman väliainetta. Se on itseään ylläpitävää sähkökentän ja magneettikentän oskillaatiota. Kaikki sähkömagneettinen säteily etenee tyhjössä valonnopeudella v valo = c = m/s eli valo on miljoona kertaa nopeampaa kuin ääni.

17 Valon (ts. silmiemme aistiman sm-aallon) aallonpituudet ovat välillä 400 nm 700 nm. 1 nm (nanometri) = 10-9 m. Taajuudet saadaan kaavasta f = v/l. Esimerkiksi, jos aallonpituus on 600 nm (oranssi valo), taajuus on 5.00 ÿ Hz.

$Valon nopeutta väliaineessa luonnehtii taitekerroin n (index of refraction): n valon nopeus tyhjössä valon nopeus aineessa c v Taitekerroin aineessa n > 1.$

18 Taitekerroin Kun valo etenee väliaineessa, kuten lasissa, vedessä ja ilmassa, sen nopeus on pienempi kuin c. Tämän syy on sm-kentän ja aineessa olevien elektronien väliset vuorovaikutukset. Valon nopeutta väliaineessa luonnehtii taitekerroin n (index of refraction): n valon nopeus tyhjössä valon nopeus aineessa c v Taitekerroin aineessa n > 1. Valon mennessä aineesta toiseen, sen nopeus muutuu. Nopeus on v = fl. Taajuus f ei riipu väliaineesta vaan sen määrää aallon lähde, joten valon aallonpituus muuttuu aineesta toiseen mentäessä. v aine Aallonpituus aineessa on f aine c/ n c/ n c/ ftyhjiö f f n n aine tyhjiö tyhjiö

19 Pane taitekertoimet suuruusjärjestykseen.

20 Äänen intensiteetti Intensiteetti on säteilyn teho pinta-alayksikköä kohti: I = P/a. Palloaallon tapauksessa aalto leviää pallon pinnalle, joten intesiteetti etäisyydellä r lähteestä on Plähde I 4r Etäisyyksillä r 1 ja r mitatut intensiteetit suhtautuvat siten toisiinsa kuten I1 I r r 1 Ihmisen kuuloraja on luokkaa 10-1 W/m ja kipuraja noin 10 W/m.

21 Äänenvoimakkuus (äänen intensiteettitaso) ilmaistaa desibeleinä (db): (10 db)log 10 I I 0 Äänenvoimakkuus kasvaa 10 desibeliä, kun intensiteetti kasvaa tekijällä 10. jossa I 0 = 1.0 ÿ 10-1 W/m eli intensiteetti kuulorajalla. Äänenvoimakkuus kuulorajalla on siten = 0: I 0 10 db)log10 (10 db)log (1) 0 db I0 ( 10 Äänenvoimakkuus kipurajalla on 10 W/m 13 (10 db)log (10 db)log10(10 ) 1 10 W/m db

22 Esimerkki Lähes kipurajalla.

23 Dopplerin ilmiö ääniaalloille Kun aallon lähde liikkuu suhteessa havaitsijaan, aallon taajuus muutuu. Jos lähteen nopeus on v, ovat havaitut taajuudet Lähestyvä lähde Loittoneva lähde

26 Esimerkki

Samankaltaiset tiedostot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat