Differentiaalilaskennan tehtäviä

Transkriptio

1 Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1 Perusfunktioiden derivaatat 2.2 Tulon ja osamäärän derivaatat 2.3 Yhdistetyn funktion derivaatta 2.4 Osittaisderivaatat 3. Derivaatan sovelluksia 3.1 Yhden muuttujan funktion absoluuttinen virhe 3.2 Kokonaisdifferentiaali virheen arvioinnissa 3.3 Suhteellisen virheen menetelmä virheen arvioinnissa 3.4 Funktion suurin ja pienin arvo

2 1 RAJA-ARVON KÄSITE, DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ 1.1 Raja-arvo annetussa pisteessä, jossa varsinaista funktion arvoa ei voida laskea Laske seuraavat murtolausekkeiden raja-arvot käyttäen supistamista ennen rajaarvokohdan sijoitusta. 1. lim x 0 2 x 3x x 2. lim h 0 2 h 2hx h 3. lim x 2 x 2 2 x Raja-arvon määrittämistä kokeellisesti laskimella Määritä seuraavat murtolausekkeiden raja-arvot käyttäen laskinta (sijoittamalla muuttujalle arvoja hyvin läheltä raja-arvokohtaa). Täydennä laskemasi arvot taulukkoon ja anna arviosi raja-arvosta. 4. sin( x) ( laskin oltava radiaani moodissa ) x lim 0 x x sin(x)/x Ei palauteta Arvioni raja-arvoksi =. 5. lim x 1 2 x x 2 2 x 4x 3 x lauseke Arvioni raja-arvoksi =.

3 1.3 Funktion derivaatan määrittäminen raja-arvona (kokeilemalla) 6. Määritä funktion y = x derivaatan likiarvo kohdassa x = 2 perustuen seuraavaan taulukkoon funktion arvoista x y = x Seuraavassa on erään auton nopeuksia 0,5 sekunnin välein. Määritä niiden perusteella auton kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3.0 s. Auton kiihtyvyys määritellään auton nopeuden derivaattana tarkasteltavana ajanhetkenä. aika t (s) nopeus v (m/s)

4 2 DERIVOIMISKAAVAT 2.1 Perusfunktioiden derivaatat Suorita seuraavat derivoinnit 8. D(-7x x 2 2x + 11) 9. D (2x 2016 ) 10. D( x x23 ) 11. D (- 3 x 3 ) 12. D (2 x) 13. D( 1 3 x 2 ) Ei palauteta 14. D (3 sin(x) 5 cos(x)) 15. D (x 2 5 ln(x)) 16. D (2 e x 5 tan(x)) 2.2 Tulon ja osamäärän derivoimiskaavat 17. D (x sin(x)) 18. D (x 2 e x ) 19. D (x ln(x)) 20. D ((2x 2 +1) cos(x)) Ei palauteta

5 21. D 2x 1 x D sin (x) x 23. D ex x Yhdistetyn funktion derivaatta 24. D sin(4x) 25. D cos(2x + 1) 26. D (4 sin(3x) 3 cos(5x) ) 27. D e 2x 28. D e -x 29. D 3 e x D ln(4x + 7) 2.4 Osittaisderivaatat Huom. Merkintätapa D(x 2 y + 3x, x) tarkoittaa lausekkeen x 2 y + 3x osittaisderivaattaa x:n suhteen (muita parametreja pidetään vakioina). Ko. osittaisderivaatta on 2xy + 3. Samaa merkintätapaa käytetään matematiikkaohjelmissa ja laskimissa. Kirjallisuudessa merkitä on monimutkaisempi: (x 2 y+3x) x 31. D (a 2 b + 2a b, a) 32. D ( ½ CU 2, U) 33. D ( a b, b) 34. D ( U2 R, U)

6 35. D ( U2 R, R) 36. D ( π 4 d2 h, d) 37. D ( π 4 d2 h, h) 3. DERIVAATAN SOVELLUKSIA 3.1 Yhden muuttujan funktion absoluuttinen virhe 38. Kuution tilavuutta varten mitattiin kuution särmäksi a = 2.00 cm. Mittauksessa absoluuttinen virhe oli 0.05 cm. Määritä kuution tilavuus virherajoineen. 39. Pallon tilavuuden kaava on V = π 6 d3, missä d on pallon halkaisija. Jalkapallon halkaisija on 22.0 cm, missä virhemariginaali on 0.3 cm. Määritä pallon tilavuus virherajoineen. Ilmoita tulos kuutiosenteissä ja litroina.

7 3.2 Kokonaisdifferentiaali virheen arvioinnissa 40. Sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla V = π 4 d2 h, missä d on sylinterin pohjan halkaisija ja h on sylinterin korkeus. Erään sylinterin muotoisen öljysäiliön pohjan halkaisija d = 500 cm ± 5 cm ja korkeus h = 280 ± 4 cm. Määritä säiliön tilavuus virherajoineen. Syötä lähtöarvot metreinä, jolloin tulos tulee kuutiometreinä. 41. Metallikuulan tiheys ρ määritettiin mittaamalla kuulan halkaisija ja punnitsemalla kuula vaa alla. Mittaustulokset ja mittaamiseen liittyvät epätarkkuudet olivat seuraavat: kuulan halkaisija d = 2.00 cm ± 0.05 cm kuulan massa m = g ± 0.05 g Laske metallikuulan tiheys kaavalla ρ = m V = m π 6 d3 ja määritä tiheyden absoluuttinen virhe laskemalla osavirheet, jotka aiheutuvat kummastakin mittauksesta. Tulosten yksikkö on g/cm 3.

8 42. Kolmion muotoisen maa-alueen kaksi sivua ovat a = 184 m ± 1 m ja b = 215 m ± 1 m. Sivujen välinen kulma γ = 34.7 ± 0.1. Laske alueen pinta-ala virherajoineen. 3.3 Suhteellisen virheen menetelmä virheen arvioinnissa 43. Laske tehtävä 39 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää. 44. Laske tehtävä 40 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää.

9 45. Laske tehtävä 41 käyttäen suhteellisen virheen menetelmää. Ei palauteta 46. Voiko suhteellisen virheen menetelmää käyttää tehtävässä 42? Ei palauteta 3.4 Funktion suurin ja pienin arvo 47. Suorakaiteen muotoinen rantatontti aidataan maarajoiltaan yht. 600 m pituisella aidalla. Määritä sellaiset tontin sivut x ja y, että tontin ala on maksimissaan.

10 48. Sataman sylinterin muotoisen öljysäiliön tilavuus on 250 m 3. Määritä sen mitat: pohjan halkaisija d ja korkeus h siten, että öljysäiliön valmistukseen käytetyn teräksen määrä on minimissään. Oletetaan, että säiliö on kauttaaltaan tehty tasavahvuisesta teräslevystä. Ei palauteta 49. Neliöpohjaisen kannettoman laatikon tilavuus on 20 dm 3. Määritä laatikon särmien pituudet x ja y, kun laatikko on valmistettu siten, että pahvin kulutus on minimoitu.

11

12 Vastauksia 1) 2) 3) 4) 5) 3 2x -¼ ) 7) 8) 9) 10) m/s 2-21x 2 +6x x ¼+ 46/3x 22 11) 12) 13) 14) 15) 9/x 4 1/ x 1/6x -2/3 3cos(x)+5sin(x) 2x-5/x 16) 17) 18) 19) 20) 2e x -5/cos(x) 2 sin(x)+x* cos(x) (2x+x 2 )e x ln(x) + 1 4x cos(x)- (2x 2 +1)sin(x) 21) 22) 23) 24) 25 3 x cos(x) sin (x) e x (x + 1) 4 cos(4x) -2 sin(2x+1) (x + 1) 2 x 2 (x + 2) 2 26) 27) 28) 29) 30) 12cos(3x)+ 2e 2x -e -x 6xe x sin(5x) 4x ) 32) 33) 34) 35) 2ab + 2 CU -a/b 2 2U/R -U/R 2 36) 37) 38) 39) 40) π 2 dh π ( ) 4 d2 cm3 ( ) ltr (55 2) m 3 41) 42) 43) 44) 45) ( ) g/cm 3 ( ) m 2 ( ) ltr (55 2) m 3 ( ) g/cm 3 46) 47) 48) 49) ei voi 150mx300m d=6.83 m h = 6.83 m x=800 m

13 INTEGRAALILASKENNAN LASKUMONISTE 4. INTEGRAALIFUNKTIO 4.1 Integraalifunktion määritelmä 54. Osoita, että funktio F(x) = 2x on funktion f(x) = 10 x 4 integraalifunktio. 55. Mikä on parametrin A arvo oltava, jotta F(x) = sin(4x + 1) -3 olisi funktion f(x) = A cos(4x+1) integraalifunktio. 4.2 Integrointia integroimiskaavoilla Integroi käyttäen integroimiskaavoja 56. (2x 2 3x + 1)dx 57. (3 sin(x) 5 cos (x))dx 58. (3x 7 + 5e x 1 2 x )dx 59. e 4x dx 60. cos(7x) dx 61. x dx Ei palauteta 5. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI 5.1 Määrätyn integraalin laskeminen kaavoilla Laske seuraavat määrätyt integraalit ilman laskinta käyttäen integroimiskaavoja x e x 0 dx dx Seuraavien osioiden tehtävissä käytetään integroivaa laskinta tai WolframAlphaa. Ratkaisuissa on suositeltavaa liittää Word dokumenttiin kuvakaappaukset WolframAlphasta tai jos käytit laskinta, käytetyt komennot.

14 5.2 Määrätyn integraalin sovelluksia Palautettavat tehtävät: 64,65,67,69, 71,73 A. pinta-alalaskut Määritä käyrän y = x ja x akselin väliin välillä 0 x 3 jäävän alueen ala. 65. Määritä sen suljetun alueen pinta- ala, jota rajoittaa käyrä y = 9 x 2 ja x- akseli Määritä käyrän y = x ala. välillä 0 x 3 olevan kaaren ja y-akselin väliin jäävän alueen B. pyörähdyskappaleen tilavuus 67. Määritä sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x 3 pyörähtää välillä 1 x 2 x- akselin ympäri. 68. Määritä sen pyörähdyskappaleen tilavuus joka syntyy, kun edellisen tehtävän käyrän y = ¼ x 3 kaari välillä 0 x 2 pyörähtää y akselin ympäri. C. tasoalueen painopiste 69. Määritä käyrän y = 9 4 x 2 ja x- akselin väliin välillä 0 x 2 jäävän tasoalueen painopisteen koordinaatit. D. pyörähdyskappaleen painopiste 70. Määritä sen pyörähdyskappaleen painopisteen x- koordinaatti, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x 3 pyörähtää välillä 1 x 2 x- akselin ympäri. E. kaaren pituus 71. Määritä käyrän y = x 3 välillä 1 x 4 olevan kaaren pituus. F. pyörähdyspinnan ala 72. Määritä sen pyörähdyspinnan ala, joka syntyy kun käyrä y = ¼ x 3 pyörähtää välillä 1 x 2 x- akselin ympäri. G. integrointi numeerisesta datasta 73. Laitteen määrätyllä aikavälillä (t 1, t 2) kuluttama energia W saadaan integroimalla t2 hetkellistä tehoa P: ts. W = Pdt. Seuraavassa on taulukko talon sähkölämmityksen t1 keskitehosta kahden viikon ajalta. Määritä taulukon perusteella energian kulutus ko. ajanjaksolta. pvm keskiteho P (kw) pvm keskiteho P (kw) Laske talon energiankulutus yksikössä kwh kyseisen kahden viikon jaksolla.