+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden

Transkriptio

1 5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa voidaan käsitellä joko sähkömagneettisina aaltoina tai hiukkasina eli fotoneina. Tässä kappaleessa tutustumme sähkömagneettisten aaltojen teoriaan. Vuonna 1865 James Clerk Maxwell kokosi yhteen ja täydensi sähkö- ja magneettikenttiin liittyviä tunnettuja lainalaisuuksia (Gaussin lait, Amperen laki ja Faradayn laki), joiden avulla hän ennusti sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon, etenemisen ja ominaisuudet. Nämä lait tunnetaan Maxwellin yhtälöinä. Maxwellin yhtälöt kertovat, että muuttuva magneettikenttä toimii sähkökentän lähteenä ja vastaavasti muuttuva sähkökenttä toimii magneettikentän lähteenä. Nämä kentät (E-sähkökentän voimakkuus ja B -magneettivuon tiheys) synnyttävät ja ylläpitävät siis toisiaan muodostaen näin sähkömagneettisen kentän, joka etenee avaruudessa. Sähkömagneettisilla aalloilla ja mekaanisilla aalloilla on paljon yhteistä ja niiden matemaattisessa kuvauksessa voidaan käyttää samanlaisia termejä ja käsitteitä. Sähkömagneettiset aallot eivät kuitenkaan tarvitse väliainetta edetessään avaruudessa. Tyhjässä avaruudessa "väliaineen" tasapainotilaksi annetussa pisteessä voi ajatella sähkö- ja magneettikenttien nolla-arvon. Aallon kulkiessa kyseisen pisteen ohi, arvot saavat tilapäisesti nollasta poikkeavia lukemia, mutta palautuvat lopuksi takaisin tasapainotilaan eli nolliksi Maxwellin yhtälöt (Maxwells equations) Maxwell huomasi, että sähkömagnetismin perusperiaatteet voidaan kiteyttää neljäksi yhtälöksi, jotka ovat: (1) Gaussin laki sähkökentälle Q E d A =, (9.18) ε A joka kertoo, että suljetun pinnan A läpi kulkeva sähkövuo syntyy pinna sisällä olevasta varauksesta Q. Fysikaalisesti tämä tarkoittaa sitä, että sähkövaraukset toimivat sähkökentän lähteinä. () Gaussin laki magneettikentälle B d A =, (9.19) A joka kertoo, että suljetun pinnan A läpi kulkeva magneettivuo on aina nolla. Fysikaalisesti tämä tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa magneettisia varauksia, jotka voisivat toimia magneettikentän lähteinä. Magneettikenttiä on siis synnytettävä jollakin muulla tavalla. (3) Amperen laki (sisältäen siirtymävirran) µ ε Φ E B d l = ic +, (9.) C joka siis kytkee toisiinsa suljetun silmukan C läpi kulkevan virran i c+ ε dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden B. Termi ε dφ / dt on ns. siirtymävirta, joka on ainoa Maxwellin itsensä tuoma kontribuutio Maxwellin yhtälöihin. Fysikaalisesti Amperen laki tarkoittaa sitä, että muuttuva sähkökenttä (sähkövuo Φ E ) synnyttää magneettikentän (magneettivuon tiheyden).

2 (4) Faradayn laki 54 Φ B E d l =, (9.1) t C joka siis kytkee toisiinsa suljetun silmukan C kohdalla vaikuttavan magneettivuon muutoksen ja sähkökentän voimakkuuden E. Fysikaalisesti laki tarkoittaa sitä, että muuttuva magneettikenttä synnyttää sähkökentän. Muuttuva sähkökenttä siis luo magneettikenttiä ja päinvastoin. Syntyvä sähkämagneettinen häiriö on sähkömagneettinen aalto, joka etenee avaruudessa. Laboratorio-olosuhteissa sähkömagneettisia aaltoja tuotti ensimmäisenä saksalainen fyysikko Heinrich Hertz vuonna Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus (Plane Electromagnetic Waves and the Speed of Light) Tarkastellaan alkeellista sähkömagneettista kenttää. Oletetaan, että sähkökentällä E on vain y -komponentti ja magneettikentällä B vain z -komponentti ja että kentät liikkuvat yhdessä + x-akselin suuntaan vielä tuntemattomalla nopeudella c. Oletetaan lisäksi, että x -akselia vastaan kohtisuoralla tasolla kentillä on vakioarvot. Tilanne kuvaa alkeellista sähkömagneettista tasoaaltoa. Kenttien E y ja B z arvot muuttuvat jatkuvasti, kun x -akselilla liikutaan eteenpäin, mutta kiinnitetyllä x :n arvolla olevan yz -tasolla kentillä on vakioarvo. On siis E = E ( x, t) ja B = B ( x, t). y y z z Viereisessä kuvassa tarkastellaan kenttien arvoja x -akselilla kahdella tasolla, jotka sijaitsevat paikoissa x ja x + x. Sovelletaan Faradayn lakia (9.1) Φ B E d l = t C alakuvan pieneen silmukkaan. Vasen puoli saa muodon E d l = Ey( x, t) a+ Ey( x+ x, t) a C = ae [ y( x+ xt, ) Ey( xt, )] ja magneettivuolle saamme Φ B = Bz( x, t) A= Bz( x, t) a x, kun oletamme, että B z on lähes vakio silmukan alueella. Derivaatta on dφb Bz( x, t) = a x, dt ja voimme kirjoittaa Ey( x+ x, t) Ey( x, t) Bz ( x, t) =. x Kun vielä siirrymme rajalle x, tulee 55 Ey ( x, t) Bz ( x, t) =. (3.1) Tulos osoittaa, että ajan suhteen muuttuvaa magneettikentän komponenttia seuraa aina paikan suhteen muuttuva sähkökentän komponentti ja päinvastoin. Derivoimalla tulos (3.1) paikan suhteen saadaan jatkoa ajatellen tärkeä välitulos Ey ( x, t) Bz ( x, t) =. xt

3 56 Seuraavaksi sovelletaan Amperen lakia (9.) viereisen kuvan silmukkaan. Tarkastelu tehdään tyhjiössä, jossa ei voi esiintyä vapaita virtoja, ts. i c = ja laki on muotoa E B d l =µε Φ. C Vasen puoli on B d l = Bz( x+ xta, ) + Bz( xta, ). C Sähkövuo on Φ E = Ey( xta, ) x ja derivaataksi tulee dφ E Ey ( x, t) = a x. dt Samoin kuin edellä lasketaan tulos Bz ( x, t) Ey ( xt, ) = εµ, (3.14) joka vielä derivoidan ajan suhteen muotoon Bz ( x, t) Ey ( xt, ) = εµ. Kun tämä yhdistetään edellisen sivun viimeiseen tulokseen saadaan Ey( xt, ) Ey( xt, ) = εµ. (3.15) Tämä on aaltoyhtälö sähkökentälle E y. Sähkökenttä käyttäytyy siis kuten aalto edetessään avaruudessa. Vastaava tarkastelu magneettikentälle antaa tuloksen Bz( x, t) Bz( x, t) = εµ, osoittaen myös magneettikentän aaltoluonteen. 57 Kun aaltoyhtälöä (3.15) verrataan yleiseen aaltoyhtälöön (15.1) yxt (, ) 1 yxt (, ) = v voidaan todeta, että 1 1 = ε µ eli v = c =. (3.9) v ε µ Kun tähän sijoitetaan tyhjiön permittiivisyyden ε ja permeabiliteetin µ numeeriset arvot, valon nopeudeksi saadaan 1 8 m c = ( AsV m )(4π 1 7VsA m ) s On kuitenkin huomattava, että nykyisin valon nopeus on kiinnitetty tarkaksi arvoon c = m/s. Monissa sovellutuksissa likiarvo 3. 1 m/s on kuitenkin 8 riittävä. Edellä johdimme sähkö- ja magneettikentille erilliset aaltoyhtälöt. Kentät eivät kuitenkaan etene erillisinä vaan kytkeytyvät koko ajan toisiinsa Maxwellin yhtälöiden mukaisesti. Muuttuva sähkökenttä luo muuttuvan magneettikentän, joka puolestaan luo muuttuvan sähkökentän, jne. Kentät etenevät yhdessä sähkömagneettisena aaltona. Sähkömagneettisten aaltojen tärkeimmät ominaisuudet määräytyvät Maxwellin yhtälöistä. Ne ovat (ei johdeta tässä kurssissa): 1) Sähkömagneettinen aalto on poikittaista aaltoliikettä, sillä E- ja B-kentät ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. Lisäksi kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan vieläpä siten, että ristitulo E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. ) Kenttien E ja B suuruudet kytkeytyvät relaatiolla: E = cb 3) Sm-aalto etenee tyhjiössä äärellä vakio nopeudella. 4) Sm-aalto ei tarvitse väliainetta edetessään.

4 Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot (Sinusoidal Electromagnetic Waves) Sinimuotoiset sähkömagneettiset aallot on analogisia sinimuotoisten köydessä etenevien mekaanisten aaltojen kanssa. Sinimuotoisessa sähkömagneettisessa aallossa E ja B ovat kiinnitetyssä avaruuden pisteessä ajan sinimuotoisia funktioita. Vastaavasti kiinnitetyllä ajan hetkellä ne vaihtelevat paikan suhteen sinimuotoisesti. Oheinen kuva esittää + x-akselin suuntaan etenevää sinimuotoista sähkömagneettista tasoaaltoa. Kuva on otettu ajanhetkellä t = ja se esittää yhtä aallonpituutta. Huomaa: - kenttien suunnat - kentät samassa vaiheessa Huomaa: Kuvassa sähkö- ja magneettikenttä on piirretty yksinkertaisuuden vuoksi vain x -akselille. Kysymyksessä on kuitenkin tasoaalto, joten kentillä on arvot myös muilla (äärettömän monella) x -akselin suuntaisilla akseleilla. Kuvittele kiinnitetyllä x :n arvolla ääretön yz -tason suuntainen taso. Kaikissa pisteissä tällä tasolla sähkökentällä on vakioarvo. Samoin magneettikentällä. Sähkömagneettisen aallon kenttiä kuvataan samanmuotoisilla aaltofunktiolla kuin mekaanisia poikittaisia aaltoja. Positiivisen x -akselin suuntaan etenevän aallon kentät voisivat olla esimerkiksi Ey( xt, ) = Emax cos( kx ωt) ja Bz ( xt, ) = Bmax cos( kx ωt), (3.16) missä E max ja B max edustavat kenttien maksimiarvoja (amplitudeja), k = π / λ on aaltoluku ja ω = π f kulmataajuus. Näissä λ on aallonpituus ja f taajuus. Amplitudit kytkeytyvät toisiinsa relaatiolla E max = cb. (3.18) max 59 Aaltofunktiot voidaan esittää myös vektorimuotoisina E( x, t) = ˆjEmax cos( kx ωt). (3.17) B( x, t) = kˆ B cos( kx ωt) max Esimerkki: Hiilidioksidilaser emittoi sähkömagneettista aaltoa negatiivisen x -akselin suuntaan. Aallonpituus on 1.6 µm ja E-kenttä värähtelee z -akselin suuntaisena maksimiarvolla V/m. 6 Kirjoita kenttien vektorimuotoiset aaltofunktiot. Sähkömagneettiset aallot materiaalissa Edellinen tarkastelu pätee tyhjiössä. Miten formalismi muuttuu, kun aalto etenee läpinäkyvässä ei-magneettisessa eristematerialissa (ilma, vesi, lasi,...)? Muutokset: Permittiivisyys: ε ε = Kε, missä K on ns. suhteellinen permittiivisyys K = ε / ε. Permeabiliteetti: µ µ = µ, K m K m on ns. suhteellinen permeabiliteetti K m = µ / µ. Ei- K. missä magneettisille eristeille m 1 Valon nopeus: c c v = = = (3.1) εµ KKm ε µ KKm Taitekerroin: c n= = KKm K (3.) v 14 Esimerkki: Natriumlampun keltaisen valon taajuus on Hz. Valo ohjataan timantin läpi. Laske valon aallonpituus tyhjiössä (ilmassa) sekä nopeus ja aallonpituus timantissa, jolle K = 5.8 ja K = 1. m

5 6 3.4 Sähkömagneettisen aallon energia ja liikemäärä (Energy and Momentum in Electromagnetic Waves) On tuttu tosiasia, että sähkömagneettinen aalto kuljettaa mukanaan energiaa. Esimerkiksi auringon säteet lämmittävät ihoa. Sähkömagneettisen teorian mukaan tyhjiössä etenevän sähkömagneettisen aallon energiatiheys u (energy density, J/m 3 ) on u 1 1 = ε E + µ B, (3.3) missä ε on tyhjiön permittiivisyys, µ tyhjiön permeabiliteetti, E aallon sähkökentän voimakkuus ja B aallon magneettivuon tiheys. Sähkömagneettisessa aallossa E B= = ε µ E, (3-4) c joka sijoitettuna (3-3):een antaa u = ε E + ε E = ε E = µ B. (3-5) Tulos osoittaa, että tyhjiössä etenevän sähkömagneettisen aallon energiatiheys jakautuu tasan sähkökentän ja magneettikentän kesken. Lasketaan seuraavaksi millä teholla sähkömagneettinen aalto kuljettaa energiaa. Lasketaan intensiteetti. Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan pientä kuvitteellista laatikkoa, joka on sijoitettu x-akselin suuntaan nopeudella c etenevän sähkömagneettisen aallon sisään. Laatikon poikkipinta-ala on A ja pituus cdt. Tilavuudeksi tulee dv = Acdt. Laatikko sisältää energian udv, joka ajassa dt kulkee poikkipintaalan A läpi. 61 Teho pinta-alayksikköä kohti olkoon S, jolle laskemme 1 udv S = = uc= εce. (3-6) A dt Tälle vaihtoehtoisia esitysmuotoja saadaan (3-4):n avulla: ε EB S = E =. (3-7) µ µ Tässä S on siis teho pinta-alayksikköä kohti [W/m ] eli energia aikayksikössä pinta-alayksikköä kohti [J/(m s)]. Voimme määritellä vektorin S, joka kuvaa sekä energiavirran suuruutta että suuntaa: 1 S= E B. (3-8) µ Vektoria sanotaan Poyntingin vektoriksi brittitiedemiehen John Poyntingin ( ) mukaan. Poyntingin vektori osoittaa aallon etenemissuuntaan, koska nimenomaan E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Edelleen, koska E ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin Poyntingin vektorin pituus on EB / µ, eli teho pinta-alayksikköä kohti. Käyttämällä esityksiä E( xt, ) = Emax cos( ω t kx) ja Bxt (, ) = Bmax cos( ω t kx) Poyntingin vektorin suuruus S saadaan muotoon E( xtbxt, ) (, ) EmaxBmax Sxt (, ) = = cos ( ω t kx). µ µ

6 6 Tyypillisen sähkömagneettisen aallon taajuus, varsinkin optisella alueella, on hyvin suuri. Tästä seuraa, että myös S on nopeasti ajan suhteen vaihteleva funktio. Hetkellisen arvon sijasta onkin järkevämpää käyttää S:n keskimääräistä arvoa. Funktion cos ( ω t kx) aikakeskiarvo on 1/, joten keskimääräiseksi arvoksi tulee EmaxBmax Sav =. µ Poyntingin vektorin suuruuden keskimääräinen arvo on aallon intensiteetti. Käyttämällä relaatioita Emax = Bmaxc ja ε µ = 1/c saa- daan EmaxBmax Emax 1 I = Sav = = = εcemax. (3-9) µ µ c Esimerkki: Maanpäällisen radioaseman keskimääräinen teho on 5 kw. Oletetaan, että teho jakautuu tasaisesti maan pinnan yläpuoliseen puoliavaruuteen (ks. kuva). Laske amplitudit E max ja B max, jotka havaitaan 1 km:n korkeudella lentävässä satelliitissa. 63 Energian lisäksi sähkömagneetttinen aalto kuljettaa mukanaan liikemäärää p. Voidaan osoittaa, että liikemäärätiheys on dp EB S = =, (3.3) dv µ c c josta liikemäärän virtaamisnopeudeksi pinnan A läpi laskemme (muista dv = Acdt ) 1 dp S EB = =. (3-31) A dt c µ c Tämä aallon mukana kulkeutuva liikemäärä aiheuttaa aallon absorboituessa tai heijastuessa ns. säteilypaineen (radiation pressure). Oletetaan ensin, että sähkömagneettinen aalto absorboituu täydellisesti johonkin pintaan. Pinta saa aallon liikemäärän, jolloin siihen kohdistuu voima F = dp / dt. Keskimääräinen voima pinta-alayksikköä kohti, eli juuri paine, tulee olemaan Sav I p = rad c = c. (3-3) (Huom! p = liikemäärä, p rad = säteilypaine) Jos pinta on täydellisesti heijastava, se vastaanottaa aallon liikemäärän kaksinkertaisena. Säteilypaine on Sav I p = rad c = c. (3-33) Edellisissä tarkasteluissa on oletettu, että valo tulee pintaan kohtisuorasti. Esimerkki: Auringon valon intensiteetti juuri ilmakehän ulkopuolella on noin 1.4 kw/m. Maata kiertävän satelliitin aurinkopaneelien kokonaispinta-ala on 4. m. Oletetaan, että auringon valo osuu paneeleihin kohtisuorasti ja että paneelit absorboivat valon täydellisesti. Laske keskimääräinen absorboitunut teho sekä säteilypaineen aiheuttama voima.

7 Seisovat sähkömagneettiset aallot (Standing Electromagnetic Waves) Myös sähkömagneettiset aallot voivat heijastua. Heijastimena voi toimia esimerkiksi johteen pinta (kiillotettu metallipinta) tai eriste (lasinpala). Superpositioperiaatekin pätee, joten on mahdollista järjestää olosuhteet, joissa esiintyy seisovia sähkömagneettisia aaltoja. Tilanne on hyvin analoginen mekaanisille seisoville aalloille köydessä. Kuvataan positiivisen x -akselin suuntaan etenevää aaltoa yhtälöillä Ey ( xt, ) = Emax cos( kx ωt) Bz ( x, t) = Bmax cos( kx ωt) ja vastaavasti negatiivisen akselin suuntaan etenevää yhtälöillä Ey( xt, ) = Emax cos( kx+ ωt) Bz ( x, t) = Bmax cos( kx+ ωt) Jälkimmäiseen B-kentän yhtälöön on kirjoitettava ( )-merkki, jotta ehto, että aalto etenee suuntaan E B, toteutuisi. Ensimmäisissä yhtälöparissa ( )-merkit ovat vain alkuehtojen valinta. Tällä valinnalla varmistetaan, että ensimmäinen solmu E -kentällä on kohdassa x =. (Huom! vasen kuva alla toisin päin) Seisovalle aallolle laskemme superpositioperiaatteen mukaan max 65 Ey ( xt, ) = Emax[cos( kx+ ωt) cos( kx ωt)], B ( x, t) = B [ cos( kx+ ωt) cos( kx ωt)] z joka identiteetin cos( A ± B) = cos Acos B sin Asin B avulla saadaan muotoon Ey( xt, ) = Emax sinkxsinωt. (3.34) Bz ( x, t) = Bmax coskxcosωt Tulos kertoo, että magneettikentän solmukohdat (paikoissa, joissa coskx = ) ovat sähkökentän kupujen kohdilla, ja päinvastoin. Viereinen kuva esittää seisovaa sähkömagneettista aaltoa. Hyvä esimerkki seisovien sähkömagneettisten aaltojen käytännön sovelluksesta on mikroaaltouuni, jossa synnytetään seisova aalto aallonpituudella λ = 1. cm (mikroaaltoalueella). Tätä aallonpituutta (sen sähkökenttää) ruoka-aineen vesimolekyylit absorboivat erityisen tehokkaasti aiheuttaen siten ruoan kuumenemisen. Uunissa seisovilla aalloilla on solmukohdat / 6.1 λ = cm:n välein. Solmujen kohdalla sähkökenttä on koko ajan nolla, joten ruoka ei kuumene näissä kohdissa. Tämän vuoksi monissa uuneissa on pyörivä alusta.

8 66 Esimerkki: Seisova sähkömagneettinen aalto synnytetään kahden kiillotetun metallipinnan väliin. Metalli on hyvä johde, joka aiheuttaa sen, että sähkökentällä on solmukohdat kyseisillä pinnoilla. (a) Millä aallonpituuksilla ja taajuuksilla seisova aalto voi pintojen välissä esiintyä? (b) Laske pisimmän mahdollisen aallonpituuden tapauksessa solmujen ja kupujen sijainnit. 3.6 Sähkömagneettinen spektri (The Electromagnetic Spectrum) Sähkömagneettiset aallot kattavat hyvin laajan taajuusalueen. Niitä 4 on havaittu ainakin taajuusvälillä 1 1 Hz. Taajuuksilla ei ole varsinaista teoreettista ylärajaa. Oheisessa kuvassa on esitetty sähkömagneettinen spektri sekä taajuus- että aallonpituusasteikolla. Muunnos asteikkojen välillä toteutetaan yhtälöllä c= λ f, missä c = m/s. 67 Taajuudet (ja aallonpituudet) jaetaan erillisiin osa-alueisiin lähinnä sen mukaan miten aallot syntyvät ja/tai miten niitä havaitaan. Alueiden väliset rajat eivät ole tarkkoja. Opettele jako: - Gammasäteet (Gamma rays) - Röntgensäteet (X-rays) - Ultravioletti (Ultraviolet) - Näkyvä (Visible) - Infrapuna-alue (Infrared) - Mikroaaltoalue (Microwave) - Radioaallot Kannattaa huomata, että näkyvä alue kattaa vain hyvin kapean kaistan spektristä. Aallonpituusrajat ovat 4 nm ja 7 nm, jotka vastaavat taajuuksia 75 THz ja 43 THz. Ihminen aistii näkyvällä alueella eri aallonpituudet eri väreinä seuraavan taulukon mukaisesti 4 44 nm : violetti nm : sininen nm : vihreä nm : keltainen nm : oranssi 63 7 nm : punainen