Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit"

Karoliina Salonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

2 Hieman kertausta Esimerkki Muutetaan yksi nanometri millimetriksi. Ensiksi nanometri mikrometriksi: 1 nm = 1/1000 µm = 10 3 µm Sitten mikrometri millimetriksi: 10 3 /1000 mm = 10 6 mm. Yksi nanometri (nm) on siis 10 6 millimetriä (mm). Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

3 Hieman kertausta II Kymmenen potenssimuoto voidaan yleisesti kirjoittaa: a 10 n, missä a R (=reaaliluvut) ja n Z (=kokonaisluvut). Esim. 1,2 10 3, jossa a = 1,2 ja n = 3. Kymmenen potenssin laskuissa halutaan ilmoittaa vastaus siten, että 0 < a < 10. Eli halutaan, että numero kymmenen potenssin edellä (=a) on enemmän kuin nolla mutta alle 10. Eli 1, on ok, mutta ei ole. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

4 Laskun vaiheet I Fysiikassa suureiden väliset riippuvuudet ilmoitetaan suureyhtälöinä. Esimerkiksi matkan s, nopeuden v ja ajan t välinen yhteys voidaan ilmoittaa muodossa s = vt. Kun suurreyhtälöitä ratkaistaan, tulos pitää antaa epätarkimman eli vähiten merkitseviä numeroita sisältävän suureen mukaan. Yhtälöön sijoitetaan sekä lukuarvo että yksikkö. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

5 Laskun vaiheet II Esimerkki John Doe ajoi polkupyörällä 3 km:n matkan aikaan sekuntia. Mikä oli J. Doe:n keskinopeus? RATKAISU: Kirjataan ensiksi suureet ylös. s = 3 km = m. (Yksi merkitsevä numero) t = 1637 s. (4 merkitsevää numeroa) Keskinopeus v k halutaan laskea. Merkitään v k tuntemattomaksi eli v k =?. Keskinopeus saadaan kaavasta v k = s t. Sijoitetaan suureet kaavaan: v k = 3000m 1637s = 1,833 m s. Matkassa on yksi merkitsevä numero ja ajassa 4 merkitsevää numeroa. Matka on siis ilmoitettu epätarkemmin. Pyöristetään tulos yhden merkitsevän numeron tarkkuudella eli 1,833 m/s 2 m/s. John Doe:n keskinopeus oli 2 m s. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

6 Laskun vaiheet III Esimerkki Maan massa on 5, kg ja Kuun massa on 7, kg. Kuinka monta prosenttia Maan massa on Maa-Kuu-systeemin kokonaismassasta? RATKAISU: Kirjataan ensiksi suureet: m maa = 5, kg; m kuu = 7, kg Halutaan laskea Maan massan prosentuaalinen suhde Maan ja Kuun yhdistettyyn massaan. Prosentuaalinen suhde saadaan: m MAA m MAA +m KUU 100% Sijoitetaan lukuarvot: m MAA m MAA +m KUU 100% = 5, kg 5, kg+7, kg 100% = 98,7849 % 98,78 % Maan massa on 98,78 % Maa-Kuu-systeemin kokonaismassasta. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

7 Laskun vaiheet IV HUOMIO! VAIN LOPPUTULOS PYÖRISTETÄÄN. SUUREITA EI SAA PYÖRISTÄÄ LASKUN AIKANA. Vastaus tulee AINA ilmoittaa lähtöarvojen tarkkuuden antamalla tarkkuudella. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

8 Paripulina Keskustele parisi kanssa siitä mitä ovat seuraavat asiat fysiikassa: Malli Luonnon laki Teoria Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

9 Mallit kuvaavat todellisuutta I Fysiikassa mallit ovat yksinkertaistuksia tutkittavasta kohteesta. Malli laaditaan mittaustiedon ja ennalta tunnetun tiedon perusteella. Esimerkki Fysiikan opettajasi antoi tehtäväksi mitata miten hiekan ja veden massa muttuu tilavuuden suhteen. Mittasit viidellä eri tilavuudella hiekan ja veden massan ja sait alla olevan taulukon. Tilavuus(dm 3 ) Hiekan massa (g) Veden massa (g) 0,0 0,0 0, Tulokset saatuasi piirsit niistä kuvaajan Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

10 Mallit kuvaavat todellisuutta II Vesi Hiekka 200 massa [g] tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

11 Mallit kuvaavat todellisuutta III Kuvaajasta huomasit, että hiekan massa kasvaa selvästi nopeammin kuin veden. Mietit, että pystyisitkö löytämään näille kahdella suureelle yhdistävän tekijän? Silloin mieleesi palautui matematiikan tunti, jossa käsiteltiin polynomeja. Kuvaavasta huomaat selvästi, että voisit sijoittaa yhtälöön 1. asteen polynomin. Kaivat esille muistiinpanosi ja 1. asteen polynomin määritelmän: y = ax + b, missä a ja b ovat vakioita. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

12 Mallit kuvaat todellisuutta IV y = x y = x + 1 y = x y x Hieman kertausta suorista. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

13 Mallit kuvaavat todellisuutta V Huomaat heti, että pisteet kulkevat origon kautta. Näin voit huolettaa olettaa b:n nollaksi eli y = ax. Sinua on aina sekoittanut, että notaatiot ovat erilaiset fysiikassa kuin matematiikassa. Päädyt siis vaihtamaan notaatiot: m = av. Sovitat suorat kuvaajaan. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

14 Mallit kuvaat todellisuutta VI Vesi Hiekka 200 massa [g] tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

15 Mallit kuvaavat todellisuutta VII Sait kaksi eri suoran yhtälöä: m vesi = av ja m hiekka = bv, missä a ja b ovat tuntemattomia vakioita. Haluat selvittää tuntemattomat vakiot a:n ja b:n. Haluamasi vakiot ovat suorien kulmakertoimet. Näin ollen ratkaisemalla kulmakertoimet, saat vakioiden arvot tietoosi. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

16 Mallit kuvaavat todellisuutta VIII Vesi Hiekka 200 massa [g] tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

17 Mallit kuvaavat todellisuutta IX Muistat, että (Delta) kreikkalaisista aakkosista kuvaa muutosta. Tilavuuden muutokseksi saat molemmille: V = V 2 - V 1 = 200 cm 3-0 cm 3 = 200 cm 3. Lähdet määrittämään aluksi vakioita a vedelle. Arvioit hieman massan arvoja kuvaajasta ja alat laskemaan a = m vesi V = m 2 m 1 V = 200g 0g = 1 g 200cm 3 cm 3 Teet samalla tavalla hiekan b vakiolle: b = m hiekka V = m 2 m 1 V = 280g 0g = 1,4 g 200cm 3 cm 3 Tämän jälkeen mieleesi muistuikin, että tiheys kertoo massan ja tilavuuden suhteen ja tiheyden yksikkö oli ρ (rhoo). Onnistuit määrittämään veden ja hiekan tiheydet mittauspisteistä sovittamalla niihin graafisen mallin - tässä tapauksessa suoran. ρ vesi = 1 g ja ρ cm 3 hiekka = 1,4 g. cm 3 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

18 Mallit kuvaavat todellisuutta X Mallit ovat yksinkertaistuksia tutkittavasta kohteesta ja mallit pätevät tietyissä olosuhteissa ja tietyllä tarkkuudella. Mallien ns. pätevyysalue. Jos tarkasteltavat suureet ovat suoraan verrannollisia, matemaattisen mallin kuvaaja on suora esim. m = ρv. Huomio! Kun valitset pisteet kulmakertoimet määrittämistä varten, pisteet valitaan suoralta eikä mittauspisteistä. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

19 Tuntitehtävä (yo-kevät 2013) Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

20 Liikkeessä paikka muuttuu I Melkein kaikkiin luonnon ilmiöihin liittyy liike ja sen takia liikkeen kuvaamiseen ja selittämiseen tarvittavt käsitteet ovat fysiikan peruskäsitteitä. Kappaleen liikettä voidaan kuvata aika-paikka-koordinaatistolla, jossa aika on x-akselilla ja paikka y-akselilla. Kuvaajasta voidaan lukea kappaleen paikka tietyllä ajan hetkellä. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

21 Liikkeessä paikka muuttuu II Kappaleen keskinopeus kuvaa kappaleen nopeutta tiettynä aikavälillä. Keskinopeus ei kerro kappaleen nopeutta tietyllä ajan hetkellä vaan mikä on kappaleen keskimääräistä nopeutta valitulla aikavälillä. Keskinopeus voidaan laskea kun tiedetään kuinka pitkän matka kappale on liikkunut ja kuinka paljon aikaa siihen on kulunut. Keskinopeus v k on v k = s t, jossa s on kuljettu matka ja t siihen kulunut aika. HUOM! Keskinopeus ei kerro minkälaista kappaleen liike (kiihtyvää, hidastuvaa, tasaista) on kyseisellä aikavälillä. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

22 Liikkeessä paikka muuttuu III Nopeuden yksikkö muunnos tehdään seuraavasti: km/h muunnetaan yksikköön m/s jakamalla nopeuden lukuarvo 3,6:lla. m/s muunnetaan yksikköön km/h kertomalla nopeuden lukuarvo 3,6:lla. Esimerkki Muunnetaan 1 km/h 1 m/s. 1 km = 1000 m ja 1h = s = 3600 s. Tällöin 1 km h = 1000m 3600s = 1 3,6 m/s. Toisinpäin vastaavasti: 1 m/s = 3600m 3600s = 3,6km 1h = 3,6 km/h. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta / 22

Samankaltaiset tiedostot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta